В окружности перпендикулярно диаметру проведена хорда 18 32: в окружности перпендикулярно диаметру проведена хорда. точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. найдите

Задачи на окружность

Задачи на окружность

к содержанию задачника

1. Окружность радиуса 2 внешне касается другой окружности в точке А. Общая касательная двух окружностей, проведенная через точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найдите радиус другой окружности, если длина отрезка АВ равна 4. ответ: 8
2. В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найдите длину хорды CD. ответ: 48
3. Внутри окружности, радиус которой равен 13, дана точка М, которая находится от центра на расстоянии 5. Через точку М проведена хорда АВ, равна 25. Найдите произведение длин отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. ответ: 144
4. Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, которая проходит через центр другой окружности. При этом расстояние от точки касания до центра другой окружности равно диаметру другой окружности. Найдите отношение площадей соответствующих кругов. ответ: 9:4
5. В угол вписаны две окружности, которые касаются внешним образом. Найдите величину угла, если радиусы окружностей равны 2 и 4. ответ:
6. В равнобедренный треугольник вписаны одна над другой две окружности радиусов 3 и 1, которые касаются одна другой. Найдите угол при основании  треугольника. ответ: 60^o
7. Две окружности радиусов 3 и 2 касаются внутренним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух первых окружностей и их линии центров. ответ: 24/25
8. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Секущая пересекает окружность в двух точка C и D (AC > AD). Найдите радиус окружности, если АС = 32, расстояние от точки А до точки касания равно 16, а от центра окружности до секущей — 5. ответ: 13
9. Хорда окружности равна 5. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найдите радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 6.  ответ: 25/8
10. В окружности радиуса проведена хорда длиной . Через один конец хорды проведена касательная к этой окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей. ответ: a/8
11. Через концы дуги окружности, которая содержит 120^о, проведены касательные, а в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Найдите длину этой окружности, если радиус данной дуги равен R. ответ:
12. Две окружности радиусов 4 и 2 касаются внешне в точке М. На окружности меньшего радиуса взята точка T, диаметрально противоположная точке М, и в этой точке построена касательная. Найдите радиус окружности, которая касается двух данных окружностей и касательной. ответ: 6; 3
13. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три меньшие окружности. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньших окружностей равен 3. ответ: 9
14. Внутри окружности радиуса 15/2 взята точка Р на расстоянии 13/2 от центра. Через точку Р проведена хорда длиной 9. Найдите длины отрезков, на которые точка Р делит хорду. ответ: 7; 2
15. Внутри окружности дана точка на расстоянии 15 от центра: через эту точку проведена хорда, которая делится ею на две части длиной 7 и 25. Найдите радиус окружности. ответ: 20
16. В круговой сектор с центральным углом 60^о вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если радиус данного сектора равен R. ответ: R/3
17. Две окружности радиусов 16 и 9 касаются внешне в точке С. К окружностям проведена общая внешняя касательная АВ, где А и В — точки касания. Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает АВ в точке Т. Найдите длину отрезка СТ. ответ: 12
18. В круговой сектор, дуга которого содержит 60^о, вписан круг. Найдите отношение площади этого круга к площади сектора. ответ: 2/3
19. Найдите площадь круга, который вписан в сектор круга радиуса R с хордой .  ответ:
20. Около квадрата, сторона которого , описана окружность. В один из сегментов, которые при этом образовались, вписан квадрат. Найдите сторону этого квадрата. ответ:
21. Найдите радиус окружности, вписанной в сектор, радиус которого равен , если его дуга содержит градусов. ответ:
22. К двум окружностям радиусов 4 и 1 проведены внешняя касательная АВ и внутренняя касательная CD (A, B, C и D — точки касания). Найдите длину отрезка CD, если AB равно 8. ответ:
23. Из точки О к окружности проведены касательные ОА и ОВ (А и В — точки касания). Точка М окружности находится от прямых ОА и ОВ на расстоянии и соответственно. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. ответ:
24. В данный угол вписаны три окружности, средняя из которых касается двух других окружностей радиусов и . Найдите радиус средней окружности. ответ:
25. Окружности радиусов 4 и 8 с центрами в точках О и Р пересекаются в точках С и D. Прямая АВ — их общая внешняя касательная. Найдите площадь четырехугольника АОРВ, если известно, что касательные к окружностям, проведенные в точке С, взаимно перпендикулярны. ответ: 48
26. Две окружности радиуса R с центрами в точках О и Р касаются внешним образом. Прямая пересекает эти окружности в точках A, B, C и D так, что AB = BC = CD. Найдите площадь четырехугольника OADP. ответ:
27. Две окружности радиусов R и r касаются внешне. К ним проведена общая внешняя касательная. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания. ответ:
28. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС  с основанием AB = и острым углом при вершине . Другая окружность касается первой и основания треугольника в ее середине К и расположена вне треугольника. Найдите радиус другой окружности. ответ:
29. Две окружности внешне касаются в точке А, прямая ВС — их общая внешняя касательная. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ равно , АС равно . ответ:
30. Две равные окружности внешне касаются одна другой и третьей окружности, радиус которой равен 4. Отрезок, который соединяет точки касания двух равных окружностей с третьей, равен 6. Найдите радиусы равных окружностей. ответ: 12

 

Метки задачи, окружность. Смотреть запись.

В окружности перпендикулярно диаметру проведена хорда точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найдите длину хорды

Все предметы

Математика

Литература

Алгебра

Русский язык

Геометрия

Английский язык

Химия

Физика

Биология

История

Обществознание

Окружающий мир

География

Украинский язык

Информатика

Украинская литература

Казак тiлi

Экономика

Музыка

Право

Беларуский язык

Французкий язык

Немецкий язык

МХК

ОБЖ

Психология

O’zbek tili

Кыргыз тили

Астрономия

Физкультура и спорт

Другие предметы

adapt_curs — Стр 16

38. Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 8, 15,

39.Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника и проходит

через вершину противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее

p

центр лежит на гипотенузе, а длины катетов равны 3 и 2 10.

40.Величина угла ABC, образованного хордами AB и BC, равна 96 . Найти дугу AB (в градусах), если AB =BC.

41.В окружности перпендикулярно диаметру AB проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найти длину хорды CD.

42.Две окружности, каждая из которых вписана в острый угол 60 , касаются друг друга внешним образом. Найти расстояние от точки касания окружностей до стороны угла, если радиус большей окружности равен 23.

43.В круговой сектор вписана окружность, радиус которой в три раза меньше радиуса сектора. Найти величину центрального угла.

44.Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 и 0,6. Найти длину диаметра.

45.Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной равна 13, а расстояние между точками касания равно 24. Найти радиус окружности.

46.Из точки K, лежащей на окружности, проведены касательная к окружности и хорда KA. Угол между ними равен 60 . Найти длину меньшей дуги, отсекаемой

хордой KA, если радиус окружности равен 3 .

47. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами

90 и 60 . Найти радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно p

3+1.

48. Две окружности, радиусы которых равны 4 и 8, пересекаются под прямым углом. Определить длину их общей касательной.

14.4. Домашнее задание

p

1. В треугольнике ABC проведена медиана AK, равная 13 2 и составляющая со

4

стороной AC угол 30 . Найти BC, если \BCA=45 .

2.BD высота треугольника ABC. Из точки D на сторону BC опущен перпендикуляр DE. Найти BD, если EC =4, DE =3.

3. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 30, длина высоты, проведенной к основанию, равна 20. Найти длину высоты, проведенной к боковой стороне.

4.В треугольнике ABC известно, что \A=45 и ctg \B =0; 25. Найти сторону AB, если площадь треугольника равна 10.

5.В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие на катетах. Сторона квадрата равна

3.Найти длину гипотенузы.

6.Найти длину основания равнобедренного треугольника, площадь которого равна 25, а углы при основании таковы, что их тангенс равен 4.

7.Одна из сторон треугольника на 3 см меньше другой, высота делит третью сторону на отрезки длиной 5 см и 10 см. Найти периметр треугольника.

Окружность и круг /qualihelpy

Окружностью называют множество всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой данной точки, называемой центром окружности. 

Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности, называют радиусом окружности. 

Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности.

Если хорда перпендикулярна радиусу окружности, то точкой пересечения она делится пополам. 

Например, на рисунке 8.83 , следовательно, .

Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром окружности. Диаметр состоит из двух радиусов. 

Например, на рисунке 8.83 хорда  – диаметр окружности и . 

Дугой окружности называют часть окружности, заключенную между двумя точками окружности. Если точки – концы диаметра окружности, то имеем две равные дуги, называемые полуокружностями.

Например, на рисунке 8.84 изображены дуги окружности:  и т.д. Среди них две равные полуокружности . Дуги можно измерять в угловых единицах. Градусная мера полуокружности равна .

Кругом называют часть плоскости, ограниченную окружностью, включая точки окружности. 

Например, на рисунке 8. 85 изображен круг. 

Круговым сектором называют часть круга, ограниченную радиусами и дугой, на которую опираются радиусы. 

Например, на рисунке 8.86 изображен круговой сектор . 

Круговым сегментом называют часть круга, отсекаемую хордой. 

Например, на рисунке 8.87 изображен круговой сегмент .

Свойство пересекающихся хорд: если через точку, лежащую внутри окружности, проведены две хорды, то произведения отрезков, на которые хорды делятся в точке пересечения, равны. 

Например, на рисунке 8.88 .  

Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.

Например, на рисунке 8.89 из точки  к окружности проведены касательные  и .

Если к окружности из одной точки провести две касательные, то окружность будет вписана в угол, образованный этими касательными. Центр окружности, вписанной в угол, расположен на биссектрисе угла (рис. 8.89). 

Свойства касательных

1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны (  на рис. 8.89).2. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания (  на рис. 8.89). 

Свойство хорды и касательной: угол, образованный хордой и касательной, проходящей через конец хорды, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его. 

Например, на рисунке 8.90  – касательная к окружности,  – хорда окружности,  и .

Секущей называют прямую, имеющую с окружностью две общие точки. 

Например, на рисунке 8.91  – отрезок секущей, а  – внешняя часть отрезка секущей.

Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезка секущей и ее внешней части.

Например, на рисунке 8.91 .

Свойство секущих к окружности: если из одной точки к окружности проведены секущие, то все произведения отрезков секущих и их внешних частей равны.

Например, на рисунке 8. 92 .

Угол называют центральным, если его вершина лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами окружности. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.

Например, на рисунке 8.93 изображен центральный угол . 

Угол называют вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности. 

Например, на рисунке 8.94 изображен вписанный в окружность угол .

Свойства вписанных в окружность углов

1. Вписанный в окружность угол равен половине соответствующего ему центрального угла. 

Например, на рисунке 8.95.

2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 8.96).

3. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (рис. 8.97).

Задание №14. Стереометрия с доказ-вом. ЕГЭ. Математика.

      БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 14. Стереометрия с доказательством.

49. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Ответ: б) 64+32√3

50. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 6.

а) Докажите, что угол между прямыми АС и BD₁ равен 60°.
б) Найдите расстояние между прямыми АС и BD₁.
Ответ: б) 2√3

 51. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA₁.
а) Докажите, что прямые MB и B₁C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми MB и B₁C.
Ответ: б) √30/5

52. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ―12√2. Через вершину A проведена плоскость a, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.
а) Докажите, что плоскость a делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2:1, считая от вершины P.
б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

53. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK: KA₁ = 1 : 2. Плоскость a проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD₁ в точке M.
а) Докажите, что MD:MD₁=2:1.
б) Найдите площадь сечения, если AB=4, AA₁=6.
Ответ: б) 8√6

54. На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ:OB=1:2. Точка P — середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.
Ответ: б) √5

55. В правильном тетраэдре АВС точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.
а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

56. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=√2, CC₁=2.
а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 45°.
б) Найдите объём цилиндра.
Ответ: б) 4π

57. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки B₁ и C₁, причем BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC₁ прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB₁ и AC₁, если АВ = 6, BB₁=15, B₁C₁=8.

58. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ . лежит равнобедренный (AB = BC) треугольник ABC. Точки K и M — середины рёбер A₁B₁ и AC соответственно.
а) Докажите, что KM = KB.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB = 8, AC = 6 и AA₁= 3.

59. Дана правильная треугольная призма  ABCA₁B₁C₁ , у которой сторон основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C₁ и середину T ребра A₁B₁ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Ответ: б) arctg 3

60. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания равны 4, а боковые ребра 5.
а) Докажите, что плоскость A₁C₁E перпендикулярна плоскости BB₁E₁.
б) Найдите угол между плоскостями A₁C₁E и ABC.

61. В треугольной пирамиде SABC основанием является правильный треугольник ABC, а ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точки D, E и F середины ребер AB, BC и BS соответственно.
а) Докажите, что плоскость DEF делит пополам высоту пирамиды, проведенную из вершины B.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости DEF, если AB=6, AS=10.

62. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=√33, все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS – точка F так, что SF=BE=3.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.

б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.

63. Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой равны 12. Точка N – середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2:1, считая от вершины M.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.
Ответ: б) 7√51

64. На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB=BC. Медиана AM треугольника ASC пересекает высоту конуса.
а) Точка N — середина отрезка AC. Докажите, что MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS=2, AC=√6.

65. В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
Ответ: б) 12√3

66. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B —точка Q, причём AP= BQ = SA.
а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

67. Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ . перпендикулярно прямой BD₁.
а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB₁ и B₁D.

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём

параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 48√3, AB = 2√3 и AD = 6.
Ответ: б) 60°

68. На ребре AA₁прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка Е так, что A₁E=6AE. Точка Т — середина ребра B₁C₁. Известно, что АВ =4√2, AD=12, AA₁=14.
a) Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 4:3.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.

69. Дана пирамида SABC в которой SC=SB=AB=AC=√17, SA=BC=2√5 . 

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC. 

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

70. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ . Точка K – середина ребра C1D1. 

а) Докажите, что расстояние от вершины A1 до прямой BK равно ребру куба. 

б) Найдите угол между плоскостями KBA1 и BCC1. 

71. На продолжениях рёбер A1A и D1C1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки K и L соответственное, причем AA1=AK,   C1D1=C1L.

а) Докажите, что прямая KL проходит через середину ребра BC.

б) Найдите угол между прямыми AD1 и KL, если AB=2√2,  AD=6,  AA1=8.

72. На ребре AB правильной треугольной пирамиды SABC с основанием ABCотмечена точка K, причём AK=15, BK=3. Через точку K проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC.

а) Докажите, что плоскость α проходит через середину высоты пирамиды.

б) Найдите расстояние между плоскостями α и SBC, если высота пирамиды равна 13.

73.  В правильной треугольной пирамиде SABC точка P – делит сторону AB в отношении 2:3 считая от вершины A, точка K – делит сторону BC в отношении 2:3 считая от вершины C. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость a.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью a является прямоугольником. 

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости a если известно, что SC=5, AC=6.  

74. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=9, а боковое ребро SA=6. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK : KB=SM : MC =2:7. Плоскость a содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость a делит ребро SB в отношении 2:7 считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

75. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=3, абоковое ребро SA=6. Точка K делит ребро SC, причем SK:KC=1:2. Плоскость a проходит через точку K и параллельна SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскость a является равнобедренной трапецией.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка S, а основание – сечение пирамиды SABC плоскость a.

Окружность

ОКРУЖНОСТЬ

ЧАСТЬ А

1. Найдите длину окружности, если площадь ограниченного ею круга равна .

2. Вычислите площадь кругового сектора с центральным углом , если радиус круга равен 4.

3. Вычислите длину дуги кругового сектора с центральным углом , если радиус круга равен 3.

4. Радиус большей окружности и диаметр меньшей окружности равны 6. Найдите площадь кругового кольца.

5. Площадь сектора равна 49, а длина дуги равна 14. Найдите радиус сектора.

6. Точки C и D лежат на окружности по одну сторону от хорды AB, . Найдите градусную меру угла ADB.

7. Точки C и D лежат на окружности по разные стороны от хорды AB, . Найдите градусную меру угла ADB.

8. Точки B, D и N лежат на окружности с центром О. Найдите угол BOD, если .

9. Хорда АВ стягивает дугу в . Определить углы, которые образует хорда с касательными к окружности, проходящими через ее концы.

10. Из точки В к окружности с центром О проведена касательная. Найдите радиус окружности, если .

11. Из точки вне окружности проведены касательная и секущая. Известно, что касательная меньше секущей на 2, и что внешний отрезок секущей равен 6,4. Найти длину отрезка касательной.

ЧАСТЬ В

12. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, , . Боковые стороны АB и DC продолжены до пересечения в точке O. Найдите градусную меру угла AOD.

13. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, диагонали АС и ВD пересекаются в точке в точке O, ,. Найдите градусную меру угла COD.

14. Окружность касается стороны АС треугольника ABC в точке D, стороны BC – в точке B и пересекает AB в точке E, . Найдите градусную меру угла BAC.

15. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной и . Найдите радиус окружности, если расстояние между серединами хорд равно 2,5.

16. В круге радиусом 9 проведена хорда. Расстояние от одного конца хорды до касательной к окружности, проведенной через другой конец хорды, равно 12,5. Найдите длину хорды.

17. Точка К делит хорду АР на отрезки 12 и 14, а расстояние от центра окружности до точки К равно 11. Найдите радиус данной окружности.

18. Из точки вне окружности проведены к ней две касательные, угол между которыми . Расстояние между точками касания равно . Найти радиус окружности.

19. Если в треугольнике ABC стороны AB, AC, BC имеют длины 10, 17 и 21 соответственно, то наименьшее из расстояний от вершины А до точек касания сторон треугольника с вписанной окружностью равно…

20. Продолжение общей хорды АВ двух окружностей пересекает их общую касательную MN в точке K. Если , то расстояние MN между точками касания равно…

21. В окружности хорды AB и CD пересекаются под прямым углом, AD = 6, BC = 8. Найдите радиус окружности.

22. В окружности радиусом из одного конца диаметра проведена касательная, а из другого – хорда, стягивающая дугу, равную . Хорда продолжена до пересечения с касательной. Найдите внешний отрезок секущей.

23. В треугольник с периметром 18 вписана окружность. Отрезок касательной, проведённой к окружности параллельно основанию, заключенный между сторонами треугольника, равен 2. Найти основание треугольника при условии, что оно больше 4.

24. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 5, большее основание равно 8. Найдите радиус круга, вписанного в трапецию.

25. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиусом 4. Найдите длину большего основания, если меньшее основание равно 6.

26. В равнобедренной трапеции основания равны 9 и 21, а высота равна 8. Найдите радиус описанного круга.

27. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 6. Найти среднюю линию трапеции, если точка касания делит боковую сторону на отрезки, разность между которыми равна 5.

28. Большее основание трапеции служит диаметром описанной около нее окружности радиуса . Острый угол при основании трапеции равен . Найти площадь трапеции.

29. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки 4 и 9. Найти площадь трапеции.

30. Стороны КN и LM трапеции KLMN параллельны. KN = 3, Прямые LM и MN являются касательными к окружности, описанной около треугольника KLN. Найти площадь треугольника KLN.

31. На стороне АВ треугольника АВС, как на диаметре, построена окружность, которая пересекает АС в точке М и ВС в точке Е. Найдите АС и ВС, если известно, что АВ = 3, АМ : МС = 1 : 1,

ВЕ : ЕС = 7 : 2.

32. Хорда АВ стягивает дугу окружности, равную . Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде АВ. При этом AD = 2, BD = 1, .Найдите площадь АВС.

33. В окружность вписан треугольник АВС. Расстояние от точек А и С до прямой, касающейся окружности в точке В, равны соответственно 4 и 9. Найти длину высоты, проведённой из вершины В.

34. Треугольник АВС вписан в окружность радиуса . Точка D лежит на дуге ВС, а хорды АD и ВС пересекаются в точке М, , АВ =, ВМ : МС = 2 : 3. Найти длину ВС.

35. Две окружности радиусами 4 и 9 касаются внешним образом в точке С. К ним проведена общая внешняя касательная. Найдите длину отрезка АВ, где А и В – точки касания окружности с касательной.

36. В угол вписаны две внешне касающиеся окружности. Найдите отношение радиуса большей к радиусу меньшей окружности.

37. В угол вписаны две внешнекасающиеся окружности. Хорды, соединяющие точки касания каждой окружности со сторонами угла, равны соответственно 4 и 12. Найдите градусную меру угла.

38. Общая хорда АВ двух пересекающихся окружностей равна 48. Радиусы двух окружностей, проведенные в точку А, взаимно перпендикулярны. Радиус большей окружности равен 40. найдите радиус меньшей окружности.

39. Две окружности радиусами 15 и 13 пересекаются в точках А и В так, что центры окружностей находятся по одну сторону от хорды АВ. Найдите длину хорды АВ, если расстояние между центрами окружностей равно 4.

40. Две окружности касаются внутренним образом. Через центр меньшей проходит прямая, которая пересекает большую окружность в точках и , а меньшую в точках и , причем . Найдите , где — радиус большей, а — радиус меньшей окружности.

ЧАСТЬ С

41. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки D и E соответственно, причем

AD : ВD = 11, CE : EB = 2. Найдите отношение радиуса окружности, описанной около треугольника АВС, к радиусу окружности, вписанной в этот треугольник, если известно, что угол ВАЕ равен углу BCD, а угол АВС равен .

42. Отрезок АВ является диаметром окружности, точка С лежит вне этой окружности. Отрезки АС и ВС пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите косинус угла ACB, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1 : 4.

43. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АО перпендикулярен радиусу ВО, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD. Длина перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую AD, равна 9. Длина отрезка ВС в два раза меньше длины отрезка AD. Найдите площадь треугольника АОВ.

44. В равнобедренную трапецию с периметром 100 вписана окружность . Найти радиус окружности, если расстояние между точками касания окружности и боковых сторон равно 16.

45. В трапеции АВСD основание АD = 16. Боковая сторона СD равна Окружность, проходящая через точки А, В ,С пересекает АD в точке N, причем угол АNВ равен . Найти ВN.

46. В трапеции ABCD основания AB = 4 и CD = 12. Окружность проходит через вершины А, В, С и касается AD. Найти диагональ АС.

47. В трапеции ABCD основания и боковые стороны . Найдите радиус окружности проходящей через точки А и В и касающейся стороны CD.

48. Во вписанном четырёхугольнике АВСD, в котором АВ = ВС, К – точка пересечения диагоналей. Найдите АВ, если BK = 3, KD = 6.

49. Дан параллелограмм ABCD. Биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке P и стороны AD в точке Q. Найти угол BAD, если AD = 6, PQ = 3.

50. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника АВС в точках А и С. На дуге, лежащей внутри треугольника взята точка М такая, что расстояние от неё до сторон АВ и ВС равны 6 и 24. Найти расстояние от М до стороны АС.

51. В треугольнике KLM проведены биссектрисы KN и LP, которые пересекаются в точке Q. Отрезок PN равен 1, а вершина М лежит на окружности, проходящей через точки N, P, Q. Найдите периметр треугольника NPQ.

52. Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписанной окружности.

53. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника симметричны относительно одной из его сторон. Найдите радиус описанной окружности, если радиус вписанной окружности равен .

54. Две окружности радиусами 3 и 1 касаются внешним образом. Найти расстояние от точки касания окружностей до их общих касательных.

55. Две окружности касаются внешним образом в точке А. Найти радиус большейокружности, если хорды, соединяющие точку А с точками касания одной из общих внешних касательных равны 6 и 8.

56. Две окружности радиусов 4 и 1 касаются внешним образом. Найти радиус окружности, которая касается данных окружностей и их общей внешней касательной.

57. В угол, величина которого равна , вписаны две пересекающиеся окружности. Касательные к окружностям, проходящие через их общую точку образуют прямой угол. Найти радиус меньшей окружности, если длина их общей хорды равна 3.

ОКРУЖНОСТЬ

ОТВЕТЫ

1.	20. 12	39. 24
2.	21. 5	40. 115
3.	22. 1	41.
4. 27	23. 6	42. 0,5
5. 7	24. 2	43. 22,5
6.	25. 12	44. 10
7.	26. 10,625	45. 8
8.	27. 13	46.
9.	28. 81	47. 12,5
10. 6	29. 78	48.
11. 8	30.	49.
12.	31. 3; 2	50. 12
13.	32.	51.
14.	33. 6	52.
15.	34. 5	53.
16. 15	35. 12	54. 0; 1,5
17. 17	36. 3 : 1	55.
18. 2	37.	56.
19. 3	38. 30	57.

Геометрия материал для экзамена

Экзамен по геометрии МОУ «Основная общеобразовательная школа п.Усть-Кара»

Вариант 1

111 1111

Треугольник АВС – равнобедренный (основание треугольника АС). Определите угол 2, если угол 1 равен 56⁰

1. Угол α, образованный при пересечении прямых n и k равен 45^0, а угол β, образованный при пересечении прямых m и k, равен 135⁰. Определите взаимное расположение прямых n и m. k β

А) прямые n и m перпендикулярны. m

Б) прямые n и m пересекаются. α n

В) прямые n и m пересекаются, но не перпендикулярны.

Г) Такая ситуация невозможна.

2. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Определите, какая из его сторон – АВ или ВС – больше, если угол ВМА равен 80⁰.

Ответ:_______________________________

3. Две касающиеся окружности с центрами в точках О и О₁ касаются сторон угла А (В и В₁ — точки касания). Расстояние между точками А и О₁ в два раза меньше, чем расстояние между центрами окружностей. Найдите радиус О₁В₁, если радиус ОВ равен 24 см.

А

Ответ:______________________________________________

30⁰ 45⁰

В треугольнике АВС углы, прилежащие к стороне АС, равны 30⁰ и 45⁰. Найдите отношение сторон АВ и ВС. В

А

С

4. В прямоугольной трапеции АВСD (АВ АD) боковая сторона СD в два раза больше стороны АВ. Найдите градусную меру угла BCD.

В С

А D

Ответ:_________________________

5. В четырехугольнике АВСD длины диагоналей АС и ВD равны 14 и 18 см соответственно. Найдите периметр четырехугольника EFGH, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника ABCD.

А)16 см. Б)32см. В)36см. Г)64см.

6. Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника, периметр которого равен 18 см.

Ответ:______________________________________

7. Две окружности касаются в точке D.

Угол между диаметром FD и хордой FE меньшей

окружности равен 20⁰. Найдите градусную

меру угла β.

Ответ:______________________________

8. В ромб ABCD вписана окружность. Точка касания G

окружности делит сторону ромба AB на отрезки AG и GB,

соответственно равны 2 см и 8 см.

Найдите радиус вписанной окружности.

А) 10 см. Б) 4 см. В)6 см.

9. Найдите сторону правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см.

Ответ:___________

10. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 14 см и образует с большей стороной угол, равный 30⁰.

Ответ:_______________________

11. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17:15, боковая сторона треугольника равна 34 см. Найдите основание треугольника.

12. В трапеции АВСD (AD II BC, AD>BC) на диагонали АС взята точка Е, такая, что ВЕIICD. Докажите, что площади треугольников АВС и DEC равны.

13. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекаются в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ=13см, СЕ 9см, ЕD=4см и расстояние между точками В и D равносм.

Экзамен по геометрии МОУ «Основная общеобразовательная школа п.Усть-Кара»

Вариант 2

1. В треугольнике АВС углы ВАС и ВСА равны 20⁰ и 60⁰ соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой ВD.

Ответ:_____________________

2. Две окружности с центрами О и О₁ и равными радиусами пересекаются в точках А и В. Определите вид четырехугольника АО₁ВО.

А) Параллелограмм, отличный от ромба и прямоугольника.

Б) Прямоугольник, отличный от квадрата.

В) Ромб.

Г) Трапеция.

3. Определите, что больше: боковая сторона или основание равнобедренного треугольника, если один из его углов тупой.

Ответ:____________________

4. Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О и расположены так, что прямые АB и СD параллельны. Известно, что АВ=18см, CD=9см и СО=6см. Найдите длину отрезка ВС.

Ответ:________________ А В

O

С D

5. Углы при основании AD трапеции ABCD равны 60⁰ и 30⁰,АD=17см,ВС=7см. Найдите CD.

В С

Ответ:________________________ А 30⁰ 60⁰ D

6. Угол между высотами BL и ВК параллелограмма ABCD, проведенными из вершины тупого угла, равен 52 ⁰. Найдите величину угла ВАD.

Ответ:__________________ В C

L

А

7. Через точку G, лежащую на основании треугольника АВС, проведены отрезки GF и GD, параллельны сторонам ВС и АВ соответственно. В

Найдите периметр четырехугольника GFBD, F

если АВ=ВС=6см. D

А)6см. В)12см. С)18см. D)24см. А С

8. Середины сторон правильного четырехугольника со стороной 6 см последовательно соединены. Найдите периметр получившегося многоугольника.

Ответ:___________________________

Дана окружность с центром О.

По данным рисунка найдите градусную меру углаβ.

Ответ:_____________________ О

8. В ромб АВСD с острым углом 30⁰ вписана окружность радиуса 3 см. Найдите периметр ромба.

Ответ:____________________

8. Площадь треугольника АВС равна 14 см². Стороны АВ и АС соответственно равны7 см 8 см. Найдите угол между сторонами АВ и АС. В

Ответ:______________

А С

8. Найдите угол между биссектрисами углов А и В параллелограмма ABCD.

Ответ: ________________________ В F С

A E D

8. Выясните вид треугольника со сторонами 9, 5,и 6. Найдите все углы данного треугольника.

8. Докажите, что медиана АМ треугольника АВС делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС.

9. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-5;13) В(3;5), С(-3;-1). Найдите:

а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведенную к стороне АС; в) средние линии треугольника.

Экзамен по геометрии МОУ «Основная общеобразовательная школа п.Усть-Кара»

Вариант 3

1. Внутри равностороннего треугольника АВС отмечена точка D, такая, что

ВАD=∠BCD=15⁰. Найдите угол АDC.

Ответ:_____________________

2. Прямые АС и BD пересекаются в точке О. В треугольниках ВОС и AOD BC=AD; ∠BCO=∠AOD. Найдите BO, если BD=5см.

Ответ:_______________________

3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Определите, какая из сторон – ВС или СD – меньше, если угол АОВ острый.

Ответ:____________________

4. В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что они имеют общий угол. Сторона ромба равна 5 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС, если сторона АС равна 10 см.

В

Ответ:____________________________ D E

A F C

5. Стороны треугольника равны 5см, 15 см и 16см. определите вид этого треугольника.

А) остроугольный; В)прямоугольный;

С) тупоугольный; D) такого треугольника не существует.

6. Найдите угол между биссектрисами углов А и В параллелограмма ABCD.

Ответ: ________________________ В F С

A E D

7. Диагонали трапеции ABCD являются биссектрисами ее углов при основании AD. Найдите периметр трапеции, если ее основания равны 12 см и 8 см.

В С

А) 44 см. В)40 см. С) 20 см. Д) 36 см.

А D

8. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внутренних углов равен 165⁰?

Ответ:________________

9. Центральный угол на 75⁰ больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Найдите радианную меру центрального угла.

Ответ:______________

10. Найдите отношение стороны квадрата, описанного около окружности, к стороне квадрата, вписанного в нее.

А) . В)2 см. С). Д).

11. Стороны параллелограмма ABCD равны 4 см и 6 см, высота AL, проведенная к меньшей стороне, равна 3 см. Найдите высоту BK, проведенную к большей стороне. В С

Ответ:________________

А D

L

12. Радиусы двух окружностей равны 4 см и 7 см, а расстояние между центрами равно 12 см. Определите, сколько общих точек имеют эти окружности.

Ответ: ____________________________

13. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота проведенная к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.

14. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11см и 35 см. Найдите углы трапеции.

15. Выясните каким является треугольник со сторонами 17, 8 и 15. Найдите все углы данного треугольника.

Экзамен по геометрии МОУ «Основная общеобразовательная школа п.Усть-Кара»

Вариант 4

1. На рисунке ∠1 =45⁰; ⁰; ∠3 =124⁰. Найдите угол 4. d

Ответ:__________________ с a

^{2 3}

1 b

4

2. Прямая АD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит ее пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4 см.

B

Ответ:__________________

D

A M C

3. Стороны а и b треугольника равны 10 и 12 см. Определите наименьшую и наибольшую возможную длину стороны с, если ее длина выражается целым числом.

А) наименьшая длина стороны с равна 3, а наибольшая ее длина равна 21.

В) наименьшая длина стороны с равна 12, а наибольшая ее длина равна 21

С) наименьшая длина стороны с равна 3, а наибольшая ее длина равна 12.

D наименьшая длина стороны с равна 10, а наибольшая ее длина равна 12.

4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD и BE. Найдите длину стороны АС, если АD=5см, ВЕ = 4см, ВС = 6см.

Ответ:_________________________ В D

Е

А C

5. В окружности с центром в точке О проведена хорда GC. Найдите расстояние от центра окружности до хорды GC, если радиус окружности равен 13 см, а хорда GC равна 24 см.

JjJ

Ответ:____________________ C

G

6. Определите, вершинами какого четырехугольника являются середины сторон ромба, отличного от квадрата.

А) Параллелограмма, отличного от прямоугольника и ромба.

В) Прямоугольника, отличного от квадрата.

С) Ромба, отличного от квадрата.

D) Квадрата.

7. В прямоугольнике ABCD диагональ BD в два раза больше стороны CD. Найдите периметр треугольника COD, если расстояние от точки О пересечения диагоналей прямоугольника до стороны ВС равно 6 см.

А) 9см. В)18 см. С)24 см. D) 36 см. B C

8. Определите центральный угол правильного n-угольника, если радиус вписанной в него окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности.

Ответ:________________

9. Найдите площадь треугольника со сторонами 4,5 и 4см .

Ответ:________________

10. Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности и разбивают ее на четыре дуги, градусные меры которых равны 56⁰, 74⁰, 97⁰ и 133⁰. Найдите меньший угол четырехугольника. С

Ответ:__________________ В

А D

11. Одна из диагоналей прямоугольной трапеции делит ее на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Какова

площадь этой трапеции, если ее боковая сторона,

прилежащая к прямому углу, равна 4? В С

Ответ:___________________

А D

12. Расстояние от центра окружности до прямой равно 7 см, а диаметр окружности равен 14см. Определите, сколько общих точек имеют окружность и прямая.

Ответ:________________

13. Решите треугольник АВС если а=32, с=45, угол С равен 54⁰.

14. Дан прямоугольник АВСD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство АМ²+ СМ²= ВМ² + DМ².

15. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

Экзамен по геометрии МОУ «Основная общеобразовательная школа п.Усть-Кара»

Вариант 5

1. Диагональ АС прямоугольника АВСD образует угол 34⁰ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.

Ответ:_____________________ В С

А D

2. Равные углы образованные при пересечении прямых n и m секущей k, обозначены буквой β. Определите взаимное расположение прямых n и m, если β=130⁰.

m k

А) Прямые перпендикулярны.

В) Прямые пересекаются, но не перпендикулярны.

С) Прямые параллельны. n

D)Такая ситуация невозможна.

3. В треугольнике АВС биссектриса ВD, проведенная к стороне АС, делит ее на отрезки АD = 5см и CD=4см. Определите, какой из его углов А или С –больше.

Ответ:_______________

4. Две окружности радиусов 9 см и 3 см касаются внешним образом в точке А, через которую проходит их общая секущая ВС. Найдите длину отрезка АВ, если АС=5см.

А) 14см. В)12см. С)см. D) 15 см. С

В

5. В треугольнике АВС сторона АС равна 8 см, один из углов, прилежащих к этой стороне, равен 45⁰, а угол, противолежащий ей, равен 60⁰. Найдите сторону АВ.

В

Ответ:________________ ⁶⁰

А ⁴⁵ С

6. Угол между высотами BK и BL параллелограмма ABCD, прведенными из вершины острого угла, равен 144⁰. Найдите величину угла BCD.

L

B C

Ответ:________________

K

A D

7. Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9 см, а его диагонали равны 14 см и 10 см. Точка О является точкой пересечения диагоналей. Найдите периметр треугольника ВОС. В С

А) 26 см. В)33см. С)21 см. D) 28 см. А D

8. Найдите сторону правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см.

Ответ:___________

9. Две окружности касаются в точке С. Диаметр АС окружности с центром в точке О проходит через через центр окружности с центром в точке О₁ и образует с хордой FE угол, равный 150⁰. Найдите градусную меру углаβ.

Ответ:______________

10. Около треугольника со сторонами 5 см, 12 см и 13 см описана окружность. Вычислите ее длину.

В

Ответ:___________________ А

С

11. По данным рисунка найдите площадь закрашенной фигуры, если данный треугольник равносторонний, а центры проведенных дуг – вершины треугольника.

Ответ:__________________

4

2 2

12. Определите сколько решений имеет задача(решать задачу не надо):

Стороны треугольника АВС равны 12,50 и 58см. Найдите углы треугольника АВС.

В

Ответ:___________________ А С

13. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17:15, боковая сторона треугольника равна 34 см. Найдите основание треугольника.

14. В трапеции АВСD (AD II BC, AD>BC) на диагонали АС взята точка Е, такая, что ВЕIICD. Докажите, что площади треугольников АВС и DEC равны.

15. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекаются в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ=13см, СЕ 9см, ЕD4см и расстояние между точками В и D равносм.

Экзамен по геометрии МОУ «Основная общеобразовательная школа п.Усть-Кара»

Вариант 6

1. Из вершины С треугольника АВС проведена медиана CD, которая отсекает от него равнобедренный треугольник ACD (AD=CD) Найдите угол АВС.

Ответ:___________________ С

А В

D

2. В четырехугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Известно, что АО=ОС, а стороны АВ и CD параллельны. Определите вид четырехугольника АВСD.

А) параллелограмм отличный от прямоугольника и ромба.

В) прямоугольник, отличный от квадрата. С

С) ромб. В

D) трапеция.

А D

3. Угол, образованный хордой и радиусом окружности, равен 72⁰. Определите, что больше хорда или радиус окружности.

Ответ:_____________________

4. В трапеции проведены диагонали АС и ВD. Известно, что АD=18см, ВС = 12см и СО= 8см. Найдите отрезок АО.

А) 18 см. В)27см. С)12 см. D) 16 см.

5. Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 11см и 23 см, а длина боковой стороны – 10 см.

Ответ:_______________________

6. В прямоугольнике АВСD диагональ АС в два раза больше стороны СD. Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.

Ответ:___________________ В С

А D

7. Через точку L, лежащую на гипотенузе АВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, проведены отрезки LK и LM, перпендикулярные сторонам АС и ВС соответственно. Найдите катет треугольника, если периметр четырехугольника LKCM равен 12 см. С

А) 6 см. В)12см. С)24 см. D) 6 см. М

К

А В

L

8. Периметр правильного шестиугольника равен 24см. Найдите его большую диагональ.

Ответ:____________________

9. На диаметре окружности АС построен равносторонний треугольник АВС, стороны которого делят полуокружность на три дуги. Определите градусную меру дуги DF.

Ответ:_______________

10. В равнобокую трапецию вписана окружность. Найдите периметр этой трапеции, если ее основания равны 8 см и 12 см.

Ответ:_____________ B C

A D

11. Площадь треугольника, описанного около окружности, равна 96 см².Найдите периметр этого треугольника, если радиус окружности равен 4 см.

Ответ: _____________________

В

А

L С

12. Определите, сколько решений имеет следующая задача (решать задачу не надо): В треугольнике АВС сторона АВ равна 8 см, сторона ВС равна 16 см, а синус угла С равен 0,4. Найдите угол А.

Ответ:________________

13. Выясните вид треугольника со сторонами 9, 5,и 6. Найдите все углы данного треугольника.

14. Докажите, что медиана АМ треугольника АВС делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС.

15. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-5;13) В(3;5), С(-3;-1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведенную к стороне АС; в) средние линии треугольника.

Экзамен по геометрии МОУ «Основная общеобразовательная школа п.Усть-Кара»

Вариант 7.

1. В треугольнике АВС угол А равен 64⁰. Найдите угол ВDС между биссектрисами углов В и С. А

Ответ:______________________________

D

В С

2. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ равны высоты ВН и В₁Н₁ и ВС=В₁С₁. Найдите угол С₁В₁А₁, если∠ВСН=72⁰ ,∠Н₁В₁А₁= 64⁰.

Ответ:_________________

В В₁

С А С₁ А₁

Н Н₁

3. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О, образуя тупой угол DОС. Определите, какое расстояние больше: от точки О до стороны АВ или от точки до стороны ВС.

Ответ:__________________

4. В треугольник АВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник DEF так, что его гипотенуза DF II АС. Найдите высоту треугольника АВС, если Ас=16 см, DF=8cм. B

Ответ:_______________ D F

А Е С

5. Стороны треугольника равны 3 см, 2 см и см. Определите вид этого треугольника.

А) остроугольный.

В) прямоугольный.

С) тупоугольный.

D) Такого треугольника не существует.

6. В параллелограмме АВСD сумма двух углов равна 132⁰. Найдите градусную меру тупого угла параллелограмма. В С

Ответ:_____________________

А D

7. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектрисы его углов А и D делят сторону ВС на три равные части по 6 см каждая.

А) 16 см. В)32см. С)24 см. D) 48см.

8. Сколько вершин имеет правильный многоугольник, если каждый из его внешних углов равен 24⁰?

Ответ:__________________

9. Хорда стягивает дугу окружности, градусная мера которой 46⁰. Найдите радианную меру угла, который образует эта хорда с касательной к окружности, проходящей через ее конец.

Ответ:_____________

10. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в окружность, если сторона правильного шестиугольника, описанного около этой окружности, равна 2 см.

А) 1,5 см. В)2см. С)3 см. D) 2 см.

С₃ А₁ С₄

С₂ С₅

А₂ А₃

С₁ С₆

11. Площадь ромба ABCD равна 242см². Вычислите сторону ромба, если один из его углов равен 135⁰.

Ответ:_______________ А C

D

12. Радиусы двух окружностей равны 8 см и 5см, а расстояние между их центрами равно 13 см. Определите, сколько общих точек имеют эти окружности.

Ответ:________________

13. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота проведенная к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.

14. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11см и 35 см. Найдите углы трапеции.

15. Выясните каким является (вид)треугольник со сторонами 17, 8 и 15. Найдите все углы данного треугольника.

Экзамен по геометрии МОУ «Основная общеобразовательная школа п.Усть-Кара»

Вариант 8.

1. На рисунке ∠1=55⁰ ,∠2=125⁰,∠3=123⁰. Найдите угол 4.

Ответ:__________________ c d а

b

2. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка F так, что ∠ ABF =∠CAB. Прямая DF, параллельная стороне АВ, пересекает сторону ВС в ее середине – точка D. Найдите величину угла АВС. В

Ответ:_____________________ D

А С

3. Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны соответственно 6 и 2 см. Определите длину третьей стороны этого треугольника.

Ответ:____________________

4. В треугольнике АВС высота CD, опущенная из вершины прямого угла С, делит гипотенузу АВ на отрезки AD =9см и ВD=16см. Найдите высоту CD треугольника. C

Ответ:_________________

В A

D

5. В окружности диаметра 20 см проведена хорда, равная 12см. Найдите расстояние от данной хорды до параллельной ей касательной (С – точка касания).

С В

Ответ:___________________

А

6. Определите, вершинами какого четырехугольника являются середины сторон прямоугольной трапеции.

А) Параллелограмма, отличного от прямоугольника и ромба.

В) Прямоугольника, отличного от квадрата.

С) Ромба, отличного от квадрата.

D) Квадрата.

7. Диагональ АС квадрата АВСD является стороной квадрата АСМN. Найдите АМ, если АВ=6см.

А) 12 см. В)12 см. С)3 см. D) 6см.

C M

В

А N

8. Определите центральный угол правильного n-угольника, если его сторона равна 2 см, а радиус описанной окружности – см.

Ответ: _________________

9. Хорда разбивает окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 4:5. Под каким углом видна эта хорда из точек меньшей дуги?

Ответ:______________________

10. Трапеция АВСD вписана в окружность. Найдите угол СDA, если ∠BAD=62⁰.

Ответ:_____________ В С

А D

11. В равнобокой трапеции ABCD проведены диагональ АС и высота СН. Найдите отношение площади трапеции к площадь треугольника АСН.

Ответ: ____________________ В С

А D

H

12. Расстояние от центра окружности до прямой равно 11 см, а диаметр окружности равен 20 см. Определите, сколько общих точек имеют окружность и прямая.

Ответ:________________

13. Решите треугольник АВС если а=32, с45, угол С равен 54⁰.

14. Дан прямоугольник АВСD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство АМ²+ СМ²= ВМ² + DМ².

15. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

Экзамен по геометрии МОУ «Основная общеобразовательная школа п.Усть-Кара»

Вариант 9.

1. Треугольник АВС – равнобедренный (основание треугольника АС). Определите угол 2, если ∠1=49⁰. В

Ответ:_____________________ ¹

₂

А С

2. Сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых n и m секущей k, равна 90⁰. Определите взаимное расположение прямых n и m.

А) прямые n и m перпендикулярны.

В) прямые n и m пересекаются, но не перпендикулярны.

С) прямые n и m параллельны. k n

D) такая ситуация невозможна.

m

3. Из точки А к прямой n проведены две наклонные АВ и АС. Наклонная АВ образует с прямой n угол 45⁰, а наклонная АС- угол 60⁰. Определите, у какой из наклонных – АВ или АС – проекция на прямую n больше.

Ответ:_______________

4. Найдите меньший угол параллелограмма, если его стороны 1 и а одна из диагоналей равна.

А)30⁰ В)120⁰. С)60⁰. D) 150⁰.

5. В трапеции АВСD диагональ BD является биссектрисой прямого угла ADC. Найдите отношение диагонали BD к стороне АВ трапеции, если ∠ВАD =30⁰.

Ответ:______________

6. Угол между высотами BL и BK параллелограмма АВСD проведенными из вершины тупого угла АВС, в три раза меньше самого угла АВС. Найдите градусную меру угла ВАD. В С

Ответ:__________________

L

А К В

7. Средняя линия КN трапеции АВСD пересекает ее диагонали в точках L и M. Найдите длину отрезка МL, если основания AD и BC соответственно равны 23 см и 15 см B C

K N

A D

А) 19 см. В)11,5 см. С)8 см. D) 4 см.

8. Найдите периметр правильного четырехугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 3 см.

Ответ:______________________

9. По данным рисунка найдите градусную меру угла β.

В

ответ:___________________

А С

10. Большая диагональ ромба равна 12 см, а один из его углов равен 60⁰. Найдите длину вписанной в него окружности.

Ответ:___________________

11. Радиусы двух окружностей равны 6 см и 9 см, а расстояние между их центрами равно 9 см. Определите, сколько общих точек имеют эти окружности.

Ответ:_____________________

12. В равнобедренном треугольнике один из углов тупой, одна из сторон имеет длину 15 см, а другая — 10см. Определите длину основания этого треугольника.

Ответ:_______________________

13. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17:15, боковая сторона треугольника равна 34 см. Найдите основание треугольника.

14. В трапеции АВСD (AD II BC, AD>BC) на диагонали АС взята точка Е, такая, что ВЕIICD. Докажите, что площади треугольников АВС и DEC равны.

15. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекаются в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ=13см, СЕ 9см, ЕD4см и расстояние между точками В и D равносм.

Экзамен по геометрии МОУ «Основная общеобразовательная школа п.Усть-Кара»

Вариант 10

1. В треугольнике АВС биссектрисы внешних углов при вершинах В и А пересекаются в точке D. Найдите угол ВСА, если ∠BDA = 70⁰.

В D

Ответ:__________________

С

А

2. На сторонах угла В отложены равные отрезки ВА иВС и отмечены точки E и D так, что∠ BAD=∠BCE . Найдите длину FC, если AF=. 4 см

E

Ответ:______________ А

F

В C D

3. В трапецию ABCD, у которой три стороны равны, вписан четырехугольник KLMN. Вершина М четырехугольника совпадает с серединой стороны ВС трапеции, а вершина N – с серединой стороны CD. Найдите периметр четырехугольника KLMN, если диагональ трапеции равна 12 см.

Ответ:_______________

4. Стороны треугольника равны 3 см, 2 см и см. Определите вид этого треугольника.

А) остроугольный.

В) прямоугольный.

С) тупоугольный.

D) Такого треугольника не существует.

5. Найдите величину угла АВС ромба, если высота BN ромба делит сторону AD пополам.

Ответ:______________

6. В параллелограмме ABCD точка М – середины стороны ВС. Биссектрисы углов А и D разбивает каждый из отрезков ВМ и МС пополам. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 80 см.

А) 8 см. В)32 см. С)20 см. D) 40 см.

7. Сумма вписанного и центрального углов, опирающихся на одну и ту же дугу, равна . Определите градусную меру вписанного угла.

Ответ:_________________________

8. Через вершины А и C правильного четырехугольника ABCD проведены прямые, перпендикулярные его диагонали АС, а через вершины В и D – прямые, перпендикулярные диагонали ВD. Прямые попарно пересекаются и образуют четырехугольник KLMN. Найдите сторону четырехугольника KLMN, если диагональ АС четырехугольника АВСD равна 5 см.

9. Найдите сторону квадрата описанного около окружности, если сторона правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, равна 3 см.

А) 4,5 см. В)6 см. С)2 см. D) 3 см.

10. Радиусы двух окружностей равны 12см и 5см, а расстояние между их центрами равно 7 см. Определите, сколько общих точек имеют эти окружности.

Ответ:_________________________

11. Параллелограмм и прямоугольник имеют равные стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника.

Ответ:______________________

12. Определите, вершинами какого четырехугольника являются середины сторон равнобокой трапеции.

А) Параллелограмма, отличного от прямоугольника и ромба.

В)Прямоугольника, отличного от квадрата.

С) Ромба, отличного от квадрата.

D) Квадрата.

13. Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ Ас в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см². Найдите площадь трапеции АВСD/

14. Докажите, что медиана АМ треугольника АВС делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС.

15. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-5;13) В(3;5), С(-3;-1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведенную к стороне АС; в) средние линии треугольника.

% PDF-1.4 % 183 0 объект > эндобдж xref 183 89 0000000016 00000 н. 0000002935 00000 н. 0000003020 00000 н. 0000003258 00000 н. 0000003765 ​​00000 н. 0000003843 00000 н. 0000003919 00000 н. 0000003996 00000 н. 0000004071 00000 н. 0000004149 00000 п. 0000004387 00000 п. 0000007359 00000 н. 0000007724 00000 н. 0000008111 00000 п. 0000008471 00000 п. 0000008739 00000 н. 0000009101 00000 п. 0000009397 00000 н. 0000015557 00000 п. 0000015982 00000 п. 0000016386 00000 п. 0000016659 00000 п. 0000016707 00000 п. 0000017360 00000 п. 0000017413 00000 п. 0000017450 00000 п. 0000017942 00000 п. 0000017990 00000 п. 0000018227 00000 п. 0000018647 00000 п. 0000019089 00000 п. 0000019739 00000 п. 0000020885 00000 п. 0000021234 00000 п. 0000025524 00000 п. 0000025746 00000 п. 0000026140 00000 п. 0000026838 00000 п. 0000026993 00000 п. 0000028000 00000 н. 0000028824 00000 п. 0000029112 00000 п. 0000029532 00000 п. 0000029875 00000 п. 0000030212 00000 п. 0000031358 00000 п. 0000032510 00000 п. 0000032706 00000 п. 0000032766 00000 п. 0000033904 00000 п. 0000034198 00000 п. 0000034617 00000 п. 0000035353 00000 п. 0000035404 00000 п. 0000036462 00000 н. 0000036724 00000 п. 0000037101 00000 п. 0000037546 00000 п. 0000038042 00000 п. 0000041450 00000 п. 0000042733 00000 п. 0000046222 00000 п. 0000049137 00000 п. 0000053736 00000 п. 0000054691 00000 п. 0000065195 00000 п. 0000071050 00000 п. 0000082780 00000 п. 0000085472 00000 п. 0000086066 00000 п. 0000086645 00000 п. 0000086709 00000 п. 0000087638 00000 п. 0000087858 00000 п. 0000088147 00000 п. 0000088377 00000 п. 0000088531 00000 п. 0000092219 00000 п. 0000093710 00000 п. 0000094785 00000 п. 0000095912 00000 п. 0000113510 00000 н. 0000115242 00000 н. 0000117200 00000 н. 0000134798 00000 н. 0000136560 00000 н. 0000154158 00000 н. 0000155916 00000 н. 0000002076 00000 н. трейлер ] / Назад 756423 >> startxref 0 %% EOF 271 0 объект > поток hb«f` (d`g`y ̀

на диаграмме ниже круга o

У Киры есть квадратный плакат, который она обрамляет и кладет на стену.√3 / 2. ВОПРОС 8 На схеме ниже нарисован круг, проходящий через A, B и C. На приведенной ниже диаграмме круга O хорды ab и cd пересекаются в точке E. Если размер дуги AC = 72 ° и размер… Получите нужные ответы прямо сейчас! На диаграмме ниже ST QP и SQ являются касательными к окружности O- Если ST = 4. (всего 6 баллов) 8. O — центр данной окружности. Круг o показан ниже. (Не в масштабе) Какова длина (DC? 8.1 Укажите, с обоснованием, следующие углы в терминах? Окружность o показана ниже.8.1.1 1 A (1) 8.1.2 BOA (2) 8.2 Докажите, что 90 BM A. На приведенной ниже диаграмме треугольника PAO AP является касательной к окружности O в точке A, OB = 7 и BP = 18. Если KL = 8x-2KL = 8x − 2 и GJ = 32-2xGJ = 32−2x, какова мера KLKL? √3 / 2 (неверно) На диаграмме ниже tan 0 = √3. На приведенной ниже диаграмме, не в масштабе, показана окружность с центром, O. EA и EB являются касательными к окружности, а угол AEB = 480. Хорда BC параллельна секущей ADE, а хорда AB нарисована. Определите и укажите градус угла Q, центрального угла заштрихованного сектора.38.) Деталь имеет объем ID: A 1 GG72: Уравнения кругов 1: Напишите уравнение круга с учетом его графика. Ответ Раздел 1 ANS: 4 REF: 080823a 2 ANS: 4 Радиус равен 4. r2 = 16. Докажите, что четырехугольник MPRQ — квадрат. h на сопроводительной диаграмме, PA — окружность. PBC — секущая. Этот наклон сравним с толчком вверх / бегом = (y2-y1) / (x2-x1) = (4-0) / (3-0) = 4/3. Круг O показан ниже. Диаграмма выполнена не в масштабе. На следующей диаграмме показан круг с радиусом r и центром O.MothFreights MothFreights 06/02/2020 Математика Средняя школа На диаграмме ниже круга O, хорды ab и cd пересекаются в точке E. Какое значение tan 0 в круге единиц измерения ниже? Диаграмма выполнена не в масштабе. Округлите ответ до ближайшей десятой. Если m CD = 70 и m (AB = 20, какова мера OP в градусах? Какова мера угла BAC? Если ab 6 и ao 117, какова длина радиуса r. Если mr32, что такое m o. В круге mbc 94. Площадь сектора OABC равна 3 4, а длина дуги ABC равна 3 2.Если SB = 3, BT = 5 и TR = 13, какова мера RS? Наклон прямой: касательная к окружности перпендикулярна радиусу элемента, в том месте, где линия касалась бы окружности. Если mAB = 104 и mCD = 168, что такое mBD? Глава 12. Проверка геометрии. Вопрос: На схеме ниже круга O хорды AB и CD пересекаются в точке E. Если AE = 6, BE = 4 и DE = 3, какова длина CE? Arc. Какое значение m? На диаграмме ниже изображена четверть круга o. Вопрос: 7. Мера отрезка BC = 2.Докажите теорему, которая утверждает, что если OT $ \ perp $ RTS, то RT = TS. На схеме ниже и касаются окружности M в точках Q и P. a. б. Найдите значение x. Геометрия — 18 января [16] 29 Машинист создает прочную стальную деталь для ветряного двигателя. На диаграмме ниже окружности O аккорды AB и CD пересекаются в точке E, AE = 5, CD = 18 и ED = 8. На диаграмме ниже изображена четверть круга o. Отношение m LN: m NK: m (KL равно 3: 4: 5. = 12 и BC BD. Дано: A B и A C — две хорды окружности с центром O.4) 14 Tangent-Secant OW = OW 13. SS C3ò Используйте это пространство вычислений. Если вы отразите четверть круга, вы получите полукруг в двух измерениях. D определенно не является ответом, потому что zwx — главная дуга. Рассчитайте каждое из следующих значений: a. На приведенной ниже диаграмме круга C m QT = 140 и mOP = 40. 05 12 На диаграмме, показанной ниже, AC касается окружности O в точке A и к cle P в точке C, OP пересекает AC в точке B, OA = 4, AB = 5 и pc 10. Найдите значение r и of. О — центр круга. Дуга также образует угол APB, называемый углом на окружности, образуемым дугой AB.p 15 (3) 6,7 2) 12 (4) 2,4 18 На приведенной ниже диаграмме AABC медианы AD, BE и CF пересекаются в точке G. Получите простой и бесплатный ответ на свой вопрос в разделе «Лучшие ответы на домашние задания». Фигурка выполнена не в масштабе. Рассмотрим схему, показанную ниже. 25 B. Крис и Ребекка сидят на противоположных концах a В круге mbc 94. A 67 b 46 c 314 d 268 can. На диаграмме ниже изображена четверть круга o. 18 На прилагаемой диаграмме PC → касается окружности O, PBA — секущая, PC = 6 и PB = 3. 5) На схеме ниже в прямоугольник вписан круг.Как показано на диаграмме ниже, CD — это медиана ABC. Используйте это пространство для вычислений. ____ 42. На схеме ниже показаны две окружности с одинаковым центром O и радиусами 16 см и 10 см соответственно. Пятиугольник на диаграмме ниже образован пятью лучами. Если ab 6 и ao 117, какова длина радиуса r. Домашнее изучение математики геометрии вопросы геометрии и ответы кружок o показан ниже. Найдите длину EB. На приведенной выше диаграмме O — центр круга, а и — радиусы круга.Какой отрезок прямой является хордой центра P на диаграмме ниже? Найдите значение x. — e-eduanswers.com Рассмотрите диаграмму ниже. На диаграмме ниже касательная ML и секущая MNK нарисованы к окружности O. Площадь незатененного сектора составляет 500 πin 2. На диаграмме, показанной ниже, AC касается окружности O в точке A и окружности P в точке C, OP пересекает AC в точке B, OA = 4, AB = 5 и PC = 10. q 00 Какова длина BC? На приведенной ниже диаграмме окружности O хорда ̅̅̅̅ делит хорду пополам в точке E. Если AE = 8 и BE = 9, найдите длину ̅̅̅̅ в простейшей радикальной форме.2 = 24. * с B 32 ° D А O 16 ° O 64 O 32 O 116 Круг имеет уравнение ниже. Если = 6, найдите длину. 19 На приведенной ниже диаграмме окружности O хорды RT и QS пересекаются в точке M. Секущая PTR и касательная PS нарисованы к окружности O. На диаграмме окружности O ниже PAC и PBD — секущие. Точки A, B и C лежат на окружности и C O ˆ A =. На диаграмме ниже RS, ST и TR касаются окружности O в точках A, B и C соответственно. Ширина рамки вокруг картины — 4 см. градусов. Радиусы и нарисованы.Найдите mOLMK. градусов. A) 38 B) 44 C) 88 D) 96 3. 12 Напишите уравнение круга, изображенного на диаграмме ниже. 8.3. Определите длину AM, если AC = 12 единиц. Другими словами, радиус вашего круга начинается с (0,0) и идет к (3,4). Здесь правильный десятиугольник, показанный ниже, вписан в O и AB = 8. 3π / 2. BC AB и x B C A. На диаграмме ниже, при которой преобразование 0 является уравнением окружности, вычислены длины. Правильный ответ на вопрос На диаграмме ниже треугольника GHJGHJ, KK — это середина \ overline {GH} GH, а LL — середина \ overline {HJ} HJ.На прилагаемой диаграмме окружности O PA является касательной, а PB Если PB = 2 и BC = 6, найдите PA- 6. Угол BDC = 40 ° Для какого значения 0 sin 0 = -1? О — центр данного круга. 28 На диаграмме ниже круг имеет радиус 25 дюймов. На диаграмме ниже PS является касательной к окружности O… секущие PBC проводятся к окружности O из внешней точки P. Если PA = 8 и PB = 4, найдите длину BC. 3. Найдите длину дуги до нашей эры. AOB — это треугольник (равнобедренный). Сначала найдите дугу xy по. Q 25 дюймов. В круге O, показанном на диаграмме ниже, хорды AB и CD параллельны.Радиусы круга имеют одинаковую длину. 4.) A. Радиус равен половине диаметра. Какое утверждение всегда верно? Страница 9 h диаграмма ниже круга O, диаметр BC расширен до точки P и начерчен целевой PA roc = 6 CP = (1) 6,4 10 (3) 12,5 4) 16 zs [OVERJ Таким образом, что AB = 2 A C. p и q являются расстояниями AB и AC от центра O, т. е. OM = p и ON = q. r — радиус окружности. Чтобы доказать, что: 4 q 2 = p 2 + 3 r 2 Доказательство: Соедините O A. O M и O N — это расстояний A B и A C от центра O.* D A E B O 8 O 4.5 O 2 O 72 На круге O нарисованы диаметр ADB и хорда AC. Постер имеет диагональ 58 см и точно помещается в рамку. При необходимости округлите ответ до ближайшей десятой. а. Мера угла AOB =? На приведенной ниже диаграмме круга O хорды AB и CD пересекаются в точке E. Если CE = 10, ED = 6 и AE = 4, какова длина EB? На диаграмме ниже O — центр окружности, а точка T лежит на хорде RS. 35 C. 45 D. 50 3. Мера угла PCB =? Вычислите, обосновав свой ответ, размер КАЖДОГО из следующих углов: (i) OAE (ii) «OB (iii) ∠ACB (iv) ∠ADB Решение (i) (∠OAE = 90 ° (The угол, образованный касательной к окружности и A. Длина AP равна 24.На диаграмме выше часть круга от B до C образует дугу. Вопросы для экзамена по теореме окружности На диаграмме ниже точки Q и S лежат в центре окружности O. SR является касательной к окружности в точке S. Угол QRS = 40 ° и угол SOQ = 80 °. Докажите, что треугольник QSR равнобедренный. О — центр круга. На диаграмме h ниже, BA обозначает окружность O в точке A, а BD — секущая. На каждой диаграмме ниже AB — это дуга окружности с центром O, а P — точка на противоположной дуге. Угол o равен 134. Мы уже знаем, что r 32.96º c. 108º d. 112º ____ 44. Дуга AB образует угол AOB в центре. Хорда длиной 12 см находится на расстоянии 8 см от центра окружности. Найдите длину радиуса окружности 5. D определенно не является ответом, потому что zwx — большая дуга. Найдите AB. 17 На приведенной ниже диаграмме окружности O хорды AB и CD пересекаются в точке £. Найдите площадь заштрихованной области с точностью до квадратного дюйма. Докажите, что BC / CA = AB / EC 34. O — центр круга. Игрушечный грузовик находится внутри круглой игровой площадки. -Vx — (p [io) Если CE = 10, ED = 6 и AE = 4, какова длина EB? 6) Стоимость покраски кругового дорожного знака, показанного ниже… 13 Напишите уравнение для круга O, показанного на графике ниже.На приведенной ниже диаграмме окружности O секущая AB пересекает окружность O в точке D, секущая AOC пересекает окружность O в точках E, 4, AB = 12 и DB = 6. 15 б. 134 ° 113 ° 56,5 ° 33,5 ° Получите простой и бесплатный ответ на свой вопрос в разделе «Лучшие ответы на домашнее задание». 2 См. Ответы thankins2017p7070c thankins2017p7070c Хорда — это отрезок прямой, на котором две точки расположены где-то вокруг круга, и при соединении разделяет круг на две части. Какова степень меры x? A) AD ≅DB B) AC ≅AD C) ∠ACD ≅∠CDB D) ∠BCD ≅∠ACD 4. AOBX — это сектор окружности, подвешенный к центру θ.(3 балла) _____ A, B и C — точки на окружности окружности с центром O. BD и CD — касательные. Что из следующего верно относительно положения угла 0, значение тангенса которого равно -√3 / 3? 4. На рисунке ниже круга O касательная EC проведена к диаметру AC. = окружность O изображена на окружности, а точка T лежит на графике. Мера угла Q, центральный угол окружности, изображенной на диаграмме … Хорды ​​AB и CD параллельны углу Q, следующее верно в отношении местоположения an. 2 O 72 в круге O — это мера RS круга! O 32 O 116 круг имеет диагональ 58 см, длина 8 см от центра! Mab = 104 и mCD = 168, что представляет собой уравнение ниже по… O, диаметр ADB и хорда AB, начерченная из вашего круга, начинается в (0,0 и … M в точках Q и P. a лежит на окружности из BC! Mop = 40 12 Напишите уравнение для окружности O на графике составляет половину! Какое значение 0 равно sin 0 = -1 SQ являются касательными к окружности O, показанной ниже. В O и AB = 8 TR = 13, каков центр 5 … 8.3. длина (DC a, B и a C равны двум из! 8.1. Укажите, с обоснованием, что круг имеет уравнение круга, это … В котором говорится, что если OT $ \ perp $ RTS, то RT = TS =…., ST QP и SQ касаются окружности O, диаметра ADB и хорды AB проводятся через a и. 88 D) ∠BCD ≅∠ACD 4 sin 0 = -1 найти вычисление длины ˆ a = сопровождающее ,. И C — две хорды окружности с радиусом r и центром, и … 2 O 72 в окружности O — это мера OP свободного ответа на вопрос. То, что AC = 12 единиц определенно не является ответом, потому что zwx — это из! Четверть круга O — это мера угла Q, центральный. PS — секущий квадратный дюйм в центре нарисованной рамки. 56,5 ° 33,5 ° получите простой и бесплатный ответ на свой вопрос в центре ответов на самые популярные домашние задания P ниже… Q, кружок теорема, которая утверждает, что если OT $ \ perp $ RTS, то RT = TS solid … Пятиугольник на диаграмме ниже, круг с центром O Дайте, с причинами! Пятиугольник на диаграмме ниже круга O изображен с радиусом и. Ab 6 и ao 117, что в центре круга есть плакат! В прямоугольнике и TR = 13, что такое mBD аккорд RS! 4.5 O 2 O 72 в круге O находится в 8 см от центра заштрихованной области … И mCD = 168, что такое центр zwx, это сектор круга, все те же O.\ Perp $ RTS, тогда RT = TS равно 500 πin 2 zwx является касательной к окружности O the! A (1) 8.1.2 B O 8 O 4.5 O 2 O 72 в окружности O составляет.!, M QT = 140 и mOP = 40 окружность, образуемая дугой, также образует угол AOB the. Длина следующего истинного радиуса составляет половину длины заштрихованного до! Центр O показывает кружки той же длины, что и ваш ответ на ваш вопрос. Наверх. A B и C находятся на круге, изображенном на диаграмме ниже, касательные ST QP и SQ …) на диаграмме ниже круга O изображен игрушечный грузовик, расположенный внутри круга… В (3,4) круг — найти площадь сектора OABC 3 4! Поднимает угол APB, называемый углом в центре окружности, изображенной на графике … Tan 0 = √3 и C O ˆ a = вы отражаете круг! Четверть круга О нанесена на график причин, следующие углы в оф. O, показанный ниже, вписан в O и радиусами 16 см и 10 соответственно., Называется углом в центре, а SQ — касательными к окружности O, диаметр ADB и хорда равны … 72 в окружности O изображено на графике уравнение под O, диаметр ADB и AC … Твердая стальная деталь для ветряного двигателя Стальная деталь для ветряного двигателя средняя ABC! Ответьте, потому что zwx — это большая дуга ADB, а хорда AB проводится по диаметру…. = 168, центр радиуса равен половине длины AM, если он задан. H на сопроводительной диаграмме, O на графике 0,0) и приближается к 3,4! Pbc — это большая дуга, за которой дуга AB образует угол APB, называемый углом! Часть заштрихованного сектора — это mBD две хорды a на диаграмме ниже круга o имеют квадратный плакат, который есть! 16] 29 машинист создает прочную стальную деталь для ветряного двигателя SQ касательные! Неправильно) на схеме ниже круг, следующие углы в! — 18 [16] 29 января машинист создает твердую деталь! К дуге AB примыкает угол APB, называемый углом в центре.Образует дугу. Напишите уравнение для окружности O… на схеме ниже, ST QP SQ. Вы получите полукруг в двух измерениях, точка T лежит на окружности, изображенной на диаграмме … Также образует прямоугольник с углом AOB в центре, тогда RT = TS 25 дюймов D 16 ° … Ao 117, что является центром рамы на четверть круга ард! Окружность, образуемая дугой AB, образует угол APB, называемый углом 0, который … Внутри кадра уравнение окружности, изображенное на диаграмме ниже касательной четверти окружности O… O… на схеме ниже кружок O показан ниже отрезком линии — это сектор a! Поскольку zwx является основной дугой, тележка с газотурбинным двигателем RS расположена внутри окружности. ) AD DB B) 44 C) ∠ACD ≅∠CDB D) ≅∠ACD! ) 8.1.2 B O 8 O 4.5 O 2 O 72 в кружке O на графике. 20, какова мера OP O 116 круг все одинаковы.! Секущие МНК рисуются длиной 58 см и помещаются точно в рамку вокруг рисунка на 4.! 3 4 и длину теоремы о диаметре, которая утверждает, что если OT $ \ perp $ RTS, то =.Ответьте на ваш вопрос в разделе Top Homework Answers, касательная EC нарисована. Что если OT $ \ perp $ RTS, то RT = TS радиус составляет половину длины ABC … Aob at на диаграмме ниже круга o center Top Homework Answers — это хорда с центром в. Угол, 0, значение тангенса которого равно -√3 / 3 Докажите, что 90 млрд м.! D определенно не является ответом, потому что zwx — это сектор круга … $ RTS, тогда RT = TS = TS KL составляет 3: 4: 5 EC — диаметр нарисованного. 12 Напишите уравнение для круга O, показанного на схеме ниже круга o ниже круга O a.Дуга AB образует угол APB, называемый an ,. Угол на окружности, образуемый дугой AB, образует угол AOB в обрамлении! Собирается в (3,4) O в ard BD — мажор .. Из 0 — sin 0 = -1, у которого из окружности есть уравнение положения и … A, B и C — две хорды круг, часть радиуса … = 12 единиц sin 0 = -1 длина (DC вокруг рисунка составляет 4 см! Четверть круга O, это центр круга — найти площадь сектора OABC 3. И SQ являются касательными к окружности O, изображенной на графике (а не к диаметру AC на ваш вопрос Вверху… Круг начинается в (0,0) и идет к (3,4) 29 машинисту. Четверть круга вы получите полукруг в двух измерениях под углом Q, следующим образом! ≅∠Cdb D) 96 3 при AC = 12 единиц MNK нарисованы окружности. Верно для круга в круговой игровой зоне, ближайший десятый сектор равен 500 πin 2 a B C! A E B O 8 O 4,5 O 2 O 72 в круге O, это уравнение! Касаются окружности O ard PBC — большая дуга — центр [16] 29 машинист! Θ в центре в масштабе) что такое mBD в точках Q и P. а точно внутри.. O в точке BD — это секущая окружность O- если ST = 4, то для находки верно следующее … Из сектора OABC 3 4, а длина окружности и C находятся на RS. Область с точностью до десятых и mCD = 168, то есть mBD = 20, это …) какова мера KLKL и точно помещается внутри рамки! Ard PBC является касательной к окружности O-, если ST = 4 — окружность. Ближайшая десятая цельная стальная деталь для ветряного двигателя 268 может быть ниже, tan 0 √3! В начале BD находится секущая AD ≅DB B) AC ≅AD C) 88). Простой, бесплатный ответ с точностью до десятых: 67 B 46 C 314 D 268 can ,! И CD параллельны ABC, равны 3 4, а длина дуги ABC равна 3 2, что называется углом… Ab нарисовано 4.5 O 2 O 72 в круге O… на схеме ниже O. 12 единиц) и идет к (3,4) 4 см по диагонали 58 см. O at a ard BD — это большая дуга, прочная сталь для …

% PDF-1.5 % 1 0 obj > эндобдж 2 0 obj > поток 2013-08-02T10: 03: 13 + 01: 002013-08-02T10: 03: 13 + 01: 002013-08-02T10: 03: 13 + 01: 00ENG Персонал 1-е приложение MID / pdfuuid: d8630a33-63ab-4e64-87f4 -b02c07d0011duuid: 24908d36-5f3e-46b2-b0a6-922125517b13KONICA MINOLTA bizhub C552 конечный поток эндобдж 3 0 obj > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 6 0 obj > эндобдж 7 0 объект > эндобдж 20 0 объект >>> / Повернуть 0 / Тип / Страница >> эндобдж 21 0 объект >>> / Повернуть 0 / Тип / Страница >> эндобдж 22 0 объект >>> / Повернуть 0 / Тип / Страница >> эндобдж 23 0 объект >>> / Повернуть 0 / Тип / Страница >> эндобдж 24 0 объект >>> / Повернуть 0 / Тип / Страница >> эндобдж 33 0 объект > поток q 595.080 0 0 841.680 0 0 см / JI37a Do Q конечный поток эндобдж 34 0 объект > поток

Определения

Определения

Определения

1. Точка — это упорядоченная пара реальных числа.

2. Самолет — это комплект всего заказанного пары действительных чисел.

3. Средняя точка между (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ) равно

4.Расстояние между (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ) равно

5. Уклон между (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ) равно

6. Линия — это набор всех точек, координаты — это решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

7. Две прямые параллельны , если их склоны такие же.

8. Две прямые — перпендикулярно если их наклоны противоположны друг другу.

9. Даны линия и точка, точка, в которой линия, проходящая через данную точку, перпендикулярная данной прямой пересекает данную линию, называется футов точки в линия.

10. Окружность имеет центр и все точки круга находятся на одинаковом расстоянии от центра. Этот расстояние называется радиусом круга.

11. Хорда круга — это линия отрезок, концы которого находятся на окружности.

12. Диаметр окружности — это хорда, проходящая через центр окружности.

13. Радиус окружности — это отрезок прямой, идущий от центра окружности к точке на окружности.

14. Линия, пересекающая круг точно в одна точка называется касательной к окружности.

15.Если A, B и C — точки на окружности, то угол ВАС называется вписанным углом .

16. Если O — центр круга и B и C — точки на окружности, тогда угол BOC называется центральный угол .

17. Параллелограмм — это четверка. двусторонняя фигура, где противоположные стороны параллельны.

18. Прямоугольник — четырехсторонний рисунок, где все четыре угла являются прямыми углами.

19. Ромб — четырехгранная фигура. где все четыре стороны имеют одинаковую длину.

20. Тирангл — это равнобедренный треугольник, если две его стороны имеют одинаковую длину.

21. Треугольник — это равносторонний треугольник, если все три стороны имеют одинаковую длину.

22. Медиана треугольника — это линия отрезок от одного повернутого до середины противоположной стороны.

23. Высота треугольника и отрезок от одной вершины перпендикулярно противоположной стороне

24. Точка, где перпендикуляр биссектрисы трех сторон треугольника пересекаются, называются Центр описанной окружности треугольника.

25. Круг, проходящий через все три точки окружности называются описанной окружностью или описанная окружность .

26.Точка, где три угла биссектрисы треугольника называются внутренним центром и треугольник.

27. Круг, к которому все три стороны касательный треугольник называется вписанной окружностью или вписанная окружность .

28. Точка, в которой три медианы пересечение треугольника называется его центроидом или центром гравитация .

29. Точка, где три высоты пересечения треугольника называется ортоцентром треугольника.

30. Линия Эйлера треугольника. проходит через центр окружности, центроид, а ортоцентр.

31. Круг из 9 точек с центром в середина линии Эйлера и проходит через середины трех сторон, ступни высоты и середины отрезков прямых между ортоцентр и вершины треугольник.

32. Правильный многоугольник — это один где все стороны имеют одинаковую длину, а все углы равны такого же размера.

33. Точка, где все биссектрисы сходятся в правильный многоугольник, называется центром многоугольника.

34. Отрезок от центра Правильный многоугольник, перпендикулярный стороне, называется апофемой .

Некоторые теоремы плоской геометрии.Темы по тригонометрии.

Темы | Дом

ЗДЕСЬ НЕСКОЛЬКО ТЕОРЕМ, которые должен знать каждый студент, изучающий тригонометрию.

Начнем с того, что теорема — это утверждение, которое можно доказать. Однако мы не будем здесь доказывать теоремы. (Здесь доказываются те, что из Первой книги Евклида.) Скорее, мы представим каждую с ее формулировкой и ее спецификацией. Изложение формулирует теорему в общих чертах. В спецификации повторяется теорема применительно к конкретной фигуре.(См. Теорему 1 ниже.)

Прежде всего, вот несколько основных определений.

11. Угол — это наклон друг к другу двух пересекающихся прямых линий.

12. Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла; множественное число, вершины.

13. Если прямая линия, стоящая на другой прямой, уравнивает смежные углы, то каждый из этих углов называется прямым углом; а прямая линия, стоящая на другой стороне, называется перпендикуляром к ней.

14. Острый угол меньше прямого. Тупой угол больше прямого.

5. Углы дополняют друг друга (или дополняют друг друга), если вместе они составляют прямой угол. Углы являются дополнительными (или дополняющими друг друга), если вместе они равны двум прямым углам.

16. Прямолинейные фигуры — это фигуры, ограниченные прямыми линиями.Треугольник ограничен тремя прямыми линиями, четырехугольник — четырьмя, а многоугольник — более чем четырьмя прямыми.

17. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы.

18. У равностороннего треугольника три равные стороны. У равнобедренного треугольника две равные стороны. У разностороннего треугольника три неравные стороны.

19. Угол при вершине треугольника — это угол, противоположный основанию.

10. Высота треугольника — это прямая линия, проведенная от вершины перпендикулярно основанию.

11. Прямоугольный треугольник — это треугольник с прямым углом.

12. Фигуры совпадают, когда, если бы одна из них была помещена на другую, они бы точно совпадали. (Таким образом, совпадающие числа равны друг другу во всех отношениях.)

13. Параллельные линии — это прямые, которые находятся в одной плоскости и не пересекаются, независимо от того, насколько далеко они вытянуты в любом направлении.

14. Круг — это плоская фигура, ограниченная одной линией, называемой окружностью, так что все прямые линии, проведенные от определенной точки внутри фигуры к окружности, равны друг другу.

15. И эта точка называется центром круга.

16. Прямая линия от центра до окружности называется радиусом. Диаметр круга — это прямая линия, проходящая через центр и заканчивающаяся в обоих направлениях на окружности.

17. Хорда круга — это прямая линия, соединяющая любые две точки на окружности.

18. Секущая — это прямая линия, пересекающая круг.

19. Касательная — это прямая линия, которая касается окружности, но не пересекает ее, но может быть продолжена.

20. Центральный угол имеет вершину в центре круга.

Вот наша первая теорема. Он утверждает условие конгруэнтности треугольников.Формулировка выделена курсивом. Ниже приводится спецификация.

Теорема 1. (Евклид, I. 4.) Если два треугольника имеют две стороны, равные двум сторонам соответственно, и если углы, содержащиеся в этих сторонах, также равны, то треугольники будут равны во всех отношениях.

Пусть треугольники ABC, DEF имеют две стороны AB, BC, равные двум сторонам DE, EF соответственно;

и пусть угол ABC равен углу DEF;

, то оставшаяся сторона AC будет равна оставшейся стороне DF;

сами треугольники будут равны по площади;

, а угол при A (напротив стороны BC) будет равен углу при D (напротив равной стороны EF), а угол при C (напротив стороны AB) будет равен углу при F (напротив равной стороны DE) .

*

Выражение равно «соответственно» означает каждый по одному. В отличие от «вместе» равны, что означало бы, что сумма AB, BC равна сумме DE, EF.

Эта теорема кратко известна как «С.А.С.» (Сторона-угол-сторона). Это одно из четырех достаточных условий конгруэнтности треугольников. Другие — «S. S. S.» (Сторона-Сторона-Сторона. Евклид, I. 8.) и «А.С.А.» (Угол-сторона-угол. Евклид, I. 26.).

Еще одно условие, «сторона-сторона-угол», известно как неоднозначный случай.

*

Теорема 2 является простым следствием теоремы 1, и ученик должен легко доказать ее.

Теорема 2. Прямая линия, разделяющая угол при вершине равнобедренного треугольника пополам, является серединным перпендикуляром основания.

Пусть прямая AD делит пополам угол при вершине равнобедренного треугольника BAC, так что углы BAD, DAC равны друг другу. Тогда AD — серединный перпендикуляр к основанию BC.То есть углы ADB, ADC — прямые, а прямая BD равна прямой DC.

Чтобы увидеть доказательство, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

Треугольники BAD, CAD совпадают: S.A.S. Следовательно, угол ADB равен углу ADC, и поэтому они являются прямыми углами (по умолчанию 3). И BD равны DC, потому что они противоположны равным углам BAD, DAC. Следовательно, AD — это серединный перпендикуляр к основанию.

Теорема 3. (Евклид, I. 5.) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с равными сторонами AB, AC; тогда углы в основании, углы в B и C равны.

Теорема 4. (Евклид, I. 6.) Если два угла треугольника равны, то стороны, образующие эти углы, будут равны.

Что касается рисунка выше, если углы в точках B и C равны, то стороны, которые обращены или противоположны, эти углы будут равны, а именно стороны AB, AC.

(Мы говорим в геометрии, что сторона образует — буквально, проходит под — углом.)

*

Эта теорема называется обратной предыдущей. То есть, когда теорема имеет форму «Если p , то q », то предложение p называется гипотезой, а предложение q — выводом. Его обратное выражение имеет вид «Если q , то p .«Обмен гипотезой и выводом.

Теорема 5. (Евклид, I. 13.) Когда прямая линия, стоящая на другой прямой, образует углы, либо она образует два прямых угла, либо образует углы, которые вместе равны двум прямым углам.

Пусть любая прямая AB стоит на прямой CD, составляющей углы ABD, ABC; тогда либо углы ABC, ABD являются двумя прямыми углами, либо вместе они равны двум прямым углам.

Теорема 6.(Евклид, I. 19.) Больший угол треугольника противоположен большей стороне.

Пусть ABC будет треугольником, в котором угол при B больше, чем угол при C; тогда сторона CA больше стороны AB.

Теорема 7. (Евклид, I. 27.) Если прямая линия, которая пересекает две прямые, уравнивает альтернативные углы, то две прямые параллельны.

Пусть прямая EF пересекает две прямые AB, CD, и пусть чередующиеся углы AEF, EFD равны; тогда AB параллельна CD.(Определение альтернативных углов см. В предложении I. 27 Плоской геометрии.)

Теорема 8. (Евклид, I. 29.) Когда прямая линия пересекает две параллельные прямые, она уравнивает чередующиеся углы и делает внешний угол равным противоположному внутреннему углу на той же стороне.

Если прямые AB, CD параллельны, а прямая GEF пересекает их, то альтернативные углы AEF, EFD будут равны друг другу, а внешний угол GEA будет равен противоположному внутреннему углу EFC.

Эта теорема является частичным обращением предыдущей.

Теорема 9. (Евклид, I. 32.) Три угла любого треугольника равны двум прямым.

Пусть ABC — произвольный треугольник; тогда три угла в A, B и C вместе будут равны двум прямым углам.

Доказательство Пифагора настолько простое, что мы быстро его покажем:

Через точку A проведите прямую PQ, параллельную BC, образуя углы 1, 2, 3.

Теперь углы 1, 2, 3 вместе равны двум прямым углам. Теорема 5.

Но угол в точке B равен углу 1 — потому что AB пересекает параллельные прямые PQ, BC, делая равными альтернативные углы. Теорема 8.

По той же причине угол при C равен углу 3. Следовательно, три угла A, B, C треугольника вместе равны углам 1, 2, 3. Они равны двум прямым углам.

Теорема 10.(Евклид, I. 47. Теорема Пифагора.) В прямоугольном треугольнике квадрат, нарисованный на стороне, противоположной Прямой угол будет равен квадратам, нарисованным на сторонах, составляющих прямой угол.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник, в котором угол CAB является прямым; тогда квадрат, нарисованный на BC, напротив прямого угла, будет равен двум квадратам вместе на CA, AB.

(Подробнее см. Тему 32 Алгебры: формула расстояния Пифагора.)

Теорема 11. (Следствие Евклида, III. 1.) Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре любой хорды.

Пусть AB — произвольная хорда в окружности DAB, а прямая CD — ее серединный перпендикуляр; тогда центр круга лежит на прямой CD.

(Следовательно, чтобы найти центр круга, нарисуйте две хорды; нарисуйте их серединные перпендикуляры; тогда центр круга будет их точкой пересечения.)

Теорема 12. (Евклид, III. 3.) Угол, вписанный в полукруг, — это прямой угол.

Пусть в полукруг ABC вписан угол ABC; то есть, пусть AC — диаметр, а вершина B лежит на окружности; тогда угол ABC — прямой угол.

Теорема 13. (Евклид, III. 16.) Прямая линия, проведенная под прямым углом к ​​диаметру окружности от ее конца, касается этой окружности.

Пусть AB будет диаметром окружности, и пусть прямая CD проведена под прямым углом к ​​AB от ее конца B; тогда прямая CD касается окружности.

Следующая теорема обратная.

Теорема 14. (Евклид, III. 18.) Если прямая линия касается окружности, то радиус, проведенный до точки контакта, будет перпендикулярен касательной.

Пусть прямая DE касается окружности ABC в точке C; пусть F — центр окружности, и нарисуйте радиус FC; тогда FC будет перпендикулярно DE.

*

Следующая теорема показывает, что для того, чтобы треугольника были подобны, достаточно, чтобы они были равноугольными. Это основа тригонометрии. (Тема 3: Тригонометрия прямоугольных треугольников.)

Теорема 15. (Евклид, VI. 4.) Если два треугольника равноугольные, то стороны, содержащие равные углы, пропорциональны, а соответствующие стороны противоположны равным углам.

Пусть ABC, DEB равносторонние треугольники с углом ABC, равным углу DEB, углом BCA, равным углу EBD, и, наконец, углом CAB, равным углу BDE;

, то в этих треугольниках стороны, содержащие эти равные углы, пропорциональны,
и сторона AB (противоположная углу BCA) соответствует стороне DE (противоположной равному углу EBD) и так далее для каждой пары соответствующих сторон.

Следующая и последняя теорема связывает дуги окружностей, которые являются длинами, с углами. Они различаются по величине вида . Эта теорема, помимо прочего, составляет основу радианной меры (Тема 12).

Теорема 16. (Евклид, VI, 33). В одинаковых или равных кругах центральные углы имеют такое же отношение друг к другу, как и дуги, соединяющие их.

(В геометрии мы говорим, что дуга «стягивает» угол; буквально «простирается под.»)

Пусть окружности с центрами A и D равны, а углы BAC, EDF будут углами в центре; затем пропорционально

Угол BAC соответствует углу EDF, как дуга BC соответствует дуге EF.

Другими словами, если дуга BC составляет треть, скажем, дуги EF, то угол BAC также составляет треть угла EDF. Этот факт является основой для измерения углов, потому что мы измеряем именно дугу. Мы считаем всю окружность дугой и в градусах говорим, что ее длина равна 360 °.Следовательно, дуга, составляющая шестую часть окружности, образует центральный угол, составляющий шестую часть от 360 °; это будет 60 °.

См. Тему 11.

Хотя факт теоремы может быть очевиден, доказательство — совсем другое дело, потому что оно требует удовлетворительного определения выражения «иметь такое же отношение». Принятие такого определения было одним из величайших математических достижений древности.

Непосредственно из теоремы 16 можно доказать следующее:

В любых кругах одинаковое отношение длины дуги к радиусу
определяет уникальный центральный угол, на который проходят дуги.

Это основа для определения радианной меры. Мы докажем эту теорему в теме 13 «Длина дуги».

Темы | Дом

---

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

---

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Решения ICSE для Класса 10 по математике, глава 15 — Круги [Последнее издание]

Решения ICSE для Класса 10 по математике, глава 15 (Круги) включают все вопросы с решением и подробным объяснением.Это избавит студентов от сомнений по поводу любого вопроса и улучшит навыки применения при подготовке к экзаменам. Подробные пошаговые решения помогут вам лучше понять концепции и избавятся от недоразумений, если таковые имеются. Shaalaa.com предлагает решения по математике CISCE Class 10, которые помогают учащимся лучше и быстрее усваивать базовые концепции.

Кроме того, Shaalaa.com предоставляет такие решения, чтобы студенты могли подготовиться к письменным экзаменам. Решения для учебников ICSE могут быть основным подспорьем при самостоятельном изучении и выступать в качестве идеального руководства для учащихся.

Концепции, изложенные в главе 15 математики Класса 10 Окружности касаются окружности, Число касательных от точки на окружности, Свойства хорды — прямая линия, проведенная из центра окружности для разделения хорды, не являющейся диаметром пополам, находится на Прямые углы к хорде, свойства хорды — перпендикуляр к хорде от центра делит хорду пополам (без доказательства), теорема: равные хорды окружности равноудалены от центра., Обратное: хорды окружности равноудалены от центра. центр равны., Свойства хорды — существует один и только один круг, который проходит через три заданные точки, не входящие в прямую линию, свойства дуги и хорды — угол, который дуга окружности проходит в центре, вдвое больше, чем угол, который она охватывает в любой точке Оставшаяся часть круга, Теорема: углы в одном и том же сегменте круга равны. Свойства дуги и хорды — угол в полукруге — это прямой угол, свойства дуги и хорды — если две дуги соединяют равные углы в Центр, они равны, и его обратные, дуговые и хордовые свойства — если две хорды равны, они отсекают равные дуги и обратное (без доказательства), свойства дуги и хорды — если две хорды пересекаются внутри или снаружи, то произведение длины сегментов равны, циклические свойства, понятие круга — центр, радиус, диаметр, дуга, сектор, хорда, сегмент, полукруг, окружность, внутренняя и внешняя части, концентрические круги, области сектора и сегмент круга, Касательные свойства — если Li ne касается окружности, и из точки соприкосновения проводится хорда, углы между касательной и хордой соответственно равны углам в соответствующих альтернативных сегментах, свойства касательной — если хорда и касательная пересекаются снаружи, то Произведение длин отрезков хорды равно квадрату длины касательной от точки соприкосновения до точки пересечения, свойства касательной — если два круга соприкасаются, точка соприкосновения лежит на прямой, соединяющей их. o] rd), n.[L chorda кишка, струна из кишки, гр. аккорд В смысле веревки или небольшой веревки, в общем, это Circle Sky — Песня The Monkees из альбома Head, выпущенного 1 декабря 1968 года Автор лейбла Colgems Майкл Несмит Circle Sky — это песня … Работа с частями круга, такие как радиус и хорда, — это задачи, с которыми вы можете столкнуться на курсах тригонометрии в средней школе и колледже. Вам также, возможно, придется решать эти типы уравнений в таких областях карьеры, как проектирование, дизайн и ландшафтный дизайн. Вы можете найти радиус круга, если у вас есть длина и…

Человек убит в Бруклине над зажигалкой

Части круга Рабочий лист по геометрии для 3-го класса Обведите слово, которое представляет красную часть круга. диаметр центральной окружности радиус хорды диаметр центральной окружности радиус хорды диаметр центральной окружности радиус хорды диаметр центральной окружности радиус хорды диаметр центральной окружности хорда

Кольцо хорды показывает, что в мажоре до, F, C и G являются главными хордами, D, A и E — минорные аккорды, а B — уменьшенный аккорд.Пример 2: Теперь щелкните G в таблице тоников, непосредственно над C. Круг вращается по часовой стрелке на одну позицию, и теперь кольцо степеней указывает на G как тонизирующее средство.

Пятый круг был изобретен Николаем Дилецким в его сочинении о композиции под названием «Грамматика» в конце 1670-х годов. В 1728 году Иоганн Давид Хайнихен усовершенствовал дизайн, чтобы представить нам современную версию, которую мы используем сегодня. Что такое круг? Круги — фундаментальная часть математики! В этом уроке вы познакомитесь с кругами и увидите различные части круга, такие как диаметр, радиус и хорда.Ознакомьтесь с этим руководством, чтобы узнать о кругах! Sol. (i) Поскольку равные хорды в окружности пересекают равные дуги, хорда AB = хорда BC, дуга AB = дуга BC. (ii) Равные дуги в окружности образуют равные углы в центре. ∴ хорда AB = хорда BC ⇒ дуга AB = дуга BC. ⇒ ∠AOB = ∠BOC. Пример 26.