Тело движется в направлении противоположном оси х: 1. Тело движется в направлении, противоположном оси X, со скоростью 200 м/с Постройте график зависимости vx(t) Найдите графически перемещение тела от начала отсчета за 4 с

Скорость при равноускоренном прямолинейном движении 🐲 СПАДИЛО.РУ

Описывая движение с постоянной скоростью, мы могли с уверенностью сказать, какую скорость имеет тело в любой момент времени. В случае с равноускоренным движением это не так, потому что скорость постоянно меняется. Поэтому для его описания вводится понятие мгновенной скорости.

Что такое мгновенная скорость? Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. Обозначается v_мгн. Далее, когда мы будем говорить о скорости, мы будем понимать под ней мгновенную скорость тела и обозначать ее просто — v.

Определение

Скорость тела в момент времени t равна сумме начальной скорости тела в момент времени t₀ и произведения ускорения этого тела на время t, в течение которого это тело двигалось. В векторном виде это записывается так:

v = v₀ + at

v — скорость тела в данный момент времени, v₀ —скорость тела в начальный момент времени, a — ускорение тела, t — время, в течение которого это тело двигалось

Направление вектора скорости при равномерном равноускоренном движении не всегда совпадает с направлением вектора ускорения и вектором перемещения тела.

Пример №1. Мальчик пробежал 200 метров по прямой линии, а затем вернулся в исходное положение. Определить направление вектора скорости и перемещения в момент, когда мальчик, возвращаясь в исходное положение, находился на полпути до него.

Началу вектора перемещения соответствует исходное положение мальчика. Когда мальчик возвращался и находился на полпути до исходного положения, концу вектора его перемещения соответствовала точка, лежащая посередине 200-метрового отрезка. Поэтому вектор перемещения направлен в сторону ОХ. Но мальчик в это время направлялся в обратную сторону. Поэтому его скорость была направлена против направления оси ОХ.

Скалярная формула скорости

В случае равноускоренного прямолинейного движения можно вместо векторов использовать скаляры. Тогда формула примет следующий вид:

v = v₀ ± at

Знак «+» ставится в случае, когда тело разгоняется, знак «–» — когда оно тормозит.

Проекция скорости

Проекция скорости при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид:

v_x = v_0x + a_xt

Знак проекции скорости зависит от того, в какую сторону движется тело:

• Знак проекции скорости имеет знак «+», если тело движется в сторону направления оси ОХ.
• Знак проекции скорости имеет знак «–», если тело движется противоположно направлению оси ОХ.

Знак проекции скорости не зависит от того, каким является движение: равнозамедленным или равноускоренным.

График скорости

График скорости — график зависимости проекции скорости от времени. Графиком скорости при равноускоренном прямолинейном движении является прямая.

Определение направления движения тела относительно оси ОХ по графику скорости

• Если график скорости лежит выше оси времени, то тело движется в направлении оси ОХ. На рисунке этому утверждению соответствует график 1.
• Если график скорости пересекает ось времени, то модуль скорости тела сначала уменьшался, и тело тормозило. Но с момента пересечения оси времени оно меняло направление движения в противоположную сторону и двигалось ускоренно. На рисунке этому соответствуют графики скорости 2 и 3.
• Если график скорости лежит ниже оси времени, тело движется в направлении, противоположном направлению оси ОХ. На рисунке тело 3 до пересечения с осью времени двигалось противоположно направлению ОХ. Но тело 2 двигалось противоположно оси только после пересечения с этой осью.

Сравнение модулей ускорения по графикам скоростей

Чтобы сравнить модули ускорений по графикам скоростей, нужно сравнить их углы наклона к оси времени. Чем больше между ними угол, тем больше модуль ускорения. Так, на рисунке выше большим модулем ускорения обладает тело 3 — угол между его графиком скорости и осью времени максимальный. Меньшим модулем ускорения обладает тело 1, так как угол между его графиком скорости и осью времени минимальный.

Пример №2. Ниже представлен график движения велосипедиста. Опишем характер его движения на участке от 0 до 2 с, в момент времени t=2 с и на участке от 2 с.

На отрезке пути от 0 до 2 с велосипедист двигался в направлении, противоположном оси ОХ. При этом модуль его скорости уменьшался. В момент времени t=2 c велосипедист приостановился и поменял направление движения, и дальше оно стало совпадать с осью ОХ. Модуль его скорости при этом начал расти. Но на всем пути независимо от направления движения велосипедиста вектор его ускорения всегда был направлен в сторону ОХ. Однако до 2 с движение считалось равнозамедленным, так как ускорение и скорость были направлены в противоположные стороны. После 2 с движение стало равноускоренным, так как направления скорости и ускорения совпали.

Полезные факты

• Если тело начинало движение из состояния покоя, его начальная скорость равна 0, а его ускорение положительно: v₀ = 0, a > 0.
• Если тело заканчивает движение остановкой, то его мгновенная скорость в конечный момент времени равна 0, а его ускорение отрицательно: v = 0, a < 0.
• Если тело покоится, его скорость и ускорение равны 0: v₀ = 0, a = 0.

Пример №3. Грузовик ехал с некоторой постоянной скоростью. Затем он затормозил и остановился в течение 5 секунд. Найти постоянную скорость, с которой двигался грузовик, если при торможении модуль его ускорения составил 2 м/с.

Так как движение равнозамедленное, в формуле будем использовать» знак «–». Он будет указывать на то, что скорость грузовика с течением времени уменьшалась:

v = v₀ – at

Выразим начальную скорость:

v₀ = v + at

Так как грузовик в итоге остановился, его конечная скорость равна 0. Подставляем известные данные в формулу и получаем:

v₀ = 0 + 2 ∙ 5 = 10 (м/с)

Задание EF18553 Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t– 3t²(все величины выражены в СИ).

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести их единицы измерения величин в СИ.

2.Записать уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении в общем виде.

3.Сравнить формулу из условия задачи с этим уравнением движения и выделить кинематические характеристики движения.

4.Определить перемещение тела и его кинетическую энергию.

5.Выбрать для физических величин соответствующую позицию из второго столбца таблицы и записать ответ.

Решение

Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.

Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:

x(t)=x0+v0t+at22..

Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:

• a/2 = –3 (м/с2), следовательно, a = –6 (м/с2).

Перемещение тела определяется формулой:

s=v0t+at22..

Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:

x(t)=v0t+at22..=5t−3t2

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

Ek=mv22..

Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:

v=v0+at=5−6t

Поэтому кинетическая энергия тела равна:

Ek=m(5−6t)22..=0,22..(5−6t)2=0,1(5−6t)2

Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.

.

.

Ответ: 34

---

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF18774

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

1. Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
2. Определить величины, которые характеризуют такое движение.
3. Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
4. Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

• перемещение и путь;
• скорость;
• ускорение.

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

Ответ: 24

---

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF18202

Внимательно прочитайте текст задания и выберите верный ответ из списка. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела v_x от времени.

Какой из указанных ниже графиков  совпадает с графиком зависимости от времени проекции ускорения этого тела a_x в интервале времени от 6 с до 10 с?

Алгоритм решения

1. Охарактеризовать движение тела на участке графика, обозначенном в условии задачи.
2. Вычислить ускорение движение тела на этом участке.
3. Выбрать график, который соответствует графику зависимости от времени проекции ускорения тела.

Решение

Согласно графику проекции скорости в интервале времени от 6 с до 10 с тело двигалось равнозамедленно. Это значит, что проекция ускорения на ось ОХ отрицательная. Поэтому ее график должен лежать ниже оси времени, и варианты «а» и «в» заведомо неверны.

Чтобы выбрать между вариантами «б» и «г», нужно вычислить ускорение тела. Для этого возьмем координаты начальной и конечной точек рассматриваемого участка:

• t₁ = 6 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 0 м/с.
• t₂ = 10 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = –10 м/с.

Используем для вычислений следующую формулу:

Подставим в нее известные данные и сделаем вычисления:

Этому значению соответствует график «г».

Ответ: г

---

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF18027 На графике приведена зависимость проекции скорости тела от времени при прямолинейном движении по оси х. Определите модуль ускорения тела.

Алгоритм решения

1. Записать формулу ускорения.
2. Записать формулу для вычисления модуля ускорения.
3. Выбрать любые 2 точки графика.
4. Определить для этих точек значения времени и проекции скорости (получить исходные данные).
5. Подставить данные формулу и вычислить ускорение.

Решение

Записываем формулу ускорения:

По условию задачи нужно найти модуль ускорения, поэтому формула примет следующий вид:

Выбираем любые 2 точки графика. Пусть это будут:

• t₁ = 1 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 15 м/с.
• t₂ = 2 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = 5 м/с.

Подставляем данные формулу и вычисляем модуль ускорения:

Ответ: 10

---

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Равномерное прямолинейное движение в физике

В этом случае траекторией движения является прямая. Скорость тела остается постоянной как по модулю, так и по направлению: .

Закон движения в случае равномерного прямолинейного движения имеет вид:

   

где — радиус-вектор точки в момент времени , — радиус-вектор начального положения точки, — скорость.

В одномерном случае закон движения запишется в виде:

   

В случае движения на плоскости закон движения запишется в виде системы двух уравнений:

   

Так как при равномерном прямолинейном движении направление скорости не меняется, то в этом случае путь всегда равен модулю перемещения:

   

Изобразим графически зависимость кинематических величин от времени (рис.1).

На рис.1 (а) представлены графики зависимости скоростей трех тел от времени. Тело 1 движется со скоростью в направлении оси , тело 2 находится в состоянии покоя, тело 3 движется со скоростью в направлении, противоположном оси . Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна пути (модулю перемещения), пройденному телом 1 за некоторое время .

Графики движения (зависимости координат тела от времени) изображены на рис.1 (б). На рис.1 (в) представлены графики зависимости перемещений этих тел от времени. По наклону графика перемещения к оси времени можно определить скорость движения тела:

   

Графики пройденного пути для каждого из трех тел изображены на рис. 1 (г).

Для нахождения уравнения траектории нужно исключить время из уравнений и получить зависимость .

Примеры решения задач по теме «Равномерное прямолинейное движение»

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Ошибка 404 — Страница не найдена

К сожалению мы не можем показать то, что вы искали. Может быть, попробуете поиск по сайту или одну из приведенных ниже ссылок?

Архивы Выберите месяц Март 2021 Февраль 2021 Январь 2021 Декабрь 2020 Ноябрь 2020 Октябрь 2020 Сентябрь 2020 Август 2020 Июль 2020 Июнь 2020 Май 2020 Апрель 2020 Март 2020 Февраль 2020 Январь 2020 Декабрь 2019 Ноябрь 2019 Октябрь 2019 Сентябрь 2019 Август 2019 Июль 2019 Июнь 2019 Май 2019 Апрель 2019 Март 2019 Февраль 2019 Январь 2019 Декабрь 2018 Ноябрь 2018 Октябрь 2018 Сентябрь 2018 Август 2018 Июль 2018 Июнь 2018 Февраль 2018 Январь 2018 Ноябрь 2017 Сентябрь 2017 Август 2017 Июль 2017 Апрель 2017 Март 2017 Февраль 2017 Январь 2017

РубрикиВыберите рубрикуБез рубрикиВидеоурокиКенгуруконкурс ПегасОтветы на работы СтатГрадСочинениеСтатьиУчебные пособия

• 04.10.2020 XLIII Турнир Ломоносова задания и ответы
• 05.12.17 Ответы и задания по математике 10 класс СтатГрад варианты МА00201-МА00208
• 05.12.17 Ответы и задания по математике 7 класс “СтатГрад” варианты МА70101-МА70106
• 06.11.2017 Олимпиада «Звезда» естественные науки задания и ответы 6-11 класс отборочный этап
• 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Камчатского края и Чукотского автономного округа
• 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Республика Алтай, Алтайский край, Республика Тыва, Респ. Хакасия, Красноярский край, Кемеровская, Томская и Новосибирская область
• 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 зона 8 Республика Саха (Якутия), город Якутск, Амурская область, Забайкальский край
• 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения для Республика Бурятия, Иркутская область зона 7
• 06.12.2017 5 зона Омск MSK+3 (UTC+6) официальные темы
• 06.12.2017 Ответы и задания по обществознанию 9 класс “СтатГрад” варианты ОБ90201-ОБ90204
• 07.12.17 Ответы и задания по русскому языку 11 класс СтатГрад варианты РЯ10701-РЯ10702
• 07.12.2017 Ответы и задания по биологии 9 класс пробное ОГЭ 4 варианта
• 08.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс контрольная работа ОГЭ 56 регион
• 08.12.2017 Ответы и задания по физике 9 класс работа СтатГрад ОГЭ ФИ90201-ФИ90204
• 10.04.2020 Решать впр тренировочные варианты по математике 6 класс с ответами
• 10.10.17 Математика 9 класс контрольная работа 4 варианта ФГОС 56 регион задания и ответы
• 10.10.17 Русский язык 9 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ90101-РЯ90102
• 10.11.2017 История 9 класс задания и ответы статград варианты ИС90201-ИС90204
• 100balnik мы в ВКОНТАКТЕ
• 100balnik отзывы пользователей
• 11 апреля 10-11 класс география ответы и задания
• 11 апреля 6 класс история ответы и задания
• 11 апреля 7 класс биология ответы и задания
• 11.04.2020 Решать ВПР тренировочные варианты по математике 5 класс с ответами
• 11.10.17 Физика 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты ФИ10101-ФИ10104
• 11.12.2017 – 16.12.2017 Олимпиада по дискретной математике и теоретической информатике
• 11.12.2017 Зимняя олимпиада по окружающему миру для 4 класса задания и ответы
• 11.12.2017 Ответы и задания по английскому языку 11 класс СтатГрад вариант АЯ10101
• 11.12.2017 Соревнование для 5-6 классов интернет-карусель по математике задания и ответы
• 12.04.2020 Решать тренировочные варианты ВПР по математике 4 класс + ответы
• 12.10 Русский язык 10 класс диагностическая работа ФГОС для 11 региона задания и ответы
• 12.10.17 Русский 2 класс ВПР официальные варианты задания и ответы
• 12.10.17 Химия 9 класс “СтатГрад” задания и ответы варианты ХИ90101-ХИ90104
• 12.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс работа СтатГрад варианты ГГ90101-ГГ90102
• 13.09.2017 Биология 11 класс СтатГрад задания и ответы все варианты
• 13.10.17 Математика 9 класс задания и ответы для 11 региона
• 13.10.2017 Обществознание 11 класс работа СтатГрад задания и ответы ОБ10101-ОБ10104
• 13.12.2017 Ответы по физике 11 класс статград задания варианты ФИ10201-ФИ10204
• 13.12.2017 Письмо говорение по английскому языку 7-9 класс работа 56 регион
• 14.09.2017 Информатика 11 класс тренировочная работа статград ответы и задания
• 14.12 Геометрия 9 класс задания и ответы “СтатГрад”
• 14.12.2017 КДР ответы по русскому языку 8 класс задания все варианты
• 14.12.2017 Контрольная работа по математике 8 класс за 1 полугодие 2 варианта заданий с ответами
• 14.12.2017 Литература 11 класс ответы и задания СтатГрад вариант ЛИ10101
• 14.12.2017 Ответы КДР по математике 10 класс задания 6 вариантов
• 14.12.2017 Ответы по геометрии 9 класс СтатГрад задания варианты МА90301-МА90304
• 14.12.2017 Ответы по математике 11 класс КДР задания 6 вариантов
• 15.09 Математика 10 класс контрольная работа 3 варианта 56 регион задания и ответы
• 15.09.2017 Биология 9 класс тренировочная работа “СтатГрад” БИ90101-БИ90104 ответы и задания
• 15.11.2017 Задания и ответы 2-11 класс по Русскому медвежонку 2017 год
• 15.12.2017 Обществознание 11 класс ответы и задания СтатГрад варианты ОБ10201-ОБ10204
• 16 апреля 11 класс английский язык ответы и задания
• 16 апреля 5 класс история ответы и задания
• 16 апреля 6 класс биология ответы и задания
• 16 апреля 7 класс география ответы и задания
• 16.01.2018 Контрольная работа по русскому языку 9 класс в формате ОГЭ с ответами
• 16.01.2018 Ответы и задания КДР по русскому языку 11 класс 23 регион
• 16.10.2017 Ответы и задания всероссийской олимпиады школьников по математике 4-11 класс ВОШ
• 16.11.2017 МЦКО 10 класс русский язык ответы и задания
• 17.01.2018 Ответы и задания по информатике 11 класс работа статград варианты ИН10301-ИН10304
• 17.10.17 Физика 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ФИ90101-ФИ90104
• 18 апреля 11 класс химия ответы и задания
• 18 апреля 5 класс биология ответы и задания
• 18 апреля 6 класс обществознание ответы и задания
• 18 апреля 7 класс математика ответы и задания
• 18.09. Математика 10 класс задания и ответы
• 18.10.17 Математика 9 класс РПР 64 регион задания и ответы 1 этап
• 18.10.2017 Задания и ответы по математике 9 класс 50 регион Московская область
• 18.12.2017 Биология 11 класс Статград задания и ответы варианты БИ10201-БИ10204
• 19.09 Диагностическая работа по русскому языку 5 класс задания и ответы за 1 четверть
• 19.09 Контрольная работа по русскому языку 11 класс для 56 региона задания и ответы 1 четверть
• 19.09.2017 школьный этап всероссийской олимпиады по ОБЖ 5-11 класс задания и ответы
• 19.10.17 Русский язык 11 класс (ЕГЭ) задания и ответы статград варианты РЯ10601-РЯ10602
• 19.12.2017 КДР геометрия 8 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
• 19.12.2017 КДР математика 9 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
• 19.12.2017 Математика 10 класс тригонометрия база и профиль ответы и задания СтатГрад
• 2 апреля 11 класс история ВПР
• 2 апреля 7 класс английский язык ВПР
• 20.09 Входная контрольная работа русский язык 7 класс для 56 региона задания и ответы
• 20.09.2017 История 9 класс варианты ИС90101-ИС90102 ОГЭ задания и ответы
• 20.11.2017 Русский язык 9 класс “СтатГрад” ОГЭ задания и ответы РЯ90701-РЯ90702
• 20.12.2017 Химия 9 класс ответы и задания работа Статград варианты ХИ90201-ХИ90202
• 21.09.17 Математика 11 класс варианты МА10101-МА10108 задания и ответы
• 21.10.17 ОБЖ 7-11 класс муниципальный этап ВОШ для Москвы ответы и задания
• 21.11.17 Биология 9 класс СтатГрад задания и ответы варианты БИ90201-БИ90204
• 21.12.2017 Математика 9 класс РПР для 64 региона задания и ответы 2 этап
• 21.12.2017 Ответы и задания по математике 11 класс “СтатГрад” база и профиль
• 21.12.2017 Ответы и задания по русскому языку 10-11 класс варианты КДР 23 регион
• 22.09.17 Обществознание 9 класс работа статград ОГЭ варианты ОБ90101-ОБ90102 задания и ответы
• 22.09.17 Русский язык 10 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы
• 22.10 Задания и ответы олимпиады по литературе 7-11 класс муниципальный этап 2017
• 23 апреля математика 5 класс ВПР 2019
• 23 апреля русский язык 6 класс ВПР 2019
• 23 апреля ФИЗИКА 7 класс ВПР 2019
• 23.11.2017 Задания и ответы по информатике 9 класс для вариантов статград ИН90201-ИН90204
• 24.10.17 Изложение 9 класс русский язык СтатГрад варианты РЯ90601-РЯ90602
• 24.10.17 КДР 8 класс математика алгебра задания и ответы 23 регион
• 24.10.17 Контрольная работа английский язык 7-9 класс для 56 региона письмо
• 25.09.17 Информатика 9 класс задания и ответы СтатГрад варианты ИН90101-ИН90102
• 25.10.17 Английский язык 7-9 класс контрольная работа для 56 региона чтение варианты
• 25.10.17 История 11 класс МЦКО варианты задания и ответы
• 25.10.17 Русский язык 9 класс МЦКО задания и ответы
• 26.09 Английский язык 7,8,9 класс контрольная работа для 56 региона задания и ответы ФГОС
• 26.09.17 История 11 класс задания и ответы “СтатГрад” варианты ИС10101-ИС10102
• 26.09.17 Математика 11 класс мониторинговая работа ЕГЭ 3 варианта задания и ответы
• 26.10 ВПР Русский язык 5 класс ответы и задания все реальные варианты
• 26.10.17 Химия 11 класс “СтатГрад” задания и ответы варианты ХИ10101-ХИ10104
• 27.09.2017 Математика 9 класс работа статград варианты МА90101-МА90104 задания и ответы
• 27.10 Задания и ответы для олимпиады по биологии муниципальный этап 2017
• 28.09.17 Русский язык 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ10101-РЯ10102
• 29.09.17 Математика 10 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты МА00101-МА00104
• 30.11.2017 МЦКО математика 11 класс ответы и задания
• 4 апреля 11 класс биология ВПР
• 4 апреля 7 класс обществознание ВПР
• 4 класс диктант 2019 год
• 4 класс диктант платно
• 4 класс математика 22.04.2019-26.04.2019
• 4 класс математика платно ответы и задания
• 4 класс окр. мир платно
• 4 класс окружающий мир 22.04.2019-26.04.2019
• 4 класс русский тест 2019 год
• 4 класса тест платно
• 5 класс биология платно
• 5 класс история платно
• 5 класс русский язык впр 25 апреля
• 5 класс русский язык платно
• 6 класс история платно
• 6 класс математика впр 25 апреля
• 6 класс математика платно
• 6 класс общество платно
• 6 класс платно гео ответы и задания
• 6 класс платно ответы и задания
• 7 класс ВПР 2019 по географии ответы и задания 16 апреля 2019
• 7 класс история впр 25 апреля
• 7 класс русский язык 56 регион ответы и задания 21.12.2018
• 7.11.17 Английский язык 9 класс от СтатГрад задания и ответы варианты АЯ90101-АЯ90102
• 8.11.2017 Русский язык 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты РЯ10201-РЯ10202
• 9 апреля география 6 класс ВПР 2019
• 9 апреля русский язык 7 класс ВПР 2019
• 9 апреля физика 11 класс ВПР 2019
• 9 класс английский язык ОГЭ 24 25 мая
• 9 класс БИОЛОГИЯ ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
• 9 класс информатика огэ 2019 год
• 9 класс математика огэ 2019 год
• 9 класс обществознание ОГЭ 2019
• 9 класс ОГЭ 2019
• 9 класс русский язык ОГЭ 2019
• 9 класс ФИЗИКА огэ 2019 год
• 9 класс ФИЗИКА ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
• 9 класс экзамен по истории огэ 2019 год
• 9.11.17 Математика 9 класс работа “СтатГрад” задания и ответы варианты МА90201-МА90204
• British Bulldog 2019 ответы и задания 3-4 класс 10-11 декабря 2019
• British Bulldog 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
• British Bulldog 5-6 класс ответы и задания 2018-2019
• British Bulldog 9-11 класс ответы и задания 2018-2019
• FAQ
• My Calendar
• Алгебра 7 класс статград 4 декабря 2019 ответы и задания МА1970101-106
• Алгебра и начала анализа статград 10 класс 4 декабря 2019 ответы и задания
• Английский 9 класс СтатГрад задания и ответы
• Английский язык 11 класс АЯ10301 ответы и задания 23 апреля 2019 год
• Английский язык 11 класс СтатГрад 17.04
• Английский язык 11 класс статград 5 декабря 2019 ответы и задания АЯ1910101
• Английский язык 7 класс ВПР 2020 тренировочные варианты задания и ответы
• Английский язык 7 класс ВПР ответы и задания 2 апреля 2019 год
• Английский язык 7-9 класс ответы и задания 56 регион
• Английский язык 7,8,9 класс мониторинговая работа чтение 2019
• Английский язык 9 класс ответы и задания АЯ1990101 АЯ1990102 статград 6 ноября 2019
• Английский язык 9 класс платно
• Английский язык 9 класс статград ответы и задания 2018-2019 06.11
• Английский язык аудирование ответы 7 8 9 класс 56 регион 2018-2019
• Английский язык говорение 56 регион ответы 7 8 9 класс 2018-2019
• Английский язык задания и ответы школьного этапа олимпиады ВОШ 2019-2020
• Английский язык ответы 7 8 класс 56 регион чтение 2018-2019
• Английский язык письмо 7 8 класс ответы и задания 2018-2019
• Аргументы для тем итогового сочинения 2019-2020 регион МСК+8
• Архив работ
• Астра 2019 ответы и задания 3-4 класс 20 ноября 2019
• Банк заданий ФИПИ по русскому языку ЕГЭ 2019 морфемика и словообразование
• Биология 10 класс РДР задания и ответы 14 ноября 2019-2020
• Биология 11 класс 5 ноября 2019 статград ответы и задания БИ1910201-204
• Биология 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
• Биология 11 класс ВПР ответы и задания 11.05
• Биология 11 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019
• Биология 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
• Биология 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 18 апреля 2019 год
• Биология 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
• Биология 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
• Биология 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
• Биология 6 класс платно
• Биология 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
• Биология 7 класс впр статград ответы и задания 11 сентября 2019
• Биология 9 класс 15 ноября ответы и задания статград 2018
• Биология 9 класс БИ90501 БИ90502 ответы и задания 23 апреля 2019
• Биология 9 класс ответы БИ90401 и БИ90402 статград 01.2019
• Биология 9 класс ответы и задания 25 ноября работа статград БИ1990201-БИ1990204
• Биология 9-10 класс ответы КДР 24 января 2019
• Биология ОГЭ 2018 платно
• Благодарим за ваш заказ!
• Британский бульдог 7-8 класс ответы и задания 2018-2019
• Вариант 322 КИМы с реального ЕГЭ 2018 по математике
• Вариант № 33006761 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
• Вариант № 33006762 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
• Вариант №1 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
• Вариант №2 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
• Вариант №3 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
• Вариант №4 морфемика и словообразование банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ
• Вариант №5 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
• Вариант №6 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
• Вариант №7 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
• Вариант по биологии с реального ЕГЭ 2020 задания и ответы
• Варианты БИ1910301-БИ1910304 по биологии 11 класс ответы и задания 14 января 2020
• Варианты ВПР по физике 11 класс задания и ответы за 2018 год
• Варианты для проведения ВПР 2020 по математике 6 класс с ответами
• Ваши отзывы – пожелания
• Вероятность и статистика 7 класс ответы 16.05
• Вероятность и статистика 8 класс ответы 16.05
• Витрина
• ВКР английский язык 7,8,9 класс задания и ответы говорение 2019-2020
• ВКР по геометрии 8 класс ответы и задания
• Возможные варианты для устного собеседования 9 класс ОГЭ 13 марта 2019
• Вот что с восторгом воскликнул Иван Васильевич готовые сочинения
• ВОШ ВСЕРОССИЙСКИЕ школьные олимпиады 2017-2018 задания и ответы
• ВОШ муниципальный этап по обществознанию ответы и задания 2018-2019
• ВОШ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ 2017-2018
• ВОШ Школьный этап 2017-2018 задания и ответы для Республики Коми
• ВОШ школьный этап по экономике ответы и задания 2018-2019
• ВПР 11 класс английский язык ответы и задания 20 марта 2018
• ВПР 11 класс география
• ВПР 11 класс история ответы и задания 21 марта 2018
• ВПР 2019 6 класс обществознание ответы и задания 18 апреля 2019 год
• ВПР 2019 по математике 7 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
• ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
• ВПР 2019 физика 11 класс ответы и задания 9 апреля 2019 год
• ВПР 2020 6 класс задание №10 по математике с ответами которые будут
• ВПР 2020 6 класс задание №11 по математике с ответами которые будут
• ВПР 2020 6 класс задание №6 по математике с ответами
• ВПР 2020 6 класс задание №7 по математике с ответами
• ВПР 2020 6 класс задание №8 по математике с ответами
• ВПР 2020 6 класс задание №9 по математике с ответами которые будут
• ВПР 2020 английский язык варианты АЯ1910201-АЯ1910202 задания и ответы
• ВПР 2020 биология 11 класс варианты БИ1910601-БИ1910602 ответы и задания
• ВПР 2020 биология 5 класс новые варианты с ответами
• ВПР 2020 вариант демоверсии по биологии 7 класс задания и ответы
• ВПР 2020 география 10-11 класс варианты ГГ1910401-ГГ1910402 ответы и задания
• ВПР 2020 география 6 класс варианты ГГ1960101, ГГ1960102 задания и ответы
• ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по математике с ответами которые будут
• ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по русскому языку с ответами
• ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по математике с ответами которые будут
• ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по русскому языку с ответами
• ВПР 2020 год 6 класс задание №14 по русскому языку с реальными ответами
• ВПР 2020 демоверсия по биологии 8 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по географии 7 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по географии 8 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по иностранным языкам 7 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по истории 7 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по истории 8 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по математике 7 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по математике 8 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 7 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 8 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 7 класс задания и ответы
• ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 8 класс задания и ответы
• ВПР 2020 задание 6 по русскому языку 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №1 по математике 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
• ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
• ВПР 2020 задание №2 по математике 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №3 по математике 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №4 по математике 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №5 по математике 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 6 класс с ответами
• ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
• ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
• ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
• ВПР 2020 математика 5 класс реальные задания с ответами
• ВПР 2020 новые варианты с ответами по русскому языку 7 класс
• ВПР 2020 ответы и задания всероссийские проверочные работы
• ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №1 с ответами
• ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №10 с реальными ответами
• ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №2 с ответами
• ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №3 с ответами
• ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №4 с ответами
• ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №6 с ответами
• ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №7 с ответами
• ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №8 с реальными ответами
• ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №9 с реальными ответами
• ВПР 2020 по биологии 7 класс тренировочные варианты БИ1970201,БИ1970202
• ВПР 2020 по истории 6 класс задание 1 с ответами
• ВПР 2020 по истории 6 класс задание №10 с реальными ответами
• ВПР 2020 по истории 6 класс задание №2 с ответами
• ВПР 2020 по истории 6 класс задание №3 с ответами
• ВПР 2020 по истории 6 класс задание №4 с реальными ответами
• ВПР 2020 по истории 6 класс задание №5 с реальными ответами
• ВПР 2020 по истории 6 класс задание №6 с реальными ответами
• ВПР 2020 по истории 6 класс задание №7 с реальными ответами
• ВПР 2020 по истории 6 класс задание №8 с реальными ответами
• ВПР 2020 по истории 6 класс задание №9 с реальными ответами
• ВПР 2020 по математике 7 класс задание 11 реальное с ответами
• ВПР 2020 по математике 7 класс задание 12 реальное с ответами
• ВПР 2020 по математике 7 класс задание №1 реальное с ответами
• ВПР 2020 по математике 7 класс задание №13 реальное с ответами
• ВПР 2020 по математике 7 класс задание №2 реальное с ответами
• ВПР 2020 по математике 7 класс задание №8 реальное с ответами
• ВПР 2020 русский язык 8 класс варианты РУ1980201, РУ1980202 ответы
• ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 8 класс задания с ответами
• ВПР 2020 тренировочные варианты по русскому языку 5 класс задания с ответами
• ВПР 2020 физика 11 класс варианты ФИ1910601-ФИ1910602 ответы и задания
• ВПР 2020 химия 8 класс демоверсия задания и ответы
• ВПР 2021 ответы и задания всероссийские проверочные работы
• ВПР 4 класс математика 2020 год реальные официальные задания и ответы
• ВПР БИОЛОГИЯ 11 класс 2018 реальные ответы и задания
• ВПР география 10-11 класс
• ВПР математика 5 класс ответы и задания
• ВПР по истории 11 класс ответы и задания 18.05
• ВПР ФИЗИКА 11 класс 2018
• ВПР физика 11 класс резервный день ответы
• ВПР ХИМИЯ 11 05.04
• ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2018-2019 задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2019-2020 задания и ответы
• Всероссийская олимпиада по праву ответы и задания школьный этап 25-26 октября 2019
• Всероссийская олимпиада по химии ответы и задания школьный этап 21-22 октября 2019
• ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада региональный этап 2018-2019 задания и ответы
• Всероссийская олимпиада школьников региональный этап 2019-2020 задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Краснодарского края
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Челябинской области
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 региональный этап задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 учебный год задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2021 задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 учебный год задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 школьный этап задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2019-2020 учебный год задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы
• ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 школьный этап задания и ответы
• Всероссийские проверочные работы 2017 задания и ответы
• Всероссийские проверочные работы 2017-2018 задания и ответы
• Всероссийские проверочные работы 2018-2019 задания и ответы
• Всесибирская олимпиада школьников задания и ответы по математике 2018-2019
• Входная контрольная работа по математике 11 класс ответы и задания 2019-2020
• Входная контрольная работа по математике 4 класс ответы и задания 2019-2020
• Входная контрольная работа по математике 5 класс ответы и задания 2019-2020
• Входная работа по русскому языку 11 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
• Гарантия
• ГГ1910101 ответы и задания география 11 класс статград 4 октября 2019
• ГДЗ 5 классы решебники
• ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н.Я
• ГДЗ решебники
• Гелиантус АСТРА 1-2 класс ответы и задания 2018-2019
• Гелиантус АСТРА 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
• География 10-11 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
• География 11 класс ответы и задания 17 апреля 2019 тренировочная №4
• География 11 класс ответы и задания вариант ГГ10101 статград 2018-2019
• География 11 класс платно
• География 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
• География 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 9 апреля 2019
• География 6 класс ВПР 2020 год задание 7 и официальные ответы
• География 6 класс ВПР 2020 год задание №8 и реальные ответы
• География 6 класс ВПР 2020 задание №2 официальное с ответами
• География 6 класс ВПР 2020 задание №3 с ответами официальные
• География 6 класс ВПР 2020 задание №4 с ответами официальные
• География 6 класс ВПР 2020 задание №5 с ответами официальные
• География 6 класс ВПР 2020 задание №6 и официальные ответы
• География 6 класс задание №1 реального ВПР 2020 с ответами
• География 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
• География 9 класс ответы и задания ГГ90401 ГГ90402 22 апреля 2019
• География 9 класс ответы и задания тренировочная статград 18 марта 2019
• География 9 класс СтатГрад задания и ответы
• География 9 класс статград ответы и задания 13 марта 2018
• География задания и ответы школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
• География муниципальный этап 2019 задания и ответы всероссийской олимпиады
• Геометрия 9 класс ответы и задания 12 декабря 2019 работа статград
• Готовое итоговое сочинение 2018-2019 на тему может ли добрый человек проявлять жестокость?
• Готовые сочинения для варианта №1 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
• Готовые сочинения для варианта №2 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
• Готовые сочинения для варианта №3 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
• Готовые сочинения для варианта №4 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
• Готовые сочинения для варианта №5 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
• Готовые сочинения для варианта №6 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
• Готовые сочинения для варианта №7 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
• Готовые сочинения ЕГЭ в избушке у самого леса живёт старый охотник
• Готовые сочинения ЕГЭ несомненно Дюма останется ещё на многие
• Готовые сочинения ЕГЭ ты часто жаловался мне, что тебя «не понимают!»
• Готовые сочинения как-то Анатолий Бочаров высказал по тексту В. В. Быкову
• Готовые сочинения на Невском, у Литейного постоянно толпились
• Готовые сочинения по тексту Ф. М. Достоевскому в эту ночь снились мне
• Готовые сочинения чего нам так не хватает а не хватает нам любви к детям по тексту А. А. Лиханову
• Готовые сочинения я очень плохо знаю деревенскую жизнь с проблемами и текстом
• Демоверсия ВПР 2020 география 6 класс задания и ответы фипи
• Демоверсия ВПР 2020 история 6 класс задания и ответы фипи
• Демоверсия ВПР 2020 по биологии 6 класс задания и ответы фипи
• Демоверсия ВПР 2020 по обществознанию 6 класс задания и ответы фипи
• Демоверсия ОГЭ 2019 по математике решение заданий
• Диктант по русскому языку 4 класс ВПР 2018 задания
• ДКР 2019 по географии 10 класс ответы и задания Свердловская область
• ДКР 2019 по географии 7 класс задания и ответы 11 декабря 2019-2020
• Добро пожаловать
• Доступ ко всем работам
• ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по истории 11 класс
• Если хочешь понять душу леса найди лесной 9 готовых сочинений ЕГЭ
• Естественные науки ответы и задания олимпиада ЗВЕЗДА 25-29 ноября 2019-2020
• за эти месяцы тяжелой борьбы решающей 9 готовых сочинений ЕГЭ
• Задание № 15 неравенства ОГЭ по математике 9 класс 2020
• Задания ВПР 2017 для 11 класса по географии
• Задания ВПР 2017 для 4 класса по русскому языку
• Задания ВПР 2017 для 5 класса по математике
• Задания заключительного этапа ВСЕРОССИЙСКОЙ олимпиады по информатике 2017/2018
• Задания и ответы 2 варианта пробного экзамена ЕГЭ по математике 11 класс 4 апреля 2018
• Задания и ответы 56 регион на ФЕВРАЛЬ 2017
• Задания и ответы 6 класс XXX математический праздник 2019 год
• Задания и ответы Англ.яз 18.11
• Задания и ответы Биология 14.11
• Задания и ответы Биология 9 класс 21.11.
• Задания и ответы всероссийской олимпиады по русскому языку Московской области 19 ноября 2017
• Задания и ответы ГЕОГРАФИЯ 21.11.2017
• Задания и ответы для комплексной работы КДР для 8 класса ФГОС 4 варианта
• Задания и ответы для Оренбургской области 56 регион декабрь 2017
• Задания и ответы для Оренбургской области ноябрь 2017
• Задания и ответы для Оренбургской области октябрь 2017
• Задания и ответы для Оренбургской области сентябрь 2017
• Задания и ответы для работ 11 регион Республика Коми 2018-2019
• Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми Декабрь 2018-2019
• Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми НОЯБРЬ 2018-2019
• Задания и ответы для работ 56 региона октябрь 2018
• Задания и ответы для работ Республики Коми
• Задания и ответы для регионального этапа по физической культуре 2018
• Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион декабрь 2018
• Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион февраль 2018
• Задания и ответы КДР 2019 математика 9 класс 20 февраля
• Задания и ответы Математика 03.12
• Задания и ответы Математика 17.11
• Задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 по немецкому языку 7-11 класс ВСОШ
• Задания и ответы муниципального этапа по русскому языку 2019-2020 Москва
• Задания и ответы МХК 15.11
• Задания и ответы на Апрель 2017 для 56 региона
• Задания и ответы на Май 2017 для 56 региона
• Задания и ответы на Март 2017 для 56 региона
• Задания и ответы олимпиады по литературе региональный этап 2020
• Задания и ответы по информатике 11 класс 28 ноября 2017 СтатГрад варианты ИН10201-ИН10204
• Задания и ответы по истории для 11 классов (56 регион)
• Задания и ответы по математике 11 класс профиль вариант №22397963
• Задания и ответы по математике 11 класс профиль ЕГЭ вариант №22397967
• Задания и ответы по математике 6 класс ВПР 2018
• Задания и ответы по русскому языку 6 класс ВПР 2018
• Задания и ответы по русскому языку 9 класс СтатГрад 29 ноября 2017 варианты РЯ90201-РЯ90202
• Задания и ответы по физике муниципального этапа 2019 всероссийская олимпиада
• Задания и ответы по химии 11 класс СтатГрад 30 ноября 2017 года варианты ХИ10201-ХИ10204
• Задания и ответы ПРАВО 14.11
• Задания и ответы право региональный этап ВОШ 2019
• Задания и ответы регионального этапа 2019 по английскому языку
• Задания и ответы регионального этапа 2019 по испанскому языку
• Задания и ответы регионального этапа 2019 по китайскому языку
• Задания и ответы регионального этапа 2019 по химии ВОШ
• Задания и ответы региональный этап ВОШ 2019 по французскому
• Задания и ответы Русский язык 19.11
• Задания и ответы Русский язык ОГЭ 9 класс 20.11.
• Задания и ответы Физика 18.11
• Задания и ответы Химия 24.11
• Задания Московской математической олимпиады 8 класс 17 марта 2019 год
• Задания МОШ 2019 по физике 1 тур 7 8 9 10 класс
• Задания по истории муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
• Задания, ответы и результаты олимпиады по биологии региональный этап 2020
• Задания, ответы и результаты олимпиады по химии региональный этап 2020
• Заключительный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020 задания и ответы
• Закрытый раздел
• Золотое руно 2018 ответы и задания 16 февраля конкурс по истории
• Изложение русский язык 9 класс статград ответы и задания 4 октября 2019
• Информатика 11 класс 15 ноября 2019 статград ответы и задания ИН1910201- ИН1910204
• Информатика 11 класс КДР ответы и задания 18 декабря 2018
• Информатика 11 класс платно
• Информатика 11 класс СтатГрад задания и ответы
• Информатика 11 класс тренировочная №5 ответы и задания 15 апреля 2019 год
• Информатика 7 класс ответы РДР 21 февраля 2019
• Информатика 9 класс 06.03
• Информатика 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
• Информатика 9 класс ответы и задания тренировочная №5 25 апреля 2019
• Информатика 9 класс ответы статград 13 ноября 2018
• Информатика 9 класс ответы статград 31 января 2019
• Информатика ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
• Информатика ОГЭ 2018
• Информатика ОГЭ 2018 платно
• Информатика ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
• История 10 класс РДР 2019 официальные задания и ответы все варианты
• История 11 класс 13 ноября 2019 ответы и задания статград вариант ИС1910201- ИС1910204
• История 11 класс ВПР 2018 год задания и ответы все варианты
• История 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 2 апреля 2019 год
• История 11 класс ВПР 2020 тренировочные варианты с ответами
• История 11 класс задания и ответы СтатГрад
• История 11 класс ИС10201 и ИС10202 ответы и задания статград 23.11.2018
• История 11 класс ответы и задания СтатГрад 24.04
• История 11 класс ответы ИС10401 и ИС10402 11 марта 2019 год
• История 11 класс СтатГрад 24 ноября 2017 задания и ответы варианты ИС10201-ИС10204
• История 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
• История 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
• История 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
• История 5 класс ВПР 25.04
• История 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
• История 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
• История 6 класс тренировочные варианты ВПР 2020 задания и ответы
• История 7 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
• История 7 класс платно 24 апреля
• История 9 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы 2019-2020
• История 9 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019 год
• История 9 класс СтатГрад 27 февраля ответы и задания
• История 9 класс статград ответы и задания 2018-2019
• История 9 класс статград ответы и задания 30 марта 2018
• История всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
• Итоговая контрольная работа по математике 8 класс за 2018-2019 учебный год
• Итоговая контрольная работа по русскому языку 7 класс за 2018-2019 учебный год
• Итоговая работа математика 10 класс ответы и задания 24 апреля 2019 год
• Итоговое собеседование варианты 12 февраля 2020
• Итоговое сочинение 05.12.2018
• Итоговое сочинение 2017
• Как написать эссе по обществознанию ЕГЭ
• Как получить задания и ответы для ВПР 2019
• Как получить работу задания и ответы
• Как получить темы на итоговое сочинение 6 декабря 2017 года
• Как человеку воспитать в себе доброту? готовое итоговое сочинение 2018-2019
• КДР (задания+ответы) на Февраль 2017
• КДР (задания+ответы) на Январь 2017
• КДР 1 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
• КДР 2 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
• КДР 2019 23 регион ответы и задания май 2019 год
• КДР 2019 задания и ответы по английскому языку 8 класс 21 мая 2019 год
• КДР 2019 ответы и задания апрель 2019 год
• КДР 2019 ответы по географии 9 класс 15 февраля
• КДР 2019 химия 9 и 10 класс ответы 19 марта 2019 год
• КДР 2019-2020 декабрь 23 регион ответы и задания
• КДР 2020 январь 23 регион ответы и задания Краснодарский край
• КДР 9 класс русский язык ответы и задания 14 декабря 2018
• КДР Английский язык 8 класс ответы и задания 2018-2019
• КДР апрель 2017 работы задания и ответы
• КДР апрель 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
• КДР декабрь 2017 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
• КДР задания и ответы
• КДР задания и ответы комплексная работа 3 класс 2018 год
• КДР задания и ответы комплексная работа 4 класс варианты 2018 год
• КДР Май 2017 работы задания и ответы
• КДР Май 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
• КДР математика 11 класс задания и ответы 28 февраля 2018 год
• КДР математика 7 класс ответы и задания 12.04
• КДР математика 9 класс 19.04
• КДР ответы и задания 23 регион Январь 2019
• КДР ответы и задания для Краснодарского края 23 регион ДЕКАБРЬ 2018
• КДР ответы и задания математика 10-11 класс 23 ноября 2018
• КДР ответы и задания НОЯБРЬ 2018 для Краснодарского края 23 регион
• КДР ответы и задания октябрь 2018 для Краснодарского края 23 регион
• КДР ответы и задания по английскому языку 9 10 11 класс 8 февраля 2018
• КДР ответы и задания по Биологии 10 класс 23 января 2018
• КДР ответы и задания по Биологии 11 класс 23 января 2018
• КДР ответы и задания по Биологии 9 класс 23 января 2018
• КДР ответы и задания по Географии 10 класс 25 января 2018
• КДР ответы и задания по Географии 9 класс 25 января 2018
• КДР ответы и задания по информатике 10 класс 18 января 2018
• КДР ответы и задания по информатике 9 класс 18 января 2018
• КДР ответы и задания по истории 9 10 11 класс 13 февраля 2018
• КДР ответы и задания по обществознанию 9 10 11 класс 1 февраля 2018
• КДР ответы и задания по русскому языку 9 класс 6 февраля 2018
• КДР ответы и задания по химии 10 11 класс 6 февраля 2018
• КДР ответы математика 7 класс 30 января 2019
• КДР ответы русский язык 9 класс 6 февраля 2019
• КДР ответы физика 9-10 класс 31 января 2019
• КДР по алгебре 8 класс ответы и задания 2018-2019
• КДР ПО ГЕОГРАФИИ 11 КЛАСС 23 регион ответы и задания 22 февраля
• КДР по литературе 10 11 класс 2018 ответы и задания
• КДР по литературе 10 класс ответы
• КДР по Математике 9 класс официальные ответы
• КДР по русскому языку для 9 классов
• КДР русский язык 7 8 класс ответы и задания
• КДР русский язык 7-8 класс ответы 17.05
• КДР февраль 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
• КДР январь 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
• Кенгуру 2017 9 класс ответы
• Кенгуру 2017 ответы и задания 2-10 класс
• Кенгуру 2019 ответы и задания 5-6 класс
• Кенгуру 2019 ответы и задания для 7-8 класса
• КИТ 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
• КИТ 8-9 класс ответы и задания 2018-2019
• КИТ-2019 ответы и задания 10-11 класс 27 ноября 2019-2020
• Комплексная работа ФГОС 5 6 7 8 9 класс ответы и задания 30 ноября 2018
• Конкурс АСТРА 2019 ответы и задания 5-6 класс 20 ноября 2019
• Конкурс КИТ 2018 4-5 класс ответы и задания
• Конкурс КИТ 2019 ответы и задания 2-3 класс 27 ноября 2019
• Контакты
• Контрольная входная работа по русскому языку 10 класс ответы и задания 2019-2020
• Контрольная работа за 1 полугодие по русскому языку 7 класс ответы и задания
• Контрольная работа по математике 11 класс 2 четверть в формате ЕГЭ 3 варианта с ответами
• Контрольная работа по русскому языку 10 класс за 1 полугодие 2 варианта с ответами
• Контрольная работа по русскому языку 8 класс за 1 полугодие 2 четверть задания и ответы
• Контрольные срезы 56 регион ответы и задания октябрь 2019-2020
• Корзина
• Критерии ответы и задания по физике 11 класс статград 23 марта 2018
• Критерии ответы по информатике 11 класс статград 16 марта 2018
• Критерии ответы по русскому языку 11 класс статград 2018
• Кружила январская метелица скрипели мерзлые готовые сочинения ЕГЭ
• Куда поступить после 11 класса в 2017 году
• Литература 11 класс ответы и задания ЕГЭ статград 22.03.2018
• Литература 11 класс СтатГрад задания и ответы
• Литература 9 класс ОГЭ 2019 год
• Литература 9 класс ответы и задания статград 22 ноября 2018 год
• Литература 9 класс статград ОГЭ сочинение ответы 14 марта 2018
• Литература ОГЭ 2018 платно
• Литература олимпиада ВОШ задания муниципальный этап 2018-2019
• Литература ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
• Литература ответы и задания школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
• Литература школьный этап 2019-2020 задания и ответы олимпиады ВОШ
• Математика 7 классов 56 регион задания и ответы
• Математика 10 класс (вероятность и статистика)
• Математика 10 класс 56 регион ответы 16.05
• Математика 10 класс вероятность и статистика ответы и задания 4 апреля 2019
• Математика 10 класс задания и ответы мониторинговая работа ФГОС 2019-2020
• Математика 10 класс ответы и задания 18.05
• Математика 10 класс ответы и задания статград
• Математика 10 класс ответы и задания статград 2018-2019
• Математика 10 класс статград ответы и задания 29.03.2018
• Математика 10 класс статград ответы и задания БАЗА и ПРОФИЛЬ
• Математика 10 класс тригонометрия ответы статград 18.12.2018
• Математика 10-11 класс ответы и задания варианты статград 17 мая 2019
• Математика 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
• Математика 11 класс 17 декабря 2019 контрольная работа задания и ответы
• Математика 11 класс диагностическая работа ЕГЭ профиль задания и ответы для 11 региона
• Математика 11 класс КДР ответы и задания 28 февраля
• Математика 11 класс ответы база профиль статград 24 января 2019
• Математика 11 класс ответы и задания БАЗА ПРОФИЛЬ 20.09
• Математика 11 класс ответы и задания тренировочная работа №5 19 апреля 2019
• Математика 11 класс ответы статград БАЗА ПРОФИЛЬ 20.12.2018
• Математика 11 класс профиль 56 рег
• Математика 11 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 13 марта 2019
• Математика 3 класс задания ВСОКО МЦКО итоговая работа 2019
• Математика 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
• Математика 4 класс ВПР ответы 25.04
• Математика 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
• Математика 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
• Математика 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
• Математика 5 класс задания и ответы СтатГрад варианты 12 сентября 2017 год
• Математика 5 класс контрольная работа за 1 полугодие задания и ответы 2019-2020
• Математика 5 класс официальная демоверсия ВПР 2020 задания и ответы
• Математика 5 класс платно
• Математика 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
• Математика 6 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
• Математика 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
• Математика 6 класс ответы СтатГрад 15.05
• Математика 7 класс ответы и задания варианты МА70301 МА70302 14 мая 2019
• Математика 7 класс РДР ответы 2018-2019
• Математика 8 класс 56 регион 17.03
• Математика 8 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
• Математика 8 класс входная контрольная работа ответы и задания 2019-2020
• Математика 8 класс задания и ответы работа статград 12 сентября 2017
• Математика 8 класс ответы и задания варианты МА80201 МА80202 14 мая 2019
• Математика 8 класс ответы и задания по диагностической работе 11 регион 2018-2019
• Математика 8 класс статград ответы и задания
• Математика 9 класс – 64 регион ответы
• Математика 9 класс 12 ноября 2019 ответы и задания работа статград МА1990201-04
• Математика 9 класс 13.02
• Математика 9 класс 56 рег ответы
• Математика 9 класс контрольная работа в формате ОГЭ 4 варианта ответы и задания
• Математика 9 класс ОГЭ 2018 ответы и задания
• Математика 9 класс ответы 11 регион 18.12.2018
• Математика 9 класс ответы 15.05 СтатГрад
• Математика 9 класс ответы и задания 11 регион 4 октября 2018
• Математика 9 класс ответы и задания варианты 56 регион 10 октября 2019
• Математика 9 класс ответы и задания РПР 64 регион 20.12.2018
• Математика 9 класс ответы и задания статград 19 марта 2019
• Математика 9 класс ответы и задания статград варианты 15 мая 2019 год
• Математика 9 класс ответы РПР 64 регион 2019 3 этап 20 марта
• Математика 9 класс пробник статград ответы и задания 21 марта 2018
• Математика 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
• Математика 9 класс статград ответы и задания 13 февраля 2018 года
• Математика 9 класс статград ответы и задания 27.09.2018
• Математика База платно
• Математика геометрия 9 класс КДР ответы и задания 20 февраля 2018
• Математика задания и ответы муниципальный этап ВОШ 2018-2019 для Москвы
• Математика олимпиада ВОШ 2018-2019 школьный этап задания и ответы
• Математика ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
• Математика профиль 11 класс 56 регион контрольная работа 18.12.2018
• Математика тренировочная работа 9 класс ответы статград 8 ноября 2018 года
• Математическая вертикаль ответы и задания 2020-2021 учебный год
• Международный молодёжный предметный чемпионат по правоведению для 10-11 классов.
• Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2017-2018 задания и ответы
• Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2018-2019 ответы и задания
• Многопрофильная олимпиада Звезда 2019-2020 ответы и задания
• Многопрофильная олимпиада Звезда 2020-2021 ответы и задания
• Мой аккаунт
• Мониторинговая работа аудирование по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019-2020
• Мониторинговая работа по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019
• Мониторинговая работа по русскому языку 5 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
• Мониторинговая работа по русскому языку 8 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
• Мониторинговые работы 56 регион ответы и задания сентябрь 2019
• Московская олимпиада школьников 2020-2021 ответы и задания
• Московский турнир юных физиков задания 2019-2020 учебный год
• МПУ МЦКО 4 класс задания 31 января 2019 год
• Муниципальный этап 2019 олимпиады по испанскому языку задания и ответы ВОШ
• Муниципальный этап 2019 олимпиады по истории задания и ответы ВСОШ
• Муниципальный этап 2019-2020 олимпиада по ОБЖ ответы и задания для Москвы
• Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по химии задания и ответы Московская область
• Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по экологии ответы и задания ВсОШ Москва
• Муниципальный этап 2019-2020 по литературе ответы и задания ВсОШ Москва
• Муниципальный этап ВОШ 2018 по праву задания и ответы для Москвы
• Муниципальный этап ВОШ 2018-2019 задания по химии в Московской области
• Муниципальный этап ВОШ по астрономии ответы и задания 2018-2019 учебный год
• Муниципальный этап ВОШ по ОБЖ ответы и задания 2018-2019
• Муниципальный этап олимпиады 2019 по искусству МХК задания и ответы ВСОШ
• Муниципальный этап олимпиады 2019-2020 по астрономии задания и ответы Московская область
• Муниципальный этап олимпиады по биологии ответы и задания 19 октября 2019
• Муниципальный этап по астрономии всероссийской олимпиады задания 2018-2019
• Муниципальный этап по обществознанию 2019-2020 ответы и задания ВСОШ Москва
• Муниципальный этап по экономике всероссийская олимпиада 2018-2019
• МХК искусство задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 учебный год
• МХК искусство школьный этап 2019 ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
• МХК муниципальный этап 8 ноября задания всероссийской олимпиады 2018-2019
• МЦКО 2019-2020 расписание и демоверсии диагностических работ
• МЦКО 2020-2021 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
• МЦКО 7 класс математика ответы 13 февраля 2018
• МЦКО 8 класс метопредмет ответы и задания 27 февраля
• МЦКО 8 класс ответы 15.03
• МЦКО история 10 класс ответы 25.10.2018
• МЦКО математика 3 класс задания
• Мцко математика 7 класс 02.03.17
• МЦКО математика 9 класс варианты задания и ответы 2019-2020
• МЦКО математика 9 класс ответы и задания 3 октября 2018
• МЦКО ответы и задания по русскому языку 11 класс 18 января 2018
• МЦКО ответы и задания по русскому языку 7 8 класс 1 февраля 2018
• МЦКО по физике для 9 классов
• МЦКО русский язык 9 класс ответы 2018-2019
• МЦКО физика для 7 классов ответы и задания
• Направления тем итогового сочинения 2017-2018
• Наше наследие 1-4 класс школьный тур ответы и задания 2019-2020
• Наше наследие 5-11 класс муниципальный тур ответы и задания 2019-2020
• Наше наследие олимпиада задания и ответы 2017-2018
• Наше наследие ответы и задания 5-6 класс школьный тур 2019-2020
• Наше наследие ответы и задания 9-11 класс школьный тур 2019-2020
• Новый тренировочный вариант 200622 по биологии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
• Новый тренировочный вариант 200622 по физике 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
• Новый тренировочный вариант 210201 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
• Новый тренировочный вариант 210201 по истории 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
• Новый тренировочный вариант 210201 по литературе 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
• Новый тренировочный вариант 210201 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
• Новый тренировочный вариант 210208 по химии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
• Новый тренировочный вариант 34072997 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
• Новый тренировочный вариант 34072998 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
• Новый тренировочный вариант 34072999 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
• Новый тренировочный вариант 34073000 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
• Новый тренировочный вариант ЕГЭ 34073001 по математике профильный с ответами
• Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по биологии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
• Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по физике 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
• О нас
• ОБ1910201-ОБ1910204 ответы и задания обществознание 11 класс 13 декабря 2019
• ОБЖ школьный этап задания и ответы олимпиады ВОШ 2019-2020
• Обществознание 10 класс КДР 2019 задания и ответы 01.03.2019
• Обществознание 11 класс 04.05
• Обществознание 11 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
• Обществознание 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания 19 марта 2018
• Обществознание 11 класс СтатГрад задания и ответы
• Обществознание 11 класс Статград ответы и задания
• Обществознание 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
• Обществознание 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
• Обществознание 9 11 класс контрольная работа 56 регион 20 февраля 2018
• Обществознание 9 класс 19 декабря 2019 ответы и задания ОБ1990201-ОБ1990204
• Обществознание 9 класс КДР 2019 ответы 01.03.2019
• Обществознание 9 класс ответы и задания 29 апреля 2019 тренировочная №5
• Обществознание 9 класс СтатГрад задания и ответы
• Обществознание 9 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
• Обществознание 9 класс тренировочная работа №1 ответы и задания 21.09
• ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ для 9 классов Республика Коми, 11 регион
• Обществознание ОГЭ 2018 платно
• ОГЭ
• ОГЭ 2017 закрытый раздел
• ОГЭ 2018 Математика платно
• ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 24 региона
• ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 54 региона
• ОГЭ 2019 официальное расписание экзаменов 9 класс
• ОГЭ английский язык 2018 ответы и задания 9 класс
• Одно желание было у лейтенанта Бориса Костяева готовые сочинения ЕГЭ
• Окружающий мир 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
• Окружающий мир 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
• Олимпиада Звезда заключительный тур 2017-2018 задания и ответы
• Олимпиада Ломоносов по математике 11 класс задания и ответы 2018-2019
• Олимпиада Наше Наследие 2019-2020 учебный год задания и ответы
• Олимпиада Наше Наследие 2020-2021 учебный год ОВИО задания и ответы
• Олимпиада Наше Наследие задания и ответы 2018-2019 учебный год
• Олимпиада основы православной культуры задания и ответы 2019-2020
• Олимпиада по английскому языку 8-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 17 апреля 2020
• Олимпиада по английскому языку задания и ответы муниципального этапа 2019
• Олимпиада по английскому языку школьный этап 2017 задания
• Олимпиада по астрономии муниципальный этап 2019 задания и ответы
• Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап 2019 ВОШ
• Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап ВсОШ 23-24 октября 2019
• Олимпиада по математике НТИ отборочный этап ответы и задания 2018-2019
• Олимпиада по МХК школьный этап 2017 задания
• Олимпиада по обществознанию школьный этап 2017 задания
• Олимпиада по праву школьный этап 2017 задания
• Олимпиада по русскому языку задания и ответы школьного этапа 2019
• Олимпиада по физической культуре муниципальный этапа 2019-2020 задания и ответы
• Олимпиада по экологии 4-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 15 апреля 2020
• Олимпиада по экологии ответы и задания школьный этап 2019-2020 Московская область
• Олимпиада по экологии школьный этап 2017 задания
• Олимпиада РОСАТОМ 2018-2019 задания и ответы
• Олимпиада ФИЗТЕХ 11 класс ответы и задания 2018-2019
• Олимпиада школьников САММАТ 2019-2020 ответы и задания
• Олимпиады
• Оплата заказа
• Оренбургская область 56 регион задания и ответы работы январь 2018
• Отборочные задания по математике для физико-математической школы 2019 год
• Отборочные задания по физике для физико-математической школы 2019 год
• Ответы 56 регион математика 8 класс 19 декабря 2018
• Ответы 7 8 класс золотое руно 2019 с заданиями
• Ответы 9-11 класс золотое руно задания 2019
• Ответы английский язык 7 8 9 класс говорение 56 регион 2018-2019
• Ответы английский язык для 9 классов 56 регион
• Ответы ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №5
• Ответы для реального задания №10 ВПР 2020 по географии 6 класс
• Ответы для реального задания №9 ВПР 2020 по географии 6 класс
• Ответы задания и сочинения татарский язык ЕРТ
• Ответы задания изложение по русскому языку 9 класс СтатГрад 8 февраля 2018
• Ответы и задания 1-2 класс конкурс АСТРА 20 ноября 2019-2020
• Ответы и задания 10-11 класс КИТ 2018
• Ответы и задания 11 класс кенгуру выпускника 2019
• Ответы и задания 12.04.2018
• Ответы и задания 2 класс пегас 2019
• Ответы и задания 2 класс чип 2019-2020 Австралия
• Ответы и задания 3-4 класс золотое руно 2019
• Ответы и задания 3-4 класс кенгуру 2019 год
• Ответы и задания 3-4 класс пегас 2019
• Ответы и задания 3-4 класс ЧИП 2019 год
• Ответы и задания 4-5 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
• Ответы и задания 4-5 класс русский медвежонок 14 ноября 2019
• Ответы и задания 5-6 класс Гелиантус (астра) 2018-2019
• Ответы и задания 5-6 класс золотое руно 2019 год
• Ответы и задания 6-7 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
• Ответы и задания 6-7 класс русский медвежонок 2018-2019
• Ответы и задания 8-9 класс русский медвежонок 2018-2019
• Ответы и задания 9 класс кенгуру выпускника 2019
• Ответы и задания 9-10 класс кенгуру 2019 год
• Ответы и задания английский язык 9 класс диагностика №2 22 марта 2019
• Ответы и задания БИ10401 и БИ10402 биология 11 класс 4 марта 2019
• Ответы и задания биология 11 класс статград
• Ответы и задания биология 11 класс статград 30 ноября 2018
• Ответы и задания ВПР по географии 10-11 класс 03.04.2018
• Ответы и задания география 11 класс статград 9 декабря 2019 ГГ1910201
• Ответы и задания для конкурса Кенгуру 2020 11 класс
• Ответы и задания для конкурса по информатике КИТ 1-11 класс 29 ноября 2017 год
• Ответы и задания для Оренбургской области 56 регион март 2019
• Ответы и задания для пробных работ 56 региона 2018
• Ответы и задания для работ 15.02.2017
• Ответы и задания для работы статград по истории 9 класс
• Ответы и задания золотое руно 2019 1-2 класс
• Ответы и задания информатика 11 класс ИН1910101 ИН1910102 23 сентября 2019
• Ответы и задания история 9 класс статград 29 ноября 2018 год
• Ответы и задания КДР 23 регион март 2019 год
• Ответы и задания КДР геометрия 8 класс 16 ноября 2018 года
• Ответы и задания кенгуру 2 класс 2019 год
• Ответы и задания кенгуру выпускника 4 класс 2019
• Ответы и задания контрольная по математике 7 класс
• Ответы и задания контрольных работ для 56 региона декабрь 2019
• Ответы и задания МЦКО английский язык 9 класс 2018
• Ответы и задания ОГЭ 2018 по математике 9 класс
• Ответы и задания олимпиада звезда по обществознанию 2019-2020 отборочный этап
• Ответы и задания олимпиады по физкультуре 8,9,10 класс пригласительный этап 28 апреля 2020
• Ответы и задания по астрономии школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
• Ответы и задания по биологии 11 класс 30 января 2018 СтатГрад
• Ответы и задания по биологии 11 класс статград 12.09
• Ответы и задания по биологии 9 класс 17.09 статград
• Ответы и задания по Биологии 9 класс 24 января 2018 СтатГрад
• Ответы и задания по биологии 9 класс БИ1990101-02 статград 14 октября 2019
• Ответы и задания по биология 9 класс СтатГрад 2018
• Ответы и задания по информатике 11 класс статград 14.09
• Ответы и задания по информатике 9 класс статград 19.09
• Ответы и задания по информатике 9 класс СтатГрад 31 января 2018
• Ответы и задания по Истории 11 класс 23 января 2018 СтатГрад
• Ответы и задания по истории 11 класс ИС1910101 ИС1910102 27 сентября 2019
• Ответы и задания по истории 9 класс 18 января 2018 СтатГрад
• Ответы и задания по истории школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
• Ответы и задания по итальянскому языку школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
• Ответы и задания по китайскому языку олимпиада школьный этап 2019-2020
• Ответы и задания по литературе школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020 московская область
• Ответы и задания по математике 10 класс контрольная работа
• Ответы и задания по математике 11 класс 25 января 2018 СтатГрад
• Ответы и задания по математике 11 класс ЕГЭ база 56 регион 04.04.18
• Ответы и задания по математике 11 класс мониторинговая работа 2019-2020
• Ответы и задания по математике 8 класс статград 11.09
• Ответы и задания по математике 9 класс 12 декабря 2019 статград все варианты
• Ответы и задания по математике 9 класс 56 регион 4 декабря 2018
• Ответы и задания по математике 9 класс МА1990101-МА1990104 3 октября 2019
• Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада
• Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
• Ответы и задания по МХК искусство всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020
• Ответы и задания по ОБЖ всероссийская олимпиада 2018-2019
• Ответы и задания по ОБЖ школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
• Ответы и задания по обществознанию 11 класс ОБ10101 ОБ10102 статград 2018-2019
• Ответы и задания по обществознанию 9 класс 26 января 2018 СтатГрад
• Ответы и задания по обществознанию ОГЭ 2018
• Ответы и задания по праву муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
• Ответы и задания по русскому языку 11 класс 19 января 2018 СтатГрад
• Ответы и задания по русскому языку 11 класс 2 октября 2019 РУ1910101 РУ1910102
• Ответы и задания по Русскому языку 11 класс статград 28 марта 2018
• Ответы и задания по русскому языку 7 класс входная работа
• Ответы и задания по русскому языку 8 класс 56 регион
• Ответы и задания по русскому языку 9 класс МЦКО 1 октября 2019
• Ответы и задания по русскому языку 9 класс статград РУ1990101-02 16 октября 2019
• Ответы и задания по Русскому языку КДР 11 класс январь 2019
• Ответы и задания по русскому языку муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
• Ответы и задания по русскому языку ОГЭ 2018
• Ответы и задания по русскому языку олимпиада школьный этап 22 октября 2019
• Ответы и задания по физике 10 класс КДР 30 января 2018
• Ответы и задания по физике 11 класс ВОШ 2018-2019
• Ответы и задания по физике 11 класс ВПР 2018 10.04.18
• Ответы и задания по физике 11 класс КДР 30 января 2018
• Ответы и задания по физике 9 класс 29 января 2018 СтатГрад
• Ответы и задания по физике 9 класс КДР 30 января 2018
• Ответы и задания по физике 9 класс статград
• Ответы и задания по физике школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
• Ответы и задания по химии 11 класс 28 ноября 2018
• Ответы и задания по химии 11 класс ВПР 2018 05.04.18
• Ответы и задания по химии 11 класс статград ХИ1910101 и ХИ1910102 15 октября 2019
• Ответы и задания по химии 9 класс статград ХИ1990101-ХИ1990104 21 октября 2019
• Ответы и задания по химии 9 класс тренировочная работа статград
• Ответы и задания по экологии школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
• Ответы и задания русский язык 11 класс варианты 16 мая 2019 год
• Ответы и задания русский язык 7 класс ВПР 9 апреля 2019 год
• Ответы и задания русский язык 9 класс 56 регион 06.04.18
• Ответы и задания стартовая работа русский язык 8 класс 23 сентября 2019
• Ответы и задания статград обществознание 11 класс 14 декабря 2018
• Ответы и задания статград по физике 9 класс варианты 24 октября 2019
• Ответы и задания тренировочная №4 история 9 класс 21 марта 2019
• Ответы и задания ФИ90401 и ФИ90402 физика 9 класс 4 марта 2019
• Ответы и задания Физика ОГЭ 2018 9 класс
• Ответы и задания ЧИП 1-2 класс 2019
• Ответы и задания школьный этап по математике всероссийской олимпиады новосибирская область 2019-2020
• Ответы и задания школьный этап по физике всероссийской олимпиады в Московской области 2019-2020
• Ответы КДР 2019 по информатике 10 класс 15 марта 23 регион
• Ответы КДР 2019 по информатике 9 класс 15 марта 23 регион
• Ответы КДР 2019 по литературе 10 класс 15 марта 23 регион
• Ответы КДР 2019 по литературе 9 класс 15 марта 23 регион
• Ответы КДР 23 регион биология 11 класс 21.12.2018
• Ответы КДР 23 регион история 11 класс 21.12.2018
• Ответы КДР задания 23 регион Февраль 2019 год
• Ответы КДР литература 11 класс 14 декабря 2018
• Ответы КДР физика 11 класс 14 декабря 2018
• Ответы МЦКО математика 10 класс 5 декабря 2018
• Ответы МЦКО математика 11 класс 28 ноября 2018
• Ответы МЦКО по истории 9 класс 19.09
• Ответы на тренировочная работа по химии 9 класс “СтатГрад”
• Ответы на тренировочную работу по русскому языку 11 класс
• Ответы обществознание 9 класс статград 5 декабря 2018
• Ответы обществознание для 10 классов 23 регион
• Ответы ОГЭ 2018 английский язык
• Ответы ОГЭ 2018 русский язык
• Ответы олимпиада по праву 9 класс школьный этап ВОШ 2018-2019
• Ответы олимпиада по физике 9 класс 2018-2019
• Ответы по английскому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
• Ответы по английскому языку олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
• Ответы по астрономии школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
• Ответы по биологии 9 10 11 класс вош 2018-2019 школьный этап
• Ответы по биологии для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
• Ответы по географии ВОШ олимпиада школьный этап 2018-2019
• Ответы по географии для 9 классов 11 регион
• Ответы по информатике 11 класс 12.05
• Ответы по искусству МХК олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
• Ответы по истории 11 класс статград тренировочная работа №1 26.09
• Ответы по истории 11 класс школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
• Ответы по истории 9 класс статград
• Ответы по истории для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
• Ответы по математике 7-8 класс КДР
• Ответы по математике 8 класс МЦКО 28 марта 2018
• Ответы по математике 9 класс 64 регион
• Ответы по математике 9 класс СтатГрад 15.02
• Ответы по немецкому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
• Ответы по русскому языку 11 класс 11 регион 13.02
• Ответы по русскому языку для 7 и 8 класс 12.05
• Ответы по русскому языку школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
• Ответы по тренировочная работа по биологии 11 класс
• Ответы по тренировочная работа по обществознанию 9 класс
• Ответы по физике 9 класс ФИ90201 и ФИ90202 статград 7 декабря 2018
• Ответы по физике, биологии для 11 классов 56 регион 16.02
• Ответы по химии 11 класс пробное ЕГЭ статград 12 марта 2019
• Ответы по химии 9 класс статград 19 декабря 2018
• Ответы по химии, информатике, географии, обществознанию для 9 классов
• Ответы по экологии школьный этап ВОШ 2018-2019
• Ответы репетиционный экзамен по математике 9 класс пробное ОГЭ 9 февраля 2018
• Ответы РПР по математике 9 класс 64 регион 3 этап 2018
• Ответы русский язык 10 класс 56 регион 12.05
• Ответы русский язык 5-8 класс контрольная работа за 1 полугодие 56 регион 2018
• Ответы статград география 11 класс 11.12.2018
• Ответы СтатГрад по обществознанию 9 класс
• Ответы статград по обществознанию 9 класс варианты ОБ1990101-02 23 октября 2019
• Ответы тренировочная работа по истории 9 класс
• Ответы тренировочная работа по математике 10 класс 08.02.2017
• Ответы тренировочная работа по русскому языку 9 класс 09.02.2017
• Ответы тренировочная работа по химии 11 класс 14.02
• Ответы физике для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
• Отзывы прошлых лет
• Отзывы с первого экзамена ОГЭ 2018 по английскому языку
• Отзывы с первых экзаменов ЕГЭ 2017
• Отзывы с прошедших экзаменов ОГЭ 2019
• Отзывы с экзамена по русскому языку ОГЭ 2018
• Открытый банк заданий и ответы ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку 11 класс
• Официальные работы РДР 2019-2020 для 78 региона
• Официальные работы РДР для 78 региона 2018-2019 учебный год
• Официальные РДР 2020 для Московской области задания и ответы
• Официальные РДР 2021 для Московской области задания и ответы
• Официальные темы для Республика Саха (Якутия) Сахалинская область итоговое сочинение 2018-2019
• Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+1
• Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+6
• Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса МСК
• Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK +9
• Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK+7
• Оформление заказа
• Пегас 2018 задания и ответы 7 февраля конкурс по литературе
• Пегас 2019 5-6 класс ответы и задания
• Пегас 2019 7-8 класс ответы и задания
• Пегас 2019 ответы для 9-11 класса
• Письмо английский язык 7 8 9 класс 56 регион ответы и задания
• Платно русский язык 9 класс
• Поддержать проект
• Полугодовая контрольная работа по русскому языку 11 класс задания и ответы 2019-2020
• ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ
• Предэкзаменационная работа задания и ответы по информатике 9 класс ОГЭ 2019
• Предэкзаменационная работа задания и ответы по математике 11 класс ЕГЭ 2019
• Пробная (тренировочная) ВПР 2019 география 10-11 класс ответы и задания
• Пробное (тренировочное) ВПР 2019 биология 11 класс ответы и задания
• Пробное (тренировочное) ВПР 2019 география 6 класс ответы и задания
• Пробное (тренировочное) ВПР 2019 математика 7 класс ответы и задания
• Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 4 класс ответы и задания
• Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 5 класс ответы и задания
• Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 6 класс ответы и задания
• Пробное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 11 класс
• Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 5 класс
• Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 7 класс
• Пробное ВПР 2019 по истории 5 класс ответы и задания
• Пробное ВПР 2019 по истории 6 класс ответы и задания
• Пробное ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания
• Пробное Итоговое собеседование 9 класс русский язык ОГЭ 2019 задания
• Пробный экзамен по обществознанию и литературе для 11 классов ответы
• Работа по математике 11 класс статград ответы и задания 25 сентября 2019
• Работа статград по русскому языку 9 класс 3 декабря 2019 ответы и задания
• Работы (задания+ответы) для Республики Коми Март 2017
• Работы (задания+ответы) Март 2017 СтатГрад
• Работы (задания+ответы) Февраль 2017
• Работы (задания+ответы) Январь 2017
• Работы 56 регион ответы и задания май 2019 год
• Работы для 56 региона Май 2018 ответы и задания
• Работы для Оренбургской области
• Работы для Республики Коми Декабрь 2017 задания и ответы
• Работы для Республики Коми Ноябрь 2017 задания и ответы
• Работы для Республики Коми Октябрь 2017 задания и ответы
• Работы задания и ответы по регионам
• Работы МЦКО демоверсии задания и ответы
• Работы СтатГрад 2018 февраль задания и ответы
• Работы СтатГрад апрель 2018 задания и ответы
• Работы Статград ВПР задания и ответы февраль 2019
• Работы статград ВПР март 2019 задания и ответы
• Работы СтатГрад декабрь 2017 задания и ответы
• Работы статград декабрь 2018-2019 ответы и задания
• Работы статград декабрь 2019 задания и ответы 2019-2020 учебный год
• Работы статград задания и ответы ноябрь 2019-2020 учебный год
• Работы СтатГрад задания и ответы октябрь 2018
• Работы статград задания и ответы октябрь 2019-2020 учебный год
• Работы СтатГрад задания и ответы сентябрь 2018
• Работы СтатГрад март 2018 задания и ответы
• Работы СтатГрад ноябрь 2017 задания и ответы
• Работы СтатГрад октябрь 2017 задания и ответы
• Работы СтатГрад сентябрь 2017 задания и ответы
• Работы статград сентябрь 2019 год ответы и задания
• Работы СтатГрад январь 2018 задания и ответы
• Работы статград январь 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
• Работы СтатГрад, КДР за апрель 2017
• Работы СтатГрад, КДР за май 2017
• Работы СтатГрад, КДР за март 2017
• Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за февраль 2017
• Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за январь 2017
• Расписание
• Расписание ГИА ОГЭ 2017
• Расписание ЕГЭ 2018 досрочный основной резервный период
• Расписание итогового сочинения 2017-2018
• Расписание проведения экзаменов 9 класса ОГЭ 2018
• Расписание школьных олимпиад 2017-2018 задания и ответы
• Распределения реальных тем итогового сочинения 2017-2018 по зонам регионам
• РДР 2019-2020 по физике 10 класс ответы и задания
• РДР 8 класс ответы и задания по математике 15 ноября 2018
• РДР математика 10 класс 14 ноября 2019 ответы и задания
• РДР математика 6 класс ответы и задания 21 ноября 2019 78 регион
• РДР ответы и задания для Санкт-Петербурга
• РДР по русскому языку 9 класс ответы и задания вариант 1901 и 1902 17 октября 2019
• Реальное ВПР 2020 задание 1 по биологии 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание 2 по биологии 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №10 по биологии 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №12 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №3 по биологии 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №4 по биологии 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №5 по биологии 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №6 по биологии 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №6 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №7 по биологии 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальное ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 5 класс с ответами
• Реальные задания по математике ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2018
• Реальные темы и готовые сочинения 4 декабря 2019 ФИПИ для региона МСК+9
• Реальные темы итогового сочинения 2018-2019 5 декабря
• Реальный вариант с ЕГЭ 2019 по математике 29 мая 2019 год
• Региональный экзамен по математике 7 класс
• Региональный экзамен по математике 7 класс 56 регион ответы и задания
• Региональный экзамен по русскому языку 8 класс 56 регион
• Региональный этап 2019 по астрономии задания и ответы всероссийская олимпиада
• Региональный этап 2019 по географии ответы и задания ВОШ
• Региональный этап 2019 по искусству МХК ответы и задания ВОШ
• Региональный этап 2019 по истории задания и ответы всероссийская олимпиада
• Региональный этап 2019 по немецкому языку задания и ответы
• Региональный этап по биологии задания всероссийская олимпиада 2018-2019
• Региональный этап по математике ответы и задания 2019
• Результаты ЕГЭ 2017 у школьников
• Решать реальное ВПР 2020 задание №8 по биологии 5 класс с ответами
• Решать реальное ВПР 2020 задание №9 по биологии 5 класс с ответами
• Решения и задания муниципального этапа 2019 олимпиады по математике
• РПР 2017-2020 задания и ответы для Саратовской области 64 регион
• РПР математика 9 класс 3 этап задания и ответы 2018-2019
• РПР по математике 9 класс 64 регион задания 2018-2019
• Русский медвежонок 10-11 класс ответы и задания 2018-2019
• Русский медвежонок 14 ноября 2019 ответы и задания 6-7 класс
• Русский медвежонок 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
• Русский медвежонок 2019 ответы и задания для 10-11 класса 14 ноября
• Русский Медвежонок 2019 ответы и задания для 2-3 класса
• Русский медвежонок 2019-2020 ответы и задания 8-9 класс 14 ноября
• Русский медвежонок 4-5 класс ответы и задания 2018-2019
• Русский медвежонок для учителей 2020 год задания и ответы
• Русский язык 10 класс КДР ответы и задания
• Русский язык 10 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
• Русский язык 10 класс ответы и задания 56 регион
• Русский язык 10 класс ответы МЦКО 8 ноября 2018 год
• Русский язык 10 класс СтатГрад ответы 12.05
• Русский язык 10-11 класс ответы и задания 22 апреля 2019 тренировочная №1
• Русский язык 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
• Русский язык 10-11 класс ответы РЯ10901 и РЯ10902 6 марта 2019
• Русский язык 11 класс 03.06.2019
• Русский язык 11 класс 11 ноября 2019 ответы и задания работа статград
• Русский язык 11 класс 56 регион ответы
• Русский язык 11 класс диагностическая работа №5 ответы и задания 8 апреля 2019
• Русский язык 11 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
• Русский язык 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2 варианта задания и ответы
• Русский язык 11 класс мониторинговая работа ответы и задания
• Русский язык 11 класс ответы и задания диагностика 2 статград 18 марта 2019
• Русский язык 11 класс ответы и задания СтатГрад 17.05
• Русский язык 11 класс ответы РЯ10601 и РЯ10602 статград 2018-2019
• Русский язык 11 класс ответы статград 30 января 2019
• Русский язык 11 класс РЯ1910701-РЯ1910702 статград ответы и задания 11 декабря 2019
• Русский язык 11 класс статград 24 октября 2019 ответы и задания РЯ1910601-02
• Русский язык 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
• Русский язык 11 класс СТАТГРАД ответы и задания 28 февраля
• Русский язык 11 класс статград ответы и задания вариант РЯ10201 и РЯ10202 07.11.2018
• Русский язык 11 класс тренировочная работа №1 ответы статград 2018-2019
• Русский язык 3 класс МЦКО ВСОКО задания итоговая работа 2019
• Русский язык 4 класс ВПР 2020 демоверсия задания и ответы ФИПИ
• Русский язык 4 класс задания и ответы мониторинговая работа 2019-2020
• Русский язык 5 класс демоверсия ВПР 2020 ФИПИ задания и ответы
• Русский язык 5 класс ответы и задания 21.09
• Русский язык 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
• Русский язык 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
• Русский язык 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
• Русский язык 6 класс статград ответы и задания 2018-2019
• Русский язык 7 класс 56 регион ответы
• Русский язык 7 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
• Русский язык 7 класс задания и ответы мониторинговая работа 10 сентября 2019
• Русский язык 7 класс ответы и задания РУ1970101 и РУ1970102 26 сентября 2019
• Русский язык 7 класс ответы и задания статград 2018-2019
• Русский язык 7 класс статград ответы и задания
• Русский язык 7-8 класс ответы КДР 23 января 2019
• Русский язык 8 класс 56 регион задания и ответы
• Русский язык 8 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
• Русский язык 8 класс ответы и задания 56 регион
• Русский язык 8 класс ответы и задания 6 мая 2019 итоговая работа
• Русский язык 8 класс стартовая работа ответы и задания 24.09
• Русский язык 8 класс статград ответы и задания
• Русский язык 9 класс 11.05 ответы
• Русский язык 9 класс 74 регион ответы
• Русский язык 9 класс ответы и задания 19 апреля 2019 диагностическая работа №4
• Русский язык 9 класс ответы и задания варианты 13 мая 2019 год
• Русский язык 9 класс ответы и задания диагностика статград 15 марта 2019
• Русский язык 9 класс ответы и задания полугодовая работа 2018-2019
• Русский язык 9 класс ответы изложение статград 2018-2019
• Русский язык 9 класс СтатГрад 17.04
• Русский язык 9 класс СтатГрад задания и ответы
• Русский язык 9 класс статград ОГЭ ответы и задания 15 марта 2018
• Русский язык 9 класс СТАТГРАД ответы и задания
• Русский язык 9 класс статград РЯ90201-РЯ90202 ответы и задания 27.11.
• Русский язык платно
• Русский язык школьный этап 2018-2019 ответы и задания Санкт-Петербург
• Русский язык школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
• РЭ по математике 7 класс 24.05 ответы
• РЭ по русскому языку 7 класс ответы 19.05
• РЭ по русскому языку 8 класс ответы 24.05
• СтатГрад
• Статград 9 класс русский язык ответы и задания 21.12.2018
• СтатГрад апрель 2017 работы задания и ответы
• СтатГрад биология 11 класс 14.04.17
• Статград ВПР работы апрель 2019 ответы и задания
• СТАТГРАД ВПР февраль 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
• Статград география 11 класс ответы и задания март 2018
• Статград география 9 класс ответы и задания 20 ноября 2018
• СтатГрад задания и ответы по обществознанию 11 класс 1 февраля 2018 года
• Статград задания и ответы январь 2018-2019
• Статград информатика 9 класс 27 ноября 2019 ответы и задания ИН1990201-ИН1990204
• СтатГрад информатика 9 класс ответы и задания 5 марта 2018
• Статград история 11 класс 2 варианта ответы и задания 12 марта 2018
• СтатГрад май 2017 работы задания и ответы
• СтатГрад математика 11 класс ответы и задания 6 марта 2018
• Статград Обществознание 11 класс ответы и задания
• Статград обществознание 9 класс ответы и задания 13 марта 2018
• СтатГрад обществознание 9 класс ответы и задания 17.05
• СтатГрад ответы и задания для работ ноябрь 2018
• СтатГрад ответы и задания по математике 10 класс База и Профиль 7 февраля 2018
• СтатГрад ответы и задания по русскому языку 11 класс 6 февраля 2018
• Статград ответы русский язык 11 класс 19.12.2018
• СтатГрад по математике для 11 классов
• Статград работы май 2018 ответы и задания
• Статград работы ответы и задания май 2019
• СтатГрад русский язык диагностические работы 2017 задания и ответы
• Темы итогового сочинения 2017
• Темы на пробное итоговое сочинение для 52 региона
• Темы по направлениям которые будут итоговое сочинение 2018 6 декабря
• Тест по русскому языку 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
• Тренировочная работа по биологии 11 класс
• Тренировочная работа по биологии 9 класс ответы и задания 15 января 2019
• Тренировочная работа по информатике 11 класс
• Тренировочная работа по информатике 9 класс ответы
• Тренировочная работа по математике 10 класс ответы 6 февраля 2019
• Тренировочная работа по математике 11 класс ответы 06.03
• Тренировочная работа по химии 11 класс ответы 8 февраля 2019
• Тренировочная работа статград по географии 11 класс ответы 15.02.2019
• Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 7 класс
• Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 6 класс
• Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по истории 11 класс
• Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по математике 6 класс
• Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по физике 11 класс
• Тренировочные варианты 200203, 200217, 200302 по химии 11 класс с ответами 2020
• Тренировочные варианты ВПР 2020 по химии 8 класс ХИ1980101,ХИ1980102
• Тренировочные варианты ЕГЭ по английскому языку 11 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ЕГЭ по биологии задания с ответами
• Тренировочные варианты ЕГЭ по географии 11 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ЕГЭ по информатике задания с ответами
• Тренировочные варианты ЕГЭ по истории 11 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ЕГЭ по литературе 11 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ЕГЭ по математике 11 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ЕГЭ по обществознанию 11 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ЕГЭ по русскому языку задания с ответами
• Тренировочные варианты ЕГЭ по физике 11 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ЕГЭ по химии 11 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты КДР 10 класс обществознание 2019
• Тренировочные варианты ОГЭ по английскому языку 9 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ОГЭ по биологии 9 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ОГЭ по географии 9 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ОГЭ по информатике 9 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ОГЭ по истории 9 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ОГЭ по обществознанию 9 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ОГЭ по русскому языку 9 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ОГЭ по физике 9 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты ОГЭ по химии 9 класс задания с ответами
• Тренировочные варианты по биологии 10 класс задания с ответами
• Тренировочные задания МЦКО ВСОКО математика 3 класс 2019
• Тренировочные работы для 56 региона задания и ответы сентябрь 2018
• Тренировочные работы для 56 региона Оренбургской области задания и ответы
• Тренировочные работы по математике статград 2017 задания и ответы
• Тренировочный вариант 33006757 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант 33006758 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант 33006759 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант ЕГЭ 34073002 по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант ЕГЭ 34073003 по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант ЕГЭ 34073004 по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант ЕГЭ 34073005 по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант ЕГЭ 34073006 по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант ЕГЭ 34073007 по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант ЕГЭ 34073008 по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант ЕГЭ 34073009 по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант ЕГЭ 34073010 по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант ЕГЭ 34073011 по математике профильный уровень с ответами
• Тренировочный вариант с ответами 200316 по физике 11 класс ЕГЭ 2020
• Тренировочный варианты №191223 и №191209 по химии 11 класс ЕГЭ 2020
• Тренировочный ЕГЭ 2020 математика 11 класс профиль задания и ответы
• Турнир ЛОМОНОСОВ задания и ответы 2018-2019
• Турнир Ломоносова задания и ответы 2019-2020 учебный год
• Условия перепечатки материалов | Правообладателям
• Устная часть английский язык 2018 платно
• Устное собеседование 2019 официальные варианты 13 февраля
• Устное собеседование 9 класс 2019
• Физика 11 класс 7 ноября 2019 статград ответы и задания варианты ФИ1910201-ФИ1910204
• Физика 11 класс ВПР ответы 25.04
• Физика 11 класс ответы и задания 6 мая 2019 тренировочная работа №5
• Физика 11 класс ответы и задания пробник статград 14 февраля 2018
• Физика 11 класс ответы и задания статград 2018
• Физика 11 класс ответы и задания ФИ1910101 ФИ1910102 19 сентября 2019
• Физика 11 класс СтатГрад ответы и задания
• Физика 11 класс тренировочная ЕГЭ №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
• Физика 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
• Физика 9 класс задания и ответы СтатГрад
• Физика 9 класс ответы и задания ФИ90101 и ФИ90102 статград 2018-2019
• Физика 9 класс ответы и задания ФИ90401 ФИ90402 статград
• Физика 9 класс СтатГрад 03.05 ответы
• Физика 9 класс статград ответы и задания 10 декабря 2019 варианты ФИ1990201-ФИ1990204
• Физика ОГЭ 2018 ответы и задания 2 июня
• Физика ОГЭ 2018 платно
• Физика турнир Ломоносова задания 2018-2019
• Физическая культура 10 ноября задания муниципальный этап всероссийская олимпиада 2018-2019
• ФИПИ открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по русскому языку Лексика и фразеология
• Французский язык 7-11 класс муниципальный этап 2019-2020 ответы и задания Москва
• Химия 11 класс 10.05 СтатГрад ответы
• Химия 11 класс ВПР 27.04 задания и ответы
• Химия 11 класс ЕГЭ статград ответы и задания 14 марта 2018
• Химия 11 класс ответы для ХИ10101 ХИ10102 статград 19.10
• Химия 11 класс ответы и задания 28 ноября 2019 статград ХИ1910201-ХИ1910204
• Химия 11 класс ответы и задания варианты статград 13 мая 2019 год
• Химия 11 класс ответы и задания СтатГрад 9 февраля 2018 года
• Химия 11 класс СтатГрад задания и ответы
• Химия 9 класс задания и ответы СтатГрад
• Химия 9 класс КДР ответы и задания 15 февраля 2018 года
• Химия 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
• Химия 9 класс ОГЭ статград ответы и задания 15 февраля 2018
• Химия 9 класс ответы и задания 16.05
• Химия 9 класс ответы и задания ОГЭ статград 22.03.2018
• Химия 9 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
• Химия 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
• Химия ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
• Химия ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
• Частная группа
• ЧИП Австралия 23 октября 2019 ответы и задания 7-8 класс
• ЧИП Австралия 3-4 класс ответы и задания 23 октября 2019-2020
• ЧИП Австралия ответы и задания 5-6 класс 23 октября 2019-2020
• ЧИП мир сказок 2019 ответы и задания для 1 класса 5-7 лет
• Читательская грамотность 4 класс МЦКО 2019 тестирование
• Чтение читательская грамотность 3 класс МЦКО ВСОКО задания 2019
• Школьные конкурсы расписание 2017-2018
• Школьные олимпиады и конкурсы 2017-2018 задания и ответы
• Школьный тур наше наследие 7-8 класс ответы и задания 2019-2020
• Школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада по астрономии ответы и задания
• Школьный этап 2019-2020 олимпиады ВОШ по физике ответы и задания
• Школьный этап 2019-2020 по биологии ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
• Школьный этап 2019-2020 по испанскому языку ответы и задания всероссийской олимпиады
• Школьный этап 2019-2020 по праву задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников
• Школьный этап 2019-2020 по праву ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
• Школьный этап 2019-2020 по русскому языку ответы и задания всероссийская олимпиада школьников
• Школьный этап ВОШ 2019-2020 ответы и задания по французскому языку
• Школьный этап ВОШ по информатике ответы и задания 2018-2019
• Школьный этап ВОШ по испанскому языку ответы и задания 2018-2019
• Школьный этап ВОШ по математике задания и ответы 2018-2019
• Школьный этап ВСЕРОССИЙСКИХ олимпиад 2017-2018 задания
• Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по обществознанию 2019-2020 учебный год
• Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по физической культуре 2019-2020
• Школьный этап ВсОШ 2019-2020 ответы и задания по обществознанию
• Школьный этап олимпиады по информатике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
• Школьный этап олимпиады по математике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
• Школьный этап олимпиады по экономике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
• Школьный этап по английскому языку 2019-2020 задания и ответы московская область
• Школьный этап по ОБЖ задания и ответы всероссийская олимпиада 2019-2020
• Экзамен по географии ОГЭ 2019
• Экономика олимпиада муниципальный этап 2019 ВсОШ задания и ответы

Импульс. Закон сохранения импульса — Электронный учебник по законам сохранения

Задача 1

Вдоль оси Ох движется тело массой m=1 кг со скоростью V₀= 2 м/с. Вдоль направления движения действует сила F = 4 Н в течение некоторого времени t = 2 с. Определите скорость тела после окончания действия этой силы.

Для решения этой задачи в первую очередь важно вспомнить о том, что такое импульс, импульс тела .

 

 

Рис. 1. Выбор системы отсчета

 

 

 

 

Вспоминая, что импульс силы – это изменение импульса тела, запишем следующее выражение: .

Теперь уравнение согласуем с выбранной системой отсчета. Сила F при проекции на ось Х будет с положительным знаком, а значит: .

Затем, преобразовав это уравнение, выделив из него ту скорость, которую нужно определить, запишем следующее выражение: .

Ответ: 10 м/с.

Задача 2

Тележка с человеком на ней движется вдоль прямой со скоростью 2 м/с. Человек спрыгивает с тележки в горизонтальном направлении, противоположном направлению движения тележки, со скоростью 1 м/с. Определите скорость тележки после того, как с нее спрыгнул человек. Масса человека в 1,5 раза больше, чем масса тележки.

 

 

 

Рис. 2. Проекции импульса тел на ось Х

 

 

 

 

 

В первом случае, обратите внимание, и тележка, и человек едут вместе, значит, скорость у них одинакова, мы можем записать для данной системы отсчета, связанной с осью Ох, следующее выражение: .

Затем, когда человек спрыгивает с тележки, импульс этих двух тел можно записать следующим образом: .

Знак минус показывает, что скорость человека направлена в противоположную сторону, а скорость тележки со знаком плюс будет направлена в ту же сторону, что и первоначальная скорость, т.е. вдоль оси Ох.

Записав эти выражения для начального состояния и состояния после взаимодействия, воспользуемся законом сохранения импульса.

 

По закону сохранения импульса импульс в первом случае будет равен импульсу во втором случае: Р_0х = Р_х..

Записав это соотношение, переписываем, раскрываем скобки выражений: (m₁+m₂)^.V₁=-m₂^.V₂+m₁^.V¢₁.

Скорость V¢₁ и нужно определить. Выразим массу человека через массу тележки, но так, чтобы масса была выражена в одних единицах: (m₁+1,5 m₁)^.V₁=-1,5m₁^.V₂+m₁^.V¢₁.

Массу m₁ мы можем вынести за скобку и сократить: 2,5 m₁^.V₁=-1,5 m₁^.V₂+m₁^.V¢₁. Когда подставляем значения для скоростей, получаем ответ: .

м Эта задача хорошо иллюстрирует реактивное движение. Человек, который спрыгнул с тележки в противоположную сторону, увеличил скорость самой тележки. Не правда ли, это хорошо сочетается с тем, как из ракеты вырываются с некоторой скоростью газы и придают дополнительную скорость оболочке, т.е. самой ракете.

Задача 3

Шарик массой m₁=1 кг. скользит по идеально гладкой поверхности со скоростью v₁=4 м/с и абсолютно упруго сталкивается с таким же по размеру шариком массой m₂=3 кг. Определите скорость шариков после удара?
Решение:
По закону сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе . 

ОХ: 

Ответ: 1 м/с

 Задача 4

Мячик массой 70 г. падает на пол под углом 60⁰ к нормали и под таким же углом отскакивает без потери скорости. Определите импульс суммарной силы, действовавшей на мячик во время удара, если его скорость равна 30 м/с.
Решение:
Покажем на рисунке изменения скорости мячика в процессе удара: 
Запишем 2-й закон Ньютона 
По построению определяем, что . Величина импульса суммарной силы, действовавшей на мячик во время удара, равна 
Ответ: 

 

Задача 5

Мальчик массой 40 кг, стоя на коньках кидает камень массой 1 кг со скоростью 8 м/с. под углом 60⁰ к горизонту. Определите скорость, с которой мальчик начнет двигаться по льду в результате броска?

Решение:
На систему мальчик — камень не действуют ни  какие горизонтальный силы. В инерциальной системе отчета, связанной с землей, проекция суммарного импульса системы на горизонтальную ось должны оставаться неизменной:
Скорость мальчика после броска 
Ответ: 0.1 м/с

 

Задача 6

Два мальчика массами 40 кг. и 50 кг. неподвижно стоят на горизонтальной поверхности на роликовых коньках и держатся за концы невесомой веревки. Затем первый из них начинает тянуть веревку со скоростью 0.09 м/с. С какой скоростью относительно земли будет двигаться второй мальчик?

Решение:
Обозначим скорости, с которыми мальчики будут относительно земли, через и  , тогда их в проекции на ось ОХ:
Внешние силы, действующие в системе мальчик — веревка, уравновешивают друг друга, поэтому выполняется закон сохранения импульса:
В проекции на ось ОХ:
Скорость второго мальчика относительно земли 
Ответ: 0.04 м/с

 

Задача 7

Снаряд в верхней точке своей траектории разорвался на два осколка с массами m₁=3 кг  и m₂=5 кг. Скорость снаряда непосредственно перед разрывом равнялась v₀=600 м/с, скорость большего осколка сразу после разрыва равнялась v₂=800 м/с, а направление ее совпало с направлением движения снаряда перед разрывом. Определите скорость малого осколка сразу после разрыва.

Решение:
Выберем за положительное направление скорости снаряда v₀и запишем закон сохранения импульса.




Значит, и меньший осколок летел в том же направлении.
Ответ: 

Как определить вид движения по графику. Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков

24.12.2020

Познакомимся подробнее с самым наглядным способом описания движения — графическим — на примере равномерного прямолинейного движения.

График модуля скорости

При равномерном прямолинейном движении скорость v x = const. Следовательно, и ее модуль v = const, т. е. не изменяется с течением времени. Графиком зависимости модуля скорости от времени 1 является прямая АВ, параллельная оси времени и расположенная выше этой оси, так как v > О (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Площадь прямоугольника ОАВС, заштрихованного на рисунке, численно равна пути, пройденному телом за время t. Ведь сторона ОА в определенном масштабе есть модуль скорости v, а сторона ОС — время движения t, поэтому s = vt.

График скорости

В отличие от модуля скорости скорость, определяемая выражением (1.4.1), может быть положительной или отрицательной. Поэтому графиком зависимости скорости v x от времени t может быть либо прямая ВС, либо прямая KF (рис. 1.10).

Рис. 1.10

Обе прямые параллельны оси времени. Прямая ВС соответствует положительному значению скорости (v 1x > 0), а прямая KF — отрицательному значению (v 2x

Площади прямоугольников OBCD и OEFK, заштрихованных на рисунке, численно равны соответствующим изменениям координат движущихся тел за время их движения. Так как v 1x > О, то изменение координаты первого тела Аx 1 = v 1x t 1 положительно. Поэтому и площади прямоугольника OBCD приписывается положительный знак. Скорость движения второго тела отрицательна: v 2x

График пути

При равномерном прямолинейном движении путь прямо пропорционален времени, так как модуль скорости v = const: s = vt. Следовательно, графиком, выражающим зависимость пути от времени, является прямая, выходящая из начала координат (s(0) = 0). Помните, что путь не бывает отрицательным и не может уменьшаться в процессе движения. Чем больше модуль скорости, тем больший угол образует график с осью времени.

На рисунке 1.11 представлены графики пути 1 и 2 для двух движущихся тел. Так как за 2 с первое тело прошло путь 1 м, то модуль скорости первого тела равен v 1 = 0,5 м/с.

Рис. 1.11

Модуль скорости второго тела равен v 2 = 2 м/с, так как за 1 с тело прошло путь 2 м.

Для того чтобы по графику зависимости пути от времени определить путь, пройденный телом за определенный промежуток времени, надо из точки на оси времени, соответствующей концу промежутка, восставить перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из этой точки опустить перпендикуляр на ось s. Точка пересечения его с этой осью и будет значением пути в данный момент времени.

График координаты

Так как координата при равномерном прямолинейном движении является линейной функцией времени х = х 0 + v x t, то график зависимости координаты от времени представляет собой прямую линию.

На рисунке 1.12 приведены графики зависимости координаты от времени для трех случаев. Прямая 1 соответствует случаю движения при x 01 = 0, v 1x > 0; прямая 2 — случаю, когда х 02 0; а прямая 3 — случаю, когда х 03 > 0, v 3x

Рис. 1.12

Посмотрим, какие сведения можно извлечь из графика АВ равномерного движения тела (рис. 1.13).

Рис. 1.13

В начальный момент времени (t 0 = 0) тело имело координату х 0 = 3 м, в момент времени t 1 = 6 c координата тела х 1 = 0, т. е. оно находилось в начале координат, а в момент времени t 2 = 9 с тело находилось на оси X в точке с координатой х 2 = -1,5 м. Все это время тело двигалось противоположно положительному направлению оси X.

Скорость тела равна v x = = -0,5 м/с, а модуль скорости v = 0,5 м/с.

Обратите внимание на то, что по графику зависимости x(t) можно судить о «прошлом» в движении тела, т. е. можно находить положения тела до начала отсчета времени при условии, что и до этого момента тело двигалось равномерно и прямолинейно с той же скоростью. Моменты времени до начала отсчета считаются отрицательными. Согласно рисунку 1.13 за 3 с до начала отсчета времени тело имело координату 4,5 м.

1 В дальнейшем для краткости мы будем часто говорить: «график модуля скорости», «график проекции скорости» и т. д.

Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций . Обозначают

Графики равномерного движения

Зависимость ускорения от времени . Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) — прямая линия, которая лежит на оси времени.

Зависимость скорости от времени. Скорость со временем не изменяется, график v(t) — прямая линия, параллельная оси времени.

Численное значение перемещения (пути) — это площадь прямоугольника под графиком скорости.

Зависимость пути от времени. График s(t) — наклонная линия.

Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.

Графики равноускоренного движения

Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) — прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость скорости от времени . При равномерном движении путь изменяется, согласно линейной зависимости . В координатах . Графиком является наклонная линия.

Правило определения пути по графику v(t): Путь тела — это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.

Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела — это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.

Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно

«Физика — 10 класс»

Чем отличается равномерное движение от равноускоренного?
Чем отличается график пути при равноускоренном движении от графика пути при равномерном движении?
Что называется проекцией вектора на какую-либо ось?

В случае равномерного прямолинейного движения можно определить скорость по графику зависимости координаты от времени.

Проекция скорости численно равна тангенсу угла наклона прямой x(t) к оси абсцисс. При этом, чем больше скорость, тем больше угол наклона.

Прямолинейное равноускоренное движение.

На рисунке 1.33 изображены графики зависимости проекции ускорения от времени для трёх разных значений ускорения при прямолинейном равноускоренном движении точки. Они представляют собой прямые линии, параллельные оси абсцисс: а х = const. Графики 1 и 2 соответствуют движению, когда вектор ускорения направлен вдоль оси ОХ, график 3 — когда вектор ускорения направлен в противоположную оси ОХ сторону.

При равноускоренном движении проекция скорости зависит от времени линейно: υ x = υ 0x + a x t. На рисунке 1.34 представлены графики этой зависимости для указанных трёх случаев. При этом начальная скорость точки одинакова. Проанализируем этот график.

Проекция ускорения Из графика видно, что, чем больше ускорение точки, тем больше угол наклона прямой к оси t и соответственно больше тангенс угла наклона, который определяет значение ускорения.

За один и тот же промежуток времени при разных ускорениях скорость изменяется на разные значения.

При положительном значении проекции ускорения за один и тот же промежуток времени проекция скорости в случае 2 увеличивается в 2 раза быстрее, чем в случае 1. При отрицательном значении проекции ускорения на ось ОХ проекция скорости по модулю изменяется на то же значение, что и в случае 1, но скорость уменьшается.

Для случаев 1 и 3 графики зависимости модуля скорости от времени будут совпадать (рис. 1.35).

Используя график зависимости скорости от времени (рис 1.36), найдём изменение координаты точки. Это изменение численно равно площади заштрихованной трапеции, в данном случае изменение координаты за 4 с Δx = 16 м.

Мы нашли изменение координаты. Если необходимо найти координату точки, то к найденному числу нужно прибавить её начальное значение. Пусть в начальный момент времени х 0 = 2 м, тогда значение координаты точки в заданный момент времени, равный 4 с, равно 18 м. В данном случае модуль перемещения равен пути, пройденному точкой, или изменению её координаты, т. е. 16 м.

Если движение равнозамедленное, то точка в течение выбранного интервала времени может остановиться и начать двигаться в направлении, противоположном начальному. На рисунке 1.37 показана зависимость проекции скорости от времени для такого движения. Мы видим, что в момент времени, равный 2 с, направление скорости изменяется. Изменение координаты будет численно равно алгебраической сумме площадей заштрихованных треугольников.

Вычисляя эти площади, мы видим, что изменение координаты равно -6 м, это означает, что в направлении, противоположном оси ОХ, точка прошла большее расстояние, чем по направлению этой оси.

Площадь над осью t берём со знаком «плюс», а площадь под осью t, где проекция скорости отрицательна, — со знаком «минус».

Если в начальный момент времени скорость некоторой точки была равна 2 м/с, то координата её в момент времени, равный 6 с, равна -4 м. Модуль перемещения точки в данном случае также равен 6 м — модулю изменения координаты. Однако путь, пройденный этой точкой, равен 10 м — сумме площадей заштрихованных треугольников, показанных на рисунке 1.38.

Изобразим на графике зависимость координаты х точки от времени. Согласно одной из формул (1.14) кривая зависимости координаты от времени — x(t) — парабола.

Если движение точки происходит со скоростью, график зависимости которой от времени изображён на рисунке 1.36, то ветви параболы направлены вверх, так как а х > 0 (рис. 1.39). По этому графику мы можем определить координату точки, а также скорость в любой момент времени. Так, в момент времени, равный 4 с, координата точки равна 18 м.

Для начального момента времени, проводя касательную к кривой в точке А, определяем тангенс угла наклона α 1 , который численно равен начальной скорости, т. е. 2 м/с.

Для определения скорости в точке В проведём касательную к параболе в этой точке и определим тангенс угла α 2 . Он равен 6, следовательно, скорость равна 6 м/с.

График зависимости пути от времени — такая же парабола, но проведённая из начала координат (рис. 1.40). Мы видим, что путь непрерывно увеличивается со временем, движение происходит в одну сторону.

Если движение точки происходит со скоростью, график зависимости проекции которой от времени изображён на рисунке 1.37, то ветви параболы направлены вниз, так как а x

Начиная с момента времени t = 2 с, тангенс угла наклона становится отрицательным, а его модуль увеличивается, это означает, что движение точки происходит в направлении, противоположном начальному, при этом модуль скорости движения увеличивается.

Модуль перемещения равен модулю разности координат точки в конечный и начальный моменты времени и равен 6 м.

График зависимости пройденного точкой пути от времени, показанный на рисунке 1.42 отличается от графика зависимости перемещения от времени (см. рис. 1.41).

Как бы ни была направлена скорость, путь, пройденный точкой, непрерывно увеличивается.

Выведем зависимость координаты точки от проекции скорости. Скорость υx = υ 0x + a x t, отсюда

В случае x 0 = 0 а х > 0 и υ x > υ 0x график зависимости координаты от скорости представляет собой параболу (рис. 1.43).

При этом, чем больше ускорение, тем ветвь параболы будет менее крутой. Это легко объяснить, так как, чем больше ускорение, тем меньше расстояние, которое должна пройти точка, чтобы скорость увеличилась на то же значение, что и при движении с меньшим ускорением.

В случае а х 0 проекция скорости будет уменьшаться. Перепишем уравнение (1.17) в виде где а = |а x |. График этой зависимостимости — парабола с ветвями, направленными вниз (рис. 1.44).

Ускоренное движение.

По графикам зависимости проекции скорости от времени можно определить координату и проекцию ускорения точки в любой момент времени при любом типе движения.

Пусть проекция скорости точки зависит от времени так, как показано на рисунке 1.45. Очевидно, что в промежутке времени от 0 до t 3 движение точки вдоль оси X происходило с переменным ускорением. Начиная с момента времени, равного t 3 , движение равномерное с постоянной скоростью υ Dx . По графику мы видим, что ускорение, с которым двигалась точка, непрерывно уменьшалось (сравните угол наклона касательной в точках В и С).

Изменение координаты х точки за время t 1 численно равно площади криволинейной трапеции OABt 1 , за время t 2 — площади OACt 2 и т. д. Как видим по графику зависимости проекции скорости от времени можно определить изменение координаты тела за любой промежуток времени.

По графику зависимости координаты от времени можно определить значение скорости в любой момент времени, вычисляя тангенс угла наклона касательной к кривой в точке, соответствующей данному моменту времени. Из рисунка 1.46 следует, что в момент времени t 1 проекция скорости положительна. В промежутке времени от t 2 до t 3 скорость равна нулю, тело неподвижно. В момент времени t 4 скорость также равна нулю (касательная к кривой в точке D параллельна оси абсцисс). Затем проекция скорости становится отрицательной, направление движения точки изменяется на противоположное.

Если известен график зависимости проекции скорости от времени, можно определить ускорение точки, а также, зная начальное положение, определить координату тела в любой момент времени, т. е. решить основную задачу кинематики. По графику зависимости координаты от времени можно определить одну из самых важных кинематических характеристик движения — скорость. Кроме этого, по указанным графикам можно определить тип движения вдоль выбранной оси: равномерное, с постоянным ускорением или движение с переменным ускорением.

страница 1 Модуль Вариант 1 Решение задач по теме «Графики пути и скорости при равномерном движении» Цель модуля . ОЗНАКОМИТЬСЯ с решениями простейших задач по данной теме. УМЕТЬ применять теоретические знания при решении задач по данной теме. УМЕТЬ применять теоретические знания при решении задач в нестандартных условиях. Учебный материал Ответьте на вопросы: Какое движение называют равномерным? Что такое скорость? Какова формула скорости при равномерном прямолинейном движении? В каких единицах измеряется скорость? Что представляет уравнение равномерного прямолинейного движения? Как из уравнения движения найти время движения тела? Уравнение движения имеет вид s = 2,5t (м). Какую информацию мы можем извлечь из этой записи? Р ешите задачи: З адача 1. По графику пути (рис. 3) определите скорость движения тела. Задача 2. По графику скорости (рис. 4) определите путь, пройденный телом за 6 с. Как представить числовое значение пути, используя график скорости? З адача 3. Скорость тела 20 м/с. Постройте график зависимости скорости от времени. Единицы масштаба выберите самостоятельно. З 5 см адача 4. Д вигаясь прямолинейно и равномерно автомобиль проехал 240 км за 3 часа. Постройте график зависимости пути от времени. Вычислите скорость автомобиля и постройте график зависимости скорости от времени. Задача 5. Какова скорость катера, график движения которого представлен на рис. 5? Задача 6. По графикам движений тел (рис. 6) можно утверждать, что: а) тела движутся по горкам разных наклонов; б) что скорости обоих тел одинаковы; в ) скорость первого тела в 2,5 раза меньше скорости второго тела; г) скорость первого тела в 2,5 раза больше скорости второго тела. Постройте графики скорости движения тел. Задача 7. Двигаясь с постоянными скоростями, пешеход прошел 5,4 км за час, а велосипедист 200 м проехал за 20 с. Постройте в одной системе координат: а) графики скорости названных тел; б) графики пути за 20 с движения. Задача 8. Н а рисунке 7 представлены графики зависимости пути трех тел от времени. Как двигались эти тела? Определите скорости движения каждого тела, постройте графики зависимости скорости υ 1 , υ 2 , υ 3 тел от времени. Задача 9. На рисунке 8 представлен график зависимости пути от времени. Как двигалось тело в течение времени движения? Определите путь s, пройденный телом, и скорости υ 1 , υ 2 , υ 3 тела на всех участках движения. Задача 10. Используя график скорости движения тела (рис. 9), можно утверждать, что путь s 1 , пройденный за первые три секунды, и путь s 2 , пройденный за три последние секунды, связаны отношением: а) s 2 = 0,5s 1 ; б) s 2 = 1,5s 1 ; г) s 2 = 3s 1 . Задача 11. Упрощенный график скорости υ движения автомобиля приведен на рисунке 10. Охарактеризуйте движение автомобиля. Какие пути пройдены автомобилем на каждом участке движения? Какие детали графика опущены? Задача 12. Используя график скорости движения тела (рис. 11), можно доказать, что половина всего пути будет пройдена телом: а) к концу 10-й секунды; б) к концу 13-й секунды; в) к концу 18-й секунды; г) к концу 20-й секунды. 12 м; 9 м; 6 м; 3 м. По графику (рис. 12) определите скорость движения в момент времени 3 с от начала движения. 27 м/с; 12 м/с; 3 м/с; 0 м/с. Наука никогда не решает вопроса, не поставив при этом десятка новых. Джорж Бернард Шоу ЛИСТ КОНТРОЛЯ Учебный элемент Ответ Баллы Результат Решение задач 1. v = 10 м/с 2. s = 30 м , 5. v ≈ 333,3 м/мин ≈5,5м/с 9. s = 54 м, v 1 = 3 м/с, v 2 = 0 м/с, v 3 = 6 м/с, v 4 = 0 м/с 11. s 1 = 50 м – равномерн., s 2 = 7 5 м – равномерн., s 3 = 0 м –не двигался, s 4 = 38 м – не равномерн. 2 4 5 5 8 Поставьте себе итоговую оценку: 37-71 балла – «отлично» 17-36 балла – «хорошо»; 6-16 баллов – «зачет»; ≤5 баллов – «незачет». Сдайте лист контроля учителю. ОЦЕНКА ↓ Выходной контроль 1. г 3. в 5. в 3 раза 2 Итого : 71 То, что должно вознестись на самый верх, начинается в самом низу. Гораций Человек, который попадает в цель, — талант; человек, который попадает в цель невидимую, — гений. Артур Шопенгауэр ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

трение — Как узнать, отрицательна ли работа, выполняемая силой?

Сила — это вектор, означающий величину и направление. Работа, выполняемая силой, связана с направлением силы — это скалярное значение, полученное путем скалярного векторного произведения силы и смещения (которое также является вектором). Если что-то не соответствует вашим ожиданиям при вычислении работы, убедитесь, что у вас есть правильный масштаб и направление для всего. Направление силы не всегда интуитивно понятно.

В случае смещения, которое не имеет однородной силы по всей его длине, вам придется использовать интеграл исчисления для вычисления скалярной работы, совершаемой указанной силой.

Причина, по которой работа может быть отрицательной, заключается в том, что что-то может двигаться вопреки одной из сил, действующих на него (потому что другая сила пересилила это или оно уже двигалось таким образом, что сила не имела возможности пересилить его). Фактически работа может быть отрицательной, положительной или нулевой.Если у вас есть (2) человека, играющих в перетягивание каната, проигравшая команда выполнила отрицательную работу, а победившая команда выполнила положительную работу вдоль оси каната. Если бы эти люди не изменили свою высоту по отношению к центру земной массы, гравитацию, создаваемую центром масс за выполненную $ 0 $ работу во время игры, даже если бы они временно были закопаны в землю (имея чистое смещение $ 0 $ дает чистую работу в $ 0 $ — даже если у вас временно было некоторое смещение).

Вы, вероятно, могли бы смотреть на работу как «когда наступает толчок, насколько эффективна сила для смещения»?

Предполагая, что среда неподвижна относительно внешнего наблюдателя, если вы скользите (относительно неподвижной среды / наблюдателя) вдоль некоторой оси + x, тогда любое трение, которое вы испытываете, будет ускорять вас в противоположном направлении, тогда сила трения будет быть по оси -x.Трение будет действовать только на что-то движущееся, чтобы ускорить его в направлении, противоположном его текущей скорости (которая является вектором, потому что скорость — это скорость и направление), поэтому трение, с его точки зрения, всегда имеет отрицательное смещение, над которым оно работает, поэтому работа трение всегда отрицательное.

Если что-то уже движется очень быстро, также возможно, что все силы выполняют отрицательную работу (в упрощенной модели, где у вас есть направление, в котором никакая сила не действует положительно).Сила имеет право голоса в изменении импульса, когда она начинает действовать на что-то, но не имеет никакого отношения к тому, какой импульс был до того, как она действовала на него, и по этой причине работа, выполненная этой силой, может составлять $ 0 $, отрицательный или положительный (в противоположность чистому изменению количества движения, которое происходит в том же направлении, что и чистая сила). Конечно, если вы начали с нулевым импульсом, то работа, выполняемая положительной чистой силой, не может быть отрицательной, и если было какое-либо изменение импульса, работа этой чистой силы будет положительной.

Работа

Работа
Далее: Консервативные и неконсервативные силовые поля Up: Сохранение энергии Предыдущий: Энергосбережение при свободном падении Мы видели, что когда масса свободно падает под действием силы тяжести, некоторые его кинетической энергии преобразуется в потенциальную, или , наоборот, . Давайте теперь подробно исследуем, как происходит это преобразование. Масса падает, потому что она подвергается действию направленной вниз гравитационной силы величиной .Поэтому понятно, что преобразование кинетического в потенциальное энергия является прямым следствием действия этой силы.

Это, пожалуй, подходящий момент, чтобы отметить, что концепция гравитационной потенциальной энергии — хотя Крайне полезный — это, собственно говоря, , фиктивный . Точнее, потенциальная энергия тела не внутреннее свойство этого тела (в отличие от его кинетической энергии). Фактически, гравитационная потенциальная энергия данное тело хранится в окружающем его гравитационном поле .Таким образом, когда тело поднимается, и его потенциальная энергия, следовательно, увеличивается на величину ; на самом деле это энергия гравитационного поля, окружающего тело, которое увеличивается на эту величину. Конечно, увеличение энергии гравитационного поля компенсируется соответствующим уменьшением кинетическая энергия тела. Таким образом, когда мы говорим о преобразовании кинетической энергии тела в потенциальную энергию, мы действительно говорим о потоке энергии от тела к телу окружающее гравитационное поле.Этот поток энергии опосредуется гравитационная сила, действующая со стороны поля на рассматриваемое тело.

Между прочим, согласно общей теории относительности Эйнштейна (1917 г.), гравитационное поле массы состоит из локального искажения, которое масса вызывает в ткани пространства-времени. К счастью, тем не мение, нам не нужно понимать общую теорию относительности, чтобы говорить о гравитационных полях или гравитационно потенциальная энергия. Все, что нам нужно знать, это то, что гравитационное поле хранит энергия без потерь : i.е. , если данная масса поднимается на определенное расстояние, и, таким образом, отдает определенное количество энергии окружающему гравитационному полю, тогда это поле вернет эту энергию массе — без убыток — если масса падает на такое же расстояние. В физике мы называем такое поле консервативным полем . (увидим позже).

Предположим, что масса падает на расстояние. Во время этого процесса энергия гравитационное поле уменьшается на определенную величину ( т.е. , фиктивный потенциальная энергия массы уменьшается на определенную величину), а энергия тела кинетическая энергия увеличивается на соответствующую величину. Эта передача энергия, от поля к массе, предположительно опосредовано гравитационной силой (знак минус указывает на то, что сила направлена ​​вниз), действующая на массу. Фактически, учитывая, что это следует из уравнения. (127) что

(131)

Другими словами, количество энергии, переданное массе ( т.е. , увеличение кинетической энергии массы) равна произведению силы, действующей на масса и расстояние, пройденное массой в направлении силы .

В физике обычно количество энергии, передаваемой телу, когда на него действует сила, как количество работы, выполненной этой силой над рассматриваемым телом. Это следует из Уравнение (131) что когда на тело действует гравитационная сила, заставляя его сместиться на расстояние в направлении этой силы , тогда чистая работа, проделанная на теле,

(132)

Оказывается, это уравнение является довольно общим и не распространяется только на гравитационные силы.Если положительный, то энергия передается телу, и его внутренняя энергия, следовательно, увеличивается на величину. Такая ситуация возникает всякий раз, когда тело движется в направлении , в том же направлении , что и сила, действующая на него. Так же, если отрицательно, то энергия передается от тела, и его собственная энергия, следовательно, на определенную величину уменьшается. Такая ситуация возникает всякий раз, когда тело движется в направлении , противоположном направлению действующей на него силе. Поскольку объем работы эквивалентен передаче энергии, единица работы mks такая же, как и мкс единица энергии: а именно джоуль.

При выводе уравнения (132) мы сделали два предположения, которые не являются универсальными. действительный. Во-первых, мы предположили, что движение тела, на которое действует сила, есть как одномерные, так и параллельные линии действия силы. Во-вторых, мы предположили, что сила не зависит от положения. Попытаемся ослабить эти два предположения, чтобы получить выражение для работа, выполняемая общей силой.

Начнем с ослабления первого предположения.Предположим, ради аргумента, что у нас есть масса, которая движется под действием силы тяжести в двух измерениях. Давайте усыновить система координат, показанная на рис. 35, с отображением вертикальной расстояние и представляет собой горизонтальное расстояние. Вектор ускорение массы просто . Здесь мы пренебрегаем лишними -компонент, для простоты. Физика движения под действием силы тяжести подробнее чем одномерное, резюмируется тремя уравнениями (64) — (66). Давайте рассмотрим последнее из этих уравнений:

(133)

Здесь — скорость при, — скорость при, и , это чистое смещение массы в течение этого временного интервала.Напоминая определение скалярного произведения [ то есть , ], приведенное выше уравнение можно переставить, чтобы дать

(134)

Поскольку правая часть приведенного выше выражения явно представляет собой увеличение кинетическая энергия массы между временами и, левая часть должно равняться уменьшению потенциальной энергии массы за тот же промежуток времени. Отсюда получаем следующее выражение для потенциальной энергии гравитации массы:

(135)

Конечно, это выражение полностью эквивалентно нашему предыдущему выражению для гравитационная потенциальная энергия, уравнение.(125). Вышеприведенное выражение просто делает очевидным то, что в любом случае должно было быть очевидным: а именно, что гравитационная потенциальная энергия массы зависит только от ее высоты над земли, и совершенно не зависит от ее горизонтального смещения.

Рисунок 35: Система координат для двумерного движения под действием силы тяжести

Давайте теперь попробуем связать поток энергии между гравитационным полем и массой к действию гравитационной силы, .Уравнение (134) можно переписать

(136)

Другими словами, работа, совершаемая силой, равна скалярному произведению и вектор смещения тела, на который действует сила действует. Оказывается, этот результат носит довольно общий характер и не применим только к гравитационным силам.

Рисунок 36 — визуализация определения (136). Работа выполняется силой, когда объект, на который она действует, подвергается смещению является

(137)

где — угол между направлениями и.Другими словами, выполненная работа — это произведение величины силы, и смещение объекта в направлении этой силы , . Отсюда следует, что любая составляющая смещения в направлении, перпендикулярном силе генерирует нулевую работу. Более того, если смещение полностью перпендикулярно направлению силы ( т. е. , если ) то работа не выполняется, независимо от природа силы. Как и раньше, если у смещения есть составляющая в том же направлении как сила ( т.е. , если ) тогда выполняется положительная работа Аналогично, если смещение имеет компонент в противоположном направлении к силе (, т.е. , если ) тогда выполняется отрицательная работа.

Рисунок 36: Определение работы

Теперь предположим, что на объект действует сила, которая меняется в зависимости от положения. Что это общая работа, совершаемая силой, когда объект движется по некоторой общая траектория в пространстве между точками и (скажем)? См. Рис.37. Что ж, одним из способов решения этой проблемы было бы аппроксимация траектории как серию отрезков прямой, как показано на рис. 38. Предположим, что векторное смещение -го сегмента . Предположим, далее, который достаточно велик, чтобы сила не сильно менялась вдоль каждого сегмента. В самом деле, пусть средняя сила на -м участке равна . Будем предполагать, что формула (136) — справедливая при постоянном силы и прямолинейные перемещения — справедливы для каждого сегмента.Следует, что чистая работа, проделанная на теле, когда оно движется от точки к точка, приблизительно

(138)

Мы всегда можем улучшить уровень нашего приближения, увеличив количество отрезки прямых линий, которые мы используем для аппроксимации траектории тела между точками и. Фактически, если мы возьмем предел тогда приведенное выше выражение становится точным:

(139)

Здесь измеряется векторное смещение от начала координат нашего система координат, а математическая строить называется линейным интегралом .

Рисунок 37: Возможная траектория объекта в переменном силовом поле

Рисунок 38: Приближение к предыдущей траектории отрезками прямых

Смысл уравнения. (139) станет намного яснее, если мы ограничим наши внимание к одномерному движению. Предположим, поэтому, что объект движется в одномерном, со смещением, и подвержен изменяющейся силе (направлено по оси).Какую работу проделывает эта сила, когда объект перемещается из в? Ну прямолинейный применение уравнения. (139) [с и ] дает

(140)

Другими словами, чистая работа, совершаемая силой при движении объекта от смещения до — это просто область под кривой между этими двумя точками, как показано на рис. 39.

Рисунок 39: Работа, выполняемая одномерной силой

Давайте, наконец, завершим это обсуждение повторным выводом так называемой теоремы работы-энергии , Уравнение(136) в одномерном измерении с учетом непостоянной силы. Согласно второму закону движения Ньютона,

(141)

Комбинируя уравнения. (140) и (141), получаем

(142)

где и. Следует, что

(143)

куда и . Таким образом, сетевая работа, выполненная на тело под действием неоднородной силы при движении от точки к точке равно к чистому увеличению кинетической энергии этого тела между этими двумя точками.Этот результат является полностью общим (по крайней мере, для консервативных силовых полей — см. ниже) и не относится только к одномерному движению.

Предположим, наконец, что объект подвергается воздействию более чем одной силы. Как мы рассчитываем чистая работа, выполняемая всеми этими силами, когда объект перемещается от точки к точка ? Один из подходов — рассчитать работу, выполненную каждой силой, взятой изолированно, а затем суммировать результаты. Другими словами, определяя

(144)

как работа, проделанная th силой, чистая работа определяется как

(145)

Альтернативный подход — взять векторную сумму всех сил, чтобы найти Равнодействующая сила,

(146)

а затем рассчитать работу, совершаемую равнодействующей силой:

(147)

Надеюсь, должно быть ясно, что эти два подхода полностью эквивалентны.

---

Далее: Консервативные и неконсервативные силовые поля Up: Сохранение энергии Предыдущий: Энергосбережение при свободном падении

Ричард Фицпатрик 2006-02-02

Что такое момент?

Что такое момент?

Что такое момент?

---

Момент силы это мера его тенденции заставлять тело вращаться вокруг определенного точка или ось. Это отличается от тенденции тела двигаться или перевести, в направлении силы.Чтобы на мгновение развиться, сила должна действовать на тело таким образом, чтобы тело начало крутить. Это происходит каждый раз, когда прикладывается сила, поэтому она не проходят через центр тяжести тела. Момент возникает из-за силы, не имеющей равная и противоположная сила прямо вдоль линии его действия.

Представьте, что два человека толкают дверь у дверной ручки с противоположных сторон. Если они оба толкают с одинаковой силой, то есть состояние равновесие. Если один из них внезапно отпрыгнет от двери, толчок другого человека больше не будет иметь никакого сопротивления, и дверь качнулся бы прочь.Человек, который все еще толкал дверь, создал момент.

---

Элементы момента

Величина момента силы, действующей вокруг точки или оси, равна прямо пропорционально расстоянию силы от точки или оси. Он определяется как произведение силы (F) и плеча момента (d). В момент рычага или плечо рычага — перпендикулярное расстояние между линия действия силы и центр моментов.

Момент = Сила x Расстояние или M = (F) (г)

Центр моментов может быть той точкой, о которой сила вызывает вращение.Это также может быть контрольная точка или ось, вокруг которой сила может рассматриваться как вызывающая вращение. Это не имеет значения, пока как конкретная точка всегда принимается за точку отсчета. Последний случай Это гораздо более распространенная ситуация в задачах структурного проектирования.

Момент выражается в фут-фунтах, кип-футах, ньютон-метры или килоньютон-метры. Момент тоже имеет смысл; По часовой стрелке вращение вокруг центра моментов будет считаться положительным моментом; в то время как вращение против часовой стрелки вокруг центра моментов будет считаться отрицательный.Самый распространенный способ выразить момент —

.

---

В примере показан гаечный ключ, применяемый к гайке. 100-фунтовая сила — это применяется к нему в точке C, центре гайки. Сила применяется при расстояние x 12 дюймов от гайки. Центром моментов может быть точка C, но также могут быть точки A, B или D.

Момент около точки C
Плечо момента для расчета момента вокруг точки C составляет 12 дюймов. В величина момента относительно точки C равна 12 дюймам, умноженным на силу 100 фунтов, чтобы получить общий момент 1200 дюйм-фунтов (или 100 фунт-футов).

Рычаг момента (d) = 12 дюймов

Звездная величина (F) = 100 фунтов

Момент = M = 100 фунтов x 12 дюймов = 1200 дюймов на фунт

Точно так же мы можем найти моменты относительно любой точки пространства.

Момент @	А	В	D
Рычаг момента	8 дюймов	2 дюйма	0 дюймов
Величина F	100 фунтов	100 фунтов	100 фунтов
Общий момент	800 фунтов	200 фунтов	0 дюймов

Момент вызывает вращение вокруг точки или оси.Если настало время быть взятой около точки из-за силы F, затем, чтобы на мгновение развиться, линия действия не может пройти через эту точку. Если линия действий проходит через эту точку, момент равен нулю, потому что величина плечо момента равно нулю. Так было с точкой D предыдущего ключа. проблема. Полный момент был равен нулю, потому что плечо момента также было нулевым.

В качестве другого примера предположим, что к гаечный ключ, как указано.Момент силы 200 фунтов, приложенной к точке C, равен нулю. потому что:

M = F x d = 200 фунтов x 0 дюймов = 0 дюймов-фунтов

Другими словами, у 200-фунтовой силы нет тенденции вызывать гаечный ключ для вращения гайки. Можно было увеличить величину силы пока болт окончательно не сломался (разрушение при сдвиге).

Момент относительно точек X, Y и Z также будет равен нулю, потому что они также лежать на линии действия.

Момент также можно рассматривать как результат сил, исходящих от прямая линия, проведенная между точкой нагрузки системы и ее опорами.В этом случае синяя сила — это эксцентрическая сила. Чтобы он достиг основание колонны, необходимо сделать обход по балке. Чем больше объезд, тем важнее момент. Самые эффективные конструкционные системы иметь как можно меньше объездных путей. Об этом будет сказано подробнее подробно в Лекции 37 и более поздние курсы.

Есть случаи, когда легче вычислить моменты компоненты силы вокруг определенной точки, чем для расчета момент самой силы.Возможно, определение перпендикуляра расстояние силы сложнее, чем определение перпендикуляра расстояние составляющих силы. Момент нескольких сил о точка — это просто алгебраическая сумма составляющих их моментов относительно та же точка. При добавлении моментов компонентов нужно учитывать большие заботиться о чувстве каждого момента. Часто благоразумно отмечать смысл ближайшего момента при решении подобных задач.

Комбинированный Моменты
Моменты на балке

---

Распространенные ошибки
При добавлении моментов компонентов нужно очень внимательно следить за их согласованностью. со смыслом каждого момента.Часто благоразумно отметить следующий смысл к моменту, когда брались за такие проблемы.

Часто задаваемые вопросы
Любые трудности с вычислением момента обычно связаны с одним из следующие:

• Центр моментов установлен неправильно или четко понял.
• Предполагаемое плечо момента не является ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМ расстоянием между линия действия силы и центр моментов.
• Направление или направление вращения было проигнорировано или неправильно понято.

Вопросы для размышления
Каков момент относительно точки B и точки D для обоих случаев показано в примере гаечного ключа выше? Как можно было добавить расширение к конец гаечного ключа поможет вывернуть заржавевший болт? Какие конструктивные системы будет наименьшее количество «объездных путей»?

Проблемы

Сопутствующие чтения

Shaeffer, R.E. Элементарные конструкции для архитекторов и строителей. С. 33-39.

---

Авторские права © 1995, 1996 Крис Х. Любкеман и Дональд Петинг
Авторские права © 1996, 1997, 1998 Крис Х. Любкеман

движения

Поступательное движение

Поступательное движение — это движение которое тело перемещается из одной точки пространства в другую. Одним из примеров поступательного движения является движение пули выстрелил из ружья.

Объект имеет прямолинейное движение при движении по прямой линия. В любое время т , объект занимает позицию вдоль линии, как показано на следующем рисунке. Расстояние х , с соответствующий знак, определяющий положение объекта. Когда положение объекта в определенное время известно, движение частицы будет известно, и обычно выражается в форме уравнения, которое связывает расстояние x , время t , например x = 6 t — 4, или график.

Движение в двух или трех измерениях больше сложно. В двух измерениях нам нужно указать два координаты, чтобы зафиксировать положение любого объекта. На следующем рисунке показан простой пример метательное движение: мяч скатывается со стола. Разрешите нам задайте горизонтальное направление как ось x и вертикальное направление как ось y .Представьте, что мяч катится по плоскому столу. с начальной скоростью 10 м / с.

Пока мяч лежит на столе, мы наблюдаем что исходный x -компонент скорости ( v _0x ) составляет 10 м / с (константа), начальная y -компонентная скорость 0 м / с, x -компонент ускорение 0 м / с ² и y -компонент ускорения 0 м / с ² .Компоненты ускорение и скорость — вот те части скорость или ускорение, которое указывает на x или y направление. Позвольте нам понаблюдайте, что происходит в момент, когда мяч покидает стол.

Начальная скорость в направлении y равна все еще ноль, а начальная скорость в направлении x остается 10 м / с. Однако мяч уже не в соприкоснитесь со столом, и он свободно упадет.В ускорение свободного падения мяча уменьшается. В этом случае движения по горизонтали и вертикали направления следует анализировать самостоятельно. По горизонтали нет ускорения по горизонтали направлении, следовательно, x -компонент скорости постоянная

В в вертикальном направлении возникает ускорение, равное ускорение свободного падения.Следовательно, скорость в вертикальное направление меняется, как показано ниже

Вращательное движение

Вращательным движением занимается только Твердые тела .Твердое тело — это объект, удерживающий его общая форма, а это означает, что частицы, которые делают вверх твердое тело остается в том же положении относительно для другого. Колесо и ротор двигателя общие. примеры твердых тел, которые обычно появляются в вопросы, связанные с вращательным движением.

Круговое движение

Круговой движение — это распространенный тип вращательного движения.Нравиться движение снаряда мы можем проанализировать кинематику и узнать что-нибудь об отношениях между положение, скорость и ускорение. Первый закон Ньютона утверждает, что движущийся объект остается в движении на постоянная скорость, если на нее не действует внешняя сила. Если сила приложена перпендикулярно направлению движения, изменится только направление скорости. Если сила постоянно действует перпендикулярно движущемуся объект, объект будет двигаться по круговой траектории на постоянная скорость.Это называется равномерным круговым движением.

Круговое движение твердого тела происходит, когда каждая точка тела движется по кругу путь вокруг линии, называемой осью вращения , который прорезает центр масс, как показано на следующий рисунок.

Равномерное круговое движение

Онлайн-моделирование для измерения положение, скорость и ускорение (оба компоненты и величина) объекта, подвергающегося круговое движение.

Трансляционный Движение в сравнении с вращательным движением

Есть сильная аналогия между вращательным движением и стандартным поступательным движением движение. Действительно, каждое физическое понятие, используемое для анализа вращательное движение имеет и поступательное движение.

Момент инерции

Откройте для себя отношения между угловая скорость, масса, радиус и момент инерции для коллекции точечных масс, колец, дисков и т. д. сложные формы.

Крутящий момент и момент инерции

Рассчитайте чистый крутящий момент и момент инерция, основанная на положениях объектов и масса бруса.

С отличием по физике: графическое движение

Положение-время (x-t) Графики

Диаграммы частиц могут помочь вам понять движение объекта, но они не всегда рассказывают вам всю историю.Вам нужно будет изучить некоторые другие типы графиков движения, чтобы получить более четкую картину.

График положение-время показывает смещение (или, в случае скалярных величин, расстояние) объекта как функцию времени. Положительные смещения указывают на то, что положение объекта находится в положительном направлении от его начальной точки, в то время как отрицательные смещения указывают на то, что положение объекта противоположно положительному направлению. Давайте посмотрим на несколько примеров.

Предположим, Cricket the WonderDog удаляется от своего дома с постоянной скоростью 1 м / с, останавливаясь только тогда, когда она находится на расстоянии 5 метров (что, конечно, занимает 5 секунд).Затем она решает сделать короткий пятисекундный отдых в траве. После пятисекундного отдыха она слышит звонок в обеденный звонок и бежит обратно в дом со скоростью 2 м / с. График смещения-времени для ее движения будет выглядеть примерно так:

Как видно из графика, смещение Cricket начинается с нуля метров в нулевой момент времени. Затем с течением времени смещение Cricket увеличивается со скоростью 1 м / с, так что через одну секунду Cricket оказывается на расстоянии одного метра от своей исходной точки.Через две секунды она оказывается на расстоянии двух метров и так далее, пока не достигнет максимального смещения в пять метров от начальной точки за пять секунд. Затем сверчок остается в этом положении в течение 5 секунд, пока она отдыхает. После отдыха, в момент времени t = 10 секунд, Сверчок слышит обеденный звонок и мчится обратно к дому со скоростью 2 м / с, поэтому график заканчивается, когда Сверчок возвращается в свою исходную точку в доме, общее пройденное расстояние 10 м, а полное смещение — ноль метров.

Когда вы посмотрите на график положения-времени, обратите внимание, что в начале, когда Cricket движется в положительном направлении, график имеет положительный наклон. Когда график плоский (имеет нулевой наклон) Сверчок не движется. А когда график имеет отрицательный наклон, Cricket движется в отрицательном направлении. Также легко увидеть, что чем круче наклон графика, тем быстрее движется Cricket.

Вопрос: График ниже представляет смещение объекта, движущегося по прямой линии, как функцию времени.Какое общее расстояние прошел объект за 10-секундный интервал времени?

Ответ: Общее пройденное расстояние: 8 метров вперед от 0 до 4 секунд, затем 8 метров вперед от 6 до 8 секунд, затем 8 метров назад от 8 до 10 секунд, в сумме 24 метра.

График скорости-времени (v-t)

Не менее важным для понимания движения является график скорость-время, который показывает скорость объекта по оси y и время по оси x.Положительные значения указывают скорости в положительном направлении, а отрицательные значения указывают скорости в противоположном направлении. Читая эти графики, важно понимать, что прямая горизонтальная линия указывает на объект, поддерживающий постоянную скорость — он все еще может двигаться, его скорость просто не меняется. Значение 0 на графике v-t указывает, что объект остановился. Если график пересекает ось x, объект двигался в одном направлении, остановился и изменил направление своего движения.Давайте посмотрим на график v-t для Cricket the Wonderdog’s Adventure:

В течение первых пяти секунд путешествия Крикет вы можете видеть, что он поддерживает постоянную скорость 1 м / с. Затем, когда она останавливается для отдыха, ее скорость меняется на ноль на время ее отдыха. Наконец, когда она мчится обратно в дом к обеду, она поддерживает отрицательную скорость 2 м / с. Поскольку скорость является вектором, отрицательный знак указывает на то, что скорость Cricket находится в противоположном направлении (изначально направление от дома было положительным, поэтому назад к дому должно быть отрицательным!)

Как я уверен, вы можете себе представить, график положения-времени движения объекта и график v-t движения объекта тесно связаны.Далее вы исследуете эти отношения.

Преобразования графов

Если смотреть на график «положение-время», то чем быстрее изменяется положение / смещение объекта, тем круче наклон линии. Поскольку скорость — это скорость, с которой изменяется положение объекта, наклон графика зависимости положения от времени в любой данный момент времени дает вам скорость в этот момент времени. Вы можете получить наклон графика положения-времени, используя следующую формулу:

Понимая, что подъем на графике на самом деле равен ∆x, а пробег равен ∆t, вы можете подставить эти переменные в уравнение наклона, чтобы найти:

При небольшой интерпретации легко показать, что наклон на самом деле просто изменение положения с течением времени, что является определением скорости.Проще говоря, наклон графика положения-времени дает вам скорость.

Конечно, имеет смысл только то, что если вы можете определить скорость по графику положение-время, вы должны иметь возможность работать в обратном направлении, чтобы определить изменение положения (смещение) по графику v-t. Если у вас есть график v-t, и вы хотите узнать, насколько изменилось положение объекта за интервал времени, возьмите область под кривой за этот интервал времени.

Итак, если измерение наклона графика положения-времени дает вам скорость изменения положения, которая называется скоростью, что вы получите, когда возьмете наклон графика v-t? Вы получаете скорость изменения скорости, которая называется ускорением! Таким образом, наклон графика v-t говорит об ускорении объекта.

Давайте рассмотрим пример задачи из экзамена Regents по физике в июне 2009 года:

Теперь, когда вы узнали, как решать такие проблемы, почему бы вам не попробовать несколько самостоятельно?

График времени ускорения (a-t)

Подобно скорости, вы можете построить график зависимости ускорения от времени, нанеся скорость изменения скорости объекта (его ускорение) по оси Y и отложив время по оси X.

Когда вы взяли наклон графика положения-времени, вы получили скорость объекта. Таким же образом, взяв наклон графика v-t, вы получите ускорение объекта. Если пойти в другом направлении, когда вы проанализировали график v-t, вы обнаружили, что взяв область под графиком v-t, вы получили информацию об изменении положения объекта. Аналогичным образом, взяв площадь под графиком a-t, вы узнаете, насколько изменяется скорость объекта.

Собирая все вместе, вы можете перейти от положения-времени к скорости-времени, взяв наклон, и вы можете перейти от скорости-времени к времени ускорения, взяв наклон.Или, если пойти в другом направлении, область под кривой «ускорение-время» показывает изменение скорости объекта, а область под кривой «скорость-время» показывает изменение положения объекта.

Давайте рассмотрим пример задачи, чтобы продемонстрировать эту концепцию.

7. РАБОЧАЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

7. РАБОЧАЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

---

В этой главе мы познакомимся с понятиями работы и кинетической энергии.Эти инструменты значительно упростят решение некоторых проблем. можно решить.

Рисунок 7.1. Сила F ​​, действующая на тело. Результирующий смещение обозначается вектором d .

Предположим, что на тело действует постоянная сила F, пока объект движется по расстояние d. И сила F, и смещение d являются векторами, которые не являются обязательно указывая в том же направлении (см. рисунок 7.1). Работа проделана сила F, действующая на объект, когда он претерпевает смещение d, определяется как

Работа, совершаемая силой F, равна нулю, если:

* d = 0: смещение равно нулю

* [phi] = 90 градусов: сила, перпендикулярная перемещению

Рис. 7.2. Положительная или отрицательная работа.

Работа, совершаемая силой F, может быть положительной или отрицательной, в зависимости от [фи].Например, предположим, что у нас есть объект, движущийся с постоянной скоростью. В момент времени t = 0 с прикладывается сила F. Если F — единственная сила, действующая на тело, объект будет либо увеличивать, либо уменьшать свою скорость в зависимости от указывают ли скорость v и сила F на одно и то же направление (см. рисунок 7.2). Если ( F ​​ * v )> 0, скорость объект будет увеличиваться, и работа, выполняемая силой над объектом, будет положительной. Если ( F ​​ * v ) <0, скорость объекта будет уменьшаться и работа, выполняемая силой на объект, отрицательна.Если ( F ​​ * v ) = 0 мы имеем дело с центростремительным движением и скорость объекта остается постоянный. Обратите внимание, что для силы трения ( F ​​ * v ) <0 (всегда) и скорость объекта всегда снижается!

По определению, работа — это скаляр. Единица работы — Джоуль (J). Из Из определения работы видно, что:

1 Дж = 1 Н · м = 1 кг · м ² / с ²

Рисунок 7.3. Силы, действующие на сейф.

Пример задачи 7-2

Сейф массой m перемещается по плиточному полу с постоянной скоростью в течение расстояние d. Коэффициент трения между дном сейфа и этаж у _к . Определите все силы, действующие на сейф и рассчитать работу, проделанную каждым из них. Какая в целом проделанная работа?

На рис. 7.3 показаны все силы, действующие на сейф. Поскольку сейф движется с постоянной скоростью, его ускорение равно нулю, а результирующая сила действующий на нем равен нулю

Компоненты чистой силы по оси x и по оси y поэтому также должно быть нулем

Второе уравнение показывает, что N = W = m g.Применяемая сила в сейф теперь можно рассчитать

Работа, проделанная над сейфом каждой из четырех сил, теперь может быть вычислено:

Таким образом, общий объем работы, проделанной с сейфом, составляет

.

чего и следовало ожидать, поскольку чистая сила на сейфе равна нулю.

Пример задачи 1

Обрешетка массой m поднимается по откосу (угол наклона [theta]) с постоянной скоростью. Рассчитайте объем работы, проделанной усилие после того, как ящик переместился на высоту h (см. Рисунок 7.4).

Рисунок 7.4. Пример задачи 1.

Система координат, которая будет использоваться, показана на рисунке 4. Поскольку ящик движется с постоянной скоростью, результирующая сила в осях x и y направление должно быть нулевым.Чистая сила в направлении x равна

.

а сила F, необходимая для перемещения ящика с постоянной скоростью, равна фиксировано:

Эта сила действует на расстоянии d. Значение d фиксируется угол [theta] и высота h:

(см. рисунок 7.4). Работа, проделанная силой на обрешетке, дана по

Работа, проделанная с ящиком под действием силы тяжести, определяется как

.

Работа, совершаемая на обрешетке нормальной силой N, равна нулю, поскольку N равно перпендикулярно d.Делаем вывод, что общая проделанная работа по обрешетке дана по

что ожидалось, поскольку результирующее усилие на ящик равно нулю.

Рисунок 7.5. Ящик перемещался в вертикальном направлении.

Если тот же ящик был поднят на высоту h по вертикали направлении (см. рисунок 7.5), сила F, необходимая для создания постоянной скорости будет равно

F = m g

Эта сила действует на расстоянии h, и работа, совершаемая этой силой на объект

W _F = m g h

что равняется работе, совершаемой силой на наклонном склоне.Хотя работа, выполняемая каждой силой, одинакова, сила необходимого сила сильно различается в каждом из двух случаев.

Пример задачи 2

Блок массой 3,57 кг вытягивается с постоянной скоростью 4,06 м по горизонтальному полу с помощью веревка, прикладывающая силу 7,68 Н под углом 15 градусов. выше горизонтали. Вычислите (а) работу, совершаемую веревкой на блоке, и (б) коэффициент кинетическое трение между блоком и полом.

Рисунок 7.6. Пример задачи 2.

На массу m действуют четыре силы: гравитационная сила W, нормальная сила N, сила трения f _k и приложенная сила F. Эти четыре силы схематически показаны на рисунке 7.6. Поскольку скорость масса постоянна, его ускорение равно нулю. X и y-компоненты чистой силы, действующей на массу, равны

Поскольку результирующая сила, действующая на массу, должна быть равна нулю, последнее уравнение может использоваться для определения нормальной силы N:

Кинетическая сила трения f _k определяется как

.

Однако, поскольку чистая составляющая силы вдоль оси x должна также равна нулю, кинетическая сила трения f _k также связана с применяет силу следующим образом

Комбинируя эти последние два выражения, мы можем определить коэффициент кинетического трения:

Работу, совершаемую веревкой с массой m, можно рассчитать достаточно легко:

Работа, совершаемая силой трения, определяется по формуле

.

Работа, совершаемая нормальной силой N и весом W, равна нулю, поскольку сила и перемещение перпендикулярны.Общая работа, проделанная с массой, составляет Следовательно, предоставлено

Это неудивительно, поскольку результирующая сила, действующая на массу, равна нуль.

В предыдущем обсуждении мы предположили, что сила, действующая на объект постоянно (не зависит от положения и / или времени). Однако во многих случаях это неверное предположение. За счет уменьшения размера смещения (например, уменьшив интервал времени), мы можем получить интервал более сила которого почти постоянна.Работа, проделанная за этот небольшой промежуток времени (dW) можно рассчитать

Общая работа, совершаемая силой F, равна сумме всех dW

.

Пример: пружина

Примером переменного усилия является сила, прилагаемая пружиной. что растягивается или сжимается. Предположим, мы определяем нашу систему координат таким образом что его начало совпадает с концом пружины в расслабленном состоянии (см. рисунок 7.7). Пружина растягивается, если x> 0, и сжимается, если x < 0. Сила, прилагаемая пружиной, будет пытаться вернуть пружину в исходное положение. расслабленное состояние:

, если x <0: F> 0

, если x> 0: F <0

Экспериментально установлено, что для многих пружин сила пропорционально x:

F = — k x

Рисунок 7.7. Расслабленные, растянутые и сжатые пружины.

где k — жесткость пружины (положительная и не зависящая от Икс).Единицы СИ для жесткости пружины — Н / м. Чем крупнее пружина постоянная, тем жестче пружина. Работа, проделанная пружиной на объекте прикрепленный к его концу, можно вычислить, если мы знаем начальное положение x _i и конечное положение x _f объекта:

Если пружина изначально находится в расслабленном состоянии (x _i = 0) находим, что к весне проделанная работа

Рисунок 7.8. Маятник в плоскости x-y

Рассмотрим маятник, показанный на рисунке 7.8. Маятник перемещается из из положения 1 в положение 2 с помощью постоянной силы F, направленной в горизонтальном направлении. направление (см. рисунок 7.8). Масса маятника m. Что за работа осуществляется суммой приложенной силы и гравитационной силы, чтобы переместить маятник из положения 1 в положение 2?

Метод 1 — сложный

Векторная сумма приложенной силы и гравитационной силы равна показано на рисунке 7.9. Угол между приложенной силой F и векторной суммой F _t — это. На рисунке 7.9 показано, что следующие уравнения связывают F с F _t и F _g до F _t :

Рисунок 7.9. Векторная сумма F _t из F _g и F.

Чтобы рассчитать работу, выполненную общей силой на маятник, нам нужно знать угол между полной силой и направлением движения.Рисунок 7.10 показывает, что если угол между маятником и Ось Y — [тета], угол между общей силой и направлением движение равно [тета] + а. Расстояние dr зависит от d [тета]:

Для очень небольшого расстояния dr угол между dr и F _t не изменится. Работа, проделанная F _t на маятнике, определяется как

Общая работа, проделанная F _t , может быть получена путем интегрирования уравнение для dW по всем углам между [theta] = 0deg.и [тета] = [theta] _макс. . Максимальный угол легко выразить через r и h:

Рисунок 7.10. Угол между суммой силы и направления.

Общий объем выполненных работ

Используя одно из тригонометрических тождеств (Приложение, стр. A15), мы можем перепишите это выражение как

Используя приведенные выше уравнения для F _t cos (a), F _t sin (a), r cos ([theta] _max ) и r sin ([theta] _max ), мы можем перепишем это выражение и получим для W:

Метод 2 — Простой

Суммарная работа, совершенная на маятнике приложенной силой F и гравитационная сила F _г могла быть получена намного проще, если бы было использовано соотношение:

Общая работа W — это сумма работы, совершенной приложенной силой F и работа, совершаемая гравитационной силой F _g .Эти две величины легко рассчитывается:

А всего работ

что идентично результату, полученному с использованием метода 1.

Наблюдение за движением объекта с определенной скоростью указывает на что когда-то в прошлом над этим, должно быть, велась работа.Предположим, наш объект имеет массу m и движется со скоростью v. Его текущая скорость равна результат действия силы F. Для данной силы F мы можем получить ускорение нашего объект:

Предполагая, что объект находился в состоянии покоя в момент времени t = 0, мы можем получить скорость в любое более позднее время:

Следовательно, время, за которое масса достигает скорости v, может быть вычислено:

Если в это время выключить силу, масса продолжит двигаться с постоянная скорость, равная v.Чтобы рассчитать работу, проделанную силы F на массу, нам нужно знать общее расстояние, на котором эта сила действовал. Это расстояние d легко найти из уравнений движения:

Работа, совершаемая силой F над массой, равна

.

Работа не зависит от силы силы F и зависит только от от массы объекта и его скорости.Поскольку эта работа связана с движение объекта, это называется его кинетической энергией K :

Если кинетическая энергия частицы изменяется от некоторого начального значения K _i до некоторого окончательного значения K _f объем работы, выполненной на частица задается формулой

W = K _f — K _i

Это указывает на то, что изменение кинетической энергии частицы равно равной общей работе, совершенной над этой частицей всеми силами, действующими на Это.

Альтернативная деривация

Рассмотрим частицу с массой m, движущуюся вдоль оси x и на которую действует сеть сила F (x), которая указывает вдоль оси x. Работа, совершаемая силой F на массы m по мере того, как частица перемещается из своего начального положения x _i в свое конечная позиция x _f —

Из определения a мы можем заключить

Подставляя это выражение в интеграл, получаем

Пример задачи 3

Объект с массой m находится в состоянии покоя в момент времени t = 0.Подпадает под влияние силы тяжести на расстояние h (см. рисунок 7.11). Что это за скорость в этой точке?

Поскольку объект изначально находится в состоянии покоя, его начальная кинетическая энергия равна нулю:

K _i = 0 Дж

Сила, действующая на объект, — это сила тяжести

F _g = m g

Рис. 7.11. Падающий объект.

Работа, совершаемая гравитационной силой над объектом, просто равна

W = F _g h = m g h

Кинетическая энергия объекта после падения на расстояние h может быть рассчитано:

Вт = ^м. г ^. h = K _f — K _i = К _f

а его скорость в этой точке равна

Рисунок 7.12. Движение снаряда.

Пример задачи 4

Бейсбольный мяч подбрасывается в воздух с начальной скоростью v ₀ (см. Рисунок 7.12). Какой наивысшей точки он достигает?

Начальная кинетическая энергия бейсбольного мяча

В самой высокой точке скорость бейсбольного мяча равна нулю, и поэтому его кинетическая энергия равна нулю.Проделанная работа по бейсболу по силе тяжести можно получить:

W = K _f — K _i = — K _i

В этом случае направление перемещения мяча противоположное. к направлению силы тяжести. Предположим, что бейсбол достигает высота h. На этом этапе работа, проделанная с мячом, составляет

W = — m g h

Теперь можно рассчитать максимальную высоту h:

В повседневной жизни объем работы, который может выполнять аппарат, не велик. всегда важно.В общем, важнее знать время в пределах который может быть проделан определенный объем работы. Например: взрывной эффект динамита основан на его способности выделять большое количество энергии в очень короткое время. Такой же объем работы можно было бы проделать с помощью небольшого обогреватель (и если он работает в течение длительного времени), но обогреватель не вызвать взрыва. Интересующая величина — это мощность. Сила говорит нам кое-что о скорости выполнения работы.Если объем работы W равен выполняется во временном интервале [Delta] t, средняя мощность для этого временной интервал

Мгновенную мощность можно записать как

.

Единица измерения мощности в системе СИ — Дж / с или Вт (Ватт). Например, наше использование электричество всегда выражается в киловаттах ^. час. Этот эквивалентно

7.3.1. кВт ^. ч = (10 ³ Вт) (3600 с) = 3.6 х 10 ⁶ Дж = 3,6 МДж

Мы также можем выразить мощность, передаваемую телу, через силу что действует на тело и его скорость. Таким образом, для частицы, движущейся в одном размерность получаем

В более общем случае движения в трех измерениях мощность P может быть выражается как

---

Отправляйте комментарии, вопросы и / или предложения по электронной почте на адрес wolfs @ pas.rochester.edu и / или посетите домашнюю страницу Фрэнка Вольфса.

6.2: Линейное движение — Physics LibreTexts

Мы можем описать движение объекта, вектор скорости которого не изменяет направление непрерывно , как «линейное» движение. Например, объект, который движется по прямой в определенном направлении, затем резко меняет направление и продолжает движение по прямой, может быть смоделирован как совершающий линейное движение по двум разным сегментам (которые мы будем моделировать индивидуально).Объект, движущийся по кругу с непрерывно изменяющимся направлением вектора скорости, не считается совершающим линейное движение. Например, пути объектов, совершающих линейное и нелинейное движение, показаны на рисунке \ (\ PageIndex {1} \).

Когда объект совершает линейное движение, мы всегда моделируем движение объекта по прямым сегментам отдельно. На одном таком сегменте вектор ускорения будет коллинеарен с вектором смещения объекта (параллельным или антипараллельным — обратите внимание, что ускорение может изменять направление, как это было бы из-за силы пружины, но всегда будет коллинеарно с смещение).

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

[пример: applynewtonslaws: block] Блок массы \ (m \) помещается неподвижно на наклон, который составляет угол \ (\ theta \) по отношению к горизонтали, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2 } \). Блок слегка подталкивают, чтобы преодолеть силу статического трения, и блок начинает ускоряться вниз по склону. Внизу уклона блок скользит по горизонтальной поверхности.

Коэффициент кинетического трения между блоком и уклоном равен \ (\ mu_ {k1} \), а коэффициент кинетического трения между блоком и горизонтальной поверхностью равен \ (\ mu_ {k2} \).Если предположить, что блок начался в состоянии покоя на расстоянии \ (L \) от нижней части склона, как далеко по горизонтальной поверхности блок проскользнет до остановки?

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): блок скользит вниз по склону, а затем скользит по плоской поверхности и останавливается.

Решение :

Мы можем определить, что это линейное движение, которое мы можем разбить на два сегмента: (1) движение вниз по склону и (2) движение по горизонтальной поверхности. Таким образом, мы определим силы, нарисуем диаграмму свободного тела для блока и дважды воспользуемся вторым законом Ньютона, по одному разу для каждого сегмента.

Часто бывает полезно описать движение словами, чтобы помочь нам определить шаги, необходимые для построения модели блока. В этом случае можно сказать, что:

1. Блок скользит по склону и ускоряется в направлении движения. Определив силы и применив второй закон Ньютона, мы можем определить его ускорение, которое будет параллельно наклону.
2. Блок достигнет определенной скорости в нижней части уклона, которую мы можем определить из кинематики, зная, что блок прошел расстояние \ (L \) с известным ускорением и начал движение в состоянии покоя.
3. Блок будет замедляться по горизонтальной поверхности. Опять же, определяя силы и используя Второй закон Ньютона, мы сможем определить ускорение блока.
4. Блок остановится после прохождения неизвестного расстояния, которое мы можем найти, используя кинематику и зная ускорение блока, а также его начальную скорость в нижней части уклона.

Таким образом, наш первый шаг — определить силы, действующие на блок, когда он находится на склоне.Это:

1. \ (\ vec F_ {g} \), его вес.
2. \ (\ vec N_1 \), нормальная сила, создаваемая наклоном.
3. \ (\ vec f_ {k1} \), сила кинетического трения, создаваемая наклоном. Сила противоположна направлению движения и имеет величину, равную \ (f_ {k1} = \ mu_ {k1} N_1 \).

Они показаны на диаграмме свободного тела на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Как обычно, мы нарисовали ускорение \ (\ vec a_1 \) на диаграмме свободного тела и выбрали направление оси \ (x \), параллельное ускорению.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Диаграмма свободного тела для блока, когда он находится на склоне.

Запись компонента \ (x \) Второго закона Ньютона и использование того факта, что ускорение происходит в направлении \ (x \) (\ (\ vec a = a_1 \ hat x \)): \ [\ begin {align} \ sum F_x = F_g \ sin \ theta — f_ {k1} & = ma_1 \\ \ поэтому mg \ sin \ theta — \ mu_ {k1} N_1 & = ma_1 \ end {align} \], где мы выразили величина кинетической силы трения в терминах нормальной силы, действующей на самолет, и веса в терминах массы и гравитационного поля \ (g \).Компонент \ (y \) Второго закона Ньютона можно записать: \ [\ begin {выровнено} \ sum F_y = N_1-F_g \ cos \ theta & = 0 \\ \, следовательно, N_1 = mg \ cos \ theta \ end { выровнено} \], которое мы использовали, чтобы выразить нормальную силу через вес. Мы можем использовать это выражение для нормальной силы, подставив его в уравнение, которое мы получили из компонента \ (x \), чтобы найти ускорение вдоль наклона: \ [\ begin {align} mg \ sin \ theta — \ mu_ {k1 } N_1 & = ma_1 \\ mg \ sin \ theta — \ mu_ {k1} mg \ cos \ theta & = ma_1 \\ \ поэтому a_1 & = g (\ sin \ theta- \ mu_ {k1} \ cos \ theta) \ end {align} \] Теперь, когда мы знаем ускорение вниз по склону, мы можем легко найти скорость внизу склона, используя кинематику.2 & = 2a_1L \\ \ поэтому v & = \ sqrt {2a_1L} \\ & = \ sqrt {2Lg (\ sin \ theta- \ mu_ {k1} \ cos \ theta)} \ end {align} \] Теперь мы можем приступаем к построению модели для второго сегмента. Сначала мы определяем силы, действующие на блок, когда он находится на горизонтальной поверхности; это:

1. \ (\ vec F_ {g1} \), его вес.
2. \ (\ vec N_2 \), нормальная сила, создаваемая горизонтальной поверхностью. Это в целом отличается от нормальной силы, действующей, когда блок находился на наклонной плоскости.
3. \ (\ vec f_ {k2} \), сила кинетического трения, создаваемая горизонтальной поверхностью.Сила противоположна направлению движения и имеет величину, равную \ (f_ {k2} = \ mu_ {k2} N_2 \).

Силы проиллюстрированы диаграммой свободного тела на рисунке \ (\ PageIndex {4} \), где мы показали вектор ускорения \ (\ vec a_2 \), который, как мы определили, находится слева, поскольку блок замедляется. Мы также выбрали систему координат \ (xy \), такую, что ось \ (x \) антипараллельна ускорению, так что движение происходит в положительном направлении \ (x \) (а ускорение — в отрицательном \ (x \) направление).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Диаграмма свободного тела для блока, когда он скользит по горизонтальной поверхности. Мы (произвольно) выбрали положительное направление \ (x \) в направлении движения и антипараллельно ускорению. Мы легко могли выбрать противоположное направление.

Записываем компонент \ (x \) Второго закона Ньютона: \ [\ begin {align} \ sum F_x = -f_ {k2} & = -ma_2 \\ \ следовательно \ mu_ {k2} N_2 & = ma_2 \ end {align} \] где мы выразили силу кинетического трения через нормальную силу.Здесь нужно быть осторожным со знаком ускорения; уравнение, которое мы написали, подразумевает, что \ (a_2 \) является положительным числом, поскольку \ (\ mu_ {k2} \) положительно и \ (N_2 \) также положительно (это величина нормальной силы). \ (a_2 \) — величина ускорения, и мы учли тот факт, что ускорение указывает в отрицательном направлении \ (x \), когда мы помещаем отрицательный знак в первую строку. Компонент ускорения \ (x \) равен \ (- a_2 \), а вектор задается как \ (\ vec a_2 = -a_2 \ hat x \).

Компонент \ (y \) Второго закона Ньютона позволит нам найти нормальную силу: \ [\ begin {выровнено} \ sum F_y = N_2 -F_g & = 0 \\ \, следовательно, N_2 = mg \ end {выровнено} \], которое мы можем снова подставить в уравнение \ (x \), чтобы найти величину ускорения вдоль горизонтальной поверхности: \ [\ begin {align} ma_2 & = \ mu_ {k2} N_2 \\ \, следовательно, a_2 & = \ mu_ {k2} g \ end {align} \] Теперь, когда мы нашли ускорение вдоль горизонтальной поверхности, мы можем использовать кинематику, чтобы найти расстояние, которое блок прошел до остановки.2 \\ & = \ frac {1} {2 \ mu_ {k2} g} 2Lg (\ sin \ theta- \ mu_ {k1} \ cos \ theta) \\ \ поэтому x & = \ frac {(\ sin \ theta — \ mu_ {k1} \ cos \ theta)} {\ mu_ {k2}} L \ end {align} \]

Обсуждение:

Модель расстояния \ (x \), которое требуется для остановки блока, имеет смысл, потому что:

• Все члены дроби безразмерны, поэтому значение \ (x \) будет иметь ту же размерность, что и \ (L \).
• Если мы увеличим \ (L \), то \ (x \) будет больше (если мы отпустим блок выше на уклоне, у него будет больше времени для ускорения, и он будет скользить дальше перед остановкой).
• Если мы увеличим \ (\ mu_ {k1} \), то \ (x \) будет меньше: если мы увеличим трение на уклоне, блок будет иметь меньшее ускорение и меньшую скорость внизу.
• Если мы увеличим трение с горизонтальной плоскостью (увеличение \ (\ mu_ {k2} \)), то \ (x \) будет уменьшено (он не будет скользить так далеко, если трение в горизонтальной плоскости больше) .
• Если мы увеличим \ (\ theta \), числитель будет больше, поэтому \ (x \) увеличится (блок будет быстрее ускоряться при более крутом уклоне и дальше вверх).

Моделирование ситуаций, когда силы изменяют величину

До сих пор в рассматриваемых нами моделях учитывались силы, величина которых оставалась неизменной. Во многих случаях силы, действующие на объект, могут изменять величину и направление. Например, сила пружины изменяется при изменении длины пружины или сила сопротивления изменяется при изменении скорости объекта. В этом случае, даже если объект совершает линейное движение, нам нужно разбить движение на множество небольших сегментов, на которых мы можем предположить, что силы постоянны.Если силы изменяются непрерывно, нам нужно будет разбить движение на бесконечное количество сегментов и использовать исчисление.

Рассмотрим блок массы \ (m \), показанный на рисунке \ (\ PageIndex {5} \), который скользит по горизонтальной поверхности без трения и имеет горизонтальную силу \ (\ vec F (x) \). в теме. Сила имеет разную величину в трех показанных сегментах длины \ (\ Delta x \). Если блок начинается в позиции \ (x = x_0 \) оси со скоростью \ (v_0 \), мы можем найти, например, его скорость в позиции \ (x_3 = 3 \ Delta x \) после того, как блок прошел через три сегмента.

Рис. \ (\ PageIndex {6} \): Блок толкается по горизонтальной поверхности без трения с изменяющейся силой.

Горизонтальная сила \ (\ vec F \), приложенная к блоку, может быть записана как \ [\ begin {align} \ vec F (x) = \ begin {cases} F_1 \ hat x & x <\ Delta x \ quad \ text {(сегмент 1)} \\ F_2 \ hat x & \ Delta x \ leq x <2 \ Delta x \ quad \ text {(сегмент 2)} \\ F_3 \ hat x & 2 \ Delta x \ leq x \ quad \ text {(сегмент 3)} \ end {case} \ end {align} \], поскольку это зависит от местоположения блока.Чтобы найти скорость блока в конце третьего сегмента, мы можем смоделировать каждый сегмент отдельно. Силы, действующие на блок, одинаковы в каждом сегменте:

1. \ (\ vec F_g \), его вес с величиной \ (mg \).
2. \ (\ vec N \), нормальная сила, создаваемая землей.
3. \ (\ vec F (x) \), приложенная сила, величина которой изменяется в зависимости от положения и различается в трех разных сегментах.

Силы показаны на диаграмме свободного тела, показанной на рисунке \ (\ PageIndex {7} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \).

Второй закон Ньютона можно использовать для определения ускорения блока для каждого из трех сегментов, поскольку силы постоянны в пределах одного сегмента. Для всех трех сегментов компонент \ (y \) Второго закона Ньютона просто говорит нам, что нормальная сила, действующая со стороны земли, равна по величине весу блока. Компонент \ (x \) Второго закона Ньютона дает ускорение: \ [\ begin {выровнено} \ sum F_x = F_i = ma_i \ end {align} \], где мы использовали индекс \ (i \), чтобы указать, какой сегмент, в котором находится блок (\ (i \) может быть 1, 2 или 3).{i = N} \ frac {F_i} {m} \ Delta x \ end {align} \] Наконец, если величина силы непрерывно изменяется как функция \ (x \), \ (\ vec F (x ) \), мы бы смоделировали это, взяв отрезки, длина которых \ (\ Delta x \) стремится к нулю (и нам понадобится бесконечное количество таких отрезков). {i = N} \ frac {F (x)} {m} \ Delta x \ end {align} \], где \ (\ Delta x = \ frac {X} {N} \) так, чтобы как \ (\ Delta x \ to 0 \), \ (N \ to \ infty \).{X} \ frac {F (x)} {m} dx \ end {align} \] Естественно, мы можем найти приведенный выше результат, начиная непосредственно с исчисления. Если составляющая (чистой) силы в направлении \ (x \) задается как \ (F (x) \), то ускорение определяется как \ (a (x) = \ frac {F (x)} {m} \). Скорость связана с ускорением: \ [\ begin {align} a (x) & = \ frac {dv} {dt} \\ \, следовательно, dv & = a (x) dt \\\ end {align} \] Мы не можем просто проинтегрировать последнее уравнение, чтобы найти, что \ (v = \ int a (x) dt \), потому что ускорение задается как функция положения, \ (a (x) \), а не функция времени, \ (т \).Таким образом, мы не можем просто взять интеграл по \ (t \) и должны вместо этого «заменить переменные», чтобы взять интеграл по \ (x \). \ (x \) и \ (t \) связаны через скорость: \ [\ begin {align} v & = \ frac {dx} {dt} \\ \, следовательно, dt & = \ frac {1} {v} dx \ end {align} \] Таким образом, мы можем написать: \ [\ begin {align} dv & = a (x) dt = a (x) \ frac {1} {v} dx \\\ end {align} \] Вышеприведенное уравнение называется «разделяемым дифференциальным уравнением», которое также можно записать: \ [\ begin {выровнено} \ frac {dv} {dx} = \ frac {1} {v} a (x) \ end {выровнено } \] Это называется дифференциальным уравнением, потому что оно связывает производную функции (производную от \ (v \) по \ (x \) слева) с самой функцией (\ (v \) появляется справа).Дифференциальное уравнение «отделимо», потому что мы можем отделить все величины, которые зависят от \ (v \) и от \ (x \) по разные стороны уравнения: \ [\ begin {align} vdv = a ( x) dx \ end {align} \] Это последнее уравнение говорит, что \ (vdv \) равно \ (a (x) dx \). Помните, что \ (dx \) — это длина очень маленького сегмента в \ (x \), а \ (dv \) — это изменение скорости на этом очень маленьком отрезке. Поскольку члены слева и справа равны, если мы просуммируем (проинтегрируем) величину \ (vdv \) по многим сегментам, эта сумма должна быть равна сумме (интегралу) величины \ (a (x) dx \ ) над теми же сегментами.2 & = 2a (X-x_0) \ конец {выровнено} \]

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Блок запускается по поверхности без трения путем сжатия пружины на расстояние \ (D \). Верхняя панель показывает пружину в состоянии покоя, а нижняя панель показывает пружину, сжатую на расстояние \ (D \) непосредственно перед тем, как освободить блок.

Блок массой \ (м \) может свободно скользить по поверхности без трения. Горизонтальная пружина с жесткостью пружины \ (k \) прикреплена к стене на одном конце, а другой конец может свободно перемещаться, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {8} \).Система координат определяется так, что ось \ (x \) горизонтальна, а свободный конец пружины находится в точке \ (x = 0 \), когда пружина находится в состоянии покоя. Блок прижимается к пружине, так что пружина сжимается на расстояние \ (D \). Затем блок снимается. Какая скорость будет у блока, когда он выйдет из пружины?

Решение :

Как вы помните, сила, прилагаемая пружиной, зависит от сжатия или растяжения пружины и задается законом Гука: \ [\ begin {align} \ vec F (x) = -kx \ hat x \ end {выровнено } \], где \ (x \) — положение свободного конца пружины, а \ (x = 0 \) соответствует положению пружины в покое.В нашем случае, когда край блока расположен в точке \ (x_0 = -D \) (пружина сжимается), сила, таким образом, имеет положительное направление \ (x \) (поскольку \ (x_0 \) является отрицательное число).

Силы на блоке:

1. \ (\ vec F_g \), его вес с величиной \ (mg \).
2. \ (\ vec N \), нормальная сила, создаваемая землей.
3. \ (\ vec F (x) \), сила пружины.

Поскольку блок не движется вертикально, величина нормальной силы должна равняться весу \ (N = mg \), так как это единственные силы, компоненты которых направлены в вертикальном направлении.Компонент \ (x \) Второго закона Ньютона дает нам ускорение блока (которое зависит от \ (x \)): \ [\ begin {align} \ sum F_x = -kx & = ma (x) \\ \ поэтому a (x) & = — \ frac {k} {m} x \ end {align} \] Снова напомним, что если \ (x \) отрицательно, то ускорение будет в положительном направлении. Поскольку этот сценарий в точности совпадает с описанным выше в тексте, а именно с силой, которая непрерывно изменяется в зависимости от положения, мы можем применить найденную ранее формулу для определения скорости после того, как переменная сила была приложена из положения \ (x = x_0 \) в позицию \ (x = X \): \ [\ begin {выровнено} V ^ 2 & = v_0 ^ 2 + 2 \ int_ {x_0} ^ {X} a (x) dx \ end {выровнено} \ ] \ (V \) — это конечная скорость, которую мы хотели бы найти, \ (v_0 = 0 \), потому что блок начинается в состоянии покоя, а \ (x_0 = -D \) — это начальная позиция блока.\ (X \) — это положение по оси \ (x \), где блок выходит из пружины.

Нам нужно немного подумать о том, каким должно быть значение \ (X \): когда пружина сжимается и блок ускоряется, пружина толкает блок в положительном направлении \ (x \). Как только блок достигнет \ (x = 0 \), пружина захочет потянуть блок назад, но, поскольку она не прикреплена к блоку, она перестает оказывать силу на блок в этой точке. Таким образом, блок покидает пружину в точке \ (x = 0 \), так что конечное положение равно \ (X = 0 \).2 \\ \ поэтому V & = \ sqrt {\ frac {k} {m}} D \ end {align} \]

Обсуждение:

Эта модель скорости блока при выходе из пружины имеет смысл, потому что:

• Размер выражения для \ (V \) правильный (вы должны это проверить!).
• Если пружина сжата сильнее (большее значение \ (D \)), то скорость будет выше.
• Если масса больше (больше инерции), то конечная скорость будет ниже.
• Если пружина более жесткая (большее значение \ (k \)), то конечная скорость будет выше.2 \ end {align} \], что дает то же значение для \ (V \). Как мы увидим в следующей главе, кинетическая и потенциальная энергия определены как есть, именно потому, что это делает использование сохранения энергии эквивалентным использованию сил, как мы только что сделали.

  Пример \ (\ PageIndex {3} \)

  Объект массой \ (m \) выпущен из состояния покоя из вертолета. Сопротивление (сопротивление воздуха) объекта может быть смоделировано как имеющее величину, заданную как \ (bv \), где \ (v \) — скорость объекта, а \ (b \) — константа пропорциональности.Как скорость объекта зависит от времени?

  Решение :

  Когда объект падает в воздухе, на него действуют силы:

  1. \ (F_g \), его вес с величиной \ (mg \) направлен вниз.
  2. \ (F_d \), сила сопротивления величиной \ (bv \), приложенная вверх.

  Поскольку объект упадет по прямой линии, это одномерная задача, и мы можем выбрать ось \ (x \) вертикальной, с положительным \ (x \), направленным вниз, а начало координат расположено в том месте, где объект был освобожден.Таким образом, объект будет иметь положительное ускорение и будет двигаться в положительном направлении \ (x \) с этим выбором системы координат. Это показано на диаграмме свободного тела на рис. \ (\ PageIndex {9} \) .

  Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): Диаграмма свободного тела для блока, свободно падающего с перетаскиванием.

  Второй закон Ньютона для объекта дает: \ [\ begin {align} \ sum F_x = F_g — F_d & = ma \\ mg — bv & = ma \\ \, следовательно, a & = g- \ frac {b} {m } v \ end {align} \] В этом случае ускорение явно зависит от скорости, а не от положения, как это было раньше.Однако мы можем использовать ту же методологию, чтобы узнать, как скорость изменяется со временем. Во-первых, мы можем отметить, что ускорение равно нулю, если: \ [\ begin {align} g- \ frac {b} {m} v & = 0 \\ \, следовательно, v = \ frac {mg} {b} \ end { Выровнено} \] То есть, как только объект достигнет скорости \ (v_ {term} = mg / b \), он перестанет ускоряться, то есть достигнет «конечной скорости». Обратите внимание, что это то же самое условие, что и требование, чтобы сила сопротивления (\ (bv \)) имела ту же величину, что и вес (\ (mg \)).

  Записав ускорение как \ (a = \ frac {dv} {dt} \), мы можем написать: \ [\ begin {align} \ frac {dv} {dt} & = \ left (g- \ frac {b } {m} v \ right) \ end {align} \], которое снова является разделимым дифференциальным уравнением, в котором мы можем записать члены, которые зависят от \ (v \), и те, которые зависят от \ (t \) от отдельные стороны знака равенства: \ [\ begin {align} \ frac {dv} {g- \ frac {b} {m} v} & = dt \\ \ frac {dv} {v- \ frac {mg} {b}} & = — \ frac {b} {m} dt \\\ end {align} \], где мы изменили расположение уравнения во второй строке, чтобы его было легче интегрировать на следующем шаге.{- \ frac {b} {m} t} \ right) \ end {align} \]

  Обсуждение:

  Это уравнение говорит нам, что скорость увеличивается как функция времени, но скорость увеличения экспоненциально уменьшается со временем.