Механический одометр (счётчик пройденного пути) для велосипеда — это прибор, крепится на руле и соединён тросиком с редуктором, установлевным на оси в … ереднего колеса При движении велосипеда спицы колеса врашают редуктор, это врашенне по передаётся счетчику, который показывает пройденное расстояние в километрах У Димы был Велосипед с колёсами диаметром 24 дюйма из одометром который был настроен по данным диаметр колеса когда Дима вырос ему купили дорожный велосипед с колёсами диаметром 28 зима переставила Одометр со своего старого велосипеда на новый но не настроил его под диаметр колеса нового велосипеда Воскресенье Дима поехал кататься на велосипеде в парк когда он вернулся Одометр показал пройдённое расстояние 13,2км Какое расстояние на самом деле проехал Дима
Решите уравнение 1)8,1-(3,1-y)=1 2)9,4+(8,6-x)=0,4 3)0,6(x+7)-0,5(x-3)=6,8 4)0,3(x-2)-0,2(x+4)=0,6 5)-7(0,3x-8)+3(0,4x+5)=8 6)0,87x-0,9x+1,3x=-15,24
Упростите выражение и подчеркните коэффициенты 1)12a•8b•(-15c)= 2)-3,8m•(-1,6)•(-3,5n)= 3)1,2•(-0,6a)•4c•64= 4)0,2x•(-5,7y)•5z= 5)7,54c•(-10b)•2a= 6 … )-3,15a•2b•(-3c)=
Раскройте скобки и найдите значение выражения. 1)17,24+(5,89-9,14)= 2)36,34-(6,45-63,66)= 3)-1,8+(3/5-7,2)= 4)-27,9+(-32,1+18,7)= 5)-1,8+(-3,5-19,03)= … 6)-3,84-(12,16+63,9)=
Выполните сложение чисел с разными знаками. 1)-64+79= 2)49+(-52)= 3)-3,563+0,739= 4)2,7+(-1,207)= 5)654,08+(-781,13)= 6)-2/7+5/42= 7)3/14+(-11/21)= 8) … -4/9+1= 9)-11/20+9/16= 10)5/6+(-8/9)=
Решите задания по математике
Выполните сложение отрицательных чисел. 1)-56+(44)= 2)-384,56+(-126,34)= 3)-13,356+(-8,93)= 4)-4/9+(-3/5)= 5)-11/25+(-13/5)= 6)-7/24+(-5/12)= 7)-9/14+ … (-13/21)= 8)-11/20+(-9/16)=
РЕШИТЕ СРОЧНО, ДОБАВЬТЕ НОМЕР ТЕЛЕФОНА, ЕСЛИ ТЫ ИЗ РФ, КИНУ 100 КИВИ.НУЖНО ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ С ОТВЕТАМИ
Срочноооо даю 35 баллов умоляю срочноооо
Задание №19. Задачи на логику. ЕГЭ. Математика.
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 19.
Задачи на логику.
1. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
Ответ: а) да; б) нет; в) 91
2. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор − 8,− 5,− 4,− 3,− 1, 1, 4. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
3. а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
4. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются.
Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
Ответ: а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет, в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14
5. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
Ответ: а) да; б) 9; в) 9/17
6. В течение четверти учитель ставил школьникам отметки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическое отметок ученика оказалось равным 4,625.
а) Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика?
б) На какое наибольшее число может увеличиться среднее арифметическое отметок этого ученика после замены четырёх отметок «3», «3», «5» и «5» двумя отметками «4»?
Ответ: а) 8; б) на 5/24
7. Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, − 2,− 3, 4,− 5, 7,− 8, 9, 10,− 11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному числу 1, − 2,− 3, 4,− 5, 7,− 8, 9, 10,− 11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4
8. Моток верёвки режут без остатка на куски длиной не меньше 168 см, но не больше 175 см (назовём такие куски стандартными).
б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток верёвки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.
Ответ: а) 24; б) 4032
9. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4
10. Имеется 25 коробок массой 31 кг каждая и 15 коробок массой 51 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам. Пусть S— модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
а) если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находиться одинаковое количество коробок;
б) без дополнительного условия пункта а.
Ответ: а) 20; б) 2
11. По окружности расставляют 40 ненулевых целых чисел с общей суммой 16. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 6 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.
б) Среди таких 40 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.
Ответ: а) 37; б) 10
12. Костя должен был умножить двухзначное число на трехзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трехзначное число справа к двухзначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
б) Могло ли N равняться 10?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Ответ: а) да; б) нет; в) 9
13. Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Ответ: а) да; б) 4
14. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Ответ: а) пример: 32 раза число 92 и число 26; б) нет; в) 693
15. На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел стать равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27.
Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
16. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
17. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет; б) да; в) 549
18. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 720, и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Ответ: а) нет; б) нет; в) да
19. На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16
20. Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Ответ: а) да; б) нет; в) 30
21. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 16?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 14, но меньше 15?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Ответ: а) да; б) нет; в) 20,5
22. В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик дает порции по 100 г, второй – по 200 г, третий – по 300 г, четвертый – по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Ответ: а) да; б) нет; в) 9
23. а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что выполняется неравенство
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что выполняется неравенство
в) Найдите все возможные значения натурального числа n при каждом из которых значение
выражения будет наименьшим.
Ответ: а) да; б) нет; в) 14.
24. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по
крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?
в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
25. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 18. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
Ответ: а) 6; б) 89; в) 19
26. На доске написано 11 различных
натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а
среднее арифметическое шести наибольших равно 14.
{-}=-5\cdot y$
Теперь свяжем то, что мы записали. А именно, учтем, что сумма всех чисел равна сумме всех положительных плюс сумма всех отрицательных S = S+ + S— , получаем уравнение: 3n = 10x – 5 y.
а) 3 ∙ n = 5 ∙ (2x – y )
Справа стоит число, которое делится на 5. Значит слева тоже должно стоять число, которое делится на 5, иначе уравнение не имеет решений в целых числах. Но для того, чтобы 3n делилось на 5, нужно, чтобы n делилось на 5. То есть, n — какое-то из чисел: 5, 10, 15 … 40, 45, 50, …. Единственное n, которое удовлетворяет условию 45 n
Теперь, для строгости покажем, что такой набор существует. Сумма чисел этого набора равна 150 $(S=3\cdot n=3\cdot 50\cdot =150)$ . Пусть набор такой:
$\underset{2}{\underbrace{-5;-5;}}\underset{32}{\underbrace{0;0;…0;}} \underset{16}{\underbrace{10…10;10}}$.
б) Учитывая, что n=50, перепишем уравнение 3n = 10x – 5 y. следующим образом:
$150=10x-5y$
$2x=30+y$
$x=15+\displaystyle \frac{y}{2}$
Во — первых мы заметили, что y – число четное.
Давайте посмотрим, что же здесь больше: x или y. Если число y – маленькое, то x – точно больше (например, если y=4, то x=17). Также, не трудно заметить, что если y=30, то и x=30. При y>30 выполняется неравенство x (например, если y = 32, то x = 31), а при y наоборот, x>y (например, если y = 28, то x = 29).
Но $x+y\leq 50$ , так как всего на доске 50 чисел. Значит, y не может быть больше 30. А значит x>y. Или количество положительных больше количества отрицательных.
в)
В третьем пункте нас просят найти максимально возможное количество отрицательных чисел. В пункте б) мы как раз получили те уравнения и неравенства из которого можно это оценить:
$\left\{ \begin{array}{l} x=15+\displaystyle \frac{y}{2} \\ x+y\leq 50 \end{array} \right. $
Подставим x из уравнения в неравенство:
$15+\displaystyle \frac{y}{2}+y\leq 50$
$\displaystyle \frac{3}{2}y\leq 35$
$y\leq \displaystyle \frac{70}{3}$
Но мы помним, что y – целое и четное, а значит $y\leq 22$ .
Видим, что наибольшее количество отрицательных чисел, которое подходит – это 22.
Пусть у нас в наборе 26 «десяток», 22 «минус пятерки», а остальные нули. Сумма равна 150 – все верно, средние арифметические положительных и отрицательных, очевидно равны 10 и -5 соответственно.
Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2010 год
- Все олимпиады
- Математика
- Международные олимпиады
- Международная олимпиада «Туймаада»
- Туймаада 2010
- Младшая лига
Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2010 год
Задача №1. Саша и Дима играют в игру на доске $100\times 100$. В начале игры Саша выбирает 50 клеток и ставит на них по одному королю. После этого Дима выбирает одну из свободных клеток и выставляет на нее ладью. Далее игроки ходят по очереди (начинает Саша). Каждым своим ходом Саша перемещает каждого из королей на соседнюю по стороне или углу клетку, а Дима своим ходом передвигает ладью на любое количество клеток по горизонтали или вертикали. При этом ладья не может «перепрыгивать» через короля и «бить» короля. Сможет ли Саша действовать так, чтобы рано или поздно побить ладью одним из королей? ( С.
Берлов
) комментарий/решение
Задача №2. Точка $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $BC$ выбрана точка $D$. Точка $P$ построена таким образом, что $ADPH$ — параллелограмм. Докажите, что $\angle BPC > \angle BAC$. ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №3. Три различных ненулевых числа таковы, что при любой расстановке этих чисел на места коэффициентов квадратного трехчлена этот трехчлен будет иметь целый корень. Докажите, что у всех таких трехчленов есть корень 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №4. На доске записаны 2010 натуральных чисел. Разрешается стереть любую пару чисел $x$, $y$ (в которой $y > 1$) и записать вместо них либо пару чисел $2x+1$, $y-1$, либо пару $2x+1$, ${1\over 4}(y-1)$ (если $y-1$ делится на 4). Например, стерев числа 3 и 5, можно написать пару 7 и 4, либо пару 7, 1 (приняв $x=3$, $y=5$), либо пару 11, 2 (приняв $x=5$, $y=3$). Такие операции провели несколько раз, причем при первой операции были стерты числа 2006 и 2008. Докажите, что на доске не сможет появиться вновь первоначальный набор чисел. ( М. Антипов )
комментарий/решение
Задача №5. Множество вещественных чисел $M$ содержит больше одного элемента. Известно, что для любого $x$, лежащего в $M$, хотя бы одно из чисел $3x-2$ и $-4x+5$ также лежит в $M$.
Докажите, что множество $M$
бесконечно.
(
А. Голованов
) комментарий/решение
Задача №6. Дано натуральное число $n$. Известно, что существуют такие пять последовательных натуральных чисел, что ни одно из них не делится на $n$, но их произведение кратно $n$. Докажите, что существуют такие четыре последовательных натуральных числа, что ни одно из них не делится на $n$, но их произведение кратно $n$. ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №7. Дан треугольник $ABC$. Из центра $I$ его вписанной окружности опустили перпендикуляр $IP$ на прямую, проходящую через вершину $A$ и параллельную стороне $BC$. Касательная ко вписанной окружности, параллельная $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $R$ соответственно. Докажите, что $\angle QPB=\angle RPC$. ( В. Смыкалов )
комментарий/решение
Задача №8. В стране несколько городов, между некоторыми городами курсируют прямые односторонние авиарейсы. Докажите, что можно выделить из всех городов такую группу $A$, что:
1) между городами группы $A$ нет ни одного рейса;
2) из любого города, не лежащего в группе $A$, можно попасть в какой-нибудь город группы $A$ либо прямым рейсом, либо с одной пересадкой в промежуточном городе. ( В. Дольников )
комментарий/решение
11 класс | Математика, которая мне нравится
Первый день
11.
1. Докажите, что если число (единиц по ) делится на , то оно также делится и на .
(В. Сендеров)
11.2. Известно, что и — ненулевые рациональные числа. Докажите, что и рациональны.
(Н. Агаханов)
11.3. Докажите, что всякий выпуклый -угольник с вершинами в точках с целыми координатами содержит параллелограмм с вершинами в точках с целыми координатами.
(В. Дольников)
11.4. Пятигранник имеет две непараллельные треугольные грани и и три грани — выпуклые четырехугольники , , . Докажите, что плоскость, проведенная через точки пересечения диагоналей четырехугольных граней, содержит прямую пересечения плоскостей и .
(Л. Емельянов)
Второй день
11.5. В вершинах правильного 2005-угольника записаны числа. Известно, что для любой вершины записанное в ней число не больше суммы чисел, записанных в двух соседних с ней вершинах, и не меньше суммы чисел, записанных в двух наиболее удаленных от нее вершинах. Какие числа могли быть записаны?
(Д. Пермяков)
11.6. Пусть — произвольная точка внутри остроугольного треугольника с описанной окружностью . Прямые , и вторично пересекаются с в точках и соответственно. Обозначим через и проекции точки на прямые и соответственно. Докажите, что треугольники и подобны.
(Л. Емельянов)
11.7. Пусть и — вещественные числа, удовлетворяющие системе уравнений:
Докажите, что среди этих чисел найдутся два, отличающиеся не менее, чем на 1.
(М. Мурашкин)
11.8. На доске написано уравнение
где в левой и правой частях по 10 квадратных трехчленов. Два игрока по очереди заменяют коэффициенты на ненулевые вещественные числа. Первый игрок выигрывает, если после очередного хода второго игрока получившееся уравнение имеет вещественный корень, в противном случае выигрывает второй игрок.
Кто из игроков имеет выигрышную стратегию.
(Н. Агаханов)
Сумма всех 4-значных положительных чисел с ненулевой цифрой
Количество 4-значных положительных чисел с ненулевой цифрой
Всего существует девять различных положительных ненулевых цифр.
Это
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Так как мы собираемся формировать четырехзначные числа, оставим четыре пробела.
____ ____ ____ ____
Первый пробел (разряды тысяч) имеет 9 вариантов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Если одна из девяти цифр заполнена в первом пробеле, останется восемь цифр.
Итак, второе место имеет восемь вариантов, и оно может быть заполнено одной из восьми цифр.
После заполнения второго бланка останется семь цифр.
Итак, третье место имеет семь вариантов, и оно может быть заполнено одной из семи цифр.
После заполнения третьего бланка останется шесть цифр.
Итак, четвертый бланк имеет шесть вариантов и может быть заполнен одной из шести цифр.
Объясненный выше материал может быть записан как
9 x 8 x 7 x 6 = 3024
Следовательно, количество четырехзначных положительных чисел, сформированных с использованием (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9) равно 3024.
Можно ли записать все 3024 числа и найти их сумму на экзамене?
Однозначно, ответ на поставленный вопрос — «нет».
Тогда есть какой-нибудь ярлык?
Да. Чтобы узнать ярлык, узнайте значение «K», используя формулу, приведенную ниже.
Здесь у студентов могут возникнуть вопросы.
То есть, что нам делать с «K», чтобы найти сумму всех 4-значных положительных чисел с ненулевой цифрой?
Ответ дан ниже.
Концепция — ценность «К»
Что делает «K», если одна из цифр равна «нулю»?
Ответ:
1. Каждая из ненулевых цифр встречается «K» раз в
первое место (тысячное место, если четыре
цифровой номер).
2.Цифра «0» появится «K» раз в второе место. Оставшиеся пробелы на втором месте поделят равно ненулевым разрядам.
3. Тот же процесс, который описан выше для второго место будет претендовать на третье и четвертое место.
Что делает «K», если ни одна из цифр не равна «нулю»?
Ответ:
Каждая из ненулевых цифр появится «K» раз в первом
место, второе место, третье место и четвертое место.
Как описанная выше концепция применяется в нашей задаче?
В нашей задаче
K = 3024/9
K = 336
Всего из девяти различных положительных цифр ни одна из цифр не равна «0».
Итак, каждая из девяти различных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) будет соответствовать разряду тысячи, разряда сотен, разряда десятков и разряда единиц 336 (= K) раз в 3024 числах, образованных с использованием девяти различных цифр, упомянутых выше.
Сумма чисел, занявших первое, второе, третье и четвертое места
Чтобы найти сумму всех четырехзначных положительных чисел с ненулевой цифрой, мы должны найти сумму всех чисел на первом, втором, третьем и четвертом разрядах.
Найдем сумму чисел на первом месте (разряде тысяч).
В сформированных 3024 числах каждая из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 336 раз занимает первое место, второе место, третье место и четвертое место.
Сумма чисел на первом месте (место 1000):
= 336 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)
= 336 x 45
= 15120
Сумма чисел на втором месте (разряде 100):
= 336 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)
= 336 x 45
= 15120
Сумма чисел на третьем месте (10-е место):
= 336 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)
= 336 x 45
= 15120
Сумма чисел на четвертом месте (1 место):
= 336 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)
= 336 x 45
= 15120
Сумма всех 4-значных положительных чисел с ненулевой цифрой (без повторения)
Пояснение к вышеприведенному вычислению:
15120 — это сумма чисел в разряде тысяч.
Итак, 15120 умножается на 1000.
15120 — это сумма чисел в разряде сотен. Итак, 15120 умножается на 100.
15120 — это сумма чисел в разряде десятков. Итак, 15120 умножается на 10.
15120 — это сумма чисел на месте единицы. Таким образом, 15120 умножается на 1.
Примечание:
Метод, описанный выше, применим не только для нахождения суммы всех четырехзначных положительных чисел с ненулевой цифрой. Этот же метод можно применить для нахождения суммы всех четырехзначных чисел, образованных с использованием любых четырех цифр, в которых ни одна из цифр не равна нулю.
Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:
Мы всегда ценим ваши отзывы.
Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.
ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ
Задачи со словами HCF и LCM
Задачи со словами на простых уравнениях
Задачи со словами на линейных уравнениях
Задачи со словами на квадратных уравнениях
Алгебра 6 задач со словами 4
Проблемы со словами в поездах
Проблемы со словами по площади и периметру
Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям
Проблемы со словами по цене за единицу
Проблемы со словами по цене за единицу
Word задачи по сравнению ставок
Преобразование общепринятых единиц в текстовые задачи
Преобразование в метрические единицы в текстовых задачах
Проблемы со словами по простым процентам
Проблемы со словами по сложным процентам
Проблемы со словами по типам ngles
Проблемы со словами с дополнительными и дополнительными углами
Проблемы со словами с двойными фактами
Проблемы со словами тригонометрии
Проблемы со словами в процентах
Проблемы со словами о прибылях и убытках
Разметка и разметка Задачи
Задачи с десятичными словами
Задачи со словами о дробях
Задачи со словами о смешанных фракциях
Одношаговые задачи о словах с уравнениями
Проблемы со словами о линейных неравенствах
Соотношение и пропорции Задачи со словами
Проблемы со временем и рабочими словами
Проблемы со словами на множествах и диаграммах Венна
Проблемы со словами для возрастов
Проблемы со словами по теореме Пифагора
Процент числового слова pr проблемы
Проблемы со словами при постоянной скорости
Проблемы со словами при средней скорости
Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов
ДРУГИЕ ТЕМЫ
Сокращения прибылей и убытков
Сокращения в процентах
Сокращения в таблице времен
Сокращения времени, скорости и расстояния
Сокращения соотношения и пропорции
Домен и диапазон рациональных функций
Домен и диапазон рациональных функций функции с отверстиями
Графики рациональных функций
Графики рациональных функций с отверстиями
Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби
Десятичное представление рациональных чисел
Нахождение квадратного корня с помощью long di видение
L.
Метод CM для решения временных и рабочих задач
Преобразование задач со словами в алгебраические выражения
Остаток при делении 2 в степени 256 на 17
Остаток при делении 17 в степени 23 на 16
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8
Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4
Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами
Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3
Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6
Что такое ненулевое число?
Химики, математики и ученые, которые завершают уравнения в своих исследованиях, считают, что все ненулевые числа имеют значение или значимость, независимо от того, является ли число отрицательным или положительным.Любое число, положительное или отрицательное, не равное нулю, по сути, представляет собой ненулевое число. Однако имейте в виду, что ноль не означает просто «ничего», поскольку иногда нулевые числа имеют значение или значение, в зависимости от их положения в числе. Например, нулевой конец после десятичной дроби ничего не значит; он передает информацию, например, число $ 1,00 означает один доллар, но без изменений. Завершающие нули после десятичной точки означают, что изменение менее чем на доллар не присутствует в этом представлении.
Правила значащих цифр
Химики и математики считают, что ведущие нули не имеют никакого значения или значения, кроме значения заполнителя, как в десятичном числе 0,25. Но они также считают ноль в числе 2,05 значимым, потому что он передает информацию о позиции десятых. То же самое касается записи 2 501, которая также включает информацию о позиции нуля в этом числе.
Все сводится к размещению десятичной дроби.
Независимо от того, является ли ноль значимым или значимым, регулируется набор правил.Департамент химии штата Пенсильвания перечисляет следующие три правила в качестве основных условий:
- «Ненулевые цифры всегда значимы».
- «Любые нули между двумя значащими цифрами имеют значение».
- « Значимы ТОЛЬКО последний ноль или завершающие нули в десятичной части.»
Химический факультет Колумбийского университета расширяет это третье правило, поясняя: «Нули в конце целого числа без десятичного разделителя НЕ имеют значения.»Таким образом, ноль в 25.0 имеет значение, а ноль в 250 — нет. Без десятичного числа ноль в позиции единиц просто действует как заполнитель, но в 250.0 ноль важен как в позиции единиц, так и в позиции десятых.
Значение нуля
В повседневной жизни, когда люди говорят «ноль, zip, zilch», они говорят, что у них ничего нет. Но в математике, химии, научных обозначениях и уравнениях ноль как ненулевое число может иметь значение. большое значение, в зависимости от его положения в номере.Например, если вы что-то измерили, и получилось 20,00 вместо 20, это означает, что — поскольку нули появляются справа от десятичной точки — измерение выполняется с точностью до сотых долей. Число 20,00 более точное, чем число 20, так как 20 не включает информацию о числах в разрядах десятых и сотых.
Точные числа
Нулевые числа позволяют математикам, физикам и практически любому человеку, работающему с уравнениями или научными обозначениями, использовать точные числа, которые имеют бесконечное количество значащих цифр.Например, если вы написали 1.000000000, все эти нули имеют значение, что, по сути, указывает на то, что эти числа имеют значение. Эти числа обозначают информацию после десятичной дроби и подпадают под Правило № 3. Например, числа, которые имеют определения, такие как 1 метр = 1,00 метра = 1,0000 метра = 1,0000000000000000000 метров и т.
Д. — каждый из этих нулей относится к десяткам, сотым, тысячным и т. Д. И придает смысл определению числа.
ставьте знаки плюс / минус между цифрами
Начните с последовательности ненулевых цифр 123456789.Проблема в том, чтобы поставить плюс или минус знаков между ними, так что результатом описанной арифметической операции будет 100.
Мы получили один ответ
12 + 3 — 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100
и предположил, что существует по крайней мере еще один. Я не утверждаю, что провел исчерпывающий поиск, но кажется, есть более чем два ответа. Один из них —
123 + 4 — 5 + 67 — 89 = 100
Я уверен, что там хоть один. Хотите его найти?
Существует четкое наблюдение, что в двух приведенных выше примерах по крайней мере одна из операций — это вычитание.И это также верно для всех приведенных ниже примеров добавочных (тех, в которых разрешены только операции сложения и вычитания). На самом деле невозможно избежать вычитания, даже если цифры идут в произвольном порядке. Чтобы понять, почему, может быть полезно вспомнить понятие цифровых корней.
Вы можете разрешить другие операции, кроме сложения и вычитания. Это приводит к совершенно новому набору проблем с числами, имеющими дробные части. Варианты включают установку целей, отличных от 100.Вот, например, представление одного, в котором используются все десять цифр:
1 = 148/296 + 35/70
Есть много способов весело провести время за решением арифметических задач. Один из способов — попытаться представить числа ограниченными средствами. Например, я могу представить 100 с пятью тройками как 100 = 33 × 3 + 3/3. Удивительно, сколько чисел можно представить таким образом.
В 60-х годах прошлого века большой популярностью стали занимать числовые головоломки другого типа. Криптарифмы — это головоломки, полученные
когда цифры в числовых вычислениях заменены буквами.Обычно отчетливые
буквы означают разные цифры. Звездочки заменяют любую цифру и не связаны друг с другом.
Я получил следующее письмо из Бельгии:
Откуда: Gui et Nicole RULMONT
Дата: 22 апреля 1997 г., вторник, 17:02:44 +0200
Уважаемый Cut-the-Knot,
Во-первых, прошу прощения за мой английский. Я бельгиец, и мне очень интересен ваш сайт!
Вы писали в разделе «Забава с цифрами»: Начните с последовательности ненулевых цифр 123456789.Проблема состоит в том, чтобы поставить между ними знаки плюс или минус, чтобы результат описанной арифметической операции был равен 100.
Несколько лет назад я нашел во французском журнале Science et Vie 11 решений:
1 + 2 + 34-5 + 67-8 + 9 = 100
12 + 3-4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100
123-4-5-6-7 + 8-9 = 100
123 + 4-5 + 67-89 = 100
123 + 45-67 + 8-9 = 100
123-45-67 + 89 = 100
12-3-4 + 5-6 + 7 + 89 = 100
12 + 3 + 4 + 5-6-7 + 89 = 100
1 + 23-4 + 5 + 6 + 78-9 = 100
1 + 23-4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100
1 + 2 + 3–4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
Если перед 1 поставить «-», то получится еще одно решение:
-1 + 2-3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
Использование «.»десятичное разделение. Я нашел другое решение:
1 + 2.3 — 4 + 5 + 6.7 + 89 = 100 (собственное решение)
А как насчет 987654321? По словам Science et Vie :
, существует 15 решений. 98-76 + 54 + 3 + 21 = 100
9-8 + 76 + 54-32 + 1 = 100
98 + 7 + 6-5-4-3 + 2-1 = 100
98-7-6 — 5-4 + 3 + 21 = 100
9-8 + 76-5 + 4 + 3 + 21 = 100
98-7 + 6 + 5 + 4-3-2-1 = 100
98 + 7-6 + 5 — 4 + 3 — 2 — 1 = 100
98 + 7 — 6 + 5 — 4 — 3 + 2 + 1 = 100
98 — 7 + 6 + 5 — 4 + 3 — 2 + 1 = 100
98 — 7 + 6-5 + 4 + 3 + 2-1 = 100
98 + 7-6-5 + 4 + 3-2 + 1 = 100
98-7-6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100
9 + 8 + 76 + 5 + 4 — 3 + 2 — 1 = 100
9 + 8 + 76 + 5 — 4 + 3 + 2 + 1 = 100
9 — 8 + 7 + 65 — 4 + 32 — 1 = 100
Напишите знак «-», три решения:
-9 + 8 + 76 + 5-4 + 3 + 21 = 100
-9 + 8 + 7 + 65-4 + 32 + 1 = 100
-9-8 + 76-5 + 43 + 2 + 1 = 100
С десятичной запятой:>
9 + 87.
6 + 5,4 — 3 + 2 — 1 = 100 (собственное решение)
Если я «перетасовываю» цифры, есть много решений. Я нашел когда Я был молод, например:
91 + 7,68 + 5,32 — 4 = 100
98,3 + 6,4 — 5,7 + 2-1 = 100
538 + 7-429-13 = 100
(8 × 9,125) + 37-6-4 = 100 и т. Д. И т. Д. ..
очень заинтересовал криптарифами и я их коллекционирую. Вы хотите получить французские криптарифы? Вы знаете неанглийские криптарифы? Спасибо!
Gui et Nicole Rulmont
Энтони Лесар отмечает, что решение 1 + 2 + 3 — 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100 можно немного изменить без изменения результата: 1! + 2! + 3 — 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100.
Примечание : Есть целая куча страниц, предлагающих практические задачи такого рода. Кроме того, Inder Jeet Taneja собрал фантастическую коллекцию различных последовательных представлений чисел от 1 до 11111.
| Контакты | | Первая страница | | Содержание | | Знаете ли вы? | Алгебра |
Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный3 НОМЕР: ЧТО ЕСТЬ ЗНАТЬ? | Сложим: помощь детям в изучении математики
классических времен, написал бумагу в виде письма королю своего города, объясняя, как писать такие очень большие числа.Однако Архимед не зашел так далеко, чтобы изобрести десятичную систему счисления с возможностью неограниченного расширения. | |
22. | Кнут, 1974, стр. 323. |
23. | Steen, 1990. См. Морроу и Кенни, 1998, чтобы узнать больше об алгоритмах. |
24. | Точки с многоточием «…» в выражении являются важной частью абстрактной математической записи, компактно обозначающей пропуск необходимых терминов (для достижения м, в данном случае ). |
Бер, М.Дж., Харел, Г., Пост, Т., И Леш Р. (1992). Рациональное число, соотношение и пропорция. В D.A.Grouws (Ed.), Справочник по исследованиям по преподаванию и изучению математики (стр. 296–333). Нью-Йорк: Макмиллан.
Bruner, J.S. (1966). К теории обучения . Кембридж, Массачусетс: Belknap Press.
Куоко, А. (Ред.). (2001). Роли представления в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики 2001 г.).Рестон, Вирджиния: NCTM.
Дюваль Р. (1999). Представление, видение и визуализация: когнитивные функции в математическом мышлении. Основные вопросы для обучения. В F.Hitt & M.Santos (Eds.), Протоколы двадцать первого ежегодного собрания Североамериканского отделения Международной группы психологии математического образования (том 1, стр. 3–26). Колумбус, Огайо: Информационный центр ERIC по естествознанию, математике и экологическому образованию. (ERIC Document Reproduction Service No.ED 433 998).
Фройденталь, Х. (1983). Дидактическая феноменология математических структур . Дордрехт, Нидерланды: Рейдел.
Грино, Дж. Дж., И Холл, Р. (1997). Практика репрезентации: изучение репрезентативных форм. Дельта Фи Каппан , 78 , 1–24. Доступно: http://www.pdkintl.org/kappan/kgreeno.htm. [10 июля 2001 г.].
Капут,]. (1987). Системы представлений и математика.В C.Janvier (Ed.), Проблемы представления в преподавании и изучении математики (стр. 19–26). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.
Knuth, D.E. (1974). Информатика и ее отношение к математике. American Mathematical Monthly , 81 , 323–343.
Лакофф, Г., & Нуньес, Р.Э. (1997). Метафорическая структура математики: набросок когнитивных основ математики, основанной на разуме.
В Л.D.English (Ed.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и изображения (стр. 21–89). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.
Морроу, Л.Дж., и Кенни, М.Дж. (ред.). (1998). Преподавание и изучение алгоритмов в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики за 1998 год). Рестон, Вирджиния: NCTM.
Пимм Д. (1995). Символы и значения в школьной математике . Лондон: Рутледж.
Рассел, Б.(1919). Введение в математическую философию . Нью-Йорк: Макмиллан.
Сфард А. (1997). Комментарий: О метафорических корнях концептуального роста. В L.D. English (Ed.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и изображения (стр. 339–371). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.
| | СПЕКУЛЯТИВНАЯ НАУКА В римских цифрах нет нуля.Кто и когда изобрел ноль?
|
Как считать значимые числа в химии
Вы спрашиваете друга, сколько у него денег. Будет ли это по-другому, если он скажет около 80 долларов по сравнению с 76 долларами? Он кажется более уверенным в своей оценке в 76 долларов, не так ли?
Почта весит 14 г на ваших кухонных весах.Вы взвешиваете то же самое письмо на лабораторных весах и получаете 14,46 г. Какая шкала дает массу с большей достоверностью? Лабораторные весы.
Чем выше достоверность измерения, тем оно точнее или точнее. Обычно мы используем слова «точность» как синонимы, но они имеют разные значения в контексте научных измерений. Точность — это то, насколько близко измерение к правильному значению, а точность — насколько близки измерения друг к другу.
Надлежащий способ сообщения об измеренной величине состоит в том, чтобы значение отражало достоверность метода измерения или устройства.Лабораторные весы, способные отображать два десятичных знака, определяют массы с большей уверенностью, чем кухонные весы, которые не показывают десятичных знаков. Другой способ выразить уверенность в ценности — это число в значащих цифрах, или, для краткости, сиг-инжир.
В приведенном выше примере и 70, и 78 долларов не имеют десятичного разряда, но 78 долларов более определенны, потому что они содержат более значащие цифры, чем 70 долларов.
Подсчет значащих цифр в числах — одна из первых тем, рассматриваемых на уроках химии или физики.Многих студентов могут поставить в тупик сиг-фиги, и, что еще хуже, учителя выставляют баллы за неправильные сиг-фиги в домашних заданиях, экзаменах и лабораторных отчетах. Вам нужно как можно скорее выяснить сделку с сиг-инжиром, и мы здесь, чтобы помочь!
Как считать значащие цифры
Правило 1 (для ненулевых):
Все ненулевые цифры значимы. Это правило должно быть простым: если цифра не равна нулю, считайте ее значащей.
Упражнение 1. Сколько значащих цифр в числе 643?
643 Все цифры отличны от нуля, все цифры значимы.
Число 643 имеет 3 значащих цифр.
Упражнение 2. Сколько значащих цифр в числе 8.9?
8,9 Все цифры отличны от нуля, все цифры значимы.
Число 8,9 имеет 2 значащих цифр.
Это правило достаточно простое. Что студентов обычно сбивает с толку, так это нули, потому что они могут иметь значение, а могут и не иметь значения. Давайте сосредоточимся на них сейчас.
Правило 2 (для зажатых нулей):
Нули, заключенные между двумя значащими цифрами, значимы.
Упражнение 3. Сколько значащих цифр в числе 1005?
1 00 5 Ненулевые значения значимы.
1 00 5 Нули, расположенные между двумя слоями, имеют значение.
Число 1005 имеет 4 значащих цифр.
Упражнение 4. Сколько значащих цифр в числе 9.01?
9. 0 1 Ненулевые значения значимы.
9. 0 1 Ноль, заключенный в середину, имеет значение.
Число 9.01 имеет 3 значащих цифр.
Это правило тоже не должно сбивать с толку. Если это зажатый ноль, нет причин сомневаться в его значимости.То, что большинству студентов трудно запомнить, правила для начальных нулей (например, в 0,0056) или завершающих нулей (например, в 1,20 или 750). Перейдем к ним.
Правило 3 (для нулей в начале):
Нули в начале числа никогда не имеют значения.
Упражнение 5. Сколько значащих цифр в числе 0,432?
0. 432 Ненулевые значения значимы.
0,0 432 Начальные нули не имеют значения.
Число 0. 432 имеет 3 значащих цифр.
Упражнение 6. Сколько значащих цифр у числа 0,0000006?
0,000000 6 Ненулевое значение имеет значение.
0,000000 6 Начальные нули не имеют значения.
Число 0.000000 6 имеет значащую цифру 1 .
Упражнение 7: Число 0.02108 сколько значащих цифр?
0,0 21 0 8 Ненулевые значения значимы.
0,021 0 8 Ноль, заключенный в середину, имеет значение.
0,0 2108 Начальные нули не имеют значения
Ответ: Число 0,0 2108 имеет 4 значащих цифр.
Упражнение 8. Сколько значащих цифр у числа 0,00801008?
0.00 8 0 1 00 8 Ненулевые значения значимы.
0,008 0 1 00 8 Сложенные между собой нули имеют значение.
0,00 801008 Начальные нули не имеют значения.
Ответ: Число 0.00 801008 имеет 6 значащих цифр.
Все правила, которые мы обсуждали до сих пор, являются окончательными.Ненулевые значения всегда значащие . Сжатые нули всегда значащие . Нули в начале — это , никогда не значащие .
Нули в конце, о котором говорится в последнем руководстве, могут иметь значение, а могут и не иметь значения.
Правило 4 (для нулей в конце):
Нули в конце числа значимы, если есть десятичная точка.
Упражнение 9. Сколько значащих цифр в числе 3.80?
3.8 0 Ненулевые значения значимы.
3,8 0 Конечный ноль имеет значение (присутствует десятичная точка).
Число 3,80 имеет 3 значащих цифр.
Упражнение 10. Сколько значащих цифр в числе 250?
25 0 Ненулевые значения значимы.
25 0 Конечный ноль не имеет значения (без десятичной точки).
Число 25 0 имеет 2 значащих цифр.
Упражнение 11. Сколько значащих цифр в числе 4080?
4 0 8 0 Ненулевые значения значимы.
4 0 80 Зажигающий ноль значим.
408 0 Конечный ноль не имеет значения (без десятичной точки).
Число 408 0 имеет 3 значащих цифр.
Упражнение 12. Сколько значащих цифр у числа 2.050?
2. 0 5 0 Ненулевые значения значимы.
2. 0 50 Ноль, зажатый между двумя слоями, имеет значение.
2,05 0 Конечный ноль имеет значение (присутствует десятичная точка).
Число 2.050 имеет 4 значащих цифр.
Упражнение 13: Число 0.01200 сколько значащих цифр?
0,0 12 00 Ненулевые значения значимы.
0,0 1200 Начальные нули не имеют значения.
0,012 00 Конечные нули значимы (присутствует десятичная точка).
Число 0,0 1200 имеет 4 значащих цифры.
Числа в научной записи
Для экспоненциального обозначения, посчитайте сигнатуры для коэффициента.При подсчете знаков для числа 8,06 x 10 -3 учитывайте только коэффициент 8,06, так что есть 3 значащие цифры. Число 2.30 x 10 5 состоит из трех значащих цифр, потому что его коэффициент 2.30 имеет три знака.
Упражнение 14. Сколько значащих цифр в числе 6,030 x 10
-6 ?Посчитаем количество значащих цифр в коэффициенте.
6 .0 3 0 Ненулевые значения значимы.
6. 0 30 Зажигающий ноль значим.
6,03 0 Конечный ноль имеет значение (присутствует десятичная точка).
Число 6.030 x 10 -6 имеет 4 значащих цифр.
Точные числа
Числа, полученные путем измерения, называются неточными числами, поскольку всегда существует некоторая степень неопределенности в отношении измеренного значения. Масса почтового отправления, измеренная на лабораторных весах, равна 14.46 г дает погрешность ± 0,01, а его значение может находиться в диапазоне от 14,45 г до 14,47 г.
Точные числа — это числа, которые известны с полной уверенностью. Значения, полученные путем подсчета, являются точными числами; Например, на этой полке 12 книг или в этой книге 159 страниц. Коэффициенты пересчета также являются точными числами; в футе ровно 12 дюймов или ровно 2,54 сантиметра в 1 дюйме.
Считается, что точные числа имеют бесконечное количество значащих цифр.
Как использовать значащие цифры в расчетах
Источник изображения: Flickr
При добавлении или вычитании чисел ответ должен быть выражен с тем же количеством десятичных знаков, что и участвующее число, с наименьшим числом десятичных знаков .
Когда умножает или делит числа , ответ должен быть выражен с тем же количеством значащих цифр, что и участвующее число с наименьшим количеством значащих цифр .
Упражнение 15: 2.187 + 10.2 =?
Калькулятор дает ответ 12,387. Мы добавляем здесь, поэтому применяется правило наименьшего количества десятичных знаков. Одно число имеет 3 десятичных знака, а другое — 1 десятичный знак. Следовательно, ответ должен состоять из одного десятичного знака, поэтому ответ будет 12,4.
Упражнение 16: 178.1 — 2.08 + 15 =?
Расчет включает сложение / вычитание, поэтому мы применяем правило наименьшего количества десятичных знаков. Три участвующих числа: 178.1, 2,08 и 15 имеют 1, 2 и 0 знаков после запятой соответственно, поэтому в ответе не должно быть десятичных знаков. Калькулятор дает 191,02, но мы округляем его до 191.
Упражнение 17: (0.081) (1090) /31.0=?
Здесь вычисление включает умножение и деление, поэтому ответ имеет те же сигнатуры, что и число с наименьшим количеством сигнатур. Числа 0,081, 1090 и 31,0 имеют 2, 4 и 3 сигн. Инжира соответственно. В ответе должно быть только 2 фиг. Калькулятор ответит 2.848064516. Нам нужно округлить ответ до 2,8.
Упражнение 18: Каков периметр квадрата со стороной 10,5 дюймов?
Ответ рассчитывается путем умножения 10,5 дюймов на 4. Число 10,5 состоит из 3 значащих цифр. Число 4 — точное число; вы считаете, а не измеряете, что у квадрата 4 стороны. Таким образом, считается, что количество сторон имеет бесконечное количество знаков и не должно ограничивать точность периметра. В ответе должно быть такое же количество сиг-инжиров, как и длина стороны.Ответ — 42 дюйма, но, поскольку ответ должен следовать за количеством сиг-инжир как 10,5 дюйма, периметр указывается как 42,0 дюйма.
Когда вычисление представляет собой сочетание сложения / вычитания и умножения / деления, правила применяются поэтапно в том порядке, в котором выполняются математические операции.
При вычислении учитываются все цифры промежуточных ответов, при этом отмечается, сколько значащих цифр или десятичных разрядов в них действительно должно быть.Это сводит к минимуму отклонения от окончательного ответа, которые возникают при оценке промежуточных ответов. Округление необходимо производить только для окончательного ответа.
Упражнение 19: (201.2 — 3.24) /1.25=?
Этот расчет включает вычитание и деление, поэтому мы используем оба правила, применяемые в том же порядке, что и выполняемые операции. Вычитая 3,24 из 201,2, мы получаем 197,9 6, но обратите внимание, что этот ответ должен иметь 1 десятичный знак, и помните, что значимые числа выделены жирным шрифтом.Затем мы продолжаем делить 197,9 6 на 1,25. Обратите внимание, что мы должны рассчитывать, используя все цифры промежуточного ответа, чтобы минимизировать ошибки оценки; однако мы помним, что он имеет 1 знак после запятой и 4 символа инжира. Ответ — 158,368, но мы округляем ответ в зависимости от количества сиг-фиг, потому что последний шаг — деление. Мы делим число с 4 сиг-инжиром на число с 3 сиг-инжиром, поэтому ответ округляется до 3 сиг-инжир в 158.
Упражнение 20: 6.305 + 0.25 х 5,10 =?
Правильный порядок этого вычисления — сначала умножить 0,25 на 5,10, а затем прибавить ответ к 6,305. Произведение 0,25 и 5,21 дает 1,2 75, с этим промежуточным ответом, следующим правилом наименьшего числа сиг-фигов для 2-х сиг-фиг. Затем мы переходим к следующему этапу расчета, сохраняя все цифры 1,275, отмечая, что он имеет 2 сигн. Поскольку этот промежуточный ответ будет использоваться для следующего сложения, мы также отмечаем, что он имеет 1 десятичный знак, и добавляя его к числу с 3 десятичными знаками, окончательный ответ должен иметь 1 десятичный знак.Сумма 1,275 и 6,305 составляет 7,58, но мы округляем ее до 7,6.
Итак, вот и все — что вам нужно знать о значащих цифрах. Всегда обращайте внимание на свои сиг-фиги, правильно их считая и правильно сообщая результаты своих расчетов. Пора положить конец этим надоедливым выводам о бессмысленных ошибках. Удачи!
Давайте применим все на практике. Попробуйте этот вопрос по химии: Ищете больше химии?Ознакомьтесь с другими нашими статьями по химии.
Вы также можете найти тысячи практических вопросов на Albert.io. Albert.io позволяет настроить процесс обучения так, чтобы он ориентировался на практику там, где вам больше всего нужна помощь. Мы зададим вам сложные практические вопросы, которые помогут вам достичь мастерства в химии.
Начните практиковать здесь .
Вы преподаватель или администратор, заинтересованный в улучшении успеваемости студентов-химиков?
Узнайте больше о наших школьных лицензиях здесь, .
Действительные числа и числовая линия
Абсолютное значение Абсолютное значение числа — это расстояние от графика числа до нуля на числовой прямой. действительного числа a , обозначенное | a |, определяется как расстояние между нулем (началом координат) и графиком этого действительного числа на числовой прямой. Поскольку это расстояние, оно всегда положительно. Например,
Решение: И -12, и 12 — это двенадцать единиц от начала координат на числовой прямой.Следовательно,
Абсолютное значение может быть выражено в текстовом виде с помощью обозначения abs ( a ). Мы часто сталкиваемся с отрицательными абсолютными значениями, такими как — | 3 | или −abs (3). Обратите внимание, что перед символом абсолютного значения стоит знак минуса. В этом случае сначала обработайте абсолютное значение, а затем найдите результат, противоположный результату.
Постарайтесь не путать это с двойным отрицательным свойством, которое гласит, что — (- 7) = + 7.
Пример 7: Упростить: — | — (- 7) |.
Решение: Сначала найдите противоположность −7 внутри абсолютного значения.Затем найдите результат, противоположный результату.
На этом этапе мы можем определить, какие действительные числа имеют конкретное абсолютное значение. Например,
Представьте себе действительное число, расстояние от которого до начала координат равно 5 единицам. Есть два решения: расстояние справа от начала координат и расстояние слева от начала координат, а именно {± 5}. Символ (±) читается как «плюс или минус» и указывает на то, что есть два ответа, один положительный и один отрицательный.
Здесь мы хотим найти значение, для которого расстояние до начала координат отрицательно.Поскольку отрицательное расстояние не определено, это уравнение не имеет решения. Если уравнение не имеет решения, мы говорим, что решение — это пустое множество: Ø.
Тематические упражнения
Часть A: Действительные числа
Используйте обозначение набора, чтобы перечислить описанные элементы.
1. Часы на часах.
2. Дни недели.
3. Первые десять целых чисел.
4.Первые десять натуральных чисел.
5. Первые пять четных положительных целых чисел.
6. Первые пять положительных нечетных целых чисел.
Определите, являются ли следующие действительные числа целыми, рациональными или иррациональными.
7. 12
8. −3
9. 4.5
10. −5
11. 0,36 ¯
12. 0,3 ¯
13.1,001000100001…
14. 1,001 ¯
15. e = 2,71828…
16. 7 = 2,645751…
17. −7
18. 3,14
19. 227
20. 1,33
21. 0
22. 8,675,309
Верно или неверно.
23. Все целые числа являются рациональными числами.
24. Все целые числа являются целыми числами.
25. Все рациональные числа являются целыми числами.
26. Некоторые иррациональные числа рациональны.
27. Все конечные десятичные числа являются рациональными.
28. Все иррациональные числа действительны.
Часть B: Строка вещественного числа
Выберите соответствующий масштаб и нанесите на числовую линию следующие наборы действительных чисел.
29. {−3, 0 3}
30.{−2, 2, 4, 6, 8, 10}
31. {−2, −13, 23, 53}
32. {−52, −12, 0, 12, 2}
33. {−57, 0, 27, 1}
34. {–5, –2, –1, 0}
35. {−3, −2, 0, 2, 5}
36. {−2,5, −1,5, 0, 1, 2,5}
37. {0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2}
38. {−10, 30, 50}
39. {−6, 0, 3, 9, 12}
40. {−15, −9, 0, 9, 15}
Часть C: Заказ вещественных чисел
Заполните поле с помощью <, = или>.
41. −7 ___ 0
42. 30 ___ 2
43. 10 ___− 10
44. −150 ___− 75
45. −0,5 ___− 1,5
46. 0___ 0
47. −500 ___ 200
48. −1 ___− 200
49. −10 ___− 10
50. −40 ___− 41
Верно или неверно.
51. 5 ≠ 7
52.4 = 5
53. 1 ≠ 1
54. −5> −10
55. 4≤4
56. −12≥0
57. −10 = −10
58. 3> 3
59. -1000 <-20
60. 0 = 0
61. Перечислите три целых числа меньше −5.
62. Назовите три целых числа больше −10.
63. Назовите три рациональных числа меньше нуля.
64. Назовите три рациональных числа больше нуля.
65. Перечислите три целых числа от −20 до −5.
66. Назовите три рациональных числа от 0 до 1.
Переведите каждое утверждение в предложение на английском языке.
67. 10 <20
68. −50≤ − 10
69. −4 ≠ 0
70,30 ≥ − 1
71. 0 = 0
72.e≈2,718
Переведите следующее в математическое выражение.
73. Отрицательная семерка меньше нуля.
74. Двадцать четыре не равно десяти.
75. Ноль больше или равен отрицательному.
76. Четыре больше или равно минус двадцать один.
77. Отрицательное два равно отрицательному двум.
78. Минус две тысячи меньше минус одной тысячи.
Часть D: Противоположности
Упростить.
79. — (- 9)
80. — (- 35)
81. — (10)
82. — (3)
83. — (5)
84. — (34)
85. — (- 1)
86. — (- (- 1))
87. — (- (1))
88. — (- (- 3))
89. — (- (- (- 11)))
90.Что противоположно −12
91. Что противоположно π?
92. Что противоположно –0,01?
93. Противоположность –12 больше или меньше –11?
94. Противоположность 7 меньше или больше, чем −6?
Заполните поле с помощью <, = или>.
95. −7 ___− (- 8)
96. 6 ___− (6)
97. 13 ___− (- 12)
98.- (- 5) ___− (- 2)
99. −100 ___− (- (- 50))
100. 44 ___− (- 44)
Часть E: Абсолютное значение
Упростить.
101. | 20 |
102. | −20 |
103. | −33 |
104. | −0,75 |
105. | −25 |
106. | 38 |
107. | 0 |
108. | 1 |
109.- | 12 |
110. — | −20 |
111. — | 20 |
112. — | −8 |
113. — | 7 |
114. — | −316 |
115. — (- | 89 |)
116. | — (- 2) |
117. — | — (- 3) |
118. — (- | 5 |)
119. — (- | −45 |)
120. — | — (- 21) |
121. абс (6)
122.абс (−7)
123. −abs (5)
124. −abs (−19)
125. — (−abs (9))
126. −abs (- (- 12))
Определить неизвестное.
127. | ? | = 9
128. | ? | = 15
129. | ? | = 0
130. | ? | = 1
131. | ? | = −8
132. | ? | = −20
133.|? | −10 = −2
134. |? | + 5 = 14
Заполните поле с помощью <, = или>.
135. | −2 | ____ 0
136. | −7 | ____ | −10 |
137. −10 ____− | −2 |
138. | −6 | ____ | — (- 6) |
139. — | 3 | ____ | — (- 5) |
140. 0 ____− | — (- 4) |
Часть F: Темы дискуссионной доски
141. Изучите и обсудите историю числа ноль.
142. Изучите и обсудите различные системы нумерации на протяжении всей истории.
143. Изучите и обсудите определение и историю π.
144. Изучите историю иррациональных чисел. Кому приписывают доказательство того, что квадратный корень из 2 является иррациональным, и что с ним случилось?
145. Изучите и обсудите историю абсолютных ценностей.
146. Обсудите определение абсолютного значения «просто положительно».
ответов
1: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
3: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
5: {2, 4, 6, 8, 10}
7: Рациональный
9: Рациональный
11: Рациональный
13: Иррациональное
15: Иррациональный
17: Целое, рациональное
19: Рациональный
21: целое число, рациональное
23: Верно
25: Ложь
27: Верно
29:
31:
33:
35:
37:
39:
41: <
43:>
45:>
47: <
49: =
51: Верно
53: Ложь
55: Верно
57: Верно
59: Верно
61: −10, −7, −6 (ответы могут отличаться)
63: −1, −2/3, −1/3 (ответы могут отличаться)
65: −15, −10, −7 (ответы могут отличаться)
67: Десять меньше двадцати.
Leave A Comment