Сосчитайте сколько четверок и сколько пятерок на рисунке 48: Сосчитайте, сколько четвёрок и сколько пятёрок на рисунке 48, но только по особому правилу

Конспект урока по математике «Объём прямоугольного параллелепипеда»

Тема: «Объем прямоугольного параллелепипеда»

Цели урока:

• учить находить объем прямоугольного параллелепипеда;

• учить работать с разными единицами измерения объема прямоугольного параллелепипеда;

• совершенствовать вычислительные навыки.

Задачи:

• формировать понятие объема;

• развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

• развивать логическое мышление, внимание, воображение, кругозор, память, речь, познавательный интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля.

.

Тип урока: закрепление нового материала.

Технологии обучения: здоровьесберегающие, информационно — коммуникационные.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Оборудование: ПК учителя, мультимедийный проектор, экран.

Информационно — методическое обеспечение:

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

2. Проверка домашнего задания.

Сегодня на уроке мы продолжим изучение

III. Устная работа.

1. 51-2=

2. 99:11=

3. 16·0=

4. 3² =

5. 3·17=

6. 17+34=

7. 80-35=

8. 51·1

9. 51·1=

10. 15·3=

11. 60-11=

12. 2³ =

13. 30+19=

14. 90:2=

15. 125·8=

1. Постановка проблемы и актуализация опорных знаний

Сегодня в школу почтальон принес конверт в котором лежало письмо следующего содержания:

«Дорогие пятиклассники! Я поймал Золотую Рыбку и она попросила до весны приютить её у себя. Но для этого мне срочно придётся приобрести аквариум, так как в банке ей тесно. Сегодня на закате истекают третьи сутки, которые рыбка проводит в некомфортной для неё обстановке, поэтому Вам следует поторопиться с поиском нужного аквариума. По просьбе Рыбки, он должен быть в форме прямоугольного параллелепипеда, вместимостью 300 литров, а его высота 10 дм. его рёбра должны быть сделаны из жёлтого золота, а грани из зелёного изумруда. Прошу Вас – помогите мне, так как я не силён в математике, и мне никак не удаётся найти нужный аквариум» и подпись – Старик из «Сказки о Золотой Рыбке».

Ребята, вы хотите помочь Золотой Рыбке? (Да)

Какая же цель нашего урока? (Помочь Старику и Рыбке)

Для этого нам потребуется найти аквариум нужной формы и объёма.

Итак, мы отправляемся в магазин Зоотоваров. Для начала выберите аквариум нужной формы – прямоугольного параллелепипеда.

Почему вы выбрали именно эти аквариумы? (Они имеют форму прямоугольного параллелепипеда)

Сколько всего рёбер у прямоугольного параллелепипеда? (12)

А граней? (6)

Какими фигурами являются его грани? (Прямоугольниками)

Осталось разобраться с объёмом. Но вот беда, в магазине не указана вместимость, а есть только измерения аквариумов. Кстати, как они называются? (Длина, ширина и высота).

1. Сообщение темы урока

Мы сегодня посмотрим, как быстро найти объём прямоугольного параллелепипеда. Запишите тему нашего урока – «Объём прямоугольного параллелепипеда».

1. Объяснение нового материала

Как же нам решить эту проблему? Кубики с ребрами разной длины: 1мм, 1см, 1 дм и 1м. Для измерения объёмов как раз и пользуются этими кубиками. Объём каждого из них равен 1мм³ (кубическому миллиметру), 1см³ (кубическому сантиметру), 1дм³ (кубическому дециметру) и 1м³ (кубическому метру).

Воспользуемся, например, кубическими сантиметрами, и составим из них прямоугольный параллелепипед . Сколько кубиков ушло на строительство?

Как найти объём любого другого прямоугольного параллелепипеда? (Перемножить длину, ширину и высоту)

Запишите в своих тетрадях: V=длина*ширина*высота.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда буквами a, b и c. Используя эти обозначения, запишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда в своих тетрадях. Прочитайте формулу. (V= abc)

Вычислять объём прямоугольного параллелепипеда умели уже в древней Греции во времена Архимеда. А кто знает, почему его обозначают латинской буквой V? Потому что на латыни объём записывается так Volume, по первой букве этого слова и стали обозначать объём.

Если ребро куба равно 4 см, то объем куба равен 4 * 4 * 4 = 43 (см³), то есть 64 см³.

А в общем случае, если ребро куба равно а, то объем V куба равен a * a * a = a³. Значит, формула объема куба имеет вид  V = a³.

Именно поэтому запись а³ называют кубом числа а.

Физминутка. Сосчитайте, сколько четверок и сколько пятерок на рисунке.

1. Отработка применения новой формулы.

Теперь вы можете вычислить объёмы всех предложенных нам в волшебной лавке аквариумов. Запишите в своих тетрадях решения. Каждому ряду нужно найти объём одного из аквариумов. Как только ряд получает ответ, командир пишет его на карточке и отдаёт мне.

Итак, проверяем: объём первого аквариума (1000 дм³), второго (150 дм³), третьего (320 дм³).

Эксперимент. Осталась последняя проблема – в описании аквариума объём дан в литрах, а у нас в кубических дециметрах. Проделаем научный эксперимент. У меня есть пустая литровая банка и пластиковый кубический дециметр. Как вы думаете, чей объём больше – банки или куба? (Банки).

Проверим. Наливаю в литровую банку воду. Каков объём налитой воды? (1 литр)(1 дм³)

Переливаю содержимое банки в кубический дециметр. Вода полностью поместилась в куб. Что вы думаете теперь об объёмах банки и куба. (Они равны)

Чему же равен один кубический дециметр? (Литру)

Запишите в тетрадях 1л=1 дм³.

Итак, теперь окончательно определимся с выбором аквариума для ЗолотойРыбки. Почему? (В нём 320 литров, меньше 500 и больше 300).

VI. Закрепление

1. Вычислите объём куба со стороной 5 см.

а) 125 см³; б) 25 см³; в) 15 см³; г) 125 см².

1. Вычислите объём параллелепипеда со сторонами 2 см, 4 см, 6 см.

л) 48 см³; о) 12 см³; п) 48 см²; р) 48 см.

Запишите в тетрадь формулы вычисления объема.

1. Домашнее задание

§ 21 стр. 125-126 выучить правила и формулы, № 841, №842, 848(г)

Практическая работа

Прямоугольный параллелепипед высчитать объем.

Подведение итогов урока.

• Сегодня на уроке я узнал, что …

• Сегодня на уроке я научился …

Олимпиада для выпускников начальной школы. | Олимпиадные задания (4 класс) по теме:

____________________

ОКРУЖАЮЩИЙ МИР  2011

1. В каждом ряду зачеркни «лишнее».

а) Днепр, Волга, Байкал, Енисей.

б) Юг, запад, право, север.

в) Антарктида, Франция, Африка, Европа.

г) Петербург, Индия, Россия, Германия.

     2. Вычеркни лишнее название в каждой строчке.                             

      а)  Лягушка, ёж, гадюка, хамелеон, уж.

      б) Лист, почва, стебель, плод, корень.

      в) Гнездо, нора, курятник, берлога, муравейник.

      г) Снегирь, соловей, лебедь, дрозд, ласточка.

      д) Гранит, каменный уголь, полиэтилен, торф, природный газ.

      е) Венера, Марс, Земля, Луна.

     ж) Россия, Франция, Урал, Китай.

     з) Дон, Томь, Байкал, Днепр.

3. Напиши, какие океаны находятся полностью или частично в Западном полушарии.

Ответ:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Распредели данные географические понятия на группы. Каждой группе дай название.

Марс, Париж, юг, Венера, запад, Меркурий, Москва, северо-запад, Киев, Земля, Новгород, юго-запад.

Ответ:____________________________________________________________________________________________________________________________   __________________________________________________________________

5. Где раньше встречают Новый год – в Иркутске или в Москве?

Ответ: ___________________________________________________

6. Соедини с помощью стрелок слова из двух столбиков:

звезда                        Москва

планета                        Алексеевское

материк                        Земля

страна                        Петербург

столица                        Солнце

город                        Южная Америка

село                        Россия

7.  Пары названий составлялись по принципу «страна – континент». Одна из пар неверна. Напиши ее правильно.

Россия – Евразия

Египет – Африка

Китай – Азия

Австралия – Австралия

Ответ: _____________________________________________________

8. Распредели данные географические понятия на группы. Каждой группе дай название.

Анды, Вашингтон, Гималаи, Ока, Дели, Днепр, Берлин, Большой Кавказ, Амазонка, Иркутск, Нил.

Ответ:______________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Выпиши в два столбика объекты, относящиеся к живой и неживой природе.

Дуб, вода, муравей, солнце, карандаш, ворона, одуванчик, луна, крыжовник, дом, земляника, заяц, учебник.

Напиши, как называются оставшиеся объекты.

Ответ:

10. Найди правильный ответ:

а) Луна – это звезда, планета, спутник.

б) Солнце – это планета, спутник, звезда.

11. Допиши предложения.

Мое государство – …, его столица – ….

В конституции записаны… и… граждан.

К государственным символам относятся…, …, ….

     12.  Ответь на вопрос  одним словом.                   

Какую звезду можно увидеть днём?    _______________________________       Как называется прибор для определения сторон горизонта?_______________________________________________________

Как называется начало реки?  __________________________

Самый тёплый океан. ________________________________

Газ, необходимый для жизни растений_______________________________

Самая большая африканская пустыня._______________________________________________________

Воображаемая линия, которая делит земной шар на Северное и Южное полушария_________________________________________________________  

Кто спит вниз головой?______________________________________________

Кто кукует у кукушки?______________________________________________ У какой птицы мешок под клювом?____________________________________ Какие представители кошачьих живут семьями? __________________________________________________________________

Кто, по отношению к длине своего тела прыгает дальше: блоха или кенгуру?___________________________________________________________

      13. В каких горах вырос «Каменный цветок» П.П. Бажова?                     

Кавказские горы.

Альпы.

Алтай

Уральские горы.

      14. Смена дня и ночи происходит из – за того, что…                                 

Солнце вращается вокруг Земли.

Земля вращается вокруг Солнца.

Земля вращается вокруг своей оси.

Ось Земли немного наклонена.

    15.Найди в рассказе ошибки и подчеркни их.                                     

     Наступила осень. Со всех деревьев опадают последние листья. Животные готовятся к зиме. Некоторые птицы улетают на юг. Это журавли, кукушки, синицы, грачи. Заяц, ёж, лиса меняют шубки на более тёплые и густые. Белки и ежи делают запасы на зиму. Медведь и крот засыпают до весны.

     16.Узнайте полезное ископаемое по его описанию и свойствам.

Тяжелая, очень прочная, состоит из мелких зерен, плотно соединенных между собой, важное свойство – плавкость. Из нее выплавляют сталь, а из нее делают ножи, ножницы, рельсы, вагоны, детали машины. В некоторых местах залегает неглубоко, а в других, чтобы ее достать, приходиться рыть глубокие шахты.

        17.Выпишите органы кровообращения:

Печень, сердце, желудок, сосуды, почки, мозг, череп, спинной мозг.

________________________________________________________________

       18.Что двигает кости, имеет способность сокращаться?

________________________________________________________________

        19. Переставьте в словах буквы так, чтобы получились названия рыб.

А. знаас;    Б. укащ;      В. раська;   Г. милан;    Д. парк;     Е. куала.

________________________________________________________________

________________________________________________________________

     20.Определи признаки живого организма.                                 

а) Движется, питается, размножается, растёт, дышит.

б) Питается, размножается, растёт, умирает, дышит.

в) Размножается, дышит, растет, питается, летает.

21. Прочитай сочинение,  которое написал четвероклассник , найди  в нём экологические ошибки, подчеркни их.

Воскресенье в лесу.

                Однажды, когда уже стояли тёплые деньки, ребята решили пойти в лес. Дорогу они  знали, запаслись продуктами, не забыли и про магнитофон.

                Весёлой музыкой мы оповестили лес – мы прибыли! Знакомая дорога привела нас к берёзовой роще. По дороге нам часто попадались грибы – белые, подберёзовики, сыроежки. Вот это урожай! Кто-то из ребят срезал упругие ножки грибов, кто-то выкручивал их, а кто и вырывал. Все грибы, которые мы не знали — сбивали палками.

                Привал. Мальчики быстро наломали веток и разожгли костёр. После того, как ребята перекусили, Миша собрал железные банки от газировки в полиэтиленовые пакеты, положил в овражек и сказал: «Микробы их всё равно разрушат!» Горящие угольки костра подмигивали нам на прощанье.

                В кустах Катя нашла гнездо какой-то птицы. Девочка подержала в руках одно голубоватое яичко и аккуратно положила его обратно. Солнце  всё выше поднималось над горизонтом. Становилось жарко. На лесной опушке мы нашли маленького зайчика, решив, что его бросила мать, ребята решили взять его с собой.

                Постепенно стали набегать тучи, стало темно, засверкали молнии, пошёл дождь. Но нам было уже не страшно – мы успели спрятаться под большое дерево, которое одиноко стояло на поляне.

                Когда дождь закончился, мы 1с охапками луговых цветов прибыли домой. День прошёл весело!

22. Почему у нетренированных людей после физических упражнений болят мышцы? ____________________________________________________________________________________________________________________________________

23. Имеется смесь из соли, песка, опилок и воды. С помощью каких способов можно отделить друг от друга вещества, входящие в эту смесь?

Соедини линиями.

Отстаивание                   песок

Выпаривание                соль

Фильтрование              опилки

24. Подчеркни правильный ответ:

1. Русь приняла христианство:                                                                                                                                                                                                         а) в ХI веке    

              б) в IХ веке    

               в) в Х веке

2. Создатели славянской азбуки:

а) Кирилл и Мефодий

б) И.Фёдоров и П. Мстиславец

в) М. Ломоносов

3)Первым русским царём стал:

а) Пётр I

б) Ярослав Мудрый

в) Иван  IV- Грозный

г) Владимир Мономах

4)В бородинском сражении русская армия сражалась с войсками:

а) Германии

б) Франции

в) Швеции

25. Установи хронологическую последовательность исторических событий, укажи дату:

26. Кто первый?:

• Открыл Америку  _________________________

•  Открыл первый Университет в России________________________
•  Был первым космонавтом ___________________________            
•  Побывал на Южном Полюсе________________________                

27.Вычеркни лишнее:

1. Жуков, Суворов, Рокоссовский, Кутузов, Конев,  Пётр I
2. Магеллан, Колумб, Мюнхгаузен, Амундсен, Беллинсгаузен, Лазарев

        28.Когда была заложена Ставропольская крепость?          ___________________________________________________________

        29.Какая улица г.Ставрополя чаще всего меняла названия и одновременно     является самой старой ?                 ________________________________

30. С чем связано празднование  9 Мая в нашей стране? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

«Прямая, части прямой» — математика, уроки

БОУ СОШ №2 ст. Динской Урок объяснения

Тема урока № 3 Прямая. Части прямой. Ломанная.

Составитель:, Калмазова Ирина Алексеевна.

Дидактическая цель: обеспечить формирование умений строить и распознавать отрезки, лучи, прямые, ломанные.

— обучающие: Продолжить знакомство с различными линиями. Познакомить учащихся с отрезком, прямой, лучем, ломанной, повторить единицы измерения длин.

— развивающие: развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, строить аналогии, делать выводы, развивать внимание; — воспитательные: развивать познавательный интерес и регуляторные навыки через игровые моменты взаимоконтроля, взаимопроверки, развивать коммуникативные способности во время работы в группах, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели. Методы:

проблемный, частично-поисковый. Место проведения: учебный кабинет Оборудование: компоненты УМК «Сферы. Математика. 5-6», мультимедиа проектор, компьютер, ИД, рабочие тетради учащихся. Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений с приложением на электоронном носителе / Е.А. Бунимович и др. –2-е изд. – М.:Просвещение, 2011. – 223 с.: ил. – (Академический школьный учебник) (Сферы), Задачник-тренажер Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений/ Е.А. Бунимович и др.. – М.:Просвещение, 2010. – 127 с.: ил., Тетрадь-тренажер Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений/ Е.А. Бунимович и др. – 2-е изд. – М.:Просвещение, 2011. – 128 с.: ил., мультимедиа проектор, компьютер, ИД, рабочие тетради учащихся, комплект транспортиров по числу учащихся в классе.

— Sig Fig

Калькулятор значащих цифр преобразует любое число в новое число с желаемым количеством sig fig И решает выражения с sig fig (попробуйте выполнить 3.14 / 7.58 - 3.15 ). Каковы правила значащих цифр? Эти концепции будут объяснены на этой странице, а также как пользоваться калькулятором сигнатур.

Что такое значащие цифры?

Значащие цифры — это все числа, которые добавляют к значению общего значения числа.Во избежание повторения несущественных цифр их часто округляют. Необходимо соблюдать осторожность, чтобы не потерять точность при округлении. Часто цель округления чисел — просто их упростить. Для решения таких проблем используйте калькулятор округления.

Каковы правила значащих цифр?

Чтобы определить, какие числа значимы, а какие нет, используйте следующие правила:

1. Ноль слева от десятичного значения меньше 1 не имеет значения.
2. Все нули в конце, которые являются заполнителями, не имеют значения.
3. Нули между ненулевыми числами имеют значение.
4. Все ненулевые числа значимы.
5. Если число содержит больше цифр, чем желаемое количество значащих цифр, число округляется. Например, 432 500 — это 433 000 – 3 значащих цифры (с использованием округления до половины (обычного) вверх).
6. Нули в конце чисел, которые не имеют значения, но не удаляются, так как удаление повлияет на значение числа.В приведенном выше примере мы не можем удалить 000 из 433 000 , если не изменим число в экспоненциальном представлении.

Как пользоваться калькулятором sig fig

Наш калькулятор значащих цифр работает в двух режимах — он выполняет арифметические операции с несколькими числами (например, 4.18 / 2.33 ) или просто округляет число до желаемого количества знаков.

Следуя правилам, указанным выше, мы можем рассчитать сиг-инжир вручную или с помощью счетчика значащих цифр.Предположим, у нас есть число 0,004562 и нам нужно 2 значащих цифр. Нули в конце являются заполнителями, поэтому мы их не учитываем. Затем мы округляем 4562 до 2 цифр, в результате чего получаем 0,0046 .

Теперь рассмотрим пример, не являющийся десятичным. Предположим, нам нужно от 3,453,528 до 4 значащих цифр. Мы просто округляем все число до ближайшей тысячи, получая 3 454 000 .

Что делать, если число указано в экспоненциальном представлении? В таких случаях применяются те же правила.Чтобы ввести экспоненциальную нотацию в калькулятор сигнатур, используйте обозначение E , которое заменяет x 10 строчной или прописной буквой «e». Например, число 5.033 x 10 23 эквивалентно 5.033E23 (или 5. 033e23 ). Для очень небольшого числа, такого как 6,674 x 10 -11 , представление записи E будет 6.674E-11 (или 6.674e-11 ).

При работе с оценкой количество значащих цифр не должно быть больше логарифмической базы 10 размера выборки и округления до ближайшего целого числа.Например, если размер выборки составляет 150 , логарифм 150 составляет приблизительно 2,18 , поэтому мы используем 2 значащих цифр.

Значительные операционные показатели

Есть дополнительные правила относительно операций — сложение, вычитание, умножение и деление.

• Для операций сложения , и вычитания , результат не должен содержать больше десятичных разрядов, чем число в операции с наименьшей точностью.Например, при выполнении операции 128,1 + 1,72 + 0,457 значение с наименьшим количеством десятичных знаков ( 1 ) будет 128,1 . Следовательно, результат также должен иметь один десятичный знак: 128.̲1 + 1,7̲2 + 0,45̲7 = 130.̲277 = 130.̲3 . Положение последнего значащего числа указывается его подчеркиванием.

• Для операций умножения и деления результат не должен содержать более значащих цифр, чем число в операции с наименьшим числом значащих цифр.Например, при выполнении операции 4,321 * 3,14 значение с наименьшими значащими цифрами ( 3 ) будет 3,14 . Таким образом, результат также должен быть представлен трем значащим цифрам: 4,32̲1 * 3,1̲4 = 13.̲56974 = 13.̲6 .

• При выполнении только сложения и вычитания достаточно выполнить все вычисления сразу и применить правила значащих цифр к окончательному результату.

• При выполнении только умножения и деления достаточно выполнить все вычисления сразу и применить правила значащих цифр к окончательному результату.

• Если, однако, вы выполняете смешанные вычисления — сложение / вычитание и умножение / деление — вам необходимо отметить количество значащих цифр для каждого шага вычисления. Например, для расчета 12,1̲3 + 1,7̲2 * 3.̲4 после первого шага вы получите следующий результат: 12,1̲3 + 5.̲848 . Теперь обратите внимание, что результат операции умножения имеет точность до 2 значащих цифр и, что более важно, до одного десятичного знака.Вы не должны округлять промежуточный результат и применять правила только для значащих цифр к окончательному результату. Итак, для этого примера последние шаги расчета: 12,1̲3 + 5.̲848 = 17.̲978 = 18.̲0 .

• Точные значения, включая определенные числа, такие как коэффициенты пересчета и «чистые» числа, не влияют на точность расчета. Их можно рассматривать так, как если бы они имели бесконечное количество значащих цифр. Например, при использовании преобразования скорости вам нужно умножить значение в м / с на 3.6 , если вы хотите получить значение в км / ч. Количество значащих цифр по-прежнему определяется точностью начального значения скорости в м / с — например, 15,23 * 3,6 = 54,83 .

  Чтобы использовать точное значение в калькуляторе, задайте значение наибольшему количеству значащих цифр в вычислении. Итак, в этом примере вы должны ввести в калькулятор 15,23 * 3,600 .

Умножение × | Основы арифметики

На этой странице описаны основы умножения (×) .

См. Другие наши арифметические страницы для обсуждения и примеров: Сложение (+), Вычитание (-) и Деление ( ÷ ).

Умножение

При записи общий знак умножения — « × ». В электронных таблицах и некоторых других компьютерных приложениях символ « * » (или звездочка) используется для обозначения операции умножения.

Чтобы выполнять вычисления умножения без калькулятора или электронной таблицы, вам необходимо знать, как складывать числа.См. Нашу страницу добавления, чтобы узнать, как добавить.

Когда вы «умножаете» или «умножаете» число, вы добавляете его к самому себе несколько раз, например, умножение 4 на 3 — это то же самое, что сказать 4 + 4 + 4 = 12. Следовательно, умножение — это более быстрый способ сложения одно и то же число много раз, например 3 × 4 = 12. Этот расчет аналогичен выражению, если у меня есть 3 пакета по 4 яблока, сколько всего яблок у меня есть?

Основные правила умножения:

• Любое число, умноженное на 0, равно 0.200 × 0 = 0
• Любое число, умноженное на 1, остается неизменным. 200 × 1 = 200.
• Когда число умножается на два, мы удваиваем число. 200 × 2 = 400.
• Когда целое число умножается на 10, мы можем просто написать 0 в конце (один ноль из 10, потому что это 1 × 10). 200 × 10 = 2000.
• При умножении на 100 мы записываем два нуля в конце, на тысячу записываем три нуля в конце и так далее. Например, 4 × 2000 — это 4 × 2 = 8 с 3 нулями: 8000.

Для простого и быстрого умножения полезно запомнить умножение или «таблицу умножения », как показано ниже. Эта таблица дает ответы на все умножения до 10 × 10. Чтобы получить ответ на 4 × 6, например, найдите 4 в верхней (заштрихованной красным) строке и найдите 6 в левом (заштрихованном красным) столбце — столбец точка пересечения двух линий и есть ответ: 24 .

Неважно, с какой стороны искать числа; если вы найдете 4 в первом столбце и 6 в первой строке, вы получите тот же ответ, 24.

Таблица умножения

Приведенная выше таблица может помочь нам быстро вычислить ответ на следующую проблему. Меган ведет трех братьев в кинотеатр, ей нужно купить всего 4 билета, каждый из которых стоит 8 фунтов стерлингов. Во сколько обойдется поездка? Нам нужно вычислить 4 лота по 8 фунтов стерлингов, что написано 4 × 8.

Найдите 4 в вертикальном красном столбце и 8 в горизонтальном красном столбце, ответ находится в ячейке, где пересекаются две линии: 32 . Таким образом, стоимость похода в кинотеатр составит фунтов стерлингов 32 фунтов стерлингов.

Часто бывает необходимо умножать числа больше 10.В этом случае приведенная выше таблица умножения не может дать немедленного ответа. Однако мы все еще можем использовать его, чтобы упростить расчет.

Лиза занимается ресторанным бизнесом. Она должна доставить бутерброды 23 предприятиям, в каждом из которых работает 14 сотрудников. Если предположить, что каждый сотрудник съедает один бутерброд, сколько бутербродов нужно приготовить Лизе?

23 предприятиям нужно 14 бутербродов, что составляет 23 лота по 14 или, другими словами, 23, умноженные на 14. Как мы уже обнаружили, мы можем записать расчет наоборот.14 × 23. Ответ будет таким же.

Нам нужно найти ответ на расчет 23 × 14.

Сначала запишите свои числа в столбцы, представляющие сотни, десятки и единицы (за помощью см. Нашу страницу Числа ).

Шаг 1: Начиная с правого столбца (единицы), умножьте 4 и 3.При необходимости вы можете обратиться к приведенной выше таблице умножения. Напишите ответ (12) под своим вычислением, стараясь поставить 1 в столбце десятков и 2 в столбце единиц.

Синие числа — это те, над которыми мы сейчас работаем, а розовые числа — это первая часть нашего ответа.

Сотни	Десятки	Шт.
	2	3
	1	4
	1	2

Шаг 2: Затем мы умножаем 4 на следующее число, равное 2 (или 20, потому что оно находится в столбце десятков).Напишите свой ответ внизу в столбце десятков: мы пишем 8 в столбце десятков (4 раза по 2 десятка) и ноль в столбце единиц (4 раза по 2 десятка это то же самое, что 4 × 20 = 80).

Шаг 3: В приведенных выше шагах мы умножили единицы нижнего числа (4) на верхнее число (23).Затем нам нужно умножить десятки в нижнем числе (1) на верхнее число (23). Теперь мы работаем с цифрой в столбце десятков нижнего числа и повторяем шаги, описанные выше. Оглядываясь на наши основные правила умножения, приведенные выше, мы знаем, что, умножая число на 10, мы пишем ноль в конце. На этом этапе, поскольку мы переместились по столбцу и работаем с десятками, мы должны не забыть записать нули в первый столбец (единицы).

Выполните 1 × 3. Как и выше, мы записываем наш ответ (3) в столбец десятков и (0) в столбец единиц.

Шаг 4: Последнее умножение, которое нам нужно выполнить, это 1 × 2.Оба числа находятся в столбце десятков, поэтому мы умножаем один лот из 10 на два лота по 10. Используя правила, которые мы узнали на предыдущих шагах, нам нужно записать ноль в столбец единиц и ноль в столбец десятков. Наш ответ (1 × 2 = 2) записан в столбце сотен, потому что мы фактически вычислили 10 × 20 = 200.

Этап 5: На этом этапе мы закончили умножение; остается только сложить все наши ответы (розовые числа), чтобы найти общее количество необходимых бутербродов.См. Нашу страницу Дополнение , если вам нужна помощь с суммированием чисел.

12 + 80 + 30 + 200 = 322. Мы подсчитали, что Лизе нужно сделать в общей сложности 322 бутербродов.

В приведенном выше примере показано, как выполнить умножение, разделенное на все возможные части, но по мере повышения уверенности можно пропустить шаги.

Мы могли бы, например, умножить 4 на 23, разбив сумму на меньшую:

4 × 20 = 80
4 × 3 = 12
80 + 12 = 92

Сотни	Десятки	Шт.
	2	3
	1	4
	9	2

Затем то же самое для второго столбца:

10 × 23 = 230

Наконец, мы складываем два наших ответа:

92 + 230 = 322.

Умножение более двух чисел

Если вам нужно перемножить более двух элементов, обычно проще перемножить первые два элемента, получить сумму, а затем умножить следующее число на первую сумму. Например, если Джо хотел вычислить, сколько часов он проработал за четырехнедельный период, то расчет выглядел бы так:

Джо работает 7 часов в день 5 дней в неделю в течение четырех недель.

Шаг первый:

7 × 5 = 35 (количество часов, которые Джо работает за одну неделю).

Шаг второй:

Чтобы узнать, сколько часов Джо работает за четыре недели, мы можем затем умножить этот ответ (35) на 4. 35 × 4 = 140.

Если мы знаем, что Джо платят 12 фунтов в час, мы можем затем подсчитать, сколько денег он заработал за четырехнедельный период: 12 × 140.

Быстрый способ решить это — вычислить:
10 × 140 = 1400 (помните, что если мы умножаем на 10, мы просто добавляем ноль в конец числа, на которое мы умножаем).
2 × 140 = 280 то же, что 2 × 14 (с нулем на конце) или 140 + 140.

Мы складываем наши ответы вместе: 1400 + 280 = 1680.
Таким образом, Джо заработал 1 680 фунтов стерлингов за четырехнедельный период.

Умножение отрицательных чисел

Умножение отрицательного числа на положительное всегда дает отрицательный ответ:

15 × (−4) = −60

Умножение отрицательного числа на другое отрицательное число всегда дает положительный ответ:

(−15) × (−4) = 60

Головоломка «Четыре четверки»: до бесконечности и дальше!

Всем привет! Поскольку мои последние две статьи были более подробными, я подумал, что на этой неделе мы займемся чем-то более доступным (но столь же интересным!).На прошлой неделе я взял отпуск на День отца, но эта статья не разочарует!

Мы будем рассматривать проблему под названием Four Fours.

Если вы когда-нибудь слышали о проблеме, она славится своей простотой и своей креативностью. Есть так много направлений, по которым вы можете пойти по этому пути, поэтому я очень рад узнать, что вы думаете!

В этой статье каждый раз, когда вы видите вопрос, выделенный жирным шрифтом, прекратите прокрутку! Посмотрите, сможете ли вы поиграть и ответить на этот вопрос, прежде чем продолжить, и вы получите немного больше удовольствия от процесса!

Начнем!

Задача «Четыре четверки» просто просит вас взять любое число и попытаться выразить его с помощью четырех четверок.Позвольте мне показать вам, что я имею в виду.

Сначала давайте использовать только сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы управлять нашими четверками. Вы также можете использовать любые круглые скобки.

Затем, если мы хотим получить 1 из четырех четверок, мы могли бы написать:

(4/4) * (4/4) = 1.

Если бы мы хотели получить 3, мы могли бы попробовать:

(4 + 4 + 4) / 4 = 3.

Или, если бы мы хотели получить 7, это сработало бы:

(4 + 4) — (4/4) = 7

Сколько чисел вы можете попытаться сделать? Как вы можете придумать, как их можно сделать разными способами?

Если прямо сейчас вам интересно, к чему эта статья, — несите меня! Эта маленькая головоломка может предложить больше, чем вы думали 🙂 Сегодня мы даже немного поговорим о программировании и рассмотрим, как расширить проблему до бесконечности.Однако в этой статье снаряжение будет немного ниже уровня сложности предыдущей.

Давайте сузимся до более конкретного вопроса: какие положительные целые числа меньше 20 вы можете составить?

Оказывается, можно сделать 14 из 20! Кто они такие?

Получили? Вот они:

1 = (4/4) * (4/4)

2 = (4/4) + (4/4)

3 = (4 + 4 + 4) / 4

4 = 4 + (4-4) * 4

5 = (4 + 4 * 4) / 4

6 = 4 + (4 + 4) / 4

7 = (4 + 4) — (4/4)

8 = (4 + 4) — (4-4)

9 = 4 + 4 + (4/4)

12 = 4 * (4- (4/4))

15 = 4 * 4-4 / 4

16 = 4 * 4 * (4/4)

17 = 4 * 4 + 4/4

20 = 4 * ((4/4) +4)

Я думаю, что интереснее то, что вы не можете выразить 10, 11, 13, 14 , 18 и 19 всего с четырьмя четверками, чем то, что вы можете выразить остальное.У нас четыре четверки и четыре операции, и все же мы ограничены. Чтобы проиллюстрировать это, попробуйте ответить на следующий вопрос:

Есть ровно 11 других положительных целых чисел, которые мы можем выразить с помощью сложения, умножения, вычитания, деления и четырех четверок. Кто они такие? Подсказка: наибольшее значение 256 = 4 * 4 * 4 * 4.

Вот они:

24 = (4 + 4 * 4) +4

28 = ((4 + 4) * 4) -4

32 = (4 * 4) + (4 * 4)

36 = ((4 + 4) * 4) +4

48 = (4 * 4-4) * 4

60 = 4 * 4 * 4-4

64 = (4 + 4) * (4 + 4)

68 = 4 * 4 * 4 + 4

80 = (4 * 4 + 4 ) * 4

128 = (4 * 4) * (4 + 4)

256 = 4 * 4 * 4 * 4

Вау, действительно есть только 25 целых чисел, которые мы можем выразить четырьмя четверками и основные четыре операции! Но не верьте мне на слово.Попробуйте и посмотрите, сможете ли вы придумать что-нибудь другое. Посмотрите, сможете ли вы убедить себя в том, что это правда, и даже попытайтесь это доказать!

Абстрактное обсуждение

В этом разделе я собираюсь рассказать о постановке задачи для ее программирования. Для меня изначально не было очевидно, сколько целых чисел можно выразить таким образом, поэтому я фактически запрограммировал его (на Python) и подтвердил, что ответ — 25.Вам не нужно знать, как программировать, чтобы понять, что я собираюсь сказать, и я думаю, что это дает некоторое представление о проблеме, но если это обсуждение станет для вас слишком абстрактным, не стесняйтесь переходить к следующему разделу. !

Я установил программу просто путем исчерпывающей проверки всех возможностей, установив 6 различных «классов» порядков операций в зависимости от того, сложили ли мы / вычли / умножили / разделили первую и вторую четыре первых, второй и третий четыре первых или третий и четвертый четыре первых (всего 3 варианта ).

Тогда у нас будет три числа, и мы сможем выбрать, применять ли мы следующую операцию к первым двум числам (первому и второму) или вторым двум числам (второму и третьему), в сумме 2 возможности .

Затем у нас осталось два числа, и мы должны применить к ним последнюю операцию ( 1 возможность ).

Они выбираются независимо, поэтому всего существует 6 возможностей.

Поскольку сложение, вычитание, умножение и деление должны применяться к двум числам , которые находятся на сразу после друг за другом в серии четверок, это все возможные комбинации.

Вот 6 классов (или приказов, в которых мы можем применять операции). Здесь я заменяю каждую операцию на #, а также перечисляю, к каким парам мы применяем операцию на каждом этапе. Например, 1-2, 2-3, 1-2 означает, что мы применили первую операцию к первым двум четверкам, затем следующие ко второму и третьему числам, оставшимся после применения первой операции, и, наконец, наша последняя операция к два в конце.

((4 # 4) # 4) # 4 1-2, 1-2, 1-2

(4 # 4) # (4 # 4) 1-2, 2-3, 1-2

(4 # (4 # 4)) # 4 2-3, 1-2, 1-2

4 # ((4 # 4) # 4) 2-3, 2-3, 1-2

(4 # 4) # (4 # 4) 3-4, 1-2, 1-2

4 # (4 # (4 # 4)) 3-4, 2-3, 1-2

Все это, — это аналитический способ отслеживания различных возможностей сложения / вычитания / умножения / деления наших четверок! Знак # служит заполнителем для наших возможных операций, и наши рассуждения помогли нам подтвердить, что у нас есть все возможные заказы.

Затем мы можем попросить компьютер подключиться и попробовать все возможные комбинации для каждого # — сложение, вычитание, умножение и деление — и, наконец, дать нам возможные числа в конце. (Но не волнуйтесь, вывод, к которому мы пришли в конце этой статьи, далеко не такой скромный, как этот!)

Пара конкретных примечаний:

Обратите внимание, что пятый и второй классы закончились быть таким же! Это потому, что мы, по сути, применяем операции к первым двум четверкам и вторым двум четверкам отдельно (и не имеет значения, какую пару мы делаем первой), прежде чем применять операцию в середине!

Заметьте также, что если мы используем сложение или умножение (потому что они коммутативны, если вы знаете это слово), некоторые классы в конечном итоге станут эквивалентными.Например, подключив в дополнение к первому и четвертому, мы получим: ((4 # 4) # 4) +4 = 4 + ((4 # 4) # 4)

Обратите внимание также, что многие из этих комбинаций могут заканчиваться как отрицательные числа или дроби, и мы должны их отфильтровать, когда программируем это. Мы также должны учитывать любые неопределенные комбинации, поскольку мы не можем делить на ноль.

Это помогает объяснить, почему мы получили только 25 чисел (поскольку многие комбинации могут оказаться одинаковыми или недействительными), но не объясняет это полностью.В конце концов, наша схема даст потенциальную насыпь 4 * 4 * 4 * 6 = 384 (4 операции, примененные 3 раза и 6 классов), но в итоге мы получим только 25 чисел. Я думаю, это свидетельство сложности проблемы — нужно проявить изобретательность, чтобы придумать новое число, которое будет работать!

Немного о программировании

Я хочу сказать, что программирование — действительно ценный навык, если вы хотите заниматься математикой. Некоторые проблемы лучше всего решать с помощью элегантных аргументов, таких как теоремы Six-Color и Five-Color , о которых я говорил в последних двух статьях, и что рассуждения являются сущностью математики.Однако иногда вы просто хотите знать ответ, и может быть даже трудно (или невозможно) решить задачу с помощью чистой математики. Вот где приходит кодирование — чтобы подтвердить то, что, по вашему мнению, является правдой, или найти для вас ответ на проблему. В конце концов, теорема о четырех цветах была доказана на компьютерах!

Кроме того, такого рода тщательные рассуждения, чтобы найти возможности, которые мы должны были попросить компьютер проверить, очень похожи на рассуждения, которые вам часто приходится применять в различных областях математики.Если вы когда-либо сталкивались с подобными проблемами, вы знаете, что лучший способ решения проблемы — это разделить треугольники, которые вы ищете, на классы: возможно, те, которые содержат один маленький треугольник, и те, которые содержат четыре, те, которые содержат девять, и так далее, чтобы подсчитать всю сумму. Математика укрепляет программирование, а программирование усиливает математику, так что вы, вероятно, будете хороши в одном, если будете хороши в другом!

Я не претендую на звание эксперта по компьютерному программированию — Я научился всему, что знаю, но я знаю несколько отличных ресурсов, к которым я могу направить вас, если вы хотите узнать больше .

Если вам интересен мой код, вы можете оставить комментарий, и я с вами его обсудю. И если вы умеете программировать, почему бы не попробовать написать что-нибудь самостоятельно? Это действительно показательное упражнение.

Хорошо, вернемся к проблеме!

С помощью основных операций мы можем найти только 25 чисел, но задача «Четыре четверки» требует от нас найти способ выразить ЛЮБОЕ число с помощью четырех четверок. Это довольно большой разрыв, чтобы попытаться восполнить его, но как мы можем его преодолеть? Что, если бы мы могли добавить в пакет некоторые операции, которые каким-то образом дали бы нам возможность создать любое число?

Попробуем сложить экспоненты!

Сколько дополнительных чисел вы можете создать с помощью экспонент? Просто экспериментируйте; Я не жду, что ты их всех найдешь.Теперь (4-4) вместо просто (4/4), и это дает нам больше способов манипулировать четверками, чтобы получить больше чисел.

Однако 78 все еще далеко от ЛЮБОГО положительного целого числа.

Попробуем добавить еще несколько операций.

А как насчет конкатенации? (Это просто причудливый термин для объединения цифр вместе. Например, мы можем получить 44, «объединив» 4 и 4.) Сколько вы можете создать сейчас?

Вот несколько новых возможностей отсюда:

44 = 44 * (4/4)

111 = 444/4

Но возможности все еще ограничены.

Вот где ключ. Нам нужно найти операцию, которую нам нужно применить только к одной четверке. Когда мы используем только операции, которые применяются к двум четверкам за раз, мы ограничиваем себя количеством возможных операций, которые у нас есть, тремя точками между четверками для их применения (4 # 4 # 4 # 4) и шестью заказы, в которых они могут быть применены. Комбинация этих ограничений — конечное число.

Но с помощью операции, которая может быть применена только к одному числу, мы можем применять ее бесконечное количество раз, и возможно , что мы могли бы достичь любого целого числа.Давайте посмотрим на некоторые из этих операций.

Если вы используете квадратный корень из , вам понадобится всего одна 4, чтобы применить его. Мы можем волшебным образом превратить любую 4 в 2 с помощью квадратного корня. sqrt (4) = 2, и мы, конечно, можем пойти даже дальше, чем с несколькими квадратными корнями.

Это позволяет нам наконец получить способ выразить 10 (как 4 + 4 + 4 — sqrt (4)) и получить способ выразить 13 (как 44/4 + sqrt (4)).

Фактически, если мы допустим еще одну операцию, факториал , , который говорит нам умножить все числа, меньшие или равные числу, к которому мы его применяем (так что 4 факториала, записанного 4! Равняется 4 * 3 * 2 = 24 и 3! Равно 3 * 2 = 6), мы можем получить другое число всего с одним 4: 4! = 24.

Это позволяет нам наконец-то выразить первые 20 целых чисел в виде четырех четверок:

 1 = Я

2 = II

3 = III

4 = IV

5 = V

6 = VI

7 = VII

8 = VIII

9 = IX

10 = 

 11 = XI

12 = XII

13 = XIII

14 = XIV

15 = XV

16 = XVI

17 = XVII

18 = XVIII

19 = XIX

20 = XX

21 = XXI 

 25 = XXV

30 = XXX

40 = XL

49 = XLIX

50 = L

51 = LI

60 = LX

70 = LXX

80 = LXXX

90 = ХС

99 = XCIX