Уравнение координаты проекции перемещения и проекции скорости: 1.11. Уравнение координаты, проекции перемещения и проекции скорости

8. Уравнение координаты, перемещения и скорости при равноускоренном движении

А 1

Зависимость координаты от времени при равноускоренном движении выражается

1) линейной функцией

2) квадратичной функцией

3) тригонометрической функцией

4) показательной функцией

А 2

Зависимость координаты от времени для некоторого тела описывается уравнением . Чему равна координата тела через 3 с?

1) 6 м

2) 18 м

3) 8 м

4) 3 м

А 3

Чему равно перемещение материальной точки за 5 с, движение которой вдоль оси ОХ описывается уравнением ?

1) 5 м

2) 11 м

3) 13 м

4) 18 м

А 4

Зависимость координаты от времени для некоторого тела описывается уравнением . В какой момент времени проекция скорости тела на ось ОХ равна нулю?

1) 8 с

2) 4 с

3) 3 с

4) 0 с

А 5

1) 6 с 2) 3 с

3) 2 с 4) 0 с

А 6

Зависимость координаты материальной точки от времени задается уравнением х(t) = Аt² + Bt + C, где А, В и С – числовые коэффициенты. Скорость и ускорение тела в момент времени t = 0 с равны соответственно

1) А и С 2) В и А

3) В и С 4) В и 2А

А 7

Зависимость пути от времени для прямолинейно движущегося тела имеет вид: , где все величины выражены в СИ. Ускорение тела равно

1) 1 м/с²

2) 2 м/с²

3) 3 м/с²

4) 6 м/с²

А 8

Уравнение зависимости проекции скорости движущегося тела от времени: . Каково соответствующее уравнение проекции перемещения тела?

В 1

Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 10 м/с. Через 5 с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся с ускорением 3 м/с

2. На каком расстоянии от остановки мотоциклист догонит грузовик? (150 м)

А 9

В таблице приведена скорость корабля, плывущего по прямому каналу.

	24	36	48	48	48
	0	5	10	15	20

Согласно данным таблицы корабль двигался

1) равномерно в течение всего времени наблюдения

2) равноускоренно в течение всего времени наблюдения

3) равноускоренно в течение первых 10 минут, а затем остановился

4) равноускоренно в течение первых 10 минут и равномерно в течение последующих 10 минут

А 10

В таблице приведены координаты корабля, плывущего по прямому каналу.

300

675

1200

Согласно данным таблицы, движение корабля является

1) равномерным в течение всего времени наблюдения

2) равноускоренным в течение всего времени наблюдения

3) равномерным в течение первых 10 минут наблюдения и равноускоренным с 10 по 20 минуту

4) равноускоренным в течение первых 10 минут наблюдения и равномерным с 10 по 20 минуту

Перемещение тела при РУД

На прошлых уроках мы с вами начали изучать прямолинейное равноускоренное движение, то есть движение с постоянным по модулю ускорением. Напомним, что ускорение — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости:

Также мы с вами выяснили, что при равноускоренном движении, скорость тела линейно зависит от времени:

Теперь мы должны выяснить самое главное — как изменяется со временем координата тела при его прямолинейном равноускоренном движении. Для этого, как мы знаем, необходимо знать перемещение тела, так как проекция вектора перемещения как раз и равна изменению координаты тела.

При изучении графического представления равномерного движения мы говорили о том, что проекция перемещения при равномерном движении численно равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью времени и перпендикулярами к этой оси, восставленными из точек, соответствующих моментам начала и конца наблюдения.

Это же правило применимо и для неравномерного движения. Покажем это. Для чего воспользуемся графиком зависимости проекции скорости от времени. Выберем на графике достаточно малый участок

АВ и проведём перпендикуляры из точек А и В» на ось времени:

Длина полученного на оси времени отрезка равна тому малому промежутку времени, в течение которого произошло изменение скорости от её значения в точке А, до её значения в точке В. Если этот промежуток времени достаточно мал, то изменением скорости за это время можно пренебречь, то есть движение тела можно считать равномерным. Следовательно, полученная полоска ABCD мало отличается от прямоугольника. А его площадь численно равна проекции перемещения тела за время, соответствующее отрезку CD.

Очевидно, что на такие узкие полоски мы можем разбить всю площадь фигуры под графиком скорости.

Тогда, согласно рисунку, проекция перемещения при равноускоренном движении определяется площадью трапеции. Площадь же трапеции, как известно из геометрии, равна произведению полусуммы её оснований на высоту. В нашем случае длина одного из оснований численно равна проекции начальной скорости тела, другого — проекции скорости через время t, высота же трапеции численно равна времени:

Обратите внимание на первый множитель в уравнении. Мы знаем, что среднее значение проекции скорости равно отношению проекции перемещения тела к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Тогда из формулы следует, что средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме начальной и конечной скоростей:

При равноускоренном движении эта формула выполняется не только для проекций, но и для векторов скорости.

Теперь подставим в полученную формулу для проекции перемещения уравнение скорости и, проведя простые математические преобразования, получим формулу, выражающую зависимость проекции перемещения от времени при равноускоренном движении:

При использовании формулы нужно помнить, что входящие в неё величины могут иметь разные знаки, так как это проекции векторов перемещения, начальной скорости и ускорения.

Учитывая, что проекция перемещения равна разности конечной и начальной координат тела, получим формулу, выражающую кинематический закон равноускоренного движения:

Из полученных формул видим, что при равноускоренном движении проекция перемещения тела и его координата квадратично зависят от времени. В математике квадратичную зависимость записывают в виде

Её график представляет собой параболу, направление ветвей которой зависят от знака коэффициента с. Следовательно, для равноускоренного движения графиком проекций перемещений при равноускоренном движении являются участки парабол, положение вершин которых зависят от направлений начальной скорости и ускорения тела.

На первом графике проекция перемещения всё время растёт, что соответствует движению с положительным ускорением, а на втором графике — растёт до некоторого момента времени, а затем уменьшается. Так происходит потому, что в этот момент времени скорость тела становится равной нулю и направление движения тела изменяется на противоположное. Поэтому второй график соответствует движению тела с отрицательной проекцией ускорения.

— А каким будет график пути?

Для движения, при котором направление скорости не изменяется, график пути совпадает с графиком проекции перемещения. Если же скорость меняет своё направление, то эти графики совпадают лишь до момента поворота. После поворота проекция перемещения начинает уменьшаться, а путь продолжает расти. Причём он увеличивается ровно на столько, на сколько за то же время уменьшается проекция перемещения.

Что касается графика зависимости координаты тела от времени, то он получается из графика проекции перемещения смещением вверх, если начальная координата тела положительна, или вниз, если начальная координата тела отрицательна.

Теперь давайте сравним зависимости основных кинематических величин для двух видов прямолинейного движения:

Как видно из таблицы, если проекция ускорения равна нулю, то формулы равноускоренного движения переходят в формулы равномерного.

Закрепления материала.

Локомотив двигался со скоростью 5 м/с. Увидев зелёный свет светофора, машинист увеличил скорость, причём ускорение при разгоне составило 0,6 м/с². Рассчитайте путь, на котором скорость локомотива увеличилась до 20 м/с.

Формула нахождения проекции перемещения. Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение координаты

Основные единицы измерения величин в системе СИ таковы:

единица измерения длины — метр (1 м),
времени — секунда (1 с),
массы — килограмм (1 кг),
количества вещества — моль (1 моль),
температуры — кельвин (1 К),
силы электрического тока — ампер (1 А),
Справочно: силы света — кандела (1 кд, фактически не используется при решении школьных задач).

При выполнении расчетов в системе СИ углы измеряются в радианах.

Если в задаче по физике не указано, в каких единицах нужно дать ответ, его нужно дать в единицах системы СИ или в производных от них величинах, соответствующих той физической величине, о которой спрашивается в задаче. Например, если в задаче требуется найти скорость, и не сказано в чем ее нужно выразить, то ответ нужно дать в м/с.

Для удобства в задачах по физике часто приходится использовать дольные (уменьшающие) и кратные (увеличивающие) приставки. их можно применять к любой физической величине. Например, мм – миллиметр, кт – килотонна, нс – наносекунда, Мг – мегаграмм, ммоль – миллимоль, мкА – микроампер. Запомните, что в физике не существует двойных приставок. Например, мкг – это микрограмм, а не милликилограмм. Учтите, что при сложении и вычитании величин Вы можете оперировать только величинами одинаковой размерности. Например, килограммы можно складывать только с килограммами, из миллиметров можно вычитать только миллиметры, и так далее. При переводе величин пользуйтесь следующей таблицей.

Путь и перемещение

Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения.

Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Всякое тело имеет определенные размеры. Однако, во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно считать материальной точкой . Так при движении автомобиля на большие расстояния можно пренебречь его длиной, так как длина автомобиля мала по сравнению с расстояниями, которое он проходит.

Интуитивно понятно, что характеристики движения (скорость, траектория и т.д.) зависят от того, откуда мы на него смотрим. Поэтому для описания движения вводится понятие системы отсчета. Система отсчета (СО) – совокупность тела отсчета (оно считается абсолютно твердым), привязанной к нему системой координат, линейки (прибора, измеряющего расстояния), часов и синхронизатора времени.

Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает в данной СО некоторую линию, которую называют траекторией движения тела .

Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Перемещение есть векторная величина. Перемещением может в процессе движение увеличиваться, уменьшаться и становиться равным нулю.

Пройденный путь равен длине траектории, пройденной телом за некоторое время. Путь – скалярная величина. Путь не может уменьшаться. Путь только возрастает либо остается постоянным (если тело не движется). При движении тела по криволинейной траектории модуль (длина) вектора перемещения всегда меньше пройденного пути.

При равномерном (с постоянной скоростью) движении путь L может быть найден по формуле:

где: v – скорость тела, t – время в течении которого оно двигалось. При решении задач по кинематике перемещение обычно находится из геометрических соображений. Часто геометрические соображения для нахождения перемещения требуют знания теоремы Пифагора.

Средняя скорость

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту перемещения тела в пространстве. Скорость бывает средней и мгновенной. Мгновенная скорость описывает движение в данный конкретный момент времени в данной конкретной точке пространства, а средняя скорость характеризует все движение в целом, в общем, не описывая подробности движения на каждом конкретном участке.

Средняя скорость пути – это отношение всего пути ко всему времени движения:

где: L полн – весь путь, который прошло тело, t полн – все время движения.

Средняя скорость перемещения – это отношение всего перемещения ко всему времени движения:

Эта величина направлена так же, как и полное перемещение тела (то есть из начальной точки движения в конечную точку). При этом не забывайте, что полное перемещение не всегда равно алгебраической сумме перемещений на определённых этапах движения. Вектор полного перемещения равен векторной сумме перемещений на отдельных этапах движения.

При решении задач по кинематике не совершайте очень распространенную ошибку. Средняя скорость, как правило, не равна среднему арифметическому скоростей тела на каждом этапе движения. Среднее арифметическое получается только в некоторых частных случаях.
И уж тем более средняя скорость не равна одной из скоростей, с которыми двигалось тело в процессе движения, даже если эта скорость имела примерно промежуточное значение относительно других скоростей, с которыми двигалось тело.

Равноускоренное прямолинейное движение

Ускорение – векторная физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости тела. Ускорением тела называют отношение изменения скорости к промежутку времени, в течение которого происходило изменение скорости:

где: v 0 – начальная скорость тела, v – конечная скорость тела (то есть спустя промежуток времени t ).

Далее, если иное не указано в условии задачи, мы считаем, что если тело движется с ускорением, то это ускорение остается постоянным. Такое движение тела называется равноускоренным (или равнопеременным). При равноускоренном движении скорость тела изменяется на одинаковую величину за любые равные промежутки времени.

Равноускоренное движение бывает собственно ускоренным, когда тело увеличивает скорость движения, и замедленным, когда скорость уменьшается. Для простоты решения задач удобно для замедленного движения брать ускорение со знаком «–».

Из предыдущей формулы, следует другая более распространённая формула, описывающая изменение скорости со временем при равноускоренном движении:

Перемещение (но не путь) при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:

В последней формуле использована одна особенность равноускоренного движения. При равноускоренном движении среднюю скорость можно рассчитывать, как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей (этим свойством очень удобно пользоваться при решении некоторых задач):

С расчетом пути все сложнее. Если тело не меняло направления движения, то при равноускоренном прямолинейном движении путь численно равен перемещению. А если меняло – надо отдельно считать путь до остановки (момента разворота) и путь после остановки (момента разворота). А просто подстановка времени в формулы для перемещения в этом случае приведет к типичной ошибке.

Координата при равноускоренном движении изменяется по закону:

Проекция скорости при равноускоренном движении изменяется по такому закону:

Аналогичные формулы получаются для остальных координатных осей.

Свободное падение по вертикали

На все тела, находящиеся в поле тяготения Земли, действует сила тяжести. В отсутствие опоры или подвеса эта сила заставляет тела падать к поверхности Земли. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то движение тел только под действием силы тяжести называется свободным падением. Сила тяжести сообщает любым телам, независимо от их формы, массы и размеров, одинаковое ускорение, называемое ускорением свободного падения. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения составляет:

Это значит, что свободное падение всех тел вблизи поверхности Земли является равноускоренным (но не обязательно прямолинейным) движением. Вначале рассмотрим простейший случай свободного падения, когда тело движется строго по вертикали. Такое движение является равноускоренным прямолинейным движением, поэтому все изученные ранее закономерности и фокусы такого движения подходят и для свободного падения. Только ускорение всегда равно ускорению свободного падения.

Традиционно при свободном падении используют направленную вертикально ось OY. Ничего страшного здесь нет. Просто надо во всех формулах вместо индекса «х » писать «у ». Смысл этого индекса и правило определения знаков сохраняется. Куда направлять ось OY – Ваш выбор, зависящий от удобства решения задачи. Вариантов 2: вверх или вниз.

Приведем несколько формул, которые являются решением некоторых конкретных задач по кинематике на свободное падение по вертикали. Например, скорость, с которой упадет тело падающее с высоты h без начальной скорости:

Время падения тела с высоты h без начальной скорости:

Максимальная высота на которую поднимется тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v 0 , время подъема этого тела на максимальную высоту, и полное время полета (до возвращения в исходную точку):

Горизонтальный бросок

При горизонтальном броске с начальной скоростью v 0 движение тела удобно рассматривать как два движения: равномерное вдоль оси ОХ (вдоль оси ОХ нет никаких сил препятствующих или помогающих движению) и равноускоренного движения вдоль оси OY.

Скорость в любой момент времени направлена по касательной к траектории. Ее можно разложить на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая всегда остается неизменной и равна v x = v 0 . А вертикальная возрастает по законам ускоренного движения v y = gt . При этом полная скорость тела может быть найдена по формулам:

При этом важно понять, что время падения тела на землю никоим образом не зависит от того, с какой горизонтальной скоростью его бросили, а определяется только высотой, с которой было брошено тело. Время падения тела на землю находится по формуле:

Пока тело падает, оно одновременно движется вдоль горизонтальной оси. Следовательно, дальность полета тела или расстояние, которое тело сможет пролететь вдоль оси ОХ, будет равно:

Угол между горизонтом и скоростью тела легко найти из соотношения:

Также иногда в задачах могут спросить о моменте времени, при котором полная скорость тела будет наклонена под определенным углом к вертикали . Тогда этот угол будет находиться из соотношения:

Важно понять, какой именно угол фигурирует в задаче (с вертикалью или с горизонталью). Это и поможет вам выбрать правильную формулу. Если же решать эту задачу координатным методом, то общая формула для закона изменения координаты при равноускоренном движении:

Преобразуется в следующий закон движения по оси OY для тела брошенного горизонтально:

При ее помощи мы можем найти высоту на которой будет находится тело в любой момент времени. При этом в момент падения тела на землю координата тела по оси OY будет равна нулю. Очевидно, что вдоль оси OХ тело движется равномерно, поэтому в рамках координатного метода горизонтальная координата изменятся по закону:

Бросок под углом к горизонту (с земли на землю)

Максимальная высота подъема при броске под углом к горизонту (относительно начального уровня):

Время подъема до максимальной высоты при броске под углом к горизонту:

Дальность полета и полное время полета тела брошенного под углом к горизонту (при условии, что полет заканчивается на той же высоте с которой начался, т.е. тело бросали, например, с земли на землю):

Минимальная скорость тела брошенного под углом к горизонту – в наивысшей точке подъёма, и равна:

Максимальная скорость тела брошенного под углом к горизонту – в моменты броска и падения на землю, и равна начальной. Это утверждение верно только для броска с земли на землю. Если тело продолжает лететь ниже того уровня, с которого его бросали, то оно будет там приобретать все большую и большую скорость.

Сложение скоростей

Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки зрения кинематики все системы отсчета равноправны. Однако кинематические характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными. Таким образом, покой и движение тела относительны.

Таким образом, абсолютная скорость тела равна векторной сумме его скорости относительно подвижной системы координат и скорости самой подвижной системы отсчета. Или, другими словами, скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме скорости тела в подвижной системе отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Равномерное движение по окружности

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Такой вид движения также рассматривается в кинематике. При криволинейном движении вектор скорости тела всегда направлен по касательной к траектории. То же самое происходит и при движении по окружности (см. рисунок). Равномерное движение тела по окружности характеризуется рядом величин.

Период – время, за которое тело, двигаясь по окружности, совершает один полный оборот. Единица измерения – 1 с. Период рассчитывается по формуле:

Частота – количество оборотов, которое совершило тело, двигаясь по окружности, в единицу времени. Единица измерения – 1 об/с или 1 Гц. Частота рассчитывается по формуле:

В обеих формулах: N – количество оборотов за время t . Как видно из вышеприведенных формул, период и частота величины взаимообратные:

При равномерном вращении скорость тела будет определяется следующим образом:

где: l – длина окружности или путь, пройденный телом за время равное периоду T . При движении тела по окружности удобно рассматривать угловое перемещение φ (или угол поворота), измеряемое в радианах. Угловой скоростью ω тела в данной точке называют отношение малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt . Очевидно, что за время равное периоду T тело пройдет угол равный 2π , следовательно при равномерном движении по окружности выполняются формулы:

Угловая скорость измеряется в рад/с. Не забывайте переводить углы из градусов в радианы. Длина дуги l связана с углом поворота соотношением:

Связь между модулем линейной скорости v и угловой скоростью ω :

При движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью изменяется только направление вектора скорости, поэтому движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является движением с ускорением (но не равноускоренным), так как меняется направление скорости. В этом случае ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным, или центростремительным ускорением , так как вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру (см. рисунок).

Модуль центростремительного ускорения связан с линейной v и угловой ω скоростями соотношениями:

Обратите внимание, что если тела (точки) находятся на вращающемся диске, шаре, стержне и так далее, одним словом на одном и том же вращающемся объекте, то у всех тел одинаковые период вращения, угловая скорость и частота.

Равномерное прямолинейное движение – это частный случай неравномерного движения.

Неравномерное движение – это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.

V cp = s / t

– это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

V x = x’

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

– это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

V x = v 0x ± a x t

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

0a = v 0 bc = v

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t 1 равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а x

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором вектор ускорения остается неизменным по модулю и направлению. Примером такого движения является движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха). В любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного падения . Таким образом, изучение равноускоренного движения сводится к изучению прямолинейного равноускоренного движения. В случае прямолинейного движения векторы скорости и ускорения направлены вдоль прямой движения. Поэтому скорость и ускорение в проекциях на направление движения можно рассматривать как алгебраические величины. При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой (1)

В этой формуле – скорость тела при t = 0 (начальная скорость ), = const – ускорение. В проекции на выбранную ось х уравнение (1) запишется в виде: (2). На графике проекции скорости υ х (t ) эта зависимость имеет вид прямой линии.

По наклону графика скорости может быть определено ускорение a тела. Соответствующие построения выполнены на рис. для графика I Ускорение численно равно отношению сторон треугольника ABC : .

Чем больше угол β, который образует график скорости с осью времени, т. е. чем больше наклон графика (крутизна ), тем больше ускорение тела.

Для графика I: υ 0 = –2 м/с, a = 1/2 м/с 2 . Для графика II: υ 0 = 3 м/с, a = –1/3 м/с 2 .

График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s тела за некоторое время t. Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt. Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение скорости за этот промежуток невелико, то есть движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью, которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt. Следовательно, перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = υΔt. Это перемещение равно площади заштрихованной на рис. полоски. Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t на малые промежутки Δt, можно получить, что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF. Соответствующие построения выполнены на рис. для графика II. Время t принято равным 5,5 с.

(3) – полученная формула позволяет определить перемещение при равноускоренном движении если ускорение не известно.

Если подставить в уравнение (3) выражение для скорости (2), то получаем (4) – эта формула используется для записи уравнения движения тела: (5).

Если выразить из уравнения (2) время движения (6) и подставить в равенство (3), то

Эта формула позволяет определить перемещение при неизвестном времени движения.

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

– это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости:

Скорость равномерного прямолинейного движения – это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:

V(вектор) = s(вектор) / t

Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

s(вектор) = V(вектор) t

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

v x = v, то есть v > 0

Проекция перемещения на ось ОХ равна:

s = vt = x – x 0

где x 0 – начальная координата тела, х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения , то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v

4. Равнопеременное движение.

Равномерное прямолинейное движение – это частный случай неравномерного движения.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

a(вектор) = v(вектор)» = s(вектор)»

Учитывая, что 0 – скорость тела в начальный момент времени (начальная скорость), – скорость тела в данный момент времени (конечная скорость), t – промежуток времени, в течение которого произошло изменение скорости,формула ускорения будет следующей:

a(вектор) = v(вектор)-v0(вектор)/t

Отсюда формула скорости равнопеременного движения в любой момент времени:

v(вектор) = v 0 (вектор) + a(вектор)t

v x = v 0x ± a x t

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

Общая формула для определения проекции перемещения:

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Формула сокращённого умножения разности квадратов поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то уравнение движения тела будет выглядеть следующим образом:

Теперь мы должны выяснить самое главное — как изменяется координата тела при его прямолинейном равноускоренном движении. Для этого, как мы знаем, нужно знать перемещение тела, потому что проекция вектора перемещения как раз и равна изменению координаты.

Формулу для вычисления перемещения проще всего получить графическим методом.

При равноускоренном движении тела вдоль оси X скорость изменяется со временем согласно формуле v x = v 0х + a x t Так как время в эту формулу входит в первой степени, то график для проекции скорости в зависимости от времени представляет собой прямую, как это показано на рисунке 39. Прямая 1 на этом рисунке соответствует движению с положительной проекцией ускорения (скорость растет), прямая 2 — движению с отрицательной проекцией ускорения (скорость убывает). Оба графика относятся к случаю, когда в момент времени t = О тело имеет некоторую начальную скорость v 0 .

Перемещение выражается площадью. Выделим на графике скорости равноускоренного движения (рис. 40) маленький участок ab и опустим из точек а и Ь перпендикуляры на ось t. Длина отрезка cd на оси t в выбранном масштабе равна тому малому промежутку времени, за который скорость изменилась от ее значения в точке а до ее значения в точке Ь. Под участком ab графика получилась узкая полоска abсd.

Если промежуток времени, соответствующий отрезку cd, достаточно мал, то в течение этого малого времени скорость не может заметно измениться — движение в течение этого малого промежутка времени можно считать равномерным. Полоска abсd поэтому мало отличается от прямоугольника, а ее площадь численно равна проекции перемещения за время, соответствующее отрезку cd (см. § 7).

Но на такие узкие полоски можно разбить всю площадь фигуры, расположенной под графиком скорости. Следовательно, перемещение за все время t численно равно площади трапеции ОАВС. Площадь же трапеции, как известно из геометрии, равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. В нашем случае длина одного из оснований численно равна v ox , другого-v x (см. рис. 40). Высота же трапеции численно равна t. Отсюда следует, что проекция s x перемещения выражается формулой

3с 15.09

Если проекция v ox начальной скорости равна нулю (в начальный момент времени тело покоилось!), то формула (1) принимает вид:

График скорости такого движения показан на рисунке 41.

При пользовании формулами (1) и (2) НУЖНО ПОМНИТЬ, ЧТО S x , V ox и v x могут быть как положительным», так и отрицательными — ведь это проекции векторов s, v o и v на ось X.

Таким образом, мы видим, что при равноускоренном движении перемещение растет со временем не так, как при равномерном движении: теперь в формулу входит квадрат времени. Это значит, что перемещение со временем растет быстрее, чем при равномерном движении.

Как зависит от времени координата тела? Теперь легко получить и формулу для вычисления координаты х в любой момент времени для тела, движущегося равноускоренно.

проекция s x вектора перемещения равна изменению координаты х-х 0 . Поэтому можно записать

Из формулы (3) видно, что, для того чтобы вычислить координату х в любой момент времени t, нужно знать начальную координату, начальную скорость и ускорение.

Формула (3) описывает прямолинейное равноускоренное движение, подобно тому как формула (2) § 6 описывает прямолинейное равномерное движение.

Другая формула для перемещения. Для вычисления перемещения можно получить и другую полезную формулу, в которую время не входит.

Из выражения v x = v 0x + a x t. получим выражение для времени

t = (v x — v 0x): a x и подставим его в формулу для перемещения s x , приведенную выше. Тогда получаем:

Эти формулы позволяют найти перемещение тела, если известны ускорение, а также начальная и конечная скорости движения. Если начальная скорость v o равна нулю, формулы (4) принимают вид:

9 Класс — Физика

posted Oct 15, 2009, 1:24 AM by Дмитрий Белозёров [ updated Dec 23, 2014, 6:24 AM ]

Из курса физики седьмого класса мы помним, что механическое движение тела – это его перемещение во времени относительно других тел. Исходя из таких сведений, мы можем предположить необходимый набор инструментов для расчета движения тела.

Во-первых, нам необходимо нечто, относительно чего мы будем производить наши расчеты. Далее, нам потребуется условиться, каким образом мы будем определять положение тела относительно этого «нечто». И наконец, нужно будет как-то фиксировать время. Таким образом, для того, чтобы рассчитать, где будет находиться в конкретный момент тело, нам понадобится система отсчета.

Система отсчета в физике

Системой отсчета в физике называют совокупность тела отсчета, системы координат, связанной с телом отсчета, и часы или иной прибор для отсчета времени. При этом всегда следует помнить, что всякая система отсчета условна и относительна. Всегда можно принять другую систему отсчета, относительно которой любое движение будет иметь совершенно другие характеристики.

Относительность – это вообще немаловажный аспект, который следует учитывать практически при любых расчетах в физике. Например, во многих случаях мы далеко не в любой момент времени можем определить точные координаты движущегося тела.

В частности, мы не можем расставить наблюдателей с часами на каждых ста метрах вдоль железнодорожного пути от Москвы до Владивостока. В таком случае мы рассчитываем скорость и местоположение тела приближенно в течение какого-то отрезка времени.

Нам не важна точность до одного метра при определении местоположения поезда на пути в несколько сотен или тысяч километров. Для этого в физике существуют приближения. Одним из таких приближений является понятие «материальная точка».

Материальная точка в физике

Материальной точкой в физике обозначают тело, в случаях, когда его размерами и формой можно пренебречь. При этом считается, что материальная точка имеет массу исходного тела.

Например, при расчете времени, которое понадобится самолету, чтобы долететь из Новосибирска до Новополоцка, нам не важны размеры и форма самолета. Достаточно знать, какую скорость он развивает и расстояние между городами. В случае же, когда нам надо рассчитать сопротивление ветра на определенной высоте и при определенной скорости, то тут уж никак не обойтись без точного знания формы и размеров того же самолета.

Практически всякое тело можно считать материальной точкой либо когда расстояние, преодолеваемое телом велико в сравнении с его размерами, либо когда все точки тела двигаются одинаково. Например, автомобиль, проехавший несколько метров от магазина до перекрестка, вполне сравним с этим расстоянием. Но даже в такой ситуации его можно считать материальной точкой, потому что все части автомобиля перемещались одинаково и на равное расстояние.

А вот в случае, когда нам надо разместить тот же автомобиль в гараже, его уже никак не сочтешь материальной точкой. Придется учитывать его размеры и форму. Это тоже примеры, когда необходимо учитывать относительность, то есть относительно чего мы производим конкретные расчеты.

Для того, чтобы определить положение тела, которое совершило некоторое перемещение, можно графически приставить вектор перемещения к начальному положению тела. Но на практике часто встречаются задачи в которых необходимо вычислить положение тела, то есть записать его координаты в некоторой системе координат.

В этом случае вычисления будут производиться не с самим векторами, а с их проекциями на координатные оси и с их модулями. Эти величины которые будут представлять собой некоторые числа, положительные или отрицательные, но не будут иметь направления.

Рассмотрим следующую задачу

Необходимо определить координату движущегося тела, по известной начальной координате и известному вектору перемещения.

Два катера двигаются по реке в противоположных направлениях. В 100 км от пристани П они встречаются. Продолжая движение, за некоторое время t первый катер переместился от места встречи на 60 км к востоку, второй переместился ха это же время на 50 км к западу.

Определить координаты катеров по отношению к пристани и расстояние между ними.

Построим координатную ось Ох, параллельно прямой вдоль которой двигаются катера. Начало оси х=0 совместим с пристанью. За положительное направление примем направление на восток.

Спроецируем начала и концы векторов перемещений s1 и s2 на ось Ох, получим отрезки sx1 и sx2. Эти отрезки будут являться проекциями данных векторов.

Проекция вектора на ось, будет положительной, если вектор сонаправлен с осью, и отрицательной, если вектор направлен в противоположную оси сторону.

В нашем случае sx1 положительная проекция, а sx2 отрицательная проекция.

Проекция вектора, будет равна разности координат конца и начала вектора.

В нашем случае имеем:

Теперь выразим из этих уравнений координаты x1 и x2.

Расстояние между двумя катерами будет равно модулю разности их координат,

Мы получили формулы для вычисления координат точек и расстояния между ними.

Из условия задачи, катера встретились на расстоянии 100 км от пристани. х0 – точка встречи. Следовательно расстояние от х0 до пристани(начала координат) 100 км. х0=100 км.

Так как мы выбрали ось Ох параллельно векторам перемещений катеров. Длины отрезков sx1 и sx2 будут равны длинам векторов s1 и s2. Модуль каждой проекции будет равен модулю соответствующего ей вектора.

По условию у нас даны числа 50 км и 60 км, это и есть модули векторов соответствующий перемещений.

sx1=60 км.
sx2=-50 км.

В итоге получаем,

x1=100+60 = 160 км.
x2=100-50=50 км.
l=|160-50|=110 км.

Ответ: х1=160 км, х2=50 км, l=110 км.

Довольно часто в физике приходится иметь дело с прямолинейным равномерным движением. Задача нахождения перемещения при равномерном прямолинейном движении довольно проста.

По определению скорость равномерного прямолинейного движения – постоянная векторная величина, которая равна отношению перемещения тела за некий промежуток времени к величине этого промежутка:

v(->) = s(->) /t, откуда следует,что перемещение s(->) = v(->) * t .

где v(->) – скорость (векторная величина), s(->) – перемещение (векторная величина), t – время.

При работе с векторными величинами для нахождения числовых значений величин применяют значения проекций конкретных величин на оси. В случае равномерного прямолинейного движения направления векторов скорости и перемещения совпадают, поэтому можно смело использовать в расчетах модульные значения. Тогда формула принимает вид:

s = v*t

Но такая формула известна уже давно, и в ней под буквой s понимали путь, пройденный телом. Так что же такое s – путь или модуль перемещения?

Как характеризуется перемещение тела при прямолинейном равномерном движении?

Дело в том, что при равномерном и прямолинейном движении модуль вектора перемещения за некий промежуток времени будет равен пройденному телом пути за тот же промежуток времени. Это утверждение можно подтвердить рисунком.

Если изобразить векторно скорость движения тела в зависимости от времени, то модуль такого перемещения при равномерном прямолинейном движении будет в любой момент времени совпадать с путем, пройденным за это время телом.

Если же направление тела будет меняться, то пройденный путь будет больше значения модуля перемещения. Поэтому принятое нами равенство справедливо только для случаев, когда тело двигается равномерно и прямолинейно.

Можно изобразить данную ситуацию графически. Для этого проведем из точки 0 оси скорости и времени. (Рис. 1)Если применить проекции значений скорости и времени на оси, то тогда мы увидим, что скорость, как величина постоянная является прямой, проходящей параллельно оси времени.

И если мы проведем перпендикуляры от временной оси в начальный и конечный моменты времени к линии скорости, то получим прямоугольник, площадь которого и будет равна перемещению за данный промежуток времени.

Рис. 1

Стороны этого прямоугольника будут равны все тем же значениям v и t. Таким образом, мы видим, что и при построении проекций векторных величин, принятое нами выше равенство сохраняет свою справедливость.

В случае же, когда мы имеем в расчетах дело с двумя телами, двигающимися равномерно и прямолинейно, при этом совпадают направления их движения, то расчеты также можно производить, применяя приведенную выше формулу.

Если же два тела двигаются равномерно и прямолинейно, а направления их движения противоположны, но расположены вдоль одной оси, то можно по-прежнему использовать в расчетах значения их модулей. Но необходимо будет брать значение величин для одного тела со знаком минус в зависимости от того, направление какого из тел мы примем за положительное.

Хотите провести эксперимент? Да запросто. Возьмите длинную линейку, положите ее горизонтально и приподнимите один конец. У вас получится наклонная плоскость. А теперь возьмите монетку и положите на верхний конец линейки. Монетка начнет скользить вниз по линейке, проследите, как будет двигаться монетка с одинаковой скоростью или нет.

Вы заметите, что скорость монетки будет постепенно возрастать. И изменение скорости будет напрямую зависеть от угла наклона линейки. Чем угол наклона круче, тем большую скорость будет набирать монетка к концу пути.

Изменение скорости монетки

Можно попытаться узнать, как меняется скорость монетки за каждый одинаковый промежуток времени. В случае с линейкой и монеткой в домашних условиях это трудно проделать, но в условиях лаборатории можно зафиксировать, что при постоянном угле наклона скользящая монетка за каждую секунду изменяет свою скорость на одинаковую величину.

Такое движение тела, когда его скорость за любые равные промежутки времени меняется одинаково, а тело при этом движется по прямой линии, называется в физике прямолинейным равноускоренным движением. Под скоростью в данном случае понимается скорость в каждый конкретный момент времени.

Такая скорость называется мгновенной скоростью. Мгновенная скорость тела может меняться по-разному: быстрее, медленнее, может возрастать, а может уменьшаться. Для того чтобы охарактеризовать это изменение скорости, вводят величину, называемую ускорением.

Понятие ускорения: формула

Ускорение это физическая величина, показывающая, насколько изменилась скорость тела за каждый равный промежуток времени. Если скорость меняется одинаковым образом, то ускорение будет величиной постоянной. Так происходит в случае прямолинейного равноускоренного движения. Формула для ускорения выглядит следующим образом:

a = (v — v_0 )/ t,

где a ускорение, v конечная скорость, v_0 начальная скорость, t время.

Измеряется ускорение в метрах на секунду в квадрате (1 м/с2). Немного странная на первый взгляд единица очень легко объясняется: ускорение= скорость/время=(м/с)/с , откуда и выводится такая единица.

Ускорение величина векторная. Оно может быть направлена либо в ту же сторону, что и скорость, если скорость возрастает, либо в противоположную сторону, если скорость уменьшается. Пример второго варианта это торможение. Если, например, автомобиль тормозит, то скорость его уменьшается. Тогда ускорение будет являться отрицательной величиной, и направлено оно будет не по ходу движения автомобиля, а в обратную сторону.

В случаях, когда скорость у нас меняется от нуля до какой-либо величины, например, при старте ракеты, либо в случае, когда скорость наоборот уменьшается до нуля, например, при торможении поезда до полной остановки, можно использовать в расчетах только одно значение скорости. Формула тогда примет вид: a =v /t для первого случая либо же: a = v_0 /t для второго.

Проекцию скорости на ось Ох при прямолинейном равноускоренном движении можно найти по следующей формуле:

Выразим из этой формулы, формулу для проекции скорости которую имело лвижущееся тело к концу некоторого промежутка времени t.

То есть, зная проекцию вектора начальной скорости V0x и проекцию вектора ускорения ax в любой момент времени можно вычислить проекцию вектора мгновенной скорости Vx, которую будет иметь тело в данной точке.

Представим зависимость скорости от времени при равноускоренно движении в виде графика.

Графиком уравнения Vx=V0x+ax*t будет прямая линия. Расположение этой лини в системе координат будет определяться значениями ax b V0x.

График проекции скорости тела при нулевой начальной скорости

На следующем рисунке представлен график проекции вектора скорости движущегося тела, которое в начальный момент времени имел нулевую скорость, и двигалось равноускоренно и прямолинейно с ускорением ax=1,5 м/(с^2) в течение 40 секунд.2) в течение 4 секунд.

Для построения такого графика, также достаточно взять несколько значений переменной t и посчитать в них значение проекции скорости Vx. А потом соединить их прямой линией. Как видите, график имеет начальную точку не в нуле, в значении, которое имеет начальная скорость.

График проекции скорости тела при торможении

Если бы ускорение было отрицательным, то есть тело постепенно тормозило, то график составлял бы с положительным направлением оси Ох тупой угол.

Ниже представлен график такой ситуации.

Из графика видно, что тело начинало свое движение со скоростью 20 м/с, и постепенно замедляло её. За 10 секунд, оно полностью остановилось.

Попытаемся вывести формулу для нахождения проекции вектора перемещения тела, которое двигается прямолинейно и равноускоренно, за любой промежуток времени.

Для этого обратимся к графику зависимости проекции скорости прямолинейного равноускоренного движения от времени.

График зависимости проекции скорости прямолинейного равноускоренного движения от времени

Ниже на рисунке представлен график, для проекции скорости некоторого тела, которое движется с начальной скорость V0 и постоянным ускорением а.

Если бы у нас было равномерное прямолинейное движение, то для вычисления проекции вектора перемещения, необходимо было бы посчитать площадь фигуры под графиком проекции вектора скорости.

Теперь докажем, что и в случае равноускоренного прямолинейного движения проекция вектора перемещения Sx будет определяться таким же образом. То есть проекция вектора перемещения будет равняться площади фигуры под графиком проекции вектора скорости.

Найдем площадь фигуры ограниченную осью оt, отрезками АО и ВС, а также отрезком АС.

Выделим на оси ot малый промежуток времени db. Проведем через эти точки перпендикуляры к оси времени, до их пересечения с графикос проекции скорости. Отметим точки пересечения a и c. За этот промежуток времени скорость тела поменяется от Vax до Vbx.

Если взять этот промежуток достаточно малым, то можно считать что скорость остается практически неизменной, а следовательно мы будем иметь на этом промежутке дело с равномерным прямолинейным движением.2=4*S1.

За промежуток t3=3*t1, это тело совершит перемещение S3=9*S1 и т.д., для любого натурального n. Это конечно же будет выполняться, при условии, что время должно отсчитываться от одного и того же момента.

На следующем рисунке хорошо представлена эта зависимость.

OA:OB:OC:OD:OE = 1:4:9:16:25.

При увеличении промежутка времени, который отсчитывается от начал движения, в целое число раз по сравнению с t1, модули векторов перемещений будут возрастать как ряд квадратов последовательных натуральных чисел.

Помимо этой закономерности, из представленного выше рисунка можно установить еще одну, следующую закономерность:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9.

За последовательные равные промежутки времени, модули векторов перемещений, совершаемых телом, будут относиться между собой как ряд последовательных нечетных чисел.

Стоит отметить, что такие закономерности будут верными только в равноускоренном движении. То есть они являются как бы неким своеобразным признаком равноускоренного движения. Если необходимо проверить, является ли движение равноускоренным, то можно проверить эти закономерности, и если они будут выполняться, то движение будет равноускоренным.

Представьте себе электричку. Она едет тихонько по рельсам, развозя пассажиров по дачам. И вдруг сидящий в последнем вагоне хулиган и тунеядец Сидоров замечает, что на станции «Сады» в вагон входят контролеры. Билет, естественно, Сидоров не купил, а штраф платить ему хочется еще меньше.

Относительность движения безбилетника в поезде

И вот, чтобы его не поймали, он быстренько совершает перемещение при прямолинейном равномерном движении в другой вагон. Контролеры, проверив билеты у всех пассажиров, движутся в том же направлении. Сидоров опять переходит в следующий вагон и так далее.

И вот, когда он достигает первого вагона и идти дальше уже некуда, оказывается, что поезд как раз доехал до нужной ему станции «Огороды», и счастливый Сидоров выходит, радуясь тому, что проехал зайцем и не попался.

Что мы можем извлечь из этой остросюжетной истории? Мы можем, без сомнения, порадоваться за Сидорова, а можем, кроме того, обнаружить еще один небезынтересный факт.

В то время, как поезд за пять минут проехал пять километров от станции «Сады» до станции «Огороды», заяц Сидоров за это же время преодолел такое же расстояние плюс расстояние, равное длине поезда, в котором он ехал, то есть около пяти тысяч двухсот метров за те же пять минут.

Получается, что Сидоров двигался быстрее электрички. Впрочем, такую же скорость развили и следующие за ним по пятам контролеры. Учитывая, что скорость поезда была около 60 км/ч впору выдать им всем несколько олимпийских медалей.

Однако, конечно же, никто такой глупостью заниматься не будет, потому что все понимают, что невероятная скорость Сидорова была развита им только лишь относительно неподвижных станций, рельсов и огородов, и обусловлена эта скорость была передвижением поезда, а вовсе не невероятными способностями Сидорова.

Относительно же поезда Сидоров двигался вовсе и не быстро и не дотягивает не то что до олимпийской медали, но даже до ленточки от нее. Вот тут-то мы и сталкиваемся с таким понятием как относительность движения.

Понятие относительности движения: примеры

Относительность движения не имеет определения, так как не является физической величиной. Относительность механического движения проявляется в том, что некоторые характеристики движения, такие как скорость, путь, траектория и так далее, относительны, то есть зависят от наблюдателя. В различных системах отсчета эти характеристики будут различны.

Кроме приведенного примера с гражданином Сидоровым в поезде, можно взять практически любое движение любого тела и показать, насколько оно относительно. Идя на работу, вы двигаетесь вперед относительно дома и в то же время передвигаетесь назад относительно автобуса, на который опоздали.

Вы стоите на месте относительно плеера в кармане и несетесь с огромной скоростью относительно звезды по имени Солнце. Каждый ваш шаг будет гигантским расстоянием для молекулы асфальта и ничтожным для планеты Земля. Любое движение, как и все его характеристики всегда имеют смысл только относительно чего-либо еще.

В этом и заключается понятие относительности движения.

С древнейших времен движение материальных тел не переставало волновать умы ученых. Так, например, сам Аристотель считал, что если на тело не действуют никакие силы, то такое тело всегда будет находиться в покое.

И лишь только спустя 2000 лет итальянский ученый Галилео Галилей смог исключить из формулировки Аристотеля слово «всегда». Галилей понял, что пребывание тела в состоянии покоя не является единственным следствием отсутствия внешних сил.

Тогда Галилей заявил: тело, на которое не действуют никакие силы, будет либо находиться в покое, либо двигаться равномерно прямолинейно. То есть, движение с одинаковой скоростью по прямой траектории, с точки зрения физики, равнозначно состоянию покоя.

Что есть состояние покоя?

В жизни этот факт наблюдать очень сложно, поскольку всегда имеет место сила трения, которая не дает предметам и вещам покидать свои места. Но если представить себе бесконечно длинный, абсолютно скользкий и гладкий каток, на котором стоит тело, то станет очевидно, что если придать телу импульс, то тело будет двигаться бесконечно долго и по одной прямой.

И в самом деле, на тело действую только две силы: сила тяжести и сила реакции опоры. Но расположены они на одной прямой и направлены друг против друга. Таким образом, по принципу суперпозиции, мы имеем, что общая сила, действующая на такое тело равна нулю.

Однако это идеальный случай. В жизни сила трения проявляет себя почти во всех случаях. Галилей сделал важное открытие, приравняв состояние покоя и движение с постоянной скоростью по прямой линии. Но этого было недостаточно. Оказалось, что условие это выполняется не во всех случаях.

Ясность в этот вопрос внес Исаак Ньютон, обобщивший исследования Галилея и, таким образом, сформулировавший Первый Закон Ньютона.

Первый закон Ньютона: формулируем сами

Существуют две формулировки первого закона Ньютона современная и формулировка самого Исаака Ньютона. В исходном варианте первый закон Ньютона несколько неточен, а современный вариант в попытках исправить эту неточность оказался очень запутанным и потому неудачным. Ну а так как истина всегда где-то рядом, то попытаемся найти это «рядом» и разобраться, что же представляет собой данный закон.

Современная формулировка звучит следующим образом: «Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго».

Инерциальные системы отсчета

Инерциальными называют системы отсчета, в которых выполняется закон инерции. Закон же инерции заключается в том, что тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела. Получается очень неудобоваримо, малопонятно и напоминает комичную ситуацию, когда на вопрос: “Где это «тут»?” отвечают: “Это здесь”, а на следующий логичный вопрос: “А где это «здесь»?” отвечают: “Это тут”. Масло масляное. Замкнутый круг.

Формулировка самого Ньютона такова: «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние».

Однако на практике этот закон выполняется не всегда. Убедиться в этом можно элементарно. Когда человек стоит, не держась за поручни, в движущемся автобусе, и автобус резко тормозит, то человек начинает двигаться вперед относительно автобуса, хотя его не понуждает к этому ни одна видимая сила.

То есть, относительно автобуса первый закон Ньютона в изначальной формулировке не выполняется. Очевидно, что он нуждается в уточнении. Уточнением и является введение инерциальных систем отсчета. То есть, таких систем отсчета, в которых первый закон Ньютона выполняется. Это не совсем понятно, поэтому попробуем перевести все это на человеческий язык.

Инерциальные и неинерциальные системы отсчета

Свойство инерции любого тела таково, что до тех пор, пока тело остается изолированным от других тел, оно будет сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. «Изолированным» — это значит никак не связанным, бесконечно удаленным от других тел.

На практике это означает, что если в нашем примере за систему отсчета принять не автобус, а какую-то звезду на окраине Галактики, то первый закон Ньютона будет абсолютно точно выполняться для беспечного пассажира, не держащегося за поручни. При торможении автобуса он будет продолжать свое равномерное движение, пока на него не подействуют другие тела.

Вот такие системы отсчета, которые никак не связаны с рассматриваемым телом, и которые никак не влияют на инертность тела, называются инерциальными. Для таких систем отсчета первый закон Ньютона в его исходной формулировке абсолютно справедлив.

То есть закон можно сформулировать так: в системах отсчета, абсолютно никак не связанных с телом, скорость тела при отсутствии стороннего воздействия остается неизменной. В таком виде первый закон Ньютона легко доступен для понимания.

Проблема заключается в том, что на практике очень сложно рассматривать движение конкретного тела относительно таких систем отсчета. Мы не можем переместиться на бесконечно далекую звезду и оттуда осуществлять какие-либо опыты на Земле.

Поэтому за такую систему отсчета условно часто принимают Землю, хотя она и связана с находящимися на ней телами и влияет на характеристики их движения. Но для многих расчетов такое приближение оказывается достаточным. Поэтому примерами инерциальных систем отсчета можно считать Землю для расположенных на ней тел, Солнечную систему для ее планет и так далее.

Первый закон Ньютона не описывается какой-либо физической формулой, однако с помощью него выводятся другие понятия и определения. По сути, этот закон постулирует инертность тел. И таким образом выходит, что для инерциальных систем отсчета закон инерции и есть первый закон Ньютона.

Еще примеры инерциальных систем и первого закона Ньютона

Так, например, если тележка с шаром будет ехать сначала по ровной поверхности, с постоянной скоростью, а потом заедет на песчаную поверхность, то шар внутри тележки начнет ускоренное движение, хотя никакие силы на него не действуют (на самом деле, действуют, но их сумма равна нулю).

Происходит это от того, что система отсчета (в данном случае, тележка) в момент попадания на песчаную поверхность, становится неинерциальной, то есть перестает двигаться с постоянной скоростью.

Первый Закон Ньютона вносит важное разграничение между инерциальными и неинерциальными системами отсчета. Также важным следствием этого закона является тот факт, что ускорение, в некотором смысле, важнее скорости тела.

Поскольку движение с постоянной скоростью по прямой линии суть нахождение в состоянии покоя. Тогда как движение с ускорением явно свидетельствуют о том, что либо сумма сил, приложенных к телу, не равно нулю, либо сама система отсчета, в которой находится тело, является неинерциальной, то есть движется с ускорением.

Причем ускорение может быть как положительным (тело ускоряется), так и отрицательным (тело замедляется).

Второй закон Ньютона связывает вместе три, на первый взгляд, совершенно не связанные друг с другом величины: ускорение, массу и силу. Хотите легко и быстро, на примерах понять, как это происходит? Запросто. Надо будет проделать пару элементарных опытов и немного порассуждать.

Элементарный опыт по второму закону Ньютона

Начнем с практической части. Нагрузите чем-нибудь две сумки или два пакета. Один чуть-чуть, а второй очень сильно. Только пакеты берите покрепче. А теперь примерно с одинаковой силой по очереди резко поднимите оба пакета вверх. Вы увидите, что легкий пакет практически взлетит, а вот тяжелый перемещаться будет намного медленнее.

А теперь другой опыт положите на землю футбольный мячик и пните его пару раз. Один раз легонько, а второй раз со всей силы. Понаблюдайте, как изменится скорость мяча после пинка. В первом случае он потихоньку откатится на небольшое расстояние, во втором улетит далеко и на весьма приличной скорости. Ну вот и все, с практической частью закончили. Теперь немного порассуждаем.

Действие равнодействующей силы

Мы знаем, что скорость тела изменяется под действием приложенной к нему силы. Если на тело действуют несколько сил, то находят равнодействующую этих сил, то есть некую общую суммарную силу, обладающую определенным направлением и числовым значением.

То есть, фактически, все случаи приложения различных сил в конкретный момент времени можно свести к действию одной равнодействующей силы. Таким образом, чтобы найти, как изменилась скорость тела, нам надо знать, какая сила действует на тело.

Какое ускорение получает тело?

В зависимости от величины и направления силы тело получит то или иное ускорение. Это четко видно в опыте с мячом. Когда мы подействовали на тело небольшой силой, мяч ускорился не очень сильно. Когда же сила воздействия увеличилась, то мяч приобрел гораздо большее ускорение. То есть, ускорение связано с приложенной силой прямо пропорционально. Чем больше сила воздействия, тем большее ускорение приобретает тело.

От чего еще зависит ускорение, полученное телом в результате воздействия на него? Вспомним первую часть нашего опыта. Ускорение двух грузов у нас было ощутимо разным, хотя силу мы старались прикладывать одинаковую. А вот масса грузов у нас отличалась. И в случае с большей массой ускорение тела было небольшим, а в случае меньшей массы намного большим.

То есть, второй вывод это то, что масса тела напрямую связана с ускорением, приобретаемым телом в результате воздействия силы. При этом, масса тела обратно пропорциональна полученному ускорению. Чем больше масса, тем меньше будет величина ускорения.

Второй Закон Ньютона: формула и определение

Исходя из всего вышесказанного, приходим к тому, что можно записать второй закон Ньютона в виде следующей формулы:

a =F / m ,

где a ускорение, F сила воздействия, m масса тела.

Соответственно, второму закону Ньютона можно дать такое определение: ускорение, приобретаемое телом в результате воздействия на него, прямо пропорционально силе или равнодействующей сил этого воздействия и обратно пропорционально массе тела. Это и есть второй закон Ньютона.

В первом законе Ньютона говорится о поведении тела, изолированного от воздействия других тел. Второй закон говорит о прямо противоположной ситуации. В нем рассматриваются случаи, когда тело или несколько тел воздействуют на данное.

Оба эти закона описывают поведение одного конкретного тела. Но во взаимодействии всегда участвуют минимум два тела. Что будет происходить с обоими этими телами? Как описать их взаимодействие? Анализом этой ситуации и занялся Ньютон после формулировки своих первых двух законов. Займемся и мы такими же изысканиями.

Взаимодействие двух тел

Мы знаем, что при взаимодействии воздействуют друг на друга оба тела. Не бывает такого, чтобы одно тело толкнуло другое, а второе в ответ никак не отреагировало бы. Такое может происходить среди по-разному воспитанных людей, но никак не в природе.

Мы знаем, что если мы пинаем мяч, то мяч в ответ пинает нас. Другое дело, что мяч имеет намного меньшую массу, чем тело человека, и потому его воздействие практически не ощутимо.

Однако, если вы попробуете пнуть тяжелый железный мяч, то живо ощутите это ответное воздействие. Фактически, мы каждый день по многу раз пинаем очень и очень тяжелый мяч нашу планету. Мы толкаем ее каждым своим шагом, только при этом отлетает не она, а мы. А все потому, что планета в миллионы раз превосходит нас по массе.

Соотношение сил во взаимодействии между телами

Так что из этих рассуждений видно, что при взаимодействии двух тел, не только первое действует на второе с некоторой силой, но и второе в ответ действует на первое также с некоторой силой. Возникает вопрос: а как соотносятся эти силы? Какая из них больше, какая меньше?

Для этого необходимо проделать некоторые измерения. Потребуются два динамометра, но в домашних условиях их вполне могу заменить два безмена. Они измеряют вес, а вес это тоже сила, только выраженная в единицах массы в случае безмена. Поэтому, если у вас есть два безмена, то проделайте следующее.

Один из них оденьте колечком на что-то неподвижное, например, на гвоздь в стене, а второй соедините с первым крючками. И потяните за колечко второго безмена. Проследите за показаниями обоих приборов. Каждый из них покажет силу, с которой на него воздействует другой безмен.

И хотя мы тянем только за один из них, окажется, что показания обоих, как на очной ставке, будут совпадать. Получается, что сила, с которой мы воздействуем вторым безменом на первый, равна силе, с которой первый безмен воздействует на второй.

Третий закон Ньютона: определение и формула

Сила действия равна силе противодействия. В этом и состоит суть третьего закона Ньютона. Определение его таково: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Третий закон Ньютона можно записать в виде формулы:

F_1 = — F_2,

Где F_1 и F_2 силы действия друг на друга соответственно первого и второго тела.

Справедливость третьего закона Ньютона была подтверждена многочисленными экспериментами. Этот закон справедлив как для случая, когда одно тело тянет другое, так и для случая, когда тела отталкиваются. Все тела во Вселенной взаимодействуют друг с другом, подчиняясь этому закону.

Как вы думаете, одновременно ли долетят до земли, сброшенные с крыши перо, пластиковая бутылка и монета? Можно проделать такой опыт и убедиться, что монета приземлится первой, бутылка второй, а перо долго будет болтаться в воздухе и может вообще не долететь до земли, если его подхватит и унесет внезапный ветерок.

Так ли свободно свободное падение тел?

Соответственно, делаем вывод, что свободное падение тел не подчиняется какому-либо одному правилу, и все предметы падают на землю по-своему. Тут бы как говорится, и сказке конец, но некоторые физики на этом не успокоились и предположили, что на свободное падение тел может оказывать влияние сила сопротивления воздуха и, соответственно, такие результаты эксперимента нельзя считать окончательными.

Они взяли длинную стеклянную трубку и поместили в нее перо, дробинку, деревянную пробку и монету. Потом они закупорили трубку, откачали из нее воздух и перевернули.2)/2 (если v_0 = 0), соответственно,

где v конечная скорость, v_0 начальная скорость, s перемещение, t время, g ускорение свободного падения.

Вывод, что свободное падение любых тел происходит одинаково, на первый взгляд кажется нелепым с точки зрения повседневного опыта. Но на самом деле все правильно и логично. Просто, незначительная на первый взгляд величина сопротивления воздуха для многих падающих тел оказывается довольно ощутимой, а потому очень сильно замедляет их падение.

Как нам уже известно, сила тяжести действует на все тела, которые находятся на поверхности Земли и вблизи неё. При этом не важно, находятся ли они в состоянии покоя или совершают движение.

Если некоторое тело будет свободно падать на Землю, то при этом оно будет совершать равноускоренное движение, причем скорость будет возрастать постоянно, так как вектор скорости и вектор ускорения свободного падения будут сонаправлены между собой.

Суть движения вертикально вверх

Если же подбросить некоторое тело вертикально вверх, и при этом считать что сопротивление воздуха отсутствует, то можно считать что оно тоже совершает равноускоренное движение, с ускорением свободного падения, которое вызвано силой тяжести. Только в этом случае, скорость, которую мы придали телу при броске, будет направлена вверх, а ускорение свободного падения направлено вниз, то есть они будут противоположно направлены друг к другу. Поэтому скорость будет постепенно уменьшаться.

Через некоторое время наступит момент, когда скорость станет равняться нулю. В этот момент тело достигнет своей максимальной высоты и на какой-то момент остановится. Очевидно, что, чем большую начальную скорость мы придадим телу, тем на большую высоту оно поднимется к моменту остановки.

Далее, тело начнет равноускоренно падать вниз, под действием силы тяжести.

Как решать задачи

Когда вы столкнетесь с задачами на движение тела вверх, при котором не учитывается сопротивление воздуха и другие силы, а считается, что на тело действует только сила тяжести, то так как движение равноускоренное, то можно применять те же самые формулы, что и при прямолинейном равноускоренном движении с некоторой начальной скорость V0.2)/2.

Необходимо также учитывать, что при движении вверх вектор ускорения свободного падения направлен вниз, а вектор скорости вверх, то есть они разнонаправлены, а следовательно, их проекции будут иметь разные знаки.

Например, если Ось Ох направить вверх, то проекция вектора скорости при движении вверх, будет положительна, а проекция ускорения свободного падения отрицательна. Это надо учитывать, подставляя значения в формулы, иначе получится совершенно неверный результат.

Все мы ходим по Земле потому, что она нас притягивает. Если бы Земля не притягивала все находящиеся на ее поверхности тела, то мы, оттолкнувшись от нее, улетели бы в космос. Но этого не происходит, и всем известно о существовании земного притяжения.

Притягиваем ли мы Землю? Притягивает Луна!

А притягиваем ли мы сами к себе Землю? Смешной вопрос, правда? Но давайте разберемся. Вы знаете, что такое приливы и отливы в морях и океанах? Каждый день вода уходит от берегов, неизвестно где шляется несколько часов, а потом, как ни в чем не бывало, возвращается обратно.

Так вот вода в это время находится не неизвестно где, а примерно посредине океана. Там образуется что-то наподобие горы из воды. Невероятно, правда? Вода, которая имеет свойство растекаться, сама не просто стекается, а еще и образует горы. И в этих горах сосредоточена огромная масса воды.

Просто прикиньте весь объем воды, который отходит от берегов во время отливов, и вы поймете, что речь идет о гигантских количествах. Но раз такое происходит, должна же быть какая-то причина. И причина есть. Причина кроется в том, что эту воду притягивает к себе Луна.

Вращаясь вокруг Земли, Луна проходит над океанами и притягивает к себе океанические воды. Луна вращается вокруг Земли, потому что она притягивается Землей. Но, выходит, что она и сама при этом притягивает к себе Землю. Земля, правда, для нее великовата, но ее влияние оказывается достаточным для перемещения воды в океанах.

Сила и закон всемирного тяготения: понятие и формула

А теперь пойдем дальше и подумаем: если два громадных тела, находясь неподалеку, оба притягивают друг друга, не логично ли предположить, что и тела поменьше тоже будут притягивать друг друга? Просто они намного меньше и сила их притяжения будет маленькой?

Оказывается, что такое предположение абсолютно верно.2 .

Возвращаясь к нашему исходному вопросу: «притягиваем ли мы Землю?», мы можем с уверенностью ответить: «да». Согласно третьему закону Ньютона мы притягиваем Землю ровно с такой же силой, с какой Земля притягивает нас. Силу эту можно рассчитать из закона всемирного тяготения.

А согласно второму закону Ньютона воздействие тел друг на друга какой-либо силой выражается в виде придаваемого ими друг другу ускорения. Но придаваемое ускорение зависит от массы тела.

Масса Земли велика, и она придает нам ускорение свободного падения. А наша масса ничтожно мала по сравнению с Землей, и поэтому ускорение, которое мы придаем Земле, практически равно нулю. Именно поэтому мы притягиваемся к Земле и ходим по ней, а не наоборот.

Одним из частных случаев всемирного тяготения является тот факт, что все тела притягиваются к Земле. Для нас, жителей планеты Земля, сила тяжести имеет огромное значение.

Сила, с которой тело некоторой массы m будет притягиваться к Земле, согласно закону всемирного тяготения будет вычисляться по следующей формуле:

Где Мз — масса земли,
Rз — радиус земли,
G — гравитационная постоянная = 6,67234(14),
m — масса тела

Но значение этой силы будет отличаться от значения силы тяжести которую мы вычисляем по формуле Fт =m*g.2).

Отсюда можно выразить значение g.

Как видите масса тела сократилась, а следовательно масса тела никак не влияет на ускорение свободного падения тел, которые находятся на Земле или вблизи её поверхности. А будет зависеть только от радиуса Земли, а точнее от расстояния от центра Земли, до центра данного тела массы m.

Если мы например поднимем тело на некоторую высоту h, то расстояние между центрами Земли и тела увеличится, а следовательно должно измениться ускорение свободного падения тела.

Так как расстояние в таком случае будет (Rз+h), то ускорение свободного падения на высоте h от поверхности Земли можно вычислить по формуле:

Чем больше мы поднимем тело над Землей, тем будет меньше ускорение свободного падения. Следовательно, будет уменьшатся и сила тяжести которая действует на это тело. Чаще всего этим увеличением пренебрегают, так как расстояние, на которое поднимается тело от поверхности Земли, по сравнению с радиусом Земли пренебрежимо мало.

Например, если человек массой 80 кг поднялся на гору высотой 3 км, то действующая на него сила тяжести уменишилась всего на 0.7 Н. Это очень мало, поэтому в таких случаях при расчетах берут вблизи поверхности земли значение ускорения свободного падения g=9,81.

Применение формулы для других небесных тел

Формула, которую мы записали выше, подходит также для вычисления ускорения свободного падения на любых небесных объектах. То есть вместо радиуса и массы Земли необходимо подставить радиус и массу данного небесного объекта.

Мы знаем, что все тела притягиваются друг к другу. В частности, Луна, например, притягивается к Земле. Но возникает вопрос: если Луна притягивается к Земле, почему она вращается вокруг нее, а не падает на Землю?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть виды движения тел. Мы уже знаем, что движение может быть равномерным и неравномерным, но существуют и другие характеристики движения. В частности, в зависимости от направления различают прямолинейное и криволинейное движение.

Прямолинейное движение

Известно, что тело двигается под действием приложенной к нему силы. Можно проделать несложный эксперимент, показывающий, как направление движения тела будет зависеть от направления приложенной к нему силы. Для этого потребуется произвольный предмет небольшого размера, резиновый шнур и горизонтальная или вертикальная опора.

Привязывает шнур одним концом к опоре. На другом конце шнура закрепляем наш предмет. Теперь, если мы оттянем наш предмет на некоторое расстояние, а потом отпустим, то увидим, как он начнет двигаться в направлении опоры. Его движение обусловлено силой упругости шнура. Именно так Земля притягивает все тела на ее поверхности, а также летящие из космоса метеориты.

Только вместо силы упругости выступает сила притяжения. А теперь возьмем наш предмет на резинке и толкнем его не в направлении к/от опоры, а вдоль нее. Если бы предмет не был закреплен, он бы просто улетел в сторону. Но так как его держит шнур, то шарик, двигаясь в сторону, слегка растягивает шнур, тот тянет его обратно, и шарик чуть меняет свое направление в сторону опоры.

Криволинейное движение по окружности

Так происходит в каждый момент времени, в итоге шарик движется не по первоначальной траектории, но и не прямолинейно к опоре. Шарик будет двигаться вокруг опоры по окружности. Траектория его движения будет криволинейной. Именно так вокруг Земли двигается Луна, не падая на нее.

Именно так притяжение Земли захватывает метеориты, которые летят близко от Земли, но не прямо на нее. Эти метеориты становятся спутниками Земли. При этом от того, каким был их первоначальный угол движения по отношению к Земле, зависит, как долго они пробудут на орбите. Если их движение было перпендикулярно Земле, то они могут находиться на орбите бесконечно долго. Если же угол был меньше 90˚, то они будут двигаться по снижающейся спирали, и постепенно все-таки упадут на землю.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Еще один момент, который следует отметить, это то, что скорость криволинейного движения по окружности меняется по направлению, но одинакова по значению. А это означает, что движение по окружности с постоянной по модулю скоростью происходит равноускорено.

Так как направление движения меняется, значит, движение происходит с ускорением. А так как оно меняется одинаково в каждый момент времени, следовательно, движение будет равноускоренным. А сила притяжения является силой, которая обусловливает постоянное ускорение.

Луна двигается вокруг Земли именно благодаря этому, но если вдруг когда-либо движение Луны изменится, например, в нее врежется очень крупный метеорит, то она вполне может сойти со своей орбиты и упасть на Землю. Нам остается лишь надеяться, что этот момент не наступит никогда.

Вы когда-нибудь соревновались, кто дальше кинет камень или снежок? Все мальчишки наверняка проходили через это. И все знают, что чтобы камень пролетел как можно дальше, надо кинуть его как можно сильнее. То есть нужно придать ему как можно большую скорость.

Сила человеческой руки ограничена, и камень мы можем кинуть относительно недалеко. Намного большую скорость телам могут придать различные артиллерийские орудия. Снаряды могут преодолевать несколько километров и даже десятков километров. Однако всегда траекторией всех этих летящих тел является дуга, концом упирающаяся в землю.

Бексонечно долгое вращение вокруг Земли

Если же пойти дальше и предположить, что мы можем придать телу намного большую скорость? Такую, что дуга, которую тело опишет, будет уже не упираться в землю, а проходить на некотором расстоянии вокруг всей Земли? Тогда получится, что мы получим тело, способное бесконечно долго вращаться вокруг Земли.

Единственное, что будет мешать нам это сопротивление воздуха. Значит надо избавиться от него. Избавиться от сопротивления воздуха мы можем на большой высоте. На высоте свыше трехсот километров воздуха уже практически нет. Именно начиная с такой высоты, и запускают искусственные спутники Земли. Спутники вращаются вокруг Земли по различным орбитам, но все они не падают на Землю.

Движение спутника — пример свободного падения

Это происходит потому, что запущены они были со скоростью, достаточной для того, чтобы преодолеть земное притяжение. Как ни странно звучит, движение спутника вокруг Земли это пример свободного падения тела.

Происходит оно с ускорением, как и положено свободно падающему телу, только ускорение это не увеличивает скорость тела по модулю, а изменяет по направлению. Поэтому спутники и движутся по орбите.

Первая и вторая космическая скорость

Скорость, необходимая для того, чтобы тело начало вращаться по орбите вокруг Земли не падая, называется первой космической скоростью. Она составляет от 7,9 км/с. Чем больше высота тела над землей, тем величина этой скорости меньше.

На высоте, например, 500 км эта скорость составляет уже 7,6 км/с. Это объясняется тем, что гравитационные силы уменьшаются с увеличением расстояния между телами. Первой космической скоростью обусловлено движение искусственных спутников земли.

А есть ли такая скорость, которая позволит совсем вырваться из оков земного притяжения? Такая скорость есть и называется она второй космической скоростью. Она составляет 11,2 км/с. При такой скорости тела описывают вокруг Земли не дугу, а эллипс, и тело удаляется на расстояние, достаточное для полного освобождения от земного притяжения. Такую скорость развивают ракеты, которые уходят в космическое пространство прочь от Земли.

Проделаем несколько несложных преобразований с формулами. По второму закону Ньютона силу можно найти: F=m*a. Ускорение находится следующим образом: a=v⁄t . Таким образом получаем: F=m*v/t.

Определение импульса тела: формула

Выходит, что сила характеризуется изменением произведения массы на скорость во времени. Если обозначить это произведение некой величиной, то мы получим изменение этой величины во времени как характеристику силы. Эту величину назвали импульсом тела. Импульс тела выражается формулой:

p=m*v ,

где p импульс тела, m масса, v скорость.

Импульс это векторная величина, при этом его направление всегда совпадает с направлением скорости. Единицей импульса является килограмм на метр в секунду (1 кг*м/с).

Что же такое импульс тела: как понять?

Попробуем по-простому, «на пальцах» разобраться, что такое импульс тела. Если тело покоится, то его импульс равен нулю. Логично. Если скорость тела изменяется, то у тела появляется некий импульс, который характеризует величину приложенной к нему силы.

Если воздействие на тело отсутствует, но оно движется с некоторой скоростью, то есть имеет некий импульс, то его импульс означает, какое воздействие способно оказать данное тело при взаимодействии с другим телом.

В формулу импульса входит масса тела и его скорость. То есть чем большей массой и/или скоростью обладает тело, тем большее воздействие оно может оказать. Это понятно и из жизненного опыта.

Чтобы сдвинуть тело небольшой массы, нужна небольшая сила. Чем больше масса тела, тем большее придется приложить усилие. То же самое касается и скорости, которую сообщают телу. В случае же воздействия самого тела на другое, импульс также показывает величину, с которой тело способно действовать на другие тела. Эта величина напрямую зависит от скорости и массы исходного тела.

Импульс при взаимодействии тел

Возникает еще один вопрос: что произойдет с импульсом тела при его взаимодействии с другим телом? Масса тела измениться не может, если оно остается целым, а вот скорость может измениться запросто. При этом скорость тела изменится в зависимости от его массы.

В самом деле, понятно, что при столкновении тел с очень разными массами, скорость их изменится по-разному. Если летящий на большой скорости футбольный мяч врежется в неготового к этому человека, например зрителя, то зритель может упасть, то есть приобретет некоторую небольшую скорость, но точно не полетит как мячик.

А все потому, что масса зрителя намного больше массы мяча. Но при этом сохранится неизменным общий импульс этих двух тел.

Закон сохранения импульса: формула

В этом и заключается закон сохранения импульса: при взаимодействии двух тел их общий импульс остается неизменным. Закон сохранения импульса действует только в замкнутой системе, то есть в такой системе, в которой нет воздействия внешних сил или их суммарное действие равно нулю.

В реальности практически всегда на систему тел оказывается стороннее воздействие, но общий импульс, как и энергия, не пропадает в никуда и не возникает из ниоткуда, он распределяется между всеми участниками взаимодействия.

Закон сохранения импульса для двух тел в виде формулы будет выглядеть следующим образом:

(p_1′ ) +(p_2′ ) = (p_1 ) + (p_2 ),

где левая часть уравнения это сумма импульсов тел после взаимодействия, а правая часть после взаимодействия. Уравнение говорит нам, что общий импульс (сумма импульсов) остается неизменнным.

Реактивное движение — это все же движение. А мы знаем, что чтобы происходило движение, необходимо воздействие некоторой силы. Тело либо само должно оттолкнуться от чего-нибудь, либо стороннее тело должно толкнуть данное. Это хорошо известно и понятно нам из жизненного опыта.

От чего оттолкнуться в космосе?

У поверхности Земли можно оттолкнуться от поверхности либо от находящихся на ней предметов. Для передвижения по поверхности используют ноги, колеса, гусеницы и так далее. В воде и воздухе можно отталкиваться от самих воды и воздуха, имеющих определенную плотность, и потому позволяющих взаимодействовать с ними. Природа для этого приспособила плавники и крылья.

Человек создал двигатели на основе пропеллеров, которые во много раз увеличивают площадь контакта со средой за счет вращения и позволяют отталкиваться от воды и воздуха. А как быть в случае безвоздушного пространства? От чего отталкиваться в космосе? Там нет воздуха, там ничего нет. Как осуществлять полеты в космосе? Вот тут-то и приходит на помощь закон сохранения импульса и принцип реактивного движения. Разберем подробнее.

Импульс и принцип реактивного движения

Импульс это произведение массы тела на его скорость. Когда тело неподвижно, его скорость равна нулю. Однако тело обладает некоторой массой. При отсутствии сторонних воздействий, если часть массы отделится от тела с некоторой скоростью, то по закону сохранения импульса, остальная часть тела тоже должна приобрести некоторую скорость, чтобы суммарный импульс остался по-прежнему равным нулю.

Причем скорость оставшейся основной части тела будет зависеть от того, с какой скоростью отделится меньшая часть. Чем эта скорость будет выше, тем выше будет и скорость основного тела. Это понятно, если вспомнить поведение тел на льду или в воде.

Если два человека будут находиться рядом, а потом один из них толкнет другого, то он не только придаст тому ускорение, но и сам отлетит назад. И чем сильнее он толкнет кого-либо, тем с большей скоростью отлетит сам.

Наверняка, вам приходилось бывать в подобной ситуации, и вы можете представить себе, как это происходит. Так вот, именно на этом и основано реактивное движение.

Ракеты, в которых реализован этот принцип, выбрасывают некоторую часть своей массы на большой скорости, вследствие чего сами приобретают некоторое ускорение в противоположном направлении.

Потоки раскаленных газов, возникающие в результате сгорания топлива, выбрасываются через узкие сопла для придания им максимально большой скорости. При этом, на величину массы этих газов уменьшается масса ракеты, и она приобретает некую скорость. Таким образом реализован принцип реактивного движения в физике.

Принцип полета ракеты

В ракетах применяют многоступенчатую систему. Во время полета нижняя ступень, израсходовав весь свой запас топлива, отделяется от ракеты, чтобы уменьшить ее общую массу и облегчить полет.

Количество ступеней уменьшается, пока не остается рабочая часть в виде спутника или иного космического аппарата. Топливо рассчитывают таким образом, чтобы его хватило как раз для выхода на орбиту.

При посадках на космические тела рассчитывают количество топлива для посадки и на обратный путь, если он запланирован.

%PDF-1.5 % 2 0 obj > /Metadata 4 0 R /Pages 5 0 R /StructTreeRoot 6 0 R /Type /Catalog >> endobj 4 0 obj > stream

учитель

application/pdf2019-10-09T04:01:22+03:00Microsoft® Office Word 20072019-11-15T04:07:58+03:00Microsoft® Office Word 2007uuid:ef5141f4-1e71-45f5-af9f-154fbb1fa268uuid:bc0c9afa-fd58-40ce-9c5f-4e9b74548f90 endstream endobj 14 0 obj > stream xڭVMo1WH-EI@ q@TBįgYw7ay3yfnz’@(vVJܭJ

Перемещение и описание движения | Частная школа. 8 класс

Конспект по физике для 8 класса «Перемещение и описание движения». Как определить координаты тела, движущегося равномерно и прямолинейно. Что такое уравнение движения.

Конспекты по физике Учебник физики Тесты по физике

Перемещение и описание движения

Система отсчёта используется для того, чтобы определить положение тела в пространстве в некоторый момент времени. В случае когда тело движется, возникает задача вычисления его координат в некоторые моменты времени.

ПРОЕКЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ НА КООРДИНАТНЫЕ ОСИ

Если известен вектор перемещения тела, то при расчетах, как правило, используют не координаты вектора, как такового, а его проекции на оси координат. Если опустить перпендикуляры из начала и конца вектора перемещения s на координатную ось X, то получится отрезок s_x, который называют проекцией перемещения. При этом проекция вектора на ось считается положительной, если координата конца вектора перемещения оказывается больше координаты его начала. В противном случае проекция считается отрицательной.

Если вектор и ось параллельны, то длина вектора равна его проекции на эту ось.

При решении многих задач необходимо уметь находить проекции вектора перемещения на координатные оси. Если (х₀; у₀) и (х; у) — координаты начала и конца вектора, то его проекции на оси абсцисс и ординат будут равны соответственно

s_x = x – x₀, (1)
s_y = y – y₀

Зная проекции вектора перемещения, можно найти его длину (модуль) по теореме Пифагора:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ДВИЖУЩЕГОСЯ ТЕЛА И ЕГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Если тело движется прямолинейно, то траектория его движения совпадает с перемещением. При этом пройденный телом путь равен значению модуля вектора перемещения.

А как описать движение тела в более сложном случае? На рисунке представлен график движения самолёта. Сначала он набирал высоту, двигаясь из точки А в точку В, затем двигался на одной и той же высоте (до точки С) и, наконец, приземлился в точке D. На какой высоте проходил полёт? Высоте полёта соответствуют координаты по оси OY, значит, в точке В самолёт набрал высоту 3 км.

Теперь ответим на вопрос: какой путь проделал самолёт на этой высоте? Проекция перемещения s_2x = 80 — 20 = 60 км.

Так как всё это время самолёт двигался параллельно оси ОХ, длина вектора перемещения равна его проекции на эту ось. Следовательно, модуль перемещения самолёта из точки В в точку С равен 60 км. Этому же значению равен и путь самолёта из точки В в точку С.

И наконец, определим дальность полёта самолёта. Для этого нам надо найти модуль перемещения самолёта из точки А в точку D: |s| = s_x = 100 — 0 = 100 км.

Таким образом, при помощи перемещения и его проекций мы описали сложное движение самолёта.

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ И СКОРОСТЬ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ

Так как при прямолинейном движении пройденный телом путь равен значению модуля вектора перемещения, мы можем сказать, что скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную величину, равную отношению перемещения тела ко времени, за которое это перемещение произошло. При равномерном прямолинейном движении векторы скорости и перемещения направлены в одну сторону. Зная скорость равномерного движения, можно найти перемещение тела за любой промежуток времени:

Поскольку скорость υ является векторной величиной, её тоже можно изобразить графически. Обозначим её проекцию на координатную ось υ_x. Если направление координатной оси совпадает с направлением движения тела, то для расчёта перемещения тела можно использовать формулу

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

Уравнение зависимости координаты тела от времени называют уравнением движения.

Пусть тело совершило перемещение s. Направим координатную ось X по направлению перемещения тела. Обозначим начальную координату тела х₀, а конечную координату тела х. Тогда по формуле (1) s_x = х – х₀.

Но по формуле (3) s_x = υ_xt. Следовательно,

Таким образом, координату тела при равномерном прямолинейном движении в любой момент времени можно определить, если известны его начальная координата и проекция скорости движения на ось X.

Ранее при решении задач мы использовали формулу s = υt без стрелочек. Почему? Символом s здесь обозначался путь, пройденный телом, а символом и — модуль скорости. Теперь нам известно, что при равномерном прямолинейном движении путь равен модулю перемещения. Поэтому если нас не интересует направление движения тела, а необходимо только найти его путь, то эта формула поможет нам найти решение.

Вы смотрели Конспект по физике для 8 класса «Перемещение и описание движения».

Вернуться к Списку конспектов по физике (Оглавление).

Применение координатного и графического способов описания прямолинейного равномерного движения при решении задач кинематики

Цели занятия.

Учебная: научить суворовцев решать задачи кинематики.

Методическая:
получить алгоритм перехода от координатного способа описания прямолинейного равномерного движения к графическому при решении задач;

решение задач;

показ приема использования данной темы в военном деле.

Развивающая:
развитие речи, памяти;

логического мышления, внимания, воображения;

развитие умения анализировать и самостоятельно формулировать выводы.

Воспитательная:
воспитание аккуратности и точности при построении графиков движения;

воспитание трудолюбия, ответственного отношения к учебе, любви к профессии военного.

Материальное обеспечение: кодоскоп, телевизор, видеомагнитофон, экран, видеокассета.

Связь с другими предметами: математика, начальная военная подготовка.

Тип урока: урок решения задач.

Метод работы: алгоритмический.

Продолжительность урока: 45 мин.
Этапы урока Время
1. Организация начала занятий. 1 мин.
2. Проверка выполнения самоподготовки – фронтальная беседа. 5 мин.
3. Подготовка к активной деятельности на основном этапе занятия, объявление темы и цели занятия. 2 мин.
4. Усвоение новых знаний. Построение алгоритма решения задачи. 20 мин.
5. Первичная проверка понимания суворовцами нового учебного материала. (Проводится на протяжении изучения темы урока). 3 мин.
6. Закрепление знаний. Решение задачи по построенному алгоритму. 5-6 мин.
7. Обобщение и систематизация знаний. 2 мин.
8. Контроль и самопроверка знаний. 3 мин.
9. Подведение итогов занятия. 1-2 мин.
10. Информация о задании на самоподготовку, инструктаж по его выполнению. 1-2 мин.
Ход урока
1. Подготовка к активной деятельности на основном этапе занятия
На предыдущих уроках мы познакомились с двумя способами описания прямолинейного равномерного движения – координатным и графическим. Они связаны между собой, так как описывают одно и то же движение. Если задан один из способов описания, например, координатный, то по заданному уравнению можно построить и график зависимости координаты и проекции скорости от времени. Существует и обратная возможность записи уравнения движения по известным графикам зависимости координаты и проекции скорости от времени.
Взаимосвязь между различными способами описания прямолинейного равномерного движения можно изобразить на следующей схеме.

(Показать на экране с помощью кодоскопа рисунок 1).
Рисунок 1
Сегодняшний урок мы посвятим определению порядка действий и операций при переходе от координатного к графическому способу описания прямолинейного равномерного движения на примере следующей задачи:
Движение тела описывается уравнением х = 2 + 3t, где все величины даны в СИ. Найти начальную координату тела, проекцию скорости тела на ось ОХ. Построить графики зависимостей координаты тела и проекции его скорости от времени.

Построение алгоритма решения задачи.

1. Ориентировочная часть решения.
Учитель. В начале решения задачи необходимо провести поиск признаков, по которым можно определить объект, описанный в условии, и раздел физики, в котором изучается данный объект.
Ключевым словом в условии задачи является слово движение. Движение тел изучается физической теорией, которая называется механикой, поэтому наличие этого слова в условии сразу указывает на теорию, которую нужно применить для решения.
В условии дано уравнение зависимости координаты тела от времени. Эти уравнения для различных видов движений, изучаются в разделе механики, который называется кинематикой.

Учитель. Охарактеризуйте зависимость х = 2 + 3t.
Ученик. Уравнение зависимости координаты от времени показывает, что между координатой и временем существует прямопропорциональная зависимость, поэтому движение тела является прямолинейным и равномерным.
(С помощью кодоскопа на экране высвечивается лист повторения).

Лист повторения
1. Прямолинейным равномерным движением называют такое движение, при котором тело (точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
2. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют постоянную векторную величину, равную отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка:
.
3. Перемещение при прямолинейном равномерном движении .
4. Зависимость координаты x от времени t:
х = х_о + V_xt.
5. Проекция скорости на координатную ось равна изменению координаты в единицу времени и изображена на рисунках 2 и 3:

Рис. 2 Рис. 3

6. Графики движения (рисунок 4).
7. Графики скорости (рисунок 5).

Рис. 4 Рис. 5
“Движение” Механика.
Уравнение зависимости координаты от времени Кинематика.
Прямопропорциональная зависимость координаты от времени Прямолинейное равномерное движение Уравнение зависимости координаты от времени вида х = х_о + V_хt .
2. Действия и операции при поиске начальной координаты и проекции скорости по уравнению зависимости координаты от времени.
Учитель. Для нахождения начальной координаты и проекции скорости тела нужно сопоставить общее уравнение координаты прямолинейного равномерного движения с частным уравнением, заданным в условии задачи. Запишем эти уравнения в виде системы для удобства их сравнения.
В частном уравнении физические величины должны иметь тот же смысл, что, и в общем.

Вопрос. Какой смысл имеют цифры 2 и 3 в частном уравнении?

Ученик. Цифра “2” в частном уравнении имеет смысл начальной координаты тела, выраженной в метрах: х_о = 2 м.
Множитель, стоящий перед t имеет смысл проекции скорости, поэтому для данного частного случая V_x = 3 м/c.

Учитель. Что означает знак “+” перед проекцией скорости?

Ученик. Перед проекцией скорости стоит знак “+”; поэтому скорость тела сонаправлена с осью ОХ.

Учитель. Таким образом, мы определили первое действие и операции в алгоритме решения задач такого типа. (Спроектировать на экран с помощью кодоскопа действие 1).

Действие 1. Сопоставить общую и частную формы записи уравнения зависимости координаты от времени:
свободный член в частной форме записи уравнений дает начальную координату тела х_о;

численный коэффициент, стоящий перед временем t в линейном члене в частной форме записи уравнения, задает величину проекции скорости;

знак величины, стоящий перед временем t, определяет направление скорости по отношению к выбранной системе координат.

3. Действия и операции при построении графика зависимости координаты от времени по известному уравнению данной зависимости.
Учитель. Построим график зависимости координаты тела от времени движения х = 2 + 3t. Для этого вспомним соответствующий раздел алгебры.

Ученик. Мы знаем, что график представляет собой прямую линию. Для построения прямой необходимо задать две любые ее точки. Точки выбираются произвольно, но для простоты расчетов одну из них свяжем с начальным моментом времени t = 0. Тогда из уравнения х = 2 + 3t следует, что х_о = 2м (х = 2м + 3м/с · 0 = 2м). Т.к. это координата в начальный момент времени, то ее следует обозначить х_о. Пусть t = 2с, тогда х = 8м.

Учитель. Таким образом, мы выполнили второе действие алгоритма решения задачи. (Спроектировать на экран с помощью кодоскопа действие 2).

Действие 2. Рассчитать координаты двух точек графика с помощью частного уравнения зависимости х(t) путем подстановки в него двух различных моментов времени, один из которых принимается равным нулю.
Предложить суворовцу изобразить график зависимости х(t) на доске, комментируя все свои действия.

Ученик. Изобразим оси координат. Вертикальная ось соответствует координате, измеренной в метрах, горизонтальная ось времени — в секундах. Выберем удобный масштаб осей координат. Отметим полученные точки А(0;2) и В(2;8) на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Учитель. Итак, мы выполнили еще три последовательных действия алгоритма. (Спроектировать на экран с помощью кодоскопа действия 3, 4 и 5).

Действие 3. Изобразить оси координат и выбрать масштаб изображения координаты и времени согласно рисунку 6.

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

Действие 4. Изобразить на графике расчетные точки (см. рис. 7).

Действие 5. Провести через отмеченные точки прямую, которая и будет являться графиком зависимости координаты от времени (см. рис. 8).
4. Действия и операции при построении графика зависимости проекции скорости от времени.
Учитель. Построим график зависимости проекции скорости от времени. В действии 1, при сопоставлении общей и частной форм записи уравнений движения было определено, что проекция скорости V_х равна 3, а также знак проекции.

Вопрос. Что будет являться графиком V_х = 3 в координатных осях V_х, t?

Ученик. Графиком будет являться прямая, параллельная оси времени.
Учитель предлагает суворовцу выйти к доске и изобразить график зависимости V_х от t, комментируя все свои действия.

Ученик.
Изобразим оси координат для построения графика. Вертикальная ось соответствует проекции скорости, измеренной в метрах в секунду, горизонтальная ось – времени, измеренному в секундах. Выберем масштаб оси координат. На оси проекции скорости найдем точку V_х= 3 с учетом ее знаков. Так как проекция скорости остается постоянной, то любым другим моментом времени будет соответствовать та же проекция скорости, поэтому график будет представлять собой прямую, параллельную оси времени. Это известное свойство графика функции, не зависящей от ее аргумента. Проведем прямую, параллельную оси времени через точку V_х = 3.

Учитель. Определен следующий порядок действий. Посмотрите на экран. (Спроектировать на экран с помощью кодоскопа действие 6, 7, 8).

Действие 6. Изобразить оси координат и выбрать масштаб изображения проекции скорости и времени (см. рис. 9).

Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11
Действие 7. Изобразить на вертикальной оси точку, соответствующую проекции скорости с учетом ее знака (см. рис. 10).

Действие 8. Провести через точку на вертикальной оси соответствующую величине и знаку проекции скорости прямую, параллельную оси времени (см. рис. 11).
Учитель. Итак, мы получили порядок действий при построении графиков движения и скорости для прямолинейного равномерного движения по известному уравнению зависимости координаты от времени. Многие из этих действий в дальнейшем будут выполняться автоматически, в уме, так как они довольно просты. И время решения задачи заметно сократится.

Закрепление алгоритма.

Учитель. Пользуясь разобранным примером решения задачи, ответьте на вопросы и выполните указанные действия при решении задачи на карточках. (Каждый ученик имеет следующую карточку).

Дидактическая карточка
Задание выполнял ученик _________________________________ класс _____

Условия задачи. Зависимость координаты движущегося тела от времени выражается уравнением вида х = 6 – 2t. Найдите начальную координату и проекцию скорости движения данного тела, постройте графики зависимостей координаты и проекции скорости от времени.
1. По каким признакам, указанным в условии задачи, можно определить, что в условии описано прямолинейное равномерное движение?
2. Какое действие нужно совершить для нахождения начальной координаты и проекции скорости движения?
3. Выполните действие, названное в п.2; и определите начальную координату, величину и знак проекции скорости
4. Перечислите действия, которые необходимо выполнить для построения графика зависимости координаты тела от времени
5. Выполните действия, названные в п.4; и постройте график зависимости координаты от времени.
6. Перечислите действия, которые необходимо выполнить для построения графика зависимости проекции скорости тела от времени.
7. Выполните действия, указанные в п.6; и постройте график зависимости проекции скорости от времени.
Обобщение и систематизация знаний

Учитель. На сегодняшнем уроке мы показали алгоритм перехода от координатного способа описания к графическому. На первый взгляд он может показаться очень громоздким. На самом деле в результате многократного применения действий и операций по совместному применению координатного и графического методов эти действия как бы сворачиваются, переходят в умственный план, совершаются в подсознании. На поверхности остается результат в виде уравнения и графиков движения и скорости. Это и есть высший уровень овладения умениями решать задачи по данной теме.

Подведение итогов занятия, выставление оценок

Задание на самоподготовку. Построить аналогичным образом алгоритм перехода от графического способа описания к координатному на примере задачи:
На рисунке 12 изображен график зависимости координаты движущегося тела от времени. Найдите проекцию скорости тела, запишите уравнение зависимости координаты тела от времени и постройте график зависимости проекции скорости от времени.
Рис. 12
Калькулятор горизонтального движения снаряда
Уравнения горизонтального движения снаряда
Как мы уже говорили, уравнения движения снаряда по горизонтали являются частным случаем общих формул. Угол запуска указывать не нужно, он параллелен земле (поэтому угол равен 0 °). В результате имеем только одну составляющую начальной скорости — Vx = V, тогда как Vy = 0.
Мы возьмем начальную точку за начало координат. Тогда уравнения движения можно записать как:
Расстояние
Горизонтальное расстояние можно выразить как x = V * t .
Вертикальное расстояние от земли описывается формулой y = - g * t² / 2 , где g — ускорение свободного падения, а h — высота над уровнем моря.
Скорость
Горизонтальная скорость равна В .
Вертикальная скорость может быть выражена как –g * t .
Разгон
Горизонтальное ускорение равно 0.
Вертикальное ускорение равно -g (потому что на снаряд действует только сила тяжести).
Уравнения горизонтального движения снаряда выглядят следующим образом:
Мы можем объединить уравнения x = V * t и y = - g * t² / 2 , чтобы избавиться от t . Тогда траектория будет равна:
y = - g * (x / V) ² / 2 = (- g * x²) / (2 * V²)
Чтобы узнать время полета снаряда, нам нужно вычислить, когда снаряд попадает в землю. В нашей системе координат это происходит, когда координата y равна h : g * t² / 2 = h .Из этого уравнения мы можем найти, что время полета равно:
t = √ (2 * ч / г)
Дальность полета снаряда — это полное горизонтальное расстояние, пройденное за время полета. Тогда мы можем записать уравнение как
r = V * t = v * √ (2 * ч / г) .
Мы не будем вычислять здесь максимальную высоту, так как у нас нет начальной вертикальной составляющей скорости, а это означает, что максимальная высота — это та, с которой мы начинаем.
Во всех расчетах мы пренебрегли сопротивлением воздуха, действующим на снаряд, таким образом, сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий.
Проекция Меркатора — обзор
V Дополнительные темы геодезии
V.A Системы координат штата на плоскости
Можно указать точное местоположение любой точки на земной поверхности, указав ее широту, долготу и высоту над средним уровнем моря. Широта и долгота тысяч точек в Соединенных Штатах были точно определены и отмечены наземными памятниками Национальной геодезической службой (ранее — Береговой и геодезической службой).Однако широта и долгота являются сферическими координатами и, следовательно, указывают на геодезические положения, и привязка к ним местных съемок может быть проблематичной. Понимая эту трудность, Берегово-геодезическая служба установила в 1935 году Государственную систему координат штата на плоскости (SPCS), которая связывает горизонтальные положения точек с точки зрения плоских координат. Имея их в наличии, геодезисты могут привязать местные съемки к SPCS с относительно простой производительностью и вычислениями, включающими съемку с самолета (т.е., предположение о «плоской земле») и, таким образом, навсегда задокументируют точное местоположение местного исследования.
В SPCS каждое состояние имеет отдельно установленную систему координат, но все такие системы состояний связаны вместе. Система координат для каждого состояния была установлена путем математического проецирования его поверхности на поверхность конуса или цилиндра (или, в некоторых случаях, обоих), которые затем можно преобразовать в плоскость. Проекция на конус известна как конформная коническая проекция Ламберта .Искажения этой проекции происходят в направлении север-юг; следовательно, он используется для штатов с относительно короткими размерами с севера на юг (например, Теннесси и Северная Каролина). Проекция на цилиндр известна как поперечная проекция Меркатора ; он используется для штатов с относительно протяженными размерами с севера на юг (например, Иллинойс и Миссисипи). Некоторые государства используют более одной проекции любого типа, а некоторые используют оба вида проекции. Например, Нью-Йорк использует проекцию Ламберта для Лонг-Айленда и три проекции Меркатора для остальной части штата.Флорида использует проекцию Ламберта для северо-западной («ручкой») части штата и две проекции Меркатора для нижней («полуостров») части штата.
Некоторые преимущества SPCS, помимо документирования вечно точных местоположений локальных съемок, связаны с объединением отдельных съемок в общую систему и предоставлением возможностей проверки для предотвращения чрезмерного накопления ошибок измерения в крупномасштабных съемках.
V.B. Астрономические наблюдения
Астрономические наблюдения могут использоваться при съемке для определения направлений путем наблюдения за небесными телами.Вероятно, наиболее часто выполняемые наблюдения — это те, которые проводятся для определения направления истинного севера или линии относительно истинного севера.
Истинный азимут линии можно определить с помощью астрономических наблюдений, установив прохождение через один конец линии, прицелившись на конкретное небесное тело и считывая вертикальный и горизонтальный углы к рассматриваемой линии. Если время наблюдения и местоположение (широта и долгота) точки наблюдения известны, точное положение небесного тела можно определить из альманаха положений небесных тел (известного как эфемериды и ).На основе этой информации можно рассчитать истинный азимут линии на небесное тело, а затем истинный азимут рассматриваемой линии.
Небесным телом, наиболее часто используемым для определения истинного направления на север, является Полярная звезда (Полярная звезда). К счастью, он расположен почти прямо над географическим северным полюсом Земли; следовательно, прицеливание на Полярную звезду дает (приблизительно) истинное направление на север. На самом деле, поскольку Полярная звезда не находится прямо над географическим северным полюсом, она (Полярная звезда) кажется зрителю, смотрящему в фиксированный телескоп, слегка перемещающимся вперед и назад (слева направо налево и т. Д.).) в течение периода времени. Фактически, истинный север — это среднее значение крайних левых и правых наблюдений Полярной звезды.
V.C Фотограмметрия
Уже обсуждались различные методы измерения для сбора данных, которые используются при подготовке топографических карт. Хотя они широко используются и дают адекватные результаты, у них есть по крайней мере два ограничения, особенно когда они применяются к съемкам на больших территориях. Первый — это время (и стоимость), затраченное на получение требуемых данных; другой — ограничение фактического количества данных, которые могут быть получены.Обе эти проблемы можно преодолеть с помощью фотограмметрии .
Проще говоря, фотограмметрия состоит из фотографирования рассматриваемой собственности с самолета, просмотра аэрофотоснимков и подготовки на их основе топографической карты. Должно быть ясно, что при сборе данных с помощью фотограмметрии достигается значительная экономия времени по сравнению с более традиционными методами; и хотя затраты на эксплуатацию самолета могут быть высокими, они более чем компенсируются экономией времени и выплачиваемой заработной платы.Тот факт, что камера «видит все», гарантирует, что будет получен огромный объем данных, и практически ни одна деталь не будет упущена из виду в полевых условиях.
На практике, когда самолет летит по заданному курсу, делается несколько фотографий, так что они перекрывают друг друга. Карты готовят специалисты, просматривающие фотографии через стереоскоп. Также могут использоваться специализированные плоттеры. Как и в других случаях, необходимо использовать адекватные системы горизонтального и вертикального контроля для обеспечения достаточной точности.
Фотограмметрия в настоящее время широко используется Геологической службой США при составлении карт четырехугольника. Значительные улучшения в камерах, пленках, графических инструментах и других устройствах позволили создавать карты, отвечающие высоким стандартам точности.
Примечательно, что в некоторых ситуациях использование фотограмметрии исключается. Например, для небольших площадей это, как правило, нерентабельно. Кроме того, в областях, покрытых песком (пустыни или пляжи) или снегом, отсутствие изменения цвета и текстуры земли затрудняет интерпретацию поверхности земли.Другая проблема возникает в зоне чрезвычайно густой растительности (например, в тропическом лесу), что, конечно, затрудняет или делает невозможным просмотр поверхности земли.
V.D Последние разработки
Многие недавние разработки в области геодезии, некоторые из которых были упомянуты, обеспечивают измерения с большей точностью, чем можно было даже ожидать несколько лет назад. Многие события произошли в результате космической программы, которая требовала, с одной стороны, очень точного определения относительного местоположения станций слежения за космическим пространством по всему миру, а с другой стороны, детального картирования Луны, планет и других объектов. звезды.В то время как фотограмметрия использовалась в течение многих лет для «съемки сверху», в настоящее время это может быть выполнено с помощью спутников, находящихся на околоземной орбите.
Различные современные устройства, использующие лазеры, инфракрасный свет и т. Д., Обеспечивают чрезвычайно точное определение высоты, расстояний и направлений. Компьютерная революция коснулась и геодезии. Микрокомпьютеры могут автоматически записывать данные, производить соответствующие вычисления и готовить карты.
Несомненно, в будущем будут продолжены усилия по выполнению съемки с еще большей точностью, за меньшее время и с меньшими затратами.Однако на протяжении всего этого процесса геодезисты должны быть знакомы с основными принципами геодезической съемки и должны постоянно проявлять хорошее профессиональное суждение при интерпретации и использовании результатов, полученных с помощью имеющихся сложных инструментов.
Уравнения скорости гравитации для объектов, проецируемых вверх, Рон Куртус
SfC Home> Физика> Гравитация>
Рон Куртус (от 15 марта 2018 г.)
Когда вы проецируете объект вверх и отпускаете его с начальной скоростью, он движется в направлении, противоположном силе тяжести .Таким образом, начальная скорость отрицательна. Скорость объекта также отрицательна на пути вверх, но положительна при спуске.
Примечание : Мы используем соглашение, согласно которому восходящие скорости отрицательны, а нисходящие скорости положительны. Кроме того, смещения выше начальной точки отрицательны, а смещения ниже начальной точки положительны.
В некоторых учебниках «вверх» положительно, а «вниз» — отрицательно. Вы должны знать, какое соглашение используется при работе с книгой.
( Дополнительную информацию см. В разделе «Соглашение о направлении в уравнениях силы тяжести». )
По мере движения вверх объект замедляется, пока не достигнет максимальной высоты, при которой скорость равна нулю. Затем скорость увеличивается по мере того, как объект падает на землю.
Примечание : Если начальная скорость достаточно велика, объект может избежать силы тяжести. (См. Дополнительную информацию в разделе «Скорость гравитационного покидания».)
Полученные уравнения позволяют вычислить скорость объекта, проецируемого вверх, относительно времени, а также скорость при смещениях как выше, так и ниже начальной точки.
Вопросы, которые могут у вас возникнуть:
Какая скорость относительно времени?
Какова скорость смещения выше начальной точки?
Какова скорость смещения ниже начальной точки?
Этот урок ответит на эти вопросы. Полезный инструмент: Конвертация единиц
Скорость относительно времени
Общее уравнение гравитации для скорости относительно времени:
v = GT + v _i
где
v — вертикальная скорость в метрах в секунду (м / с) или футах в секунду (фут / с)
g — ускорение свободного падения (9.8 м / с² или 32 фут / с²)
t — время в секундах
v _i — начальная вертикальная скорость вверх в м / с или фут / с
(Дополнительную информацию см. В разделе «Вывод уравнений силы тяжести со скоростью-временем»).
Когда вы проецируете объект вверх, начальная скорость при отпускании отрицательна или меньше нуля ( v _i < 0). Результирующая скорость будет отрицательной ( v < 0), когда объект движется вверх, нулевой ( v = 0) при максимальном смещении или положительной ( v> 0), когда объект движется вниз, в зависимости от значение истекшего времени.
Время до максимального смещения
При определении скорости в разное время удобно знать время, необходимое для достижения максимального смещения, когда скорость равна v = 0:
GT _м + v _i = 0
gt _м = −v _i
т _м = −v _i / г
, где т _м — время до максимального водоизмещения.
Примечание : Поскольку v _i — отрицательное число, — v _i — положительное число.
Пример
Если начальная скорость объекта 19,6 м / с направлена вверх, какова скорость в разное время?
Решение
v _i = −19,6 м / с и g = 9,8 м / с ². Замените v _i и g в уравнении, чтобы получить формулу в виде t :
v = GT + v _i
v = (9.8 м / с ²) ( т с) + (−19,6 м / с)
Упростить:
v = (9,8 т — 19,6) м / с
В таблице ниже показаны скорости для различных значений т :
т = 0 с v = −19,6 м / с Движение вверх от начальной точки
т = 1 с v = −9.8 м / с Объект движется вверх
т _м = 2 с v = 0 м / с При пиковом или максимальном смещении
т = 3 с v = 9,8 м / с Объект движется вниз
т = 4 с v = 19,6 м / с Прохождение точки старта
т = 5 с v = 29.4 м / с Продолжаем вниз
Скорости объекта, проецируемые вверх в разное время
Скорость перемещения вверх
Общее уравнение гравитации для скорости объекта относительно смещения или движения от начальной точки:
v = ± √ (2gy + v _i ² )
где
± означает плюс-минус
√ (2yg + v _i ² ) — квадратный корень из величины (2yg + v _i ² )
y — вертикальное смещение в метрах или футах
(Дополнительную информацию см. В разделе «Вывод уравнений силы тяжести смещения и скорости».)
Поскольку скорость на пути вверх отрицательная ( v < 0), используется отрицательная ( — ) версия уравнения:
v = −√ (2gy + v _i ² )
Также обратите внимание, что смещение отрицательное ( y < 0) над начальной точкой.
Максимальное смещение относительно скорости
При максимальном смещении скорость v = 0.Таким образом:
−√ (2gy _м + v _i ² ) = 0
2gy _м + v _i ² = 0
2gy _м = −v _i ²
y _м = −v _i ² / 2g
, где y _м — максимальное смещение.
Если подставить значения для смещения, где y m _{, величина
(2gy + v _i ² ) станет отрицательной, что приведет к значению √ (2gy + v _i ² ) является воображаемым или невозможным.}
Пример
Если v _i = −64 ft / s, найдите значения v для различных перемещений y при движении вверх.
Решение
Поскольку g = 32 фут / с ², замените g и v _i в уравнении, чтобы получить формулу в виде y :
v = −√ (2gy + v _i ² )
v = −√ [2 * (32 фут / с ²) * ( y фут) + (−64 фут / с) ²]
v = −√ (64 y футов ² / с ² + 4096 футов ² / с ²)
Поскольку √ (футы ² / с ²) = фут / с, получаем:
v = −√ ( 64 y + 4096 ) фут / с
Подставьте значения для y в формулу, помня, что y отрицательное значение выше начальной точки:
y = 0 футов v = −64 фут / с Движение вверх от начальной точки
y = −32 футов v = -45.3 фут / с Объект движется вверх
y _м = −64 футов v = 0 фут / с При пиковом или максимальном смещении
y = −80 футов — v = −√ (- 1024 ) невозможно
Скорость перемещения вниз
Ниже максимального смещения v положительно, поскольку объект движется в направлении силы тяжести.Это означает, что используется положительная ( + ) версия общего уравнения:
v = √ (2gy + v _i ² )
Однако смещение отрицательно от максимального смещения до начальной точки, в которой время y = 0. С этого момента y имеет положительные значения.
Пример
Продолжая приведенный выше пример, где v _i = −64 ft / s, каковы скорости различных смещений на пути вниз?
Решение
Положительная версия формулы:
v = √ ( 64 y + 4096 ) фут / с
Замещающие значения для y в формуле :
y _м = −64 футов v = 0 фут / с При пиковом или максимальном смещении
y = −32 футов v = 45.3 фут / с Объект движется вниз
y = 0 футов v = 64 фут / с Движение вниз в начальной точке
y = 32 фута v = 78,4 фут / с Движение вниз ниже начальной точки
Скорости перемещений объекта, спроецированного вверх
Сводка
Когда объект проецируется вверх, он движется в направлении, противоположном силе тяжести, и начальная скорость имеет отрицательное число.Скорость отрицательная, когда объект движется вверх, и положительная, когда он движется вниз. Смещение отрицательное выше начальной точки положительное ниже начальной точки. Уравнения для скорости:
По времени
v = GT + v _i
По водоизмещению
v = −√ (2gy + v _i ² ) растет
v _м = 0 (при максимальном смещении)
v = √ (2gy + v _i ² ) спускается
Думайте об успехе
Ресурсы и ссылки
Полномочия Рона Куртуса
Сайты
Гравитационные ресурсы
Расчет силы тяжести — Земля — Калькулятор
Книги
Книги с самым высоким рейтингом по простой науке о гравитации
Книги с самым высоким рейтингом по продвинутой физике гравитации
Вопросы и комментарии
Есть ли у вас какие-либо вопросы, комментарии или мнения по этой теме? Если да, отправьте свой отзыв по электронной почте.Я постараюсь вернуться к вам как можно скорее.
Поделиться страницей
Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:
Студенты и исследователи
Веб-адрес этой страницы:
www.school-for-champions.com/science/
gravity_equations_upward_velocity.htm
Пожалуйста, включите его в качестве ссылки на свой веб-сайт или в качестве ссылки в своем отчете, документе или диссертации.
Авторские права © Ограничения
Где ты сейчас?
Школа чемпионов
Гравитационные темы
Уравнения скорости тяжести для объектов, проецируемых вверх
12.3: Точечное произведение — математика LibreTexts
Если мы прикладываем силу к объекту так, что объект перемещается, мы говорим, что работа выполняется за счет силы. Ранее мы рассматривали постоянную силу и предполагали, что сила приложена в направлении движения объекта.В этих условиях работа может быть выражена как произведение силы, действующей на объект, и расстояния, на которое объект перемещается. Однако в этой главе мы увидели, что и сила, и движение объекта могут быть представлены векторами.
В этом разделе мы разрабатываем операцию, называемую скалярным произведением, которая позволяет нам вычислять работу в случае, когда вектор силы и вектор движения имеют разные направления. Точечный продукт по существу говорит нам, какая часть вектора силы приложена в направлении вектора движения.Скалярное произведение также может помочь нам измерить угол, образованный парой векторов, и положение вектора относительно осей координат. Он даже обеспечивает простой тест, чтобы определить, встречаются ли два вектора под прямым углом.
Точечное произведение и его свойства
Мы уже научились складывать и вычитать векторы. В этой главе мы исследуем два типа умножения векторов. Первый тип умножения векторов называется скалярным произведением на основе обозначений, которые мы используем для него, и определяется следующим образом:
Определение: скалярное произведение
Точечное произведение векторов \ (\ vecs {u} = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨v_1, v_2, v_3⟩ \) дается как сумма изделий из комплектующих
\ [\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.\]
Обратите внимание, что если \ (u \) и \ (v \) — двумерные векторы, мы вычисляем скалярное произведение аналогичным образом. Таким образом, если \ (\ vecs {u} = ⟨u_1, u_2⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨v_1, v_2⟩, \), то
\ [\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2. \]
Когда два вектора объединяются при сложении или вычитании, результатом является вектор. Когда два вектора объединяются с использованием скалярного произведения, результатом является скаляр. По этой причине скалярное произведение часто называют скалярным произведением . Его также можно назвать внутренним продуктом .
Пример \ (\ PageIndex {1} \): вычисление скалярных произведений
Найдите скалярное произведение \ (\ vecs {u} = ⟨3,5,2⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨− 1,3,0⟩ \).
Найдите скалярное произведение \ (\ vecs {p} = 10 \ hat {\ textbf i} −4 \ hat {\ textbf j} +7 \ hat {\ textbf k} \) и \ (\ vecs {q} = −2 \ hat {\ textbf i} + \ hat {\ textbf j} +6 \ hat {\ textbf k}. \)
Решение :
а. Подставьте компоненты вектора в формулу для скалярного произведения:
\ [\ begin {align *} \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \\ [4pt] & = 3 (−1) +5 (3) +2 (0) \ \ [4pt] & = — 3 + 15 + 0 \\ [4pt] & = 12.\ end {align *} \]
г. Вычисления такие же, если векторы записаны с использованием стандартных единичных векторов. У нас все еще есть три компонента для каждого вектора, которые нужно подставить в формулу для скалярного произведения:
\ [\ begin {align *} \ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \\ [4pt] & = 10 (−2) + (- 4) (1) + (7 ) (6) \\ [4pt] & = — 20−4 + 42 \\ [4pt] & = 18. \ End {align *} \]
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Найдите \ (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} \), где \ (\ vecs {u} = ⟨2,9, −1⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨− 3, 1, −4⟩.\)
Подсказка
Умножьте соответствующие компоненты, а затем сложите их произведения.
Ответ
\ (7 \)
Подобно сложению и вычитанию векторов, скалярное произведение имеет несколько алгебраических свойств. Мы докажем три из этих свойств, а остальные оставим в качестве упражнений.
Свойства точечного произведения
Пусть \ (\ vecs {u} \), \ (\ vecs {v} \) и \ (\ vecs {w} \) — векторы, а \ (c \) — скаляр.2 \]
Проба
Пусть \ (\ vecs {u} = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨v_1, v_2, v_3⟩. \) Тогда
\ [\ begin {align *} \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = ⟨u_1, u_2, u_3⟩⋅⟨v_1, v_2, v_3⟩ \\ [4pt] & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \ \ [4pt] & = v_1u_1 + v_2u_2 + v_3u_3 \\ [4pt] & = ⟨v_1, v_2, v_3⟩⋅⟨u_1, u_2, u_3⟩ \\ [4pt] & = \ vecs {v} ⋅ \ vecs {u }. \ end {align *} \]
Ассоциативное свойство выглядит как ассоциативное свойство для умножения действительных чисел, но обратите внимание на разницу между скалярными и векторными объектами:
\ [\ begin {align *} c (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}) & = c (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) \\ [4pt] & = c (u_1v_1) + c (u_2v_2) + c (u_3v_3) \\ [4pt] & = (cu_1) v_1 + (cu_2) v_2 + (cu_3) v_3 \\ [4pt] & = ⟨cu_1, cu_2, cu_3⟩⋅⟨v_1, v_2, v_3⟩ \\ [4pt] & = c⟨u_1, u_2, u_3⟩⋅⟨v_1, v_2, v_3⟩ \\ [4pt] & = (c \ vecs {u}) ⋅ \ vecs {v}.2. \ end {align *} \]
□
Обратите внимание, что по свойству iv. имеем \ (\ vecs {0} ⋅ \ vecs {v} = 0. \) Также по свойству iv. если \ (\ vecs {v} ⋅ \ vecs {v} = 0, \), то \ (\ vecs {v} = \ vecs {0}. \)
Пример \ (\ PageIndex {2} \): использование свойств скалярного произведения
Пусть \ (\ vecs {a} = ⟨1,2, −3⟩ \), \ (\ vecs {b} = ⟨0,2,4⟩ \) и \ (\ vecs {c} = ⟨5 , −1,3⟩ \).
Найдите каждый из следующих продуктов.
\ ((\ vecs {a} ⋅ \ vecs {b}) \ vecs {c} \)
\ (\ vecs {a} ⋅ (2 \ vecs {c}) \)
\ (\ | \ vecs {b} \ | ^ 2 \)
Решение
а.Обратите внимание, что это выражение запрашивает скалярное кратное \ (\ vecs {c} \) на \ (\ vecs {a} ⋅ \ vecs {b} \):
\ [\ begin {align *} (\ vecs {a} ⋅ \ vecs {b}) \ vecs {c} & = (⟨1,2, −3⟩⋅⟨0,2,4⟩) ⟨5, −1,3⟩ \\ [4pt] & = (1 (0) +2 (2) + (- 3) (4)) ⟨5, −1,3⟩ \\ [4pt] & = — 8⟨5 , −1,3⟩ \\ [4pt] & = ⟨− 40,8, −24⟩. \ End {align *} \]
г. Это выражение является скалярным произведением вектора \ (\ vecs {a} \) и скалярного кратного 2 \ (\ vecs {c} \):
\ [\ begin {align *} \ vecs {a} ⋅ (2 \ vecs {c}) & = 2 (\ vecs {a} ⋅ \ vecs {c}) \\ [4pt] & = 2 (⟨1 , 2, −3⟩⋅⟨5, −1,3⟩) \\ [4pt] & = 2 (1 (5) +2 (−1) + (- 3) (3)) \\ [4pt] & = 2 (−6) = — 12.2 = 53 \)
Использование точечного произведения для определения угла между двумя векторами
Когда два ненулевых вектора помещаются в стандартное положение, будь то в двух измерениях или в трех измерениях, они образуют угол между ними (рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Точечное произведение позволяет найти меру этого угла. Это свойство является результатом того факта, что мы можем выразить скалярное произведение через косинус угла, образованного двумя векторами.
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Пусть \ (θ \) будет углом между двумя ненулевыми векторами \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) такими, что \ ( 0≤θ≤π \).
Оценка скалярного произведения
Скалярное произведение двух векторов — это произведение величины каждого вектора и косинуса угла между ними:
\ [\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ. \ label {evaldot} \]
Проба
Поместите векторы \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) в стандартное положение и рассмотрите вектор \ (\ vecs {v} — \ vecs {u} \) (Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Эти три вектора образуют треугольник с длинами сторон \ (‖ \ vecs {u} ‖, ‖ \ vecs {v} ‖ \) и \ (‖ \ vecs {v} — \ vecs {u} ‖ \).2−2‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ \\ [4pt] −2 \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = — 2‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ \\ [4pt] \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ. \ end {align *} \]
□
Мы можем использовать форму скалярного произведения в уравнении \ ref {evaldot}, чтобы найти меру угла между двумя ненулевыми векторами, переставив уравнение \ ref {evaldot} для определения косинуса угла:
\ [\ cos θ = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖}. \ label {dot2} \]
Используя это уравнение, мы можем найти косинус угла между двумя ненулевыми векторами.Поскольку мы рассматриваем наименьший угол между векторами, мы предполагаем \ (0 ° ≤θ≤180 ° \) (или \ (0≤θ≤π \), если мы работаем в радианах). Обратный косинус уникален в этом диапазоне, поэтому мы можем определить меру угла \ (θ \).
Пример \ (\ PageIndex {3} \): определение угла между двумя векторами
Найдите угол между каждой парой векторов.
\ (\ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k} \) и \ (2 \ mathbf {\ hat i} — \ mathbf {\ hat j} — 3 \ mathbf {\ hat k} \)
\ (⟨2,5,6⟩ \) и \ (⟨− 2, −4,4⟩ \)
Решение
а.2}} \\ [4pt] & = \ dfrac {0} {\ sqrt {65} \ sqrt {36}} = 0. \ end {align *} \]
Теперь \ (\ cos θ = 0 \) и \ (0≤θ≤π \), поэтому \ (θ = π / 2 \).
Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)
Найдите угол в радианах, образованный векторами \ (\ vecs {a} = ⟨1,2,0⟩ \) и \ (\ vecs {b} = ⟨2,4,1⟩ \). Округлить до ближайшей сотой.
Подсказка
Используйте уравнение \ ref {dot2}.
Ответ
\ (θ≈0.22 \) рад
Угол между двумя векторами может быть острым \ ((0 <\ cos θ <1), \) тупым \ ((- 1 <\ cos θ <0) \) или прямым \ ((\ cos θ = −1 ) \). Если \ (\ cos θ = 1 \), то оба вектора имеют одинаковое направление. Если \ (\ cos θ = 0 \), то векторы, помещенные в стандартное положение, образуют прямой угол (рисунок \ (\ PageIndex {3} \)). Мы можем формализовать этот результат в виде теоремы об ортогональных (перпендикулярных) векторах.
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): (a) У острого угла \ (0 <\ cos θ <1 \).(b) Тупой угол имеет \ (- 1 <\ cos θ <0. \) (c) У прямой есть \ (\ cos θ = −1 \). (d) Если векторы имеют одинаковое направление, \ (\ cos θ = 1 \). (e) Если векторы ортогональны (перпендикулярны), \ (\ cos θ = 0. \)
Ортогональные векторы
Ненулевые векторы \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) являются ортогональными векторами тогда и только тогда, когда \ (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = 0. \)
Проба
Пусть \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) ненулевые векторы, и пусть \ (θ \) обозначает угол между ними.Сначала предположим, что \ (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = 0. \), Тогда
\ [‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ = 0. \]
Однако \ (‖ \ vecs {u} ‖ ≠ 0 \) и \ (‖ \ vecs {v} ‖ ≠ 0, \), поэтому мы должны иметь \ (\ cos θ = 0 \). Следовательно, \ (θ = 90 ° \), и векторы ортогональны.
Теперь предположим, что \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) ортогональны. Тогда \ (θ = 90 ° \) и имеем
\ [\ begin {align *} \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ \\ [4pt] & = ‖ \ vecs { u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos 90 ° \\ [4pt] & = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ (0) \\ [4pt] & = 0.\ end {align *} \]
□
Термины ортогональный, перпендикулярный, и нормальный каждый указывают, что математические объекты пересекаются под прямым углом. Использование каждого термина определяется главным образом его контекстом. Мы говорим, что векторы ортогональны, а прямые перпендикулярны. Термин нормальный используется чаще всего при измерении угла, образованного плоскостью или другой поверхностью.
Пример \ (\ PageIndex {4} \): определение ортогональных векторов
Определите, являются ли \ (\ vecs {p} = ⟨1,0,5⟩ \) и \ (\ vecs {q} = ⟨10,3, −2⟩ \) ортогональными векторами.
Решение
Используя определение, нам нужно только проверить скалярное произведение векторов:
\ [\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} = 1 (10) + (0) (3) + (5) (- 2) = 10 + 0−10 = 0. \ nonumber \]
Поскольку \ (\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} = 0, \) векторы ортогональны (рисунок \ (\ PageIndex {4} \)).
Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Векторы \ (\ vecs {p} \) и \ (\ vecs {q} \) образуют прямой угол, когда их начальные точки выровнены.
Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)
Для какого значения \ (x \) \ (\ vecs {p} = ⟨2,8, −1⟩ \) ортогонально \ (\ vecs {q} = ⟨x, −1,2⟩ \)?
Подсказка
Векторы \ (\ vecs {p} \) и \ (\ vecs {q} \) ортогональны тогда и только тогда, когда \ (\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} = 0 \).
Ответ
\ (х = 5 \)
Пример \ (\ PageIndex {5} \): измерение угла, образованного двумя векторами
Пусть \ (\ vecs {v} = ⟨2,3,3⟩. \) Найдите меры углов, образованных следующими векторами.
\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat i} \)
\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat j} \)
\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat k} \)
Решение
а.2} \ sqrt {1}} = \ dfrac {3} {\ sqrt {22}} \\ [4pt] γ & = \ arccos \ dfrac {3} {\ sqrt {22}} ≈0.877 \, \ text { рад.} \ end {align *} \]
Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)
Пусть \ (\ vecs {v} = ⟨3, −5,1⟩. \) Найдите меру углов, образованных каждой парой векторов.
\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat i} \)
\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat j} \)
\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat k} \)
Подсказка
\ (\ mathbf {\ hat i} = ⟨1,0,0⟩, \ mathbf {\ hat j} = ⟨0,1,0⟩, \) и \ (\ mathbf {\ hat k} = ⟨0 , 0,1⟩ \)
Ответ
\ (г.α≈1,04 \) рад; б. \ (β≈2,58 \) рад; c. \ (γ≈1,40 \) рад
Угол, который вектор образует с каждой из координатных осей, называемый углом направления, очень важен в практических вычислениях, особенно в такой области, как инженерия. Например, в космонавтике угол запуска ракеты должен определяться очень точно. Очень маленькая ошибка в угле может привести к тому, что ракета отклонится от курса на сотни миль. Углы направления часто вычисляются с помощью скалярного произведения и косинусов углов, называемых направляющими косинусами.Поэтому мы определяем как эти углы, так и их косинусы.
Определение: углы направления
Углы, образованные ненулевым вектором и осями координат, называются углами направления для вектора (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)). Косинусы для этих углов называются направляющими косинусами .
Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Угол \ (α \) образован вектором \ (\ vecs {v} \) и единичным вектором \ (\ mathbf {\ hat i} \). Угол β образован вектором \ (\ vecs {v} \) и единичным вектором \ (\ mathbf {\ hat j} \).Угол γ образован вектором \ (\ vecs {v} \) и единичным вектором \ (\ mathbf {\ hat k} \).
В примере, направляющие косинусы \ (\ vecs {v} = ⟨2,3,3⟩ \) равны \ (\ cos α = \ dfrac {2} {\ sqrt {22}}, \ cos β = \ dfrac {3} {\ sqrt {22}}, \) и \ (\ cos γ = \ dfrac {3} {\ sqrt {22}} \). Углы направления \ (\ vecs {v} \) равны \ (α = 1,130 \) рад, \ (β = 0,877 \) рад и \ (γ = 0,877 \) рад.
До сих пор мы сосредоточились в основном на векторах, связанных с силой, движением и положением в трехмерном физическом пространстве. Однако векторы часто используются более абстрактно.Например, предположим, что продавец фруктов продает яблоки, бананы и апельсины. В определенный день он продает 30 яблок, 12 бананов и 18 апельсинов. Он может использовать вектор количества \ (\ vecs {q} = ⟨30,12,18⟩, \), чтобы представить количество фруктов, которые он продал в тот день. Точно так же он может захотеть использовать вектор цен \ (\ vecs {p} = ⟨0.50,0.25,1⟩, \), чтобы указать, что он продает свои яблоки по 50 центов за штуку, бананы за 25 центов за штуку и апельсины за 1 доллар за штуку. В этом примере, хотя мы все еще можем изобразить эти векторы, мы не интерпретируем их как буквальные представления положения в физическом мире.Мы просто используем векторы, чтобы отслеживать отдельные фрагменты информации о яблоках, бананах и апельсинах.
Эта идея может показаться немного странной, но если мы просто будем рассматривать векторы как способ упорядочивания и хранения данных, мы обнаружим, что они могут быть довольно мощным инструментом. Возвращаясь к продавцу фруктов, давайте подумаем о скалярном произведении \ (\ vecs {q} ⋅ \ vecs {p} \). Мы вычисляем его, умножая количество проданных яблок (30) на цену за яблоко (50 центов), количество проданных бананов на цену за банан и количество проданных апельсинов на цену за апельсин.Затем мы складываем все эти значения вместе. Итак, в этом примере скалярный продукт сообщает нам, сколько денег продавец фруктов имел от продаж в этот конкретный день.
Когда мы используем векторы в более общем смысле, нет причин ограничивать количество компонентов тремя. Что, если продавец фруктов решит начать продавать грейпфрут? В этом случае он хотел бы использовать четырехмерные векторы количества и цен для представления количества проданных яблок, бананов, апельсинов и грейпфрутов и их удельных цен.Как и следовало ожидать, для вычисления скалярного произведения четырехмерных векторов мы просто складываем произведения компонентов, как и раньше, но в сумме четыре члена вместо трех.
Пример \ (\ PageIndex {6} \): использование векторов в экономическом контексте
AAA Party Supply Store продает приглашения, праздничные сувениры, украшения и предметы общественного питания, такие как бумажные тарелки и салфетки. Когда AAA покупает свой инвентарь, он платит 25 центов за упаковку за приглашения и вечеринки. Украшения стоят 50 центов AAA каждое, а предметы общественного питания — 20 центов за упаковку.AAA продает приглашения по цене 2,50 доллара за пакет, а сувениры для вечеринок по цене 1,50 доллара за пакет. Украшения продаются по 4,50 доллара за штуку, а предметы общественного питания — по 1,25 доллара за упаковку.
В течение мая AAA Party Supply Store продает 1258 приглашений, 342 праздничных подарка, 2426 украшений и 1354 предмета общественного питания. Используйте векторы и точечные произведения, чтобы подсчитать, сколько денег AAA заработало на продажах в мае. Какую прибыль принес магазин?
Решение
Векторы затрат, цены и количества равны
.
\ [\ begin {align *} \ vecs {c} & = ⟨0.25,0.25,0.50,0.20⟩ \\ [4pt] \ vecs {p} & = ⟨2.50,1.50,4.50,1.25⟩ \\ [4pt] \ vecs {q} & = ⟨1258,342,2426,1354⟩ . \ end {align *} \]
продаж AAA в мае можно рассчитать с помощью скалярного произведения \ (\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} \). У нас
\ [\ begin {align *} \ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} & = ⟨2.50,1.50,4.50,1.25⟩⋅⟨1258,342,2426,1354⟩ \\ [4pt] & = 3145 + 513 + 10917 + 1692,5 \\ [4pt] & = 16267,5. \ end {align *} \]
Итак, AAA заработала 16 267,50 долларов в течение мая. Чтобы рассчитать прибыль, мы должны сначала подсчитать, сколько AAA заплатило за проданные предметы.Мы используем скалярное произведение \ (c⋅q \), чтобы получить
\ [\ begin {align *} \ vecs {c} ⋅ \ vecs {q} & = ⟨0.25,0.25,0.50,0.20⟩⋅⟨1258,342,2426,1354⟩ \\ [4pt] & = 314,5 + 85,5 + 1213 + 270,8 \\ [4pt] & = 1883,8. \ end {align *} \]
Итак, AAA заплатила 1883,30 доллара за проданные товары. Таким образом, их прибыль равна
.
\ [\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} — \ vecs {c} ⋅ \ vecs {q} = 16267,5−1883,8 = 14383,7. \ nonumber \]
Таким образом, магазин AAA Party Supply в мае заработал 14 383,70 долларов.
Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)
1 июня магазин AAA Party Supply решил повысить цену, которую они взимают за праздничные сувениры, до 2 долларов за упаковку.Они также сменили поставщиков для своих приглашений и теперь могут покупать приглашения всего за 10 центов за упаковку. Все остальные затраты и цены остаются прежними. Если в июне AAA продает 1408 приглашений, 147 сувениров, 2112 украшений и 1894 предмета общественного питания, используйте векторы и точечные продукты для расчета их общих продаж и прибыли за июнь.
Подсказка
Используйте четырехмерные векторы для определения стоимости, цены и количества проданных товаров.
Ответ
Продажи = 15 685,50 долларов США; прибыль = 14 073,15 $
Прогнозы
Как мы видели, сложение объединяет два вектора для создания результирующего вектора. Но что, если нам дан вектор и нам нужно найти его составные части? Мы используем векторные проекции, чтобы выполнить противоположный процесс; они могут разбить вектор на его составляющие. Величина проекции вектора — это скалярная проекция.Например, если ребенок тянет за ручку повозки под углом 55 °, мы можем использовать проекции, чтобы определить, какая часть силы, действующей на ручку, фактически перемещает повозку вперед (\ (\ PageIndex {6} \)) . Мы вернемся к этому примеру и узнаем, как его решить, после того, как увидим, как рассчитывать прогнозы.
Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Когда ребенок тянет повозку, только горизонтальная составляющая силы толкает повозку вперед.
Определение: вектор и проекция
Проекция вектора из \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \) — это вектор с меткой \ (\ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \) на рисунке \ (\ PageIndex {7} \).Он имеет ту же начальную точку, что и \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \), и то же направление, что и \ (\ vecs {u} \), и представляет собой компонент \ (\ vecs {v} \), который действует в направлении \ (\ vecs {u} \). Если \ (θ \) представляет собой угол между \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \), то по свойствам треугольников мы знаем длину \ (\ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \) равно \ (\ | \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \ | = ‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ. \) Когда выражая \ (\ cos θ \) через скалярное произведение, получается
\ [\ | \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \ | = ‖ \ vecs v‖ \ cos θ = ‖ \ vecs {v} ‖ \ left (\ dfrac {\ vecs {u } ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖} \ right) = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖.2} \ vecs {u}. \]
Длина этого вектора также известна как скалярная проекция \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \) и обозначается
.
\ [\ | \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \ | = \ text {comp} _ \ vecs {u} \ vecs {v} = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖.} \]
Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): проекция \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \) показывает компонент вектора \ (\ vecs {v} \) в направлении из \ (\ vecs {u} \).
Пример \ (\ PageIndex {7} \): поиск прогнозов
Найдите проекцию \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \).2} (\ mathbf {\ hat i} +6 \ mathbf {\ hat j}) \\ [4pt] & = — \ dfrac {9} {37} (\ mathbf {\ hat i} +6 \ mathbf {\ hat j}) \\ [4pt] & = — \ dfrac {9} {37} \ mathbf {\ hat i} — \ dfrac {54} {37} \ mathbf {\ hat j}. \ end {align *} \]
Иногда полезно разложить векторы, то есть разбить вектор на сумму. Этот процесс называется разрешением вектора на составляющие единиц. Проекции позволяют нам идентифицировать два ортогональных вектора, имеющих желаемую сумму. Например, пусть \ (\ vecs {v} = ⟨6, −4⟩ \) и пусть \ (\ vecs {u} = ⟨3,1⟩.2} \ vecs {u} \\ [4pt] = \ dfrac {18−4} {9 + 1} \ vecs {u} \\ [4pt] = \ dfrac {7} {5} \ vecs {u} = \ dfrac {7} {5} ⟨3,1⟩ = ⟨\ dfrac {21} {5}, \ dfrac {7} {5}⟩. \ end {align *} \]
Теперь рассмотрим вектор \ (\ vecs {q} = \ vecs {v} — \ vecs {p}. \). У нас есть
\ [\ begin {align *} \ vecs {q} = \ vecs {v} — \ vecs {p} \\ [4pt] = ⟨6, −4⟩ − ⟨\ dfrac {21} {5}, \ dfrac {7} {5}⟩ \\ [4pt] = ⟨\ dfrac {9} {5}, — \ dfrac {27} {5}⟩. \ end {align *} \]
Ясно, что согласно тому, как мы определили \ (\ vecs {q} \), мы имеем \ (\ vecs {v} = \ vecs {q} + \ vecs {p}, \) и
\ [\ begin {align *} \ vecs {q} ⋅ \ vecs {p} = ⟨\ dfrac {9} {5}, — \ dfrac {27} {5} ⟩⋅⟨ \ dfrac {21} {5 }, \ dfrac {7} {5}⟩ \\ [4pt] = \ dfrac {9 (21)} {25} + — \ dfrac {27 (7)} {25} \\ [4pt] = \ dfrac { 189} {25} — \ dfrac {189} {25} = 0.\ end {align *} \]
Следовательно, \ (\ vecs {q} \) и \ (\ vecs {p} \) ортогональны.
Пример \ (\ PageIndex {8} \): преобразование векторов в компоненты
Выразите \ (\ vecs {v} = ⟨8, −3, −3⟩ \) как сумму ортогональных векторов, один из которых имеет то же направление, что и \ (\ vecs {u} = ⟨2,3 , 2⟩. \)
Решение
Пусть \ (\ vecs {p} \) представляет проекцию \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \):
\ [\ begin {align *} \ vecs {p} & = \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \\ [4pt] & = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖ ^ 2} \ vecs {u} \\ [4pt] & = \ dfrac {⟨2,3,2⟩⋅⟨8, −3, −3⟩} {∥ ⟨2,3,2⟩∥ ^ 2} ⟨2,3,2⟩ \\ [4pt] & = \ dfrac {16−9−6} {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} ⟨2, 3,2⟩ \\ [4pt] & = \ dfrac {1} {17} ⟨2,3,2⟩ \\ [4pt] & = ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17 }, \ dfrac {2} {17}⟩.\ end {align *} \]
Затем,
\ [\ begin {align *} \ vecs {q} & = \ vecs {v} — \ vecs {p} = ⟨8, −3, −3⟩ − ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17}, \ dfrac {2} {17}⟩ \\ [4pt] & = ⟨\ dfrac {134} {17}, — \ dfrac {54} {17}, — \ dfrac {53} { 17}⟩. \ end {align *} \]
Чтобы проверить нашу работу, мы можем использовать скалярное произведение, чтобы убедиться, что \ (\ vecs {p} \) и \ (\ vecs {q} \) — ортогональные векторы:
\ [\ begin {align *} \ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} & = ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17}, \ dfrac {2} {17}⟩ ⋅⟨ \ dfrac {134} {17}, — \ dfrac {54} {17}, — \ dfrac {53} {17}⟩ \\ [4pt] & = \ dfrac {268} {17} — \ dfrac { 162} {17} — \ dfrac {106} {17} = 0.\ end {align *} \]
Затем,
\ [\ vecs {v} = \ vecs {p} + \ vecs {q} = ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17}, \ dfrac {2} {17}⟩ + ⟨\ Dfrac {134} {17}, — \ dfrac {54} {17}, — \ dfrac {53} {17}⟩. \ nonumber \]
Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)
Выразите \ (\ vecs {v} = 5 \ mathbf {\ hat i} — \ mathbf {\ hat j} \) как сумму ортогональных векторов, один из которых имеет то же направление, что и \ (\ vecs { u} = 4 \ mathbf {\ hat i} +2 \ mathbf {\ hat j} \).
Подсказка
Начните с поиска проекции \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \).
Ответ
\ (\ vecs {v} = \ vecs {p} + \ vecs {q}, \), где \ (\ vecs {p} = \ dfrac {18} {5} \ mathbf {\ hat i} + \ dfrac {9} {5} \ mathbf {\ hat j} \) и \ (\ vecs {q} = \ dfrac {7} {5} \ mathbf {\ hat i} — \ dfrac {14} {5} \ mathbf {\ hat j} \)
Пример \ (\ PageIndex {9} \): Скалярная проекция скорости
Контейнеровоз покидает порт, двигаясь \ (15 ° \) к северу от востока. Его двигатель развивает скорость 20 узлов на этом пути (см. Следующий рисунок).Кроме того, океанское течение перемещает корабль на северо-восток со скоростью 2 узла. С учетом двигателя и течения, насколько быстро корабль движется в направлении \ (15 ° \) к северу от востока? Ответ округлите до двух десятичных знаков.
Решение
Пусть \ (\ vecs {v} \) будет вектором скорости, генерируемым двигателем, и пусть w будет вектором скорости течения. Мы уже знаем \ (‖ \ vecs {v} ‖ = 20 \) по желаемому маршруту. Нам просто нужно добавить скалярную проекцию \ (\ vecs {w} \) на \ (\ vecs {v} \).Получаем
\ [\ begin {align *} \ text {comp} _ \ vecs {v} \ vecs {w} = \ dfrac {\ vecs {v} ⋅ \ vecs {w}} {‖ \ vecs {v} ‖} \\ [4pt] = \ dfrac {‖ \ vecs {v} ‖‖ \ vecs {w} ‖ \ cos (30 °)} {‖ \ vecs {v} ‖} = ‖ \ vecs {w} ‖ \ cos ( 30 °) = 2 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} = \ sqrt {3} ≈1.73 \, \ text {knots.} \ End {align *} \]
Корабль движется со скоростью 21,73 узла в направлении \ (15 ° \) к северу от востока.
Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)
Повторите предыдущий пример, но предположим, что океанское течение движется на юго-восток, а не на северо-восток, как показано на следующем рисунке.
Подсказка
Вычислите скалярную проекцию \ (\ vecs {w} \) на \ (\ vecs {v} \).
Ответ
21 узел
Работа
Теперь, когда мы понимаем точечные произведения, мы можем увидеть, как применять их в реальных ситуациях. Наиболее распространенное применение скалярного произведения двух векторов — расчет работы.
Из физики мы знаем, что работа выполняется, когда объект перемещается силой.Когда сила постоянна и приложена в том же направлении, в котором движется объект, тогда мы определяем проделанную работу как произведение силы и расстояния, которое проходит объект: \ (W = Fd \). Мы видели несколько примеров этого типа в предыдущих главах. Теперь представьте, что направление силы отличается от направления движения, как в примере с ребенком, тянущим повозку. Чтобы найти проделанную работу, нам нужно умножить компонент силы, действующей в направлении движения, на величину смещения.Точечный продукт позволяет нам это делать. Если мы представим приложенную силу вектором \ (\ vecs {F} \), а смещение объекта вектором \ (\ vecs {s} \), тогда работа , выполненная силой , будет скалярным произведением из \ (\ vecs {F} \) и \ (\ vecs {s} \).
Определение: постоянная сила
Когда к объекту прикладывается постоянная сила, так что объект движется по прямой от точки \ (P \) к точке \ (Q \), работа \ (W \), совершаемая силой \ (\ vecs {F } \), действующий под углом θ от линии движения, равен
\ [W = \ vecs {F} ⋅ \ vecd {PQ} = ∥ \ vecs {F} ∥∥ \ vecd {PQ} ∥ \ cos θ.\]
Давайте вернемся к проблеме детской повозки, о которой говорилось ранее. Предположим, ребенок тянет тележку с силой в 8 фунтов на ручке под углом 55 ° . Если ребенок тянет повозку на 50 футов, найдите работу, выполняемую силой (Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)).
Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Горизонтальная составляющая силы — это проекция \ (\ vecs {F} \) на положительную ось \ (x \) .
У нас
\ [W = ∥ \ vecs {F} ∥∥ \ vecd {PQ} ∥ \ cos θ = 8 (50) (\ cos (55 °)) ≈229 \, \ text {ft⋅lb.} \ nonumber \]
В стандартных единицах США мы измеряем величину силы \ (∥ \ vecs {F} ∥ \) в фунтах. Величина вектора смещения \ (∥ \ vecd {PQ} ∥ \) говорит нам, как далеко переместился объект, и измеряется в футах. Таким образом, общепринятой единицей измерения работы является фут-фунт. Один фут-фунт — это объем работы, необходимый для перемещения объекта весом 1 фунт на расстояние 1 фут по вертикали. В метрической системе единицей измерения силы является ньютон (Н), а единицей измерения величины работы является ньютон-метр (Н · м) или джоуль (Дж).
Пример \ (\ PageIndex {10} \): расчет работы
Конвейерная лента создает силу \ (\ vecs {F} = 5 \ mathbf {\ hat i} −3 \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k} \), которая перемещает чемодан из точки \ ( (1,1,1) \) в точку \ ((9,4,7) \) по прямой. Найдите работу, проделанную конвейерной лентой. Расстояние измеряется в метрах, а сила — в ньютонах.
Решение
Вектор смещения \ (\ vecd {PQ} \) имеет начальную точку \ ((1,1,1) \) и конечную точку \ ((9,4,7) \):
\ [\ vecd {PQ} = ⟨9−1,4−1,7−1⟩ = ⟨8,3,6⟩ = 8 \ mathbf {\ hat i} +3 \ mathbf {\ hat j} +6 \ mathbf {\ hat k}.\ nonumber \]
Работа — это скалярное произведение силы и смещения:
\ [\ begin {align *} W & = \ vecs {F} ⋅ \ vecd {PQ} \\ [4pt] & = (5 \ mathbf {\ hat i} −3 \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k}) ⋅ (8 \ mathbf {\ hat i} +3 \ mathbf {\ hat j} +6 \ mathbf {\ hat k}) \\ [4pt] = 5 (8) + (- 3 ) (3) +1 (6) \\ [4pt] & = 37 \, \ text {N⋅m} \\ [4pt] & = 37 \, \ text {J} \ end {align *} \]
Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)
Постоянная сила 30 фунтов прикладывается под углом 60 °, чтобы тянуть ручную тележку на 10 футов по земле.Какую работу выполняет эта сила?
Подсказка
Используйте определение работы как скалярное произведение силы и расстояния.
Ответ
150 фут-фунтов
Дистанционное зондирование | Бесплатный полнотекстовый | Разрешение трехмерного движения поверхности с помощью InSAR: ограничения от объединения данных с несколькими геометриями
Слияние данных с несколькими геометрическими объектами InSAR направлено на объединение измерений LOS из двух или более независимых геометрий просмотра InSAR для получения вертикальных и горизонтальных компонентов наблюдаемого сигнала смещения .Слияние нескольких независимых анализов InSAR возможно, если измерения LOS доступны (i) в том же месте и (ii) в течение одного и того же периода времени. Для выполнения (i) необходима пространственная интерполяция, поскольку расположение выбранных пикселей InSAR обычно отличается в каждом анализируемом стеке изображений. Мы применяем метод кригинга [67] для интерполяции пиксельных измерений LOS на регулярную сетку в каждую эпоху. Интерполяция выполняется только в том случае, если определенное количество пикселей InSAR доступно в окрестностях данного местоположения интерполяции.Для выполнения (ii) требуется интерполяция по времени, поскольку даты получения изображения обычно различны для каждой геометрии просмотра. Однако, если известно (или предполагается), что установившееся движение происходит в течение всего периода наблюдения, линейные скорости смещения (скорости) могут использоваться для объединения данных с несколькими геометриями. В разделе 4 мы комбинируем скорости, которые являются результатом линейной регрессии временного ряда смещения в каждом пикселе сетки. Стандартное отклонение линейной регрессии указывает на соответствие линейной модели временному ряду смещения.Объединение скоростей LOS выполняется попиксельно на интерполированных узлах сетки. Этот подход также позволяет включать другие геодезические данные, если они доступны, такие как GNSS или нивелирные наблюдения [61,62]. Кроме того, можно объединить полученные с помощью InSAR измерения LOS от различных датчиков SAR и с разными рабочими частотами (диапазон X, диапазон C, диапазон L; см. Ссылку [68]). Мы применяем корректировку методом наименьших квадратов (LSA) к интерполированным скоростям LOS (вектор наблюдения y), вычисляя скорости в направлениях E, N и U (неизвестные параметры x):
(vasc1vasc2 ⋮ vdesc1vdesc2 ⋮) = (- sinθasc1cosαasc1sinθasc1sinαasc1cosθasc1 − sinθasc2cosαasc2sinθasc2sinαasc2cosθasc2 ⋮⋮⋮ −sinθdesc1cosαdesc1sinθdesc1sinθdesc1cosαdesc1sinθdesc1sinαc2desc1 sindesθdesc1sinαc2desc1cos
(3)
Из-за изменения угла падения θ в зависимости от диапазона значения в матрице A проектирования различаются для каждого пикселя.Направление спутника α можно рассматривать как постоянное значение для каждой геометрии, поскольку изменение α обычно находится в пределах 1 ° по всей длине изображения SAR и, следовательно, имеет незначительное влияние на значения в матрице A. Матрица отклонения Qyy равна используется для взвешивания LSA. Он состоит из неопределенностей скоростей LOS (σasc1, σdesc1, ⋯), возникающих в результате пространственной интерполяции и линейной регрессии временных рядов смещения LOS, выполненных независимо для каждой геометрии. Из-за разной точности смещений и скоростей, возникающих в результате пространственной интерполяции разнородных наборов данных и линейной регрессии во времени, каждый пиксель имеет свою собственную матрицу Qyy.Мы предполагаем отсутствие корреляции между скоростями LOS, полученными в результате независимого анализа InSAR, поэтому Qyy представляет собой диагональную матрицу, содержащую только дисперсии:
Qyy = (σasc120 ⋯ 00 ⋯ 0σasc22 ⋯ 00 ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋮⋮ 00 ⋯ σdesc120 ⋯ 00 ⋯ 0σdesc22 ⋯ ⋮⋮ ⋯ ⋮⋮ ⋱)
(4)
Обратите внимание, что количество строк в векторе наблюдения y и матрице плана A, а также количество строк и столбцов в матрице дисперсии-ковариации Qyy является переменным в зависимости от количества наблюдений, доступных в каждом узле сетки. Теоретически измерения в направлениях E, N и U могут быть оценены по восходящим и нисходящим измерениям LOS в каждом узле сетки, содержащем не менее трех наблюдений.Однако в этом случае АЛП можно выполнить только при наличии четырех или более наблюдений. Даже при применении этого метода к случаю, когда скорости LOS доступны из многих геометрий, компонент N все еще плохо ограничен. Чтобы проиллюстрировать эту проблему с фактическими значениями, матрица проекта A для базы данных Envisat SAR, используемая в Разделе 4, выглядит следующим образом:
А = (- 0,32-0,080,95-0,47-0,130,88-0,54-0,150,83-0,66-0,210,720,31-0,080,950,38-0,100,920,54-0,150,83)
(5)
Матрица состоит из семи строк для семи независимых геометрий просмотра, но близка к сингулярности и приведет к неточным оценкам при решении системы уравнений наименьших квадратов с зашумленными входными данными.Число обусловленности матрицы (cond) является мерой чувствительности решения системы линейных уравнений к ошибкам в данных. Он дает представление о точности результатов обращения матрицы и решения линейного уравнения. Линейная система, для которой cond ( A ) близко к 1, считается хорошо подготовленной; линейная система, для которой cond ( A ) >> 1 считается плохо обусловленной (см. [69], с. 281). Число обусловленности неквадратной матрицы плана A может быть получено как отношение максимального и минимального значений разложения по сингулярным числам (svd) A :
cond (A) = max (svd (A)) min (svd (A))
(6)
Для случая оценки всех трех компонентов с использованием матрицы плана в уравнении (5), cond (A) дает значение 19.1. Это означает, что относительная ошибка решения может почти в 20 раз превышать относительную ошибку данных.
Моделирование, выполненное в разделе 3, в общих чертах основано на случае реальных данных, описанном в разделе 4. Мы также проводим моделирование того, лучше ли полностью исключить компонент N из уравнения (3) и решить только компоненты скорости E и U. В случае пренебрежения компонентом N из системы линейных уравнений второй столбец матрицы A стирается.Тогда число обусловленности A равно 1,9 для примера, приведенного в уравнении (5), что доказывает, что линейная система гораздо лучше обусловлена (в 10 раз) по сравнению со случаем, когда оцениваются все три компонента. Когда компонент N опущен, уравнение (3) может быть решено, когда данные скорости доступны только для одной восходящей и одной нисходящей геометрии, что является обычным сценарием наблюдения для исследований InSAR:
(vascvdesc) = (- sinθasccosαasccosθasc − sinθdesccosαdesccosθdesc) (vEvU)
(7)
Моделирование предположений в механике
Моделирование в механике
Практически во всех задачах механики необходимо делать некоторые допущения при моделировании, чтобы упростить задачи до такой степени, чтобы их можно было проанализировать.Здесь мы рассмотрим две наиболее распространенные модели, которые используются в контексте проблемы Модельных решений — постоянное ускорение свободного падения и пренебрежение сопротивлением воздуха — и посмотрите, как они влияют на достоверность анализа.
Некоторые математические аспекты здесь весьма сложны (потребуются знания векторной нотации и того, как решать линейные дифференциальные уравнения второго порядка), а также часто довольно длинные — это намеренно оставлено так, однако, чтобы продемонстрировать важность предположений моделирования, которые играют в упрощение математического анализа даже кажущихся простых физических ситуаций.{-2} $. Как это может быть правдой?
Предположение исходит из состава разделительного члена $ r $ для тел в гравитационном поле Земли. Для объекта, находящегося на высоте $ h $ над поверхностью Земли, $ r = h + R_E $, где $ R_E $ — радиус Земли (приблизительно 6738 км). Однако в общем случае $ h \ ll R_E $ и, следовательно, допустимо предположить, что $ r \ приблизительно R_E $ с хорошей степенью точности (например, даже для $ h = 10 \ textrm {km} $, крейсерская высота реактивного авиалайнера, ошибка ускорения, связанная с предположением, что $ r = R_E $ меньше 0.{-2} $ возникает из-за изменения радиуса Земли в зависимости от широты из-за ее несферической формы, при этом стандартизованное значение использует немного другое значение $ R_E $, чем указанное).
Чтобы показать, как допущение постоянного $ g $ влияет на анализ движения объектов, мы рассмотрим движение толкателя ядра из задачи Model Solutions с допущением и без него. А пока мы сделаем дальнейшие предположения о моделировании точечной массы без сопротивления воздуха, чтобы упростить (относительно!) Вещи.
Пусть выстрел проецируется с начальной скоростью $ \ textbf {v} (0) = p \ textbf {i} + q \ textbf {j} $
Случай 1: Константа g
Согласно аргументам симметрии, выстрел займет столько же времени, чтобы пройти от точки запуска до вершины траектории, как и от вершины до момента, когда он снова окажется на одном уровне с точкой, из которой был запущен. В вершине он будет иметь мгновенную вертикальную скорость $ v = 0 $ и время, необходимое для достижения этой точки $ \ frac {1} {2} T $. $ u $, $ v $ и $ a $ известны, и требуется $ t $, поэтому используйте постоянное ускорение формула $ v = u + at $.
$$ \ Rightarrow 0 = q + (-g) \ frac {1} {2} T $$
Следовательно, время, необходимое для возврата на ту же высоту, что и точка запуска, равно $ T = \ frac {2q} {g} $.
На всем протяжении полета на выстрел не действует чистая горизонтальная сила, поэтому его горизонтальная скорость остается постоянной на уровне $ p $. Таким образом, горизонтальная дальность выстрела $ d $ составляет:
. 2} $ $
Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем применить итеративно, чтобы вычислить, как $ r $ изменяется с $ t $ при двух начальных значениях, поэтому, чтобы найти диапазон, мы продолжаем итерацию, пока объект не вернется на свою начальную высоту.Хотя, конечно, это можно было бы сделать вручную, это потребовало бы чрезвычайно много времени и было бы подвержено человеческим ошибкам, поскольку, вероятно, потребуются тысячи итераций. Такая задача однако идеально подходит для выполнения на компьютере, и именно так были получены цифры, которые будут использоваться для сравнения ниже. Хотя это не имеет прямого отношения к статье для тех, кто интересуется, как это можно сделать, ниже приведен пример на Python.
Код Python:
# Константы G = 6.673e-11 М = 5.9742e + 24 R = 6,378e + 06 dt = 0,001 # Функция для расчета диапазона частицы с учетом начального # скорость v = pi + qj при постоянной гравитации def calcRangeConst (p, q): g = (G * M) / (R * R) возврат 2 * p * q / g # Функция для расчета диапазона частицы с учетом начального # скорость v = pi + qj при переменной гравитации def calcRangeVar (p, q): т = дт hp = R h = hp + q * dt + 0,5 * (- (G * M) / (R * R)) * dt * dt пока h> = R: темп = ч а = - (G * M) / (h * h) ч = 2 * ч - лс + а * дт * дт hp = temp т + = дт вернуть т * р
Сравнение результатов
Установив методы расчета дальности проецирования частицы как при переменном, так и при постоянном гравитационном ускорении, мы можем теперь определить эффект, который имеет предположение о постоянном гравитационном ускорении.{-1}} долларов США Диапазон $ / \ mathrm {m} $ Разница в процентах Горизонтальный Вертикальный Переменная сила тяжести Постоянная сила тяжести 2,0 2,0 0,8180 0,8163 -0,206% 2,0 4,0 1,6340 1,6326 -0,084% 2,0 6,0 2.4500 2.4489 -0,043% 2,0 8,0 3,2660 3,2653 -0,023% 2,0 10,0 4,0820 4,0816 -0,010% 4,0 2,0 1,6360 1,6326 -0,206% 4,0 4,0 3,2680 3,2653 -0,084% 4.0 6,0 4,9000 4,8979 -0,043% 4,0 8,0 6.5320 6.5305 -0,023% 4,0 10,0 8,1640 8,1632 -0,010% 6,0 2,0 2.4540 2,4489 -0,206% 6,0 4,0 4,9020 4.8979 -0,084% 6,0 6,0 7.3500 7,3468 -0,043% 6,0 8,0 9,7980 9,7958 -0,023% 6,0 10,0 12,2460 12,2447 -0,010% 8,0 2,0 3,2720 3,2653 -0,206% 8.0 4,0 6.5360 6.5305 -0,084% 8,0 6,0 9,8000 9,7958 -0,043% 8,0 8,0 13.0640 13.0611 -0,023% 8,0 10,0 16,3280 16,3263 -0,010% 10,0 2,0 4.0900 4.0816 -0,206% 10,0 4,0 8,1700 8,1632 -0,084% 10,0 6,0 12,2500 12,2447 -0,043% 10,0 8,0 16.3300 16,3263 -0,023% 10,0 10,0 20,4100 20,4079 -0,010%
Судя по незначительному изменению гравитационного ускорения даже при очень большой разнице высот, эффект моделирования силы тяжести как постоянной практически не влияет на дальность действия.Резкость увеличивается с увеличением скорости вертикального проецирования (при этом скорость горизонтального проецирования не оказывает никакого влияния, как можно было бы ожидать), но даже при довольно значительных скоростях процентная разница составляет крошечный. Поэтому кажется справедливым сказать, что практически во всех случаях можно моделировать движение снаряда как находящееся под постоянной гравитацией. Ошибка, вносимая в результаты, практически наверняка будет незначительной по сравнению с ошибками, внесенными другими необходимыми допущениями моделирования. Не менее важным моментом является то, что из вышеизложенного видно, что эта модель упрощает ассортимент. массовые расчеты, без этого предположения аналитическое решение задачи вообще невозможно.
Включая воздушное сопротивление
Пренебрежение сопротивлением воздуха является довольно важным допущением при моделировании, поскольку эффекты сопротивления могут иметь значительное влияние на траекторию объекта. Однако точно учесть влияние сопротивления воздуха очень сложно, поскольку оно имеет сложную зависимость от скорости объекта и свойств жидкости, через которую он движется, с помощью только численных, а не аналитических. возможные решения.
Для низкоскоростного движения в жидкости, такой как воздух, можно использовать очень простую модель сопротивления воздуха, в которой величина силы сопротивления пропорциональна относительной скорости между объектом и жидкостью и всегда направлена против движения, чтобы дать общее указание на его эффекты.Это называется сопротивлением Стокса, и соответствующий уравнение:
$$ \ mathbf {F_ {drag}} = — b \ mathbf {v} \ ,, $$
, где $ \ mathbf {F_ {drag}} $ — сила сопротивления, испытываемая объектом, движущимся со скоростью $ \ mathbf {v} $ относительно жидкости, через которую он движется. Константа пропорциональности $ b $ зависит от вязкости жидкости и геометрии объекта.
Как правило, сопротивление воздуха уменьшает как горизонтальный диапазон, так и время нахождения в воздухе толкания ядра, при этом уровень эффекта зависит от значения константы пропорциональности $ b $.Ниже приведены уравнения движения толкателя ядра, выполняемого как с учетом сопротивления воздуха, так и без него, чтобы продемонстрировать это.
Как и раньше, пусть выстрел проецируется с начальной скоростью $ \ textbf {v} (0) = p \ textbf {i} + q \ textbf {j} $ из позиции $ \ mathbf {r} (0) = 0 \ mathbf {i} + 0 \ mathbf {j}
долларов
Случай 1: Нет сопротивления воздуха
Применение второго закона Ньютона к выстрелу в вертикальном направлении:
$$ m \ ddot {y} = -mg \ Rightarrow \ ddot {y} = -g $$
Двойное интегрирование по времени:
$$ \ dot {y} = -gt + A $$ $$ \ ddot {y} = — \ frac {1} {2} gt ^ 2 + At + B $$
Применение начальных условий для нахождения констант:
$$ y (0) = 0 \ Rightarrow 0 = -g (0) + A \ Rightarrow A = 0 $$ $$ \ dot {y} (q) = \ frac {1} {2} g (0) + A (0) + B \ Rightarrow B = q $$ $$ \, следовательно, y = qt — \ frac {1} {2} gt ^ 2 $$
На выстрел не действуют силы в горизонтальном направлении, поэтому нет горизонтального ускорения.2 = 0 \ Rightarrow T = \ frac {2q} {g} $$
Подставляя это в уравнение для горизонтального движения, дайте диапазон:
$$ D = pT = \ frac {2pq} {g} $$
Случай 2: Включая сопротивление воздуха
Применение второго закона Ньютона к толканию ядра в вертикальном направлении:
$$ m \ ddot {y} = -mg — b \ dot {y} \ Rightarrow \ ddot {y} + \ frac {b} {m} \ dot {y} = -g $$
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно $ y $, которое может быть решено с использованием метода дополнительных функций / частных интегралов.2} \ frac {qb} {mg + qb}} \ right) \\ T & = \ frac {3m} {2b} \ left (1 \ pm \ sqrt {1 — \ frac {8qb} {3 (mg + qb)}} \ right) \\ T & = \ frac {3m} {2b} \ left (1 \ pm \ sqrt {\ frac {3mg — 5qb} {3mg + 3qb}} \ right) \ end {align * } $$
Только нижний из этих корней является допустимым приближением (при увеличении $ T $ приближение ряда отклоняется от фактического результата), то есть
$$ T = \ frac {3m} {2b} \ left (1 — \ sqrt {\ frac {3mg — 5qb} {3mg + 3qb}} \ right) $$
Чтобы определить дальность полета снаряда $ D $, это значение времени необходимо подставить в уравнение для горизонтальной координаты, что дает горизонтальное расстояние, пройденное в точке, где он возвращается на землю:
$$ D = \ frac {mp} {b} \ left (1 — e ^ {- \ frac {b} {m} T} \ right) $$
Сравнение результатов
Что сразу бросается в глаза, так это то, что анализ без сопротивления воздуха намного короче, чем при его включении!
В таблице ниже приведены расчетные дальности полета снаряда с различными начальными скоростями с использованием приведенных выше уравнений.{-1}} долларов США Диапазон $ / \ mathrm {m} $ Горизонтальный Вертикальный Нет сопротивления Низкое сопротивление Высокое сопротивление 2,0 2,0 0,82 0,80 (1,3%) 0,77 (5,1%) 2,0 5,0 2,04 1,97 (3,3%) 1,80 (11,9%) 2,0 10,0 4,08 3.82 (6,3%) 3,22 (20,9%) 2,0 20,0 8,15 7,19 (11,9%) 5,44 (33,3%) 5,0 2,0 2,04 2,01 (1,3%) 1,93 (5,1%) 5,0 5,0 5,10 4,93 (3,3%) 4,49 (11,9%) 5,0 10,0 10,19 9,55 (6,3%) 8.06 (20,9%) 5,0 20,0 20,39 17,97 (11,9%) 13,59 (33,3%) 10,0 2,0 4,08 4,02 (1,3%) 3,87 (5,1%) 10,0 5,0 10,19 9,86 (3,3%) 8,99 (11,9%) 10,0 10,0 20,39 19,10 (6,3%) 16,12 (20.9%) 10,0 20,0 40,77 35,94 (11,9%) 27,18 (33,3%) 20,0 2,0 8,15 8,05 (1,3%) 7,74 (5,1%) 20,0 5,0 20,39 19,72 (3,3%) 17,97 (11,9%) 20,0 10,0 40,77 38,19 (6,3%) 32,24 (20.9%) 20,0 20,0 81,55 71,88 (11,9%) 54,36 (33,3%)
Как и следовало ожидать, с увеличением начальной скорости снаряда увеличивается и расхождение между результатами с учетом эффекта сопротивления и без него. Уменьшенный диапазон при более высоких значениях $ \ frac {b} {m} $ также соответствует повседневному опыту: чем более вязкая жидкость проходит через (что соответствует более высокому значению $ b $) и чем меньше масса снаряда, тем больше эффект сопротивления — например, мяч для гольфа движется по воздуху (низкий $ \ frac {b} {m} $) по сравнению с мячом для настольного тенниса, движущимся по воде (высокий $ \ frac {b} {m} $).
Хотя использованная здесь модель сопротивления была чрезмерным упрощением реальности, она все же дает достаточно доказательств, чтобы показать, что пренебрежение эффектами сопротивления / сопротивления воздуха при моделировании движения снаряда оказывает очень значительное влияние на результаты, полученные даже при относительно низких скоростях. Однако, наоборот, можно видеть, что даже с такой упрощенной моделью сопротивления воздуха математика участие в моделировании движения снаряда быстро становится очень сложным и требует много времени. Методы, необходимые для более точного моделирования эффектов сопротивления, еще более сложны на несколько порядков, и даже они дают только приближение для идеализированных ситуаций.
Этот конфликт между точностью и сложностью очевиден почти во всех моделях, обратная связь между ними означает, что необходимо идти на компромисс между желаемой точностью результатов и временем и усилиями, доступными для их получения. Поэтому всегда важно учитывать влияние любых допущений моделирования в контексте предполагаемого конечного использования анализа и помните о любых возможных расхождениях в результатах при их использовании.

Проекция (скорость, угол и высота) Калькулятор
Вычисляет начальную скорость, начальный угол и максимальную высоту проекции, исходя из продолжительности полета и пройденного расстояния.2} {8}} \\\)
Проекция (скорость, угол и высота)
[1-10] / 13 Disp-Num5103050100200
[ ] 2020/10/07 07:34 Мужской / До 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирант / Полезно /
Цель использования
Проект
Комментарий / запрос
Я подумал, что это было полезно для проекта Я делал. Спасибо.
[2] 2018/07/31 09:52 Женский / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Немного /
Назначение
Назначение
Комментарий / Запрос
Следует включить КАК это сделать
[3] 2017/11/29 02:57 Мужчина / Уровень 40 лет / Учитель / Исследователь / Полезно /
Цель использования
Расчет начальной скорости и угла запуска для футбольный игрок из игрового фильма, который поможет точно настроить тренировочные цели.Подтверждено первоначальное предположение, что мяч был нанесен ударом под слишком большим углом запуска и терял потенциальную дистанцию.
[4] 2017/08/23 23:57 Мужчина / Уровень 20 лет / Офисный работник / Государственный служащий / Полезный /
Цель использования
Попытка продемонстрировать, насколько плоха идея, прыгающая достаточно высоко, чтобы земля шесть секунд спустя.
Комментарий / запрос
Было бы полезно включить лобовое сопротивление или сопротивление воздуха.
[5] 2016/01/04 14:34 Мужской / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /
Комментарий / Запрос
где 8 в знаменателе роста уравнение взято из? Кроме того, очень полезно с хорошими уравнениями.
из Кейсана
Мы добавили еще одну формулу в h.
[6] 2015/08/19 03:39 Мужской / 40-летний уровень / Самозанятые / Не совсем /
Цель использования
Тестовые расчеты в реальном мире
Комментарий / запрос
Это совершенно не так.
Бейсбольный мяч, пораженный на скорости 103 миль в час на высоте 28,3 * над горизонтом, пройдет около 403 футов со средней высотой вершины 91 фут.
Ваши уравнения верны, но не применяются должным образом.Хороший источник сравнения — hittrackeronline.com. Даже учитывая соотношение между влажностью, температурой, вращением мяча и т. Д., Вы даже близко не приблизитесь. Пример ошибки: вы не можете ударить бейсбольный мяч со скоростью 45 миль в час на скорости 70 * и ожидать, что он пролетит 450 футов.
[7] 2015/01/30 12:46 Мужской / До 20 лет / Другое / Полезно /
Цель использования
Для расчета среднего расстояния по отношению к положению
[8] 2015 / 01/14 10:43 Женский / Уровень 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирантка / Очень /
Цель использования
Физическая задача
[9] 2014/12/03 00:09 Женский / Уровень 20 лет / Учитель / Исследователь / Немного /
Цель использования
проверка ответов
[10] 24.