Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке примеры: Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшее и наименьшее значение функции

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала x, который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [a; b], так и открытый интервал (a; b), (a; b], [a; b), бесконечный интервал (a; b), (a; b], [a; b) либо бесконечный промежуток -∞; a, (-∞; a], [a; +∞), (-∞; +∞).

В этом материале мы расскажем, как вычисляется наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x)y=f(x).

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

Определение 1

Наибольшее значение функции y=f(x) на некотором промежутке x – это значение max y=f(x0)x∈X, которое при любом значении xx∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≤f(x0).

Определение 2

Наименьшее значение функции y=f(x) на некотором промежутке x– это значение minx∈Xy=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(Xf(x)≥f(x0).

Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее самое большое значение на известном интервале при абсциссе x0, а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x0.

Определение 3

Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0.

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (max y и min y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [-6;6].

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [1;6] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [-3;2]. Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает max y (наибольшее значение) и min y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (-6;6).

Если мы возьмем интервал [1;6), то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x, равном 6, если бы x=6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5.

На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала (-3;2], а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь max y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1. Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y=3.

Если мы возьмем интервал x∈2; +∞, то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2, то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x=2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y=3. Именно этот случай изображен на рисунке 8.

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.

Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x=a и x=b.
5. У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 1

Условие: задана функция y=x3+4×2. Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [1;4] и [-4;-1].

Решение:

Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0. Иными словами, D(y): x∈(-∞; 0)∪0; +∞. Оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y’=x3+4×2’=x3+4’·x2-x3+4·x2’x4==3×2·x2-(x3-4)·2xx4=x3-8×3

Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1].

Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x3-8×3=0. У него есть только один действительный корень, равный 2. Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [1;4].

Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x=1, x=2 и x=4:

y(1)=13+412=5y(2)=23+422=3y(4)=43+442=414

Мы получили, что наибольшее значение функции max yx∈[1; 4]=y(2)=3 будет достигнуто при x=1, а наименьшее min yx∈[1; 4]=y(2)=3 – при x=2.

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

y(-1)=(-1)3+4(-1)2=3

Значит, max yx∈[-4; -1]=y(-1)=3, min yx∈[-4; -1]=y(-4)=-334.

Ответ: Для отрезка [1;4] — max yx∈[1; 4]=y(2)=3, min yx∈[1; 4]=y(2)=3, для отрезка [-4;-1] — max yx∈[-4; -1]=y(-1)=3, min yx∈[-4; -1]=y(-4)=-334.

См. на рисунке:

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0, решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.

Если интервал имеет вид [a;b), то нам надо вычислить значение функции в точке x=a и односторонний предел limx→b-0f(x).
Если интервал имеет вид (a;b], то нам надо вычислить значение функции в точке x=b и односторонний предел limx→a+0f(x).
Если интервал имеет вид (a;b), то нам надо вычислить односторонние пределы limx→b-0f(x),limx→a+0f(x).
Если интервал имеет вид [a; +∞), то надо вычислить значение в точке x=a и предел на плюс бесконечности limx→+∞f(x).
Если интервал выглядит как (-∞; b], вычисляем значение в точке x=b и предел на минус бесконечности limx→-∞f(x).
Если -∞; b, то считаем односторонний предел limx→b-0f(x) и предел на минус бесконечности limx→-∞f(x)
Если же -∞; +∞, то считаем пределы на минус и плюс бесконечности limx→+∞f(x), limx→-∞f(x).

В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4-8 в первой части материала.

Пример 2

Условие: дана функция y=3e1x2+x-6-4. Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах -∞; -4, -∞; -3, (-3;1], (-3;2), [1;2), 2; +∞, [4; +∞).

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0:

x2+x-6=0D=12-4·1·(-6)=25×1=-1-52=-3×2=-1+52=2⇒D(y): x∈(-∞; -3)∪(-3; 2)∪(2; +∞)

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

y’=3e1x2+x-6-4’=3·e1x2+x-6’=3·e1x2+x-6·1×2+x-6’==3·e1x2+x-6·1’·x2+x-6-1·x2+x-6′(x2+x-6)2=-3·(2x+1)·e1x2+x-6×2+x-62

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x=-12. Это стационарная точка, которая находится в интервалах (-3;1] и (-3;2).

Вычислим значение функции при x=-4 для промежутка (-∞; -4], а также предел на минус бесконечности:

y(-4)=3e1(-4)2+(-4)-6-4=3e16-4≈-0.456limx→-∞3e1x2+x-6=3e0-4=-1

Поскольку 3e16-4>-1, значит, max yx∈(-∞; -4]=y(-4)=3e16-4. Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение -1, поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.

Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к -3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:

limx→-3-03e1x2+x-6-4=limx→-3-03e1(x+3)(x-3)-4=3e1(-3-0+3)(-3-0-2)-4==3e1(+0)-4=3e+∞-4=+∞limx→-∞3e1x2+x-6-4=3e0-4=-1

Значит, значения функции будут расположены в интервале -1; +∞

Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x=-12, если x=1. Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к -3 с правой стороны:

y-12=3e1-122+-12-6-4=3e425-4≈-1.444y(1)=3e112+1-6-4≈-1.644limx→-3+03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1-3+0+3(-3+0-2)-4==3e1(-0)-4=3e-∞-4=3·0-4=-4

У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке max yx∈(3; 1]=y-12=3e-425-4. Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до -4.

Для интервала (-3;2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:

y-12=3e1-122+-12-6-4=3e-425-4≈-1.444limx→-3+03e1x2+x-6-4=-4limx→2-03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2-0+3)(2-0-2)-4==3e1-0-4=3e-∞-4=3·0-4=-4

Значит, max yx∈(-3; 2)=y-12=3e-425-4, а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом -4.

Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [1;2) наибольшее значение функция примет при x=1, а найти наименьшее невозможно.

На промежутке (2; +∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка -1; +∞.

limx→2+03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2+0+3)(2+0-2)-4==3e1(+0)-4=3e+∞-4=+∞limx→+∞3e1x2+x-6-4=3e0-4=-1

Вычислив, чему будет равно значение функции при x=4, выясним, что max yx∈[4; +∞)=y(4)=3e114-4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y=-1.

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Решение задач

Отыскание максимумов и минимумов — одна из самых распространенных задач при исследованиях функций.
Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение, либо в критических точках (в точках, в которых производная обращается в нуль или не существует), принадлежащих исследуемому промежутке, или на его концах .

На практике нахождения максимумов и минимумов похоже на отыскания локального экстремума, только добавляются края промежутка. Возможны случаи, когда максимумы и минимумы функций находятся в точках локального экстремума, а возможные — на краях отрезка.

Рассмотрим ряд примеров, чтобы ознакомить Вас с методикой исследования.

————————————

Примеры.

Определить наибольшее и наименьшее значение фунции на промежутке.

Сборник В.Ю. Клепко, В.Л. Голец «Высшая математика в примерах и задачах».

1. (4.55.б)

Функция определена на всем множестве действительных чисел

Найдем производную функции

Приравняем ее к нулю и определим критические точки

Проверим знак производной слева и справа от найденной точки

Производная при переходе через точку меняет знак с положительного на отрицательный , следовательно она является точкой локального максимума.

Найдем значение функции в точке

и на краях отрезка

Таким образом функция достигает максимума в точке локального экстремума и минимума на одном из краев отрезка .

2. (4.55.д)

На заданном промежутке функция определена; вычислим ее производную

Приравнивая нуля найдем критическую точку

Заданная точка принадлежит отрезку. Найдем значения функции во всех точках

Функция приобретает максимум и минимум в точках

3. (4.55.є)

Функция определена для всех значений аргумента .

Найдем производную

Из выражения видно, что производная отлична от нуля на промежутке определения, однако в точке она не существует.

Вычислим значение функции

Наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение в критической точке .

————————————

Приведем решения задач из сборника Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика».

4. (5.770)

Функция определена везде, потому приступим сразу к вычислению производной

Приравняем ее к нулю и находим критические точки

Найдем значения функции во всех подозрительных на экстремум точках

Из полученного набора значений следует, что функция принимает максимум и минимум на краях отрезка

5. (5.771)

На заданном интервале функция определена, проводим дифференцировку

Приравняв к нулю производную получим

Другую критическую точку найдем из условия, что производная не существует

Одна совпадает с началом отрезка. Вычислим значение функции на краях отрезка и в критических точках

Таким образом функция принимает максимальное значение в критической точке, а минимальное на конце отрезка

Из приведенных решений можно сделать выводы, что главным в исчислении является знание функций и умение дифференцировать. Все остальное сводится к отысканию значений функций в точках и анализа результатов. Изучайте свойства элементарных функций, правила нахождения производных, это Вам пригодится при решении примеров.

———————————————-

Посмотреть материалы:

Наименьшее значение функции f x. Наибольшее и наименьшее значение функции. Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$ на отрезке $$

На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения. На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума функции. На правом рисунке — на концах отрезка.

Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .

Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции — следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, — в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция — многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :

Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .

Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x — сторона основания, h — высота резервуара, S — площадь его поверхности без крышки, V — его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, — единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность .

Функция f (x ) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:
x 1 x 1 ) x 2 ).
Функция f (x ) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:
x 1 x 1 ) > f (x 2 ).

Другими словами, для возрастающей функции чем больше x , тем больше f (x ). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x , тем меньше f (x ).

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0.

f (x ) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0:

f (x ) = a x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax 2 + bx + c . Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

Ветви параболы — могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a
Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы , абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x 0 тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x 0 для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a ) и f (b ) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
Но таких точек всего одна — это вершина параболы x 0 , координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

Выписать уравнение параболы y = ax 2 + bx + c и найти ее вершину по формуле: x 0 = −b /2a ;
Найти значение исходной функции в этой точке: f (x 0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Под корнем стоит квадратичная функция y = x 2 + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x 0 = −3 функция y = x 2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x 0 — точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x 2 + 2x + 9. График — парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке x 0 = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log 2 x — монотонная, поэтому:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = … = log 2 8 = 3

В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4x − x 2 . Перепишем ее в нормальном виде: y = −x 2 − 4x + 1.

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз (a = −1

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x 0 = −2:

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка , а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x 2 . Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x 0 = −1 принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x 0 , а также на концах ОДЗ:

y (−3) = y (1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x − x 2 − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

Ищем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

Найти производную функции.
Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 на отрезке .

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
Производная функции равна: y’ = 3x 2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
Нули производной: y’ = 3x 2 – 36x + 81 = 0, значит x 2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x (x -9) 2 +23:
- y (8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- y (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- y (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

Найти область определения функции.
Найти производную функции.
Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции.

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Правила ввода функций :

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f» 0 (x *) = 0 — это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:

F» 0 (x *) = 0
f»» 0 (x *) > 0

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

F» 0 (x *) = 0
f»» 0 (x *)

То точка x * — локальный (глобальный) максимум.

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Решение.

Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max

В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами

и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Очередной канун Нового Года… морозная погода и снежинки на оконном стекле… Все это побудило меня вновь написать о… фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.

Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: «Фракталы — это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией».

Дети и учеба — Информационный портал

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования… Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:»Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке

На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале

На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .

На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности

В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее — они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке ;
на отрезке [-4;-1] .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1 , x=2 и x=4 :

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):

Решение.

Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:

Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.

Продифференцируем функцию:

Очевидно, производная существует на всей области определения функции.

Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1] и (-3;2) .

А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты.

На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов.

Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала x , который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [ a ; b ] , так и открытый интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , бесконечный интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) либо бесконечный промежуток — ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

Определение 1

Наибольшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке x – это значение m a x y = f (x 0) x ∈ X , которое при любом значении x x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f (x) ≤ f (x 0) .

Определение 2

Наименьшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке x – это значение m i n x ∈ X y = f (x 0) , которое при любом значении x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее самое большое значение на известном интервале при абсциссе x 0 , а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x 0 .

Определение 3

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (m a x y и m i n y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [ — 6 ; 6 ] .

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [ — 3 ; 2 ] . Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.

Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает m a x y (наибольшее значение) и m i n y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (- 6 ; 6) .

Если мы возьмем интервал [ 1 ; 6) , то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x , равном 6 , если бы x = 6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5 .

На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала (- 3 ; 2 ] , а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.

На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь m a x y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1 . Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 .

Если мы возьмем интервал x ∈ 2 ; + ∞ , то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2 , то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x = 2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 . Именно этот случай изображен на рисунке 8 .

Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x = a и x = b .
5. У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Пример 1

Условие: задана функция y = x 3 + 4 x 2 . Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .

Решение:

Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0 . Иными словами, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y » = x 3 + 4 x 2 » = x 3 + 4 » · x 2 — x 3 + 4 · x 2 » x 4 = = 3 x 2 · x 2 — (x 3 — 4) · 2 x x 4 = x 3 — 8 x 3

Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .

Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x 3 — 8 x 3 = 0 . У него есть только один действительный корень, равный 2 . Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [ 1 ; 4 ] .

Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x = 1 , x = 2 и x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Мы получили, что наибольшее значение функции m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 будет достигнуто при x = 1 , а наименьшее m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – при x = 2 .

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Значит, m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 4) = — 3 3 4 .

Ответ: Для отрезка [ 1 ; 4 ] — m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , для отрезка [ — 4 ; — 1 ] — m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 4) = — 3 3 4 .

См. на рисунке:

Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0 , решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.

Если интервал имеет вид [ a ; b) , то нам надо вычислить значение функции в точке x = a и односторонний предел lim x → b — 0 f (x) .
Если интервал имеет вид (a ; b ] , то нам надо вычислить значение функции в точке x = b и односторонний предел lim x → a + 0 f (x) .
Если интервал имеет вид (a ; b) , то нам надо вычислить односторонние пределы lim x → b — 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
Если интервал имеет вид [ a ; + ∞) , то надо вычислить значение в точке x = a и предел на плюс бесконечности lim x → + ∞ f (x) .
Если интервал выглядит как (- ∞ ; b ] , вычисляем значение в точке x = b и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f (x) .
Если — ∞ ; b , то считаем односторонний предел lim x → b — 0 f (x) и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f (x)
Если же — ∞ ; + ∞ , то считаем пределы на минус и плюс бесконечности lim x → + ∞ f (x) , lim x → — ∞ f (x) .

В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4 — 8 в первой части материала.

Пример 2

Условие: дана функция y = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 . Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах — ∞ ; — 4 , — ∞ ; — 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Решение

x 2 + x — 6 = 0 D = 1 2 — 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = — 1 — 5 2 = — 3 x 2 = — 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; — 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

y » = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 » = 3 · e 1 x 2 + x — 6 » = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 x 2 + x — 6 » = = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 » · x 2 + x — 6 — 1 · x 2 + x — 6 » (x 2 + x — 6) 2 = — 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x — 6 x 2 + x — 6 2

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x = — 1 2 . Это стационарная точка, которая находится в интервалах (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .

Вычислим значение функции при x = — 4 для промежутка (- ∞ ; — 4 ] , а также предел на минус бесконечности:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) — 6 — 4 = 3 e 1 6 — 4 ≈ — 0 . 456 lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 = 3 e 0 — 4 = — 1

Поскольку 3 e 1 6 — 4 > — 1 , значит, m a x y x ∈ (- ∞ ; — 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 — 4 . Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение — 1 , поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.

Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к — 3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:

lim x → — 3 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 — 0 3 e 1 (x + 3) (x — 3) — 4 = 3 e 1 (- 3 — 0 + 3) (- 3 — 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 (+ 0) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1

Значит, значения функции будут расположены в интервале — 1 ; + ∞

Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x = — 1 2 , если x = 1 . Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к — 3 с правой стороны:

y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 — 6 — 4 ≈ — 1 . 644 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x — 2) — 4 = 3 e 1 — 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 (- 0) — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4

У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 . Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до — 4 .

Для интервала (- 3 ; 2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:

y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e — 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = — 4 lim x → 2 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x — 2) — 4 = 3 e 1 (2 — 0 + 3) (2 — 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 — 0 — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4

Значит, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 , а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом — 4 .

Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [ 1 ; 2) наибольшее значение функция примет при x = 1 , а найти наименьшее невозможно.

На промежутке (2 ; + ∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка — 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x — 2) — 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) (2 + 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 (+ 0) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1

Вычислив, чему будет равно значение функции при x = 4 , выясним, что m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 — 4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y = — 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность .

Функция f (x ) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:
x 1 x 1 ) x 2 ).
Функция f (x ) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:
x 1 x 1 ) > f (x 2 ).

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0.

f (x ) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0:

f (x ) = a x (a > 0)

Координаты вершины параболы

Ветви параболы — могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a
Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы , абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x 0 для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a ) и f (b ) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
Но таких точек всего одна — это вершина параболы x 0 , координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

Выписать уравнение параболы y = ax 2 + bx + c и найти ее вершину по формуле: x 0 = −b /2a ;
Найти значение исходной функции в этой точке: f (x 0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x 0 = −3 функция y = x 2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x 0 — точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x 2 + 2x + 9. График — парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = … = log 2 8 = 3

В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4x − x 2 . Перепишем ее в нормальном виде: y = −x 2 − 4x + 1.

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз (a = −1

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x 0 = −2:

Следствия из области определения функции

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x 2 . Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

y (−3) = y (1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5

Ищем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Понятие наибольшего и наименьшего значений функции.

Понятие набольшего и наименьшего значений тесно связано с понятием критической точки функции.

Определение 1

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ — внутренняя точка области определения;

2) $f»\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Введем теперь определения наибольшего и наименьшего значения функции.

Определение 2

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наибольшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство

Определение 3

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наименьшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство

Теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции

Введем для начала понятие непрерывной на отрезке функции:

Определение 4

Функция $f\left(x\right)$ называется непрерывной на отрезке $$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$, а также непрерывна справа в точке $x=a$ и слева в точке $x=b$.

Сформулируем теорему о непрерывной на отрезке функции.

Теорема 1

Теорема Вейерштрасса

Непрерывная на отрезке $$ функция $f\left(x\right)$ достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения, то есть существуют точки $\alpha ,\beta \in $ такие, что для всех $x\in $ выполняется неравенство $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

Геометрическая интерпретация теоремы изображена на рисунке 1.

Здесь функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения в точке $x=\alpha $ достигает своего наибольшего значения в точке $x=\beta $.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$ на отрезке $$

1) Найти производную $f»(x)$;

2) Найти точки, в которых производная $f»\left(x\right)=0$;

3) Найти точки, в которых производная $f»(x)$ не существует;

4) Выбрать из полученных в пунктах 2 и 3 точек те, которые принадлежат отрезку $$;

5) Вычислить значение функции в точках, полученных в пункте 4, а также на концах отрезка $$;

6) Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее значение.

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке : $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Решение.2}=0\] \ \

3) $f»(x)$ не существует в точке $x=1$

4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, однако 1 не принадлежит области определения;

5) Значения:

\ \ \

6) Наибольшее из найденных значений — $1$, наименьшее из найденных значений — $-8\frac{1}{3}$. Таким образом, получим: \end{enumerate}

Ответ: $max=1,\ min==-8\frac{1}{3}$.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

Найти производную функции.
Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 на отрезке .

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
Производная функции равна: y’ = 3x 2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
Нули производной: y’ = 3x 2 – 36x + 81 = 0, значит x 2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x (x -9) 2 +23:
y (8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
y (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
y (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

Найти область определения функции.
Найти производную функции.
Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции | ЕГЭ по математике (профильной)

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

Найти производную функции $f'(х)$
Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$

Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.3-5=6-90-5= -89$
Наибольшее значение равно $967$
Ответ: $967$
Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке
Если функция $y=f(x)$ определена и непрерывна на отрезке $[a;b]$, то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение $M$ функция $f(x)$ принимает в точке $x_0\in[a;b]$, то $M=f(x_0)$ будет локальным максимумом функции $f(x)$, так как в этом случае существует окрестность точки $x_0$, такая, что $f(x)\le f(x_0)$.
Однако свое наибольшее значение $M$ функция $f(x)$ может принимать и на концах отрезка $[a;b]$. Поэтому, чтобы найти наибольшее значение $M$, непрерывной на отрезке $[a;b]$, функции $f(x)$, надо найти все максимумы функции на интервале $(a;b)$ и значения $f(x)$ на концах отрезка $[a;b]$, то есть $f(a)$ и $f(b)$, и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.
Наименьшим значением $m$ непрерывной на отрезке $[a;b]$ функции $f(x)$ будет наименьший минимум среди всех минимумов функции $f(x)$ на интервале $(a;b)$ и значений $f(a)$ и $f(b)$.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значения функции на отрезке, нужно исследовать поведение функции на данном отрезке с помощью производной.
Для этого мы следуем известному алгоритму:
Находим ОДЗ функции.

Находим производную функции.

Приравниваем производную к нулю.

Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции: а) если на промежутке I производная функции $f'(x)>0$, то функция $y=f(x)$ возрастает на этом промежутке; б) если на промежутке I производная функции $f'(x)<0$, то функция $y=f(x)$ убывает на этом промежутке.2} — 2 \cdot 4 + 5 = 13}.\)
Следовательно, наибольшее значение функции равно $f(4)=13$, а наименьшее значение составляет $f(1)=4$.
наибольшее значение функции на отрезке онлайн
Вы искали наибольшее значение функции на отрезке онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и наибольшее значение функции онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «наибольшее значение функции на отрезке онлайн».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как наибольшее значение функции на отрезке онлайн,наибольшее значение функции онлайн,наибольшее значение функции онлайн на отрезке,наибольшее и наименьшее значение функции калькулятор онлайн,наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке онлайн,наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке онлайн калькулятор,наибольшее и наименьшее значение функции онлайн,наибольшее и наименьшее значение функции онлайн калькулятор,наименьшее значение функции на отрезке онлайн,наименьшее значение функции онлайн,наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке онлайн,наименьшее и наибольшее значение функции онлайн,наименьшее и наибольшее значение функции онлайн калькулятор,найти наибольшее значение функции на отрезке онлайн,найти наибольшее значение функции онлайн калькулятор,найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке онлайн,найти наибольшее и наименьшее значение функции онлайн,найти наибольшее и наименьшее значение функции онлайн калькулятор,найти наибольшее и наименьшее значение функции онлайн на отрезке,найти наименьшее значение функции на отрезке онлайн,найти наименьшее значение функции на отрезке онлайн калькулятор,найти наименьшее значение функции онлайн калькулятор с решением,найти наименьшее значение функции онлайн на отрезке,найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке онлайн,найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке онлайн с решением,нахождение наибольшего и наименьшего значения функции онлайн,онлайн калькулятор наибольшее и наименьшее значение функции,онлайн калькулятор наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке,онлайн калькулятор найти наибольшее значение функции,онлайн калькулятор найти наибольшее и наименьшее значение функции,онлайн наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке,онлайн наименьшее значение функции на отрезке,онлайн найти наибольшее значение функции на отрезке,онлайн найти наименьшее значение функции на отрезке,онлайн нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и наибольшее значение функции на отрезке онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, наибольшее значение функции онлайн на отрезке).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же наибольшее значение функции на отрезке онлайн Онлайн?
Решить задачу наибольшее значение функции на отрезке онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
4.7 Максимальные / минимальные задачи — Расчетный том 3
Используя стратегию решения проблем, шаг 11 включает нахождение критических точек ff в его области. Поэтому сначала мы вычисляем fx (x, y) fx (x, y) и fy (x, y), fy (x, y), а затем устанавливаем их каждое равным нулю:
fx (x, y) = 48−2x − 2yfy (x, y) = 96−2x − 18y. fx (x, y) = 48−2x − 2yfy (x, y) = 96−2x − 18y.
Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений
48−2x − 2y = 096−2x − 18y = 0,48−2x − 2y = 096−2x − 18y = 0.
Решение этой системы: x = 21x = 21 и y = 3.у = 3. Следовательно, (21,3) (21,3) является критической точкой ф.ф. Вычисление f (21,3) f (21,3) дает f (21,3) = 48 (21) +96 (3) −212−2 (21) (3) −9 (3) 2 = 648.f (21,3) = 48 (21) +96 (3) −212−2 (21) (3) −9 (3) 2 = 648.
Область определения этой функции — 0≤x≤500≤x≤50 и 0≤y≤250≤y≤25, как показано на следующем графике.
Рис. 4.57. График области определения функции f (x, y) = 48x + 96y − x2−2xy − 9y2.f (x, y) = 48x + 96y − x2−2xy − 9y2.
L1L1 — это отрезок линии, соединяющий (0,0) (0,0) и (50,0), (50,0), и его можно параметризовать уравнениями x (t) = t, y (t) = 0x (t) = t, y (t) = 0 для 0≤t≤50.0≤t≤50. Затем мы определяем g (t) = f (x (t), y (t)): g (t) = f (x (t), y (t)):
g (t) = f (x (t), y (t)) = f (t, 0) = 48t + 96 (0) −y2−2 (t) (0) −9 (0) 2 = 48t− t2.g (t) = f (x (t), y (t)) = f (t, 0) = 48t + 96 (0) −y2−2 (t) (0) −9 (0) 2 = 48т − t2.
Установка g ′ (t) = 0g ′ (t) = 0 дает критическую точку t = 24, t = 24, которая соответствует точке (24,0) (24,0) в области f.f. Вычисление f (24,0) f (24,0) дает 576,576.
L2L2 — это отрезок прямой, соединяющий и (50,25), (50,25), и он может быть параметризован уравнениями x (t) = 50, y (t) = tx (t) = 50, y (t ) = t для 0≤t≤25.0≤t≤25. И снова мы определяем g (t) = f (x (t), y (t)): g (t) = f (x (t), y (t)):
g (t) = f (x (t), y (t)) = f (50, t) = 48 (50) + 96t − 502−2 (50) t − 9t2 = −9t2−4t − 100.g (t) = f (x (t), y (t)) = f (50, t) = 48 (50) + 96t − 502−2 (50) t − 9t2 = −9t2−4t − 100.
Эта функция имеет критическую точку при t = −29, t = −29, что соответствует точке (50, −29). (50, −29). Этот пункт не входит в компетенцию f.f.
L3L3 — это отрезок прямой, соединяющий (0,25) и (50,25), (0,25) и (50,25), и его можно параметризовать уравнениями x (t) = t, y (t) = 25x (t) = t, y (t) = 25 для 0≤t≤50.0≤t≤50. Определим g (t) = f (x (t), y (t)): g (t) = f (x (t), y (t)):
g (t) = f (x (t), y (t)) = f (t, 25) = 48t + 96 (25) −t2−2t (25) −9 (252) = — t2−2t − 3225 .g (t) = f (x (t), y (t)) = f (t, 25) = 48t + 96 (25) −t2−2t (25) −9 (252) = — t2−2t− 3225.
Эта функция имеет критическую точку при t = −1, t = −1, которая соответствует точке (−1,25), (- 1,25), которой нет в области определения.
L4L4 — это отрезок линии, соединяющий (0,0) с (0,25), (0,0) с (0,25), и его можно параметризовать уравнениями x (t) = 0, y (t) = tx (t) = 0, y (t) = t для 0≤t≤25.0≤t≤25. Определим g (t) = f (x (t), y (t)): g (t) = f (x (t), y (t)):
g (t) = f (x (t), y (t)) = f (0, t) = 48 (0) + 96t− (0) 2−2 (0) t − 9t2 = 96t − t2.g (t) = f (x (t), y (t)) = f (0, t) = 48 (0) + 96t− (0) 2−2 (0) t − 9t2 = 96t − t2.
Эта функция имеет критическую точку при t = 163, t = 163, что соответствует точке (0,163), (0,163), которая находится на границе области. Вычисление f (0,163) f (0,163) дает 256,256.
Нам также нужно найти значения f (x, y) f (x, y) в углах его области. Эти углы расположены в точках (0,0), (50,0), (50,25) и (0,25) 🙁 0,0), (50,0), (50,25) и (0, 25):
f (0,0) = 48 (0) +96 (0) — (0) 2−2 (0) (0) −9 (0) 2 = 0f (50,0) = 48 (50) +96 ( 0) — (50) 2−2 (50) (0) −9 (0) 2 = −100f (50,25) = 48 (50) +96 (25) — (50) 2−2 (50) ( 25) −9 (25) 2 = −5825f (0,25) = 48 (0) +96 (25) — (0) 2−2 (0) (25) −9 (25) 2 = −3225.f (0,0) = 48 (0) +96 (0) — (0) 2−2 (0) (0) −9 (0) 2 = 0f (50,0) = 48 (50) +96 ( 0) — (50) 2−2 (50) (0) −9 (0) 2 = −100f (50,25) = 48 (50) +96 (25) — (50) 2−2 (50) ( 25) −9 (25) 2 = −5825f (0,25) = 48 (0) +96 (25) — (0) 2−2 (0) (25) −9 (25) 2 = −3225.
Максимальное критическое значение составляет 648 648, что соответствует (21,3). (21,3). Таким образом, максимальная прибыль в размере 648 000 долларов США составляет 648 000 долларов США при продаже 21 000 21 000 мячей для гольфа и покупке 33 часов рекламы в месяц, как показано на следующем рисунке.
Рис. 4.58. Функция прибыли f (x, y) f (x, y) имеет максимум в (21,3 648).(21 348).
Это наименьшее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение функции
В задании B14 из эге по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это довольно тривиальная задача математического анализа, и именно по этой причине научиться решать ее обычно может каждый выпускник средней школы. Разберем несколько примеров того, как школьники решились на диагностическую работу по математике, которая прошла в Москве 7 декабря 2011 года.
В зависимости от разрыва, в котором вы хотите найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой проблемы используется один из следующих стандартных алгоритмов.
I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:
Найдите производную функцию.
Выберите из точек от подозрительных до экстремума те, которые принадлежат этому сегменту и области определения функции.
Расчет значений функций (не выводится!) В этих точках.
Среди полученных значений выберите наибольшее или наименьшее, оно будет желаемым.
Пример 1. Найдите наименьшую функцию
y. = х. 3 — 18 х. 2 + 81 х. + 23 на сегменте.
Решение: Действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:
Область определения поля не ограничена: D (Y) = R.
Производная функция: y ‘ = 3 x. 2 — 36 х. + 81. Область определения производной функции также не ограничивается: D (Y ‘) = R.
Производная нулей: y ‘ = 3 x. 2 — 36 х. + 81 = 0, значит х. 2 — 12 х. + 27 = 0, откуда х. = 3 I. х. = 9, в наш разрыв входит только х. = 9 (один балл, подозрительно до экстремума).
Находим значение функции в точке, подозрительной к экстремуму, и на краях разрыва. Для удобства вычислений представьте функцию в виде: y. = х. 3 — 18 х. 2 + 81 х. + 23 = х. ( х -9) 2 +23:
г. (8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
г. (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
г. (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.
Итак, из полученных значений наименьшее — 23. Ответ: 23.
II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:
Найдите область определения функции.
Найдите производную функцию.
Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функция обращается к нулю, и точки, в которых нет двусторонней терминальной производной).
Отметьте эти точки и область определения поля на числовом прямом и определите символы производной (Не функции!) На результирующих интервалах.
Определение значений функций (не производных!) В точках минимума (тех точках, в которых знак производной меняется с минуса на плюс) наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то функция не имеет наименьшего значения.
Определить значения функций (не производные!) В точках максимума (тех точках, в которых знак производной меняется с плюса на минус) наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функция. Если максимальных точек нет, то функция не имеет наибольшего значения.
Пример 2. Найдите наибольшее значение функции.
Наибольшее значение функции вызывается наибольшим из наименьшего значения — наименьшим из всех ее значений.
Функция может иметь только одно наибольшее и только одно наименьшее значение или может не иметь их вообще. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основано на следующих свойствах этих функций:
1) Если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция y = f (x) непрерывна и имеет только один экстремум и если она максимальная (минимальная), то она будет наибольшей (наименьшей) функцией функции в этот интервал.
2) если функция f (x) непрерывна на некотором отрезке, она обязательно имеет наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке.Эти значения достигаются либо в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, либо на границах этого отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений отрезка рекомендуется использовать следующую схему:
1. Найдите производную.
2. Найдите критические точки функции, в которой = 0 или не существует.
3. Найдите значения функции в критических точках и на концах отрезка и выберите из них наибольшее значение F Naja и наименьшее значение F жидкости.
При решении прикладных задач, в частности оптимизации, важны задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений (глобального максимума и глобального минимума) функции в диапазоне X, для решения таких задач, исходя из условия , выберите независимую переменную и укажите переменную экстента. Затем найдите желаемое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.
Пример. Емкость, имеющая форму разомкнутого прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно обвести оловом изнутри. Каким должен быть размер бачка при его емкости 108 литров. Воды, чтобы стоимость его лужения была наименьшей?
Решение. Стоимость покрытия резервуара Оловом будет наименьшей, если она будет минимальной на этой емкости. Обозначим DM — сторона основания, b dm — высота резервуара. Тогда квадрат s его поверхности равен
.
И
Полученное соотношение устанавливает соотношение между площадью поверхности резервуара s (функция) и основанием основания A (аргумент).Исследуем функцию s на экстремуме. Находим первую производную, приравниваем ее нулю и решаем получившееся уравнение:
Отсюда а = 6. (а)> 0 при а> 6, (а)
Пример . Найдите наибольшее и наименьшее значения функции На интервале.
Решение : Указанная функция непрерывна на всей числовой оси. Производная функция
Производная с и в. Вычислить значения функции в этих точках:
.
Значения функции на концах указанного промежутка равны. Следовательно, наибольшее значение функции равно, наименьшее значение функции равно.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте правило Лопиталя для выявления неопределенностей формы. Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия которых можно использовать правило Лопиталя.
2. Слово признаки возрастающей и убывающей функции.
3. Дайте максимальную и минимальную функцию.
4. Сформулируйте предпосылку существования Экстремума.
5. Какие значения аргумента (какие точки) называются критическими? Как найти эти точки?
6. Каковы достаточные признаки существования экстремальной функции? Представьте функцию исследования экстремума с помощью первой производной.
7. Обрисуйте схему исследования функции до экстремума, используя вторую производную.
8. Дайте определение выпуклости, кривой вогнутости.
9. Что называется точкой перегиба графика функции? Укажите способ нахождения этих точек.
10. Назовите необходимые и достаточные признаки выпуклости и вогнутости кривой на данном участке.
11. Дайте определение асимптоты кривой. Как найти графики графиков вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот?
12. Дайте общую схему исследования функции и построения ее расписания.
13. Word правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке.
В этой статье я расскажу об алгоритме для нахождения наибольшего и наименьшего значения. Функции, минимальные и максимальные точки.
Теоретически мы точно пригодимся. таблица производных и правила дифференциации . Все это есть в этом планшете:
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения.2 = T:
X_ (1 и 2) = ± SQRT (1) = ± 1
X_ (3 и 4) = ± SQRT (-13) (исключая, под корнем не может быть отрицательного числа (если конечно речь не идет о комплексных числах)
Итого: x_ (1) = 1 и x_ (2) = -1 — это наши точки экстремума.
Шаг 3. Определяем наибольшее и наименьшее значение.
Метод замещения.
В условии нам дали отрезок [b] [- 4; 0].3 — 65 * (- 4) = -1024 — 1280 + 260 = -2044
Это означает, что наибольшее значение функции равно [b] 44 и достигается в точке [b] -1, которая равна называется точкой максимума функции на отрезке [-4; 0].
Решили и получили ответ, молодцы, можно расслабиться. Но остановись! Вы не считаете y (-4) чем-то слишком сложным? В условиях ограниченного времени лучше использовать другой способ, я называю его так:
Через промежутки знака.2 — 65. Даже ничего не становится очевидным, что в точке 100 есть функция плюс знак. Итак, с интервалом от 1 до 100 он имеет знак плюс. При движении после 1 (идем вправо влево) функция меняет знак на минус. При переключении через точку 0 функция сохранит свой знак, так как это только граница отрезка, а не корень уравнения. При переключении через -1 функция снова поменяет знак на плюс.
Из теории мы знаем, что там, где производная функция (а мы за нее ее тоже рисуем) меняет знак с плюса на минус (в нашем случае точка -1) Функция доходит до его локальный максимум (y (-1) = 44, как считалось ранее) На этом отрезке (это логически очень понятно, функция перестала увеличиваться, так как достигла своего максимума и начала указывать).
Соответственно, где есть производная функция меняет знак с минусом на плюс достигается функция локального минимума . Да-да, мы тоже нашли точку локального минимума. Это 1, а y (1) — минимальное значение функции на сегменте, скажем, от -1 до + ∞. Обратите особое внимание на то, что это лишь локальный минимум, то есть хотя бы на определенном участке. Поскольку реальный (глобальный) минимум характеристики будет достигать где-то в -∞.
На мой взгляд, первый способ проще теоретически, а второй проще с точки зрения арифметических действий, но гораздо сложнее с точки зрения теории.Ведь иногда бывают случаи, когда функция не меняет знак при переходе по корню уравнения, и в целом можно запутаться с этими локальными, глобальными максимумами и минимумами, хотя вам придется так много с этим справиться , если вы планируете поступать в технический вуз (и для которого в противном случае пройти профиль EME и решить эту задачу). Но практика и только практика один раз и навсегда научат решать такие задачи. А тренироваться можно на нашем сайте. Здесь.
Если возникли какие-то вопросы, или что-то непонятно — обязательно задавайте.С радостью отвечу и внесу изменения, дополнения в статью. Помните, мы делаем этот сайт вместе!
На практике довольно часто необходимо использовать производную для вычисления наибольшего и наименьшего значения функции. Это действие мы проводим, когда узнаем, как минимизировать затраты, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и т. Д., То есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо хорошо понимать, какое наибольшее и наименьшее значение функции.
Обычно мы определяем эти значения в определенном интервале X, который может в свою очередь соответствовать всему полю определения функции или его части. Это может быть похоже на сегмент [a; b] и открытый интервал (a; b), (a; b], [a; b), бесконечный интервал (a; b), (a; b], [a; b) или бесконечный промежуток — ∞ ; a, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).
В этом материале мы опишем, как вычисляется наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y = f (x) y = f (x).
Основные определения
Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.
Определение 1.
Наибольшее значение функции y = f (x) на некотором зазоре есть maxy = f (x 0) x ∈ X, что при любом значении xx ∈ X, x ≠ x 0 составляет неравенство f (x) ≤ f (x 0).
Определение 2.
Наименьшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке — это MINX ∈ XY = F (x 0), что при любом значении x ∈ X, x ≠ x 0 составляет неравенство F (x F (x) ≥ f (x 0).
Эти определения совершенно очевидны. Еще проще сказать так: наибольшее значение функции имеет наибольшее значение на известном интервале абсциссы x 0, а наименьшее — наименьшее значение на том же интервале при x 0.
Определение 3.
Стационарные точки — это значения аргумента функции, в которых ее производная отнесена к 0.
Зачем нам нужно знать, какие точки свалки? Чтобы ответить на этот вопрос, вам нужно вспомнить теорему о ферме.Отсюда следует, что точка покоя — это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (то есть ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наиболее важное значение на некотором интервале в одной из стационарных точек.
Другая функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых определена сама функция, а ее первая производная не существует.
Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех случаях можем ли мы определить наибольшее или наименьшее значение функции на данном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать, когда границы указанного зазора будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом.Также бывает, что функция в данном сегменте или на бесконечности будет иметь бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях невозможно определить наибольшее и / или наименьшее значение.
Понятнее эти моменты будут после изображения на графиках:
Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (M a x y и m i n y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [- 6; 6].
Разбираем подробно случай, указанный на втором графике.Измените значение сегмента на [1; 6] и получаем, что наибольшее значение функции будет достигнуто в точке с абсциссой на правой границе интервала, а наименьшее — в стационарной точке.
На третьем рисунке по оси абсцисс точки являются граничными точками отрезка [- 3; 2]. Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению указанной функции.
Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает M a x Y (наибольшее значение) и M i n y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (- 6; 6).
Если взять интервал [1; 6) можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигаться в стационарной точке. Это будет неизвестно как самая большая ценность. Функция могла бы принять наивысшее значение при x, равное 6, если бы x = 6 принадлежал интервалу. Этот случай изображен на графике 5.
На Графике 6 наименьшее значение этой функции приобретает на правой границе интервала (- 3; 2], и мы не можем сделать определенные выводы о наибольшем значении.
На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь M a x Y в неподвижной точке с абсциссой, равной 1. Наименьшая функция достигнет границы интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к Y = 3.
Если взять интервал x ∈ 2; + ∞, мы увидим, что указанная функция не примет ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если X стремится к 2, значения функции будут стремиться к минус бесконечности, так как прямая X = 2 — это вертикальная асимптота.Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться y = 3. Этот случай показан на рисунке 8.
На этом этапе мы представляем последовательность действий, которые необходимо выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором сегменте.
Для начала находим область определения поля. Проверить, входит ли он в состояние сегмента.
Теперь посчитаем точки, содержащиеся в этом отрезке, в котором нет первой производной.Чаще всего их можно найти из функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или степенных функций, показателем которых является дробное рациональное число.
Затем выясните, какие стационарные точки попадут в данный сегмент. Для этого необходимо вычислить производную функции, затем приравнять ее к 0 и решить полученное в итоге уравнение, после чего можно выбрать подходящие корни. Если у нас не получается ни одна стационарная точка или они не попадают в заданный сегмент, то мы переходим к следующему шагу.
Определяем, какие значения получит функция в указанных стационарных точках (если есть), или в тех точках, в которых нет первой производной (если есть), либо вычисляем значения для x = a и х = б.
5. Выработали ряд функций функции, из которых теперь нужно выбрать самую и самую маленькую. Это будут наибольшее и наименьшее значения функций, которые нам нужно найти.
Давайте посмотрим, как правильно применять этот алгоритм при решении задач.
Пример 1.
Условие: Задана функция y = x 3 + 4 x 2. Определите его наибольшее и наименьшее значение на отрезках [1; 4] и [- 4; — один ] .
Решение:
Начнем с расположения области определения этой функции. В этом случае у него будет много действительных чисел, кроме 0. Другими словами, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Оба сегмента, указанные в условии, будут находиться в области определения.
Теперь вычислите производную функцию в соответствии с Правилами дифференцирования:
y «= x 3 + 4 x 2» = x 3 + 4 «· x 2 — x 3 + 4 · x 2» x 4 = 3 x 2 · x 2 — (x 3 — 4) · 2 хх 4 = х 3-8 х 3
Мы узнали, что производная функция будет существовать во всех точках отрезков [1; 4] и [- 4; — один ] .
Теперь нам нужно определить стационарные точки функции. Сделаем это уравнением x 3 — 8 x 3 = 0. У него есть только один действительный корень, равный 2.Это будет стационарная точка функции и попадет в первый сегмент [1; четыре].
Вычислить значения функции на концах первого отрезка и в этой точке, т.е. для x = 1, x = 2 и x = 4:
y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Получили, что наибольшее значение функции M a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 будет достигаться при x = 1, а наименьшее M i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 — при x = 2.
Второй сегмент не включает ни одной стационарной точки, поэтому нам нужно вычислить значения функции только на концах указанного сегмента:
у (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Значит, M a x y x ∈ [- 4; — 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; — 1] = y (- 4) = — 3 3 4.
Ответ: Для сегмента [1; 4] — M a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, для отрезка [- 4; — 1] — m a x y x ∈ [- 4; — 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; — 1] = y (- 4) = — 3 3 4.
См. Рисунок:

Перед изучением этого метода советуем повторить, как вычислять односторонний предел и предел на бесконечность, а также изучить основные способы их пребывания. Чтобы найти наибольшее и / или наименьшее значение функции на открытом воздухе или в бесконечном интервале, выполните следующие действия.
Сначала нужно проверить, будет ли данный интервал подмножеством области определения этой функции.
Мы определяем все точки, которые содержатся в желаемом интервале и в которых нет первой производной. Обычно в них есть функции, в которых аргумент заключен в знак модуля, и в степенных функциях с дробно-рациональным показателем. Если эти точки отсутствуют, можно переходить к следующему шагу.
Теперь мы определяем, какие стационарные точки упадут в заданном промежутке. Сначала приравняйте производную к 0, решите уравнение и выберите правильные корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходите к дальнейшим действиям.Они определяются видом интервала.
Если интервал имеет вид [A; б), то нам нужно вычислить значение функции в точке x = A и односторонний предел Lim X → B — 0 F (x).
Если интервал имеет вид (a; b], то нам нужно вычислить значение функции в точке x = b и односторонний предел Lim X → A + 0 F (X).
Если интервал имеет вид (a; b), то нам нужно вычислить односторонние пределы Lim X → B — 0 F (x), Lim X → A + 0 F (x).
Если интервал имеет вид [A; + ∞), то необходимо вычислить значение в точке x = a и предел на плюс бесконечности Lim X → + ∞ F (x).
Если интервал имеет вид (- ∞; b], вычисляем значение в точке x = B и предел для минус бесконечности Lim X → — ∞ F (x).
Если — ∞; b, то рассмотрим односторонний предел Lim X → B — 0 F (x) и предел для минус бесконечности Lim X → — ∞ F (x)
Если — ∞; + ∞, мы рассматриваем пределы на минус и плюс бесконечности Lim X → + ∞ F (x), Lim X → — ∞ F (x).
В конце необходимо сделать вывод на основании полученных функций и лимитов. Здесь есть много вариантов. Итак, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, сразу ясно, что ничего нельзя сказать о наименьшем и наибольшем значении функции. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут понять, что к чему. При необходимости вы можете вернуться к рисункам 4-8 в первой части материала.
Пример 2.
Условие: Задана функция y = 3 E 1 x 2 + x — 6-4. Вычислить его наибольшее и наименьшее значение в интервалах — ∞; — 4, — ∞; — 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).
Решение
Первым делом находим область определения поля. В обозначении fraci представляет собой квадратный трехмелан, который не должен контактировать с 0:
.
х 2 + х — 6 = 0 d = 1 2-4 · 1 · (- 6) = 25 х 1 = — 1-5 2 = — 3 х 2 = — 1 + 5 2 \ u003d 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞; — 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)
.
Получено поле определения функции, которому принадлежат все интервалы, указанные в условии.
Теперь выполните дифференцирование функции и получите:
y «= 3 E 1 x 2 + x — 6-4» = 3 · E 1 x 2 + x — 6 «= 3 · E 1 x 2 + x — 6 · 1 x 2 + x — 6 «= = 3 · E 1 x 2 + x — 6 · 1» · x 2 + x — 6 — 1 · x 2 + x — 6 «(x 2 + x — 6) 2 = — 3 · ( 2 х + 1) · е 1 х 2 + х — 6 х 2 + х — 6 2
Следовательно, деривативы существуют во всем его определении.
Перейдем к поиску стационарных точек. Производная относится к 0 при x = — 1 2.Это стационарная точка, которая находится в интервалах (- 3; 1] и (- 3; 2).
Вычислить значение функции при x = — 4 для зазора (- ∞; — 4], а также предел для минус бесконечности:
y (- 4) = 3 E 1 (- 4) 2 + (- 4) — 6-4 = 3 E 1 6-4 ≈ — 0. 456 Lim X → — ∞ 3 E 1 x 2 + x — 6 = 3 E 0-4 = — 1
Так как 3 E 1 6-4> — 1, следовательно, Maxyx ∈ (- ∞; — 4] = y (- 4) = 3 E 1 6-4. Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции.Мы можем только это вывод, что ниже находится предел — 1, так как именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечность.
Особенность второго интервала в том, что здесь нет единой стационарной точки и единой строгой границы. Следовательно, мы не сможем вычислить ни наибольшее, ни наименьшее значение функции. Определив предел для минус бесконечности и когда аргумент рассчитан на — 3 с левой стороны, мы получаем только интервал значений:
lim X → — 3-0 3 E 1 x 2 + x — 6-4 = Lim X → — 3-0 3 E 1 (x + 3) (x — 3) — 4 = 3 E 1 (- 3-0 + 3) (- 3-0-2) — 4 = = 3 E 1 (+ 0) — 4 = 3 E + ∞ — 4 = + ∞ Lim X → — ∞ 3 E 1 x 2 + х — 6-4 = 3 Е 0-4 = — 1
Значит, значения функции будут располагаться в интервале — 1; + ∞.
Чтобы найти наибольшую функцию в третьем промежутке, определяем ее значение в стационарной точке x = — 1 2, если x = 1. Также нам потребуется знать односторонний предел для случая, когда аргумент стремится для — 3 с правой стороны:
y — 1 2 = 3 E 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 E 4 25 — 4 ≈ — 1. 444 y (1) = 3 E 1 1 2 + 1 — 6 — 4 ≈ — 1. 644 Lim X → — 3 + 0 3 E 1 x 2 + x — 6 — 4 = Lim X → — 3 + 0 3 E 1 (x + 3) (x — 2) — 4 \ u003d 3 E 1 — 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 — 2) — 4 = = 3 E 1 (- 0) — 4 = 3 E — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4
У нас оказалось, что наибольшее значение примем в стационарной точке maxyx ∈ (3; 1] = y — 1 2 = 3 E — 4 25 — 4.Что касается наименьшего значения, то его невозможно определить. Все что мы знаем — это наличие ограничения снизу до — 4.
Для интервала (- 3; 2) мы возьмем результаты предыдущего расчета и еще раз вычислим, что равно одностороннему пределу при поиске 2 на левой стороне:
y — 1 2 = 3 E 1-1 2 2 + — 1 2-6-4 = 3 E — 4 25-4 ≈ — 1. 444 Lim X → — 3 + 0 3 E 1 x 2 + x — 6-4 = — 4 Lim X → 2-0 3 E 1 x 2 + x — 6-4 = Lim X → — 3 + 0 3 E 1 (x + 3) (x — 2) — 4 \ u003d 3 E 1 (2-0 + 3) (2-0-2) — 4 = 3 E 1-0-4 = 3 E — ∞ — 4 = 3 · 0-4 = — 4
Итак, M axyx ∈ (- 3; 2) = y — 1 2 = 3 E — 4 25-4, а наименьшее значение невозможно, а значения функции ограничены снизу — 4.
Основываясь на том, что мы сделали в двух предыдущих расчетах, мы можем утверждать, что на интервале [1; 2) Функция примет наибольшее значение при x = 1, а наименьшее найти невозможно.
На интервале (2; + ∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. будет принимать значения из разрыва — 1; + ∞.
lim X → 2 + 0 3 E 1 x 2 + x — 6-4 = Lim X → — 3 + 0 3 E 1 (x + 3) (x — 2) — 4 = 3 E 1 (2 + 0 + 3) (2 + 0-2) — 4 = 3 E 1 (+ 0) — 4 = 3 E + ∞ — 4 = + ∞ Lim x → + ∞ 3 E 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 E 0-4 = — 1
Вычисляя, каким будет значение функции при x = 4, находим, что M a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 E 1 14-4, а указанная функция на плюсе бесконечности будет асимптотически приближаться к прямому y = — 1.
Это сопоставимо с тем, что мы получали в каждом расчете, с графиком данной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Вот и все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции. Последовательность действий, которую мы выполнили, поможет максимально быстро и просто произвести необходимые расчеты. Но помните, что часто бывает полезно сначала выяснить, в какие периоды функция будет уменьшаться, а в какие — увеличиваться, после чего вы можете сделать дальнейшие выводы.Так вы сможете более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter
С помощью этого сервиса вы можете найти наибольшую и наименьшую функцию Одна переменная F (X) с оформлением решения в Word. Если задана функция f (x, y), следовательно, необходимо найти экстремальную функцию двух переменных. Вы также можете найти интервалы возрастающей и убывающей функции.
Правила входа в функции :
Требуемое условие экстремума функции одной переменной
Уравнение F «0 (x *) = 0 является обязательным условием экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * Первая производная функция должна быть равна нулю. выделяет стационарные точки x C, в которых функция не увеличивается и не убывает
Достаточное условие экстремума функций одной переменной
Пусть F 0 (x) дважды дифференцируема по x, принадлежащая множеству d.Если в точке x * выполняется условие:
F «0 (x *) = 0
f» «0 (x *)> 0
Эта точка x * является функцией локального (глобального) минимума.
Если условие выполняется в точке x *:
F «0 (x *) = 0
f» «0 (x *)
Тогда точка x * — локальный (глобальный) максимум.
Пример № 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке.
Решение.

Критическая точка — единица x 1 = 2 (f ‘(x) = 0).Эта точка принадлежит сегменту. (Точка х = 0 не критична, так как 0∉).
Рассчитайте значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f (1) = 9, f (2) = 5/2, f (3) = 3 8/81
Ответ: F min = 5/2 при x = 2; f max = 9 при x = 1
Пример №2. С помощью производных высших порядков найти экстремальную функцию y = x-2sin (x).
Решение.
Найдите производную функцию: y ‘= 1-2cos (x).Найдем критические точки: 1-cos (x) = 2, cos (x) = ½, x = ± π / 3 + 2πk, k∈Z. Находим y » = 2sin (x), вычисляем, значит x = π / 3 + 2πk, k∈Z — точки минимума функции; Итак, x = — π / 3 + 2πk, k∈Z — точки максимальной функции.
Пример № 3. Исследуйте экстремум FCCscation в окрестности точки x = 0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремальные функции. Если экстремум X = 0, то узнайте его тип (минимум или максимум).Если среди найденных точек нет x = 0, то вычисляем значение функции f (x = 0).
Следует отметить, что когда производная по обе стороны от этой точки не меняет своей отметки, возможные ситуации не исчерпываются даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одной стороне точки x 0 либо с обеих сторон производная меняет знак. В этих точках необходимо использовать другие методы исследования функций до экстремума. 2 раз, даже если он уже отсортирован?
Очевидно, что для оптимизации алгоритма нам нужно остановить его, когда он закончит сортировку, иначе он будет переоценивать уже отсортированный массив много раз.
Как мы узнаем, что сортировка закончена? Если бы предметы были в порядке, нам бы не пришлось их менять. Итак, всякий раз, когда мы меняем местами значения, мы устанавливаем флаг True , чтобы повторить процесс сортировки. Если свопы не произошли, флаг останется , ложно , и алгоритм остановится.
Реализация
С оптимизацией мы можем реализовать пузырьковую сортировку в Python следующим образом:
def bubble_sort (числа): # Мы устанавливаем swapped в True, чтобы цикл выполнялся хотя бы один раз swapped = True пока поменяли местами: swapped = Ложь для i в диапазоне (len (nums) - 1): если nums [i]> nums [i + 1]: # Поменять местами элементы nums [i], nums [i + 1] = nums [i + 1], nums [i] # Установите флаг в True, чтобы мы снова зациклились swapped = True # Убедитесь, что это работает random_list_of_nums = [5, 2, 1, 8, 4] пузырь_сортировка (случайный_список_числов) печать (случайный_список_числов)
Алгоритм выполняется в цикле и , прерываясь только тогда, когда никакие элементы не меняются местами.Вначале мы устанавливаем с на True , чтобы алгоритм работал хотя бы один раз.
Сложность времени
В худшем случае (когда список находится в обратном порядке) этому алгоритму придется поменять местами каждый отдельный элемент массива. Наш замененный флаг будет установлен на True на каждой итерации.
Следовательно, если у нас есть n элементов в нашем списке, у нас будет n итераций на элемент — таким образом, временная сложность пузырьковой сортировки составляет O (n ^ 2) .
Сортировка выбора
Этот алгоритм делит список на две части: отсортированную и несортированную. Мы непрерывно удаляем наименьший элемент несортированного сегмента списка и добавляем его к отсортированному сегменту.
Пояснение
На практике нам не нужно создавать новый список для отсортированных элементов, мы обрабатываем крайнюю левую часть списка как отсортированный сегмент. Затем мы ищем во всем списке наименьший элемент и меняем его местами на первый элемент.
Теперь мы знаем, что первый элемент списка отсортирован, мы получаем наименьший элемент из оставшихся элементов и меняем его местами на второй элемент. Это повторяется до тех пор, пока последний элемент списка не станет оставшимся элементом для проверки.
Реализация
def selection_sort (числа): # Это значение i соответствует тому, сколько значений было отсортировано для i в диапазоне (len (nums)): # Мы предполагаем, что первый элемент несортированного сегмента самый маленький наименьшее_значение_индекс = я # Этот цикл перебирает несортированные элементы для j в диапазоне (i + 1, len (nums)): если число [j] <число [наименьшее_значение_индекса]: наименьшее_значение_индекс = j # Поменять местами значения самого нижнего несортированного элемента с первым несортированным # элемент число [i], число [наименьшее_значение_индекса] = число [наименьшее_значение_индекс], число [i] # Убедитесь, что это работает random_list_of_nums = [12, 8, 3, 20, 11] выбор_сортировка (случайный_список_числов) печать (случайный_список_числов)
Мы видим, что по мере увеличения i нам нужно проверять меньше элементов.
Сложность времени
Мы можем легко получить временную сложность, исследуя для циклов в алгоритме сортировки выбора. Для списка с n элементами внешний цикл повторяется n раза. 2) .
Сортировка вставкой
Как и сортировка по выбору, этот алгоритм разделяет список на отсортированные и несортированные части. Он выполняет итерацию по несортированному сегменту и вставляет просматриваемый элемент в правильную позицию отсортированного списка.
Пояснение
Мы предполагаем, что первый элемент списка отсортирован. Затем мы переходим к следующему элементу, назовем его x . Если x больше первого элемента, оставляем как есть. Если x меньше, мы копируем значение первого элемента во вторую позицию, а затем устанавливаем для первого элемента значение x .
По мере того, как мы переходим к другим элементам несортированного сегмента, мы непрерывно перемещаем более крупные элементы в отсортированном сегменте вверх по списку, пока не встретим элемент меньше x или не достигнем конца отсортированного сегмента, а затем поместим x в правильном положении.
Если вы хотите прочитать подробную статью о сортировке вставкой, мы вам поможем!
Реализация
def Insert_sort (nums): # Начать со второго элемента, так как мы предполагаем, что первый элемент отсортирован для i в диапазоне (1, len (nums)): item_to_insert = число [я] # И сохранить ссылку на индекс предыдущего элемента j = я - 1 # Переместить все элементы отсортированного сегмента вперед, если они больше, чем # элемент для вставки пока j> = 0 и nums [j]> item_to_insert: число [j + 1] = число [j] j - = 1 # Вставить элемент число [j + 1] = item_to_insert # Убедитесь, что это работает random_list_of_nums = [9, 1, 15, 28, 6] вставка_сортировка (случайный_список_числов) печать (случайный_список_числов)
Сложность времени
В худшем случае массив будет отсортирован в обратном порядке.2) .
Сортировка кучи
Этот популярный алгоритм сортировки, как и сортировка вставкой и выделением, разделяет список на отсортированные и несортированные части. Он преобразует несортированный сегмент списка в структуру данных кучи, чтобы мы могли эффективно определить самый большой элемент.
Пояснение
Мы начинаем с преобразования списка в максимальную кучу - двоичное дерево, в котором самым большим элементом является корневой узел. Затем мы помещаем этот элемент в конец списка.Затем мы перестраиваем нашу Max Heap , которая теперь имеет на одно значение меньше, помещая новое наибольшее значение перед последним элементом списка.
Мы повторяем этот процесс построения кучи, пока не будут удалены все узлы.
Если вы хотите прочитать подробную статью о Heap Sort, у нас есть все необходимое!
Реализация
Мы создадим вспомогательную функцию heapify для реализации этого алгоритма:
def heapify (nums, heap_size, root_index): # Предположим, что индекс самого большого элемента является корневым индексом наибольший = root_index left_child = (2 * корневой_индекс) + 1 right_child = (2 * корневой_индекс) + 2 # Если левый дочерний элемент корня является допустимым индексом, а элемент больше # чем текущий самый большой элемент, затем обновить самый большой элемент если left_child nums [наибольшее]: самый большой = left_child # Сделайте то же самое для правого потомка корня если right_child nums [наибольшее]: самый большой = right_child # Если самый большой элемент больше не является корневым, поменяйте их местами если самый большой! = root_index: числа [корневой_индекс], числа [наибольший] = числа [наибольший], числа [корневой_индекс] # Заполните новый корневой элемент, чтобы убедиться, что он самый большой heapify (числа, размер_кучи, наибольший) def heap_sort (числа): n = len (числа) # Создать максимальную кучу из списка # Второй аргумент диапазона означает, что мы останавливаемся на элементе перед -1 i.е. # первый элемент списка. # Третий аргумент диапазона означает, что мы выполняем итерацию в обратном направлении, уменьшая счетчик # из i по 1 для i в диапазоне (n, -1, -1): heapify (числа, число, я) # Переместить корень максимальной кучи в конец для i в диапазоне (n - 1, 0, -1): nums [i], nums [0] = nums [0], nums [i] heapify (числа, я, 0) # Убедитесь, что это работает random_list_of_nums = [35, 12, 43, 8, 51] heap_sort (случайный_список_числов) печать (случайный_список_числов)
Сложность времени
Давайте сначала посмотрим на временную сложность функции heapify .В худшем случае самый большой элемент никогда не является корневым, это вызывает рекурсивный вызов heapify . Хотя рекурсивные вызовы могут показаться пугающе дорогими, помните, что мы работаем с двоичным деревом.
Визуализируйте двоичное дерево с 3 элементами, оно имеет высоту 2. Теперь визуализируйте двоичное дерево с 7 элементами, оно имеет высоту 3. Дерево логарифмически вырастает до n . Функция heapify проходит по этому дереву за O (log (n)) раз.
Функция heap_sort выполняет итерацию по массиву n раза. Следовательно, общая временная сложность алгоритма сортировки кучи составляет O (nlog (n)) .
Сортировка слиянием
Этот алгоритм «разделяй и властвуй» разделяет список пополам и продолжает разбивать список на 2, пока в нем не останутся только единичные элементы.
Соседние элементы становятся отсортированными парами, затем отсортированные пары объединяются и также сортируются с другими парами. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не получим отсортированный список со всеми элементами несортированного входного списка.
Пояснение
Мы рекурсивно разделяем список пополам, пока не получим списки с размером один. Затем мы объединяем каждую половину, которая была разделена, сортируя их в процессе.
Сортировка выполняется путем сравнения самых маленьких элементов каждой половины. Первый элемент каждого списка сравнивается первым. Если первая половина начинается с меньшего значения, мы добавляем его в отсортированный список. Затем мы сравниваем второе наименьшее значение первой половины с первым наименьшим значением второй половины.
Каждый раз, когда мы выбираем меньшее значение в начале половины, мы перемещаем индекс того элемента, который нужно сравнить, на единицу.
Если вы хотите прочитать подробную статью о сортировке слиянием, мы вам поможем!
Реализация
def слияние (left_list, right_list): sorted_list = [] left_list_index = right_list_index = 0 # Мы часто используем длину списка, поэтому удобно делать переменные left_list_length, right_list_length = len (left_list), len (right_list) для _ в диапазоне (left_list_length + right_list_length): если left_list_index
Обратите внимание, что функция merge_sort () , в отличие от предыдущих алгоритмов сортировки, возвращает новый отсортированный список, а не сортировку существующего списка.
Следовательно, сортировке слиянием требуется место для создания нового списка того же размера, что и входной список.
Сложность времени
Давайте сначала посмотрим на функцию слияния . Он берет два списка и выполняет итерацию n раз, где n - размер их объединенного ввода.
Функция merge_sort разбивает заданный массив на 2 и рекурсивно сортирует подмассивы. Поскольку рекурсивный ввод составляет половину того, что было дано, как и в случае с двоичными деревьями, время, необходимое для обработки, логарифмически увеличивается до n .
Следовательно, общая временная сложность алгоритма сортировки слиянием составляет O (nlog (n)) .
Быстрая сортировка
Этот алгоритм «разделяй и властвуй» - наиболее часто используемый алгоритм сортировки, описанный в этой статье. При правильной настройке он чрезвычайно эффективен и не требует дополнительного пространства, которое использует сортировка слиянием. Разобьем список вокруг шарнирного элемента, сортировка значений вокруг оси.
Пояснение
Быстрая сортировка начинается с разделения списка - выбора одного значения списка, которое будет в отсортированном месте.Это значение называется опорным. Все элементы, меньшие, чем точка поворота, перемещаются влево от нее. Все более крупные элементы перемещены вправо.
Зная, что точка поворота находится на своем законном месте, мы рекурсивно сортируем значения вокруг точки поворота, пока не будет отсортирован весь список.
Если вы хотите прочитать подробную статью о Quick Sort, мы вам поможем!
Реализация
# Есть разные способы сделать раздел быстрой сортировки, это реализует # Схема разбиения Хоара.Тони Хоар также создал алгоритм быстрой сортировки. раздел def (nums, low, high): # Мы выбираем средний элемент в качестве точки поворота. Некоторые реализации выбирают # первый элемент или последний элемент. Иногда среднее значение становится # поворотный или случайный. Есть еще много стратегий, которые можно # выбрано или создано. pivot = nums [(минимум + максимум) // 2] я = низкий - 1 j = высокий + 1 в то время как True: я + = 1 в то время как nums [i] pivot: j - = 1 если i> = j: вернуть j # Если элемент в i (слева от точки поворота) больше, чем # элемент в точке j (справа от оси поворота), затем поменяйте их местами nums [i], nums [j] = nums [j], nums [i] def quick_sort (числа): # Создать вспомогательную функцию, которая будет вызываться рекурсивно def _quick_sort (элементы, низкий, высокий): если низкий <высокий: # Это индекс после поворота, где наши списки разделены split_index = раздел (элементы, низкий, высокий) _quick_sort (элементы, низкий, split_index) _quick_sort (элементы, split_index + 1, высокий) _quick_sort (числа; 0; len (числа) - 1) # Убедитесь, что это работает random_list_of_nums = [22, 5, 1, 18, 99] quick_sort (случайный_список_числов) печать (случайный_список_числов)
Сложность времени
В худшем случае, когда наименьший или наибольший элемент всегда выбран в качестве опоры.2) .
Хотя это ужасный наихудший случай, быстрая сортировка широко используется, потому что ее средняя временная сложность намного быстрее. Хотя функция раздела использует вложенные , а циклы, она выполняет сравнения по всем элементам массива, чтобы произвести его перестановки. Таким образом, он имеет временную сложность O (n) .
При правильном повороте функция быстрой сортировки разделит массив на половины, которые логарифмически растут с n . Следовательно, средняя временная сложность алгоритма быстрой сортировки составляет O (nlog (n)) .
Встроенные функции сортировки Python
Хотя понимание этих алгоритмов сортировки полезно, в большинстве проектов Python вы, вероятно, будете использовать функции сортировки, уже предоставленные в языке.
Мы можем изменить наш список, чтобы его содержимое было отсортировано с помощью метода sort () :
apples_eaten_a_day = [2, 1, 1, 3, 1, 2, 2] apples_eaten_a_day.sort () print (apples_eaten_a_day) # [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3]
Или мы можем использовать функцию sorted () для создания нового отсортированного списка:
яблоки_eaten_a_day_2 = [2, 1, 1, 3, 1, 2, 2] sorted_apples = отсортировано (apples_eaten_a_day_2) print (sorted_apples) # [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3]
Они оба сортируются в возрастающем порядке, но вы можете легко отсортировать по убыванию, установив флаг reverse на True :
# Обратная сортировка списка на месте apples_eaten_a_day.sort (reverse = True) print (apples_eaten_a_day) # [3, 2, 2, 2, 1, 1, 1] # Обратная сортировка, чтобы получить новый список sorted_apples_desc = отсортировано (apples_eaten_a_day_2, reverse = True) print (sorted_apples_desc) # [3, 2, 2, 2, 1, 1, 1]
В отличие от созданных нами функций алгоритма сортировки, обе эти функции могут сортировать списки кортежей и классов. Функция sorted () может сортировать любой итерируемый объект, включая списки, строки, кортежи, словари, наборы и настраиваемые итераторы, которые вы можете создавать.
Эти функции сортировки реализуют алгоритм Tim Sort, алгоритм, вдохновленный сортировкой слиянием и сортировкой вставкой.
Сравнение скоростей
Чтобы получить представление о том, насколько быстро они работают, мы генерируем список из 5000 чисел от 0 до 1000. Затем мы измеряем время, необходимое для выполнения каждого алгоритма. Это повторяется 10 раз, чтобы мы могли более надежно установить образец производительности.
Вот результаты, время в секундах:
Бег Пузырь Выбор Вставка Куча Слияние Быстрый
1 5.53188 1,23152 1.60355 0,04006 0,02619 0,01639
2 4,92176 1,24728 1,59 103 0,03999 0,02584 0,01661
3 4,91642 1,22440 1,59362 0.04407 0,02862 0,01646
4 5,15470 1,25053 1,63463 0,04128 0,02882 0,01860
5 4,95522 1,28987 1,61759 0,04515 0,03314 0,01885
6 5.04907 1,25466 1,62515 0,04257 0,02595 0,01628
7 5.05591 1,24911 1,61981 0,04028 0,02733 0,01760
8 5.08799 1,25808 1.62603 0.04264 0,02633 0,01705
9 5,0 3289 1,24915 1,61446 0,04302 0,03293 0,01762
10 5.14292 1,22021 1,57273 0,03966 0,02572 0,01606
В среднем 5.08488 1,24748 1.60986 0,04187 0,02809 0,01715
Вы получите другие значения, если настроите тест самостоятельно, но наблюдаемые закономерности должны быть одинаковыми или похожими. Пузырьковая сортировка - самый медленный и худший из всех алгоритмов. Хотя он полезен как введение в сортировку и алгоритмы, он не подходит для практического использования.
Мы также заметили, что быстрая сортировка работает очень быстро, почти в два раза быстрее, чем сортировка слиянием, и для ее выполнения не требуется столько места.Напомним, что наше разделение было основано на среднем элементе списка, разные разделы могли иметь разные результаты.
Поскольку сортировка вставкой выполняет гораздо меньше сравнений, чем сортировка по выбору, реализации обычно быстрее, но в этих запусках сортировка по выбору выполняется немного быстрее.
Сортировка вставкой выполняет гораздо больше операций подкачки, чем сортировка по выбору. Если замена значений занимает значительно больше времени, чем сравнение значений, то такой «противоположный» результат будет правдоподобным.
При выборе алгоритма сортировки учитывайте окружающую среду, так как это повлияет на производительность.
Заключение
Алгоритмы сортировки дают нам множество способов упорядочить данные. Мы рассмотрели 6 различных алгоритмов - пузырьковая сортировка, сортировка по выбору, сортировка вставкой, сортировка слиянием, сортировка кучи, быстрая сортировка - и их реализации на Python.
Количество сравнений и свопов, выполняемых алгоритмом вместе со средой, в которой выполняется код, являются ключевыми факторами, определяющими производительность. В реальных приложениях Python рекомендуется использовать встроенные функции сортировки Python из-за их гибкости в отношении ввода и скорости.
Рабочий лист относительных максимальных и минимальных значений
Modbus esp32
Этот рабочий лист словаря отношений содержит важные глаголы, людей и события для изучения отношений. Забавно, что на свадьбах и похоронах мы видим только дальних родственников. Рабочий лист ответов. Упражнение 1. дружба, давка, знакомство, кровь, далекий, деловой партнер, Немезида, любовь ... поиск функций, суммы, среднего, минимума, максимума, написание собственных формул. Дата / время, функции / формулы. Формулы процентов (включая разметку) - Примеры.Более сложные функции / формулы / порядок работы от десятичных до процентов, десятичных знаков МАКСИМАЛЬНЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. F INDING максимум или минимум имеет применение в чистой математике, где, например, мы можем найти самый большой прямоугольник, имеющий заданный периметр. Он также может применяться к коммерческим задачам, например, к поиску наименьших размеров картонной коробки, которая должна содержать данный объем. MIN и MAX Как использовать функции MIN и MAX в Microsoft Excel. Копировать ссылку: COUNT Как использовать функцию COUNT в Excel.Копировать ссылку: основное форматирование форматирования текста Как применить форматирование к тексту в Excel. Копировать ссылку: выровнять и объединить ячейки Как выровнять и объединить ячейки в Excel. Скопируйте ссылку
3.01 обозначение функций, правила и тест по функциям оценки
Рабочий лист № 3 по Accel Math II: Характеристики имени полинома _____ Раздел № 2: Обратные, многочлены и экспоненциальные функции MA2A3. Студенты будут анализировать графики полиномиальных функций высшей степени. c. Определите, обладает ли полиномиальная функция симметрией и является ли она четной, нечетной или ни одной из них.Относительный минимум и максимум. Относительный минимум и максимум - отображение 8 листов, найденных для этой концепции. Некоторые из рабочих листов для этой концепции: Период даты назначения, Для каждой задачи найти все точки абсолютных минимумов и, Максимумы и минимумы работы 17, Работа 5, Экстремумы, Расчетные рабочие задачи, Анализ графиков относительных экстремумов функций, Тест первой производной раздела.
Рабочие листы по алгебре; ... Найдите минимальную и максимальную площадь сада. ... Максимальная площадь = 27,5 & 215 $; 18.5 = 508,75 квадратных футов. Домашняя страница. 3.2 Применение и расширение Для 1–2 экстремумы перечислены для функции f вместе с ограниченной областью. Найдите абсолютное максимальное значение и абсолютное минимальное значение на интервале. Рабочий лист максимума и минимума Рассчитайте максимумы и минимумы следующих функций: Упражнение 1 f (x) = x³ - 3x + 2 Упражнение 2 Упражнение 3 Упражнение 4 Упражнение 5 Упражнение 6 Упражнение 7 Решение упражнения 1 f (x) = x³ - 3x + 2 f '(x) = 3x² - 3… Функции СРЕДНЕ, МАКС (для максимума) и МИН (для минимума) в Excel 2016 являются наиболее часто используемыми статистическими функциями, поскольку они На рисунке показано, как можно использовать Функции AVERAGE, MAX, MIN и MEDIAN на листе.В этом примере эти функции используются для ...
John Deere merchandise Северная Ирландия
Работа в гостиничном бизнесе в Дубае
Sword of zariel danddyond
Psp games 2018 iso
Ocz pc3200 ram
Lycoming oil screen крутящий момент
быстро заснуть Открытая функция min (x, y как вариант) как вариант min = IIf (x Azcopy login linux 4.01 - Комментарии и навигация по рабочему листу / поиск; 4.02 - Темы и группа / разгруппировать; 4.03 - Условное форматирование; 4.04 - Поиск условного форматирования, удаление дубликатов; 4.05 - стоп-кадры и разделенный экран; 4.06 - Функции MAX, MIN, параметры автосуммирования, параметры расчета; 4.07 - Расширенная сортировка и фильтрация, диапазоны имен Минимальная разница в высоте между пиком и его соседями, заданная как пара, разделенная запятыми, состоящая из «порога» и неотрицательного действительного скаляра.Используйте этот аргумент, чтобы findpeaks возвращал только те пики, которые превышают их непосредственные соседние значения, по крайней мере, на значение «Threshold». - [Рассказчик] Компании сталкиваются с большой неопределенностью, ... будь то потребительский спрос или цены на сырье ... которое вы превращаете в продукты ... Планировщики часто думают о лучшем, худшем ... и среднем сценарии на следующий квартал или год ... В этом фильме я покажу вам, как хранить ... альтернативные наборы данных на одном листе ... используя сценарии ... Мой образец файла - это файл create... Относительный максимум в точке x = a будет иметь производные f '(a) = 0 и f' '(a) <0. Обратите внимание, что слово «относительный» используется для обозначения точки максимума или минимума в окрестности точки точка (x = a). Только в том случае, если будет доказано, что существует один и только один максимум или минимум, он может считаться точкой абсолютного оптимума. Гистограммы - это графики распределения данных, предназначенные для отображения центрирования, дисперсии (распространения) и формы (относительной частоты) данных. Ниже приводится руководство по началу работы с примером требований заказчика.МАКСИМАЛЬНЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Поворотные точки графика. W E СКАЗАТЬ, ЧТО ФУНКЦИЯ f (x) имеет относительное максимальное значение при x = a, если f (a) больше любого значения, непосредственно предшествующего или последующего. Мы называем это «относительным» максимумом, потому что другие значения функции на самом деле могут быть больше. Мы говорим, что функция f (x) имеет относительное минимальное значение при x = b, Воспроизвести видео 4k на мониторе 1080p Величина Aω - это максимальная поперечная скорость частиц, поэтому она имеет м.с-1. Видно, что интенсивность волны увеличивается с увеличением ее волновой скорости c, амплитуды A и частоты ω.Умножив верхнюю и нижнюю границы на ρc: 12 августа 2020 г. · Мин. Км / ч, но только когда диаметр затрат уменьшился и французский бывший иезуит Жан де Мен заявил, что airtel, государственный банк Индии sbi, открыл свои двери в Швейцарии. {и другими словами, одна остановка европа ванкувер, канада пунта-кана, доминиканский рейкьявик, исландия миля на восток и направление может быть проблемным в другом. Губернатор Видео: сортировка, фильтрация, обобщение и вычисление данных сводной таблицы Вы можете анализировать данные сводной таблицы разными способами. Один из наиболее распространенных способов - это сортировка, она помогает быстро увидеть тенденции в ваших данных. Щелкните правой кнопкой мыши значение, например Общий итог для жанра «Искусство и фотография», наведите указатель на Сортировка , щелкните Сортировка от наибольшего к наименьшему , и жанры отсортированы от наибольшего к наименьшему общему объему продаж. На панели быстрого доступа щелкните Отменить , чтобы отменить сортировку. Вы также можете фильтровать сводную таблицу.Это поможет вам сосредоточиться на данных, которые вы хотите анализировать. Щелкните стрелку вниз рядом с надписью строки. Поскольку мы щелкнули стрелку вниз для метки, наведите указатель на Label Filters . Выберите вариант, например Начинается с . Введите критерии, например букву c, и нажмите ОК . И отображаются только жанры книг, которые начинаются с буквы «c». Чтобы удалить фильтр, снова щелкните стрелку вниз, теперь она выглядит как воронка, потому что фильтр применен.И нажмите Очистить фильтр от «Жанр» . Срезы - один из лучших способов фильтрации данных сводной таблицы. Для получения информации об использовании срезов см. 4-е видео в этом курсе. Использование срезов, временных шкал и сводных диаграмм для анализа данных сводной таблицы. Чтобы просмотреть только те элементы сводной таблицы, которые вам нужны, вы можете выбрать ячейки, содержащие эти элементы. Это может быть текст или даты под метками строк.Вы не можете использовать числа. Щелкните их правой кнопкой мыши (в данном примере «Жанры»), укажите на Фильтр , щелкните Сохранить только выбранные элементы , и отобразятся только выбранные жанры. Чтобы отобразить только три жанра с наивысшими общими итогами, щелкните правой кнопкой мыши жанр, выберите Фильтр , щелкните Топ 10 - Я знаю, что щелкать 10 лучших, чтобы увидеть тройку лучших, не имеет смысла , но посмотри. Измените 10 на 3, щелкните ОК , и отобразятся три верхних жанра. До сих пор значения в сводной таблице отображались как сумма поля «Сумма продаж», но вы можете использовать другие функции. Например, щелкните правой кнопкой мыши ячейку в столбце «Общий итог», выберите « Суммировать значения по » (есть много вариантов, например Мин. и Макс. ), щелкните параметр (например, Среднее значение ), и теперь значения в сводной таблице представлены как средние. Как видите, средний объем продаж искусства и фотографии составляет 1400 долларов. Помимо суммирования показателей продаж, вы можете отобразить их как расчет. Например, щелкните правой кнопкой мыши ячейку в столбце «Общий итог», выберите « Показать значения как » (есть много вариантов, например, % от итога по строке и % от итога по столбцу ). Выберите вариант (например, % от общей суммы ), и вы увидите, что искусство и фотография составляет чуть более 10% продаж, и как каждый магазин вносит свой вклад в эту цифру. Для получения дополнительных сведений о расчетах в сводных таблицах см. Ссылку в сводке курса. Следующее: Используйте срезы, временные шкалы и сводные диаграммы для анализа данных сводной таблицы . Перечислить углы def в порядке от наименьшего к наибольшему. Код Python: def smallest_num_in_list (список): min = list [0] для входящего списка Назад: Напишите программу Python, чтобы получить наибольшее число из списка. УГОЛ СОЛНЦА, ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ И ИЗОЛЯЦИЯ Солнце Вертикальные лучи Солнца Наклонные лучи Солнца Полярный круг, Южный полярный круг, изображение Рака, экватора icor n 26 ° 2.24 м2 1 м2 РИСУНОК 3.15 (a) Угол, под которым солнечные лучи падают на поверхность Земли, определяет количество солнечной энергии, получаемой на единицу площади поверхности. Эта сумма, в свою очередь, влияет на сезоны. Безопасен ли инфракрасный лобный термометр для младенцев Наслаждайтесь любимыми видео и музыкой, загружайте оригинальный контент и делитесь всем этим с друзьями, семьей и всем миром на YouTube. 11 ноября 2019 г. · Ответ: Порядок сторон треугольника от самого длинного к самому короткому: Пошаговое объяснение: как мы знаем, самая длинная сторона имеет противоположный больший внутренний угол, а самая короткая сторона имеет противоположный наименьший внутренний угол. угол.Это означает, что чем больше угол, тем длиннее будет противоположная сторона и наоборот. В данном треугольнике: здесь мы хотим упорядочить углы треугольника от наименьшего к наибольшему, и нам даны стороны. Ну такая же, точная идея. Наименьший угол будет противоположным самой маленькой или самой короткой стороне. Ну, самая короткая сторона - это сторона длиной 7,2. Угол, который открывается на него, равен углу a. Итак, это будет наименьший угол. V Broken chicago tornado siren roblox id Dwarf Planet Facts.В настоящее время в нашей Солнечной системе есть пять официально классифицированных карликовых планет: Церера, Плутон, Хаумеа, Макемаке и Эрида. Церера расположена внутри пояса астероидов между орбитами Марса и Юпитера, в то время как другие карликовые планеты расположены во внешнем пространстве. Солнечная система в поясе Койпера или рядом с ним. Самая большая модель такого масштаба, Солнечная система Швеции, использует 110-метровый (361 фут) глобус Эрикссона в Стокгольме в качестве замены Солнца, и, согласно шкале, Юпитер - это 7.5-метровая (25-футовая) сфера в Стокгольмском аэропорту Арланда, в 40 км (25 миль), тогда как самый дальний из текущих объектов, Седна, представляет собой 10-сантиметровую (4 дюйма) сферу в Лулео, 912 км (567 миль). 30 марта 2014 г. · То же самое и с Землей: лучи летнего солнца, находящиеся высоко в небе, падают под крутым углом и нагревают землю намного сильнее, чем лучи зимнего солнца, падающие под небольшим углом. Хотя продолжительность дня является важным фактором, объясняющим, почему летом жарко, а зимой холодно, угол солнечного света, вероятно, более важен.Примечание: трапеция - это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Трапеция эквивалентна британскому определению трапеции. Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой углы основания равны так. Данные теста: Высота: 5 База, первое значение: 5 Базовое, второе значение: 6 Ожидаемый результат: Площадь: 27,5 Щелкните меня, чтобы увидеть образец решения. 4. Определение квартиля Что такое квартиль? Квартиль - это статистический термин, который описывает разделение наблюдений на четыре определенных интервала на основе значений данных и их сравнения со всем набором наблюдений. Общие сведения о квартилях Чтобы понять квартиль, важно понимать медианное значение как меру центральной тенденции. Медиана в статистике - это среднее значение набора чисел. Это точка, в которой ровно половина данных находится ниже и выше центрального значения. Итак, учитывая набор из 13 чисел, медиана будет седьмым числом. Шесть чисел, предшествующих этому значению, являются наименьшими числами в данных, а шесть чисел после медианы - наибольшими числами в данном наборе данных.Поскольку на медианное значение не влияют экстремальные значения или выбросы в распределении, иногда оно предпочтительнее среднего. Медиана является надежной оценкой местоположения, но ничего не говорит о том, как данные по обе стороны от ее значения распространяются или рассредоточены. Вот где вступает в игру квартиль. Квартиль измеряет разброс значений выше и ниже среднего путем деления распределения на четыре группы. Ключевые выводы Квартиль измеряет разброс значений выше и ниже среднего путем деления распределения на четыре группы. Квартиль делит данные на три точки - нижний квартиль, медиана и верхний квартиль - для формирования четырех групп набора данных. Квартили используются для расчета межквартильного размаха, который является мерой изменчивости вокруг медианы. Как работают квартили Точно так же, как медиана делит данные пополам, так что 50% измерения лежат ниже медианы, а 50% - выше, квартиль разбивает данные на кварталы, так что 25% измерений меньше нижнего квартиля, 50 % меньше среднего, а 75% меньше верхнего квартиля. Квартиль делит данные на три точки - нижний квартиль, медиана и верхний квартиль - для формирования четырех групп набора данных. Нижний квартиль или первый квартиль обозначается как Q1 и представляет собой среднее число, которое находится между наименьшим значением набора данных и медианой. Второй квартиль, Q2, также является медианным. Верхний или третий квартиль, обозначаемый как Q3, является центральной точкой, которая находится между медианой и наивысшим числом распределения. Теперь мы можем выделить четыре группы, образованные из квартилей.Первая группа значений содержит наименьшее число до Q1; во вторую группу входит Q1 до медианы; третий набор - это медиана Q3; четвертая категория включает Q3 в самую высокую точку данных всего набора. Каждый квартиль содержит 25% от общего числа наблюдений. Как правило, данные располагаются от наименьшего к наибольшему: Первый квартиль: самые низкие 25% чисел Второй квартиль: от 25,1% до 50% (до медианы) Третий квартиль: от 51% до 75% (выше медианы) Четвертый квартиль: самые высокие 25% чисел Пример квартиля Предположим, что баллы по математике в классе из 19 учеников в порядке возрастания распределены следующим образом: 59, 60, 65, 65, 68, 69, 70, 72, 75, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 87, 90, 95, 98 Сначала отметьте медианное значение Q2, которое в данном случае равно 10 ^{-му значению}: 75. Q1 - это центральная точка между наименьшей оценкой и медианой. В этом случае Q1 находится между первой и пятой оценкой: 68. [Обратите внимание, что медиана также может быть включена при вычислении Q1 или Q3 для нечетного набора значений. Если бы мы включили медианное значение по обе стороны от средней точки, то Q1 будет средним значением между первым и 10 ^{-м баллом}, что является средним значением пятого и шестого баллов - (пятый + шестой) / 2. = (68 + 69) / 2 = 68,5]. Q3 - это среднее значение между Q2 и наивысшим баллом: 84.[Или, если вы включите медиану, Q3 = (82 + 84) / 2 = 83]. Теперь, когда у нас есть квартили, давайте интерпретируем их числа. Оценка 68 (Q1) представляет первую квартиль и 25 ^-й процентиль. 68 - это медиана нижней половины оценки, установленной в доступных данных, то есть медиана оценок от 59 до 75. Q1 говорит нам, что 25% оценок ниже 68 и 75% оценок класса выше. Q2 (медиана) представляет собой перцентиль 50 ^-го и показывает, что 50% оценок меньше 75, а 50% оценок выше 75.Наконец, Q3, перцентиль 75 ^-го, показывает, что 25% оценок выше, а 75% меньше 84. Особые соображения Если точка данных для Q1 дальше от медианы, чем Q3 от медианы, то мы можем сказать, что существует больший разброс среди меньших значений набора данных, чем среди больших значений. Та же логика применяется, если Q3 дальше от Q2, чем Q1 от медианы. В качестве альтернативы, если имеется четное количество точек данных, медиана будет средним из двух средних чисел.В нашем примере выше, если бы у нас было 20 студентов вместо 19, медиана их оценок будет средним арифметическим из 10 ^-го и 11 ^-го числа. Квартили используются для расчета межквартильного размаха, который является мерой изменчивости вокруг медианы. Межквартильный диапазон рассчитывается просто как разница между первым и третьим квартилями: Q3 – Q1. Фактически, это диапазон средней половины данных, который показывает, насколько разбросаны данные. Для больших наборов данных в Microsoft Excel есть функция КВАРТИЛЬ для вычисления квартилей.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке примеры: Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшее и наименьшее значение функции

Основные определения

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Решение задач

Наименьшее значение функции f x. Наибольшее и наименьшее значение функции. Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$ на отрезке $$

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Координаты вершины параболы

Следствия из области определения функции

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Дети и учеба — Информационный портал

Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .

Основные определения

Координаты вершины параболы

Следствия из области определения функции

Теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$ на отрезке $$

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функции | ЕГЭ по математике (профильной)

Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке

наибольшее значение функции на отрезке онлайн

Где можно решить любую задачу по математике, а так же наибольшее значение функции на отрезке онлайн Онлайн?

4.7 Максимальные / минимальные задачи — Расчетный том 3

Это наименьшее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение функции

Основные определения

Требуемое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функций одной переменной

Реализация

Сложность времени

Сортировка выбора

Пояснение

Реализация

Сложность времени

Сортировка вставкой

Пояснение

Реализация

Сложность времени

Сортировка кучи

Пояснение

Реализация

Сложность времени

Сортировка слиянием

Пояснение

Реализация

Сложность времени

Быстрая сортировка

Пояснение

Реализация

Сложность времени

Встроенные функции сортировки Python

Сравнение скоростей

Заключение

Рабочий лист относительных максимальных и минимальных значений

Modbus esp32

3.01 обозначение функций, правила и тест по функциям оценки

John Deere merchandise Северная Ирландия

Azcopy login linux

Воспроизвести видео 4k на мониторе 1080p

Видео: сортировка, фильтрация, обобщение и вычисление данных сводной таблицы

Перечислить углы def в порядке от наименьшего к наибольшему.

Безопасен ли инфракрасный лобный термометр для младенцев

Определение квартиля

Что такое квартиль?

Общие сведения о квартилях

Ключевые выводы

Как работают квартили

Пример квартиля

Особые соображения

Share This Story, Choose Your Platform!

Related Posts

Насморк при прорезывании зубов у детей: причины, симптомы и лечение

Как развивать ребенка в 10 месяцев: игры и занятия для малыша

Во сколько месяцев можно ставить мальчиков в ходунки: оптимальный возраст и безопасность использования

`Сложность времени`

`Быстрая сортировка`

`Пояснение`

`Реализация`

`Сложность времени`

`Встроенные функции сортировки Python`

`Сравнение скоростей`

`Заключение`

`Рабочий лист относительных максимальных и минимальных значений`

`Modbus esp32`

`3.01 обозначение функций, правила и тест по функциям оценки`

`John Deere merchandise Северная Ирландия`

`Share This Story, Choose Your Platform!`

`Related Posts`

`Leave A Comment Отменить ответ`