| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 11 | Найти точное значение | ||
| 12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) |
|
| 14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 15 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 20 | График | y=sin(x) | |
| 21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 24 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 25 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 26 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 28 | Найти точное значение | tan(45 град. 4) |
|
| 56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 57 | tan(pi/2) | ||
| 58 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 59 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 60 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 61 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 62 | Найти точное значение | ||
| 63 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 64 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 65 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 66 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 67 | Найти точное значение | ||
| 68 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 69 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 70 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 72 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. 8) |
|
| 80 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 81 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 82 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 83 | Найти точное значение | ||
| 84 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 85 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 86 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 87 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 88 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 89 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 90 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 91 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 92 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 93 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 94 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 95 | Вычислить | arcsin(-1) | |
| 96 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 97 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 99 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 100 | Найти точное значение | cos((4pi)/3) |
Решите неравенство cos(5*pi*x)>0 (косинус от (5 умножить на число пи умножить на х) больше 0)
Дано неравенство:$$\cos{\left (5 \pi x \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (5 \pi x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (5 \pi x \right )} = 0$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
с изменением знака при 0
Получим:
$$\cos{\left (5 \pi x \right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$5 \pi x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$5 \pi x = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
Или
$$5 \pi x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$5 \pi x = \pi n — \frac{\pi}{2}$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$5 \pi$$
$$x_{1} = \frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{5 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n — \frac{\pi}{2}}{5 \pi}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{5 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n — \frac{\pi}{2}}{5 \pi}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{5 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n — \frac{\pi}{2}}{5 \pi}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{5 \pi} + — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{5 \pi} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (5 \pi x \right )} > 0$$
$$\cos{\left (5 \pi \left(\frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{5 \pi} — \frac{1}{10}\right) \right )} > 0$$
/ / pi \\ | | -- + pi*n|| | | 1 2 || > 0 cos|pi*|- - + ---------|| \ \ 2 pi //
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{5 \pi} \wedge x
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2Формулы приведения. Бесплатный видеоурок — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Применять формулы приведения — легко! Их не надо зубрить наизусть. И не надо тащить на экзамен шпаргалки, рискуя спалиться. Надо всего лишь запомнить два правила, о которых вы узнаете, посмотрев этот ролик. Это так просто, что даже лошадка поймет! 🙂 Посмотри и передай друзьям.
Часто в задачах встречаются выражения вида а также или — то есть такие, где к аргументу прибавляется нечетное число, умноженное на или целое число, умноженное на Они упрощаются с помощью формул приведения.
Запомните: формулы приведения, от слова «привести». К привидениям, то есть к призракам и прочим глюкам, эти формулы отношения не имеют : -)
Эти формулы называются так потому, что с их помощью можно привести выражения к более простым.
Например,
Зубрить наизусть формулы приведения не нужно.
Достаточно знать правило, состоящее из двух пунктов.
1) Если в тригонометрической формуле к аргументу прибавляется (или вычитается из него) — в общем, угол, лежащий на вертикальной оси, — функция меняется на кофункцию. Синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот.
Если же мы прибавляем или вычитаем — в общем, то, что лежит на горизонтальной оси, — функция на кофункцию не меняется.
Это легко запомнить. Если прибавляемый угол лежит на вертикальной оси — вертикально киваем головой, говорим: «Да, да, меняется функция на кофункцию». Если прибавляемый угол лежит на горизонтальной оси — горизонтально мотаем головой, говорим: «Нет, нет, не меняется функция на кофункцию».
Это первая часть правила. Теперь вторая.
2) Знак получившегося выражения такой же, каким будет знак тригонометрической функции в левой его части, при условии, что аргумент мы берем из первой четверти.
Упростим, например, выражение Функция меняется на кофункцию — и в результате получится синус. Взяв x из первой четверти и прибавив к нему попадем во вторую четверть. Во второй четверти косинус отрицателен. Значит, получится
Посмотрим, как формулы приведения применяются в задачах ЕГЭ по математике.
1. Найдите значение выражения:
2. Вычислите:
3. Вычислите:
Мы упростили выражения в скобках.
4. Найдите значение выражения:
5. Упростите выражение:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Таблица косинусов
Таблица косинусов 0° — 180°.
|
|
|
9962
6018
1564
7986Таблица косинусов 180° — 360°.
|
|
|
9962
6293
0872
766Другие заметки по алгебре и геометрии
Калькулятор— cos (5 * pi / 6) — Solumaths
Резюме:
Тригонометрическая функция cos вычисляет косинус угла в радианах,
градусы или градианы.
Описание:
Калькулятор позволяет использовать большинство тригонометрических функций , можно вычислить косинус , синус и касательная угла через одноименные функции..
Тригонометрическая функция косинус отмечена cos , позволяет вычислить косинус угла онлайн , можно использовать разные угловые единицы: градусы, градианы и радианы, которые являются угловыми единицами по умолчанию.
- Расчет косинуса
- Специальные значения косинуса
Косинус для вычисления угла в радианах
Калькулятор косинуса позволяет через функцию cos вычислить онлайн косинус угла в радианах, сначала необходимо выберите желаемую единицу измерения, нажав кнопку параметров модуля расчета.После этого можно приступать к расчетам.
Чтобы вычислить косинус онлайн числа «пи / 6», введите cos (`pi / 6`), после вычисления результат sqrt (3) / 2 возвращается.
Обратите внимание, что функция косинуса способна распознавать некоторые особые углы и делать расчеты со специальными связанными значениями в точной форме.
Вычислить косинус угла в градусах
Чтобы вычислить косинус угла в градусах, необходимо сначала выбрать нужную единицу щелкнув по кнопке опций модуля расчета.После этого вы можете приступить к расчету.
Чтобы вычислить косинус 90, введите cos (90), после вычисления restults 0 возвращается.
Вычислить косинус угла в градусах
Чтобы вычислить косинус угла в градусах, необходимо сначала выбрать желаемую единицу измерения.
щелкнув по кнопке опций модуля расчета. После этого вы можете приступить к расчету.
Чтобы вычислить косинус 50, введите cos (50), после вычисления возвращается результат sqrt (2) / 2.
Обратите внимание, что функция косинуса способна распознавать некоторые особые углы и выполнять исчисление со специальными связанными точными значениями.
Косинус допускает некоторые особые значения, которые калькулятор может определять в точной форме. Вот список специальные значения косинуса :
Производная косинуса равна -sin (x).
Первообразная косинуса равна sin (x).
Функция косинуса является четной функцией для каждого действительного x: `cos (-x) = cos (x)`. Следствием для кривой, представляющей функцию косинуса, является то, что она допускает ось ординат как ось симметрии.
В калькуляторе есть решающая программа, позволяющая решать уравнение с косинусом вида cos (x) = a .Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решить такие уравнения, как `cos (x) = 1 / 2` или же `2 * cos (x) = sqrt (2)` с шагами расчета.
Тригонометрическая функция cos вычисляет косинус угла в радианах, градусы или градианы.
Синтаксис:
cos (x), где x — мера угла в градусах, радианах или градианах.Примеры:
cos (`0`), возвращает 1Производный косинус:
Чтобы дифференцировать функцию косинуса онлайн, можно использовать калькулятор производной, который позволяет вычислить производную функции косинуса
Производная от cos (x) — это производная_вычислителя (`cos (x)`) = `-sin (x)`
Первоначальный косинус:
Калькулятор первообразной функции косинуса позволяет вычислить первообразную.
Первообразная от cos (x) — это первообразная_вычислителя (`cos (x)`) = `sin (x)`
Предельный косинус:
Калькулятор пределов позволяет вычислить пределы функции косинуса.
Предел для cos (x) равен limit_calculator (`cos (x)`)
Косинус обратной функции:
Обратная функция от косинуса — это функция арккосинуса, отмеченная как arccos.
Графический косинус:
Графический калькулятор может строить функцию косинуса в интервале ее определения.
Свойство функции косинус:
Функция косинуса является четной функцией.Рассчитать онлайн с cos (косинусом)
Производная cos (5pi / 6) — решение
Производная cos (5pi / 6).Простое пошаговое решение, чтобы научиться. Простой и понятный, поэтому не бойтесь использовать его в качестве решения домашней работы.
Ниже вы можете найти полное пошаговое решение вашей проблемы. Мы надеемся, что это будет очень полезно для вас и поможет понять процесс решения.
Если это не то, что вы ищете, введите в калькуляторе производных вашу собственную функцию и позвольте нам решить ее. Введите функцию f (x), e.2) +2. Производная для функции f (x) без x в функции равна 0.
Функция f (x): НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ f (x)
Производная cos (5pi / 6):
(cos ((5 * pi) / 6)) 'Вышеприведенное вычисление является производной функции f (x)0
Вы всегда можете поделиться этим решением
Посмотреть похожие уравнения:
| Производная 1000 (1- (x / 400)) ^ 2 |
| Производная от (7x-8) / (x) |
| Производная 2sin (100PI * x) |
| Производная 7e ^ -t |
| Производная от 3000 (1.
7) |
1.2: Функции косинуса и синуса
Функции косинуса и синуса
Мы начали наше изучение тригонометрии с изучения единичной окружности, того, как обернуть числовую линию вокруг единичной окружности и как построить дуги на единичной окружности. Теперь мы можем использовать эти идеи для определения двух основных круговых или тригонометрических функций. Эти круговые функции позволят нам моделировать периодические явления, такие как приливы, количество солнечного света в течение дней в году, орбиты планет и многие другие.
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Круговые функции
Может показаться, что единичный круг — довольно простой объект и малоинтересный, но математики почти всегда могут найти что-то интересное даже в таких простых объектах. Например, мы определяем две основные круговые функции, косинус и синус в терминах единичной окружности следующим образом. На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показана дуга длины \ (t \) на единичной окружности. Эта дуга начинается в точке \ ((1, 0) \) и заканчивается в ее конечной точке \ (P (t) \).Затем мы определяем косинус и синус дуги \ (t \) как координаты \ (x \) и \ (y \) точки \ (P \), так что \ (P (t) = (\ cos (t), sin (t)) \) (косинус обозначается как \ (\ cos \), а синус — как \ (\ sin \)). Значения косинуса и синуса определяются дугой \ (t \), а косинус и синус — это функции дуги \ (t \). Поскольку дуга лежит на единичной окружности, мы называем косинус и синус круговыми функциями . Важной частью тригонометрии является изучение косинуса и синуса, а также периодических явлений, которые эти функции могут моделировать.Это одна из причин, по которой круговые функции также называются тригонометрическими функциями , .
Примечание
Согласно веб-сайту «Самые ранние известные применения некоторых математических слов» по адресу jeff560.tripod.com/mathword.html, слово синус происходит от санскрита через арабский и латинский языки.
2 = 1 \) (с положительным направлением против часовой стрелки) с начальной точкой \ ( (1, 0) \) и конечной точки \ ((x, y) \), затем косинус для \ (t \), обозначенный \ (\ cos (t) \), и синус для t, обозначаемые \ (\ sin (t) \), определяются как \ [\ cos (t) = x \] и \ [\ sin (t) = y.\]
Рисунок 1.6 иллюстрирует эти определения для дуги, конечная точка которой находится в первом квадранте.
В настоящее время невозможно определить точные значения функций косинуса и синуса для конкретных значений \ (t \). Однако это можно сделать, если конечная точка дуги длины \ (t \) лежит на оси \ (x \) или на оси \ (y \). Например, поскольку окружность единичной окружности равна \ (2 \ pi \), дуга длины \ (t = \ pi \) будет иметь конечную точку на полпути по окружности от точки \ ((1, 0) \).То есть конечная точка находится в \ ((1, 0) \). Следовательно, \ [\ cos (\ pi) = -1 \] и \ [\ sin (\ pi) = 0. \]
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Определите точные значения каждого из следующего:
- \ (\ cos (\ dfrac {\ pi} {2}) \) и \ (\ sin (\ dfrac {\ pi} {2}) \).
- \ (\ cos (\ dfrac {3 \ pi} {2}) \) и \ (\ sin (\ dfrac {3 \ pi} {2}) \).
- \ (\ cos (0) \) и \ (sin (0) \).
- \ (\ cos (- \ dfrac {\ pi} {2}) \) и \ (\ sin (- \ dfrac {\ pi} {2}) \).
- \ (\ cos (2 \ pi) \) и \ (\ sin (2 \ pi) \).
- \ (cos (- \ pi) \) и \ (\ sin (- \ pi) \).
Важное примечание: поскольку косинус и синус являются функциями дуги, длина которой является действительным числом t, вход t определяет выход косинуса и синуса. В результате необходимо указать входное значение при работе с косинусом и синусом. Другими словами, мы ВСЕГДА пишем \ (\ cos (t) \), где \ (t \) — ввод действительного числа, и НИКОГДА не просто \ (\ cos \). Повторюсь, косинус и синус являются функциями, поэтому мы ДОЛЖНЫ указать вход для этих функций.
- Ответ
- \ [\ cos (\ dfrac {\ pi} {2}) = 0 \] \ [\ sin (\ dfrac {\ pi} {2}) = 1 \]
- \ [\ cos (\ dfrac {3 \ pi} {2}) = 0 \] \ [\ sin (\ dfrac {3 \ pi} {2}) = -1 \]
- \ [\ cos (0) = 1 \] \ [\ sin (0) = 1 \]
- \ [\ cos (- \ dfrac {\ pi} {2}) = 0 \] \ [\ sin (- \ dfrac {\ pi} {2}) = -1 \]
- \ [\ cos (2 \ pi) = 0 \] \ [\ sin (2 \ pi) = 1 \]
- \ [\ cos (- \ pi) = -1 \] \ [\ sin (- \ pi) = 0 \]
Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)
В этом упражнении мы будем использовать апплет Geogebra, который называется Конечными точками дуг на единичной окружности.
Веб-адрес этого апплета —
http://gvsu.edu/s/JY
Для этого апплета мы контролируем значение ввода \ (t \) с помощью ползунка для \ (t \). Значения \ (t \) варьируются от \ (- 20 \) до \ (20 \) с шагом \ (0,5 \). Для данного значения \ (t \) рисуется дуга длиной \ (t \), и отображаются координаты конечной точки этой дуги. Используйте этот апплет, чтобы найти приблизительные значения для каждого из следующих значений:
- \ (\ cos (1) \) и \ (\ sin (1) \)
- \ (\ cos (2) \) и \ (\ sin (2) \)
- \ (\ cos (-4) \) и \ (\ sin (-4) \)
- \ (\ cos (5.5) \) и \ (\ sin (5.5) \)
- \ (\ cos (15) \) и \ (\ sin (15) \)
- \ (\ cos (-15) \) и \ (\ sin (-15) \)
- Ответ
- \ [\ cos (1) \ приблизительно 0,5403, \ sin (1) \ приблизительно 0,8415 \]
- \ [\ cos (2) \ приблизительно -0,4161, \ sin (2) \ приблизительно 0,9093 \]
- \ [\ cos (-4) \ приблизительно -0,6536, \ sin (-4) \ приблизительно 0,7568 \]
- \ [\ cos (5.5) \ приблизительно 0,7807, \ sin (5.5) \ приблизительно -0,7055 \]
- \ [\ cos (15) \ приблизительно -0.7597, \ sin (15) \ приблизительно 0,6503 \]
- \ [\ cos (-15) \ приблизительно -0,7597, \ sin (-15) \ приблизительно 0,6503 \]
Некоторые свойства функций косинуса и синуса
Функции косинуса и синуса называются круговыми функциями , потому что их значения определяются координатами точек на единичной окружности. Для каждого действительного числа \ (t \) существует соответствующая дуга, начинающаяся в точке \ ((1, 0) \) (направленной) длины \ (t \), лежащей на единичной окружности.Координаты конечной точки этой дуги определяют значения \ (\ cos (t \) и \ (\ sin (t \).
В предыдущих курсах математики мы узнали, что область определения функции — это набор всех входных данных, которые дают определенный выход.
Мы также узнали, что диапазон функции — это набор всех возможных выходов функции.
Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)
- Какова область определения функции косинуса? Почему?
- Что такое область синусоидальной функции? Почему?
- Какую самую большую координату \ (x \) может иметь точка на единичной окружности? Какую наименьшую координату \ (x \) может иметь точка на единичной окружности? Что это говорит нам о диапазоне функции косинуса? Почему?
- Какую самую большую координату \ (y \) может иметь точка на единичной окружности? Какую наименьшую координату \ (y \) может иметь точка на единичной окружности? Что это говорит нам о диапазоне синусоидальной функции? Почему?
- Ответ
- Поскольку мы можем обернуть любое число в единичную окружность, мы всегда можем найти конечную точку дуги, которая соответствует любому числу.Таким образом, определен косинус любого действительного числа, а область определения функции косинуса — это набор всех действительных чисел.
- По той же причине, что и для функции косинуса, область определения функции синуса — это набор всех действительных чисел.
- На единичной окружности наибольшая координата x, которую может иметь точка, равна 1, а наименьшая координата x, которую может иметь точка, равна 1. Поскольку выходом функции косинуса является x-координата точки на единичной окружности, диапазон функции косинуса — отрезок \ ([- 1, 1] \).Это означает \ (- 1 \ leq \ cos (t) \ leq 1 \) для любого действительного числа \ (t \).
- На единичной окружности наибольшая координата y, которую может иметь точка, равна 1, а наименьшая координата y, которую может иметь точка, равна 1. Поскольку выход синусоидальной функции является координатой y точки на единичной окружности, диапазон функции синуса — отрезок \ ([- 1, 1] \). Это означает \ (- 1 \ leq \ sin (t) \ leq 1 \) для любого действительного числа \ (t \).
Хотя мы, возможно, не сможем вычислить точные значения для многих входных данных для функций косинуса и синуса, мы можем использовать наши знания о системе координат и ее квадрантах, чтобы определить, являются ли определенные значения косинуса и синуса положительными или отрицательными.Идея состоит в том, что знаки координат точки \ (P (x, y) \), нанесенной на координатный план, определяются квадрантом, в котором находится точка (если только она не лежит на одной из осей). Рисунок \ (\ PageIndex {2} \) суммирует эти результаты для знаков значений функций косинуса и синуса. Левый столбец в таблице предназначен для местоположения конечной точки дуги, определяемой действительным числом \ (t \).
| Квадрант | \ (\ cos (t) \) | \ (\ sin (t) \) |
|---|---|---|
| QI | положительный | положительный |
| QII | отрицательный | положительный |
| III квартал | отрицательный | отрицательное |
| QIV | положительный | отрицательное |
Теперь нам нужно определить, в каком квадранте находится конечная точка дуги, определяемая действительным числом t.Мы можем сделать это, еще раз используя тот факт, что длина окружности единичной окружности равна \ (2 \ pi \), и когда мы перемещаемся по единичной окружности из точки .
1; 0 / в положительном направлении (против часовой стрелки) мы будем пересекать одну из координатных осей каждые четверть оборота. Например, если \ (0
Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)
- Если \ (\ dfrac {\ pi} {2}
- Если \ (\ pi
- Если \ (\ dfrac {3 \ pi} {2}
- Если \ (\ dfrac {5 \ pi} {2}
- Для каких значений \ (t \) (между \ (0 \) и \ (2 \ pi \)) положительно \ (\ cos (t) \)? Почему?
- Для каких значений \ (t \) (между \ (0 \) и \ (2 \ pi \)) положительно \ (\ sin (t) \)? Почему?
- Для каких значений \ (t \) (между \ (0 \) и \ (2 \ pi \)) \ (\ cos (t) \) отрицательно? Почему?
- Для каких значений \ (t \) (между \ (0 \) и \ (2 \ pi \)) \ (\ sin (t) \) отрицательно? Почему?
- Если \ (\ pi
- Ответ
- Если \ (\ dfrac {\ pi} {2}
0 \). - Если \ (\ pi
- Если \ (\ dfrac {3 \ pi} {2}
0 \) и \ (\ sin (t) <0 \). - Если \ (\ dfrac {5 \ pi} {2}
0 \) и \ (\ sin (t)> 0 \). - Обратите внимание, что \ (\ cos (t) = 0 \) в \ (t = \ dfrac {\ pi} {2} \) и \ (t = \ dfrac {3 \ pi} {2} \).
Поскольку \ (\ cos (t) \) является координатой x конечной точки дуги \ (t \), предыдущий ответ показывает, что \ (\ cos (t) \) положительно, когда \ (t \) находится в одном из интервалов \ ([0, \ dfrac {\ pi} {2}) \) или \ ((\ dfrac {3 \ pi} {2}, 2 \ pi] \).- Обратите внимание, что \ (\ sin (t) = 0 \) при \ (t = 0 \) и \ (t = \ pi \). Поскольку \ (\ sin (t) \) является координатой x конечной точки дуги \ (t \), предыдущий ответ показывает, что \ (\ sin (t) \) положительно, когда \ (t \) находится в одном из интервалов \ ((0, \ pi) \).
- Обратите внимание, что \ (\ cos (t) = 0 \) в \ (t = \ dfrac {\ pi} {2} \) и \ (t = \ dfrac {3 \ pi} {2} \). Поскольку \ (\ cos (t) \) является координатой x конечной точки дуги \ (t \), предыдущий ответ показывает, что \ (\ cos (t) \) положительно, когда \ (t \) находится в интервале \ ((\ dfrac {\ pi} {2}, \ dfrac {3 \ pi} {2}) \).
- Обратите внимание, что \ (\ sin (t) = 0 \) в \ (t = \ pi \) и \ (t = 2 \ pi \). Поскольку \ (\ sin (t) \) является координатой x конечной точки дуги \ (t \), предыдущий ответ показывает, что \ (\ sin (t) \) положительно, когда \ (t \) находится в одном из интервалов \ ([0, \ dfrac {\ pi} {2}) \) или \ ((\ pi, 2 \ pi) \).
- Если \ (\ dfrac {3 \ pi} {2}
- Если \ (\ dfrac {\ pi} {2}
Поскольку \ (\ cos (t) \) является координатой x конечной точки дуги \ (t \), предыдущий ответ показывает, что \ (\ cos (t) \) положительно, когда \ (t \) находится в одном из интервалов \ ([0, \ dfrac {\ pi} {2}) \) или \ ((\ dfrac {3 \ pi} {2}, 2 \ pi] \).Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)
Используйте результаты, представленные на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), чтобы определить, являются ли следующие величины положительными, отрицательными или нулевыми. (Не используйте калькулятор.)
- \ (\ cos (\ dfrac {\ pi} {5}) \)
- \ (\ sin (\ dfrac {\ pi} {5}) \)
- \ (\ cos (\ dfrac {5 \ pi} {8}) \)
- \ (\ sin (\ dfrac {5 \ pi} {8}) \)
- \ (\ cos (\ dfrac {-9 \ pi} {16}) \)
- \ (\ sin (\ dfrac {-9 \ pi} {16}) \)
- \ (\ cos (\ dfrac {-25 \ pi} {12}) \)
- \ (\ sin (\ dfrac {-25 \ pi} {12}) \)
- Ответ
- Поскольку \ (0 <\ dfrac {\ pi} {5} <\ dfrac {\ pi} {2} \), конечная точка дуги \ (\ dfrac {\ pi} {5} \) находится в первый квадрант. 2 = (a + b) (a — b) \]
\ [a + b = b + a \]
\ [x (y + z) = xy + xz \]
, где подразумевается, что все переменные представляют собой действительные числа.2) \).
Идентичность Пифагора позволяет нам определить значение \ (\ cos (t) \) или \ (\ sin (t) \), если мы знаем значение другого и квадрант, в котором конечная точка дуги \ (t \) ложь. Это проиллюстрировано в следующем примере.
Пример \ (\ PageIndex {1} \)
Предположим, что \ (\ cos (t) = \ dfrac {2} {5} \) и конечная точка дуги \ ((t) \) лежит в четвертом квадранте. 5 Используйте эту информацию, чтобы определить значение \ (\ грех (т) \).
Решение
Основным инструментом, который мы будем использовать, является пифагорейская идентичность, но имейте в виду, что конечной точкой дуги \ (t \) является точка \ ((\ cos (t), \ sin (t)) \).2 (t) = \ dfrac {21} {25} \]
Это означает, что \ (\ sin (t) = \ pm \ sqrt {\ dfrac {21} {25}} \), и поскольку конечная точка дуги \ ((t) \) находится в четвертом квадранте, мы знайте, что \ (\ sin (t) <0 \). Следовательно, \ (\ sin (t) = - \ sqrt {\ dfrac {21} {25}} \). Поскольку \ (\ sqrt {25} = 5 \), мы можем написать
\ [\ sin (t) = — \ sqrt {\ dfrac {21} {25}} = — \ dfrac {\ sqrt {21}} {5}. \]
Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)
- Если \ (\ cos (t) = \ dfrac {1} {2} \) и конечная точка дуги \ (t \) находится в четвертом квадранте, определите значение \ (\ sin (t) \).{2} (t) = \ dfrac {3} {4} \]
\ [\ sin (t) = \ pm \ dfrac {\ sqrt {3}} {4} \]
Обратите внимание, что мы не можем определить знак \ (\ sin (t) \), используя только пифагорейскую идентичность. Нам нужна дополнительная информация о дуге \ (t \). В этом случае нам дано, что конечная точка дуги \ (t \) находится в четвертом квадранте, и, следовательно, \ (\ sin (t) <0 \). Следовательно,
\ [\ sin (t) = — \ sqrt {\ dfrac {3} {4}} = — \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \]
2.
2 (t) = 1.\ nonumber \]7.6 Моделирование с помощью тригонометрических уравнений — Precalculus
Цели обучения
В этом разделе вы:
- Определите амплитуду и период синусоидальных функций.
- Модельные уравнения и синусоидальные функции графиков.
- Модель периодического поведения.
- Модель функций гармонического движения.
Рис. 1 Стрелки на часах периодические: они повторяют положение каждые двенадцать часов. (кредит: «zoutedrop» / Flickr)
Предположим, мы нанесли на карту средние дневные температуры в Нью-Йорке в течение одного года.Мы ожидаем увидеть самые низкие температуры в январе и феврале и самые высокие в июле и августе. Этот знакомый цикл повторяется год за годом, и если бы мы расширили график на несколько лет, он бы напомнил периодическую функцию.
Многие другие природные явления также являются периодическими. Например, фазы луны имеют период примерно 28 дней, и птицы знают, что летят на юг примерно в одно и то же время каждый год.
Итак, как мы можем смоделировать уравнение, отражающее периодическое поведение? Во-первых, мы должны собирать и записывать данные.Затем мы находим функцию, которая напоминает наблюдаемую закономерность. Наконец, мы вносим необходимые изменения в функцию, чтобы получить надежную модель. В этом разделе мы более подробно рассмотрим конкретные типы периодического поведения и уравнения модели для соответствия данным.
Определение амплитуды и периода синусоидальной функции
Любое движение, которое повторяется в течение фиксированного периода времени, считается периодическим движением и может быть смоделировано синусоидальной функцией. Амплитуда синусоидальной функции — это расстояние от средней линии до максимального значения или от средней линии до минимального значения.Средняя линия — это среднее значение. Синусоидальные функции колеблются выше и ниже средней линии, являются периодическими и повторяют значения в заданных циклах.
sin (x ± 2πk) = sinx и cos (x ± 2πk) = cosx, где k — целое число in (x ± 2πk) = sinx и cos (x ± 2πk) = cosx, где k — целое число Напомним из графиков функций синуса и косинуса, что период функции синуса и функции косинуса равен 2π.2π. Другими словами, для любого значения x, xСтандартная форма синусоидальных уравнений
Общие формы синусоидального уравнения представлены как
y = Asin (Bt − C) + D или y = Acos (Bt − C) + Dy = Asin (Bt − C) + D или y = Acos (Bt − C) + D, где амплитуда = | A |, Bamplitude = | A |, B относится к периоду, так что период = 2πB, C период = 2πB, C — это фазовый сдвиг, такой что CBCB обозначает горизонтальный сдвиг, а DD представляет вертикальный сдвиг от родительского графа графа.
Обратите внимание, что модели иногда записываются как y = asin (ωt ± C) + Dy = asin (ωt ± C) + D или y = acos (ωt ± C) + D, y = acos (ωt ± C) + D, а период равен 2πω.2πω.
Разница между графиками синуса и косинуса состоит в том, что график синуса начинается со среднего значения функции, а график косинуса начинается с максимального или минимального значения функции.
Пример 1
Демонстрация того, как свойства тригонометрической функции могут преобразовывать график
Покажите преобразование графика y = sinxy = sinx в график y = 2sin (4x − π2) +2.у = 2sin (4x − π2) +2.
Решение
Рассмотрим ряд графиков на рисунке 2 и то, как каждое изменение уравнения меняет изображение.
Рисунок 2 (a) Базовый график y = sinxy = sinx (b) Изменение амплитуды с 1 на 2 генерирует график y = 2sinx.y = 2sinx. (c) Период синусоидальной функции изменяется со значением B, B, так что период = 2πB. период = 2πB. Здесь B = 4, B = 4, что соответствует периоду π2.π2. График завершает один полный цикл в π2π2 единицах.(d) На графике отображается горизонтальный сдвиг, равный CB, CB или π24 = π8.π24 = π8. (e) Наконец, график сдвигается по вертикали на значение D. D. В этом случае график сдвигается вверх на 2 единицы.Пример 2
Нахождение амплитуды и периода функции
Найдите амплитуду и период следующих функций и нанесите на график один цикл.
- ⓐⓐ y = 2sin (14x) y = 2sin (14x)
- ⓑⓑ y = −3sin (2x + π2) y = −3sin (2x + π2)
- ⓒⓒ y = cosx + 3y = cosx + 3
Решение
Мы будем решать эти проблемы по моделям.
- ⓐ y = 2sin (14x) y = 2sin (14x) включает синус, поэтому мы используем форму
y = Asin (Bt + C) + Dy = Asin (Bt + C) + D
Мы знаем, что | A || A | — амплитуда, поэтому амплитуда равна 2. Период равен 2πB, 2πB, поэтому период равен
2πB = 2π14 = 8π2πB = 2π14 = 8πСм. График на рисунке 3.
Рисунок 3
- ⓑⓑ y = −3sin (2x + π2) y = −3sin (2x + π2) включает синус, поэтому мы используем форму
y = Asin (Bt − C) + Dy = Asin (Bt − C) + D
Амплитуда | A |, | A |, поэтому амплитуда | −3 | = 3. | −3 | = 3. Поскольку AA отрицательное, график отражается по оси x .Период равен 2πB, 2πB, поэтому период равен
.График сдвинут влево на CB = π22 = π4CB = π22 = π4 единиц. См. Рисунок 4.
Рисунок 4
- ⓒ y = cosx + 3y = cosx + 3 включает косинус, поэтому мы используем форму
y = Acos (Bt ± C) + Dy = Acos (Bt ± C) + D
Амплитуда равна | A |, | A |, поэтому амплитуда равна 1. Период равен 2π.2π. См. Рисунок 5. Это стандартная функция косинуса, сдвинутая на три единицы вверх.
Рисунок 5
Попробуй # 1
Каковы амплитуда и период функции y = 3cos (3πx)? Y = 3cos (3πx)?
Поиск уравнений и построение графиков синусоидальных функций
Один из методов построения графиков синусоидальных функций — найти пять ключевых точек.Эти точки будут соответствовать интервалам одинаковой длины, представляющим 1414 периодов.
Ключевые точки укажут расположение максимальных и минимальных значений. Если вертикального смещения нет, они также будут указывать на x -перехватывания. Например, предположим, что мы хотим построить график функции y = cosθ.y = cosθ. Мы знаем, что период равен 2π, 2π, поэтому мы находим интервал между ключевыми точками следующим образом.Начиная с θ = 0, θ = 0, мы вычисляем первое значение y- , прибавляем длину интервала π2π2 к 0 и вычисляем второе значение y .Затем мы добавляем π2π2 несколько раз, пока не будут определены пять ключевых точек. Последнее значение должно равняться первому значению, поскольку вычисления охватывают один полный период. Составив таблицу, подобную таблице 1, мы можем ясно увидеть эти ключевые точки на графике, показанном на рисунке 6.
θθ 00 π2π2 ππ 3π23π2 2π2π y = cosθy = cosθ 11 00 -1-1 00 11 Таблица 1
Рисунок 6
Пример 3
Графическое отображение синусоидальных функций с использованием ключевых точек
Изобразите график функции y = −4cos (πx) y = −4cos (πx), используя амплитуду, период и ключевые точки.
Решение
Амплитуда | −4 | = 4.
| −4 | = 4.
Период равен 2πω = 2ππ = 2.2πω = 2ππ = 2. (Напомним, что мы иногда называем BB как ω.) Ω.) Один цикл графа можно провести на интервале [0,2]. [0,2]. Чтобы найти ключевые точки, мы делим период на 4. Составим таблицу, аналогичную таблице 2, начиная с x = 0x = 0, а затем последовательно прибавляя 1212 к xx и вычисляя y.y. См. График на рисунке 7.xx 00 1212 11 3232 22 y = −4cos (πx) y = −4cos (πx) −4−4 00 44 00 −4−4 Таблица 2
Рисунок 7
Попробуй # 2
Изобразите график функции y = 3sin (3x) y = 3sin (3x), используя амплитуду, период и пять ключевых точек.
Моделирование периодического поведения
Теперь мы применим эти идеи к задачам, связанным с периодическим поведением.
Пример 4
Моделирование уравнения и построение синусоидального графика в соответствии с критериями
Средние месячные температуры для небольшого городка в Орегоне приведены в таблице 3. Найдите синусоидальную функцию вида y = Asin (Bt − C) + Dy = Asin (Bt − C) + D, которая соответствует данным (округлите до ближайшая десятая) и нарисуйте график.
Месяц Температура, ° F январь 42. 5Февраль 44,5 март 48,5 апрель 52,5 май 58 июнь 63 июль 68,5 август 69 сентябрь 64.5 Октябрь 55,5 ноябрь 46,5 декабрь 43,5 Таблица 3
Решение
Напомним, что амплитуда находится по формуле
A = наибольшее значение — наименьшее значение 2 A = наибольшее значение — наименьшее значение2Таким образом, амплитуда
| A | = 69−42.52 = 13,25 | A | = 69−42,52 = 13,25Данные охватывают период в 12 месяцев, поэтому 2πB = 122πB = 12, что дает B = 2π12 = π6.B = 2π12 = π6.
Вертикальный сдвиг определяется по следующему уравнению.
D = наибольшее значение + наименьшее значение2D = наибольшее значение + наименьшее значение2Таким образом, вертикальный сдвиг
D = 69 + 42,52 = 55,8 D = 69 + 42,52 = 55,8Итак, у нас есть уравнение y = 13,3sin (π6x − C) + 55,8.y = 13,3sin (π6x − C) +55,8.
Чтобы найти горизонтальный сдвиг, мы вводим значения xx и yy для первого месяца и решаем относительно C.
42,5 = 13,3 sin (π6 (1) −C) + 55,8−13,3 = 13,3 sin (π6 − C) −1 = sin (π6 − C) sinθ = −1 → θ = −π2π6 − C = −π2π6 + π2 = C = 2π3 42,5 = 13,3sin (π6 (1) −C) + 55,8−13,3 = 13,3sin (π6 − C) −1 = sin (π6 − C) sinθ = −1 → θ = −π2π6 − C = −π2π6 + π2 = C = 2π3 С.У нас есть уравнение y = 13,3sin (π6x − 2π3) + 55,8.y = 13,3sin (π6x − 2π3) +55,8. См. График на рисунке 8.
Рисунок 8
Пример 5
Описание периодического движения
Часовая стрелка больших часов на стене в Union Station имеет длину 24 дюйма.В полдень кончик часовой стрелки находится на высоте 30 дюймов от потолка. В 15:00 наконечник находится на высоте 54 дюйма от потолка, а в 18:00 — 78 дюймов. В 21:00 он снова находится в 54 дюймах от потолка, а в полночь кончик часовой стрелки возвращается в исходное положение в 30 дюймах от потолка. Пусть yy равно расстоянию от кончика часовой стрелки до потолка через xx часов после полудня. Найдите уравнение, моделирующее движение часов, и нарисуйте график.
Решение
Начните с составления таблицы значений, как показано в Таблице 4.
хх г.г точек для построения полдень 30 дюймов (0,30) (0,30) 15:00 54 дюйма (3,54) (3,54) 18:00 78 дюймов (6,78) (6,78) 9 вечера 54 дюйма (9,54) (9,54) полночь 30 дюймов (12,30) (12,30) Таблица 4
Чтобы смоделировать уравнение, нам сначала нужно найти амплитуду.
| A | = | 78−302 | = 24 | A | = | 78−302 | = 24Цикл часов повторяется каждые 12 часов. Таким образом,
B = 2π12 = π6B = 2π12 = π6Вертикальный сдвиг
D = 78 + 302 = 54 D = 78 + 302 = 54Горизонтального смещения нет, поэтому C = 0. C = 0. Поскольку функция начинается с минимального значения yy, когда x = 0x = 0 (в отличие от максимального значения), мы будем использовать функцию косинуса с отрицательным значением для A.A. В форме y = Acos (Bx ± C) + D, y = Acos (Bx ± C) + D уравнение
y = −24cos (π6x) + 54y = −24cos (π6x) +54См. рисунок 9.
Рисунок 9
Пример 6
Определение модели приливов
Высота прилива в небольшом прибрежном городке измеряется вдоль дамбы. Уровень воды колеблется от 7 футов во время отлива до 15 футов во время прилива. В определенный день отлив случился в 6 утра, а прилив — в полдень. Примерно каждые 12 часов цикл повторяется. Найдите уравнение для моделирования уровней воды.
Решение
Поскольку уровень воды изменяется от 7 футов до 15 футов, мы можем рассчитать амплитуду как
| A | = | (15−7) 2 | = 4 | A | = | (15−7) 2 | = 4Цикл повторяется каждые 12 часов; следовательно, BB —
Вертикальный перевод (15 + 7) 2 = 11.5. (15 + 7) 2 = 11,5. Поскольку значение функции является максимальным при t = 0, t = 0, мы будем использовать функцию косинуса с положительным значением для A.A.
y = 4cos (π6) t + 11y = 4cos (π6) t + 11См. Рисунок 10.
Рисунок 10
Попробуй # 3
Дневная температура в марте месяце в определенном городе колеблется от минимума 24 ° F24 ° F до максимума 40 ° F-40 ° F. Найдите синусоидальную функцию для моделирования суточной температуры и нарисуйте график. Приблизительно время, когда температура достигнет точки замерзания 32 ° F.
32 ° F. Пусть t = 0t = 0 соответствует полудню.Пример 7
Интерпретация уравнения периодического поведения
Среднее кровяное давление человека моделируется функцией f (t) = 20sin (160πt) + 100, f (t) = 20sin (160πt) +100, где f (t) f (t) представляет кровяное давление в момент времени. т, т, измеряется в минутах. Интерпретируйте функцию с точки зрения периода и частоты. Нарисуйте график и найдите значение артериального давления.
Решение
Период равен
2πω = 2π160π = 1802πω = 2π160π = 180В функции артериального давления частота представляет собой количество ударов сердца в минуту.Частота обратно пропорциональна периоду и выражается в
. ω2π = 160π2π = 80ω2π = 160π2π = 80См. График на рисунке 11.
Рисунок 11 Показание артериального давления на графике составляет 12080 (максимум-минимум), 12080 (максимум-минимум).Анализ
Артериальное давление 1208012080 считается нормальным. Верхнее число — это максимальное или систолическое значение, которое измеряет давление в артериях при сокращении сердца. Нижнее число — это минимальное или диастолическое значение, которое измеряет давление в артериях, когда сердце расслабляется между ударами, наполняясь кровью.Таким образом, нормальное кровяное давление можно моделировать с помощью периодической функции с максимумом 120 и минимумом 80.
Моделирование функций гармонического движения
Гармоническое движение — это форма периодического движения, но есть факторы, которые следует учитывать, чтобы различать эти два типа. В то время как обычные приложения с периодическим движением циклически проходят через свои периоды без внешнего вмешательства, для гармонического движения требуется возвращающая сила. Примеры гармонического движения включают пружины, гравитационную силу и магнитную силу.
Простое гармоническое движение
Тип движения, описываемый как простое гармоническое движение, включает в себя возвращающую силу, но предполагает, что движение будет продолжаться вечно. Представьте себе взвешенный объект, висящий на пружине. Когда этот объект не трогают, мы говорим, что объект находится в состоянии покоя или в состоянии равновесия. Если объект опускается, а затем отпускается, сила пружины тянет его обратно к равновесию, и начинается гармоническое движение. Возвращающая сила прямо пропорциональна смещению объекта из точки равновесия.Когда t = 0, d = 0. t = 0, d = 0.
Простое гармоническое движение
Мы видим, что простые уравнения гармонического движения задаются в единицах смещения:
d = acos (ωt) или d = asin (ωt) d = acos (ωt) или d = asin (ωt), где | a || a | — амплитуда, 2πω2πω — период, а ω2πω2π — частота или количество циклов в единицу времени.
Пример 8
Нахождение смещения, периода и частоты и построение графика функции
Для данных функций
- Найдите максимальное смещение объекта.
- Найдите период или время, необходимое для одной вибрации.
- Найдите частоту.
- Нарисуйте график.
- ⓐ y = 5sin (3t) y = 5sin (3t)
- ⓑ y = 6cos (πt) y = 6cos (πt)
- ⓒ y = 5cos (π2t) y = 5cos (π2t)
Решение
- ⓐ y = 5sin (3t) y = 5sin (3t)
- Максимальное смещение равно амплитуде | a |, | a |, которая равна 5.
- Период равен 2πω = 2π3,2πω = 2π3.
- Частота задается как ω2π = 32π.ω2π = 32π.
- См. Рисунок 12. На графике показаны пять ключевых точек.
Рисунок 12
- ⓑ
y = 6cos (πt) y = 6cos (πt)
- Максимальное смещение составляет 6,6.
- Период равен 2πω = 2ππ = 2. 2πω = 2ππ = 2.
- Частота ω2π = π2π = 12. ω2π = π2π = 12.
- См. Рисунок 13.
Рисунок 13
- ⓒ
y = 5cos (π2) ty = 5cos (π2) t
- Максимальное смещение составляет 5,5.
- Период равен 2πω = 2ππ2 = 4.2πω = 2ππ2 = 4.
- Частота 14.14.
- См. Рисунок 14.
Рисунок 14
Затухание гармонического движения
На самом деле, маятник не раскачивается взад и вперед вечно, а объект на пружине не колеблется вечно вверх и вниз. В конце концов, маятник перестает раскачиваться, и объект перестает подпрыгивать, и оба возвращаются в состояние равновесия. Периодическое движение, в котором действует сила, рассеивающая энергию, или коэффициент демпфирования, известно как затухающее гармоническое движение.Фактором демпфирования обычно является трение.
В физике используются различные формулы для расчета коэффициента демпфирования движущегося объекта. Некоторые из этих формул основаны на исчислении и содержат производные. Для наших целей мы будем использовать формулы для основных моделей затухающих гармонических движений.
Затухание гармонического движения
При затухающем гармоническом движении смещение колеблющегося объекта из его положения покоя в момент времени tt задается как
f (t) = ae − ctsin (ωt) orf (t) = ae − ctcos (ωt) f (t) = ae − ctsin (ωt) orf (t) = ae − ctcos (ωt), где cc — демпфирующее фактор, | a || a | — начальное смещение, а 2πω2πω — период.
Пример 9
Моделирование затухающего гармонического движения
Смоделируйте уравнения, которые соответствуют двум сценариям, и используйте графическую утилиту для построения графиков функций: Две системы масса-пружина демонстрируют затухающее гармоническое движение с частотой 0,50,5 цикла в секунду. Оба имеют начальное смещение 10 см. Первый имеет коэффициент демпфирования 0,50,5, а второй — 0,1,0,1.
Решение
В момент времени t = 0, t = 0 смещение составляет максимум 10 см, что требует функции косинуса.Функция косинуса будет применяться к обеим моделям.
Нам дана частота f = ω2πf = ω2π 0,5 цикла в секунду. Таким образом,
ω2π = 0,5 ω = (0,5) 2π = π ω2π = 0,5 ω = (0,5) 2π = πПервая пружинная система имеет коэффициент демпфирования c = 0,5.c = 0,5. Следуя общей модели затухающего гармонического движения, мы имеем
f (t) = 10e − 0,5tcos (πt) f (t) = 10e − 0,5tcos (πt)Рисунок 15 моделирует движение первой пружинной системы.
Рисунок 15
Вторая пружинная система имеет коэффициент демпфирования c = 0.1c = 0,1 и может быть смоделирован как
f (t) = 10e − 0,1tcos (πt) f (t) = 10e − 0,1tcos (πt)Рисунок 16 моделирует движение второй пружинной системы.
Рисунок 16
Анализ
Обратите внимание на различные эффекты постоянной демпфирования. Локальные максимальное и минимальное значения функции с коэффициентом затухания c = 0,5c = 0,5 убывают намного быстрее, чем у функции с c = 0,1.c = 0,1.
Пример 10
Нахождение функции косинуса, моделирующей затухающее гармоническое движение
Найдите и изобразите функцию вида y = ae − ctcos (ωt) y = ae − ctcos (ωt), которая моделирует данную информацию.
- ⓐ a = 20, c = 0,05, p = 4a = 20, c = 0,05, p = 4
- ⓑ a = 2, c = 1,5, f = 3a = 2, c = 1,5, f = 3
Решение
Подставить указанные значения в модель. Напомним, что период равен 2πω2πω, а частота равна ω2π.ω2π.
- ⓐ y = 20e − 0,05tcos (π2t). Y = 20e − 0,05tcos (π2t). См. Рисунок 17.
Рисунок 17
- ⓑ y = 2e − 1,5tcos (6πt). Y = 2e − 1,5tcos (6πt). См. Рисунок 18.
Рисунок 18
Попробуй # 4
Следующее уравнение представляет модель затухающего гармонического движения: f (t) = 5e − 6tcos (4t) f (t) = 5e − 6tcos (4t) Найдите начальное смещение, постоянную демпфирования и частоту.
Пример 11
Нахождение синусоидальной функции, моделирующей затухающее гармоническое движение
Найдите и изобразите на графике функцию вида y = ae − ctsin (ωt) y = ae − ctsin (ωt), которая моделирует данную информацию.
- ⓐ a = 7, c = 10, p = π6a = 7, c = 10, p = π6
- ⓑ a = 0,3, c = 0,2, f = 20a = 0,3, c = 0,2, f = 20
Решение
Рассчитайте значение ωω и подставьте известные значения в модель.
- ⓐ Поскольку период равен 2πω, 2πω, имеем
π6 = 2πωωπ = 6 (2π) ω = 12 π6 = 2πωωπ = 6 (2π) ω = 12
Коэффициент демпфирования равен 10, а амплитуда равна 7.Таким образом, модель y = 7e − 10цин (12t) .y = 7e − 10tsin (12t). См. Рисунок 19.
Рисунок 19
- ⓑ Поскольку частота равна ω2π, ω2π, имеем
20 = ω2π40π = ω 20 = ω2π40π = ω
Коэффициент демпфирования равен 0,20,2, а амплитуда — 0,3,0,3. Модель имеет вид y = 0,3e − 0,2tsin (40πt). Y = 0,3e − 0,2tsin (40πt). См. Рисунок 20.
Рисунок 20
Анализ
Сравнение последних двух примеров показывает, как мы выбираем между функциями синуса и косинуса для моделирования синусоидальных критериев.Мы видим, что функция косинуса находится в максимальном смещении, когда t = 0, t = 0, а функция синуса находится в точке равновесия, когда t = 0. t = 0. Например, рассмотрим уравнение y = 20e − 0,05tcos (π2t) y = 20e − 0,05tcos (π2t) из примера 10. Из графика видно, что при t = 0, y = 20, t = 0, y = 20 — начальная амплитуда. Проверьте это, установив t = 0t = 0 в уравнении косинуса:
y = 20e − 0,05 (0) cos (π2) (0) = 20 (1) (1) = 20y = 20e − 0,05 (0) cos (π2) (0) = 20 (1) (1) = 20Использование функции синуса дает
у = 20e − 0.05 (0) sin (π2) (0) = 20 (1) (0) = 0y = 20e − 0,05 (0) sin (π2) (0) = 20 (1) (0) = 0Таким образом, косинус правильная функция.
Попробуй # 5
Напишите уравнение для затухающего гармонического движения при a = 10, c = 0,5, a = 10, c = 0,5 и p = 2, p = 2.
Пример 12
Моделирование колебаний пружины
Пружина естественной длины 10 дюймов сжимается на 5 дюймов и отпускается. Он колеблется каждые 3 секунды, а его амплитуда уменьшается на 30% каждую секунду.Найдите уравнение, моделирующее положение пружины в секундах после отпускания.
Решение
Амплитуда начинается с 5 дюймов и уменьшается на 30% каждую секунду. Поскольку пружина изначально сжата, мы запишем A как отрицательное значение. Мы можем записать амплитудную часть функции как
A (t) = 5 (1−0,30) tA (t) = 5 (1−0,30) tПоложим (1−0.30) t (1−0.30) t в виде ectect следующим образом:
0,7 = ec c = ln 7 c = -0,3570,7 = ec c = ln.7 с = -0,357Теперь обратимся к периоду. Пружина меняет свое положение каждые 3 секунды, это период, и мы можем использовать формулу, чтобы найти омегу.
3 = 2πωω = 2π33 = 2πωω = 2π3Естественная длина 10 дюймов — это средняя линия. Мы будем использовать функцию косинуса, поскольку пружина начинает с максимального смещения. Эта часть уравнения представлена как
y = cos (2π3t) + 10y = cos (2π3t) +10Наконец, мы объединили обе функции. Наша модель для положения пружины в tt секунд задается как
. у = -5e-0.357tcos (2π3t) + 10y = −5e − 0,357tcos (2π3t) +10См. График на рисунке 21.
Рисунок 21
Попробуй # 6
Груз, подвешенный на пружине, поднимается на 5 см над своим положением покоя. Масса высвобождается в момент времени t = 0t = 0 и может колебаться. По прошествии 1313 секунд можно заметить, что масса возвращается в свое наивысшее положение. Найдите функцию для моделирования этого движения относительно его исходного положения покоя.
Пример 13
Определение значения постоянной демпфирования
c в соответствии с заданными критериямиСтруна гитары перещипывается и колеблется в затухающем гармоническом движении.Струна натягивается и смещается на 2 см от исходного положения. Через 3 секунды смещение струны составляет 1 см. Найдите постоянную затухания.
Решение
Коэффициент смещения представляет собой амплитуду и определяется коэффициентом ae − ctae − ct в модели затухающего гармонического движения. Константа демпфирования включается в член e − ct.e − ct. Известно, что через 3 секунды локальный максимум составляет половину своего первоначального значения. Следовательно, мы имеем уравнение
ae − c (t + 3) = 12ae − ctae − c (t + 3) = 12ae − ctИспользуйте алгебру и законы экспонент, чтобы найти c.c.
ae − c (t + 3) = 12ae − cte − ct⋅e − 3c = 12e − ct Разделить ae − 3c = 12 Разделить e − ct.e3c = 2 Взять обратные .ae − c (t + 3) = 12ae − cte −ct⋅e − 3c = 12e − ct Разделить ae − 3c = 12 Разделить e − ct.e3c = 2 Взять обратные.Тогда воспользуйтесь законами логарифмов.
e3c = 23c = ln (2) c = ln (2) 3e3c = 23c = ln (2) c = ln (2) 3Константа демпфирования равна ln (2) 3.ln (2) 3.
Граничные кривые в гармоническом движении
Графики гармонического движения могут быть заключены в ограничительные кривые. Когда функция имеет изменяющуюся амплитуду, так что амплитуда возрастает и падает несколько раз в течение периода, мы можем определить ограничивающие кривые по части функции.
Пример 14
Построение осциллирующей косинусоидальной кривой
Изобразите график функции f (x) = cos (2πx) cos (16πx). F (x) = cos (2πx) cos (16πx).
Решение
График, созданный этой функцией, будет состоять из двух частей.
Первый график будет точной функцией f (x) f (x) (см. Рисунок 22), а второй график — точной функцией f (x) f (x) плюс ограничивающая функция (см. Рисунок 23. Графики выглядят так) совсем другое.Рисунок 22
Рисунок 23
Анализ
Кривые y = cos (2πx) y = cos (2πx) и y = −cos (2πx) y = −cos (2πx) являются ограничивающими кривыми: они ограничивают функцию сверху и снизу, отслеживая верхнюю и нижнюю точки. .График гармонического движения находится внутри ограничивающих кривых. Это пример функции, амплитуда которой не только уменьшается со временем, но фактически увеличивается и уменьшается в несколько раз за период.
7.6 Упражнения по разделам
Устные
1.Объясните, какие типы физических явлений лучше всего моделируются синусоидальными функциями. Какие характеристики необходимы?
2.Какая информация необходима для построения тригонометрической модели дневной температуры? Приведите примеры двух различных наборов информации, которые позволят моделировать с помощью уравнения.
3.Если мы хотим смоделировать совокупное количество осадков в течение года, будет ли синусоидальная функция хорошей моделью? Почему или почему нет?
4.Объясните влияние коэффициента демпфирования на графики функций гармонического движения.
Алгебраический
Для следующих упражнений найдите возможную формулу для тригонометрической функции, представленной данной таблицей значений.
5.
6.xx yy 00 −4−4 33 -1-1 66 22 99 -1-1 1212 −4−4 1515 -1-1 1818 22
7.xx yy 00 55 22 11 44 −3−3 66 11 88 55 1010 11 1212 −3−3
8.xx yy 00 22 π4π4 77 π2π2 22 3π43π4 −3−3 ππ 22 5π45π4 77 3π23π2 22
9.xx yy 00 11 11 −3−3 22 −7−7 33 −3−3 44 11 55 −3−3 66 −7−7
10.xx yy 00 −2−2 11 44 22 1010 33 44 44 −2−2 55 44 66 1010
11.xx yy 00 55 11 −3−3 22 55 33 1313 44 55 55 −3−3 66 55
12.хх гг −3−3 −1−2−1−2 −2−2 −1−1 -1-1 1-21-2 00 00 11 2-12-1 22 11 33 2 + 12 + 1 xx гг -1-1 3-23-2 00 00 11 2-32-3 22 3333 33 11 44 33 55 2 + 32 + 3 Графический
Для следующих упражнений постройте график заданной функции, а затем найдите возможный физический процесс, который можно смоделировать с помощью уравнения.
13.f (x) = — 30cos (xπ6) −20cos2 (xπ6) +80 [0,12] f (x) = — 30cos (xπ6) −20cos2 (xπ6) +80 [0,12]
14.f (x) = — 18cos (xπ12) −5sin (xπ12) + 100f (x) = — 18cos (xπ12) −5sin (xπ12) +100 на интервале [0,24] [0,24]
15.f (x) = 10 − sin (xπ6) + 24tan (xπ240) f (x) = 10 − sin (xπ6) + 24tan (xπ240) на интервале [0,80] [0,80]
Технологии
Для следующего упражнения создайте поведение моделирования функции и воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти желаемые результаты.
16.Среднее годовое количество осадков в городе в настоящее время составляет 20 дюймов и меняется в зависимости от сезона на 5 дюймов.Из-за непредвиденных обстоятельств количество осадков уменьшается на 15% каждый год. Через сколько лет мы ожидаем, что количество осадков вначале достигнет 0 дюймов? Обратите внимание, что модель недействительна, если она предсказывает отрицательные осадки, поэтому выберите первую точку, в которой оно опускается ниже 0.
Реальные приложения
Для следующих упражнений постройте синусоидальную функцию с предоставленной информацией, а затем решите уравнение для требуемых значений.
17.Наружные температуры в течение дня можно смоделировать как синусоидальную функцию.Предположим, что высокая температура 105 ° F105 ° F возникает в 17:00, а средняя дневная температура составляет 85 ° F,85 ° F. Найдите температуру с точностью до градуса в 9 утра.
18.Наружная температура в течение дня может быть смоделирована как синусоидальная функция. Предположим, что высокая температура 84 ° F84 ° F возникает в 18:00, а средняя дневная температура составляет 70 ° F.70 ° F. Найдите температуру с точностью до градуса в 7 утра.
19.Наружная температура в течение дня может быть смоделирована как синусоидальная функция.Предположим, что температура колеблется от 47 ° F47 ° F до 63 ° F63 ° F в течение дня, а средняя дневная температура сначала возникает в 10:00. Через сколько часов после полуночи температура впервые достигает 51 ° F? 51 ° F?
20.Наружные температуры в течение дня можно смоделировать как синусоидальную функцию. Предположим, что температура колеблется от 64 ° F64 ° F до 86 ° F86 ° F в течение дня, а средняя дневная температура сначала возникает в 12 часов утра. Через сколько часов после полуночи температура впервые достигает 70 ° F? 70 ° F?
21.Колесо обозрения имеет диаметр 20 метров, на него можно подняться с платформы, находящейся на высоте 2 метров над землей. Шесть часов на колесе обозрения находится на уровне погрузочной платформы. Колесо совершает 1 полный оборот за 6 минут. Какая часть поездки в минутах и секундах проходит на высоте более 13 метров над землей?
22.Колесо обозрения имеет диаметр 45 метров и поднимается на него с платформы, находящейся на высоте 1 метра над землей. Шесть часов на колесе обозрения находится на уровне погрузочной платформы.Колесо совершает 1 полный оборот за 10 минут.
23. Сколько минут поездки вы проводите на высоте более 27 метров над землей? Округлить до секундыПлощадь морского льда вокруг Северного полюса колеблется от примерно 6 миллионов квадратных километров 1 сентября до 14 миллионов квадратных километров 1 марта. Если предположить синусоидальную флуктуацию, когда количество морского льда меньше 9 миллионов квадратных километров? Дайте свой ответ в виде диапазона дат с точностью до ближайшего дня.
24.Площадь морского льда вокруг Южного полюса колеблется от примерно 18 миллионов квадратных километров в сентябре до 3 миллионов квадратных километров в марте.Предполагая синусоидальное колебание, когда имеется более 15 миллионов квадратных километров морского льда? Дайте свой ответ в виде диапазона дат с точностью до ближайшего дня.
25.В течение 90-дневного сезона дождей суточное количество осадков можно смоделировать с помощью синусоидальных функций. Если количество осадков колеблется от минимума 2 дюймов в 10-й день до 12 дюймов на 55-й день, в течение какого периода ежедневное количество осадков превышает 10 дюймов?
26.В течение 90-дневного сезона дождей суточное количество осадков можно смоделировать с помощью синусоидальных функций.На 30-й день было зарегистрировано минимальное количество осадков в 4 дюйма, а в целом среднесуточное количество осадков составило 8 дюймов. В какой период ежедневное количество осадков составляло менее 5 дюймов?
27.В определенном регионе месячное количество осадков достигает пика в 8 дюймов 1 июня и падает до 1 дюйма 1 декабря. Определите периоды, когда регион находится в условиях наводнения (более 7 дюймов) и засухи (менее более 2 дюймов). Дайте свой ответ в терминах ближайшего дня.
28.В определенном регионе месячное количество осадков достигает максимума в 24 дюйма в сентябре и падает до минимума в 4 дюйма в марте.Определите периоды, когда регион находится в условиях наводнения (более 22 дюймов) и засухи (менее 5 дюймов). Дайте свой ответ в терминах ближайшего дня.
Для следующих упражнений найдите амплитуду, период и частоту данной функции.
29.Смещение h (t) h (t) в сантиметрах массы, подвешенной на пружине, моделируется функцией h (t) = 8sin (6πt), h (t) = 8sin (6πt), где tt измеряется в секундах. Найдите амплитуду, период и частоту этого смещения.
30.Смещение h (t) h (t) в сантиметрах массы, подвешенной на пружине, моделируется функцией h (t) = 11sin (12πt), h (t) = 11sin (12πt), где tt — измеряется в секундах. Найдите амплитуду, период и частоту этого смещения.
31.Смещение h (t) h (t) в сантиметрах массы, подвешенной на пружине, моделируется функцией h (t) = 4cos (π2t), h (t) = 4cos (π2t), где tt — измеряется в секундах. Найдите амплитуду, период и частоту этого смещения.
Для следующих упражнений составьте уравнение, моделирующее описанное поведение.
32.Перемещение h (t), h (t), в сантиметрах, массы, подвешенной на пружине, моделируется функцией h (t) = — 5cos (60πt), h (t) = — 5cos (60πt ), где tt измеряется в секундах. Найдите амплитуду, период и частоту этого смещения.
Для следующих упражнений составьте уравнение, моделирующее описанное поведение.
33.Популяция оленей колеблется на 19 выше и ниже среднего в течение года, достигая самого низкого значения в январе. Средняя популяция начинается с 800 оленей и увеличивается на 160 каждый год.Найдите функцию, которая моделирует население P, P по месяцам, начиная с января, т.н.
34.Популяция кроликов колеблется на 15 выше и ниже среднего в течение года, достигая самого низкого значения в январе. Средняя популяция начинается с 650 кроликов и увеличивается на 110 каждый год. Найдите функцию, которая моделирует население P, P по месяцам, начиная с января, т.н.
35.Популяция ондатры колеблется на 33 выше и ниже среднего в течение года, достигая самого низкого значения в январе.Средняя численность популяции начинается с 900 ондатр и увеличивается на 7% каждый месяц. Найдите функцию, которая моделирует население P, P по месяцам, начиная с января, т.
36. н.Популяция рыб колеблется на 40 выше и ниже среднего в течение года, достигая самого низкого значения в январе. Средняя популяция начинается с 800 рыб и увеличивается на 4% каждый месяц. Найдите функцию, которая моделирует население P, P по месяцам, начиная с января, т.н.
37.Пружина, прикрепленная к потолку, опускается на 10 см вниз от равновесия и отпускается.Амплитуда уменьшается на 15% каждую секунду. Пружина колеблется 18 раз в секунду. Найдите функцию, которая моделирует расстояние D, D до конца пружины от положения равновесия в секундах, t, t, с момента отпускания пружины.
38.Пружина, прикрепленная к потолку, опускается на 7 см вниз от равновесия и отпускается. Амплитуда уменьшается на 11% каждую секунду. Пружина колеблется 20 раз в секунду. Найдите функцию, которая моделирует расстояние D, D до конца пружины от положения равновесия в секундах, t, t, с момента отпускания пружины.
39.Пружина, прикрепленная к потолку, опускается на 17 см вниз от равновесия и отпускается. Через 3 секунды амплитуда уменьшилась до 13 см. Пружина колеблется 14 раз в секунду. Найдите функцию, которая моделирует расстояние D, D до конца пружины от положения равновесия в секундах, t, t, с момента отпускания пружины.
40.Пружина, прикрепленная к потолку, опускается на 19 см вниз от равновесия и отпускается. Через 4 секунды амплитуда уменьшилась до 14 см.Пружина колеблется 13 раз в секунду. Найдите функцию, которая моделирует расстояние D, D до конца пружины от положения равновесия в секундах, t, t, с момента отпускания пружины.
Для следующих упражнений создайте функцию, моделирующую описанное поведение. Затем рассчитайте желаемый результат с помощью калькулятора.
41.В настоящее время на одном озере средняя популяция форели составляет 20 000 человек. Население, естественно, колеблется выше и ниже среднего на 2000 человек каждый год.В этом году озеро открыли для рыбаков. Если рыбаки вылавливают 3000 рыб каждый год, сколько времени понадобится, чтобы в озере закончилась форель?
42.В настоящее время популяция сига в озере составляет 500 особей. Население естественно колеблется выше и ниже на 25 человек каждый год. Если люди чрезмерно ловят рыбу, что составляет 4% населения каждый год, через сколько лет в озере впервые будет меньше 200 сигов?
43.Пружина, прикрепленная к потолку, опускается на 11 см от равновесия и отпускается.Через 2 секунды амплитуда уменьшилась до 6 см. Пружина колеблется 8 раз в секунду. Найдите, когда пружина впервые достигает значения от -0,1-0,1 до 0,1 см, 0,1 см, фактически в состоянии покоя.
44.Пружина, прикрепленная к потолку, опускается на 21 см от равновесия и отпускается. Через 6 секунд амплитуда уменьшилась до 4 см. Пружина колеблется 20 раз в секунду. Найдите, когда пружина впервые достигает значения от -0,1-0,1 до 0,1 см, 0,1 см, фактически в состоянии покоя.
45.Две пружины снимаются с потолка и отпускаются одновременно.Первая пружина, которая колеблется 8 раз в секунду, изначально была опущена на 32 см от положения равновесия, и ее амплитуда уменьшается на 50% каждую секунду. Вторая пружина, колеблющаяся 18 раз в секунду, сначала была опущена на 15 см от положения равновесия и через 4 секунды имела амплитуду 2 см. Какая весна наступает первой и в какое время? Считайте «покой» амплитудой менее 0,1 см. 0,1 см.
46. Две пружины снимаются с потолка и отпускаются одновременно.Первая пружина, которая колеблется 14 раз в секунду, изначально была опущена на 2 см от положения равновесия, и ее амплитуда уменьшается на 8% каждую секунду. Вторая пружина, колеблющаяся 22 раза в секунду, сначала была опущена на 10 см от положения равновесия и через 3 секунды имела амплитуду 2 см. Какая весна наступает первой и в какое время? Считайте «покой» амплитудой менее 0,1 см. 0,1 см.
Расширения
47.Самолет летит 1 час со скоростью 150 миль в час на 22∘22 к востоку от севера, затем продолжает лететь еще 1 час.5 часов на скорости 120 миль в час, на этот раз по азимуту 112∘112∘ к востоку от севера.
48. Найдите общее расстояние от начальной точки и прямой угол полета к северу от востока.Самолет летит 2 часа со скоростью 200 миль в час с пеленгом 60∘, 60∘, затем продолжает лететь 1,5 часа с той же скоростью, на этот раз по пеленгу 150∘150∘. Найдите расстояние от начальной точки и азимут от начальной точки. Подсказка: азимут измеряется против часовой стрелки с севера.
Для следующих упражнений найдите функцию вида y = abx + csin (π2x) y = abx + csin (π2x), которая соответствует заданным данным.
49.
50.xx 0 1 2 3 гг 6 29 96 379 xx 0 1 2 3 гг 6 34 150 746 Для следующих упражнений найдите функцию вида y = abxcos (π2x) + cy = abxcos (π2x) + c, которая соответствует заданным данным.
53.хх 0 1 2 3 гг 4 1 −11 1 Расчет f) cos 5pi / 4 g) cos 5pi / 3 h) cos o
14) Dona Neusa deseja comprar uma geladeira nova, sem parcelar, à vista.
Соблюдайте os cálculos que ela fez dosuas despesas.26 — De acordo com a função f (x) = 5x — 7 ответов: a) Qual é o gráfico que a репрезентация; b) Qual é o coeficiente angular; c) Qual é o coeficiente linear; … г) Qual é o nome dado; e) Ela é crescente ou decrescente? Porquê? F) Qual é a raiz.
ASSUNTO: ANGULOS REPLEMENTARES EQUAÇÃO DO 1º GRAU A razão entre dois ângulos suplementares é é igual a 7/29. Então o complemento do menor ângulo é igual … а: * 55 ° 58 ° 60 ° 63 ° 70 °
2. Может ли быть сделано решение в вашей жизни? Magbigay ng isang halimbawa
1.Kailangan bang pinag-iisipan ang pagpapasiya or pagdedesisyon? Бакит?
1 150mBelo HorizonteCidade do MéxicoQuito2240m () Сан-Паулу (8) Кито12850м8. Соблюдайте число и ответы как вопросы: 18 676 958a) O valor posicional d … o algarismo 7 no número acima é 🙁 *) 7) 700 () 7000) 70 000b) O algarismo de maior valor posicional é :() 1 () 8 () 6 (x 19c) O algarismo que ocupa a dezena de milhar é :() 5 () 7 () 5 () 9S1 9- RODRIGO COMPROU UM SABÃO EM PÓ, UM PACOTE DE ARROZ, UM PACOTE | DE TRIGO E UM PACOTE DE CAFÉ.NA HORA DE PAGAR CONSULTOU A TABELA DEPREGOS E DEU 100,00 реалов AO CAIXA. QUANTO RECEBEU DE TROCO ?.
Nesse triângulo, qual é o valor de X? A) 14b) 16c) 18d) 20e) 22.
Gente me exploiquem essa aqui se puderem eu não entendi !!!!!! Paulo efetuou corretamente a multiplicação entre as seguintes notação 1.5. 10 (-8) е 6,3 .1 … 0 (-7) O valor que Pauloencontrou foi: A. 9,45. 10 (-5) Б. 9,45. 10 (2) С 9,45. 10 (-1) ДИ 9.4. 10 (-1)
Знаний ботаников: что такое Пи?
Вкратце, пи, которое пишется как греческая буква, обозначающая р или π, является отношением длины окружности любого круга к диаметру этого круга.Независимо от размера круга это отношение всегда будет равно пи.
Значение пи в десятичной форме приблизительно равно 3,14. Однако пи — иррациональное число, что означает, что его десятичная форма не заканчивается (например, 1/5 = 0,20) и не становится повторяющейся (например, 1/3 = 0,133333…).
Пи составляет 3,141592653589793238 до 18 знаков после запятой.Связано: История «Дня Пи»
Хотя точного значения числа Пи нет, многие математики и энтузиасты математики заинтересованы в вычислении числа Пи как можно большего числа цифр.Раджвир Мина из Индии, который в 2015 году произнес число «пи» с точностью до 70 000 знаков после запятой (с завязанными глазами), занесен в Книгу рекордов Гиннеса по количеству цифр числа «пи». Между тем математики, использующие суперкомпьютеры, вычислили значение числа Пи более чем с 22 триллионами цифр.
По словам Натана Хэмлина, математика и преподавателя Вашингтонского государственного университета,
«Пи — это часть природы круга. Если бы соотношение было другим, это не было бы круга ».
Пи был открыт древними вавилонянами.Они вычислили площадь круга, взяв в 3 раза квадрат его радиуса, что дало значение пи = 3. Одна вавилонская табличка, ок. 1900–1680 гг. До н.э. означает более близкое приближение, равное 3,125.
Папирус Райнда (около 1650 г. до н.э.) указывает, что египтяне вычислили площадь круга по формуле, которая дала приблизительное значение 3,1605 для π.
Греческий математик Архимед (287-212 до н. Э.) И китайский математик Цзу Чунчжи (429-501 до н. Э.)E.) оба получили признание за вычисление наиболее точных приближений числа Пи до появления исчислений и компьютеров.
Есть даже библейский стих, где появляется очевидное приближение к пи: «И сделал он расплавленное море в десять локтей от края до края; оно было кругом, и высота его была пять локтей, и линия Около тридцати локтей его окружали. — 3 Царств 7:23 (Версия короля Якова)
Архимед аппроксимировал площадь круга, используя теорему Пифагора, чтобы найти площади двух правильных многоугольников: многоугольника, вписанного в круг, и многоугольника, внутри которого была описана круг.Истинная площадь круга лежит между областями вписанных и описанных многоугольников, поэтому площади многоугольников давали верхнюю и нижнюю границы площади круга. Это позволило Архимеду приблизиться к тому, что π находится между 3 1/7 и 3 10/71.
Согласно «Истории Пи» Питера Бекманна, греческая буква π впервые была использована британским математиком-самоучкой Уильямом Джонсом в 1706 году, вероятно, как сокращение от периферии. Позднее использование символа стало популярным благодаря швейцарскому математику 18-го века Леонхарду Эйлеру, но не было повсеместно принято до 1934 года.
Пи широко используется в науке и математике. Он используется для получения значений в тригонометрии, таких как синус, косинус и тангенс. Он используется для измерения круговой скорости таких вещей, как колеса грузовиков, валы двигателей, детали двигателя и шестерни, а также измеряет напряжение на катушке и конденсаторе. Фактически, в источниках питания есть схема фильтрации для блокировки высоких частот, которая включает в себя два конденсатора, идущих на землю, соединенных индуктором, таким образом образуя символ для числа пи.
Pi имеет множество повседневных применений, таких как помощь инженерам в выяснении того, как направить антенну на спутник при любых обстоятельствах, позволяя контроллеру управлять двигателем для перемещения исполнительного механизма для управления закрылками на самолете, помогая инженерам рассчитать размер гигантского цилиндры, используемые в нефтеперерабатывающем оборудовании и рулоны бумаги для принтеров, и определение объема резервуаров для хранения горячей воды.
Пи можно найти не только в кругах, но и в дугах, маятниках и в межпланетной навигации.
Pi даже нашел свое место в мире литературы. Пилиш — это диалект английского языка, в котором количество букв в последовательных словах следует за цифрами пи. Ниже приводится отрывок из «Not A Wake» Майка Кейта, который является первой книгой, полностью написанной на пилише:
«Теперь я падаю, усталый житель пригорода в жидкости под деревьями, Дрейфую рядом с лесами, тлеющими красными в сумерках над Европой». «Сейчас» имеет 3 буквы, «Я» — 1 букву, «осень» — 4 буквы, «а» — 1 букву и т.
- Если \ (\ cos (t) = \ dfrac {1} {2} \) и конечная точка дуги \ (t \) находится в четвертом квадранте, определите значение \ (\ sin (t) \).{2} (t) = \ dfrac {3} {4} \]
- Поскольку \ (0 <\ dfrac {\ pi} {5} <\ dfrac {\ pi} {2} \), конечная точка дуги \ (\ dfrac {\ pi} {5} \) находится в первый квадрант.
2 = (a + b) (a — b) \]
2 (t) = 1.\ nonumber \]
Напомним из графиков функций синуса и косинуса, что период функции синуса и функции косинуса равен 2π.2π. Другими словами, для любого значения x, x
D. В этом случае график сдвигается вверх на 2 единицы.
Ключевые точки укажут расположение максимальных и минимальных значений. Если вертикального смещения нет, они также будут указывать на x -перехватывания. Например, предположим, что мы хотим построить график функции y = cosθ.y = cosθ. Мы знаем, что период равен 2π, 2π, поэтому мы находим интервал между ключевыми точками следующим образом.
| −4 | = 4.
Период равен 2πω = 2ππ = 2.2πω = 2ππ = 2. (Напомним, что мы иногда называем BB как ω.) Ω.) Один цикл графа можно провести на интервале [0,2]. [0,2]. Чтобы найти ключевые точки, мы делим период на 4. Составим таблицу, аналогичную таблице 2, начиная с x = 0x = 0, а затем последовательно прибавляя 1212 к xx и вычисляя y.y. См. График на рисунке 7.
5
С.
32 ° F. Пусть t = 0t = 0 соответствует полудню..png)
2πω = 2ππ = 2.
Первый график будет точной функцией f (x) f (x) (см. Рисунок 22), а второй график — точной функцией f (x) f (x) плюс ограничивающая функция (см. Рисунок 23. Графики выглядят так) совсем другое.
Сколько минут поездки вы проводите на высоте более 27 метров над землей? Округлить до секунды
н.
Найдите общее расстояние от начальной точки и прямой угол полета к северу от востока.
Соблюдайте os cálculos que ela fez dosuas despesas.2
Пи составляет 3,141592653589793238 до 18 знаков после запятой.
Leave A Comment