Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30 основание 36: Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 30, ос­но­ва­ние равно 36.

Радиус описанной и вписанной окружности (R и r) для треугольника

Задачи для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения

1. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найти катеты треугольника.
2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна т и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти стороны треугольника.
3. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найти длину гипотенузы.
4. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2.
5. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти расстояние между точкой пересечения его биссектрис и точкой пересечения медиан.
6. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18 см.
7. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.
8. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 м проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.
9. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треугольника, если медиана равна 3 см.
10. Найти длины сторон равнобедренного треугольника ABC с основанием АС, если известно, что длины его высот AN и ВМ равны соответственно n и m.
11. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании треугольника.
12. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если длина высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, а длина основания равна 15 см.
13. Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его равно а, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.
14. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна Н и вдвое больше своей проекции на боковую сторону. Найти площадь треугольника.
15. Найти длины сторон АВ и АС треугольника ABC, если ВС= 8 см, а длины высот, проведенных к АС и ВС, равны соответственно 6,4 и 4 см.
16. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 3 см. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте.
17. Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.
18. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих трех точках меньше площади исходного треугольника?
19. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как 2:1. В каком отношении, считая от вершины, она делит боковые стороны?
20. Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26 и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить площадь полученной при этом трапеции.

Доказать тригонометрические тождества 

19 два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и найдите больший из оставшихся углов ответ дайте в градусах

19. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

19.1 Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

19.2 Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

19.3 Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

19.4 Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

20. Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Радиус описанной окружности равен 13.

Найдите высоту трапеции.

20.1 Основания равнобедренной трапеции равны 192 и 56. Радиус описанной окружности равен 100. Найдите высоту трапеции.

20.2 Основания равнобедренной трапеции равны 288 и 84. Радиус описанной окружности равен 150. Найдите высоту трапеции.

20.3 Основания равнобедренной трапеции равны 96 и 40. Радиус описанной окружности равен 52. Найдите высоту трапеции.

20.4 Основания равнобедренной трапеции равны 144 и 60. Радиус описанной окружности равен 78. Найдите высоту трапеции.

21. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 80. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

21.1 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 106. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

21.2 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 88. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

21.3 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 24. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

21.4 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 94. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

22. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 66, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.

22.1 Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 108, средняя линия равна 22. Найдите боковую сторону трапеции.

22.2 Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 24, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.

22.3 Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 10. Найдите боковую сторону трапеции.

22.4 Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 10, средняя линия равна 4. Найдите боковую сторону трапеции.

23. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 84,5, основание равно 156. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

23.1 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 25, основание равно 30. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

23.2 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30, основание равно 36. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

23.3 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 45,5, основание равно 84. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

23.4 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 32,5, основание равно 60. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

24. Сторона AB треугольника ABC равна 44. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

24.1 Сторона AB треугольника ABC равна 5. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

24.2 Сторона AB треугольника ABC равна 39. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

24.3 Сторона AB треугольника ABC равна 50. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

24.4 Сторона AB треугольника ABC равна 46. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

25. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 29, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.

25.1 Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 40, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.

25.2 Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 19, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.

25.3 Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 2, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.

25.4 Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 39, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.

26. Сторона AB треугольника ABC равна 41. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

26.1 Сторона AB треугольника ABC равна 32. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

26.2 Сторона AB треугольника ABC равна 27. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

26.3 Сторона AB треугольника ABC равна 24. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

26.4 Сторона AB треугольника ABC равна 30. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

27. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

27.1 Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной

27.2 Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

27.3 Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

27.4 Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

28. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .

28.1 Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .

28.2 Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .

28.3 Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .

28.4 Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .

29. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 35.

29.1 Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 22.

29.2 Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 40.

29.3 Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 42.

29.4 Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 7.

30. Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 4,5.

Найдите сторону ромба.

30.1 Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 0,5.

Найдите сторону ромба.

30.2 Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 7.

Найдите сторону ромба.

30.3 Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 19.

Найдите сторону ромба.

30.4 Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 1,5.

Найдите сторону ромба.

ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные

Сканави. Планиметрия. Задачи 1 – 50 с ответами и решениями

Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

Вписанные и описанные многоугольники — презентация онлайн

1. Вписанные многоугольники

2. Описанные многоугольники

3. Вписанные и описанные треугольники

4. Упражнение 1

5. Упражнение 2

6. Упражнение 3

7. Упражнение 4

8. Упражнение 5

9. Упражнение 6

10. Упражнение 7

11. Упражнение 8

12. Упражнение 9

13. Упражнение 10

14. Упражнение 11

15. Упражнение 12

16. Упражнение 13

17. Упражнение 14

18. Упражнение 15

19. Упражнение 16

20. Упражнение 17

21. Упражнение 18

22. Упражнение 19

23. Упражнение 20

24. Упражнение 21

25. Упражнение 22

26. Упражнение 23

27. Упражнение 24

28. Упражнение 25

29. Упражнение 26

30. Упражнение 27

31. Упражнение 28

32. Упражнение 29

33. Упражнение 30

34. Упражнение 31

35. Упражнение 32

36. Упражнение 33

37. Упражнение 34

38. Упражнение 35

39. Упражнение 36

40. Упражнение 37

41. Упражнение 38

42. Упражнение 39

43. Упражнение 40

44. Упражнение 41

45. Упражнение 42

46. Упражнение 43

47. Упражнение 44

48. Упражнение 45

49. Упражнение 46

50. Упражнение 47

51. Упражнение 48

52. Упражнение 49

53. Упражнение 50

Окружность и многоугольники (домашняя самостоятельная работа) — ПЛОЩАДИ ФИГУР — САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Высота треугольника равна 30 см и делит его сторону на отрезки длиной 16 см и 40 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника.

2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 8 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

3. Центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, делит медиану, проведенную к основанию, в отношении 25:7. Боковая сторона треугольника равна 80 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

4. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки 8 см и 12 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

5. В прямоугольном треугольнике радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно равны 5 см и 2 см. Найдите периметр треугольника.

6. Периметр прямоугольника равен 34 см. Биссектриса прямого угла делит диагональ в отношении 12:5. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника.

7. Высота, проведенная из вершины ромба, делит его сторону на отрезки 3 см и 2 см, считая от вершины острого угла. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

8. Основания прямоугольной трапеции равны 7 см и 3 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

9. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на большем основании. Найдите радиус окружности, если высота и диагональ трапеции соответственно равны 12 см и 20 см.

10. Около трапеции со средней линией 3 см описана окружность. Угол между радиусами окружности, проведенными к концам боковой стороны, равен 120°. Найдите площадь трапеции.

Вариант 2

1. Две стороны остроугольного треугольника равны 26 см и 30 см, а высота, проведенная к третьей стороне, 24 см. Найдите радиус описанной и вписанной окружностей треугольника.

2. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 96 см, делит высоту в отношении 3:5, считая от основания. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 32 см, а диаметр вписанной окружности 24 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

4. Точка касания вписанной окружности делит катет прямоугольного треугольника на отрезки 1 см и 3 см, считая от вершины прямого угла. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

5. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с периметром 36 см, равен 3 см. Найдите радиус описанной окружности.

6. Разность сторон прямоугольника равна 17 см. Биссектриса прямого угла делит диагональ в отношении 7:24. Найдите длину окружности, описанной около треугольника.

7. Точка касания окружности, вписанной в ромб, делит его сторону на отрезки 27 см и 48 см. Найдите высоту ромба.

8. Основания равнобокой трапеции равны 4 см и 9 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

9. В полукруг вписана трапеция с меньшим основанием 7 см, параллельным диаметру, и высотой 12 см. Найдите радиус полукруга.

10. Около трапеции с высотой 3 см описана окружность. Угол между радиусами окружности, проведенными к концам боковой стороны, равен 60°. Найдите площадь трапеции.

Калькулятор равнобедренного треугольника — Расчет высокой точности

[1] 2021/03/02 23:20 Женский / До 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирант / Очень /

Цель использования

Быстрее работать out things

[2] 2021/02/26 02:15 Мужчина / 30-летний уровень / Инженер / Очень /

Цель использования

Игра с периметром: отношения диаметров многоугольников с увеличивающимся числом сторон. Наблюдая, как отношение приближается к пи, когда многоугольник становится более круглым.

[3] 2021/02/10 22:40 Женщина / 30-летний уровень / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Цель использования

Попытка найти длины сторон, когда я знаю основание — 48 дюймов, а базовый ангел — 30 градусов

[4] 2021/02/09 14:38 Мужчина / уровень 40 лет / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Цель использования

Требуется дизайнерский угол «сделай сам», доступны только определенные размеры.Спасибо за калькулятор.

[5] 2021.01.21 17:17 Мужской / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

Школьный персонал, сложное задание

[ 6] 2021.01.21 01:17 Женщина / Моложе 20 лет / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Цель использования

Комплексная вещь о сельскохозяйственных колесах

[7] 2020/12 / 19 00:09 Мужчина / Уровень 40 лет / Офисный работник / Государственный служащий / Полезно /

Цель использования

Расчет длины дуги сегмента круга по линейной длине между конечными точками для обработанного стального кольца, которое будет быть разрезанным на сегменты.В конечном итоге приводит меня к тому, сколько сегментов я могу получить из одного кольца.

[8] 2020/12/14 05:51 Женский / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

разработка эстетически приятного, но структурно прочного пряника дом

[9] 2020/12/09 18:34 Мужчина / Уровень 30 лет / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Цель использования

Определение длины света, необходимой для двускатной крыши (см. ниже)

[10] 2020/11/22 07:26 Мужчина / 60 лет и старше / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Цель использования

Расчетная длина для рождественских огней на двускатной крыше

Равнобедренных треугольников — Бесплатная помощь по математике

В мире геометрии существует множество типов треугольников.Существует особый треугольник, называемый равнобедренным треугольником и . В равнобедренном треугольнике основные углы имеют одинаковую степень и, как следствие, равны (конгруэнтны). Точно так же, если два угла треугольника имеют одинаковую длину, то стороны , противоположные этим углам, имеют одинаковую длину. Самый простой способ определить равнобедренный треугольник — иметь две равные стороны .

В равнобедренном треугольнике есть две стороны, называемые ногами, и третья сторона, называемая основанием.Угол, расположенный напротив основания, называется вершиной.

Образец A:

Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABC составляет 120 градусов. Найдите градус каждого базового угла.

Решение:

(1) Пусть x = мера каждого базового угла.
(2) Составьте уравнение и решите относительно x.

базовый угол + базовый угол + 120 градусов = 180 градусов
x + x + 120 градусов = 180 градусов
2x + 120 = 180
2x = 180-120
2x = 60
x = 60/2
x = 30

Каждый угол основания треугольника ABC составляет 30 градусов.

Образец B:

В равнобедренном треугольнике RST угол S — это угол при вершине. Базовые углы R и T равны 64 градусам. Найдите градус угла при вершине S.

Решение:

(1) Пусть x = мера угла при вершине S.
(2) Составьте уравнение и решите относительно x.

базовый угол + базовый угол + угол при вершине S = 180 градусов
64 градуса + 64 градуса + x = 180 градусов
128 + x = 180
x = 180 — 128
x = 52

Угол при вершине S в треугольнике RST составляет 52 градуса.

Образец C:

Угол основания равнобедренного треугольника XYZ в градусах превышает в три раза градус вершины Y на 60. Найдите градус угла при вершине Y. Обратите внимание, что трудно нарисовать изображение, не зная, какие углы наибольшие.

Нам нужно составить уравнение из этой проблемы, поэтому давайте разберемся, что она пытается нам сказать. Сначала мы читаем «Степень базового угла», поэтому начнем с X =

Наше уравнение на данный момент: X =

Теперь мы видим, что «превышает в три раза»… Y … на 60 «, что означает 3Y + 60.

Теперь наше уравнение: X = 3Y + 60

Поскольку мы знаем, что X = Z, потому что это равнобедренный треугольник, мы можем найти меры всех углов.

базовый угол + базовый угол + вершина = 180
X + Y + Z = 180
(3Y + 60) + Y + (3Y + 60) = 180
7Y + 120 = 180
7Y = 60
Y = 60/7
Y = 8,57 градусов

Угол при вершине Y треугольника XYZ равен 8,57 градуса.

Урок, проведенный г-ном.Фелиз

Длина основания равнобедренного треугольника является целым числом и на 4 см меньше суммы двух равных сторон, которые также являются целыми числами. Периметр меньше

Привет Анджела,

Три стороны равнобедренного треугольника равны x, x и (x + x-4) = (2x-4).

Периметр будет суммой всех трех сторон: x + x + (2x-4)

= 4х-4

Так как периметр меньше 80 см, неравенство будет: 4x-4 <80

Решение неравенства: 4x-4 <80

Добавьте по 4 в каждую сторону: 4x <84

Разделить на 4: x <24

Какова возможная длина равных сторон?

Поскольку x целое число меньше 24, то x является элементом множества {1,2,3 ,…, 23}

Поскольку x — длина стороны треугольника, x не может быть нулевым или отрицательным целым числом.

Но мы должны убедиться, что значение x учитывает длину третьей стороны длины 2x-4.

решить 2x-4 = 0

х = 2

Как было сказано ранее, у вас не может быть нулевой длины треугольника, поэтому x> 2.

Это оставляет вам набор значений x: {3,4,5, …, 22,23}

Длины наименьшего треугольника равны 3, 3, 2 с периметром 8.

Теперь нам нужно проверить верхнее значение x.

Длины самого большого треугольника 23, 23, 42 с периметром 88> 80 не могут быть в наборе.

22, 22, 40 с периметром 84> 80

21, 21, 38 с периметром 80; это не сработает, потому что вопрос требует, чтобы периметр был меньше 80. Значит, это должно быть 20.

20, 20, 36 с периметром 76

Окончательный ответ: набор возможных значений x: {3, 4, 5 ,…, 19, 20}. Используя неравенства, x является целым числом 3 <= x <= 20

Математическая сцена — Треугольники — Урок 1

Правила Урока 1 для треугольников

Обычно вершины треугольника обозначают заглавными буквами. буквы и боковые стороны строчными буквами.

Также принято маркировать сторону, противоположную углу A, знаком малый a, сторона, противоположная углу B, с малым b и сторона, противоположная углу C с маленькой c (см. диаграмму).

Стороны, образующие ответвления угла A, примыкают к A. Сторона, на которой стоит треугольник, называется основанием треугольника.

сумма углов треугольника 180 °. В этом легко убедиться, нарисовав прямую прямая, проходящая через угол B и параллельная стороне b. (см. диаграмму).

Углы, образованные этой линией, равны A, B и C (по правилу что чередующиеся углы между параллельными линиями равны).
Также A + B + C = 180, так как вместе они составляют прямую линию.

Прямая из угла B, перпендикулярная базовой линии b, называется высота треугольника. Высота обозначена буквой h на диаграмме ниже.

Ранее вы узнали, что площадь треугольника задается формула.

Площадь F = × b × h

Буква G используется здесь для обозначения точки, где высота и базы пересекаются.Эту точку иногда называют перпендикулярной проекцией точку B на прямую b.

Два треугольники называются подобными, если все углы одного треугольника равны все углы другого. Если мы хотим показать, что два треугольника похожи достаточно показать, что два угла равны. Если два угла равны, это Очевидно, что третий угол в каждом должен быть равен.

Треугольники на диаграмме выше похожи.Отсюда следует, что отношения между соответствующими сторонами равны одно и тоже.
Другими словами:

Теперь мы рассмотрим несколько примеров с использованием этих соотношений.

Треугольники на схеме похожи на равные углы обозначены таким же образом. Мы хотим рассчитать длину сторон помечены x и y.

Начнем с маркировки треугольников, чтобы мы могли видеть больше. легко, какие стороны соответствуют друг другу.

Мы можем записать следующие соотношения:

б / с = 36/33 = 24 / у = б / с

Это означает, что y / 24 = 33/36
и, следовательно, y = 24 × 33/36 = 22 см.

Также a / b = х / 36 = 20/24 = а / б

Еще одно правило, использующее пропорции в треугольниках можно вывести.

Проводим прямую, разрезающую с двух сторон треугольника и параллельна третьей стороне. Эта линия разделяет треугольник на две части, верхняя часть представляет собой треугольник, похожий на ABC, оригинальный треугольник. Обозначим стороны этого меньшего треугольника значком буквы x, y и z. Следующее сейчас правда:

Проведенная линия разделяет сторону c на две части, x и r, и сторону a на z и t.Подставляя x + r для c и z + t in для a в приведенном выше уравнении, мы получаем следующий результат:

Мы показали, что любая строка через две стороны треугольника и параллельно третьей стороне делит эти два стороны в таком же соотношении.

Пример 2

Две стороны треугольника ABC, AB и BC равны 30 см. длина и третья сторона AC, базовая линия, составляет 42 см. Проводим линию через точку X на AB, параллельную основанию, длиной 14 см.Найдите длину линий BX и AX.

¹⁴ / ₄₂ = ^XB / ₃₀

XB = ^{30 × 14} / ₄₂ = 10 размеры в см

AX = 30 — 10 = 90 283 20 размеры в см

В большинстве случаев, если мы хотим узнать размер углов треугольника нам нужно либо нарисовать точную диаграмму, либо измерьте углы или воспользуйтесь правилами тригонометрии.

Равносторонний. Равнобедренный. Прямоугольный.

В равностороннем У треугольника все стороны равны, а все углы равны 60.

В равнобедренном треугольнике две стороны одинаковой длины и два угла (углы, образованные основанием линии) равны. Если мы знаем один угол в равнобедренном треугольнике, мы можем найти другие углы. Перпендикуляр от вершины к базовой линии (высоте) в равнобедренный треугольник делит треугольник на два равных прямоугольных треугольники.

Стороны права угловой треугольник ABC удовлетворяет правилу Пифагора, то есть ² + b ² = c ² .

Также обратное истинный. Если соблюдается правило Пифагора, треугольник прямоугольный.

Мы можем проверить, что Третий треугольник на приведенной выше диаграмме расположен под прямым углом с использованием правила Пифагора.

5 ² + (53) ² = 10 ²

^{25 + 75 = 100}

Обратите внимание, что длина гипотенуза (10 см) в этом треугольнике вдвое больше длины кратчайшей стороны (5 см).
В этом случае углы треугольника всегда равны 30, 60 и 90 °.

Найдите площадь равностороннего треугольника со сторонами длиной 20 см.

Начнем с рисования высоты h треугольника. Это разделяет треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Используя правило Пифагора, мы можем рассчитать h.

ч ² + 5 ² = 10 ²

ч ² = 10 ² -5 ² = 100 — 25 = 75 = 5 ² × 3

ч = 53 ≈ 8.7

Площадь A = × 10 × h ≈ × 10 × 8,7 ≈ 43 см ²

Пример 4

Руки равнобедренного треугольника 30 см. в длину, а базовая линия — 42 см. Найдите длину линии, проведенной через две равные стороны, параллельной основание и 10 см от основания.

Сначала делим треугольник на два правых угловые треугольники, нарисовав высоту h от вершины до основания.Сейчас же мы используем правило Пифагора для расчета высоты.

ч ² + 21 ² = 30 ²

ч ² = 30 ² -21 ² = 459

ч ≈ 21,4

y = h — 10 ≈ 21,4 — 10 ≈ 11,4 см

Использование правила отношения для подобных треугольников получаем:

^y / _h = ^x / ₂₁

x ≈ ^{21 × 11.4} / _21,4 ≈ 11 см

Следовательно, длина параллельная линия 22 см .

Нарисуйте прямоугольный треугольник с помощью гипотенуза AB в качестве базовой линии, так что угол при вершине C равен 90. Мы затем нарисуйте высоту от C до AB, как показано на диаграмме:

Эта линия делит угол при вершине на два части (не равны, если треугольник не равнобедренный).Если одна часть — x, тогда другой должен быть 90− x. Легко видеть, что два базовых угла должны составлять 90 — x (на справа) и x (слева) как сумма углов в любом треугольнике всегда равна 180.

Обратите внимание, что все углы в обоих меньших треугольники, а также в исходном треугольнике ABC равны и равны 90, х и 90 — х. Следовательно, эти три треугольника похожи.

Следующее правило выполняется для всех прямоугольных треугольники:

высота, проведенная от вершины до гипотенузы, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, которые похожи на исходный треугольник.

Это дает три набора соотношений.

, обозначенные x и b, для стороны, противоположной углу, обозначенному 90− x, как показано на На диаграмме получаем следующее:

Два меньших треугольника похожи, поэтому

Исходный треугольник и треугольник с верхним углом x похожи поэтому

Исходный треугольник и треугольник с верхним углом 90 − x аналогичный

Пример 5

Дан прямоугольный треугольник с две более короткие стороны длиной 7 см и 10 см.Высота, нарисованная на гопотенузе делит треугольник на два треугольника. Найдите площадь этих двух треугольников.

Сначала воспользуемся Пифагором для вычисления длины гипотенузы, c.

c ² = 10 ² + 7 ² = 149, Тогда c ≈ 12,2 см

Затем мы используем одно из приведенных выше соотношений для вычисления a.

^a / _c = ^a / _a

a = a ² / _c ≈ 10 ² / _12.2 ≈ 8,2 см

А потом б.

b ≈ 12,2 — 8,2 ≈ 4 см

Теперь нам нужно рассчитать высоту h.

^b / _c = ^h / _a

h = ^ab / _c ≈ ^{10 × 7} / _12,2 ≈ 5,7 см

Области теперь легко найти.

Площадь F ₁ = × b × h ≈ × 4 × 5,7 ≈ 11,4 см ²

Участок F ₂ = × a × h ≈ × 8.2 × 5,7 ≈ 23,4 см ²

Попробуйте пройти тест 1 по треугольникам.

Не забудьте использовать контрольный список для следите за своей работой.

Простое руководство к треугольнику 30-60-90

Острый, тупой, равнобедренный, равносторонний… Когда дело доходит до треугольников, существует много различных разновидностей, но лишь немногие из них являются «особенными». У этих специальных треугольников есть стороны и углы, которые согласованы и предсказуемы, и их можно использовать, чтобы сократить ваш путь через геометрические или тригонометрические задачи.И треугольник 30-60-90 — произносится как «тридцать шестьдесят девяносто» — действительно оказывается очень особенным типом треугольника.

В этом руководстве мы расскажем, что такое треугольник 30-60-90, почему он работает и когда (и как) использовать свои знания о нем. Итак, приступим!

Что такое треугольник 30-60-90?

Треугольник 30-60-90 — это специальный прямоугольный треугольник (прямоугольный треугольник — это любой треугольник, который содержит угол 90 градусов), который всегда имеет углы градусов 30, 60 и 90 градусов.Поскольку это особый треугольник, у него также есть значения длины стороны, которые всегда находятся в постоянном соотношении друг с другом.

Базовое соотношение треугольника 30-60-90:

Сторона, противоположная углу 30 °: $ x

Сторона, противоположная углу 60 °: $ x * √3 $

Сторона, противоположная углу 90 °: 2 доллара x

Например, треугольник 30-60-90 градусов может иметь длину стороны:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

(Почему более длинная часть 3? В этом треугольнике самая короткая часть ($ x $) равна $ √3 $, поэтому для более длинной ветви $ x√3 = √3 * √3 = √9 = 3 $.А гипотенуза в 2 раза больше кратчайшего отрезка, или 2√3 $)

И так далее.

Сторона, противоположная углу 30 °, всегда является наименьшим , потому что 30 ° — наименьший угол. Сторона, противоположная углу 60 °, будет средней длиной , потому что 60 градусов — это средний угол в этом треугольнике. И, наконец, сторона, противоположная углу 90 °, всегда будет самой большой стороной (гипотенуза). , потому что 90 градусов — это наибольший угол.

Хотя он может выглядеть аналогично другим типам прямоугольных треугольников, причина того, что треугольник 30-60-90 настолько особенный, заключается в том, что вам нужно всего три части информации, чтобы найти любое другое измерение. Пока вы знаете значение двух угловых мер и длины одной стороны (неважно, с какой стороны), вы знаете все, что вам нужно знать о своем треугольнике.

Например, мы можем использовать формулу треугольника 30-60-90, чтобы заполнить все оставшиеся информационные поля треугольников ниже.

Пример 1

Мы видим, что это прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза вдвое больше длины одного из катетов. Это означает, что это должен быть треугольник 30-60-90, а меньшая заданная сторона противоположна 30 °.

Следовательно, более длинная полка должна располагаться напротив угла 60 ° и иметь размер $ 6 * √3 $ или 6√3 $.

Пример 2

Мы видим, что это должен быть треугольник 30-60-90, потому что мы видим, что это прямоугольный треугольник с одним заданным размером 30 °.Тогда немаркированный угол должен составлять 60 °.

Поскольку 18 — это мера, противоположная углу 60 °, она должна быть равна $ x√3 $. Тогда самая короткая ветка должна иметь размер 18 долл. США / √3 долл. США.

(обратите внимание, что длина отрезка на самом деле будет $ 18 / {√3} * {√3} / {√3} = {18√3} / 3 = 6√3 $, потому что знаменатель не может содержать радикал / квадратный корень) .

А гипотенуза будет 2 $ (18 / √3)

(обратите внимание, что, опять же, у вас не может быть радикала в знаменателе, поэтому окончательный ответ будет в два раза больше длины ноги $ 6√3 $ => $ 12√3 $).

Пример 3

Опять же, нам даны два измерения угла (90 ° и 60 °), поэтому третье измерение будет 30 °. Так как это треугольник 30-60-90, а гипотенуза равна 30, самый короткий отрезок будет равен 15, а более длинный отрезок будет равен 15√3.

Не нужно обращаться к волшебному шару-восьмерке — эти правила работают всегда.

Почему это работает: 30-60-90 Доказательство теоремы о треугольнике

Но почему этот особый треугольник работает именно так? Как мы узнаем, что эти правила законны? Давайте подробно рассмотрим, как работает теорема треугольника 30-60-90, и докажем, почему эти длины сторон всегда будут согласованными.

Во-первых, давайте на секунду забудем о прямоугольных треугольниках и посмотрим на равносторонний треугольник .

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны и углы равны. Поскольку внутренние углы треугольника всегда составляют в сумме 180 ° и $ 180/3 = 60 $, равносторонний треугольник всегда будет иметь три угла по 60 °.

Теперь давайте опустим высоту от самого верхнего угла до основания треугольника.

Теперь у нас созданы два прямых угла и два конгруэнтных (равных) треугольника.

Откуда мы знаем, что это равные треугольники? Поскольку мы опустили высоту из равностороннего треугольника , мы разделили основание ровно пополам. Новые треугольники также имеют одну длину стороны (высоту), и каждый из них имеет одинаковую длину гипотенузы. Поскольку у них три общих длины стороны (SSS), это означает, что треугольников совпадают.

Примечание: два треугольника совпадают не только на основе принципов длины стороны-стороны, или SSS, но также на основе измерений стороны-угла-стороны (SAS), угла-угла-стороны (AAS) и угла. -угловой (ASA).По сути? Они определенно совпадают.

Теперь, когда мы доказали конгруэнтность двух новых треугольников, мы видим, что каждый из верхних углов должен быть равен 30 градусам (потому что каждый треугольник уже имеет углы 90 ° и 60 ° и в сумме должно составлять 180 °). . Это означает, что мы сделали два треугольника 30-60-90.

И поскольку мы знаем, что мы разрезаем основание равностороннего треугольника пополам, мы можем видеть, что сторона, противоположная углу 30 ° (самая короткая сторона) каждого из наших треугольников 30-60-90, составляет ровно половину длины треугольника. гипотенуза.2} / 4

$ b = {√3x} / 2 $

Итак, у нас осталось: $ x / 2, {x√3} / 2, x $

Теперь давайте умножим каждую меру на 2, чтобы облегчить жизнь и избежать всех дробей. Таким образом, у нас осталось:

$ x $, $ x√3 $, 2x $

Таким образом, мы можем видеть, что треугольник 30-60-90 будет всегда иметь одинаковую длину сторон $ x $, $ x√3 $ и $ 2x $ (или $ x / 2 $, $ {√3x } / 2 $ и $ x $).

К счастью для нас, мы можем доказать, что правила треугольника 30-60-90 верны без всего…это.

Когда использовать правила треугольника 30-60-90

Знание правил треугольника 30-60-90 поможет вам сэкономить время и силы при решении множества различных математических задач, а именно, большого разнообразия задач по геометрии и тригонометрии.

Геометрия

Правильное понимание треугольников 30-60-90 позволит вам решать вопросы геометрии, которые либо невозможно решить, не зная этих правил соотношения, либо, по крайней мере, потребуется значительное время и усилия для решения «долгого пути».«

С помощью специальных соотношений треугольников вы можете вычислить недостающие высоты или длины участков треугольника (без использования теоремы Пифагора), найти площадь треугольника, используя недостающую информацию о высоте или базовой длине, и быстро вычислить периметры.

Каждый раз, когда вам нужна скорость, чтобы ответить на вопрос, вам пригодятся такие ярлыки, как правила 30-60-90.

Тригонометрия

Запоминание и понимание соотношения треугольников 30-60-90 также позволит вам решать многие тригонометрические задачи без использования калькулятора или необходимости приближать ваши ответы в десятичной форме.

Треугольник 30-60-90 имеет довольно простые синусы, косинусы и тангенсы для каждого угла (и эти измерения всегда будут согласованы).

Синус 30 ° всегда будет $ 1/2 $.

Косинус 60 ° всегда будет $ 1/2 $.

Хотя другие синусы, косинусы и касательные довольно просты, их легче всего запомнить, и они, вероятно, обнаружатся на тестах. Таким образом, знание этих правил позволит вам как можно быстрее найти эти тригонометрические измерения.

Советы по запоминанию правил 30-60-90

Вы знаете, что эти правила соотношения 30-60-90 полезны, но как вы удерживаете информацию в своей голове? Чтобы помнить правила треугольника 30-60-90, нужно помнить о соотношении 1: √3: 2 и знать, что длина самой короткой стороны всегда противоположна самому короткому углу (30 °), а длина самой длинной стороны всегда противоположна наибольший угол (90 °).

Некоторые люди запоминают соотношение, думая: « $ \ bi x $, $ \ bo 2 \ bi x $, $ \ bi x \ bo √ \ bo3 $, », потому что последовательность «1, 2, 3» обычно легко запомнить. Единственное предостережение при использовании этого метода — помнить, что самая длинная сторона на самом деле — это $ 2x $, не $ x $ умноженное на $ √3 $.

Еще один способ запомнить ваши отношения — это использовать мнемоническую игру слов на соотношении 1: корень 3: 2 в их правильном порядке. Например, «Джеки Митчелл выбил Лу Герига и« выиграл и Рути тоже »»: один, корень три, два. (И это, кстати, настоящий факт из истории бейсбола!)

Поиграйте со своими собственными мнемоническими устройствами, если они вам не нравятся — спойте отношение к песне, найдите свои собственные фразы «один, корень три, два» или придумайте стихотворение о соотношении.Вы даже можете просто запомнить, что треугольник 30-60-90 — это половина равносторонней стороны, и вычислить оттуда размеры, если вам не нравится их запоминать.

Однако для вас имеет смысл запомнить эти правила 30-60-90, держите эти соотношения в уме для будущих вопросов по геометрии и тригонометрии.

Запоминание — ваш друг, однако вы можете сделать это возможным.

Указывает ли ваша школа, что ваш средний балл является взвешенным или невзвешенным? Каким будет ваш средний балл, с учетом 4.Шкала 0, 5.0 или 6.0? Воспользуйтесь нашим инструментом, чтобы рассчитать свой невзвешенный и взвешенный средний балл успеваемости, чтобы выяснить, как вы соотноситесь с другими поступающими в колледж. Вы также получите наш собственный расчет среднего балла среднего балла колледжа и советы о том, где можно улучшить, чтобы стать лучшим поступающим в колледж.

Пример 30-60-90 Вопросы

Теперь, когда мы рассмотрели «как» и «почему» 30-60-90 треугольников, давайте поработаем над некоторыми практическими задачами.

Геометрия

Строитель прислоняет 40-футовую лестницу к стене здания под углом 30 градусов от земли.Земля ровная, а сторона здания перпендикулярна земле. Как далеко вверх по зданию до ближайшего подножия ведет лестница?

Не зная наших специальных правил треугольника 30-60-90, нам пришлось бы использовать тригонометрию и калькулятор, чтобы найти решение этой проблемы, поскольку у нас есть только одно измерение стороны треугольника. Но поскольку мы знаем, что это особый треугольник , мы можем найти ответ за считанные секунды.

Если здание и земля перпендикулярны друг другу, это должно означать, что здание и земля образуют прямой (90 °) угол.Также известно, что лестница встречается с землей под углом 30 °. Таким образом, мы видим, что оставшийся угол должен составлять 60 °, что составляет треугольник 30-60-90.

Теперь мы знаем, что гипотенуза (самая длинная сторона) этого 30-60-90 составляет 40 футов, что означает, что самая короткая сторона будет вдвое меньше. (Помните, что самая длинная сторона всегда вдвое длиннее — $ 2x $ — самой короткой стороны.) Поскольку самая короткая сторона находится напротив угла 30 °, и этот угол является мерой лестницы от земли в градусах, это означает, что верхняя часть лестницы ударяется о здание на высоте 20 футов от земли.

Наш окончательный ответ — 20 футов.

Тригонометрия

Если в прямоугольном треугольнике sin Θ = $ 1/2 $, а длина самого короткого участка равна 8. Какова длина недостающей стороны, НЕ являющейся гипотенузой?

Так как вы знаете свои правила 30-60-90, вы можете решить эту задачу без использования теоремы Пифагора или калькулятора.

Нам сказали, что это прямоугольный треугольник, и мы знаем из наших специальных правил прямоугольного треугольника, что синус 30 ° = $ 1/2 $.Следовательно, недостающий угол должен составлять 60 градусов, что делает треугольник 30-60-90.

И поскольку это треугольник 30-60-90, и нам сказали, что самая короткая сторона равна 8, гипотенуза должна быть равна 16, а недостающая сторона должна быть $ 8 * √3 $ или 8√3 $.

Наш окончательный ответ — 8√3.

На вынос

Запомнив правила для треугольников 30-60-90, вы сможете сократить свой путь через множество математических задач .Но имейте в виду, что, хотя знание этих правил — удобный инструмент, который нужно держать на поясе, вы все равно можете решить большинство проблем без них.

Следите за правилами $ x $, $ x√3 $, $ 2x $ и 30-60-90 любым понятным для вас образом и старайтесь придерживаться их, если можете, но не паникуйте, если вы ум исчезает, когда наступает время крушения. В любом случае, у вас есть это.

И, если вам нужно больше практики, продолжайте и проверяйте эту викторину с треугольником 30-60-90. Удачной сдачи теста!

Площадь треугольника — веб-формулы

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами, который можно разделить на следующие типы:

· Равносторонний треугольник имеет равные стороны и равные углы.

· Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла.

· Разносторонний треугольник имеет три неравные стороны и три неравных угла.

· Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол (90 °).

· Остроугольный треугольник имеет все углы менее 90 °.

· У треугольника с тупым углом один угол больше 90 °.

Периметр треугольника = Сумма трех сторон.

На рисунке рядом с ΔABC периметр представляет собой сумму AB + BC + AC.

Площадь треугольника определяется как:

A = ½ × основание × высота

Любая сторона треугольника может считаться его основанием.

Тогда длина перпендикулярной линии от противоположной вершины принимается за соответствующую высоту или высоту.
Таким образом, на приведенном выше рисунке площадь задается как: ½ × AC × BD .

Дополнительные формулы для определения площади треугольника:

Площадь треугольника = √ (s (sa) (sb) (sc)) по формуле Герона (или формуле Героя), где a , b и c — длины сторон треугольника, а s = ½ ( a + b + c ) — это полупериметр треугольника.

Площадь равностороннего треугольника

A = √ (3) · ¼ · сторона, где сторона = a = b = c

Площадь равнобедренного треугольника

A = ¼ · b · √ (4a ² — b ² )

Площадь прямоугольного треугольника

A = ½ × Произведение сторон, содержащих прямой угол.

Если даны две стороны и угол между ними, то площадь треугольника можно определить по следующей формуле:

Площадь = ½ · a · b · sinC = ½ · b · c · sinA = ½ · a · c · sin B

Пример 1: Найдите площадь треугольника с основанием 14 см и высотой 10 см.

Решение :

b = 14 см

h = 10 см

A = ½ · 14 · 10 = 70 см ²

Пример 2: Найдите площадь треугольника, стороны и угол между которыми задаются следующим образом:

a = 5 см и b = 7 см

C = 45 ^o

Решение:

Площадь треугольника = ½ · a · b · sinC

Площадь = ½ × 5 × 7 × 0.707 (с sin 45 ° = 0,707)

Площадь = ½ × 24,745 = 12,3725 м ²

Пример 3: Найдите площадь (в м ² ) равнобедренного треугольника со сторонами 10 м и основанием 12 м.

Решение:

Площадь равнобедренного треугольника определяется по:

A = ¼ · b · √ (4a ² — b ² )

A = ¼ · 12 · √ (4 (10) ² — (12) ² )

A = 48 м ²

Пример 4: Найдите площадь треугольника со сторонами 8, 9 и 11 соответственно.Все единицы измеряются в метрах (м).

Решение :

Дано: стороны a = 8, b = 9 и c = 11

Согласно формуле Герона площадь треугольника может быть определена по следующей формуле:

A = √ (s (s-a) (s-b) (s-c))

Прежде всего, нам нужно определить s, который является полупериметром треугольника:

s = ½ ( a + b + c ) = ½ ( 8 + 9 + 11 ) = 14

Теперь, подставляя значение полупериметра в формулу Герона, мы можем определить площадь треугольника:

A = √ ( s · ( s-a ) · ( s-b ) · ( s-c ))

A = √ ( 14 · ( 14-8 ) · ( 14-9 ) · ( 14-11 ))

A = √ ( 1260 ) = 35.50 м ²

Пример 5: Фермер Муннабхай владеет треугольным участком земли. Длина забора АВ — 150 м. Длина забора БЦ 231 м. Угол между ограждением AB и ограждением BC составляет 123º.

Сколько земли в собственности фермера Муннабхаи?

Решение: Прежде всего мы должны решить, какие длины и углы нам известны:

• AB = c = 150 м
• BC = a = 231 м
• и угол B = 123º

Для определения площади земли мы можем использовать следующую формулу:

Площадь = ½ · c · a · sin B

Площадь = ½ × 150 × 231 × sin (123º)

Площадь = 17,325 × 0.8386

Площадь = 14 529 м ²

Следовательно, у фермера Муннабхаи 14 529 м ² земли.

Онлайн-калькулятор площади

9.7: Использование свойств прямоугольников, треугольников и трапеций (часть 2)

Использование свойств треугольников

Теперь мы знаем, как найти площадь прямоугольника. Мы можем использовать этот факт, чтобы визуализировать формулу площади треугольника.В прямоугольнике на рисунке \ (\ PageIndex {9} \) мы обозначили длину b и ширину h, так что это площадь bh.

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \) — Площадь прямоугольника равна основанию b, умноженному на высоту h.

Мы можем разделить этот прямоугольник на два конгруэнтных треугольника (рисунок \ (\ PageIndex {10} \)). Конгруэнтные треугольники имеют одинаковую длину сторон и углы, поэтому их площади равны. Площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника или \ (\ dfrac {1} {2} \) bh.Этот пример помогает нам понять, почему формула для вычисления площади треугольника имеет вид A = \ (\ dfrac {1} {2} \) bh.

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \) — прямоугольник можно разделить на два треугольника равной площади. Площадь каждого треугольника составляет половину площади прямоугольника.

Формула площади треугольника: A = \ (\ dfrac {1} {2} \) bh, где b — основание, а h — высота. Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать его основание и высоту. Основание — это длина одной стороны треугольника, обычно стороны внизу.Высота — это длина линии, которая соединяет основание с противоположной вершиной и составляет с основанием угол 90 °. На рисунке \ (\ PageIndex {11} \) показаны три треугольника с отмеченными основанием и высотой каждого.

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \) — Высота h треугольника — это длина отрезка линии, который соединяет основание с противоположной вершиной и составляет с основанием угол 90 °.

Определение: Свойства треугольника

Для любого треугольника ΔABC сумма углов равна 180 °.$$ m \ angle A + m \ angle B + m \ angle C = 180 ° $$ Периметр треугольника равен сумме длин сторон. $$ P = a + b + c $$ Площадь треугольник равен половине основания b, умноженной на высоту h. $$ A = \ dfrac {1} {2} bh \]

Пример \ (\ PageIndex {9} \):

Найдите площадь треугольника с основанием 11 дюймов и высотой 8 дюймов.

Решение

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \):

Найдите площадь треугольника с основанием 13 дюймов и высотой 2 дюйма.

Ответ

13 кв. Дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {18} \):

Найдите площадь треугольника с основанием 14 дюймов и высотой 7 дюймов.

Ответ

49 кв. Дюймов

Пример \ (\ PageIndex {10} \):

Периметр треугольного сада составляет 24 фута. Длина двух сторон составляет 4 фута и 9 футов. Какова длина третьей стороны?

Решение

Упражнение \ (\ PageIndex {19} \):

Периметр треугольного сада составляет 48 футов. Длина двух сторон 18 футов и 22 фута. Какова длина третьей стороны?

Ответ

8 футов

Упражнение \ (\ PageIndex {20} \):

Длина двух сторон треугольного окна составляет 7 футов 5 футов. Периметр 18 футов.Какова длина третьей стороны?

Ответ

6 футов

Пример \ (\ PageIndex {11} \):

Площадь треугольного церковного окна — 90 квадратных метров. База окна 15 метров. Какая высота окна?

Решение

Упражнение \ (\ PageIndex {21} \):

Площадь треугольной картины составляет 126 квадратных дюймов. База 18 дюймов.Какая высота?

Ответ

14 дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {22} \):

Треугольная дверь палатки имеет площадь 15 квадратных футов. Высота 5 футов. Что такое база?

Ответ

6 футов

Равнобедренные и равносторонние треугольники

Помимо прямоугольного треугольника, некоторые другие треугольники имеют особые имена. Треугольник с двумя сторонами равной длины называется равнобедренным треугольником .Треугольник с тремя сторонами равной длины называется равносторонним треугольником . На рисунке \ (\ PageIndex {12} \) показаны оба типа треугольников.

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \) — В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, а третья сторона является основанием. В равностороннем треугольнике все три стороны имеют одинаковую длину.

Определение: равнобедренные и равносторонние треугольники

Равнобедренный треугольник имеет две стороны одинаковой длины.

Равносторонний треугольник имеет три стороны равной длины.

Пример \ (\ PageIndex {12} \):

Периметр равностороннего треугольника составляет 93 дюйма. Найдите длину каждой стороны.

Решение

Упражнение \ (\ PageIndex {23} \):

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 39 дюймов.

Ответ

13 дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {24} \):

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 51 сантиметр.

Ответ

17 см

Пример \ (\ PageIndex {13} \):

У Арианны есть 156 дюймов бисера, которые можно использовать для обрезки шарфа. Платок будет представлять собой равнобедренный треугольник с основанием 60 дюймов. Как долго она сможет сделать две равные стороны?

Решение

Упражнение \ (\ PageIndex {25} \):

Палуба заднего двора имеет форму равнобедренного треугольника с основанием 20 футов. Периметр палубы 48 футов. Какова длина каждой из равных сторон колоды?

Ответ

14 футов

Упражнение \ (\ PageIndex {26} \):

Парус лодки представляет собой равнобедренный треугольник с основанием 8 метров. Периметр — 22 метра. Какова длина каждой из равных сторон паруса?

Ответ

7 м

Используйте свойства трапеций

Трапеция — это четырехсторонняя фигура, четырехугольник с двумя сторонами, которые параллельны, и двумя сторонами, которые не параллельны.Параллельные стороны называются основаниями. Мы называем длину меньшего основания b и длину большего основания B. Высота h трапеции — это расстояние между двумя основаниями, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {13} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \) — Трапеция имеет большее основание, B, и меньшее основание, b. Высота h — это расстояние между основаниями.

Формула площади трапеции:

\ [Area_ {trapezoid} = \ dfrac {1} {2} h (b + B) \]

Разделение трапеции на два треугольника может помочь нам понять формулу.Площадь трапеции — это сумма площадей двух треугольников. См. Рисунок \ (\ PageIndex {14} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \) — Разделение трапеции на два треугольника может помочь вам понять формулу для ее площади.

Высота трапеции — это также высота каждого из двух треугольников. См. Рисунок \ (\ PageIndex {15} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \)

Формула площади трапеции

\ [Area_ {trapezoid} = \ dfrac {1} {2} h (\ textcolor {blue} {b} + \ textcolor {red} {B}) \]

Если раздадим, то получим,

Определение: Свойства трапеций

• Трапеция имеет четыре стороны.См. Рисунок 9.25.
• Две его стороны параллельны, а две — нет.
• Площадь A трапеции равна A = \ (\ dfrac {1} {2} \) h (b + B).

Пример \ (\ PageIndex {14} \):

Найдите площадь трапеции, высота которой 6 дюймов, а основания 14 и 11 дюймов.

Решение

Если мы нарисуем прямоугольник вокруг трапеции с таким же большим основанием B и высотой h, его площадь должна быть больше, чем у трапеции.

Если мы нарисуем внутри трапеции прямоугольник с таким же основанием b и высотой h, его площадь должна быть меньше, чем у трапеции.

Площадь большего прямоугольника составляет 84 квадратных дюйма, а площадь меньшего прямоугольника — 66 квадратных дюймов.Таким образом, имеет смысл, что площадь трапеции составляет от 84 до 66 квадратных дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {27} \):

Высота трапеции — 14 ярдов, а основание — 7 и 16 ярдов. Какой район?

Ответ

161 кв. Ярд

Упражнение \ (\ PageIndex {28} \):

Высота трапеции 18 сантиметров, основания 17 и 8 сантиметров.Какой район?

Ответ

255 кв. См

Пример \ (\ PageIndex {15} \):

Найдите площадь трапеции высотой 5 футов и основаниями 10,3 и 13,7 футов.

Решение

Упражнение \ (\ PageIndex {29} \):

Высота трапеции 7 сантиметров, оснований 4.6 и 7,4 сантиметра. Какой район?

Ответ

42 кв. См

Упражнение \ (\ PageIndex {30} \):

Высота трапеции 9 метров, оснований 6,2 и 7,8 метра. Какой район?

Ответ

63 кв.м

Пример \ (\ PageIndex {16} \):

У Винни есть сад в форме трапеции. Трапеция имеет высоту 3.4 ярда, а основания — 8,2 и 5,6 ярда. Сколько квадратных ярдов будет доступно для посадки?

Решение

Упражнение \ (\ PageIndex {31} \):

Линь хочет подстричь лужайку, имеющую форму трапеции.Основания составляют 10,8 ярда и 6,7 ярда, а высота — 4,6 ярда. Сколько квадратных ярдов дерна ему нужно?

Ответ

40,25 кв. Ярда

Упражнение \ (\ PageIndex {32} \):

Кира хочет покрыть свой внутренний двор бетонной брусчаткой. Если внутренний дворик имеет форму трапеции с основанием 18 футов 14 футов и высотой 15 футов, сколько квадратных футов брусчатки ему понадобится?

Ответ

240 кв.фут

Практика ведет к совершенству

Использование свойств прямоугольников

В следующих упражнениях найдите (а) периметр и (б) площадь каждого прямоугольника.

141. Длина прямоугольника составляет 85 футов, а ширина — 45 футов.
142. Длина прямоугольника составляет 26 дюймов, а ширина — 58 дюймов.
143. Прямоугольная комната 15 футов шириной и 14 футов длиной.
144. Подъездная дорога имеет форму прямоугольника 20 футов шириной и 35 футов длиной.

В следующих упражнениях решите.

145. Найдите длину прямоугольника с периметром 124 дюйма и шириной 38 дюймов.
146. Найдите длину прямоугольника с периметром 20,2 ярда и шириной 7,8 ярда.
147. Найдите ширину прямоугольника с периметром 92 метра и длиной 19 метров.
148. Найдите ширину прямоугольника с периметром 16,2 метра и длиной 3,2 метра.
149. Площадь прямоугольника 414 квадратных метров.Длина 18 метров. Какая ширина?
150. Площадь прямоугольника 782 квадратных сантиметра. Ширина 17 сантиметров. Какая длина?
151. Длина прямоугольника на 9 дюймов больше ширины. По периметру 46 дюймов. Найдите длину и ширину.
152. Ширина прямоугольника на 8 дюймов больше его длины. По периметру 52 дюйма. Найдите длину и ширину.
153. Периметр прямоугольника 58 метров. Ширина прямоугольника на 5 метров меньше длины.Найдите длину и ширину прямоугольника.
154. Периметр прямоугольника 62 фута. Ширина на 7 футов меньше длины. Найдите длину и ширину.
155. Ширина прямоугольника на 0,7 метра меньше длины. Периметр прямоугольника 52,6 метра. Найдите размеры прямоугольника.
156. Длина прямоугольника на 1,1 метра меньше ширины. Периметр прямоугольника 49,4 метра. Найдите размеры прямоугольника.
157. Периметр прямоугольника 150 футов. Длина прямоугольника в два раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.
158. Длина прямоугольника в три раза больше ширины. Периметр 72 фута. Найдите длину и ширину прямоугольника.
159. Длина прямоугольника на 3 метра меньше двойной ширины. Периметр — 36 метров. Найдите длину и ширину.
160. Длина прямоугольника на 5 дюймов больше, чем в два раза ширины.По периметру 34 дюйма. Найдите длину и ширину.
161. Ширина прямоугольного окна 24 дюйма. Площадь — 624 квадратных дюйма. Какая длина?
162. Длина прямоугольного плаката составляет 28 дюймов. Площадь составляет 1316 квадратных дюймов. Какая ширина?
163. Площадь прямоугольной крыши — 2310 квадратных метров. Длина 42 метра. Какая ширина?
164. Площадь прямоугольного брезента составляет 132 квадратных фута. Ширина 12 футов. Какая длина?
165. Периметр прямоугольного двора составляет 160 футов.Длина на 10 футов больше ширины. Найдите длину и ширину.
166. Периметр прямоугольной картины 306 сантиметров. Длина на 17 сантиметров больше ширины. Найдите длину и ширину.
167. Ширина прямоугольного окна на 40 дюймов меньше высоты. Периметр дверного проема — 224 дюйма. Найдите длину и ширину.
168. Ширина прямоугольной площадки на 7 метров меньше длины. Периметр детской площадки 46 метров.Найдите длину и ширину.

Используйте свойства треугольников

В следующих упражнениях решайте задачи, используя свойства треугольников.

169. Найдите площадь треугольника с основанием 12 дюймов и высотой 5 дюймов.
170. Найдите площадь треугольника с основанием 45 см и высотой 30 см.
171. Найдите площадь треугольника с основанием 8,3 метра и высотой 6,1 метра.
172. Найдите площадь треугольника с основанием 24.2 фута и высотой 20,5 футов.
173. Треугольный флаг имеет основание 1 фут и высоту 1,5 фута. Какая у него площадь?
174. Треугольное окно имеет основание 8 футов и высоту 6 футов. Какая у него площадь?
175. Если треугольник имеет стороны 6 футов и 9 футов, а периметр равен 23 футам, какова длина третьей стороны?
176. Если треугольник имеет стороны 14 и 18 см, а периметр равен 49 см, какова длина третьей стороны?
177. Что такое основание треугольника площадью 207 квадратных дюймов и высотой 18 дюймов?
178. Какова высота треугольника площадью 893 квадратных дюйма и основанием 38 дюймов?
179. Периметр треугольного отражающего бассейна составляет 36 ярдов.Длина двух сторон составляет 10 ярдов и 15 ярдов. Какова длина третьей стороны?
180. Треугольный двор имеет периметр 120 метров. Длина двух сторон 30 метров и 50 метров. Какова длина третьей стороны?
181. Равнобедренный треугольник имеет основание 20 сантиметров. Если периметр равен 76 сантиметрам, найдите длину каждой из других сторон.
182. Равнобедренный треугольник имеет основание 25 дюймов. Если периметр составляет 95 дюймов, найдите длину каждой из других сторон.
183. Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 51 ярд.
184. Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 54 метра.
185. Периметр равностороннего треугольника 18 метров. Найдите длину каждой стороны.
186. Периметр равностороннего треугольника составляет 42 мили. Найдите длину каждой стороны.
187. Периметр равнобедренного треугольника составляет 42 фута. Длина самой короткой стороны — 12 футов.Найдите длину двух других сторон.
188. Периметр равнобедренного треугольника составляет 83 дюйма. Длина самой короткой стороны — 24 дюйма. Найдите длину двух других сторон.
189. Блюдо в форме равностороннего треугольника. Каждая сторона 8 дюймов в длину. Найдите периметр.
190. Напольная плитка имеет форму равностороннего треугольника. Каждая сторона 1,5 фута в длину. Найдите периметр.
191. Дорожный знак в форме равнобедренного треугольника имеет основание 36 дюймов.Если периметр составляет 91 дюйм, найдите длину каждой из других сторон.
192. Платок в форме равнобедренного треугольника имеет основу 0,75 метра. Если периметр составляет 2 метра, найдите длину каждой из других сторон.
193. Периметр треугольника составляет 39 футов. Одна сторона треугольника на 1 фут длиннее второй. Третья сторона на 2 фута длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.
194. Периметр треугольника составляет 35 футов.Одна сторона треугольника на 5 футов длиннее второй. Третья сторона на 3 фута длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.
195. Одна сторона треугольника в два раза меньше наименьшей стороны. Третья сторона на 5 футов больше самой короткой. Периметр — 17 футов. Найдите длины всех трех сторон.
196. Одна сторона треугольника в три раза больше наименьшей стороны. Третья сторона на 3 фута больше самой короткой. Периметр — 13 футов. Найдите длины всех трех сторон.

Использование свойств трапеций

В следующих упражнениях решайте, используя свойства трапеций.

197. Высота трапеции составляет 12 футов, а основания — 9 и 15 футов. Какой район?
198. Высота трапеции 24 ярда, а основания 18 и 30 ярдов. Какой район?
199. Найдите площадь трапеции высотой 51 метр и основаниями 43 и 67 метров.
200. Найдите площадь трапеции высотой 62 дюйма и основаниями 58 и 75 дюймов.
201. Высота трапеции составляет 15 сантиметров, а основания — 12,5 и 18,3 сантиметра.