Пи 6 на окружности: Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac{π}{2}\), \(-\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{2}\)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку \(\frac{π}{2}\). \(\frac{π}{2}\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки \(-\)\(\frac{π}{2}\). Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac{3π}{2}\). Для этого дробь \(\frac{3}{2}\) переведем в смешанный вид \(\frac{3}{2}\)\(=1\)\(\frac{1}{2}\), т.е. \(\frac{3π}{2}\)\(=π+\)\(\frac{π}{2}\). Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

                                    

 

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\)\(\frac{3π}{2}\).

Обозначаем числа \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\) и \(\frac{π}{6}\).

\(\frac{π}{4}\) – это половина от \(\frac{π}{2}\) (то есть, \(\frac{π}{4}\) \(=\)\(\frac{π}{2}\)\(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac{π}{4}\) – это половина четверти окружности.

                                   

\(\frac{π}{4}\) – это треть от \(π\) (иначе говоря,\(\frac{π}{3}\)\(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac{π}{3}\) – это треть от полукруга.

           

\(\frac{π}{6}\) – это половина \(\frac{π}{3}\) (ведь \(\frac{π}{6}\)\(=\)\(\frac{π}{3}\)\(:2\)) поэтому расстояние \(\frac{π}{6}\) – это половина от расстояния \(\frac{π}{3}\).

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac{π}{2}\),\(π\), \(\frac{3π}{2}\), \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

     

     

 

Обозначаем числа \(\frac{7π}{6}\), \(-\frac{4π}{3}\), \(\frac{7π}{4}\)

Обозначим на окружности точку \(\frac{7π}{6}\), для этого выполним следующие преобразования: \(\frac{7π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π + π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=π+\)\(\frac{π}{6}\). Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac{π}{6}\).

                                  

Отметим на окружности точку \(-\)\(\frac{4π}{3}\). Преобразовываем: \(-\)\(\frac{4π}{3}\)\(=-\)\(\frac{3π}{3}\)\(-\)\(\frac{π}{3}\)\(=-π-\)\(\frac{π}{3}\). Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac{π}{3}\).

                               

Нанесем точку \(\frac{7π}{4}\), для этого преобразуем \(\frac{7π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π-π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π}{4}\)\(-\)\(\frac{π}{4}\)\(=2π-\)\(\frac{π}{4}\). Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac{7π}{4}\), надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{4}\).

                     

Задание 2. Отметьте на числовой окружности точки \(-\)\(\frac{π}{6}\),\(-\)\(\frac{π}{4}\),\(-\)\(\frac{π}{3}\),\(\frac{5π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{6}\),\(\frac{11π}{6}\), \(\frac{2π}{3}\),\(-\)\(\frac{3π}{4}\).

Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac{7π}{2}\) ,\(\frac{16π}{3}\), \(-\frac{21π}{2}\), \(-\frac{29π}{6}\)

Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Еще один вывод:

Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).

Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Сейчас обозначим число \(\frac{7π}{2}\). Как обычно, преобразовываем: \(\frac{7π}{2}\)\(=\)\(\frac{6π}{2}\)\(+\)\(\frac{π}{2}\)\(=3π+\)\(\frac{π}{2}\)\(=2π+π+\)\(\frac{π}{2}\). Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac{7π}{2}\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{2}\) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим \(\frac{16π}{3}\). Вновь преобразования: \(\frac{16π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π + π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π}{3}\)\(+\)\(\frac{π}{3}\)\(=5π+\)\(\frac{π}{3}\)\(=4π+π+\)\(\frac{π}{3}\). Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{3}\) – и мы найдем место точки \(\frac{16π}{3}\).

Нанесем на окружность число \(-\)\(\frac{21π}{2}\).
\(-\)\(\frac{21π}{2}\)\(= -\)\(\frac{20π}{2}\)\(-\)\(\frac{π}{2}\)\(=-10π-\)\(\frac{π}{2}\). Значит, место \(-\)\(\frac{21π}{2}\) совпадает с местом числа \(-\)\(\frac{π}{2}\).

Обозначим \(-\)\(\frac{29π}{6}\).
\(-\)\(\frac{29π}{6}\)\(=-\)\(\frac{30π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-5π+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-4π-π+\)\(\frac{π}{6}\). Для обозначение \(-\)\(\frac{29π}{6}\), на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac{π}{6}\).

Задание 3. Отметьте на числовой окружности точки \(-8π\),\(-7π\), \(\frac{11π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{3}\),\(\frac{17π}{6}\),\(-\)\(\frac{20π}{3}\),\(-\)\(\frac{11π}{2}\).

Скачать статью

Окружность на координатной плоскости

☰

Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).

Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности

• четвертям — 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
• серединам четвертей — π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• третям четвертей — π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.

Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).

Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).

Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).

Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого — это и есть координаты x и y точки окружности.

Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Из теоремы Пифагора получаем уравнение x² + y² = 1². Поскольку x = y, а 1² = 1, то уравнение упрощается до x² + x² = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Таким образом, координаты точки M₁ (π/4) = M₁ (√2/2; √2/2).

В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M₂ ((3π)/4) = M₂ (-√2/2; √2/2)
M₃ ((5π)/4) = M₃ (-√2/2; -√2/2)
M₄ ((7π)/4) = M₄ (√2/2; -√2/2)

При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.

Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x² + (½)² = 1²
x² = 1 — ¼ = ¾
x = √3/2

Таким образом T₁ (π/6) = T₁ (√3/2; ½).

Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T₂ (π/3) = T₂ (½; √3/2).

Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T₃ ((2π)/3) = T₃ (-½; √3/2)
T₄ ((5π)/6) = T₄ (-√3/2; ½)
T₅ ((7π)/6) = T₅ (-√3/2; -½)
T₆ ((4π)/3) = T₆ (-½; -√3/2)
T₇ ((5π)/3) = T₇ (½; -√3/2)
T₈ ((11π)/6) = T₈ (√3/2; -½)

градусная и радианная мера угла, интервалы и отрезки, свойства точки

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия – это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование.

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.{\circ} $$

Таблица соответствия градусных и радианных мер некоторых углов

30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\pi\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(2\pi\)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая. При t<0 двигаемся по окружности по часовой стрелке, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая.

Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{2\pi}{3},\ \pi\), а также \(-\frac{\pi}{6},\ -\frac{\pi}{4},\ -\frac{\pi}{2},\ -\frac{2\pi}{3},\ -\pi\) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.

Каждой точке M(t) на числовой окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел t с точностью до полного периода 2π:
$$ M(t) = M(t+2\pi k),\ \ k\in\mathbb{Z} $$

Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac{\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{25\pi}{6}\), и \(-\frac{11\pi}{6}\). Все четыре точки совпадают, т.к. \begin{gather*} M\left(\frac{\pi}{6}\right)=M\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\\ \frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11\pi}{6}\\ \frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6}\\ \frac{\pi}{6}+4\pi=\frac{25\pi}{6} \end{gather*}

п.{\circ}\\ \frac{17\pi}{6}=\frac{18-1}{6}\pi=3\pi-\frac{\pi}{6}\rightarrow \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\\ \frac{27\pi}{4}=\frac{28-1}{4}\pi=7\pi-\frac{\pi}{4}\rightarrow \pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{gather*}

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: \begin{gather*} 0,\ \ \frac\pi2\approx\frac{3,14}{2}=1,57,\ \ \pi\approx 3,14\\ 3\pi\ \ 3\cdot 3,14\\ \frac{3\pi}{2}\approx \frac{3\cdot 3,14}{2}=4,71,\ \ 2\pi\approx 6,28 \end{gather*}

\(\frac\pi2\lt 2\lt \pi \Rightarrow \) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
\(\pi\lt 4\lt \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
\(\frac{3\pi}{2}\lt 5\lt 2\pi \Rightarrow \) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
\(7\gt 2\pi\), отнимаем полный оборот: \(0\lt 7-2\pi\lt \frac\pi2\Rightarrow\) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек \((k\in\mathbb{Z})\), запишите количество полученных базовых точек.

$$ \frac{\pi k}{2} $$	$$ -\frac{\pi}{4}+2\pi k $$
Четыре базовых точки, через каждые 90°	Две базовых точки, через каждые 180°
$$ \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3} $$	$$ -\frac{\pi k}{5} $$
Три базовых точки, через каждые 120°	Пять базовых точек, через каждые 72°

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

$$ \left[0;\ \frac{\pi}{3}\right] $$	$$ \left(-\frac{\pi}{4};\ \pi\right] $$
$$ \left[\frac\pi2;\ \frac{5\pi}{4}\right) $$	$$ (1;\ 3) $$
	\begin{gather*} 1\ \text{рад}=\frac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57,3^{\circ}\\ 3\ \text{рад}=\frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot 3\approx 171,9^{\circ} \end{gather*}

Тригонометрические функции. Числовая окружность. Синус и косинус

Определение. Числовой окружностью называется окружность на координатной плоскости с центром в начале координат и единичным радиусом.

Числовая окружность изображена на рис. 37:

Рис. 37

Иначе говоря, это множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Представим себе, что точка равномерно движется по числовой окружности против часовой стрелки со скоростью 1.

Будем предполагать, что это движение обладает следующими свойствами ( — положение точки в момент времени ):

1. — точка числовой окружности.
2. .
3. .
4. имеет положительные координаты.
5. , где .
6. расстояние между точками и равно расстоянию между точками и .

Примечание. Расстояние между точками и вычисляется по формуле

   

Определение синуса и косинуса

Определение. Предположим, что точка равномерно движется по числовой окружности так, что выполняются свойства 1–6. Абсцисса точки называется косинусом числа , ордината — синусом числа .

   

Задачи.

1) Найдите координаты точек .

2) Изобразите на числовой окружности дугу, описываемую движущейся точкой в течение промежутков времени

1. .

2. .

3) Отметьте на числовой окружности положения, которые занимает движущаяся точка в моменты времени

1. , где — целое число.

2. , где — целое число.

4) Расположите в порядке возрастания числа

   

5) Решите уравнения и неравенства (для этого не нужно знать тригонометрические формулы):

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Урок «Длина окружности. Вычисление числа пи» 6 класс

Длина окружности. Число π.

Цели Урока:

Образовательные:

— обеспечить усвоения учащимися формул по нахождению длины окружности;

— познакомить с числом «Пи»;

— отработать навыки применения данных формул при решении задач.

Развивающие:

— развивать познавательный интерес учащихся в процессе ознакомления с историческим материалом;

— развивать пространственное воображение учащихся;

— умение пользоваться чертежными инструментами;

— развитие умений действовать самостоятельно.

Воспитательные:

— воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям;

— воспитывать уважение и интерес к математике, умение видеть математические задачи в окружающем нас мире.

Тип урока: урок изучения нового материала и первичное применение полученных знаний.

Ход урока

Какие элементы окружности вам известны?

Давайте повторим определения.

Окружность — замкнутая линия без самопересечений все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра

Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности

Диаметр-это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности

Круг — это часть плоскости ограниченная окружностью

Окружность самая простая кривая линия.

Слово радиус происходит от латинского и означает «спица колеса», R

хорда — греческого происхождения и означает «струна»,

диаметр в переводе « поперечник».D

Найдите хорду, диаметр и радиус на чертеже

Практическая работа

Метод «падающей иголки»

Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги.

На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояние между ними были равны и превышали длину иголки.

Введем обозначения а – расстояние между прямыми, L – длина иглы.

Вероятность события – «игла пересекла прямую» – вычисляется по формуле Р(А) = 2L/a∙p 

Вероятность Р(А) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы.

Пусть иглу бросали на чертеж n раз и k раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом n  имеем

Р(А) = k/n. 
Отсюда:  2L∙n/a∙k

Мною сделано … бросаний,

из них на прямую попали … раз.

Вычислим число.

Практическая работа

Метод Монте-Карло

Для опыта приготовим кусок картона.

Нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. 
Пусть N кр – число капель в кругу, N кв – число капель в квадрате, тогда p » 4 * N кр / N кв. Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. 
Свое экзотическое название получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Можно получить случайные числа и при помощи дождя. Применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам.

Практическая работа

«Нахождение отношения длины окружности к диаметру окружности»

Ход работы:

1. Измерить ниткой длину окружности, которая является границей круга.

2. Распрямить нить и измерить её длину, приложив к линейке.

3. Записать значение в таблице.

4. С помощью линейки измерить диаметр круга, записать в таблицу.

5. Найти отношение длины окружности к диаметру, записать в таблицу.

С

Длина окружности

D

Диаметр окружности

R= D:2

Радиус окружности

S

Площадь круга

S:R²

Отношение

Площади круга к квадрату радиуса

C:D

Отношение длины окружности к её диаметру

№ 1

№ 2

Рассмотрим результаты двух последних столиков. Какая получилась закономерность?

Вывод: приблизительно получается 3.

π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита π.

Число Пи, несомненно, одна из наиболее универсальных и фундаментальных констант, известных Человечеству.

• В силу своей универсальности Пи используется в вычислениях для микро- и для и макро-космоса и входит как и в формулы, описывающие движение комет, астероидов, космических кораблей и других небесных тел в астрономии, так и в формулы для вычислений электронных орбит в квантовой физике и квантовой химии

• Одно из первых упоминаний о числе Пи можно встретить в текстах египетского писца по имени Ахмес (около 1650 года до н. э.), известных сейчас как папирус Ахмеса (Ринда).

• Люди изучают число π уже на протяжении 4000 лет.

• Значение первых чисел в числе Пи после впервые правильно рассчитал одни из величайших математиков древнего мира, Архимед из Сиракуз (род.287 – ум.212 г. до н. э.). Он представил это число в виде нескольких дробей. По легенде, Архимед был настолько увлечён рассчетами, что не заметил, как римские солдаты взяли его родной город Сиракузы. Когда римский солдат подошел к нему, Архимед закричал по-гречески: «Не трогай моих кругов!». В ответ на это солдат заколол его мечом.

• Точное значение числа Пи было получено китайской цивилизацией намного раньше, чем западной. Китайцы имели два преимущества по сравнению с большинством других стран мира: они использовали десятичную систему обозначения и символ нуля. Европейские математики как раз-таки наоборот не использовали символическое обозначение нуля в счетных системах до позднего средневековья, пока не вступили в контакт с индийскими и арабскими математиками.

• Аль-Хорезми (основатель алгебры) упорно работал над расчетами числа Пи и добился первых четырёх чисел: 3,1416. Термин «алгоритм» происходит от имени этого великого среднеазиатского учёного, а из его текста Китаб аль-Джабер валь-Мукабала появилось слово «алгебра».

• Уильям Джонс (род.1675 – ум.1749) ввел символ «π» в 1706 году, который позднее был популяризирован в математическом сообществе Леонардо Эйлером (род.1707 – ум.1783).

• Исаак Ньютон рассчитал число Пи до 16 знаков после запятой.

• Людольф ван Цейлен (род.1540 – ум.1610 гг.) провёл большую часть своей жизни над расчетами первых 36 цифр после запятой числа Пи. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («VandenCirckel»), Людольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». Согласно легенде, эти цифры были выгравированы на его надгробной плите после смерти. В честь него число иногда называли «Людольфовым числом», или «константой Людольфа».

• Первый миллион знаков после запятой в числе Пи состоит из: 99959 нулей, 99758 единиц, 100026 двоек, 100229 троек, 100230 четвёрок, 100359 пятёрок, 99548 шестёрок, 99800 семёрок, 99985 восьмёрок и 100106 девяток.

Леденящая тайна числа ПИ

Поскольку в последовательности знаков числа пи нет повторений – это значит, что последовательность знаков пи подчиняется теории хаоса, точнее, число пи – это и есть хаос, записанный цифрами.

• Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, и есть предположение, что этот Хаос разумен. В 1965-м году американский математик М. Улэм, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи.

• Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых! Позже он сгенерировал на основе этого рисунка цветовую картину с помощью специального алгоритма. Что изображено на этой картине – засекречено.

• А следует из этого то, что в десятичном хвосте числа пи можно отыскать любую задуманную последовательность цифр. Ваш телефон? Пожалуйста, и не раз. Любая последовательность цифр в десятичных знаках числа пи рано или поздно найдется. Любая!

• Ну и что? – спросите вы. А то. Прикиньте: если там есть ваш телефон (а он есть), то ведь там же есть и телефон той девушки, которая не захотела дать вам свой номер. Более того, там есть и номера кредиток, и даже все значения завтрашнего тиража Спортлото. Вопрос в том, как их там отыскать…

• Можно предложить и другой пример: если зашифровать все буквы цифрами, то в десятичном разложении числа пи можно найти всю мировую литературу и науку, и рецепт изготовления соуса бешамель, и все священные книги всех религий.

Это строгий научный факт. Ведь последовательность БЕСКОНЕЧНА и сочетания не повторяются, следовательно она содержит ВСЕ сочетания цифр, и это уже доказано. А раз все, то все. В том числе и такие, которые соответствуют выбранной вами книге.

• А это опять-таки означает, что там содержится не только вся мировая литература, которая уже написана (в частности и те книги, которые сгорели и т.д.), но и все книги, которые еще БУДУТ написаны. Разве это может не волновать? Получается, что это число (единственное разумное число во вселенной!) и управляет нашим миром.

• Но – каким образом происходит это управление? Как правило, с помощью как познанных, так и еще не познанных и не написанных законов физики, химии, физиологии, астрономии, которые в нем содержатся! Это вам не убогонькая дата рождения с десятью скудными вариантиками на каждую цифру, в которые предлагается впихнуть все человечество! Это универсум в цифровом виде.

• Вопрос опять-таки – как отыскать там правильные тексты, ведь там есть все варианты, например, кроме текста «Анны Карениной», в котором Анну переезжает паровоз, там содержится и вариант, в котором Анна сама его переезжает. То есть, чтобы вычленить правильный текст, надо быть….. А кроме правильного варианта завтрашнего тиража лотереи – есть и все неправильные, и как их различить?

В заключение еще несколько мнемонических правил для запоминания знаков числа π.

Что я знаю о кругах – 3,1416

Это я знаю и помню прекрасно — пи многие знаки мне лишни, напрасны- 3,14159265358.

Число π мы вычисляли как отношение длины окружности к диаметру, значит длина окружности. С= πD

Решим несколько задач, для закрепления формулы для нахождения длины окружности.

Задача № 1

Дано: d = 3 см , (  3,14).

Найти: С

Решение: С= π d, С≈3,14∙3≈9,42 см

Ответ: С≈9,42 см

Задача №2: Найдите длину окружности, если её диаметр равен 24 дм

(3,14).

Дано: D = 24 дм, 3,14.
Найти: С.

Решение. С =D; С = 3,14 · 24 = 75,36(дм).
Ответ: 75,36.

Задача № 3. Давайте вычислим длину экватора.

— Форму какой геометрической фигуры имеет экватор Земли?

— Что необходимо знать, чтобы найти длину экватора?

Дано: r = 6370км (3,14).

Найти:С

Решение: С=2 π r, С≈2*3,14*6370≈40003,6 км

Ответ: С ≈40003,6 км

Задача №4: Найдите радиус и диаметр окружности, если её длина равна 0,785м (3,14).

Дано: С = 0,785 м.3,14.
Найти: R; D.
Решение. С = 2R;

D = 2R; R = 0,125 · 2 = 0,25(м).
Ответ: 0,125м; 0,25м.

Первичная проверка знаний — тест: ответьте на вопросы теста, подчеркнув верный ответ.

ТЕСТ

1.Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр

А) радиус; Б) сторона; В) хорда; Г) диаметр.

2.Число π равно А) 3,14 Б) 1,34 В) 3,91 Г) 4,13

3.Формула длины окружности

А) С=πr Б) С=πd В) C=2πd Г) C=2r

4. Чему равен диаметр окружности, радиус которой 3,5 см?

А) 6,28 Б) 1,57 В) 7 Г) 3,14

5. Диаметр окружности равен 10 см. Чему равна длина этой окружности?

А) 62,8 см Б) 31,4 см В) 20 см Г) 3,14 см

Проверка, поставьте себе оценку.

1-г 2-а 3- б 4- в 5 – б

Тема урока: Длина окружности.

Хорда

Диаметр, D

Радиус, R

Практическая работа

Метод «падающей иголки»

Измерьте

L = ….. – длину иглы

а= ….. – расстояние между прямыми

Мною сделано n=… бросаний,

из них на прямую попали k=… раз.

Вычислим число по формуле

=

Практическая работа

«Нахождение отношения длины окружности к диаметру окружности»

С

Длина окружности

(клетка)

D

Диаметр окружности

(клетка)

R= D:2

Радиус окружности

(клетка)

S

Площадь круга

(кв.клеток)

S:R²

Отношение

площади круга к квадрату радиуса

C:D

Отношение длины окружности к её диаметру

№ 1

Вычисление π: моделирование методом Монте-Карло | by Андрей Шагин | NOP::Nuances of Programming

Каждый год 14 марта любители математики отмечают День числа пи! Есть много способов вычислить это легендарное число π, которое примерно равно 3,14159…

Обсудим все эти методы и рассмотрим три способа вычисления π с использованием моделирования методом Монте-Карло!

Пи — это число, которое выражает отношение длины окружности к её диаметру, приблизительно равное 3,14159…

Нарисуем единичную окружность (т.е. окружность с радиусом 1).

Единичная окружность с площадью A(1) = π и периметром U(1) = 2π.

Как известно, площадь круга (окружности) равна:

А периметр:

Для единичной окружности, где r = 1, площадь равна π, а периметр равен 2π. То есть π — это есть одновременно и площадь единичной окружности, и её полупериметр.

Существует великое множество способов вычисления числа π. Помимо детерминистских методов, то есть методов без использования элемента случайности, есть ещё вероятностные методы. Последние объединяются под одним общим названием «моделирование методом Монте-Карло». Прежде чем уходить с головой в математику, разберёмся с тем, что представляет собой моделирование методом Монте-Карло.

Моделирование методом Монте-Карло основано на экспериментах или вычислительных алгоритмах, использующих выборку случайных величин. Моделирование случайных величин в таких экспериментах имеет повторяющийся характер, то есть модель многократно перерасчитывается для получения данных и нахождения искомых параметров, причём последние могут быть определены и детерминированно. Например, число π является детерминированным, т.е. не зависящим от элемента случайности или вероятности.

Моделирование методом Монте-Карло применяется, когда детерминированные вычисления сопряжены со слишком большими вычислительными затратами или неосуществимы. Ну… или если экспериментатор слишком ленив для точных вычислений.

Бывает и так, что в моделировании методом Монте-Карло нет никакой необходимости, а просто хочется продемонстрировать всю красоту математики и теории вероятности.

Мне больше нравится третья причина, так что давайте скорее начнём вычислять наше любимое число π! У меня для вас три способа вычисления пи: простой, сложный и неожиданный.

Рисуем единичный квадрат — такой же, как на рисунке ниже — и наносим, равномерно распределяя по всему квадрату, n точек. Пусть внутри круга с радиусом 1 оказалось m точек этого квадрата. Напомним, что квадрант — это четверть окружности.

Дробь m/n определяет отношение площадей квадранта и квадрата, равное 1/4 π.

Давайте разберёмся, откуда взялись такие цифры.

Площадь квадрата, в котором оказался наш квадрант с точками, определяется так:

Площадь квадранта определяется так:

Используя соотношение этих площадей, находим π:

Теперь это отношение площадей умножаем на четыре и получаем π. Например, если из 100 точек 76 оказались внутри четверти окружности, то π будет приблизительно равно:

Что ж, неплохо. Теперь нанесём 1 000 точек, 780 из которых внутри четверти окружности, тогда π будет равно:

Ещё ближе к истине! Результат будет тем точнее, чем больше точек наносится, пока мы наконец не подберёмся благодаря закону больших чисел к реальному значению π. Вот он наш самый первый и, пожалуй, самый простой — к тому же самый очевидный — метод вычисления π с использованием в расчётах элемента случайности!

Этот способ отлично подходит для общего понимания моделирования методом Монте-Карло. Его без труда могут освоить даже младшие школьники. Обратимся теперь к менее очевидному и математически более сложному способу.

Этот способ очень часто используют при вычислении интегралов, когда вычислительные затраты, связанные с получением точных результатов, слишком велики. Среднее значение непрерывной функции f(x) определяется следующим образом:

Мы можем использовать его для вычисления π, потому что для этой функции

интеграл

равен π/4. Следовательно, и вот этот интеграл

тоже равен π/4. И среднее значение этой функции на интервале [0,1] тоже равно π/4. Вычислим это математически. Первообразная функции f(x) определяется так:

Перепроверять дважды очень муторно, вы можете поверить мне на слово. Поэтому я пропущу этот момент. Теперь мы можем вычислить неопределённый интеграл, то есть среднее приведённой выше функции:

Вычислить π мы можем, протестировав случайные значения xᵢ, i=1,…n между 0 и 1, посчитав для них f(xᵢ) и взяв среднее. Умножив на четыре, получим приблизительное значение π.

Этот способ вычисления π тоже довольно прост, хотя математическое объяснение чуть более сложное, чем для первого метода.

Его часто используют при вычислении интегралов, особенно когда точность вычисления интеграла требует больших затрат или найти первообразную не представляется возможным.

Неожиданный и странный на первый взгляд, но очень красивый способ вычисления π: бросаем иголки. С помощью таких элегантных упрощений математика становится понятнее!

Нарисуйте на листке бумаги параллельные прямые на расстоянии примерно 4 сантиметра друг от друга. Теперь возьмите n иголок или спичек. Бросьте их на бумагу и сосчитайте количество m, оказавшихся на прямых.

11 иголок (или спичек) бросаются на лист бумаги с начерченными на нём параллельными линиями. Из этих 11 иголок 7 пересекают линии (выделены бирюзовым цветом).

Соотношение m/n будет приблизительно равно 2/π, то есть:

Отсюда выводится π:

В этом примере у нас 11 иголок, 7 из которых лежат на прямых. Здесь π вычисляется так: 2 ⋅ 11/7 ≈ 3,1428 (очень неплохо!). Не ожидали такой точности? Я и сам, признаться, не сразу понял, как мне повезло! Попробуем разобраться, почему так получилось.

Пусть точка x находится на середине иголки. Будет иголка пересекать линию или нет, зависит только от положения иголки.

Иголка может находиться где-то между 0 и 180°, то есть π радианами. Она будет пересекать линию, если будет находиться внутри части круга, ограниченного углом 2⋅ α(x) от середины иголки.

Для радиуса r = 1 иголка длиной 1 пересечёт линию с вероятностью P, которая зависит от угла α(x). Полукруг имеет радиан π. Иголка пересекает линию, если мы в розоватом секторе. Розоватый сектор принимает дробь 2α(x)/π розового и бирюзового секторов вместе, и здесь вероятность пересечения линии будет определяться так:

Потому что для

интеграл высчитывается так:

Проще всего сделать проверку, посчитав производную:

Я эту часть снова оставлю вам: вы сами прекрасно справитесь.

Особенную красоту этому методу придаёт простота реализации. Работает он очень хорошо, несмотря на то, что понять, почему это происходит, будет немного сложнее, чем в случае с другими методами.

Вычислять пи этим методом вы можете лёжа на пляже: качество вычислений от этого не пострадает. Разве это не красиво?

Существует много других способов вычисления π с использованием моделирования методом Монте-Карло. Мной были выбраны именно эти три способа из-за их непохожести друг на друга: они наглядно демонстрируют, насколько разнообразно моделирование методом Монте-Карло. Вам остаётся лишь выбрать своего фаворита: один из этих трёх методов или какой-то другой.

Photo by sheri silver on Unsplash. Мой второй любимый пи(рог).

А какой ваш любимый способ вычисления π?

Читайте также:

Читайте нас в телеграмме, vk и Яндекс.Дзен

Конспект урока по алгебре в 10 классе: «Числовая окружность»

Тема:«Числовая окружность»

Цель урока:

• способствовать формированию умения записывать множество чисел, соответствующих на числовой окружности точке;
• способствовать формированию умения находить на числовой окружности точку, соответствующую данному числу.
• способствовать формированию навыков работать в коллективе способствовать развитию коммуникативных компетенций.
• способствовать развитию креативных способностей учащихся
• способствовать формированию элементов информационной культуры.
• способствовать самореализации учеников.

Тип урока: Комбинированный

Возраст учащихся: 10 класс

Обучающие задачи:

• познакомиться с числовой окружностью;
• научиться находить на числовой окружности точки соответствующие заданному числу.
• научиться переходить от градусной системы счисления к радианной и наоборот.
• научиться выделять на числовой окружности дугу соответствующей заданному интервалу.
• научиться по заданной дуге записывать аналитическое выражение.
• сделать самоанализ урока.

Развивающие задачи:

• способствовать формированию навыков работать в коллективе при выполнении групповых заданий;
• способствовать развитию коммуникативных компетенций при работе в группах;(при выполнении в группах практического задания)
• способствовать развитию креативных способностей учащихся при решении нестандартных задач;
• способствовать совершенствованию аналитических навыков учащихся при решении задач;
• способствовать формированию навыков и умений использовать различные способы решения задач.
• способствовать развитию пространственного воображения, умению работать с интерактивной доской,
• развивать логическое мышление, вычислительные навыки, память, внимание, повышение мотивации к изучению математики

Воспитывающие задачи :

•  воспитывать ответственность за свои действия.

Оборудование и методические материалы: компьютер, проектор, экран, демонстрационный круг ,веревка, маркер. 

Этапы урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление знаний, умений и навыков.

5. Домашнее задание.

6. Подведение итогов урока.

7. Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент

1) Учитель приветствует учащихся.

2) Учитель выявляет отсутствующих, выясняет причину отсутствия.

3) Проверка готовности учащихся к уроку (внешний вид, рабочая поза, состояние рабочего места).

4) Проверка подготовленности классного помещения к уроку (чистая доска, мел, тряпка, порядок в классе).

5) Организация внимания.

Учитель: Ребята, сегодня мы с вами начинаем изучать большой раздел в математике — тригонометрические функции. Отнеситесь к её изучению очень внимательно, поскольку, как показывает опыт, обучающиеся, хорошо овладевший понятием «числовая окружность», достаточно уверенно обращается и с тригонометрическими функциями.

Зачем нам нужна тригонометрия?(Слайды №1-8)

Восход и заход солнца, изменение фаз луны, чередование времен года, биение сердца, циклы в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы — модели этих многообразных процессов описываются тригонометрическими функциями.

Звук, электрический ток, радиоволны так же представляют собой колебания различной частоты и амплитуды.

Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.

Таким образом многие процессы происходящие в природе и технических системах описываются тригонометрическими функциями, которые служат основой их математических моделей.

2. Актуализация знаний учащихся

Учитель: Внимание, на доске обозначены вопросы для повторения, они помогут вам в изучении нового материала. Обучающимся дается несколько минут на обдумывание ответа. Затем к доске вызывается один из учеников и отвечает на них. Правильность ответа контролируют обучающиеся, они могут задать дополнительные наводящие вопросы, если не согласны с ответом или считают, что ответ неполный. Учитель контролирует всех. В конце опроса выставляется оценка за ответ. Слайд № 9,10.

Устная работа.

Учитель: Что называется числовой прямой?

Ученики: Это прямая, на которой заданы начальная точка О, масштаб (единичный отрезок) и положительное направление.

Учитель: Сколько действительных чисел можно поставить в соответствие каждой точке числовой прямой?

Ученики: Каждой точке соответствует только одно действительное число.

Учитель То есть числовая прямая – это взаимно однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.

Учитель Что называется окружностью?

Ученики: Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки.

Учитель: Как найти длину окружности?

Ученики: Длина окружности равна :L=2 пr.

Учитель: А что такое пи?

Ученики: Пи — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Эта константа приближенно равна 3,14.

Учитель: Чему будет равна L при R=1.

Ученики: L=2П или 6,28.

Учитель: Отметьте на числовой прямой точки П и 2П.(Слайд №9,10,11 )

3. Изучение нового материала.

Учитель: В реальной жизни приходится двигаться не только по прямой, но и по окружности.

В принципе любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее всего использовать для этой цели единичную окружность — окружность радиусом 1. Исходя из основной формулы длины окружности при радиусе равном 1 получаем длину единичной окружности равной 2П, что составляет примерно 6,28. Соответственно половина длины окружности равна П, четверть П/2 и три четверти окружности равны 3П/2.(Слайд№ 12)

На числовой окружности принято условно называть дугу от 0 до П/2 первой четвертью, дугу от П/2 до П – второй четвертью, от П до 3П/2 3 четвертью и от 3П/2 до 2П 4-й четвертью. При этом, как правило, речь идет об открытых дугах, т.е. о дугах без их концов: например, первая четверть — это дуга от 0 до П/2, без точек 0 и П/2.

Рассмотрим следующее определение.

Учитель :Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

И самое главное необходимо запомнить что положительное значение откладывается против часовой стрелки , а отрицательное по часовой стрелке

(Слайд 12,13).

Любому действительному числу можно сопоставить единственную точку на прямой и наоборот (любая точка прямой соответствует единственному числу).

Числу 0 соответствует начальная точка О.

Если t>0, то, двигаясь по прямой из точки О в положительном направлении, необходимо пройти путь длиной t.

Если t<0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, необходимо пройти путь длиной |t|.

Проведем горизонтальный и вертикальный диаметры CA и BD. (Слайд№14)

Учитель: Разделим первую четверть на три равные части. Чему раны длины полученных дуг?(Слайд№14)

Ученики: П/6

Учитель: А если возьмем две части?

Ученики: П/3

Учитель: Найдите на числовой окружности точки симметричные точкам П/6 и П/3 относительно диаметров. Чему они равны?

Ученики: П/6, 5П/6, 7П/6, 11П/6. П/3, 2П/3,4П/3, 5П/3. (Слайды№15,16)

Учитель: Разделим первую четверть на две равные части. Чему раны длины полученных дуг? (Слайд№17)

Ученики: П/4

Учитель: Найдите на числовой окружности точки симметричные точке П/4 относительно диаметров. Чему они равны?

Ученики: П/4, 3П/4, 5П/4, 7П/4.

Учитель: Подумайте как найти точки: 21П/4, 13П/6, 19П/6.(Слайд№18) Использовать демонстрационный круг ,веревка, маркер

Ученики:

4. . Закрепление знаний, умений и навыков.

Учитель: Обозначьте на числовой окружности точку, которая

соответствует данному числу:

Ученики: Отмечаю в тетради заданные точки, результат сверяют по

слайду№20.

Учитель: Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу: 2; 5; -5; -9; -17; 31; -95.?

Ученики: Производят необходимые расчеты в тетради и отвечают на вопрос.(Слайд№21)

Учитель: Как расположены на координатной прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам: a) t и –t; б) t и t+2πk, kÎZ;

в) t и t+π; г) t+π и t-π.

Ученики: Выполняют задание в тетради, результат сверяют по Слайду№22.

Учитель: Постройте геометрическую модель дуги числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству.

Ученики: Выполняют задание в тетради, результат сверяют по Слайду№23.

Учитель: Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие открытой дуге АВ, DC, PR .(Слайд№24)

Ученики: Выполняют задание в тетради, результат сверяют по Слайду.

Учитель: Выполним самостоятельную работу.(Слайд№25)

Учащиеся самостоятельно выполняют работу с последующей проверкой и отметкой за урок.. На начальном этапе выполнения задания, учитель контролирует и консультирует обучающихся. Затем в роли консультантов выступают обучающиеся справившиеся с заданием раньше.

Дополнительное задание (если останется время): Приложение№1.

Слайд №26,27,28.

5. Домашнее задание.

П2. 9-13(в, г) — 24.25(в, г).

6. Подведение итогов урока.

Учитель: Молодцы ребята, очень хорошо потрудились, хорошо решали задачи, внимательно слушали и принимали активное участие.

Давайте подведем итоги. В начале урока мы задали следующие вопросы.

1)Что называется числовой окружностью?

2)Как найти точки на числовой окружности, соответствующие заданным числам?

3)Как выделять на числовой окружности дугу соответствующей заданному интервалу.

4)Как по заданной дуге записывать аналитическое выражение.

Теперь вы можете ответить на них.

7. Рефлексия.

Продолжите фразы:

— сегодня на уроке я узнал …

— сегодня на уроке я научился…

— сегодня на уроке я повторил…

— сегодня на уроке я познакомился…

— сегодня на уроке мне понравилось

Тригонометрических функций и единичная окружность

Радианы

Радианы — это еще один способ измерения углов, и величина угла может быть преобразована между градусами и радианами.

Цели обучения

Объясните определение радианов с точки зрения длины дуги единичного круга и используйте это для преобразования между градусами и радианами.

Основные выводы

Ключевые моменты

• Один радиан — это мера центрального угла окружности, при которой длина дуги равна радиусу
  окружности.\ circ} {\ pi}} [/ латекс].
• Радианная мера угла — это отношение длины дуги к радиусу круга [латекс] \ displaystyle {\ left (\ theta = \ frac {s} {r} \ right)} [/ latex] . Другими словами, если [latex] s [/ latex] — это длина дуги круга, а [latex] r [/ latex] — это радиус круга, то центральный угол, содержащий эту дугу, измеряется в радианах.

Ключевые термины

• дуга : Непрерывная часть окружности круга.
• окружность : длина линии, ограничивающей круг.
• радиан : Стандартная единица измерения углов в математике. Мера центрального угла круга, который пересекает дугу, равную по длине радиусу этого круга.

Введение в радианы

Напомним, что деление круга на 360 частей дает измерение в градусах. Это произвольное измерение, и мы можем выбрать другие способы разделить круг.Чтобы найти другую единицу, представьте себе процесс рисования круга. Представьте, что вы останавливаетесь до того, как круг замкнется. Нарисованная вами часть называется дугой. Дуга может быть частью полного круга, полного круга или более чем полного круга, представленного более чем одним полным оборотом. Длина дуги вокруг всего круга называется окружностью этого круга.

Окружность круга

[латекс] C = 2 \ pi r [/ латекс]

Если мы разделим обе части этого уравнения на [латекс] r [/ латекс], мы получим отношение окружности, которое всегда равно [латексу] 2 \ pi [/ латексу] к радиусу, независимо от длины радиус.Таким образом, длина окружности любого круга равна [латексу] 2 \ пи \ приблизительно в 6,28 [/ латексу] раз больше длины радиуса. Это означает, что если мы возьмем струну такой же длины, как радиус, и будем использовать ее для измерения последовательных длин по окружности, то будет место для шести полных струн и чуть больше четверти седьмой, как показано на диаграмме. ниже.

Длина окружности по сравнению с радиусом : длина окружности чуть более чем в 6 раз превышает длину радиуса.

Это подводит нас к нашей новой угловой мере. Радиан — это стандартная единица измерения углов в математике. Один радиан — это мера центрального угла круга, который пересекает дугу, равную по длине радиусу этого круга.

Один радиан: Угол [латекс] t [/ латекс] выметает величину в один радиан. Обратите внимание, что длина перехваченной дуги равна длине радиуса круга.

Поскольку общая длина окружности равна [латексу] 2 \ pi [/ latex], умноженному на радиус, полный круговой поворот составляет [латекс] 2 \ pi [/ latex] радиан. {\ circ}} [/ latex].

Измерение угла в радианах

Длина дуги [латекс] s [/ латекс] — это длина кривой вдоль дуги. Так же, как полная длина окружности всегда имеет постоянное отношение к радиусу, длина дуги, образованная любым заданным углом, также имеет постоянную связь с радиусом, независимо от длины радиуса.

Это соотношение, называемое радианной мерой, одинаково независимо от радиуса круга — оно зависит только от угла. Это свойство позволяет нам определять меру любого угла как отношение длины дуги [latex] s [/ latex] к радиусу [latex] r [/ latex].

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s & = r \ theta \\ \ theta & = \ frac {s} {r} \ end {align}} [/ latex]

Измерительные радианы: (a) в угле 1 радиан; длина дуги равна радиусу [латекс] r [/ латекс]. (b) Угол в 2 радиана имеет длину дуги [латекс] s = 2r [/ латекс]. (c) Полный оборот составляет [латекс] 2 \ pi [/ латекс], или около 6,28 радиана.

Пример

Какова мера данного угла в радианах, если длина его дуги равна [латекс] 4 \ pi [/ латекс], а радиус — [латекс] [/ латекс] 12?

Подставьте значения [latex] s = 4 \ pi [/ latex] и [latex] r = 12 [/ latex] в формулу угла:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ theta & = \ frac {s} {r} \\ & = \ frac {4 \ pi} {12} \\ & = \ frac {\ pi} {3 } \\ & = \ frac {1} {3} \ pi \ end {align}} [/ latex]

Угол имеет размер [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {3} \ pi} [/ latex] радиан.

Определение тригонометрических функций на единичной окружности

Определение точек на единичной окружности позволяет применять тригонометрические функции к любому углу.

Цели обучения

Используйте прямоугольные треугольники, нарисованные в единичной окружности, чтобы определить тригонометрические функции для любого угла

Основные выводы

Ключевые моменты

• Координаты [latex] x [/ latex] — и [latex] y [/ latex] в точке на единичной окружности, заданной углом [latex] t [/ latex], определяются функциями [latex] x = \ cos t [/ latex] и [latex] y = \ sin t [/ latex].{\ circ} [/ латекс].
• Единичный круг демонстрирует периодичность тригонометрических функций, показывая, что они приводят к повторяющемуся набору значений через равные промежутки времени.

Ключевые термины

• периодичность : качество функции с повторяющимся набором значений через равные промежутки времени.
• единичная окружность : окружность с центром в начале координат и радиусом 1.
• квадранты : четыре четверти координатной плоскости, образованные осями [латекс] x [/ латекс] — и [латекс] y [/ латекс].

Тригонометрические функции и единичная окружность

Мы уже определили тригонометрические функции в терминах прямоугольных треугольников. В этом разделе мы переопределим их в терминах единичной окружности. Напомним, что единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом 1. Угол [латекс] t [/ латекс] (в радианах) образует дугу длиной [латекс] s [/ латекс].

Оси x- и y- делят координатную плоскость (и единичную окружность, поскольку она центрирована в начале координат) на четыре четверти, называемых квадрантами.Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление, в котором будет разворачиваться положительный угол. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла [latex] t [/ latex] мы можем обозначить пересечение его стороны и единичного круга его координатами, [latex] (x, y) [/ latex]. Координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] будут выходными данными тригонометрических функций [latex] f (t) = \ cos t [/ latex] и [latex] f (t). = \ sin t [/ latex] соответственно. Это означает:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos t \\ y & = \ sin t \ end {align}} [/ latex]

Эти координаты показаны на диаграмме единичного круга.

Единичный круг: координаты точки на единичной окружности, центральный угол которой составляет [латекс] t [/ латекс] радиан.

Обратите внимание, что значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] задаются длинами двух сторон треугольника, окрашенных в красный цвет. Это прямоугольный треугольник, и вы можете видеть, как длины этих двух сторон (и значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex]) задаются тригонометрическими функциями [latex] t [/латекс].

В качестве примера того, как это применимо, рассмотрим диаграмму, показывающую точку с координатами [latex] \ displaystyle {\ left (- \ frac {\ sqrt2} {2}, \ frac {\ sqrt2} {2} \ right)} [/ latex] по единичной окружности.

Точка на единичном круге: точка [латекс] \ displaystyle {\ left (- \ frac {\ sqrt2} {2}, \ frac {\ sqrt2} {2} \ right)} [/ latex] на единичном круге .

Мы знаем, что для любой точки единичного круга координата [latex] x [/ latex] равна [latex] \ cos t [/ latex], а координата [latex] y [/ latex] — [latex] ] \ sin t [/ латекс]. Применяя это, мы можем определить, что [latex] \ displaystyle {\ cos t = — \ frac {\ sqrt2} {2}} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {\ sin t = — \ frac {\ sqrt2} {2}} [/ латекс] для угла [латекс] t [/ латекс] на схеме.

Напомним, что [латекс] \ displaystyle {\ tan t = \ frac {\ sin t} {\ cos t}} [/ latex]. Применяя эту формулу, мы можем найти тангенс любого угла, обозначенного единичной окружностью. Для угла [латекс] т [/ латекс], указанного на диаграмме единичного круга, показывающего точку [латекс] \ displaystyle {\ left (- \ frac {\ sqrt2} {2}, \ frac {\ sqrt2} {2 } \ right)} [/ latex], касательная:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan t & = \ frac {\ sin t} {\ cos t} \\ & = \ frac {- \ frac {\ sqrt2} {2}} {- \ гидроразрыв {\ sqrt2} {2}} \\ & = 1 \ end {align}} [/ latex]

Ранее мы обсуждали тригонометрические функции применительно к прямоугольным треугольникам.{\ circ} [/ латекс].

Дальнейшее рассмотрение единичного круга

Координаты определенных точек на единичной окружности и мера каждого угла в радианах и градусах показаны на диаграмме координат единичной окружности. Эта диаграмма позволяет наблюдать за каждым из этих углов, используя тригонометрические функции.

Координаты единичной окружности : Единичная окружность, показывающая координаты и угловые размеры определенных точек.

Мы можем найти координаты любой точки единичной окружности.Учитывая любой угол [латекс] t [/ латекс], мы можем найти координату [latex] x [/ latex] или [latex] y [/ latex] в этой точке, используя [latex] x = \ text {cos} t [/ latex] и [latex] y = \ text {sin} t [/ latex].

Единичный круг демонстрирует периодичность тригонометрических функций. Периодичность относится к способу, которым тригонометрические функции приводят к повторяющемуся набору значений через равные промежутки времени. Взгляните на [latex] x [/ latex] -значения координат в единичном круге выше для значений [latex] t [/ latex] от [latex] 0 [/ latex] до [latex] 2 {\ pi} [/ latex]:

[латекс] {1, \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {1} {2}, 0, — \ frac {1} {2}, — \ frac {\ sqrt {2}} {2}, — \ frac {\ sqrt {3}} {2}, -1, — \ frac {\ sqrt {3}} {2}, — \ frac {\ sqrt {2}} {2}, — \ frac {1} {2}, 0, \ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac { \ sqrt {3}} {2}, 1} [/ латекс]

Мы можем определить закономерность в этих числах, которые колеблются между [латекс] -1 [/ латекс] и [латекс] 1 [/ латекс].Обратите внимание, что этот шаблон будет повторяться для более высоких значений [latex] t [/ latex]. Напомним, что эти значения [latex] x [/ latex] соответствуют [latex] \ cos t [/ latex]. Это показатель периодичности функции косинуса.

Пример

Решите [латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right)}} [/ latex].

Похоже, это будет сложно решить. Однако обратите внимание, что диаграмма единичного круга показывает координаты в [latex] \ displaystyle {t = \ frac {7 \ pi} {6}} [/ latex].Поскольку координата [latex] y [/ latex] соответствует [latex] \ sin t [/ latex], мы можем идентифицировать, что

[латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right)} = — \ frac {1} {2}} [/ latex]

Специальные уголки

Единичный круг и набор правил можно использовать для вызова значений тригонометрических функций специальных углов.

Цели обучения

Объясните, как свойства синуса, косинуса и тангенса и их знаки в каждом квадранте дают свои значения для каждого из специальных углов

Основные выводы

Ключевые моменты

• Тригонометрические функции для углов в единичной окружности можно запомнить и вызвать с помощью набора правил.
• Знак тригонометрической функции зависит от квадранта, в который попадает угол, и мнемоническая фраза «Умный класс триггера» используется для определения того, какие функции в каком квадранте положительны.
• Базовые углы в квадранте I используются для определения значения любого угла в квадрантах II, III или IV. Базовый угол образует тот же угол с осью [latex] x [/ latex], что и рассматриваемый угол.
• В единичную окружность включаются только функции синуса и косинуса для особых углов.Однако, поскольку тангенс получается из синуса и косинуса, его можно вычислить для любого из специальных углов.

Ключевые термины

• специальный угол : угол, кратный 30 или 45 градусам; тригонометрические функции легко записываются под этими углами.

Тригонометрические функции специальных углов

Напомним, что определенные углы и их координаты, которые соответствуют [latex] x = \ cos t [/ latex] и [latex] y = \ sin t [/ latex] для данного угла [latex] t [/ latex], можно определить по единичному кругу.{\ circ} \ right)} & = 1 \\ \ end {align}} [/ latex]

Выражения для косинусных функций этих специальных углов также просты.

Обратите внимание, что, хотя только синус и косинус определяются непосредственно единичной окружностью, касательную можно определить как частное, включающее эти два:

[латекс] \ displaystyle {\ tan t = \ frac {\ sin t} {\ cos t}} [/ latex]

Функции касания также имеют простые выражения для каждого из специальных углов.

Мы можем наблюдать эту тенденцию на примере.{\ circ} \ right)}} \\ & = \ frac {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ frac {1} {2}} \\ & = \ frac {\ sqrt {3 }} {2} \ cdot \ frac {2} {1} \\ & = \ sqrt {3} \ end {align}} [/ latex]

Запоминание тригонометрических функций

Понимание единичной окружности и способность быстро решать тригонометрические функции для определенных углов очень полезно в области математики. {\ circ} [/ латекс].

Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с тем же значением синуса. Поскольку значение синуса является координатой [latex] y [/ latex] на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь такое же значение [latex] y [/ latex], но будет иметь противоположное значение [latex] x [/ latex] -значение. Следовательно, его значение косинуса будет противоположным значению косинуса первого угла.

Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с таким же косинусом, что и исходный угол.Угол с таким же косинусом будет иметь одно и то же значение [latex] x [/ latex], но будет иметь противоположное значение [latex] y [/ latex]. Следовательно, его значение синуса будет противоположным значению синуса исходного угла.

Как показано на диаграммах ниже, угол [латекс] \ альфа [/ латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения косинуса противоположны. Угол [латекс] \ бета [/ латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения синуса противоположны.

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sin t = \ sin \ alpha \ quad & \ text {and} \ quad \ cos t = — \ cos \ alpha \\ \ sin t = — \ sin \ beta \ quad & \ text {and} \ quad \ cos t = \ cos \ beta \ end {align}} [/ latex]

Контрольные углы: На левом рисунке [латекс] t [/ latex] является контрольным углом для [латекс] \ альфа [/ латекс].{\ circ} [/ latex] или [latex] 0 [/ latex] и [latex] \ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} [/ latex] радиан. Для любого угла в квадранте II, III или IV существует опорный угол в квадранте I.

Контрольные углы в каждом квадранте: Для любого угла в квадрантах II, III или IV существует контрольный угол в квадранте I.

Таким образом, чтобы вызвать любой синус или косинус особого угла, вам необходимо определить его угол с осью [latex] x [/ latex], чтобы сравнить его с опорным углом.{\ circ})} \\ & = \ frac {- \ frac {\ sqrt {2}} {2}} {- \ frac {\ sqrt {2}} {2}} \\ & = — \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ cdot — \ frac {2} {\ sqrt {2}} \\ & = 1 \ end {align}} [/ latex]

Синус и косинус как функции

Функции синуса и косинуса можно изобразить, используя значения из единичной окружности, и на обоих графиках можно наблюдать определенные характеристики.

Цели обучения

Опишите характеристики графиков синуса и косинуса

Основные выводы

Ключевые моменты

• И синусоидальную функцию [latex] (y = \ sin x) [/ latex], и косинусную функцию [latex] (y = \ cos x) [/ latex] можно изобразить, нанеся точки, полученные из единичной окружности, с каждая координата [latex] x [/ latex] представляет собой угол в радианах, а координата [latex] y [/ latex] представляет собой соответствующее значение функции под этим углом.
• Синус и косинус — периодические функции с периодом [латекс] 2 \ пи [/ латекс].
• И синус, и косинус имеют домен [latex] (- \ infty, \ infty) [/ latex] и диапазон [latex] [- 1, 1] [/ latex].
• График [latex] y = \ sin x [/ latex] симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция, в то время как график [latex] y = \ cos x [/ latex] симметричен относительно [latex ] y [/ latex] -axis, потому что это четная функция.

Ключевые термины

• период : интервал, содержащий значения, повторяющиеся в функции.
• четная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], в которых [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], с симметрией относительно оси [латекс] y [/ латекс].
• нечетная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], в которых [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex] , с симметрией относительно начала координат.
• периодическая функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], который повторяется через равные промежутки времени.

Графические функции синуса и косинуса

Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] точки на единичной окружности. Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции [latex] y = \ sin x [/ latex]. Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. Ниже приведены некоторые значения синусоидальной функции на единичном круге, где координата [latex] x [/ latex] представляет собой угол в радианах, а координата [latex] y [/ latex] — [latex] \ sin х [/ латекс]:

[латекс] \ displaystyle {(0, 0) \ quad (\ frac {\ pi} {6}, \ frac {1} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {4}, \ frac { \ sqrt {2}} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {3}, \ frac {\ sqrt {3}} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {2}, 1 ) \\ (\ frac {2 \ pi} {3}, \ frac {\ sqrt {3}} {2}) \ quad (\ frac {3 \ pi} {4}, \ frac {\ sqrt {2} } {2}) \ quad (\ frac {5 \ pi} {6}, \ frac {1} {2}) \ quad (\ pi, 0)} [/ latex]

Построение точек из таблицы и продолжение по оси [latex] x [/ latex] дает форму синусоидальной функции.

График синусоидальной функции: График точек с координатами [latex] x [/ latex], являющимися углами в радианах, и координатами [latex] y [/ latex], являющимися функцией [latex] \ sin x [/ latex] .

Обратите внимание на положительные значения синуса между [latex] 0 [/ latex] и [latex] \ pi [/ latex], которые соответствуют значениям синусоидальной функции в квадрантах I и II на единичном круге, и синусоиде значения отрицательны между [латекс] \ пи [/ латекс] и [латекс] 2 \ пи [/ латекс], что соответствует значениям синусоидальной функции в квадрантах III и IV на единичной окружности.

Построение значений синусоидальной функции: Точки на кривой [латекс] y = \ sin x [/ latex] соответствуют значениям синусоидальной функции на единичной окружности.

Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса, [latex] f (x) = \ sin x [/ latex]. Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. Ниже приведены некоторые значения синусоидальной функции на единичном круге, где координата [latex] x [/ latex] представляет собой угол в радианах, а координата [latex] y [/ latex] — [latex] \ cos х [/ латекс]:

[латекс] \ displaystyle {(0, 1) \ quad (\ frac {\ pi} {6}, \ frac {\ sqrt {3}} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {4} , \ frac {\ sqrt {2}} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {3}, \ frac {1} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {2}, 0 ) \\ (\ frac {2 \ pi} {3}, — \ frac {1} {2}) \ quad (\ frac {3 \ pi} {4}, — \ frac {\ sqrt {2}} { 2}) \ quad (\ frac {5 \ pi} {6}, — \ frac {\ sqrt {3}} {2}) \ quad (\ pi, -1)} [/ latex]

Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса.

График функции косинуса: Точки на кривой [latex] y = \ cos x [/ latex] соответствуют значениям функции косинуса на единичной окружности.

Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [latex] \ left [-1, 1 \ right] [/ latex].

Определение периодических функций

На графиках для функций синуса и косинуса форма графика повторяется после [latex] 2 \ pi [/ latex], что означает, что функции являются периодическими с периодом [latex] 2 \ pi [/ latex].Периодическая функция — это функция с повторяющимся набором значений через равные промежутки времени. В частности, это функция, для которой определенный горизонтальный сдвиг, [латекс] P [/ латекс], приводит к функции, равной исходной функции:

[латекс] f (x + P) = f (x) [/ латекс]

для всех значений [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex]. Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с [latex] P> 0 [/ latex] периодом функции. На приведенной ниже диаграмме показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.

Периоды функций синуса и косинуса: Функции синуса и косинуса являются периодическими, что означает, что конкретный горизонтальный сдвиг, [latex] P [/ latex], приводит к функции, равной исходной функции: [latex] f (x + P) = f (x) [/ латекс].

Четные и нечетные функции

Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в домене с центром на оси [latex] y [/ latex], можно выявить симметрии. Как видно на графике синусоидальной функции, она симметрична относительно начала координат, что указывает на то, что это нечетная функция.На всем протяжении графика любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] также имеют противоположные значения [latex] y [/ latex]. Это характерно для нечетной функции: два входа, которые являются противоположными, имеют выходы, которые также являются противоположными. Другими словами, если [латекс] \ sin (-x) = — \ sin x [/ latex].

Нечетная симметрия синусоидальной функции: Синусоидальная функция нечетная, то есть симметрична относительно начала координат.

График функции косинуса показывает, что он симметричен относительно оси y .Это указывает на то, что это четная функция. Для четных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] имеют одинаковое значение функции. Другими словами, [латекс] \ cos (-x) = \ cos x [/ latex]. Мы можем видеть из графика, что это правда, сравнивая [latex] y [/ latex] -значения графика с любыми противоположными значениями [latex] x [/ latex].

Четная симметрия функции косинуса: Функция косинуса четная, что означает, что она симметрична относительно оси [latex] y [/ latex].

Касательная как функция

Характеристики касательной функции можно увидеть на ее графике.

Цели обучения

Опишите характеристики графика касательной функции

Основные выводы

Ключевые моменты

• Функция касательной не определена при любом значении [latex] x [/ latex], где [latex] \ cos x = 0 [/ latex], и ее график имеет вертикальные асимптоты при этих значениях [latex] x [/ latex] .
• Касательная — периодическая функция с периодом [латекс] \ пи [/ латекс].
• График функции касательной симметричен относительно начала координат и, следовательно, является нечетной функцией.

Ключевые термины

• периодическая функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex] с набором значений, которые повторяются через равные промежутки времени.
• период : интервал, содержащий минимальный набор значений, повторяющихся в периодической функции.
• нечетная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], в которых [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex] , и есть симметрия относительно начала координат.
• вертикальная асимптота : прямая линия, параллельная оси [латекс] y [/ латекс], к которой кривая приближается произвольно близко, когда кривая уходит в бесконечность.

Построение касательной функции

Касательная функция может быть построена на графике путем нанесения точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex]. Форму функции можно создать, найдя значения тангенса под определенными углами. Однако невозможно найти касательные функции для этих особых углов с единичной окружностью.Мы применяем формулу [latex] \ displaystyle {\ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}} [/ latex], чтобы определить касательную для каждого значения.

Мы можем проанализировать графическое поведение касательной функции, посмотрев на значения некоторых специальных углов. Рассмотрим точки ниже, для которых координаты [latex] x [/ latex] представляют собой углы в радианах, а координаты [latex] y [/ latex] — [latex] \ tan x [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle {(- \ frac {\ pi} {2}, \ text {undefined}) \ quad (- \ frac {\ pi} {3}, — \ sqrt {3}) \ quad (- \ frac {\ pi} {4}, -1) \ quad (- \ frac {\ pi} {6}, — \ frac {\ sqrt {3}} {3}) \ quad (0, 0) \\ (\ frac {\ pi} {6}, \ frac {\ sqrt {3}} {3}) \ quad (\ frac {\ pi} {4}, 1) \ quad (\ frac {\ pi} {3 }, \ sqrt {3}) \ quad (\ frac {\ pi} {2}, \ text {undefined})} [/ latex]

Обратите внимание, что [latex] \ tan x [/ latex] не определено в [latex] \ displaystyle {x = — \ frac {\ pi} {2}} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {x = \ frac {\ pi} {2}} [/ латекс].Вышеупомянутые пункты помогут нам нарисовать наш график, но нам нужно определить, как граф ведет себя там, где он не определен. Давайте рассмотрим последние четыре пункта. Мы можем определить, что значения [latex] y [/ latex] увеличиваются по мере того, как [latex] x [/ latex] увеличивается и приближается к [latex] \ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} [/ latex]. Мы могли бы рассмотреть дополнительные точки между [latex] \ displaystyle {x = 0} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {x = \ frac {\ pi} {2}} [/ latex], и мы увидим, что это держит. Аналогичным образом, мы видим, что [latex] y [/ latex] уменьшается по мере приближения [latex] x [/ latex] к [latex] \ displaystyle {- \ frac {\ pi} {2}} [/ latex], потому что выходные данные становиться все меньше и меньше.

Напомним, что существует несколько значений [latex] x [/ latex], которые могут дать [latex] \ cos x = 0 [/ latex]. В любой такой точке [latex] \ tan x [/ latex] не определено, потому что [latex] \ displaystyle {\ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}} [/ latex]. При значениях, при которых функция касания не определена, на ее графике наблюдаются разрывы. При этих значениях график касательной имеет вертикальные асимптоты.

График функции касательной: функция касательной имеет вертикальные асимптоты в [latex] \ displaystyle {x = \ frac {\ pi} {2}} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {x = — \ frac {\ \ пи} {2}} [/ латекс].

Характеристики графика касательной функции

Как и функции синуса и косинуса, тангенс является периодической функцией. Это означает, что его значения повторяются через равные промежутки времени. Период касательной функции равен [latex] \ pi [/ latex], потому что график повторяется на [latex] x [/ latex] -осных интервалах [latex] k \ pi [/ latex], где [latex] k [/ latex] — это константа. На графике функции касательной на интервале [latex] \ displaystyle {- \ frac {\ pi} {2}} [/ latex] к [latex] \ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} [/ latex], мы можем увидеть поведение графика за один полный цикл функции.Если мы посмотрим на
любой больший интервал, мы увидим, что характеристики графика повторяются.

График функции касательной симметричен относительно начала координат и, следовательно, является нечетной функцией. Другими словами, [latex] \ text {tan} (- x) = — \ text {tan} x [/ latex] для любого значения [latex] x [/ latex]. Любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] производят противоположные значения [latex] y [/ latex]. Мы можем видеть, что это правда, рассматривая значения [latex] y [/ latex] графика при любых противоположных значениях [latex] x [/ latex].Рассмотрим [латекс] \ displaystyle {x = \ frac {\ pi} {3}} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {x = — \ frac {\ pi} {3}} [/ latex]. Выше мы уже определили, что [латекс] \ displaystyle {\ tan (\ frac {\ pi} {3}) = \ sqrt {3}} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {\ tan (- \ frac { \ pi} {3}) = — \ sqrt {3}} [/ latex].

Секанс и тригонометрические функции

Тригонометрические функции имеют обратные величины, которые можно вычислить с помощью единичной окружности.

Цели обучения

Расчет значений тригонометрических функций, являющихся обратными синусу, косинусу и тангенсу

Основные выводы

Ключевые моменты

• Секущая функция обратна функции косинуса [latex] \ displaystyle {\ left (\ sec x = \ frac {1} {\ cos x} \ right)} [/ latex].Его можно найти для угла [латекс] t [/ latex], используя координату [latex] x [/ latex] связанной точки на единичной окружности: [latex] \ displaystyle {\ sec t = \ frac { 1} {x}} [/ латекс].
• Функция косеканса является обратной функцией синусоидальной функции [latex] \ displaystyle {\ left (\ csc x = \ frac {1} {\ sin x} \ right)} [/ latex]. Его можно найти для угла [латекс] t [/ latex], используя координату [latex] y [/ latex] связанной точки на единичной окружности: [latex] \ displaystyle {\ csc t = \ frac { 1} {y}} [/ латекс].
• Функция котангенса является обратной функцией касательной [латекс] \ displaystyle {\ left (\ cot x = \ frac {1} {\ tan x} = \ frac {\ cos t} {\ sin t} \ right) }[/латекс]. Его можно найти для угла, используя координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] соответствующей точки на единичной окружности: [latex] \ displaystyle {\ cot t = \ frac {\ cos t} {\ sin t} = \ frac {x} {y}} [/ latex].

Ключевые термины

• секанс : величина, обратная функции косинуса
• косеканс : функция, обратная синусоиде
• котангенс : величина, обратная касательной функции

Введение в взаимные функции

Мы обсудили три тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс.Каждая из этих функций имеет обратную функцию, которая определяется обратной величиной отношения исходной тригонометрической функции. Обратите внимание, что обратные функции отличаются от обратных функций. Обратные функции — это способ работать в обратном направлении или определять угол с учетом тригонометрического отношения; они предполагают работу с теми же соотношениями, что и исходная функция.

Три взаимные функции описаны ниже.

Секант

Секущая функция обратна функции косинуса и обозначается сокращенно как [латекс] \ сек [/ латекс].
Его можно описать как отношение длины гипотенузы к длине соседней стороны в треугольнике.

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sec x & = \ frac {1} {\ cos x} \\ \ sec x & = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {смежный}} \ end {align}} [/ latex]

Секанс легко вычислить со значениями в единичной окружности. Напомним, что для любой точки круга значение [latex] x [/ latex] дает [latex] \ cos t [/ latex] для соответствующего угла [latex] t [/ latex].Следовательно, секущая функция для этого угла равна

.

[латекс] \ displaystyle {\ sec t = \ frac {1} {x}} [/ latex]

Косеканс

Функция косеканса является обратной функцией синусоиды и обозначается сокращенно как [latex] \ csc [/ latex]. Его можно описать как отношение длины гипотенузы к длине противоположной стороны треугольника.

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ csc x & = \ frac {1} {\ sin x} \\ \ csc x & = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив}} \ end {align}} [/ latex]

Как и секанс, косеканс может быть вычислен со значениями в единичной окружности.Напомним, что для любой точки круга значение [latex] y [/ latex] дает [latex] \ sin t [/ latex]. Следовательно, функция косеканса для того же угла равна

[латекс] \ Displaystyle {\ csc t = \ frac {1} {y}} [/ латекс]

Котангенс

Функция котангенса обратна функции тангенса и обозначается сокращенно как [latex] \ cot [/ latex]. Его можно описать как отношение длины соседней стороны к длине гипотенузы в треугольнике.

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cot x & = \ frac {1} {\ tan x} \\ \ cot x & = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {противоположный}} \ end {align}} [/ latex]

Также обратите внимание, что поскольку [latex] \ displaystyle {\ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}} [/ latex], его обратное значение равно

[латекс] \ displaystyle {\ cot x = \ frac {\ cos x} {\ sin x}} [/ latex]

Котангенс также можно вычислить со значениями в единичной окружности.Применяя координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], связанные с углом [latex] t [/ latex], получаем

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cot t & = \ frac {\ cos t} {\ sin t} \\ \ cot t & = \ frac {x} {y} \ end {align}} [/ латекс]

Вычисление взаимных функций

Теперь мы распознаем шесть тригонометрических функций, которые можно вычислить, используя значения в единичном круге. Напомним, что мы использовали значения функций синуса и косинуса для вычисления функции тангенса.Мы будем следовать аналогичному процессу для обратных функций, ссылаясь на значения в единичном круге для наших расчетов.

Например, давайте найдем значение [latex] \ sec {\ left (\ frac {\ pi} {3} \ right)} [/ latex].

Применяя [latex] \ displaystyle {\ sec x = \ frac {1} {\ cos x}} [/ latex], мы можем переписать это как:

[латекс] \ displaystyle {\ sec {\ left (\ frac {\ pi} {3} \ right)} = \ frac {1} {\ cos {\ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right)}}} [/ латекс]

Из единичного круга мы знаем, что [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right)} = \ frac {1} {2}} [/ latex] .Используя это, можно найти значение [latex] \ displaystyle {\ sec {\ left (\ frac {\ pi} {3} \ right)}} [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sec {\ left (\ frac {\ pi} {3} \ right)} & = \ frac {1} {\ frac {1} {2}} \\ & = 2 \ end {align}} [/ латекс]

Остальные взаимные функции могут быть решены аналогичным образом.

Пример

Используйте единичный круг для вычисления [латекс] \ sec t [/ latex], [latex] \ cot t [/ latex] и [latex] \ csc t [/ latex] в точке [latex] \ displaystyle {\ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ frac {1} {2} \ right)} [/ latex].

Точка на единичном круге: Точка [латекс] \ displaystyle {\ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ frac {1} {2} \ right)} [/ latex] , показанный в единичном круге.

Поскольку нам известны координаты [latex] (x, y) [/ latex] точки на единичной окружности, обозначенной углом [latex] t [/ latex], мы можем использовать эти координаты для нахождения трех функций.

Напомним, что координата [latex] x [/ latex] дает значение для функции косинуса, а координата [latex] y [/ latex] дает значение для функции синуса.Другими словами:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos t \\ & = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align}} [/ latex]

и

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} y & = \ sin t \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

Используя эту информацию, можно вычислить значения обратных функций под углом [латекс] t [/ латекс]:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sec t & = \ frac {1} {\ cos t} \\ & = \ frac {1} {x} \\ & = \ left (\ frac {1 } {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) \\ & = — \ frac {2} {\ sqrt {3}} \\ & = \ left (- \ frac {2} { \ sqrt {3}} \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} {\ sqrt {3}} \ right) \\ & = — \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} \ end {align} } [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cot t & = \ frac {\ cos t} {\ sin t} \\ & = \ frac {x} {y} \\ & = \ left (\ frac {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ frac {1} {2}} \ right) \\ & = \ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ cdot \ frac {2} {1} \ right) \\ & = — \ sqrt {3} \ end {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ csc t & = \ frac {1} {\ sin t} \\ & = \ frac {1} {y} \\ & = \ left (\ frac {1 } {\ frac {1} {2}} \ right) \\ & = 2 \ end {align}} [/ latex]

Обратные тригонометрические функции

Каждая тригонометрическая функция имеет обратную функцию, которую можно изобразить. {- 1} x = y [/ latex].{-1} [/ латекс]

однозначная функция : функция, которая никогда не сопоставляет отдельные элементы своего домена с одним и тем же элементом своего диапазона.

Введение в обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции используются для нахождения углов треугольника, если нам заданы длины сторон. Обратные тригонометрические функции могут использоваться, чтобы определить, какой угол даст определенное значение синуса, косинуса или тангенса.

Чтобы использовать обратные тригонометрические функции, мы должны понимать, что обратная тригонометрическая функция «отменяет» то, что «делает» исходная тригонометрическая функция, как и в случае с любой другой функцией и ее обратной.{-1} (б) = а [/ латекс]. Однако функции синуса, косинуса и тангенса — это , а не взаимно однозначные функции. График каждой функции не прошел бы тест горизонтальной линии. Фактически, никакая периодическая функция не может быть взаимно однозначной, потому что каждый выход в ее диапазоне соответствует по крайней мере одному входу в каждом периоде, а количество периодов бесконечно. Как и в случае с другими функциями, которые не являются взаимно однозначными, нам нужно будет ограничить область определения каждой функции, чтобы получить новую функцию, которая является взаимно однозначной. Мы выбираем домен для каждой функции, который включает число [latex] 0 [/ latex].

Функции синуса и косинуса в ограниченных областях: (a) Функция синуса, показанная в ограниченной области [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ справа] [/ латекс]; (b) Функция косинуса, показанная в ограниченной области [latex] \ left [0, \ pi \ right] [/ latex].

График функции синуса ограничен областью [latex] [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2}] [/ latex] и графиком функции косинуса ограничено [латексом] [0, \ pi] [/ латексом]. График касательной функции ограничен [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex].

Касательная функция в ограниченной области

Функция касательной, показанная в ограниченной области [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex].

Эти варианты выбора ограниченных доменов в некоторой степени произвольны, но они имеют важные полезные характеристики. Каждый домен включает начало координат и некоторые положительные значения, и, что наиболее важно, каждый результат дает взаимно однозначную функцию, которая является обратимой. Обычный выбор для ограниченной области касательной функции также имеет то полезное свойство, что он распространяется от одной вертикальной асимптоты к другой, вместо того, чтобы разбиваться на части асимптотой.{-1} x \ quad \ text {имеет домен} \ quad \ left (- \ infty, \ infty \ right) \ quad \ text {и диапазон} \ quad \ left (- \ frac {\ pi} {2} , \ frac {\ pi} {2} \ right)} [/ latex]

Графики обратных тригонометрических функций

Функция синуса и функция обратного синуса (или арксинуса): функция арксинуса является отражением функции синуса относительно линии [latex] y = x [/ latex].

Чтобы найти область определения и диапазон обратных тригонометрических функций, мы меняем область определения и диапазон исходных функций.

Функция косинуса и функция обратного косинуса (или арккосинуса): Функция арккосинуса является отражением функции косинуса относительно линии [latex] y = x [/ latex].

Каждый график обратной тригонометрической функции является отражением графика исходной функции относительно линии [латекс] y = x [/ latex].

Функция тангенса и функция арктангенса (или арктангенса): Функция арктангенса является отражением функции касательной относительно линии [latex] y = x [/ latex].{-1} х = у [/ латекс].

Расширенный круг

Четкое понимание единичного круга делает тригонометрию намного проще понять. Вы должны абсолютно понимать, что Восток, Север, Запад и Юг точки (показаны зеленым цветом ниже) имеют угловые меры, которые кратные $ \ pi / 2 $ и их координаты равны $$ (1,0), \; (0,1) \; (-1,0) \; \ текст {и} \; (0, -1). $$ Это позволяет очень легко считывать значения синуса и косинуса. Триггерные значения $ \ pi / 6 $ и $ \ pi / 3 $ могут быть получены из равностороннего треугольник и триггерные значения $ \ pi / 4 $ могут быть получены из равнобедренного прямоугольный треугольник.Опять же, понимание единичного круга поможет вам быстро см. триггерные значения соответствующих углов, например $ -7 \ pi / 6 $.

Вы можете использовать интерактивную версию единичного круга для проверки значений стандартные углы между нулем и $ 2 \ pi $. Вы также можете нажать «Показать больше углов». кнопку, если вас интересуют более безумные ракурсы.

Показать другие ракурсы:

Нахождение значений под более безумными углами

Все значения, показанные в демонстрации выше, были вычислены с использованием системы Mathematica. Команда FunctionExpand .Вы можете сделать это с помощью больше углов. Например, вы можете вычислить $ \ cos (11 \ pi / 24) $ так:

FunctionExpand [Cos [11 Pi / 24]]
 

$ \ displaystyle \ frac {1} {4} \ sqrt {2- \ sqrt {2}} \ left (1+ \ sqrt {2} \ right) — \ frac {1} {4} \ left (\ sqrt {2} -1 \ right) \ sqrt {3 \ left (2+ \ sqrt {2} \ right)} $

Вы даже можете передать результат в TeXForm в сгенерируйте команды TeX, необходимые для набора выражения. Именно так результат выше был создан.

Еще более безумные ракурсы!

Синус и косинус любого рационального кратного числа $ \ pi $ всегда является алгебраическим числом, я.п = \ соз (\ пи) + я \ грех (\ пи) = — 1. $$

Таким образом, если мы расширим член слева, установим действительную часть равной $ -1 $. а мнимая часть равна нулю, получаем пару уравнений, которые $ \ cos (\ pi / n) $ и $ \ sin (\ pi / n) $ должны удовлетворять. Если мы сможем их решить, мы получили наши выражения для синуса и косинуса. Даже если мы не сможем, по крайней мере, у нас есть они оба выражены как корни полиномиальной системы.

Например, вот код Mathematica для поиска $ \ sin (\ pi / 7) $. n]; subbed = expr /.{2/3} \ right)} $

Флэш-карточки, соответствующие кругу

Срок действия Заказанная пара на 3 Pi / 4	Определение (-sqrt 2/2, sqrt 2/2)
Срок Заказанная пара на 5 PI / 3	Определение
Член 5 Пи / 6 радиан — это сколько градусов?	Определение
Срок 225 градусов сколько радиан?	Определение
Срок Заказанная пара на 270 градусов	Определение
Срок Заказанная пара на Pi / 3	Определение
Срок 90 градусов сколько радиан?	Определение
Срок Заказанная пара на 180 градусов	Определение
Срок действия Заказанная пара на 300 градусов	Определение
Срок Пи радиан сколько градусов?	Определение
Срок действия Заказанная пара на 7 Pi / 4	Определение (sqrt 2/2, -sqrt 2/2)
Член 4 Пи / 3 радиана — это сколько градусов?	Определение
Срок действия Заказанная пара на 150 градусов	Определение
Срок 45 градусов — сколько радианов?	Определение
Срок действия Заказанная пара на 210 градусов	Определение
Срок действия Заказанная пара на 30 градусов	Определение
Срок Заказанная пара на 45 градусов	Определение
Член Упорядоченная пара (1/2, -sqrt 3/2) — координата, под каким углом, в радианах	Определение
Член Упорядоченная пара (0, -1) находится под каким углом в радианах	Определение
Срок 330 градусов сколько радианов?	Определение
Срок Заказанная пара в 4 Pi / 3 радиана	Определение
Член Под каким углом в радианах находится упорядоченная пара (-sqrt 2/2, -sqrt 2/2)?	Определение
Срок 180 градусов сколько радиан?	Определение
Срок Заказанная пара на Pi / 6	Определение
Срок Заказанная пара в радианах 2 Пи	Определение
Срок Заказанная пара при Pi / 4 радиана	Определение
Срок действия Заказанная пара на 7 Pi / 6	Определение
Член 7 Пи / 6 радиан — это сколько градусов?	Определение
Срок Упорядоченная пара (1/2, sqrt 3/2) под каким углом в радианах?	Определение
Срок Заказанная пара при 0 градусах	Определение
Срок 315 градусов — сколько радианов?	Определение
Срок действия Заказанная пара на 2 Pi / 3	Определение
Срок действия Заказанная пара на 30 градусов	Определение
Срок	Определение
Термин Под каким углом в радианах находится упорядоченная пара (sqrt 3/2, 1/2)?	Определение
Срок действия Заказанная пара на 5 Pi / 4	Определение (-sqrt 2/2, -sqrt 2/2)
Условие Упорядоченная пара в (-1/2, -sqrt 3/2) находится под каким углом в радианах	Определение
Срок Упорядоченная пара (-sqrt 2/2, sqrt 2/2) находится под каким углом в радианах	Определение
Срок действия Заказанная пара на 225 градусов	Определение -sqrt 2/2, -sqrt 2/2)
Срок Упорядоченная пара (1, 0) находится под каким углом в радианах	Определение
Срок Упорядоченная пара (-sqrt 3/2, -1/2) находится под каким углом в радианах	Определение
Срок Пи / 6 сколько градусов?	Определение
Срок 60 градусов сколько радиан?	Определение
Срок действия Заказанная пара на 11 Pi / 6	Определение
Срок 210 градусов сколько радианов?	Определение
Термин Под каким углом в радианах находится упорядоченная пара (sqrt 3/2, -1/2)?	Определение
Член Под каким углом в радианах находится упорядоченная пара (-sqrt 3/2, 1/2)?	Определение
Срок действия Заказанная пара на 3 Pi / 2	Определение
Срок Заказанная пара на 135 градусов	Определение (-sqrt 2/2, sqrt 2/2)
Член Под каким углом в радианах находится упорядоченная пара (0, 1)?	Определение
Член Под каким углом в радианах находится упорядоченная пара (-1, 0)?	Определение
Срок действия Заказанная пара на 120 градусов	Определение
Срок 120 градусов сколько радиан?	Определение
Срок действия Заказанная пара на 5 Pi / 6	Определение
Срок 240 градусов сколько радианов?	Определение
Термин Под каким углом в радианах находится упорядоченная пара (sqrt 2/2, sqrt 2/2)?	Определение
Срок Заказанная пара на 90 градусов	Определение
Срок 2 Пи / 3 сколько градусов?	Определение
Член 5 Пи / 4 радиан — это сколько градусов?	Определение
Член 3 Пи / 2 радиана — это сколько градусов?	Определение
Срок Заказанная пара на 315 градусов	Определение (sqrt 2/2, -sqrt 2/2)
Клемма Упорядоченная пара под углом 330 градусов	Определение
Срок действия Заказанная пара на 60 градусов	Определение
Член 3 Пи / 4 радиана — это сколько градусов?	Определение
Срок действия Заказанная пара на 240 градусов	Определение
Член Под каким углом в радианах находится упорядоченная пара (-1/2, sqrt 3/2)?	Определение
Член 7 Пи / 4 радиан — это сколько градусов?	Определение
Член Пи / 3 радиан — это сколько градусов?	Определение
Срок 270 градусов сколько радианов?	Определение
Срок Под каким углом в радианах находится упорядоченная пара (sqrt 2/2, — sqrt 2/2)?	Определение
Член Пи / 2 радиан — это сколько градусов?	Определение
Член 5 Пи / 3 радиан — это сколько градусов?	Определение
Срок 135 градусов сколько радиан?	Определение
Член 11 Пи / 6 радиан — это сколько градусов?	Определение
Срок Заказанная пара при 0 радианах	Определение
Срок действия Заказанная пара на 360 градусов	Определение
Срок Заказанная пара на Pi / 2	Определение
Срок Заказанная пара на Pi / 4	Определение
Срок 300 градусов — сколько радианов?	Определение
Срок 150 градусов сколько радианов?	Определение

7.3 Единичный круг — Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Найдите значения функции для синуса и косинуса 30 ° или (π6), 45 ° или (π4), 30 ° или (π6) ), 45 ° или (π4) и 60∘ или (π3) .60∘ или (π3).
• Укажите область и диапазон функций синуса и косинуса.
• Найдите исходные углы.
• Используйте исходные углы для оценки тригонометрических функций.

Рис. 1 Singapore Flyer — самое высокое колесо обозрения в мире.(кредит: ʺVibin JKʺ / Flickr)

Ищете острые ощущения? Тогда подумайте о поездке на Singapore Flyer, самом высоком колесе обозрения в мире. Колесо обозрения, расположенное в Сингапуре, взлетает на высоту 541 фут — чуть больше десятой мили! Описанное как колесо обозрения, всадники наслаждаются захватывающими видами, путешествуя с земли на вершину и снова вниз по повторяющейся схеме. В этом разделе мы рассмотрим этот тип вращательного движения по окружности. Для этого нам нужно сначала определить тип круга, а затем поместить этот круг в систему координат.Затем мы можем обсудить круговое движение в терминах пар координат.

Нахождение тригонометрических функций с помощью единичной окружности

Мы уже определили тригонометрические функции в терминах прямоугольных треугольников. В этом разделе мы переопределим их в терминах единичной окружности. Напомним, что единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом 1, как показано на рисунке 2. Угол (в радианах), который пересекает tt, образует дугу длины s.s. Используя формулу s = rt, s = rt и зная, что r = 1, r = 1, мы видим, что для единичной окружности s = t.s = t.

Оси x- и y- делят координатную плоскость на четыре четверти, называемых квадрантами. Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление, в котором будет разворачиваться положительный угол. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла t, t мы можем обозначить пересечение конечной стороны и единичной окружности ее координатами (x, y). (X, y). Координаты xx и yy будут выходными данными тригонометрических функций f (t) = cost f (t) = cost и f (t) = sint, f (t) = sint соответственно.Это означает, что x = cos tx = cos t и y = sin t.y = sin t.

Рисунок 2 Единичная окружность с центральным углом tt радиан

Единичный круг

Единичный круг имеет центр в точке (0,0) (0,0) и радиус 1,1. В единичном круге длина перехваченной дуги равна радианам центрального угла t.t.

Пусть (x, y) (x, y) будет конечной точкой единичной окружности дуги длины s.s. Координаты (x, y) (x, y) этой точки можно описать как функции угла.

Определение функций синуса и косинуса по единичной окружности

Функция синуса связывает действительное число tt с координатой y точки, в которой соответствующий угол пересекает единичную окружность.Точнее, синус угла tt равен значению y конечной точки на единичной окружности дуги длины t.t. На рисунке 2 синус равен y.y. Как и все функции, синусоидальная функция имеет вход и выход. Его вход — мера угла; его выход — координата y соответствующей точки на единичной окружности.

Функция косинуса угла tt равна значению x конечной точки единичной окружности дуги длины t.т. На рисунке 3 косинус равен x.x.

Рисунок 3

Поскольку понятно, что синус и косинус являются функциями, нам не всегда нужно записывать их в скобках: sintsint — это то же самое, что sin (t) sin (t), а costcost — то же самое, что cos (t) .cos (t ). Точно так же cos2tcos2t — это обычно используемое сокращенное обозначение для (cos (t)) 2. (cos (t)) 2. Имейте в виду, что многие калькуляторы и компьютеры не распознают сокращенную запись. В случае сомнений используйте дополнительные скобки при вводе вычислений в калькулятор или компьютер.

Функции синуса и косинуса

Если tt — действительное число и точка (x, y) (x, y) на единичной окружности соответствует центральному углу t, t, то

Для точки P (x, y) (x, y) на единичной окружности, соответствующей углу t, t, найдите синус и косинус.

1. Синус tt равен y -координате точки P: sin t = y.P: sin t = y.
2. Косинус tt равен x -координате точки P: cost = x.P: стоимость = x.

Пример 1

Поиск значений функции для синуса и косинуса

Точка PP — это точка на единичной окружности, соответствующая углу t, t, как показано на рисунке 4. Найдите cos (t) cos (t) и sin (t) .sin (t).

Рисунок 4

Решение

Мы знаем, что costcost — это координата x соответствующей точки на единичной окружности, а sintsint — это координата y соответствующей точки на единичной окружности.Итак:

x = стоимость = 12y = синт = 32x = стоимость = 12y = синт = 32

Попробовать # 1

Определенный угол tt соответствует точке на единичной окружности в точке (−22,22) (- 22,22), как показано на рисунке 5. Найдите costcost и sint.sint.

Рисунок 5

Нахождение синусов и косинусов углов на оси

Для квадрантных углов соответствующая точка единичной окружности попадает на ось x- или y . В этом случае мы можем легко вычислить косинус и синус из значений xx и y.у.

Пример 2

Вычисление синусов и косинусов по оси

Найдите cos (90 °) cos (90 °) и sin (90 °) .sin (90 °).

Решение

Перемещение на 90 ° 90 ° против часовой стрелки по единичной окружности от положительной оси x приводит нас к вершине круга, где координаты (x, y) (x, y) равны (0,1), (0 , 1), как показано на рисунке 6.

Рисунок 6

Затем мы можем использовать наши определения косинуса и синуса.

x = cos t = cos (90 °) = 0y = sin t = sin (90 °) = 1x = cos t = cos (90 °) = 0y = sin t = sin (90 °) = 1

Косинус 90 ° 90 ° — 0; синус 90 ° 90 ° равен 1.

Попробуй # 2

Найдите косинус и синус угла π.π.

Пифагорейская идентичность

Теперь, когда мы можем определить синус и косинус, мы узнаем, как они соотносятся друг с другом и с единичной окружностью. Напомним, что уравнение единичной окружности: x2 + y2 = 1.x2 + y2 = 1. Поскольку x = costx = cost и y = sint, y = sint, мы можем заменить xx и yy, чтобы получить cos2t + sin2t = 1. cos2t + sin2t = 1. Это уравнение, cos2t + sin2t = 1, cos2t + sin2t = 1, известно как тождество Пифагора. См. Рисунок 7.

Рисунок 7

Мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы найти косинус угла, если мы знаем синус, или наоборот. Однако, поскольку уравнение дает два решения, нам необходимо дополнительное знание угла, чтобы выбрать решение с правильным знаком. Если мы знаем, в каком квадранте находится угол, мы можем легко выбрать правильное решение.

Пифагорейская идентичность

Пифагорейская идентичность утверждает, что для любого действительного числа t, t,

cos2t + sin2t = 1 cos2t + sin2t = 1

Зная синус некоторого угла tt и его положение в квадранте, найдите косинус t.т.

1. Замените известное значение синсинта на пифагорейскую идентичность.
2. Решите для cost.cost.
3. Выберите решение с соответствующим знаком для значений x в квадранте, где находится tt.

Пример 3

Нахождение косинуса из синуса или синуса из косинуса

Если sin (t) = 37sin (t) = 37 и tt находится во втором квадранте, найдите cos (t) .cos (t).

Решение

Если мы опустим вертикальную линию из точки на единичном круге, соответствующей t, t, мы создадим прямоугольный треугольник, из которого мы увидим, что тождество Пифагора — это просто один из случаев теоремы Пифагора.См. Рисунок 8.

Рисунок 8

Подстановка известного значения синуса в пифагорейскую идентичность,

cos2 (t) + sin2 (t) = 1cos2 (t) + 949 = 1cos2 (t) = 4049cos (t) = ± 4049 = ± 407 = ± 2107cos2 (t) + sin2 (t) = 1cos2 (t) +949 = 1cos2 (t) = 4049cos (t) = ± 4049 = ± 407 = ± 2107

Поскольку угол находится во втором квадранте, мы знаем, что значение x- является отрицательным действительным числом, поэтому косинус также отрицательный.

cos (t) = — 2107 cos (t) = — 2107

Попробовать # 3

Если cos (t) = 2425cos (t) = 2425 и tt находится в четвертом квадранте, найдите sin (t).грех (т).

Нахождение синусов и косинусов специальных углов

Мы уже узнали некоторые свойства специальных углов, такие как преобразование радианов в градусы, и мы нашли их синусы и косинусы, используя прямоугольные треугольники. Мы также можем вычислить синусы и косинусы особых углов, используя тождество Пифагора.

Нахождение синусов и косинусов углов 45 ° 45 °

Сначала мы рассмотрим углы 45 ° 45 ° или π4, π4, как показано на рисунке 9. A 45 ° –45 ° –90 ° 45 ° –45 ° Треугольник –90 ° является равнобедренным треугольником, поэтому координаты x- и y соответствующей точки на окружности совпадают.Поскольку значения x- и y одинаковы, значения синуса и косинуса также будут равны.

Рисунок 9

При t = π4, t = π4, что составляет 45 градусов, радиус единичной окружности делит пополам угол первого квадранта. Это означает, что радиус лежит вдоль линии y = x.y = x. Единичный круг имеет радиус, равный 1, поэтому прямоугольный треугольник, образованный ниже линии y = xy = x, имеет стороны xx и y (y = x), y (y = x) и радиус = 1. См. Рисунок 10.

Рисунок 10

Из теоремы Пифагора получаем

Затем мы можем заменить y = x.у = х.

Далее мы объединяем похожие термины.

И решая относительно x, x, получаем

В квадранте I x = 12.x = 12.

При t = π4t = π4 или 45 градусах

(x, y) = (x, x) = (12,12) x = 12, y = 12 cos t = 12, sin t = 12 (x, y) = (x, x) = (12,12) x = 12, y = 12 cos t = 12, sin t = 12

Если мы затем рационализируем знаменатели, мы получим

cos t = 1222 = 22sin t = 1222 = 22 cos t = 1222 = 22sin t = 1222 = 22

Следовательно, координаты (x, y) (x, y) точки на окружности радиуса 11 под углом 45 ° 45 ° равны (22,22).(22,22).

Нахождение синусов и косинусов углов 30 ° 30 ° и 60 ° 60 °

Затем мы найдем косинус и синус под углом 30 °, 30 ° или π6.π6. Сначала мы нарисуем треугольник внутри круга, одна сторона которого расположена под углом 30 °, 30 °, а другая — под углом -30 °, -30 °, как показано на рисунке 11. Если в результате два прямоугольных треугольника имеют вид объединенные в один большой треугольник, обратите внимание, что все три угла этого большего треугольника будут составлять 60 °, 60 °, как показано на рисунке 12.

Рисунок 11

Рисунок 12

Поскольку все углы равны, стороны также равны.Вертикальная линия имеет длину 2y, 2y, и поскольку все стороны равны, мы также можем сделать вывод, что r = 2yr = 2y или y = 12r.y = 12r. Поскольку sint = y, sint = y,

И поскольку r = 1r = 1 в нашем единичном круге,

sin (π6) = 12 (1) = 12 sin (π6) = 12 (1) = 12

Используя тождество Пифагора, мы можем найти значение косинуса.

cos2 (π6) + sin2 (π6) = 1cos2 (π6) + (12) 2 = 1cos2 (π6) = 34 Используйте свойство квадратного корня cos (π6) = ± 3 ± 4 = 32 Поскольку y положительно, выберите положительный корень .cos2 (π6) + sin2 (π6) = 1cos2 (π6) + (12) 2 = 1cos2 (π6) = 34Используйте свойство квадратного корня.cos (π6) = ± 3 ± 4 = 32 Поскольку y положительно, выбираем положительный корень.

Координаты (x, y) (x, y) точки на окружности радиуса 11 под углом 30 ° 30 °: (32,12). (32,12). При t = π3 (60 °), t = π3 (60 °) радиус единичной окружности, 1, служит гипотенузой прямоугольного треугольника 30-60-90 градусов, BAD, BAD, как показано на рисунке 13. Угол AA имеет размер 60 ° .60 °. В точке B, B мы проводим угол ABCABC размером 60 ° 0,60 °. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 °, 180 °, поэтому угол CC также составляет 60 °.60 °. Теперь у нас есть равносторонний треугольник. Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника ABCABC имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона является радиусом единичного круга, все стороны должны иметь длину 1.

Рисунок 13

Угол ABDABD составляет 30 °. Угол ABCABC — это двойной угол ABD, ABD, поэтому его размер составляет 60 °. BDBD — это серединный перпендикуляр к AC, AC, поэтому он разрезает ACAC пополам. Это означает, что ADAD равен 1212 радиусу, или 12,12. Обратите внимание, что ADAD — это координата x точки B, B, которая находится на пересечении угла 60 ° и единичной окружности.Это дает нам треугольник BADBAD с гипотенузой 1 и стороной xx длиной 12,12.

Из теоремы Пифагора получаем

Подставляя x = 12, x = 12, получаем

Решая y, y, получаем

14 + y2 = 1y2 = 1−14y2 = 34y = ± 3214 + y2 = 1y2 = 1−14y2 = 34y = ± 32

Поскольку t = π3t = π3 имеет конечную сторону в квадранте I, где координата y- положительна, мы выбираем y = 32, y = 32, положительное значение.

При t = π3t = π3 (60 °) координаты (x, y) (x, y) для точки на окружности радиуса 11 под углом 60 ° 60 ° равны (12,32), (12 , 32), поэтому мы можем найти синус и косинус.

(x, y) = (12,32) x = 12, y = 32cos t = 12, sin t = 32 (x, y) = (12,32) x = 12, y = 32cos t = 12, sin t = 32

Теперь мы нашли значения косинуса и синуса для всех наиболее часто встречающихся углов в первом квадранте единичной окружности. В таблице 1 приведены эти значения.

Угол	00	π6, π6 или 30 ° 30 °	π4, π4 или 45 ° 45 °	π3, π3 или 60 ° 60 °	π2, π2 или 90 ° 90 °
Косинус	1	3232	2222	1212	0
Синус	0	1212	2222	3232	1

Таблица 1

На рисунке 14 показаны общие углы в первом квадранте единичной окружности.

Рисунок 14

Использование калькулятора для поиска синуса и косинуса

Чтобы найти косинус и синус углов, отличных от специальных углов, мы обращаемся к компьютеру или калькулятору. Обратите внимание : большинство калькуляторов можно установить в режим «градус» или «радиан», который сообщает калькулятору единицы для входного значения. Когда мы вычисляем cos (30) cos (30) на нашем калькуляторе, он будет оценивать его как косинус 30 градусов, если калькулятор находится в режиме градусов, или косинус 30 радиан, если калькулятор находится в режиме радиан.

Если задан угол в радианах, воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы найти косинус.

1. Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, установите его в режим радиан.
2. Нажмите кнопку COS.
3. Введите значение угла в радианах и нажмите клавишу в скобках «)».
4. Нажмите ENTER.

Пример 4

Использование графического калькулятора для поиска синуса и косинуса

Вычислите cos (5π3) cos (5π3) с помощью графического калькулятора или компьютера.

Решение

Введите следующие нажатия клавиш:

COS (5 × π ÷ 3) ENTERCOS (5 × π ÷ 3) ВВОД

cos (5π3) = 0,5 cos (5π3) = 0,5

Анализ

Мы можем найти косинус или синус угла в градусах прямо на калькуляторе в градусном режиме. Для калькуляторов или программного обеспечения, которые используют только режим радиан, мы можем найти синус 20 °, 20 °, например, включив коэффициент преобразования в радианы как часть ввода:

SIN (20 × π ÷ 180) ENTERSIN (20 × π ÷ 180) ВВОД

Попробовать # 4

Вычислить грех (π3).грех (π3).

Определение области и диапазона функций синуса и косинуса

Теперь, когда мы можем найти синус и косинус угла, нам нужно обсудить их области и диапазоны. Каковы области определения функций синуса и косинуса? То есть, какие наименьшие и наибольшие числа могут входить в функции? Поскольку углы меньше 00 и углы больше 2π2π могут по-прежнему отображаться на единичной окружности и иметь реальные значения x, y, x, y и r, r, не существует нижнего или верхнего предела для углов, которые могут быть входными. к функциям синуса и косинуса.Входными данными для функций синуса и косинуса является поворот от положительной оси x , и это может быть любое действительное число.

Каковы диапазоны функций синуса и косинуса? Каковы наименьшие и наибольшие возможные значения их производительности? Мы можем увидеть ответы, исследуя единичный круг, как показано на рисунке 15. Границы координаты x равны [−1,1]. [- 1,1]. Границы координаты y также равны [−1,1]. [- 1,1]. Следовательно, диапазон функций синуса и косинуса равен [-1,1].[-1,1].

Рисунок 15

Поиск опорных углов

Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с тем же значением синуса. Поскольку значение синуса — это координата y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь то же значение y , но будет иметь противоположное значение x .Следовательно, его значение косинуса будет противоположным значению косинуса первого угла.

Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с таким же косинусом, что и исходный угол. Угол с таким же косинусом будет иметь одинаковое значение x , но будет иметь противоположное значение y . Следовательно, его значение синуса будет противоположным значению синуса исходного угла.

Как показано на рисунке 16, угол αα имеет то же значение синуса, что и угол t; t; значения косинуса противоположны.Угол ββ имеет то же значение косинуса, что и угол t; t; значения синуса противоположны.

sin (t) = sin (α) и cos (t) = — cos (α) sin (t) = — sin (β) и cos (t) = cos (β) sin (t) = sin (α) и cos (t ) = — cos (α) sin (t) = — sin (β) и cos (t) = cos (β)

Рисунок 16

Напомним, что исходный угол угла — это острый угол t, t, образованный конечной стороной угла tt и горизонтальной осью. Базовый угол — это всегда угол между 00 и 90 °, 90 ° или 00 и π2π2 радиан. Как видно из рисунка 17, для любого угла в квадрантах II, III или IV существует опорный угол в квадранте I.

Рисунок 17

Дан угол между 00 и 2π, 2π, найдите его опорный угол.

1. Угол в первом квадранте является его собственным опорным углом.
2. Для угла во втором или третьем квадранте опорный угол равен | π − t || π − t | или | 180 ° −t |. | 180 ° −t |.
3. Для угла в четвертом квадранте опорный угол равен 2π − t2π − t или 360 ° −t 360 ° −t.
4. Если угол меньше 00 или больше 2π, 2π, прибавьте или вычтите 2π2π столько раз, сколько необходимо, чтобы найти эквивалентный угол между 00 и 2π.2π.

Пример 5

Нахождение опорного угла

Найдите опорный угол 225 ° 225 °, как показано на рисунке 18.

Рисунок 18

Решение

Поскольку 225 ° 225 ° находится в третьем квадранте, опорный угол составляет

| (180 ° −225 °) | = | −45 ° | = 45 ° | (180 ° −225 °) | = | −45 ° | = 45 °

Попробуй # 5

Найдите опорный угол 5π3.5π3.

Использование опорных углов

А теперь давайте вернемся к колесу обозрения, представленному в начале этого раздела.Предположим, всадник делает фотографию, остановившись на высоте двадцати футов над уровнем земли. Затем всадник совершает поворот на три четверти по кругу. Что такое новый рост райдера? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса при углах больше 90 градусов или под отрицательным углом. Базовые углы позволяют оценивать тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для нахождения координат (x, y) (x, y) для этих углов.Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором находится конечная сторона угла.

Использование опорных углов для оценки тригонометрических функций

Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если мы знаем, косинус или синус его опорного угла. Абсолютные значения косинуса и синус угла являются такими же, как опорным углом. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений x в этом квадранте.Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений y в этом квадранте.

Использование опорных углов для нахождения косинуса и синуса

Углы имеют косинусы и синусы с тем же абсолютным значением, что и их опорные углы. Знак (положительный или отрицательный) можно определить по квадранту угла.

Для заданного угла в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.

1. Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью.Это опорный угол.
2. Определение значений косинуса и синуса заданного угла.
3. Присвойте косинусу тот же знак, что и значениям x в квадранте исходного угла.
4. Присвойте синусу тот же знак, что и значениям y в квадранте исходного угла.

Пример 6

Использование опорных углов для поиска синуса и косинуса

1. Используя опорный угол, найдите точное значение cos (150 °) cos (150 °) и sin (150 °).грех (150 °).
2. Используя исходный угол, найдите cos5π4cos5π4 и sin5π4.sin5π4.

Решение

1. 150 ° 150 ° находится во втором квадранте. Угол, который он образует с осью x , составляет 180 ° -150 ° = 30 °, 180 ° -150 ° = 30 °, поэтому опорный угол составляет 30 ° 0,30 °.

   Это говорит нам, что 150 ° 150 ° имеет те же значения синуса и косинуса, что и 30 °, 30 °, за исключением знака.

   cos (30 °) = 32andsin (30 °) = 12cos (30 °) = 32andsin (30 °) = 12

   Поскольку 150 ° 150 ° находится во втором квадранте, координата x точки на окружности равна отрицательный, значит, значение косинуса отрицательное.Координата y положительна, поэтому значение синуса положительное.

   cos (150 °) = — 32andsin (150 °) = 12 cos (150 °) = — 32andsin (150 °) = 12
2. 5π45π4 находится в третьем квадранте. Его опорный угол составляет 5π4 − π = π4,5π4 − π = π4. Косинус и синус числа π4π4 равны 22,22. В третьем квадранте и xx, и yy отрицательны, поэтому: cos5π4 = −22andsin5π4 = −22cos5π4 = −22andsin5π4 = −22

Попробовать # 6

1. Используйте опорный угол 315 ° 315 °, чтобы найти cos (315 °) cos (315 °) и sin (315 °).грех (315 °).
2. Используйте опорный угол −π6 − π6, чтобы найти cos (−π6) cos (−π6) и sin (−π6) .sin (−π6).

Использование опорных углов для поиска координат

Теперь, когда мы узнали, как находить значения косинуса и синуса для особых углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы для заполнения значений косинуса и синуса для остальных особых углов единичной окружности. Они показаны на рисунке 19. Найдите время, чтобы узнать координаты (x, y) (x, y) всех основных углов в первом квадранте.

Рисунок 19 Специальные углы и координаты соответствующих точек на единичной окружности

Помимо изучения значений специальных углов, мы можем использовать опорные углы, чтобы найти координаты (x, y) (x, y) любой точки на устройстве. круг, используя то, что мы знаем об углах отсчета вместе с идентификаторами

x = cos ty = sin tx = cos ty = sin t

Сначала мы находим опорный угол, соответствующий данному углу. Тогда мы возьмем синус и косинус значения опорного угла, и дать им знаки, соответствующие у — и х -значения квадранта.

Зная угол точки на окружности и радиус окружности, найдите координаты (x, y) (x, y) точки.

1. Найдите опорный угол, измерив наименьший угол к оси x .
2. Найти косинус и синус заданного угла.
3. Определите соответствующие знаки для xx и yy в данном квадранте.

Пример 7

Использование единичной окружности для поиска координат

Найдите координаты точки на единичной окружности под углом 7π6.7π6.

Решение

Мы знаем, что угол 7π67π6 находится в третьем квадранте.

Во-первых, давайте найдем опорный угол, измерив угол к оси x . Чтобы найти опорный угол для угла, конечная сторона которого находится в квадранте III, мы находим разность угла и π.π.

7π6 − π = π67π6 − π = π6

Далее мы найдем косинус и синус заданного угла.

cos (π6) = 32sin (π6) = 12 cos (π6) = 32sin (π6) = 12

Мы должны определить соответствующие знаки для x и y в данном квадранте.Поскольку наш исходный угол находится в третьем квадранте, где и xx, и yy отрицательны, косинус и синус отрицательны.

cos (7π6) = — 32sin (7π6) = — 12cos (7π6) = — 32sin (7π6) = — 12

Теперь мы можем вычислить координаты (x, y) (x, y), используя тождества x = cosθx = cosθ и y = sinθ.y = sinθ.

Координаты точки: (−32, −12) (- 32, −12) на единичной окружности.

Попробовать # 7

Найдите координаты точки на единичной окружности под углом 5π3,5π3.

7.Упражнения из 3 частей

Устные

1.

Опишите единичный круг.

2.

Что означают координаты x- и y- точек на единичной окружности?

3.

Обсудите разницу между котерминальным углом и опорным углом.

4.

объяснить, как косинус угла во втором квадранте отличается от косинуса его опорного угла в единичной окружности.

5.

Объясните, как синус угла во втором квадранте отличается от синуса угла его опорного в единичной окружности.

Алгебраический

В следующих упражнениях используйте заданный знак функций синуса и косинуса, чтобы найти квадрант, в котором находится конечная точка, определяемая tt.

6.

sin (t) <0sin (t) <0 и cos (t) <0cos (t) <0

7.

sin (t)> 0sin (t)> 0 и cos (t)> 0cos (t)> 0

8.

sin (t)> 0sin (t)> 0 и cos (t) <0cos (t) <0

9.

sin (t)> 0sin (t)> 0 и cos (t)> 0cos (t)> 0

Для следующих упражнений найдите точное значение каждой тригонометрической функции.

Числовой

Для следующих упражнений укажите исходный угол для данного угла.

Для следующих упражнений найдите опорный угол, квадрант конечной стороны, а также синус и косинус каждого угла. Если угол не является одним из углов единичной окружности, воспользуйтесь калькулятором и округлите до трех десятичных знаков.

Найдите требуемое значение для следующих упражнений.

50.

Если cos (t) = 17cos (t) = 17 и tt находится в четвертом квадранте, найдите sin (t) .sin (t).

51.

Если cos (t) = 29cos (t) = 29 и tt находится в первом квадранте, найдите sin (t) .sin (t).

52.

Если sin (t) = 38sin (t) = 38 и tt находится во втором квадранте, найдите cos (t) .cos (t).

53.

Если sin (t) = — 14sin (t) = — 14 и tt находится в третьем квадранте, найдите cos (t) .cos (t).

54.

Найдите координаты точки на окружности радиуса 15, соответствующей углу 220 °.220 °.

55.

Найдите координаты точки на окружности с радиусом 20, соответствующей углу 120 ° .120 °.

56.

Найдите координаты точки на окружности радиуса 8, соответствующей углу 7π4,7π4.

57.

Найдите координаты точки на окружности радиуса 16, соответствующей углу 5π9,5π9.

58.

Укажите область определения функций синуса и косинуса.

59.

Укажите диапазон функций синуса и косинуса.

Графический

Для следующих упражнений используйте заданную точку на единичном круге, чтобы найти значение синуса и косинуса t.t.

60. 62. 64. 66. 68. 70. 72.74. 76. 78.

Технологии

Для следующих упражнений используйте графический калькулятор.

Расширения

Оцените следующие упражнения.

90.

sin (11π3) cos (−5π6) sin (11π3) cos (−5π6)

91.

sin (3π4) cos (5π3) sin (3π4) cos (5π3)

92.

sin (−4π3) cos (π2) sin (−4π3) cos (π2)

93.

sin (−9π4) cos (−π6) sin (−9π4) cos (−π6)

94.

sin (π6) cos (−π3) sin (π6) cos (−π3)

95.

sin (7π4) cos (−2π3) sin (7π4) cos (−2π3)

96.

cos (5π6) cos (2π3) cos (5π6) cos (2π3)

97.

cos (−π3) cos (π4) cos (−π3) cos (π4)

98.

sin (−5π4) sin (11π6) sin (−5π4) sin (11π6)

99.

sin (π) sin (π6) sin (π) sin (π6)

Реальные приложения

Для следующих упражнений используйте этот сценарий. Ребенок входит в карусель, которая совершает один оборот за одну минуту.Ребенок входит в точку (0,1), (0,1), то есть в правильном положении на север. Предположим, карусель вращается против часовой стрелки.

100.

Какие координаты ребенка через 45 секунд?

101.

Какие координаты ребенка через 90 секунд?

102.

Какие координаты ребенка через 125 секунд?

103.

Когда у ребенка будут координаты (0.707, –0.707) (0.707, –0.707), если поездка длится 6 минут? (Есть несколько ответов.)

104.

Когда у ребенка будут координаты (–0,866, –0,5) (–0,866, –0,5), если поездка длится 6 минут?

Что такое Пи и как оно возникло?

Вкратце, пи — это греческая буква, обозначающая р или π — это отношение длины окружности любого круга к диаметру этого круга. Независимо от размера круга это отношение всегда будет равно пи. В десятичной форме значение пи составляет примерно 3,14. Но пи — иррациональное число, а это означает, что его десятичная форма не заканчивается (например, 1/4 = 0.25) и не повторяется (например, 1/6 = 0,166666 …). (Всего с 18 десятичными знаками число пи равно 3,1415

5897.) Следовательно, полезно иметь сокращенное обозначение отношения длины окружности к диаметру. Согласно « A History of Pi » Петра Бекмана, греческая буква π была впервые использована для этой цели Уильямом Джонсом в 1706 году, вероятно, как сокращение периферии, и стала стандартной математической записью примерно 30 лет спустя.

Проведите небольшой эксперимент: с помощью циркуля нарисуйте круг.Возьмите один кусок веревки и поместите его на вершину круга ровно один раз. Теперь распрямите веревку; его длина называется окружностью круга. Измерьте окружность линейкой. Затем измерьте диаметр круга, который представляет собой длину от любой точки круга прямо через его центр до другой точки на противоположной стороне. (Диаметр в два раза больше радиуса, длины от любой точки круга до его центра.) Если вы разделите окружность круга на диаметр, вы получите примерно 3.14 — неважно, какого размера круг вы нарисовали! У большего круга будет большая окружность и больший радиус, но соотношение всегда будет тем же. Если бы вы могли точно измерить и разделить, вы бы получили 3,1415

5897 … или пи.

Иначе говоря, если вы разрежете несколько отрезков веревки, длина которых равна диаметру, вам понадобится чуть больше трех, чтобы покрыть окружность круга.

Пи чаще всего используется в некоторых вычислениях, касающихся кругов.Пи не только связывает окружность и диаметр. Удивительно, но он также связывает диаметр или радиус круга с площадью этого круга по формуле: площадь равна пи, умноженному на квадрат радиуса. Кроме того, число пи часто неожиданно появляется во многих математических ситуациях. Например, сумма бесконечного ряда

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … + 1 / n2 + … равно π ² /6

Важность числа Пи была признана не менее 4000 лет назад. История Пи отмечает, что к 2000 г.К., «вавилоняне и египтяне (по крайней мере) знали о существовании и значении константы π», признавая, что каждый круг имеет одинаковое отношение длины окружности к диаметру. И вавилоняне, и египтяне имели грубые числовые приближения к значению числа пи, а более поздние математики в Древней Греции, особенно Архимед, улучшили эти приближения. К началу 20 века было известно около 500 цифр числа Пи. С развитием вычислений, благодаря компьютерам, мы теперь знаем больше, чем первые шесть миллиардов цифр числа Пи.

Калькулятор площади круга Найдите и вычислите CDAR

Как рассчитать окружность, диаметр, площадь и радиус

Калькулятор окружности находит площадь, радиус, диаметр и длину окружности, обозначенной как a, r, d и c соответственно.

Этот калькулятор круга предназначен для тех, кто испытывает трудности с использованием формул вручную для определения площади, длины окружности, радиуса и диаметра круга. Уравнения будут приведены ниже, чтобы вы могли видеть, как калькулятор получает значения, но все, что вам нужно сделать, это ввести основную информацию.Все остальное сделает калькулятор.

Определение окружности:

Окружность похожа на периметр в том смысле, что это общая длина, необходимая для рисования окружности.

Обозначим окружность как c .

c = 2 πr

или

c = πd

Это зависит от того, знаете ли вы радиус ( r ) или диаметр ( d )

например, рассчитать вручную.

Если r = 6 см, длина окружности равна c = 2 π (6) = 12 π см, если писать через π. Если вы предпочитаете числовое значение, ответ, округленный до десятых, составит 37,7 см.

Допустим, вам известен только диаметр? Если диаметр равен 8 см, то окружность равна c = π (8) = 8 π или 25,1 см с округлением до ближайшей десятой.

Формулы замечательно то, что вы можете манипулировать ими, чтобы найти неизвестное, если вам известна одна из других величин.Например, если мы знаем длину окружности, но не знаем ее радиуса, вы можете решить c = 2 πr для r и получить \ (r = \ frac {c} {2 \ pi} \) . Точно так же, если вам нужен диаметр по окружности, просто возьмите c = πd и решите относительно d, чтобы получить d = \ (\ frac {c} {\ pi} \).

@mometrix

Нужна помощь в поиске площади круга? Мы вас прикрыли! Ссылка в биографии. ## math ## mathhelp ## Mathematics ## piday ## pi ## mometrix ## area

♬ оригинальный звук — Mometrix Test Preparation

Finding the Area:

Пусть a = площадь круга

a = πr²

Если вам известен диаметр, а не радиус, просто разделите диаметр на 2, чтобы получить радиус, и по-прежнему используйте формулу выше.

Опять же, формулу можно использовать для определения радиуса, если вы знаете площадь. Просто разделите a на π, чтобы получить r² и извлечь квадратный корень из
.

Если вы хотите узнать диаметр по площади, выполните описанную выше процедуру, но удвойте результат, полученный для r . Это потому, что диаметр в два раза больше радиуса.

Попробуйте пример вручную, чтобы получить площадь.

Предположим, что r = 5 дюймов

a = πr²

a = π (25) = 25π

Если округлить до десятых, получится 78.5 квадратных дюймов.

Если вам известен диаметр, просто разделите на 2, чтобы получить радиус, и используйте ту же формулу, что и выше.

Конечно, вам не нужно выполнять все вычисления вручную, чтобы использовать этот калькулятор. Просто введите информацию, которую вы знаете, и все остальное будет вычислено для вас почти мгновенно.

Обзор Algebra Trig

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. , вероятно, вы пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Оценка триггерной функции

Одна из проблем с большинством классов триггеров состоит в том, что они, как правило, сосредотачиваются на триггерах прямоугольного треугольника и делают все в терминах степеней.Затем вы перейдете к курсу исчисления, где почти все делается в радианах, а единичная окружность — очень полезный инструмент.

Итак, сначала давайте посмотрим на следующую таблицу, чтобы соотнести градусы и радианы.

Степень	0	30	45	60	90	180	270	360
радианы	0	\ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {\ pi} {6} \)	\ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {\ pi} {4} \)	\ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {\ pi} {3} \)	\ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {\ pi} {2} \)	\ (\ Displaystyle \ пи \)	\ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \)	\ (\ Displaystyle 2 \ пи \)

Знай эту таблицу! Конечно, есть много других углов в радианах, которые мы увидим на этом занятии, но большинство из них будут связаны с этими несколькими углами.Итак, если вы сможете справиться с этими углами, вы сможете справиться с большинством других.

Предупреждаем, все в большинстве классов исчисления будут делаться в радианах!

Теперь посмотрим на единичный круг. Ниже показан единичный круг с заполненным только первым квадрантом. Принцип действия единичного круга заключается в том, чтобы провести линию от центра круга наружу, соответствующую заданному углу. Затем посмотрите на координаты точки пересечения линии и круга.Первая координата — это косинус этого угла, а вторая координата — это синус этого угла. Обычно используется пара основных углов . Это \ (0, \ frac {\ pi} {6}, \ frac {\ pi} {4}, \ frac {\ pi} {3}, \ frac {\ pi} {2}, \ pi, \ frac {{3 \ pi}} {2} \) и \ (2 \ pi \) и показаны ниже вместе с координатами пересечений. Итак, из единичного круга ниже мы видим, что \ (\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) = \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \) и \ ( \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) = \ frac {1} {2} \).

Вспомните, как работают знаки углов. Если вы вращаете против часовой стрелки, угол будет положительным, а если вы вращаетесь по часовой стрелке, угол будет отрицательным.

Напомним также, что один полный оборот равен \ (2 \ pi \), поэтому положительная ось \ (x \) может соответствовать либо углу 0, либо \ (2 \ pi \) (или \ (4 \ pi \), или \ (6 \ pi \), или \ (- 2 \ pi \), или \ (- 4 \ pi \), и т. д. . в зависимости от направления вращения). Точно так же угол \ (\ frac {\ pi} {6} \) (чтобы выбрать угол полностью наугад) также может быть любым из следующих углов:

\ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi = \ frac {{13 \ pi}} {6} \) (начать с \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} \ ) затем один раз поверните против часовой стрелки)

\ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} + 4 \ pi = \ frac {{25 \ pi}} {6} \) (начать с \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} \ ) затем дважды поверните вокруг часовой стрелки)

\ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} — 2 \ pi = — \ frac {{11 \ pi}} {6} \) (начинается с \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6}) \) затем поверните один раз по часовой стрелке)

\ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} — 4 \ pi = — \ frac {{23 \ pi}} {6} \) (начинается с \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6}) \) затем дважды поверните по часовой стрелке)

и т. Д.

Фактически, \ (\ frac {\ pi} {6} \) может быть любым из следующих углов \ (\ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi \, n \ ,, \; \; n = 0, \, \ pm 1, \, \ pm 2, \, \ pm 3, \, \ ldots \) ​​В этом случае \ (n \) — это количество полных оборотов, которые вы делаете вокруг единичной окружности, начиная с \ (\ frac {\ pi} {6} \). Положительные значения \ (n \) соответствуют вращению против часовой стрелки, а отрицательные значения \ (n \) соответствуют вращению по часовой стрелке.

Итак, почему я ввел только первый квадрант? Ответ прост.Если вы знаете первый квадрант, вы можете получить все остальные квадранты из первого. Вы увидите это в следующих примерах.

Найдите точное значение каждого из следующих пунктов. Другими словами, не пользуйтесь калькулятором. Показать все решенияСкрыть все решения

1. \ (\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) \) и \ (\ sin \ left ({- \ frac {{2 \ pi}} {3}) } \верно)\)
   Показать решение

   В первой оценке здесь используется угол \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \).Обратите внимание, что \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} = \ pi — \ frac {\ pi} {3} \). Итак, \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \) находится путем поворота \ (\ frac {\ pi} {3} \) вверх от отрицательной оси \ (x \). Это означает, что линия для \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \) будет зеркальным отображением линии для \ (\ frac {\ pi} {3} \) только во втором квадранте. Координаты для \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \) будут координатами для \ (\ frac {\ pi} {3} \), за исключением того, что координата \ (x \) будет отрицательной.

   Аналогично, для \ (- \ frac {{2 \ pi}} {3} \) мы можем заметить, что \ (- \ frac {{2 \ pi}} {3} = — \ pi + \ frac {\ pi } {3} \), поэтому этот угол можно найти, повернув вниз \ (\ frac {\ pi} {3} \) от отрицательной оси \ (x \).Это означает, что линия для \ (- \ frac {{2 \ pi}} {3} \) будет зеркальным отображением линии для \ (\ frac {\ pi} {3} \) только в третьем квадранте. и координаты будут такими же, как координаты для \ (\ frac {\ pi} {3} \), за исключением того, что оба будут отрицательными.

   Оба этих угла вместе с их координатами показаны на следующем единичном круге.

   Из этого единичного круга видно, что \ (\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) = \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \) и \ (\ sin \ left ({- \ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) = — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \).

   Это приводит к интересному факту о синусоидальной функции. Синусоидальная функция называется функцией с нечетным числом , поэтому для ЛЮБОГО угла мы имеем

   \ [\ sin \ left ({- \ theta} \ right) = — \ sin \ left (\ theta \ right) \]
2. \ (\ cos \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {6}} \ right) \) и \ (\ cos \ left ({- \ frac {{7 \ pi}} {6}}) \верно)\)
   Показать решение

   В этом примере обратите внимание, что \ (\ frac {{7 \ pi}} {6} = \ pi + \ frac {\ pi} {6} \), это означает, что мы повернем вниз \ (\ frac {\ pi } {6} \) от отрицательной оси \ (x \), чтобы добраться до этого угла.Также \ (- \ frac {{7 \ pi}} {6} = — \ pi — \ frac {\ pi} {6} \), это означает, что мы должны повернуть вверх \ (\ frac {\ pi} {6} \) от отрицательной оси \ (x \) — попасть в этот угол. Оба они показаны на следующем единичном круге вместе с соответствующими координатами точек пересечения.

   Из этого единичного круга видно, что \ (\ cos \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {6}} \ right) = — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \) и \ (\ cos \ left ({- \ frac {{7 \ pi}} {6}} \ right) = — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \).В этом случае функция косинуса называется функцией и даже , поэтому для ЛЮБОГО угла мы имеем

   \ [\ cos \ left ({- \ theta} \ right) = \ cos \ left (\ theta \ right) \]
3. \ (\ tan \ left ({- \ frac {\ pi} {4}} \ right) \) и \ (\ tan \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {4}} \ right) \)
   Показать решение

   Здесь мы должны отметить, что \ (\ frac {{7 \ pi}} {4} = 2 \ pi — \ frac {\ pi} {4} \), поэтому \ (\ frac {{7 \ pi}} {4 } \) и \ (- \ frac {\ pi} {4} \) фактически под одним углом! Единичный круг для этого угла равен

   .

   Теперь, если мы вспомним, что \ (\ tan \ left (x \ right) = \ frac {{\ sin \ left (x \ right)}} {{\ cos \ left (x \ right)}}}), мы можно использовать единичный круг, чтобы найти значения касательной функции.Итак,

   \ [\ tan \ left (\ frac {7 \ pi} {4} \ right) = \ tan \ left (- \ frac {\ pi} {4} \ right) = \ frac {\ sin \ left (- { \ pi} / {4} \; \ right)} {\ cos \ left (- {\ pi} / {4} \; \ right)} = \ frac {- {\ sqrt {2}} / {2} \;} {{\ sqrt {2}} / {2} \;} = — 1 \]

   Кстати, обратите внимание, что \ (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) = 1 \), и мы видим, что функция касательной также называется функцией odd и поэтому для ЛЮБОГО угла у нас будет

   \ [\ tan \ left ({- \ theta} \ right) = — \ tan \ left (\ theta \ right) \]
4. \ (\ sin \ left ({\ frac {{9 \ pi}} {4}} \ right) \)
   Показать решение

   Для этой задачи заметим, что \ (\ frac {{9 \ pi}} {4} = 2 \ pi + \ frac {\ pi} {4} \).Теперь напомним, что один полный оборот равен \ (2 \ pi \). Таким образом, это означает, что \ (\ frac {{9 \ pi}} {4} \) и \ (\ frac {\ pi} {4} \) находятся в одной и той же точке на единичной окружности. Следовательно,

   \ [\ sin \ left ({\ frac {{9 \ pi}} {4}} \ right) = \ sin \ left ({2 \ pi + \ frac {\ pi} {4}} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) = \ frac {{\ sqrt 2}} {2} \]

   Это приводит нас к очень интересному факту о синусоидальной функции. Синусоидальная функция является примером периодической функции . Периодические функции — это функции, которые повторяются снова и снова.«Расстояние», на которое вам нужно переместиться вправо или влево до того, как функция начнет повторяться, называется периодом функции.

   В случае синуса период равен \ (2 \ pi \). Это означает, что синусоидальная функция будет повторяться каждые \ (2 \ pi \). {\ sqrt {3}} / {} _ {2}} = \ frac {2} {\ sqrt {3} } \]

   Следует также отметить, что косинус и секанс — периодические функции с периодом \ (2 \ pi \).Итак,

   \ [\ begin {align *} \ begin {align} \ cos \ left ({x + 2 \ pi n} \ right) & = \ cos \ left (x \ right) \\ \ sec \ left ({x + 2 \ pi n} \ right) & = \ sec \ left (x \ right) \ end {выровнено} & \ hspace {0,5in} n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \, \ ldots \ end { выровнять*}\]
5. \ (\ tan \ left ({\ frac {{4 \ pi}} {3}} \ right) \)
   Показать решение

   Для решения этой задачи полезно знать, что тангенс (и, следовательно, котангенс) также является периодической функцией, но, в отличие от синуса и косинуса, она имеет период \ (\ pi \).

   \ [\ begin {align *} \ begin {align} \ tan \ left ({x + \ pi n} \ right) & = \ tan \ left (x \ right) \\ \ cot \ left ({x + \ pi n} \ right) & = \ cot \ left (x \ right) \ end {align} & \ hspace {0,5in} n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \, \ ldots \ end {align * } \]

   Итак, чтобы решить эту проблему, отметим, что \ (\ frac {{4 \ pi}} {3} = \ pi + \ frac {\ pi} {3} \). Следовательно,

   \ [\ tan \ left ({\ frac {{4 \ pi}} {3}} \ right) = \ tan \ left ({\ pi + \ frac {\ pi} {3}} \ right) = \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right) = \ sqrt 3 \]

   Заключительные мысли об оценке триггеров

   Как мы видели в предыдущих примерах, если вы знаете первый квадрант единичной окружности, вы можете найти значение ЛЮБОЙ триггерной функции (а не только синуса и косинуса) для ЛЮБОГО угла, который может быть связан с одним из тех, что показаны в первом. квадрант.Это хорошая идея, чтобы запомнить, поскольку это означает, что вам нужно запомнить только первый квадрант и то, как получить углы в оставшихся трех квадрантах!

   В этих задачах я использовал только «основные» углы, но многие идеи здесь также могут быть применены к углам, отличным от этих «основных» углов, как мы увидим в Решении триггерных уравнений.