Минус логарифм: График функции y = x-log(x)

Натуральный логарифм минус 1. Что такое логарифм

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.

Если , то .

Логарифм — крайне важная математическая величина , поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.

Вконтакте

Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что означает, что:

Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.

Приведем некоторые тождества:

Приведем основные алгебраические выражения:

;

.

Внимание! может существовать только при x>0, x≠1, y>0.

Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике

представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.

Обозначения:

• lg x — десятичный;
• ln x — натуральный.

Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.

График натурального логарифма

Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.

Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:

Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:

Для удобства мы можем взять пять опорных точек:

;

;

.

;

.

Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.

Построив по точкам график, получаем приблизительный график:

Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.

Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма .

Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале .

Предел натурального log

Изучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y

Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х

Предел натурального log можно записать таким образом:

Формула замены основания логарифма

Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.

Начнем с логарифмического тождества:

Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:

где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).

Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:

Воспользуемся свойством (только вместо «с» у нас выражение):

Отсюда получаем универсальную формулу:

.

В частности, если z=e, то тогда:

.

Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.

Решаем задачи

Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.

Задача 1 . Необходимо решить уравнение ln x = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:

Задача 2 . Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:

.

Еще раз применим определение логарифма:

.

Таким образом:

.

Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.

Задача 3. Решите уравнение .

Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:

.

Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

Первый корень уравнения:

.

Второй корень уравнения:

.

Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:

В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.

В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти N понадобится битов.

В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.

В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.

В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.

Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.

Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства

Доказательство основного свойства натурального логарифма

1.1. Определение степени для целого показателя степени

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N раз

1.2. Нулевая степень.

По определению принято считать, что нулевая степень любого числа равна 1:

1.3. Отрицательная степень.

X -N = 1/X N

1.4. Дробная степень, корень.

X 1/N = корень степени N из Х.

Например: X 1/2 = √X.

1.5. Формула сложения степеней.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Формула вычитания степеней.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Формула умножения степеней.

X N*M = (X N) M

1.8. Формула возведения дроби в степень.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Число e.

Значение числа e равно следующему пределу:

E = lim(1+1/N), при N → ∞.

С точностью 17 знаков число e равно 2.71828182845904512.

3. Равенство Эйлера.

Это равенство связывает пять чисел, играющих особую роль в математике: 0, 1, число e, число пи, мнимую единицу.

E (i*пи) + 1 = 0

4. Экспоненциальная функция exp (x)

exp(x) = e x

5. Производная экспоненциальной функции

Экспоненциальная функция обладает замечательным свойством: производная функции равна самой экспоненциальной функции:

(exp(x))» = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Определение функции логарифм

Если x = b y , то логарифмом называется функция

Y = Log b (x).

Логарифм показывает в какую степень надо возвести число — основание логарифма (b), чтобы получить заданное число (X). Функция логарифм определена для X больше нуля.

Например: Log 10 (100) = 2.

6.2. Десятичный логарифм

Это логарифм по основанию 10:

Y = Log 10 (x) .

Обозначается Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Пример использования десятичного логарифма — децибел .

6.3. Децибел

Пункт выделен в отдельную страницу Децибел

6.4. Двоичный логарифм

Это логарифм по основанию 2:

Y = Log 2 (x).

Обозначается Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натуральный логарифм

Это логарифм по основанию e:

Y = Log e (x) .

Обозначается Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Натуральный логарифм — обратная функция к экспоненциальной функции exp (X).

6.6. Характерные точки

Log a (1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Формула логарифма произведения

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Формула логарифма частного

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Формула логарифма степени

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Формула преобразования к логарифму с другим основанием

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Пример:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формулы полезные в жизни

Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача — пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича .

Разрешается использовать материалы сайта при условии установки активной ссылки на источник.

Совсем неплохо, правда? Пока математики подбирают слова, чтобы дать вам длинное путанное определение, давайте поближе посмотрим на это простое и ясное.

Число e означает рост

Число e означает непрерывный рост. Как мы видели в прошлом примере, e x позволяет нам увязать процент и время: 3 года при росте 100% есть то же самое, что и 1 год при 300%, при условии «сложных процентов».

Можно подставлять любые значения процента и времени (50% на протяжении 4 лет), но лучше задать процент как 100% для удобства (получается 100% на протяжении 2 лет). За счёт перехода к 100% мы можем сфокусироваться исключительно на компоненте времени:

e x = e процент * время = e 1.0 * время = e время

Очевидно, что e x означает:

• насколько вырастет мой вклад через x единиц времени (при условии 100%-го непрерывного роста).
• например, через 3 промежутка времени я получу в e 3 = 20.08 раз больше «штуковин».

e x — это масштабирующий коэффициент, показывающий, до какого уровня мы вырастем за x отрезков времени.

Натуральный логарифм означает время

Натуральный логарифм — это инверсия числа e, такой причудливый термин для обозначения противоположности. Кстати, о причудах; по латыни он называется logarithmus naturali , отсюда и появилась аббревиатура ln.

И что эта инверсия или противоположность означает?

• e x позволяет нам подставить время и получить рост.
• ln(x) позволяет нам взять рост или доход и узнать время, необходимое для его получения.

Например:

• e 3 равняется 20.08. Через три отрезка времени у нас будет в 20.08 раз больше того, с чего мы начали.
• ln(20.08) будет примерно 3. Если вас интересует рост в 20.08 раз, вам понадобится 3 промежутка времени (опять же, при условии стопроцентного непрерывного роста).

Всё ещё читаете? Натуральный логарифм показывает время, нужное, чтобы достичь желаемого уровня.

Этот нестандартный логарифмический счёт

Вы проходили логарифмы — это странные существа. Как им удалось превратить умножение в сложение? А деление в вычитание? Давайте посмотрим.

Чему равняется ln(1)? Интуитивно понятно, что вопрос стоит так: сколько нужно ждать, чтобы получить в 1 раз больше того, что у меня есть?

Ноль. Нуль. Нисколько. У вас уже это есть единожды. Не требуется нисколько времени, чтобы от уровня 1 дорости до уровня 1.

Хорошо, что насчёт дробного значения? Через сколько у нас останется 1/2 от имеющегося количества? Мы знаем, что при стопроцентном непрерывном росте ln(2) означает время, необходимое для удвоения. Если мы обратим время вспять (т.е. подождём отрицательное количество времени), то получим половину от того, что имеем.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Логично, правда? Если мы вернёмся назад (время вспять) на 0.693 секунды, то обнаружим половину имеющегося количества. Вообще можно переворачивать дробь и брать отрицательное значение: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Это означает, что, если мы вернёмся в прошлое на 1.09 отрезков времени, то обнаружим только треть от нынешнего числа.

Ладно, а как насчёт логарифма отрицательного числа? Сколько времени нужно, чтобы «вырастить» колонию бактерий от 1 до -3?

Это невозможно! Нельзя получить отрицательное число бактерий, не так ли? Вы можете получить максимум (эээ… минимум) нуль, но вам никак не получить отрицательное число этих маленьких тварей. В отрицательном числе бактерий просто нет смысла.

• ln(отрицательное число) = неопределено

«Неопределено» означает, что нет такого промежутка времени, который надо было бы прождать, чтобы получить отрицательное значение.

Логарифмическое умножение — просто умора

Сколько времени займёт четырёхкратный рост? Конечно, можно просто взять ln(4). Но это слишком просто, мы пойдём другим путём.

Можно представить четырёхкратный рост как удвоение (требующее ln(2) единиц времени) и затем снова удвоение (требующее ещё ln(2) единиц времени):

• Время на 4х рост = ln(4) = Время на удвоится и затем ещё раз удвоится = ln(2) + ln(2)

Интересно. Любой показатель роста, скажем, 20, можно рассматривать как удвоение сразу после 10-кратного увеличения. Или роста в 4 раза, и затем в 5 раз. Либо же утроение и затем увеличение в 6.666 раз. Видите закономерность?

Логарифм от A, умноженного на B, есть log(A) + log(B). Это отношение сразу обретает смысл, если оперировать в терминах роста.

Если вас интересует 30-кратный рост, вы можете подождать ln(30) за один присест, либо же подождать ln(3) Для утроения, и затем ещё ln(10) для удесятирения. Конечный результат тот же самый, так что конечно время должно оставаться постоянным (и остаётся).

Что на счёт деления? В частности, ln(5/3) означает: сколько времени понадобится для того, чтобы вырасти в 5 раз, и затем получить 1/3 от этого?

Отлично, рост в 5 раз есть ln(5). Рост в 1/3 раза займёт -ln(3) единиц времени. Итак,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Сие означает: дайте вырасти в 5 раз, и затем «вернитесь во времени» к той отметке, где останется всего треть от того количества, так что у вас получится 5/3 рост. В общем получается

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я надеюсь, что странная арифметика логарифмов начинает обретать для вас смысл: умножение показателей роста становится сложением единиц времени роста, а деление превращается в вычитание единиц времени. Не надо запоминать правила, попробуйте осознать их.

Использование натурального логарифма при произвольном росте

Ну конечно, — скажете вы, — это всё хорошо, если рост 100%-ный, а что в случае 5%, которые я получаю?»

Нет проблем. «Время», которое мы рассчитываем с помощью ln(), на самом деле является комбинацией процентной ставки и времени, тот самый Х из уравнения e x . Мы всего лишь решили задать процент как 100% для простоты, но мы вольны использовать любые числа.

Допустим, мы хотим достичь 30-кратного роста: берём ln(30) и получаем 3.4 Это означает:

Очевидно, это уравнение означает «100%-ная доходность на протяжении 3.4 лет даёт рост в 30 раз». Мы можем записать это уравнение в таком виде:

• e x = e ставка*время
• e 100% * 3.4 года = 30

Мы можем менять значения «ставки» и «времени», лишь бы ставка * время оставалось 3.4. Например, если нас интересует 30-кратный рост — сколько нам придётся ждать при процентной ставке 5%?

• ln(30) = 3.4
• ставка * время = 3.4
• 0.05 * время = 3.4
• время = 3.4 / 0.05 = 68 лет

Я рассуждаю так: «ln(30) = 3.4, значит, при 100%-ном росте это займёт 3.4 года. Если я удвою скорость роста, необходимое время уменьшится вдвое».

• 100% за 3.4 года = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% за 1.7 года = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% за 6.8 года = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% за 68 года = .05 * 68 = 3.4 .

Здорово, правда? Натуральный логарифм может использоваться с любыми значениями процентной ставки и времени, поскольку их произведение остаётся постоянным. Можете перемещать значения переменных сколько душе угодно.

Отпадный пример: Правило семидесяти двух

Правило семидесяти двух — математический приём, позволяющий оценить, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Сейчас мы его выведем (да!), и более того, мы попробуем уяснить его суть.

Сколько времени понадобится, чтобы удвоить ваши деньги при 100% ставке, нарастающей ежегодно?

Оп-па. Мы использовали натуральный логарифм для случая с непрерывным ростом, а теперь ты ведёшь речь о ежегодном начислении? Не станет ли это формула непригодной для такого случая? Да, станет, однако для реальных процентных ставок вроде 5%, 6% или даже 15%, разница между ежегодным начислением процентов и непрерывным ростом будет невелика. Так что грубая оценка работает, мм, грубо, так что мы сделаем вид, что у нас полностью непрерывное начисление.

Теперь вопрос прост: Как быстро можно удвоиться при 100%-ном росте? ln(2) = 0.693. Нужно 0.693 единиц времени (лет — в нашем случае), чтобы удвоить нашу сумму с непрерывным ростом 100%.

Так, а что если процентная ставка — не 100%, а скажем, 5% или 10%?

Легко! Поскольку ставка * время = 0.693, мы удвоим сумму:

• ставка * время = 0.693
• время = 0.693 / ставка

Получается, если рост 10%-ный, это займёт 0.693 / 0.10 = 6.93 лет на удвоение.

Чтобы упростить вычисления, давайте домножим обе части на 100, тогда можно будет говорить «10», а не «0.10»:

• время на удвоение = 69.3 / ставка, где ставка выражена в процентах.

Теперь черёд удваиваться при ставке 5%, 69.3 / 5 = 13.86 лет. Однако 69.3 — не самое удобное делимое. Давайте выберем близкое число, 72, которое удобно делить на 2, 3, 4, 6, 8 и другие числа.

• время на удвоение = 72 / ставка

что и является правилом семидесяти двух. Всё шито-крыто.

Если вам нужно найти время для утроения, можете использовать ln(3) ~ 109.8 и получить

• время на утроение = 110 / ставка

Что является ещё одним полезным правилом. «Правило 72» применимо росту по процентным ставкам, росту населения, культур бактерий, и всего, что растёт экспоненциально.

Что дальше?

Надеюсь, натуральный логарифм теперь приобрёл для вас смысл — он показывает время, необходимое для роста любого числа при экспоненциальном росте. Я думаю, натуральным он называется потому, что e — универсальная мера роста, так что ln можно считать универсальным способом определения, сколько времени нужно для роста.

Каждый раз, когда вы видите ln(x), вспоминайте «время, нужное, чтобы вырасти в Х раз». В предстоящей статье я опишу e и ln в связке, так что свежий аромат математики заполнит воздух.

Дополнение: Натуральный логарифм от e

Быстрая викторина: сколько будет ln(e)?

• математический робот скажет: поскольку они определены как инверсия одна другой, очевидно, что ln(e) = 1.
• понимающий человек: ln(e) это число времени, чтобы вырасти в «е» раз (около 2.718). Однако число e само по себе является мерой роста в 1 раз, так что ln(e) = 1.

Мыслите ясно.

9 сентября 2013

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6 , поскольку 2 6 = 64 .

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5 . Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1 , т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log 5 25

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Составим и решим уравнение:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

Задача. Вычислите логарифм: log 4 64

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log 16 1

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log 7 14

1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1
2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
3. Ответ — без изменений: log 7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log 10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459…

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Это может быть, например, калькулятор из базового набора программ операционной системы Windows. Ссылка на его запуск упрятана довольно в главное меню ОС — раскройте его щелчком по кнопке «Пуск», затем откройте его раздел «Программы», перейдите в подраздел «Стандартные», а затем в секцию «Служебные» и, наконец, щелкните пункт «Калькулятор». Можно вместо мыши и перемещений по меню использовать клавиатуру и диалог запуска программ — нажмите сочетание клавиш WIN + R, наберите calc (это имя исполняемого файла калькулятора) и нажмите клавишу Enter.

Переключите интерфейс калькулятора в расширенный режим, позволяющий осуществлять . По умолчанию он открывается в «обычном» виде, а вам нужен «инженерный» или « » (в зависимости от версии используемой ОС). Раскройте в меню раздел «Вид» и выберите соответствующую строку.

Введите аргумент, натуральный которого нужно вычислить. Это можно сделать как с клавиатуры, так и щелкая мышкой соответствующие кнопки в интерфейсе калькулятора на экране.

Кликните кнопку с надписью ln — программа рассчитает логарифма по основанию e и покажет результат.

Воспользуйтесь каким-либо из -калькуляторов в качестве альтернативного вычисления значения натурального логарифма. Например, тем, который размещен по адресу http://calc.org.ua . Его интерфейс предельно прост — есть единственное поле ввода, куда вам надо впечатать значение числа, логарифм от которого надо вычислить. Среди кнопок найдите и щелкните ту, на которой написано ln. Скрипт этого калькулятора не требует отправки данных на сервер и ответа, поэтому результат вычисления вы получите практически мгновенно. Единственная особенность, которую следует учитывать — разделителем между дробной и целой частью вводимого числа здесь обязательно должна быть точка, а не .

Термин «логарифм » произошел от двух греческих слов, одно из которых обозначает «число», а другое — «отношение». Им обозначают математическую операцию вычисления переменной величины (показателя степени), в которую надо возвести постоянное значение (основание), чтобы получить число, указанное под знаком логарифм а. Если основание равно математической константе, называемое числом «e», то логарифм называют «натуральным».

Вам понадобится

• Доступ в интернет, Microsoft Office Excel или калькулятор.

Инструкция

Воспользуйтесь во множестве представленными в интернете -калькуляторами — это, пожалуй, и простой способ вычисления натурального а. Поиском соответствующего сервиса вам заниматься не придется, так как многие поисковые системы и сами имеют встроенные калькуляторы, вполне пригодные для работы с логарифм ами. Например, перейдите на главную страницу самого крупного сетевого поисковика — Google. Никаких кнопок для ввода значений и выбора функций здесь не потребуется, просто наберите в поле ввода запроса нужное математическое действие. Скажем, для вычисления логарифм а числа 457 по основанию «e» введите ln 457 — этого будет вполне достаточно, чтобы Google отобразил с точностью до восьми знаков после запятой (6,12468339) даже без нажатия кнопки отправки запроса на сервер.

Используйте соответствующую встроенную функцию, если необходимость вычисления значения натурального логарифм а возникает при работе с данными в популярном табличном редакторе Microsoft Office Excel. Эта функция здесь вызывается с использованием общепринятого обозначения такого логарифм а в верхнем регистре — LN. Выделите ячейку, в которой должен быть отображен результат вычисления, и введите знак равенства — так в этом табличном редакторе должны начинаться записи в ячейках, содержащих в подразделе «Стандартные» раздела «Все программы» главного меню. Переключите калькулятор в более функциональный режим, нажав сочетание клавиш Alt + 2. Затем введите значение, натуральный логарифм которого требуется вычислить, и кликните в интерфейсе программы кнопку, обозначенную символами ln. Приложение произведет вычисление и отобразит результат.

Видео по теме

Натуральный логарифм, функция ln x

Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.

Определение

Натуральный логарифм

– это функция   y = ln x, обратная к экспоненте, x = e ^y, и являющаяся логарифмом по основанию числа е:   ln x = log_e x.

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/x.

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045…;
.

График натурального логарифма ln x

График функции y = ln x.

График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x.

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x^a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Область определения	0 < x + ∞
Область значений	– ∞ < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает
Нули, y = 0	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет
	+ ∞
	– ∞

Значения ln x

ln 1 = 0

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе «Логарифм».

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Если    ,   то   

Если    ,   то    .

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям:
.
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z:
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 05-04-2014   Изменено: 20-03-2017

Натуральный логарифм равен минус 1 — JSFiddle

Editor layout

Classic Columns Bottom results Right results Tabs (columns) Tabs (rows)

Console

Console in the editor (beta)

Clear console on run

General

Line numbers

Wrap lines

Indent with tabs

Code hinting (autocomplete) (beta)

Indent size:

2 spaces3 spaces4 spaces

Key map:

DefaultSublime TextEMACS

Font size:

DefaultBigBiggerJabba

Behavior

Auto-run code

Only auto-run code that validates

Auto-save code (bumps the version)

Auto-close HTML tags

Auto-close brackets

Live code validation

Highlight matching tags

Boilerplates

Show boilerplates bar less often

Калькулятор (как пользоваться калькулятором) iPhone руководство (Айфон)

     

Использование калькулятора

Цифры и функции программы «Калькулятор» используются так же, как и в обычном калькуляторе. При нажатии кнопки добавления, вычитания, умножения или деления вокруг кнопки отображается белая окружность, напоминающая о том, какая операция будет выполнена. Поверните iPhone, чтобы перейти к расширенному научному калькулятору.

Стандартные функции памяти

• С; Нажмите для очистки отображаемого числа.

• МС: Нажмите для очистки памяти.

• /14+; Нажмите для добавления отображаемого числа к числу, хранящемуся в памяти. Если в памяти не хранится число, нажатие этой кнопки вызовет запоминание отображаемого числа в памяти.

• М-: Нажмите для вычитания отображаемого числа из числа, хранящегося в памяти.

• MR: Нажмите для замены отображаемого числа на число, хранящееся в памяти. Если вокруг этой кнопки отображается белая окружность, в памяти хранится какое-либо число.

При переключении между обычным и научным калькулятором сохраненное число остается в памяти.

Клавиши научного калькулятора

Поверните iPhone в горизонтальную ориентацию для отображения научного калькулятора.

2nd
(	Открывает выражение в скобках. Допускается вложение выражений.
) Закрывает выражение в скобках.
%	Вычисляет проценты, добавляет наценки и вычитает скидки. Для вычисления процента эту функцию следует использовать с клавишей умножения (х). Например, для вычисления 8 процентов от 500 введите 500 X 8 % = (в результате получится 40). Для добавления наценки или вычитания скидки эту функцию следует использовать с клавишами плюс (+) или минус (-). Например, для вычисления общей стоимости позиции стоимостью 500 долларов. США с учетом налога с продаж, равного 8 %, введите 500 + 8 % = (в результате получится 540).
	Возвращает обратное значение числа в десятичном формате.
	Возводит число в квадрат.
	Возводит число в куб.

	Вычисляет факториал числа.
	Вычисляет квадратный корень числа.
	1/1спользуйте между значениями для вычисления корня степени х из у. Например,
log	Возвращает логарифм по основанию 10 введенного числа.
sin	Вычисляет синус числа.
	Вычисляет арксинус числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
cos	Вычисляет косинус числа.
	Вычисляет арккосинус числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
tan	Вычисляет тангенс числа.
	Вычисляет арктангенс числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
In	Вычисляет натуральный логарифм числа.
log2	Вычисляет логарифм по основанию 2. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
sinh	Вычисляет гиперболический синус числа.
	Вычисляет обратный гиперболический синус числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
cosh	Вычисляет гиперболический косинус числа.
	Вычисляет обратный гиперболический косинус числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
tanh	Вычисляет гиперболический тангенс числа.
	Вычисляет обратный гиперболический тангенс числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
	Нажмите после ввода значения для возведения константы е (2,718281828459045…) в степень, равную введенному значению.
Rad	1/1зменяется режим для задания тригонометрических функций в радианах.
Deg	1/1зменяется режим для задания тригонометрических функций в градусах.
EE	Оператор, который умножает текущее отображаемое число на 10 в степени следующего введенного числа.
Rand	Возвращает случайное число от 0 до 1.

Логарифмы. Основание логарифма. Натуральный логарифм. Логарифм 10.

Логарифм числа — это показатель степени, то есть, в какую степень надо возвести число, которое стоит в основании, чтобы получить число  в выражении логарифма. Например, \(log_28 \) в какую степень надо возвести \(2\), чтобы получить \(8\) это  \(log_28 =3\).  

Читается, как логарифм \(8\) по основанию \(2\) равен \(3\).3.\)

Область допустимых значений логарифма

• Аргумент и основание не могут быть равны нулю и отрицательными числами.
• Основание не может быть равно единице, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.
• Число b может быть любым.
• ОДЗ логарифма \(log_a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1\).

Десятичные логарифмы

Десятичные логарифмы – логарифмы, в основании которых стоит \(10\). Пример \(log_{10}10 =1\),

Log₁₀100 =2. Записывают их в виде \(lg 10 = 1\),  \(lg 100 = 2.\)

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм – логарифм, в основании которого стоит \(e\). Что означает \(e\)? Это иррациональное число, бесконечное непериодическое десятичное число, математическая константа, которую надо запомнить:

\(e = 2,718281828459…\)

\(ln x = log_e x\)

---

Краткая история логарифма

Логарифмом имеет много применений в науке и инженерии. Естественный логарифм имеет константу \(e\) в своем основании, его использование широко распространено в дискретной математике, особенно в исчислении. Двоичный логарифм использует базу \(b = 2\) и занимает видное место в информатике. Логарифмы были введены Джоном Нейпиром в начале \(XVII\) века, как средство упрощения расчетов. Они были легко приняты учеными, инженерами и другими, чтобы облегчать вычисления . Современное понятие логарифмов исходит от Леонарда Эйлера, который связал их с экспоненциальной функцией в \(XVII\) веке.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Что такое логарифм?

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР: ПОЛЕЗНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ

РАЗДЕЛ 4.5. ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ?

---

назад к Логарифмы, Страница 4

7. 10 ^{(лог а)} = a (или, в случае натурального логарифма, e ^{(ln а)} = а) . Обратные логарифмы и экспоненты друг друга.

Например:

10 ^{(журнал 3)} = 3

10 ^{(журнал 8)} = 8

e ^{(пер. 3)} = 3

e ^{(пер. 8)} = 8

Если возвести число в степень логарифма, в основе которого лежит это число, равно число, которое вы использовали в логарифме.

8. журнал (10 ^р ) = r (в случае натуральных логарифмов ln e ^r = r) Поскольку логарифмы и экспоненты меняют местами, это правило аналогично к правилу номер семь.

Например:

журнал (10 ² ) = 2

журнал (10 ³ ) = 3

ln (e ² ) = 2

ln (e ⁴ ) = 4

Любой логарифм основного числа возведенный в некоторый показатель степени равен этому показателю.

9. журнал (1 / a) = -log a означает что логарифм 1, деленный на некоторое число, равен отрицательный логарифм этого числа. (Это с точностью до наоборот правила, регулирующего показатели, когда число возведено в отрицательное число равно 1, деленному на это число в этой степени.)

Например:

журнал (1/2) = — журнал 2 = -0.301

журнал (1/3) = — журнал 3 = -0,477

пер. (1/2) = -ln 2 = -0,693

пер. (1/3) = -ln 3 = -1,099

к Глоссарию

---

Для подробнее об этом сайте свяжитесь с Distance Координатор по образованию.

Авторские права © 2004 г. регентами Миннесотского университета, равные возможности работодатель и педагог.

Почему логарифмы не могут быть отрицательными? — Криста Кинг Математика

Хотя само значение логарифма может быть положительным или отрицательным, основание функции журнала и аргумент функции журнала — это совсем другая история.

Аргумент функции журнала может принимать только положительные аргументы.Другими словами, единственные числа, которые вы можете вставить в функцию журнала, — это положительные числа. Отрицательные числа и число 0 не являются приемлемыми аргументами для логарифма, но почему?

Причина больше связана с основанием логарифма, чем с аргументом логарифма. Чтобы понять почему, мы должны понимать, что логарифмы на самом деле похожи на показатели: основание логарифма также является основанием степенной функции.

Когда у вас есть степенная функция с основанием 0, результатом этой степенной функции всегда будет 0.Другими словами, нет экспоненты, которую вы можете поставить на 0, которая не вернет вам значение 0. Или, другими словами, 0, возведенный во что-либо, всегда все равно 0. Точно так же 1, возведенный к чему угодно, будет всегда по-прежнему 1.

Если вы возведете отрицательное число в положительное, которое не является целым, а вместо него является дробной или десятичной дробью, вы можете получить отрицательное число под квадратным корнем. И, как вы знаете, если мы не переходим к мнимым числам, мы не можем иметь дело с отрицательным числом под квадратным корнем.

Итак, 0, 1 и каждое отрицательное число представляют потенциальную проблему как основу степенной функции. И если эти числа не могут быть надежно основанием степенной функции, то они также не могут быть надежно основанием логарифма.

По этой причине мы допускаем только положительные числа, отличные от 1, в качестве основания логарифма. Тогда мы знаем, что, если основание нашей степенной функции положительно, не имеет значения, какой показатель мы положим на эту основу (это может быть положительное число, отрицательное число или 0), эта степенная функция будет выходить как положительное число.

Итак, в итоге, поскольку мы разрешаем основание журнала быть только положительным числом, не равным 1, это означает, что аргумент логарифма может быть только положительным числом. Это означает, что для защиты наших оснований мы должны разрешать только положительные аргументы внутри логарифма:

• Основание логарифма: могут быть только положительные числа, не равные 1

• Аргумент логарифма: Могут быть только положительные числа (из-за ограничения на основание)

• Значение, которое вы получите для логарифма после подключения основания и аргумента: могут быть положительными или отрицательными числами

0:00 // Аргумент не может быть отрицательным

0:19 // Части логарифма

0:30 // Аргумент логарифма не может быть отрицательным из-за того, как определяется основание логарифма

0:47 // Логарифм — это степенная функция

1:36 // Какие числа могут быть основанием логарифма на самом деле?

3:11 // Как основание логарифма влияет на аргумент логарифма?

4:32 // Резюме и заключение

math — Как мне вычислить логарифм 1 минус показатель степени данного небольшого числа в python

Я выполняю вычисление вероятности.У меня есть много очень-очень маленьких чисел, все из которых я хочу вычесть из единицы, и делаю это аккуратно. Я могу точно вычислить логарифм этих маленьких чисел. Моя стратегия до сих пор была такой (с использованием numpy):

Учитывая массив журнала малых чисел x , вычислить:

  y = numpy.logaddexp.reduce (x)
  

Теперь я хочу вычислить что-то вроде 1-exp (y) или даже лучше log (1-exp (y)) , но я не уверен, как это сделать без потери всей моей точности.

Фактически, даже функция logaddexp сталкивается с проблемами точности. Значения в векторе x могут находиться в диапазоне от -2 до -800 или даже более отрицательных. Вектор y сверху будет в основном иметь целый раздел чисел около 1e-16, который является eps типа данных. Так, например, точно рассчитанные данные могут выглядеть так:

  В [358]: x
Из [358]:
[-5,2194676211172837,
 -3.77656308362,
 -3.1619783292449615,
 -2,71289594096134,
 -2,44883958639,
 -2,3129210706827568,
 -2,2709987626652346,
 -2,3007776073511259,
 -2,3868404149802434,
 -2,5180718876609163,
 -2,68619816583087,
 -2,88432856958,
 -3.1092603032627686,
 -3,3553673369747834,
 -3.6200806272462351,
 -3.85919463073,
 -4.1955300857178379,
 -4.5023981074719899,
 -4.8199676154248081,
 -5.14696384904,
 -5.4824035553480428,
 -5.8252945959126876,
 -6.174877049340779,
 -6.5304687083067563,
 -6.8914750074202473,
 -7.25737538919104, г.
 -7.6277121540338797,
 -8.0020812775389558,
 -8.3801247986220773,
 -8.7615244716292437,
 -9.1459964426584435,
 -9,5332867613176404,
 -9.9231675781398394,
 -10.3154338701,
 -10.7093130784,
 -11.106401278287066,
 -11.504783663
,
 -11.0436107656,
 -12.30665638039909,
 -12.7093918777,
 -13.114558916892051,
 -13.52051570882999,
 -13.9276
982549,
 -14.336001843810081,
 -14.745376846921289,
 -15.155747039147968,
 -15.567049578271309,
 -15.979226409456359,
 -16.39222382873956,
 -16.805992092998878,
 -17.22048507074976,
 -17.63565992888303,
 -18.051476851117201,
 -18.467898784496384,
 -18.884891210740903,
 -19.302421939667397,
 -19.720460922243518,
 -20.138980081145718,
 -20,557953156947775,
 -20.977355568292495,
 -21.397164284594595,
 -21.817357709992422,
 -22.237915577412224,
 -22.658818851739369,
 -23.080049641202237,
 -23.501591116172762,
 -23.923427434676114,
 -24.345543673975158,
 -24.767925767665417,
 -25.1
447772668,
 -25.61343519140047,
 -26.036538171518259,
 -26.459858211524278,
 -26.883384743252066,
 -27.307107768123842,
 -27.731017821180984,
 -28.155105937748402,
 -28.579363622513654,
 -29.003782820820732,
 -29.428355891997484,
 -29.853075584553352,
 -30.27793501309668,
 -30.702927636836705,
 -31.128047239545907,
 -31.553287910869187,
 -31.978644028878307,
 -32,404110243774596,
 -32.82968146265631,
 -33.255352835270173,
 -33.681119740674262,
 -34.106977774747804,
 -34.532922738484046,
 -34.958950627012712,
 -35.385057619298891,
 -35.811240068471022, г.
 -36.237494492735493,
 -36.663817566835519,
 -37.0
114019054,
 -37.516657098479527,
 -37.943167618239784,
 -38.369734898447348,
 -38.796356285056333,
 -39.223029238868548,
 -39.64975132991276,
 -40.076520232137909,
 -40,5033337184027,
 -40.930189655741344,
 -41.357086000888444,
 -41.784020796047173,
 -42.210992164885965,
 -42.637998308748706,
 -43.065037503066776,
 -43.492108093959985,
 -43.919208495015312,
 -44.346337184233221,
 -44.773492701130749,
 -45.200673643993753,
 -45.627878667267964,
 -46.05510647
56,
 -46.482355838895614,
 -46.
5555262096,
 -47.336914483704675,
 -47.764221524695017,
 -48.191545621730768,
 -48.618885759506213,
 -49.04624096217151,
 -49.473610291673936,
 -49.
2846179292,
 -50.328387758566748,
 -50.755794194994508,
 -51.183211353532613,
 -51.610638462858901,
 -52.0380747810147,
 -52.46551959421754,
 -52.892972215728378,
 -53.320431984769073,
 -53.747898265489198,
 -54.175370445978274,
 -54.602847937323247,
 -55.030330172705362,
 -55.457816606538813,
 -55.885306713645889,
 -56.312799988467418,
 -56.740295944308855,
 -57.167794112617116,
 -57.59529404228897,
 -58.02279529
9,
 -58.450297464615232,
 -58.8778001364,
 -59.305302926981085,
 -59.732805462838542,
 -60.160307384683506,
 -60.587808346493375,
 -61.015308015110463,
 -61.442806069768608,
 -61.87030220164138,
 -62.297796113406662,
 -62.725287518829532,
 -63.15277614236129,
 -63.580261718755196,
 -64.007743992695964,
 -64.435222718445743,
 -64.862697659501919,
 -65.2
588270035, г.
 -65.717635285748088,
 -66.14509754122389,
 -66.572555151982783,
 -67.000007923029216,
 -67.427455666815376,
 -67.854898202982099,
 -68.282335358110231,
 -68.709766965479957,
 -69.137192864839108,
 -69.564612
0784,
 -69.992026929530198,
 -70.419434804735829,
 -70.8468363912732,
 -71.274231558051156,
 -71.701620179229167,
 -72.1234037705,
 -72.556377306608397,
 -72.983745585807242,
 -73.411106865077045,
 -73.838461042282461,
 -74.265808019561746,
 -74.693147703185559,
 -75.120480003416901,
 -75,547804834380145,
 -75.97512211393132,
 -76.402431763534764,
 -76.829733708143749,
 -77.257027876085431,
 -77.684314198948414,
 -78.111592611476681,
 -78.538863051464546,
 -78.966125459656723,
 -79.393379779652037,
 -79.820625957809625,
 -80.24786394315754,
 -80.675093687306912,
 -81.102315144366912]
  

Затем я пытаюсь вычислить логарифмическую сумму показателей:

  В [359]: np.logaddexp.accumulate (x)
Из [359]:
массив ([-5.21946762e + 00, -3.66710221e + 00, -2.68983273e + 00,
        -2.00815067e + 00, -1.51126604e + 00, -1.14067818e + 00,
        -8.60829425e-01, -6.48188808e-01, -4.86276416e-01,
        -3.63085873e-01, -2.69624488e-01, -1.999e-01,
        -1.45996863e-01, -1.06408884e-01, -7.70565672e-02,
        -5.54467248e-02, -3.96506186e-02, -2.81859503e-02,
        -1.99225261e-02, -1.40061296e-02, -9.79701394e-03,
        -6.82045164e-03, -4.72733966e-03, -3.26317960e-03,
        -2.24396350e-03, -1.53767347e-03, -1.05026994e-03,
        -7.15209142e-04, -4.856
e-04, -3.28980607e-04,
        -2.22305294e-04, -1.498e-04, -1.00858788e-04,
        -6.77380054e-05, -4.54139175e-05, -3.03974537e-05,
        -2.03154477e-05, -1.35581905e-05, -9.03659252e-06,
        -6.01552344e-06, -3.99984336e-06, -2.65671945e-06,
        -1.76283376e-06, -1.16860435e-06, -7.73997496e-07,
        -5.12213574e-07, -3.38706792e-07, -2.23809375e-07,
        -1.47785898e-07, -9.75226648e-08, -6.43149957e-08,
        -4.23
7e-08, -2.79246430e-08, -1.83858489e-08,
        -1.20995365e-08, -7.95892319e-09, -5.23300609e-09,
        -3.43929670e-09, -2.25953475e-09, -1.48391255e-09,
        -9.74194956e-10, -6.39351406e-10, -4.19466218e-10,
        -2.75121795e-10, -1.80397409e-10, -1.18254918e-10,
        -7.74993004e-11, -5.07775611e-11, -3.32619009e-11,
        -2.17835737e-11, -1.42634249e-11, -9.33764336e-12,
        -6.111
e-12, -3.99989955e-12, -2.61737204e-12,
        -1.71253165e-12, -1.12043465e-12, -7.33052079e-13,
        -4.79645919e-13, -3.13
5e-13, -2.05519681e-13,
        -1.34650094e-13, -8.83173582e-14, -5.80300378e-14,
        -3.82338678e-14, -2.52963381e-14, -1.68421145e-14,
        -1.13181549e-14, -7.70918073e-15, -5.35155125e-15,
        -3.81152630e-15, -2.80565548e-15, -2.14872312e-15,
        -1.71971577e-15, -1.43957518e-15, -1.25665732e-15,
        -1.13722927e-15, -1.05925916e-15, -1.00835857e-15,
        -9.75131524e-16, -9.53442707e-16, -9.39286186e-16,
        -9.30046550e-16, -9.24016349e-16, -9.20080954e-16,
        -9.17512772e-16, -9.15836886e-16, -9.14743318e-16,
        -9.14029759e-16, -9.13564174e-16, -9.13260398e-16,
        -9.13062204e-16, -9.12932898e-16, -9.12848539e-16,
        -9.12793505e-16, -9.12757603e-16, -9.12734183e-16,
        -9.12718905e-16, -9.12708939e-16, -9.12702438e-16,
        -9.12698198e-16, -9.12695432e-16, -9.12693627e-16,
        -9.12692451e-16, -9.12691683e-16, -9.12691183e-16,
        -9.126
 
e-16, -9.126
 e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126e-16, -9.126e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16,
        -9.126
e-16, -9.126
e-16, -9.126
e-16])
  

Что в конечном итоге приводит к:

  В [360]: нп.logaddexp.reduce (x)
Выход [360]: -9.126
87687033e-16
  

, так что моя точность уже стерта. Есть идеи, как это обойти?

Что такое логарифмы снова?

Во-первых, давайте просто напомним себе, что такое логарифм (те, кто помнит свои логи ну можете перейти на следующую страницу!). Логарифм числа — это показатель степени, который вы увеличиваете. выше 10, чтобы получить это число. Лучше всего это видно на примерах.

журнал (100) = 2 (почему? Потому что 10 2 = 100)

журнал (10,000) = 4 (почему? Потому что 10 4 = 10,000)

Простое правило, которое работает для числа, кратного 10, состоит в том, что журнал равен числу нулей после единицы (продолжайте и считайте нули!):

журнал (10 000 000) = 7

журнал (1 000 000 000 000) = 12

Эти кратные 10 всегда легко, но вы можете вести журнал любого числа (в этом В этом случае мы предлагаем вам использовать калькулятор — просто введите число и нажмите кнопку «журнал»).

журнал (3462) = 3,539327 (почему? Потому что 10 3,539327 = 3462)

Журналы также можно вычислить для чисел меньше единицы. Когда число является дробью (меньше чем один), то лог всегда отрицательный.

log (0,01) = -2 (почему? Потому что 10 -2 = 0,01)

Почему это работает? Поскольку 10 -2 совпадает с 1/10 2 , что равно 1/100, что равно 0,01!

журнал (0.0001) = -4 (почему? Потому что 10 -4 = 1/10 4 = 1/10 000 = 0,0001)

Простое правило, которое работает с десятичными знаками, кратными 0,1, состоит в том, что журнал равен к количеству нулей после десятичной дроби плюс «1» (посчитайте эти нули еще раз!):

журнал (0,0000001) = -7

журнал (0,000000000001) = -12

Опять же, эти кратные 0,1 всегда легко, но вы можете записать любой положительный десятичный (но опять же, мы рекомендуем использовать ваш калькулятор!):

журнал (0.3462) = -0,4607 (почему? Потому что 10 -0,4607 = 0,3462)

Что произойдет, если вы возьмете журнал нуля? Ну сколько раз умножать надо бы 10, чтобы получить ноль? Что ж, если вы думаете об этом, вы не можете умножьте 10 на себя и получите ноль! Это означает, что количество log (0) не определено (перейти вперед и попробуйте на своем калькуляторе!). Это верно и для отрицательных чисел. Поскольку ты всегда начинаются с положительного числа (10) — и всегда умножаются на положительное number (10), вы просто никогда не получите отрицательное число.Итак, откажитесь от своих мечтаний о взять журнал отрицательного числа — это просто не сработает!

О, еще кое-что о журналах. Вы наверняка помните, что журнал с базами можно брать кроме 10 (таким образом, log 2 — это показатель степени, который вы бы подняли выше 2, чтобы получить конкретный номер). Но в этом модуле масштабирования мы всегда ссылаемся на логарифмы по основанию 10 (ура — потому что о них гораздо легче думать!).

Авторские права Мэрилендского университета, 2007 г.

Вы можете ссылаться на этот сайт в образовательных целях.

Пожалуйста, не копируйте без разрешения

запросов / вопросов / отзывов, электронная почта: [email protected]

11 правил естественного журнала, которые необходимо знать

Если вы изучаете математику в средней школе или колледже, вы, скорее всего, будете изучать натуральные бревна. Но что такое натуральные бревна? Что такое ln? Почему продолжает появляться буква е?

Естественный журнал может показаться сложным, но как только вы поймете несколько ключевых правил естественного журнала, вы сможете легко решать даже очень сложные на вид проблемы.В этом руководстве мы объясним четыре наиболее важных правила натурального логарифма, обсудим другие свойства натурального логарифма, которые вам следует знать, рассмотрим несколько примеров различной сложности и объясним, чем натуральные логарифмы отличаются от других логарифмов.

Что такое ln?

Натуральное бревно, или ln, является обратной величиной e . Буква « e » представляет математическую константу, также известную как естественный показатель степени. Как и π, e является математической константой и имеет заданное значение.Значение e равно примерно 2,71828.

e встречается во многих случаях в математике, в том числе в сценариях, касающихся сложных процентов, уравнений роста и уравнений распада. ln ( x ) — это время, необходимое для роста до x , а e x — это величина роста, произошедшая по прошествии времени x .

Поскольку e так часто используется в математике и экономике, и людям в этих областях часто требуется логарифм с основанием e числа, чтобы решить уравнение или найти значение, натуральный логарифм был создан как Быстрый способ записи и расчета базы журнала e .Натуральный логарифм просто позволяет людям, читающим задачу, знать, что вы берете логарифм числа с основанием e . Таким образом, ln ( x ) = log e ( x ). Например, ln ( 5 ) = log e ( 5 ) = 1,609.

Четыре основных правила естественного журнала

Есть четыре основных правила, которые вам нужно знать при работе с естественным логарифмом, и вы будете встречать каждое из них снова и снова в своих математических задачах.Хорошо их знайте, потому что они могут сбить с толку, когда вы их впервые увидите, и вы хотите убедиться, что у вас есть такие базовые правила, прежде чем переходить к более сложным темам логарифмирования.

Правило продукта

• ln (x) (y) = ln (x) + ln (y)
• Натуральный логарифм умножения x и y — это сумма ln x и ln y.
• Пример: ln (8) (6) = ln (8) + ln (6)

Правило частного

• ln (x / y) = ln (x) — ln (y)
• Натуральный логарифм деления x и y — это разность ln x и ln y.
• Пример: ln (7/4) = ln (7) — ln (4)

Взаимное правило

• ln (1 / x) = −ln (x)
• Натуральный логарифм обратной величины x противоположен ln числа x.
• Пример: ln (⅓) = -ln (3)

Правило мощности

• ln ( x y ) = y * ln (x)
• Натуральный логарифм числа x в степени y равен y, умноженному на ln числа x.
• Пример: ln (5 2 ) = 2 * ln (5)

Основные свойства натурального бревна

В дополнение к четырем правилам натурального логарифма, описанным выше, также есть несколько свойств ln, которые вам необходимо знать, если вы изучаете натуральные логарифмы. Запомните их, чтобы вы могли быстро перейти к следующему этапу решения, не тратя время на попытки запомнить общие свойства ln.

Сценарий	ln Имущество
ln отрицательного числа	Продолжительность отрицательного числа не определена
пер 0	ln (0) не определено
пер 1	ln (1) = 0
лн бесконечности	ln (∞) = ∞
пер е	ln (эл.) = 1
ln e повышен до мощности x	ln ( e x ) = x
e повышен до мощности	e ln (x) = x

Как видно из последних трех строк, ln ( e ) = 1, и это верно, даже если один возведен в степень другого.Это потому, что ln и e являются обратными функциями друг друга.

Задачи выборки натурального журнала

Пришло время проверить свои навыки и убедиться, что вы понимаете правила ln, применяя их к примерам задач. Ниже приведены три примера проблем. Попытайтесь решить их самостоятельно, прежде чем читать объяснение.

Проблема 1

Оценить ln (7 2 /5)

Сначала мы используем правило частного, чтобы получить: ln (7 2 ) — ln (5).

Затем мы используем правило мощности, чтобы получить: 2ln (7) -ln (5).

Если у вас нет калькулятора, вы можете оставить это уравнение или вычислить значения натурального логарифма: 2 (1,946) — 1,609 = 3,891 — 1,609 = 2,283.

Задача 2

Оценить ln ( e ) / 7

Для этой задачи нам нужно запомнить, что ln ( e ) = 1

Это означает, что задача упрощается до 1/7, что и является нашим ответом.

Задача 3

Решить ln (5 x -6) = 2

Когда у вас есть несколько переменных в скобках ln, вы хотите сделать e основанием, а все остальное — показателем степени e . Тогда вы получите ln и e рядом друг с другом, и, как мы знаем из правил естественного журнала, e ln (x) = x.

Итак, уравнение принимает вид e ln (5x-6) = e 2

Начиная с e ln (x) = x , e ln (5x-6) = 5x-6

Следовательно 5 x -6 = e 2

Поскольку e является константой, вы можете вычислить значение e 2 , либо используя клавишу e на вашем калькуляторе, либо используя оценочное значение e, равное 2.718.

5 x -6 = 7,389

Теперь добавим 6 к обеим сторонам

5 x = 13,389

Наконец, мы разделим обе стороны на 5.

x = 2,678

Чем натуральные бревна отличаются от других логарифмов?

Напоминаем, что логарифм — это противоположность степени. Если вы возьмете журнал числа, вы отмените экспоненту. Ключевое различие между натуральным логарифмом и другими логарифмами заключается в используемом основании.В логарифмах обычно используется основание 10 (хотя это может быть другое значение, которое будет указано), тогда как в натуральных логарифмах всегда используется основание e .

Это означает, что ln (x) = log e ( x )

Если вам нужно преобразовать логарифм в натуральный логарифм, используйте следующие два уравнения:

• журнал 10 ( x ) = ln (x) / ln (10)
• ln (x) = log 10 ( x ) / log 10 ( e )

За исключением разницы в основании (которая является большой разницей) правила логарифмирования и правила натурального логарифма одинаковы:

Правила логарифмирования	Правила
журнал (xy) = журнал (x) + журнал (y)	ln (x) (y) = ln (x) + ln (y)
журнал (x / y) = журнал (x) −log (y)	ln (x / y) = ln (x) −ln (y)
журнал (x a ) = a журнал ( x )	ln (x a ) = a ln ( x )
журнал (10 x ) = x	ln ( e x ) = x
10 журнал (x) = x	e ln (x) = x

Резюме: правила естественного журнала

Натуральный логарифм или ln — это величина, обратная e. Правила естественного журнала сначала могут показаться нелогичными, но как только вы их изучите, их довольно просто запомнить и применить к практическим задачам.

Четыре основных правила ln:

• ln (x) (y) = ln (x) + ln (y)
• ln (x / y) = ln (x) — ln (y)
• ln (1 / x) = — ln (x)
• n ( x y ) = y * ln (x)

Основное различие между натуральным логарифмом и другими логарифмами заключается в используемом основании.

Что дальше?

Пишете исследовательскую работу для школы, но не знаете, о чем писать? В нашем справочнике по темам исследовательских работ более 100 тем в десяти категориях, так что вы можете быть уверены, что найдете идеальную тему для себя.

Хотите узнать о самых быстрых и простых способах конвертации между градусами Фаренгейта и Цельсия? Мы вас прикрыли! Ознакомьтесь с нашим руководством по лучшим способам преобразования Цельсия в градусы Фаренгейта (или наоборот).

Сдаете SAT или ACT? Студенты часто испытывают трудности с математическим разделом этих тестов, но ознакомьтесь с нашими подробными руководствами по SAT Math и ACT Math, где вы найдете все, что вам нужно знать, чтобы сдать эти вопросы по математике.

pH | SpringerLink

• Майкл Дж.Lewis
• Charles W. Bamforth

Abstract

pH — это отрицательный логарифм концентрации ионов водорода (точнее, активности), или алгебраически pH = −log ₁₀ [H ⁺ ] или pH = log ₁₀ 1 / [H ⁺ ]. Это обозначение было изобретено Соренсеном, чтобы уместить очень маленькие числа в более понятный диапазон; таким образом, молярная концентрация ионов водорода 0,0000007 или 10 ^-7 M составляет pH 7,0. Однако при этом он ввел важную особенность: шкала pH является экспоненциальной.Следовательно, раствор с pH 6,0 содержит на в десять раз меньше H ⁺ , чем при pH 7,0, а сусло при pH 5,2 содержит почти в четыре раза больше H ⁺ , чем сусло при pH 5,8.

Ключевые слова

Молочная кислота Бактерии Фитиновая кислота Действие фитазы Содержание растворимого азота Плотность сусла

Эти ключевые слова были добавлены машиной, а не авторами. Это экспериментальный процесс, и ключевые слова могут обновляться по мере улучшения алгоритма обучения.

Это предварительный просмотр содержимого подписки,

войдите в

, чтобы проверить доступ.

Предварительный просмотр

Невозможно отобразить предварительный просмотр. Скачать превью PDF.

Информация об авторских правах

Авторы и аффилированные лица

• Майкл Дж. Льюис
• Чарльз У. Бэмфорт

1. 1. Почетный профессор пивоварения Академический директор программ пивоварения в Университете штата Калифорния — Дэвис, США11 901 , Департамент пищевых наук и технологий, профессор Энхейзер-Буш, Калифорнийский университет, Дэвис, Дэвис, США,

Визуализация отрицательного журнала — блог Origin

Введение:

Инжир.1 Образец в линейной шкале

Логарифм отрицательного значения не определяется в реальном пространстве.
Но в практических приложениях мы иногда видим, что величина данных изменяется экспоненциально даже в отрицательной области. Как представить такие данные в виде графика? Например, на рис. 1 , вы видите образец кривой в линейном масштабе, где кривая изменяется экспоненциально как в положительном, так и в отрицательном направлении по отдельности.

Возможные подходы:

Инжир.2 Простая логарифмическая шкала

1) y ’= Log (y) : Если вы просто нанесете данные в логарифмическую шкалу, вы, очевидно, не сможете визуализировать данные в отрицательном диапазоне, как в Рис. 2 . Конечно, этот подход приемлем, если данные остаются только в положительной области.

Рис.3 Абсолютная логарифмическая шкала

2) y ‘= sign (y) * Log (| y |) : сначала вы можете подумать, что это хорошая идея, но когда исходное значение y становится меньше 1, возникает проблема — если значение отрицательный, выход этой функции (y ‘) становится положительным, хотя, когда значение положительное, выход становится отрицательным! Э.грамм.

Знак

(-0,0001) * Журнал (| -0,0001 |) = 4 Знак
(0,0001) * Журнал (| 0,0001 |) = -4

См. Рис. 3 . Мы должны избегать этого метода, если абсолютное значение данных никогда не будет меньше 1.

Рис. 4 Преобразование логарифмического модуля

3) y ’= sign (y) * log (1 + | y ​​|) : Эта формула является так называемым преобразованием логарифмического модуля . Этот метод фактически решает указанную выше проблему разрыва в 2), когда исходные данные и преобразованные данные изменяются синхронно, когда восходящие или нисходящие исходные данные и преобразованные данные меняются.Однако самая большая проблема этого метода заключается в том, что преобразованные данные больше не могут отображать экспоненциальный тренд в виде прямой линии. См. Рис.4 . Подобно пункту 2), этого метода следует избегать, если абсолютное значение данных никогда не опускается ниже 1.

4) y ’= log (| y |) в отдельных положительных / отрицательных областях:

Чтобы преодолеть недостатки вышеупомянутых трех методов,

Рис. 5 Шкала Log (| x |) в отдельных положительных / отрицательных слоях

, мы можем отдельно построить отрицательные данные как log (| x |), перевернутые в третьем / четвертом квадранте.Чтобы реализовать этот подход в Origin, есть два метода. Один из способов — настроить несколько слоев отдельно для отрицательной и положительной сторон. См. Рис. 5 . Layer1 используется для положительной области, а layer2 используется для отрицательной области. Диапазон между плюсовыми / минус-минимальными значениями около нуля (в этом примере ± 10E-4) на самом деле представляет собой бесконечно большой разрыв без данных, подобный «бездне». (Третий уровень был создан для представления только 0 данных.)

Другой метод — нормализовать данные

Инжир.6 Log (| x |) масштабируют в отдельных положительных / отрицательных областях в одном слое

путем деления на минимальное значение, так что логарифм минимального значения смещается в нулевое положение без изменения формы кривой. Этот метод позволяет отображать данные на одном слое. Как вы видите на рис. 6 , зона пропасти ± 10E-4 представлена ​​в виде горизонтального серого пояса.

В рис. 5, или , рис. 6, , вы можете визуально четко распознать экспоненциальные тенденции как положительной части, так и в этом образце отрицательная часть одинакова по величине, поскольку их наклоны визуально обозначены одинаковыми на графике. график.

Пример реализации:

Чтобы создать график типа Рис. 5 или Рис. 6 , я сделал образец файла, чтобы вы могли попробовать его самостоятельно. Чтобы попробовать их, выполните следующие действия:

1) Загрузите этот файл проекта. Если вы разархивируете файл и откроете его в Origin, вы найдете следующие две папки в Project Explorer:

— Многослойная презентация
— Однослойная презентация

2) Вы можете использовать пустой лист в любой папке в качестве шаблона.Вы можете ввести свои данные XY в первый и второй столбцы, после чего необходимые вычисления будут выполнены автоматически, а встроенный график результатов появится в верхней ячейке последнего столбца. Вы можете дважды щелкнуть этот встроенный график, чтобы развернуть его, и нажать кнопку Rescale в правом верхнем углу графика, чтобы настроить масштаб. (Вы можете продублировать развернутое окно графика, если хотите создать независимый график.