x2 36 0 решите неравенство

Вы искали x2 36 0 решите неравенство? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и решите неравенство 2 x 36 0, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «x2 36 0 решите неравенство».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как x2 36 0 решите неравенство,решите неравенство 2 x 36 0,решите неравенство 36 x 2 0,решите неравенство x2 36 0,решите неравенство х2 36 больше 0.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и x2 36 0 решите неравенство. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, решите неравенство 36 x 2 0).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же x2 36 0 решите неравенство Онлайн?

Решить задачу x2 36 0 решите неравенство вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Квадратные неравенства. Как решать квадратные неравенства?

Квадратными неравенствами называют неравенства, которые можно привести к виду \(ax^2+bx+c\) \(⋁\) \(0\), где \(a\),\(b\) и \(с\) — любые числа (причем \(a≠0\)), \(x\) – неизвестная переменная, а \(⋁\) –  любой из знаков сравнения (\(>\),\(<\),\(≤\),\(≥\)). 2\)                               \(D=1-4 \cdot (-9) \cdot 8=289\)       
                             \(x_1=\frac{6-10}{2}=-2\)                                                     \(x_1=\frac{-1+17}{-18}=\frac{16}{-18}=-\frac{8}{9}\)                          \(x_2=\frac{6+10}{2}=8\)                                                         \(x_2=\frac{-1-17}{-18}=\frac{-18}{-18}=1\)
   \((x-8)(x+2)<0\)                                                     \(-9(x+\frac{8}{9})(x-1)≤0\)

  • Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. Если неравенство строгое (со знаком \(<\) или \(>\)) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком \(≤\) или \(≥\)), то точки должны быть закрашены.

                            

  • Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.
    В первом справа интервале поставьте:
       \(-\) знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число
       \(-\) знак минус если перед скобками стоит знак минус.
    В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.

                              

  • Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки:
       \(-\) со знаком «\(+\)», если в неравенстве стояло «\(>0\)» или «\(≥0\)»
       \(-\) со знаком «\(-\)», если в неравенстве стояло «\(<0\)» или «\(≤0\)»

                                

  • Выпишите в ответ те интервалы, которые вы заштриховали.
    Внимание! При строгих знаках неравенства (\(<\) или \(>\)) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде \((x_1;x_2)\) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства (\(≤\) или \(≥\)) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде \([x_1;x_2]\), с квадратными скобками на точках.

    Ответ: \((-2;8)\)                                                             Ответ: \((-∞;\frac{8}{9}]∪[1;∞)\)

    • Пример. 2\)
    \(x_1=\frac{-10-14}{6}=-4\)          \(x_2=\frac{-10+14}{6}=\frac{2}{3}\)

     

     

    Когда корни найдены, запишем неравенство в разложенном на множители виде.

    \(3(x+4)(x-\frac{2}{3})≥0\)

    Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.

    Выпишем в ответ интересующие нас интервалы . Так как знак неравенства \(≥\), то нам нужны интервалы со знаком \(+\), при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).

    Ответ: \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac{2}{3};∞)\)

    Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом

    Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть квадратный трехчлен имеет \(2\) корня. 2-64<0\)
    \(D=-4 \cdot 64<0\)

    Когда выражение слева меньше нуля?

    Всегда. Значит неравенство выполняется при любых \(x\).

    Ответ: \(x∈(-∞;∞)\)

     

    Смотрите также:
    Дробно-рациональные неравенства


    Скачать статью

    Тест по алгебре с ответами

    Тест по алгебре с ответами — Gee Test наверх Страница 1 из 3Страница 2 из 3Страница 3 из 3
    • 1. [2; 11)
    • 2. (-11; 2]
    • 3. [-2; 7)
    • 4. (-7; -2]

    • 1. [-2; 0]
    • 2. (-∞; 0] U [2; ∞)
    • 3. (-∞; 2) U (2; ∞)
    • 4. [0; 2)
    • 1. все
    • 2. 2,3,4
    • 3.
      1,2,4
    • 4. 1,4
    • 1. (-∞; -1] U [3; ∞)
    • 2. Не подлежит решению
    • 3. [1; 3]
    • 4. [-1; 3]
    • 1. (8/19; 4/5]
    • 2. (-∞; 4/5]
    • 3. (8/19; ∞)
    • 4. x ∈ R
    • 1. (а — b)
    • 2. (а + b) ≥ 28
    • 3. (b — 2a) / a
    • 4. b/a > 1,5
    • 1. 0,25
    • 2. 0,75
    • 3. 0,5
    • 4. 0,6

    • 1. 2k — 2n
    • 2. -2n
    • 3. -2m
    • 4. 2m — 2k
    • 1. -1/16
    • 2. 1/4
    • 3. 3/18
    • 4. -1/8
    • 1. 11 2/5
    • 2. 11 8/13
    • 3. 12 4/5
    • 4. 12 1/5
    • 1. 0,36
    • 2. 0,64
    • 3. -0,36
    • 4. -3,6
    • 1. 2z-2y
    • 2. 2y-2z
    • 3. 0
    • 4. 2у-2х
    • 1. 2p + 2k
    • 2. 2p
    • 3. 2q
    • 4. 2p + 2q — 2k

    • 1. 1,3,4
    • 2. 1,2,4
    • 3. 2,3,4
    • 4. все
    • 1. 4 — a
    • 2. 3 — a
    • 3. 5 — a
    • 4. 3 — a/2
    • 1. (4 — 2c)(6 + 2c)
    • 2. (4 + 2c)(6 — 2c)
    • 3. (4 — 2c)(6 — 2c)
    • 4. (2c -4)(2c — 6)
    • 1. (8а — 2)(8 — 8а)
    • 2. (8а — 2)(8 + 8а)
    • 3. (8а + 2)(8 — 8а)
    • 4. (8а + 2)(8а — 8)
    • 1. (2х — 1)(7 — 2х)
    • 2. (2х + 1)(7 — 2х)
    • 3. (2х + 1)(2х — 7)
    • 4. (2х — 1)(2х + 7)
    • 1. 3х — 3
    • 2. 3х + 2
    • 3. 3х — 2
    • 4. 3х + 3
    • 1. (x — 3)(4 — x)
    • 2. (x + 3)(4 — x)
    • 3. (x + 3)(x — 4)
    • 4. (x — 3)(x + 4)
    • 1. Зх — З
    • 2. Зх + 2
    • 3. Зх + 3
    • 4. Зх — 2
    • 1. 2ab — 2ac
    • 2. 0
    • 3. -2ac
    • 4. 2ab — 2bc
    • 1. (y — x) / x
    • 2. 1 — x/y
    • 3. (x — y) / y·(1 + y)
    • 4. (x — y) / y
    • 1. 2b1/2
    • 2. -2a1/2
    • 3. 2a1/2 — 2b1/2
    • 4. 0
    Страница 1 из 3Страница 2 из 3Страница 3 из 3

    Решебник (ГДЗ) по алгебре 8 класс Макарычев, Миндюк

    Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.

    В новом учебном году ребятам придется изучать значительное количество трудных тем, которые не плохо бы понять вовремя, чтобы потом не возникло проблем с дисциплиной. Ведь упустив хотя бы один параграф, потом усваивать остальные будет еще тяжелее. А на будущий год сдавать ОГЭ! Не надо впадать в панику и расстраиваться. В этих случаях онлайн-ГДЗ по алгебре за 8 класс (авторы: Ю. Макарычев, Н. Миндюк, К. Нешков, С. Суворова)

    окажет огромную услугу.

    Кому именно поможет решебник по алгебре за 8 класс Макарычева

    Сборник пригодится:

    • учащимся 8-х кл-ов;
    • мамам, папам, бабушкам и дедушкам учеников;
    • преподавателям математики.

    В сборнике содержатся необходимые пятерочные ответы любого номера. Они вдобавок имеют подробное описание, попутные комментарии. С ним восьмиклассник вправе контролировать себя самостоятельно без посторонней помощи. Не нужно ждать мать или отца с работы, чтобы пробежаться по «домашке». Тем, кто уже возможно забыли сложные формулы, тоже пригодится данный учебно-методический комплекс. Он разрешит любую сложность, с которой неожиданно столкнулись взрослые. Хоть некоторые и не верят в правильность создания подобных задачников, но мы можем точно сказать: «ГДЗ – это не просто готовые домашние задания, из которых лишь списывают решения. Это нечто большее, т. к. прежде чем посмотреть верное решение из решебника, сначала следует выполнить все самому, а уже после сопоставить полученные результаты».

    Онлайн-пособие Макарычева за 8 класс по алгебре играет особую роль в жизни каждого школьника, потому что именно с ним чадо сможет почувствовать себя смелее, зная, что тот или иной пример он решил на пять с плюсом. Так будет нарастать большая решительность перед сверстниками и учителем.

    Так что не спешите делать выводы, а попробуйте задачник в деле, и вы поймете, что с онлайн-помощником проще жить. Это отличный вариант решения любой проблемы. К тому же сайт в свободном доступе 24 ч. в сутки. Зайти на платформу легко с любого устройства.

    Устранение неравенств: обзор

    Решение Неравенства: обзор (стр. 2 из 3)

    Секции: линейные неравенства, Квадратичные неравенства, Другое неравенства

    Предыдущие неравенства называются «линейными» неравенствами, потому что мы имеем дело с линейные выражения типа « x » 2 «(» x > 2 «просто « x 2> 0 «, до вы закончили его решать).Когда у нас есть неравенство с « x 2 » как член наивысшей степени, это называется «квадратичным неравенством». Способ решения более сложный.

      Сначала мне нужно найти x- перехватывает ассоциированной квадратичной, поскольку точки пересечения y = x 2 3 х + 2 равно равно до нуля.Графически такое неравенство просит меня найти, где график находится выше или ниже оси x . Проще всего найти, где на самом деле пересекает ось x , так что я начну с этого.

      Факторинг, Получаю x 2 3 х + 2 = ( х 2)
      ( х 1) = 0, поэтому x = 1 или х = 2.Тогда график пересекает ось x в 1 и 2, а числовая прямая разделена на интервалы (отрицательная бесконечность, 1), (1, 2), и (2, положительная бесконечность). Между перехватами x , график либо выше оси (и, следовательно, положителен, либо больше, чем ноль), либо ниже оси (и, следовательно, отрицательно, или меньше нуля).

      Есть два разных алгебраические способы проверки этой положительности или отрицательности на интервалы. Я покажу оба.

      1) Метод контрольных точек. Интервалы между интервалами x являются (отрицательная бесконечность, 1), (1, 2), и (2, положительная бесконечность).Я выберу точку (любую точку) внутри каждого интервала. Подсчитаю стоимость у в таком случае. Каким бы ни был знак на этом значении, это знак для всего интервала.

      Для (отрицательная бесконечность, 1), допустим, я выбираю x = 0; затем у = 0 0 + 2 = 2, что положительный. Это говорит о том, что y положительна на всем интервале (отрицательная бесконечность, 1), и этот интервал, таким образом, является частью решения (поскольку я ищу решение «больше нуля»).

      Для интервала (1, 2) я выберу, скажем, х = 1,5; затем y = (1,5) 2 3 (1,5) + 2 = 2,25 4,5 + 2 = 4,25 4,5 = 0,25, что отрицательно. Затем л отрицательна на всем интервале, и тогда этот интервал не является частью решения.

      Для интервала (2, положительная бесконечность), я выберу, скажем, x = 3; затем y = (3) 2 3 (3) + 2 = 9 9 + 2 = 2, что положительно, и тогда этот интервал является частью решения.Тогда полное решение неравенства x <1 и x > 2. Это решение указывается по-разному:

        Номер Номер
        неравенство обозначение
        интервал, или набор, обозначение
        строка со скобками
        (скобки используются
        для закрытых интервалы)
        линия с открытыми точками
        (закрытые точки используются
        для закрытых интервалы)

      Частное решение формат, который вы используете, будет зависеть от вашего текста, вашего учителя и вашего вкуса. Все форматы одинаково допустимы. Авторские права Элизабет Стапель 1999-2011 Все права защищены

      2) Факторный метод. Факторинг, I получаем л = х 2 3 х + 2 = ( х 2) ( х 1). Сейчас я рассмотрю каждый из этих факторов в отдельности.

      Фактор x 1 положительно для х > 1; аналогично x 2 положительно для х > 2.Вспоминая когда я впервые узнал о негативе числа, я знаю что (плюс) (плюс) = (плюс), (минус) (минус) = (плюс) и (минус) (плюс) = (минус). Итак, чтобы вычислить знак y = х 2 3 х +2, я только правда нужно знать признаки факторов. Тогда я могу применить то, что знаю про приумножение негативов.

      Первый, Я установил сетку, показывающую факторы и числовую линию.
      Сейчас Отмечаю интервалы, где каждый фактор положителен.
      Где факторы не положительные, они должны быть отрицательными.
      Сейчас Я умножаю столбцы, чтобы вычислить знак y на каждом интервале.

      Тогда решение x 2 3 х + 2> 0 — это два интервала со знаком «плюс»:

        (отрицательный бесконечность, 1) и (2, положительная бесконечность).

      Сначала я нахожу нули, которые являются конечными точками интервалов: y = 2 x 2 + 5 x + 12 =
      (2 x 3) ( x 4) = 0 для x = 3 / 2 и x = 4. Итак, конечные точки интервалов будет на 3 / 2 и 4. Интервалы находятся между конечными точками, поэтому интервалы (отрицательные бесконечность, 3 / 2 ], [ 3 / 2 , 4] и [4, положительная бесконечность). (Обратите внимание, что я использую скобки для конечных точек в неравенствах «или равно» вместо скобок, поскольку конечные точки будут включены в окончательное решение.)

      Чтобы найти интервалы где y является отрицательным по методу контрольных точек, я просто выбираю точку в каждом интервале. Я могу использовать такие точки, как x = 2, х = 0 и x = 5.

      Чтобы найти интервалы где y является отрицательным по методу фактора, я просто решаю каждый фактор: 2 x 3 положительно для 2 х 3> 0, 3> 2 x , 3/2> x , или x < 3 / 2 ; и x 4 положительно для х 4> 0,
      x > 4. Затем заполняю сетку:

      Тогда решение это неравенство — все x в

        (отрицательный бесконечность, 3 / 2 ] и [4, положительная бесконечность) .

    << Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | Возвращаться к указателю След. >>

    Цитируйте эту статью как:

    Стапель, Елизавета.«Решение неравенства: обзор». Purplemath . Доступно по номеру
    https://www.purplemath.com/modules/ineqsolv2.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

    Решение абсолютных уравнений и неравенств (Алгебра 1, Линейные неравенства) — Mathplanet

    Абсолютное число числа a записывается как

    $$ \ осталось | a \ right | $$

    And представляет собой расстояние между a и 0 на числовой прямой.

    Уравнение абсолютного значения — это уравнение, которое содержит выражение абсолютного значения. Уравнение

    $$ \ осталось | x \ right | = a $$

    Имеет два решения x = a и x = -a, потому что оба числа находятся на расстоянии a от 0.

    Чтобы решить уравнение абсолютного значения как

    $$ \ осталось | x + 7 \ вправо | = 14 $$

    Вы начинаете с преобразования его в два отдельных уравнения, а затем решаете их по отдельности.

    $$ x + 7 = 14 $$

    $$ x + 7 \, {\ color {green} {- \, 7}} \, = 14 \, {\ color {green} {- \, 7}} $$

    $$ x = 7 $$

    или

    $$ x + 7 = -14 $$

    $$ x + 7 \, {\ color {green} {- \, 7}} \, = -14 \, {\ color {green} {- \, 7}} $$

    $$ x = -21 $$

    Уравнение абсолютного значения не имеет решения, если выражение абсолютного значения равно отрицательному числу, поскольку абсолютное значение никогда не может быть отрицательным.

    Неравенство

    $$ \ осталось | х \ право | <2 $$

    Представляет расстояние между x и 0, которое меньше 2

    Тогда как неравенство

    $$ \ осталось | x \ right |> 2 $$

    Представляет расстояние между x и 0, которое больше 2

    Вы можете записать неравенство по абсолютным значениям как составное неравенство.

    $$ \ осталось | x \ right | <2 \: или

    $$ — 2

    Это верно для всех неравенств по абсолютным значениям.

    $$ \ осталось | ax + b \ right | 0 $$

    $$ = — c

    $$ \ осталось | ax + b \ right |> c, \: где \: c> 0 $$

    $$ = ax + b <-c \: или \: ax + b> c $$

    Вы можете заменить> выше на ≥ и <на ≤.

    При решении неравенства абсолютного значения необходимо сначала выделить выражение абсолютного значения на одной стороне неравенства, прежде чем решать неравенство.

    Пример

    Решите неравенство абсолютных значений

    $$ 2 \ влево | 3x + 9 \ вправо | <36 $$

    $$ \ frac {2 \ left | 3x + 9 \ right |} {2} <\ frac {36} {2} $$

    $$ \ осталось | 3x + 9 \ вправо | <18 $$

    $$ — 18 <3x + 9 <18 $$

    $$ — 18 \, {\ color {green} {- \, 9}} <3x + 9 \, {\ color {green} {- \, 9}} <18 \, {\ color {green} { - \, 9}} $$

    $$ — 27 <3x <9 $$

    $$ \ frac {-27} {{\ color {green} 3}} <\ frac {3x} {{\ color {green} 3}} <\ frac {9} {{\ color {green} 3} } $$

    $$ — 9

    Видеоурок

    Решите уравнение абсолютного значения

    $$ 4 \ влево | 2x -1 \ вправо | -2 = 10 $$

    Неравенства | Безграничная алгебра

    Введение в неравенство

    Неравенства используются для демонстрации отношений между числами или выражениями.

    Цели обучения

    Объясните, что представляет собой неравенство и как оно используется

    Ключевые выводы

    Ключевые моменты
    • Неравенство описывает взаимосвязь между двумя разными значениями.
    • Обозначение [латекс] a b [/ latex ] означает, что [latex] a [/ latex] строго больше, чем [latex] b [/ latex].
    • Понятие [латекс] a \ leq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] меньше или равно [latex] b [/ latex], тогда как обозначение [latex] a \ geq b [ / latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше или равно [latex] b [/ latex].
    • Неравенства особенно полезны для решения проблем, связанных с минимальными или максимальными возможными значениями.
    Ключевые термины
    • числовая строка : визуальное представление набора действительных чисел в виде ряда точек.
    • неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.

    В математике неравенства используются для сравнения относительного размера значений.Их можно использовать для сравнения целых чисел, переменных и различных других алгебраических выражений. Ниже приводится описание различных типов неравенств.

    Строгое неравенство

    Строгое неравенство — это отношение, которое выполняется между двумя значениями, когда они различны. Точно так же, как в уравнениях используется знак равенства =, чтобы показать, что два значения равны, в неравенствах используются знаки, чтобы показать, что два значения не равны, и описать их взаимосвязь. Символы строгого неравенства: [latex] <[/ latex] и [latex]> [/ latex].

    Строгие неравенства отличаются от обозначения [latex] a \ neq b [/ latex], что означает, что a не равно [latex] b [/ latex]. Символ [latex] \ neq [/ latex] не говорит о том, что одно значение больше другого или даже о том, что их можно сравнить по размеру.

    В двух типах строгих неравенств [латекс] a [/ latex] не равен [latex] b [/ latex]. Для сравнения размеров значений существует два типа отношений:

    1. Обозначение [латекс] a
    2. Обозначение [латекс] a> b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше, чем [latex] b [/ latex].

    Значение этих символов можно легко запомнить, заметив, что «большая» сторона символа неравенства (открытая сторона) обращена к большему числу. «Меньшая» сторона символа (точка) обращена к меньшему числу.

    Указанные выше отношения можно продемонстрировать на числовой прямой. Вспомните, что значения на числовой строке увеличиваются при перемещении вправо.Следовательно, следующее представляет отношение [латекс] a [/ латекс] меньше, чем [латекс] b [/ латекс]:

    [латекс] a

    [latex] a [/ latex] находится слева от [latex] b [/ latex] в этой числовой строке.

    и следующее демонстрирует, что [латекс] a [/ latex] больше, чем [latex] b [/ latex]:

    [латекс] a> b [/ латекс]

    [latex] a [/ latex] находится справа от [latex] b [/ latex] в этой числовой строке.

    В целом обратите внимание, что:

    • [латекс] a a [/ latex]; например, [latex] 7 <11 [/ latex] эквивалентно [latex] 11> 7 [/ latex].
    • [латекс] a> b [/ latex] эквивалентен [латексу] b 6 [/ латекс].

    Другое неравенство

    В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

    Неравенства с переменными

    В дополнение к отображению отношений между целыми числами, неравенства могут использоваться для отображения отношений между переменными и целыми числами.

    Например, рассмотрим [латекс] x> 5 [/ латекс]. Это будет читаться как «[latex] x [/ latex] больше 5 ″ и означает, что неизвестная переменная [latex] x [/ latex] может иметь любое значение больше 5, но не само значение 5.Для визуализации этого см. Числовую строку ниже:

    [латекс] x> 5 [/ латекс]

    Обратите внимание, что кружок над цифрой 5 не заполнен, что указывает на то, что 5 не входит в возможные значения [latex] x [/ latex].

    В качестве другого примера рассмотрим [латекс] x \ leq 3 [/ латекс]. Это будет читаться как «[latex] x [/ latex] меньше или равно 3 ″ и указывает, что неизвестная переменная [latex] x [/ latex] может быть 3 или любое значение меньше 3. Для визуализации это, см. числовую строку ниже:

    [латекс] x \ leq 3 [/ латекс]

    Обратите внимание, что кружок над цифрой 3 закрашен, что означает, что 3 входит в возможные значения [latex] x [/ latex].

    Неравенства демонстрируются раскрашиванием стрелки в соответствующем диапазоне числовой линии, чтобы указать возможные значения [latex] x [/ latex]. Обратите внимание, что открытый кружок используется, если неравенство строгое (т. Е. Для неравенств, использующих [latex]> [/ latex] или [latex] <[/ latex]), а закрашенный кружок используется, если неравенство не строгое ( т.е. для неравенств, использующих [latex] \ geq [/ latex] или [latex] \ leq [/ latex]).

    Решение проблем с неравенством

    Напомним, что уравнения могут использоваться для демонстрации равенства математических выражений, включающих различные операции (например: [latex] x + 5 = 9 [/ latex]).Точно так же неравенства можно использовать для демонстрации взаимосвязей между различными выражениями.

    Например, рассмотрим следующие неравенства:

    Каждое из них представляет отношения между двумя разными выражениями.

    Одно из полезных применений неравенств, подобных этому, — в задачах, связанных с максимальными или минимальными значениями.

    Пример 1

    У Джареда есть лодка с максимальным пределом веса 2500 фунтов. Он хочет взять на лодку как можно больше друзей и предполагает, что он и его друзья в среднем весят 160 фунтов. Сколько людей могут кататься на его лодке одновременно?

    Эту задачу можно смоделировать с помощью следующего неравенства:

    [латекс] 160n \ leq 2500 [/ латекс]

    где [latex] n [/ latex] — количество людей, которые Джаред может взять на лодку. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим левую часть неравенства.Он представляет собой общий вес [латексных] n [/ латексных] людей весом 160 фунтов каждый. Неравенство гласит, что общий вес Джареда и его друзей должен быть на меньше или равен максимальному весу 2500, который является предельным весом лодки.

    Существуют шаги, которые можно выполнить, чтобы устранить неравенство, подобное этому. На данный момент важно просто понять значение таких утверждений и случаев, в которых они могут быть применимы.

    Правила разрешения неравенств

    Арифметические операции могут использоваться для решения неравенств для всех возможных значений переменной.

    Цели обучения

    Решите неравенства, используя правила работы с ними

    Ключевые выводы

    Ключевые моменты
    Ключевые термины

    Операции с неравенствами

    Когда вы выполняете алгебраические операции с неравенствами, важно проводить точно такие же операции с обеих сторон, чтобы сохранить истинность утверждения.

    Каждая арифметическая операция подчиняется определенным правилам:

    Сложение и вычитание

    Любое значение [латекс] c [/ латекс] может быть добавлено или вычтено из обеих сторон неравенства. То есть для любых действительных чисел [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс]:

    Пока одна и та же стоимость добавляется или вычитается с обеих сторон, результирующее неравенство остается верным.

    Например, рассмотрим следующее неравенство:

    [латекс] 12 <15 [/ латекс]

    Давайте применим описанные выше правила, вычтя 3 с обеих сторон:

    [латекс] \ begin {align} 12 — 3 & <15 - 3 \\ 9 & <12 \ end {align} [/ latex]

    Это утверждение все еще верно.

    Умножение и деление

    В свойствах, связанных с умножением и делением, указано, что для любых действительных чисел [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и ненулевое значение [latex] c [/ latex]:

    Если [latex] c [/ latex] положительное значение, то умножение или деление на [latex] c [/ latex] не меняет неравенства:

    Если [latex] c [/ latex] отрицательно, то умножение или деление на [latex] c [/ latex] меняет неравенство:

    Обратите внимание, что умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет направление неравенства. Другими словами, символ больше становится символом меньше, и наоборот.

    Чтобы увидеть применение этих правил, рассмотрим следующее неравенство:

    [латекс] 5> -3 [/ латекс]

    Умножение обеих сторон на 3 дает:

    [латекс] \ begin {align} 5 (3) &> -3 (3) \\ 15 &> -9 \ end {align} [/ latex]

    Мы видим, что это верное утверждение, потому что 15 больше 9.

    Теперь умножьте то же неравенство на -3 (не забудьте изменить направление символа, потому что мы умножаем на отрицательное число):

    [латекс] \ begin {align} 5 (-3) & <-3 (-3) \\ -15 & <9 \ end {align} [/ latex]

    Это утверждение также верно. Это демонстрирует, насколько важно изменить направление символа «больше или меньше» при умножении или делении на отрицательное число.

    Устранение неравенств

    Решение неравенства, которое включает переменную, дает все возможные значения, которые может принимать переменная, которые делают неравенство истинным.Решить неравенство означает преобразовать его так, чтобы переменная находилась с одной стороны символа, а число или выражение — с другой. Часто для преобразования неравенства таким образом требуется несколько операций.

    Сложение и вычитание

    Чтобы увидеть, как правила сложения и вычитания применимы к решению неравенств, примите во внимание следующее:

    [латекс] x — 8 \ leq 17 [/ латекс]

    Сначала выделите [латекс] x [/ латекс]:

    [латекс] \ begin {align} x — 8 + 8 & \ leq 17 + 8 \\ x & \ leq 25 \ end {align} [/ latex]

    Следовательно, [латекс] x \ leq 25 [/ latex] является решением [латекса] x — 8 \ leq 17 [/ latex]. Другими словами, [latex] x — 8 \ leq 17 [/ latex] верно для любого значения [latex] x [/ latex], которое меньше или равно 25.

    Умножение и деление

    Чтобы увидеть, как применяются правила умножения и деления, рассмотрим следующее неравенство:

    [латекс] 2x> 8 [/ латекс]

    Делим обе стороны на 2, получаем:

    [латекс] \ begin {align} \ dfrac {2x} {2} &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> 4 \ end {align } [/ латекс]

    Таким образом, выражение [latex] x> 4 [/ latex] является решением для [latex] 2x> 8 [/ latex].Другими словами, [latex] 2x> 8 [/ latex] верно для любого значения [latex] x [/ latex] больше 4.

    Теперь рассмотрим другое неравенство:

    [латекс] — \ dfrac {y} {3} \ leq 7 [/ латекс]

    Поскольку используется отрицательный знак, мы должны умножить его на отрицательное число, чтобы найти [латекс] y [/ latex]. Это означает, что мы также должны изменить направление символа:

    [латекс] \ begin {align} \ displaystyle -3 \ left (- \ frac {y} {3} \ right) & \ geq -3 (7) \\ y & \ geq -3 (7) \\ y & \ geq -21 \ end {align} [/ латекс]

    Следовательно, решение [латекс] — \ frac {y} {3} \ leq 7 [/ latex] — [латекс] y \ geq -21 [/ latex]. Таким образом, данное утверждение верно для любого значения [latex] y [/ latex], большего или равного [latex] -21 [/ latex].

    Пример

    Решите следующее неравенство:

    [латекс] 3л — 17 \ geq 19 [/ латекс]

    Сначала прибавьте 17 к обеим сторонам:

    [латекс] \ begin {align} 3y — 17 + 17 & \ geq 19 + 17 \\ 3y & \ geq 36 \ end {align} [/ latex]

    Затем разделите обе стороны на 3:

    [латекс] \ begin {align} \ dfrac {3y} {3} & \ geq \ dfrac {36} {3} \\ y & \ geq \ dfrac {36} {3} \\ y & \ geq 12 \ конец {align} [/ latex]

    Особые соображения

    Обратите внимание, что было бы проблематично, если бы мы попытались умножить или разделить обе части неравенства на неизвестную переменную.Если какая-либо переменная [latex] x [/ latex] неизвестна, мы не можем определить, имеет ли она положительное или отрицательное значение. Поскольку правила умножения или деления положительных и отрицательных чисел различаются, мы не можем следовать этому же правилу при умножении или делении неравенств на переменные. Однако переменные можно складывать или вычитать с обеих сторон неравенства.

    Сложные неравенства

    Составное неравенство включает в себя три выражения, а не два, но также может быть решено, чтобы найти возможные значения переменной.

    Цели обучения

    Решите сложное неравенство, сбалансировав все три компонента неравенства

    Ключевые выводы

    Ключевые моменты
    Ключевые термины
    Определение сложных неравенств

    Сложное неравенство имеет следующий вид:

    [латекс] a

    На самом деле здесь есть два утверждения. Первый оператор [latex] a

    Составное неравенство [латекс] a a [/ latex]. Следовательно, форма [латекс] a

    Рассмотрим [латекс] 4

    [латекс] 4

    Указанное выше неравенство по числовой прямой.

    Аналогичным образом рассмотрим [латекс] -2

    [латекс] -2

    Указанное выше неравенство по числовой прямой.

    [латекс] [/ латекс] Решение сложных неравенств

    Теперь рассмотрим [латекс] 1 Выражение [latex] x + 6 [/ latex] представляет собой некоторое число строго между 1 и 8. Однако смысл этого трудно представить себе — что означает утверждение, что выражение , а не число, лежит между двумя точками? Не волнуйтесь — мы все равно можем найти все возможные значения не только выражения, но и самой переменной [latex] x [/ latex].

    Утверждение [латекс] 1

    Чтобы найти возможные значения [latex] x [/ latex], нам нужно получить [latex] x [/ latex] отдельно:

    [латекс] 1 — 6

    [латекс] -5

    Следовательно, мы находим, что если [latex] x [/ latex] — любое число строго между -5 и 2, утверждение [latex] 1

    Пример 1

    Решите [латекс] -3 <\ dfrac {-2x-7} {5} <7 [/ latex].

    Умножьте каждую часть, чтобы удалить знаменатель из среднего выражения:

    [латекс] -3 \ cdot (5) <\ dfrac {-2x-7} {5} \ cdot (5) <7 \ cdot (5) [/ латекс]

    [латекс] -15 <-2x-7 <35 [/ латекс]

    Изолировать [латекс] х [/ латекс] в середине неравенства:

    [латекс] — 15 + 7 <-2x -7 + 7 <35 + 7 [/ латекс]

    [латекс] — 8 <-2x <42 [/ латекс]

    Теперь разделите каждую часть на -2 (и не забудьте изменить направление символа неравенства!):

    [латекс] \ displaystyle \ frac {-8} {- 2}> \ frac {-2x} {- 2}> \ frac {42} {- 2} [/ латекс]

    [латекс] 4> x> -21 [/ латекс]

    Наконец, принято (хотя и не обязательно) записывать неравенство так, чтобы стрелки неравенства указывали влево (т.е., чтобы числа шли от наименьшего к наибольшему):

    [латекс] -21

    Неравенства с абсолютным значением

    Неравенства с абсолютными значениями можно решить, рассматривая абсолютное значение как расстояние от 0 до числа на числовой прямой.

    Цели обучения

    Решите неравенства с абсолютным значением

    Ключевые выводы

    Ключевые моменты
    • К проблемам, связанным с абсолютными значениями и неравенствами, можно подойти, по крайней мере, двумя способами: путем проб и ошибок или путем представления абсолютного значения как представления расстояния от 0 с последующим поиском значений, удовлетворяющих этому условию.
    • При решении неравенств, которые включают абсолютное значение в более крупном выражении (например, [латекс] \ left | 2x \ right | + 3> 8 [/ latex]), необходимо алгебраически выделить абсолютное значение, а затем алгебраически решить для переменной.
    Ключевые термины
    • абсолютное значение : величина действительного числа без учета его знака; формально, -1 умножается на число, если число отрицательное, и число без изменений, если оно равно нулю или положительно.
    • неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.
    • числовая линия : линия, которая графически представляет действительные числа в виде ряда точек, расстояние от которых до начала координат пропорционально их значению.

    Рассмотрим следующее неравенство, которое включает абсолютное значение:

    [латекс] | x | <10 [/ латекс]

    Зная, что решение [latex] \ left | x \ right | = 10 [/ latex] — это [latex] x = ± 10 [/ latex], многие студенты отвечают на этот вопрос [latex] x <± 10 [/ latex ].Однако это неверно.

    Вот два разных, но оба совершенно правильных подхода к решению этой проблемы.

    Пробная версия и ошибка

    Какие номера работают? То есть, для каких чисел [латекс] \ left | x \ right | <10 [/ latex] верное утверждение? Давай проверим.

    4 работы. -4 тоже. 13 не работает. Как насчет -13? Нет: Если [латекс] x = -13 [/ латекс], то [латекс] \ left | x \ right | = 13 [/ латекс], что не менее 10.

    Играя с числами таким образом, вы сможете убедить себя, что работающие числа должны быть где-то между -10 и 10. Это один из подходов к поиску ответа.

    Абсолютное значение как расстояние

    Другой способ — думать об абсолютном значении как о расстоянии от 0. [latex] \ left | 5 \ right | [/ latex] и [latex] \ left | -5 \ right | [/ latex] равны 5, потому что оба числа — 5 от 0.

    В данном случае [латекс] \ left | x \ right | <10 [/ latex] означает «расстояние между [latex] x [/ latex] и 0 меньше 10». Другими словами, вы находитесь в пределах 10 единиц от нуля в любом направлении.Еще раз приходим к выводу, что ответ должен быть между -10 и 10.

    Этот ответ можно визуализировать в числовой строке, как показано ниже, в которой выделены все числа, абсолютное значение которых меньше 10.

    Решение для [латекса] \ left | x \ right | <10 [/ latex]: Все числа, абсолютное значение которых меньше 10.

    Нет необходимости использовать оба этих метода; используйте тот метод, который вам легче понять.

    Решение неравенств с абсолютным значением

    К более сложным задачам абсолютного значения следует подходить так же, как к уравнениям с абсолютными значениями: алгебраически выделить абсолютное значение, а затем алгебраически решить для [латекс] x [/ латекс].

    Например, рассмотрим следующее неравенство:

    [латекс] \ влево | 2x \ вправо | + 3> 8 [/ латекс]

    Трудно сразу представить себе значение этого абсолютного значения, не говоря уже о самом значении [latex] x [/ latex]. Необходимо сначала выделить неравенство:

    [латекс] \ begin {align} \ left | 2x \ right | + 3 — 3 &> 8 — 3 \\ \ left | 2x \ right | &> 8 \ end {align} [/ latex]

    А теперь подумайте о числовой прямой. В этих терминах это утверждение означает, что выражение [latex] 2x [/ latex] должно находиться более чем на 8 знаков от 0.Следовательно, оно должно быть больше 8 или меньше -8. Выражая это неравенствами, имеем:

    [латекс] 2x> 8 [/ латекс] или [латекс] 2x <-8 [/ латекс]

    Теперь у нас есть 2 отдельных неравенства. Если каждая из них решается отдельно для [latex] x [/ latex], мы увидим полный диапазон возможных значений [latex] x [/ latex]. Рассмотрим их самостоятельно. Первый:

    [латекс] \ begin {align} 2x &> 8 \\ \ dfrac {2x} {2} &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> 4 \ end {align} [/ latex]

    Секунда:

    [латекс] \ begin {align} 2x & <-8 \\ \ dfrac {2x} {2} & <\ dfrac {-8} {2} \\ x & <-4 \ end {align} [/ latex ]

    Теперь у нас есть два диапазона решений исходного неравенства абсолютных значений:

    [латекс] x> 4 [/ латекс] и [латекс] x <-4 [/ латекс]

    Это также можно визуально отобразить в числовой строке:

    Решение для [латекса] \ left | 2x \ right | + 3> 8 [/ latex]: Решение — любое значение [latex] x [/ latex] меньше -4 или больше 4.

    Пример

    Решите следующее неравенство:

    [латекс] \ влево | x-2 \ вправо | + 10> 7 [/ латекс]

    Во-первых, алгебраически выделите абсолютное значение:

    [латекс] \ begin {align} \ left | x-2 \ right | + 10 — 10 &> 7 — 10 \\ \ left | x-2 \ right | &> — 3 \ end {align} [/ latex]

    А теперь подумайте: абсолютное значение выражения больше –3. Чему могло быть равно выражение? 2 работы. –2 тоже работает. И 0. И 7. И –10. Абсолютные значения всегда положительны, поэтому абсолютное значение чего-либо больше –3! Поэтому все числа работают.

    РЕШЕНО: в упражнениях 31–36 решите неравенство…

    Стенограмма видео

    пострадавших от этого вопроса получили неравенство X в кубе минус четыре X больше или равно нулевой массе, чтобы найти все интервалы на X, для которых это неравенство верно. Итак, поскольку мы имеем дело с кубическим многочленом, мы обычно хотим попытаться найти что-то, что мы можем немедленно вынести из всех величин из упрощенного выражения. И здесь мы можем выделить яйца и посмотреть, поможет ли это нам хоть немного. Так что, если мы вычленим яйца, мы получим X. Квадрат Тома X для нас четыре больше или равен нулю. И затем у нас есть X в квадрате минус четыре, что является разностью квадратов. А мы знаем разницу квадратов. Множители до X плюс два раза по X. Modest тоже больше или равно нулю. И теперь у нас будет три набора решений, в которых X сам больше или равен нулю, а затем у нас X плюс два больше нуля.Итак, у нас будет X больше или равно отрицательному. И тогда X скромный тоже больше или равен нулю. Итак, мы получим, что X больше или равно двум. Итак, теперь мы можем нарисовать действительное число. Линия скажет, что эта точка здесь нулевая. Этот момент здесь тоже отрицательный. Назовем и эту точку здесь. И нам нужно попробовать по одному пункту из каждого из трех диапазонов наших решений. Эй, давай попробуем. Первый X больше нуля. Итак, давайте попробуем X равным единице. Если мы попытаемся получить доступ к единице, и мы получим один умноженный на один минус четыре, это даст нам отрицательные три, а отрицательные три не будут больше или равны нулю. Таким образом, решение, указанное между нулем и двумя, неверно. Но этот домен не работает. Итак, давайте попробуем решение больше двух. Давай попробуем. X равно трем. Если мы попробуем ex Eagle, тройку, мы получим три раза не монтесовские четыре, что равно 15, что больше или равно нулю. Кажется, что интервал от двух до бесконечности действительно работает, поэтому теперь нам нужно попробовать. Давайте посмотрим, что у нас X больше или равно отрицательному. Итак, давайте попробуем число от отрицательных двух до нуля. Так давайте попробуем. X равен отрицательному.Мы получим отрицательный результат один раз один минус четыре. Поэтому отрицательный один раз отрицательный. Три равно трем, а три больше или равно нулю. Итак, интервал от отрицательного до нуля действительно работает, и тогда мы также можем попробовать. У меня тоже число меньше отрицательного. Давай попробуем. X равно отрицательному трем. Мы получим отрицательные три раза, не минус четыре, и это не больше нуля. Это отрицательное число, поэтому этот интервал не работает. Так работают два интервала: от отрицательного 2 до 0 и от 2 до бесконечности.Нет, и мы фактически включаем тех, кто в баллах, потому что он больше или равен нулю. Таким образом, в наших решениях указано, что обозначение интервала — от отрицательного до включения двух до нуля, включая ноль, когда нам нужно объединить это с двумя, потому что два также является решением, уходящим в бесконечность, и это наш набор решений. Это наши два приемлемых интервала

    1. Свойства неравенств

    Выражение `a

    a меньше b

    , а выражение `a> b` читается как

    a больше b.

    Знаки `<` и `>` определяют то, что известно как смысл неравенство (указывается направлением знака).

    Говорят, что два неравенства имеют

    (a) тот же смысл , если знаки неравенства указывают в том же направлении; и

    (б) противоположный смысл , если знаки неравенства указать в противоположном направлении.

    Пример 1

    Неравенства `x + 3> 2` и` x + 1> 0` имеют тот же смысл.2-7 < 1`.

    Решение неравенства

    Решение неравенства состоит из всех значения переменной, которые делают неравенство истинным утверждение.

    Условные неравенства — это те, которые справедливы для некоторые, но не все, значения переменной.

    Абсолютное неравенство — это неравенство, справедливое для всех значения переменной.

    Решение неравенства состоит только из действительных чисел как условия « меньше или больше » не определены для сложные числа.2+ 1> 0` верно для всех значений x и, следовательно, является абсолютным неравенством .

    Графическое представление неравенств

    Пример 5

    (a) Чтобы отобразить `x> 2` графически, мы используем открытый обведите в кружок в точке «2» числовой линии и линию справа от нее точка, со стрелкой, указывающей вправо:

    Открытый кружок показывает, что точка не является частью указанное решение.

    (b) Чтобы показать графически x ≤1, мы используем сплошную обведите 1 на числовой прямой и линию слева от этого точка, со стрелкой, указывающей влево:

    Сплошной кружок показывает, что точка является частью указанного решение.

    (c) Чтобы обозначить «−2

    Теперь мы исследуем некоторые ключевые свойства неравенств.

    Свойство 1 — Сложение или вычитание числа

    смысл неравенства не меняется при добавлении или вычитании того же числа обе стороны неравенства.

    Пример 6

    Используя неравенство:

    `9> 6`

    , добавляя «4» к обеим сторонам, получаем

    `9 + 4> 6 ​​+ 4`

    то есть `13> 10`, что все еще верно

    после вычитания 12 с каждой стороны оригинала дает

    `9 — 12> 6 — 12`

    то есть `-3> -6`, что все еще верно

    Свойство 2 — Умножение на положительное число

    смысл неравенства не изменяется, если обе стороны умножаются или делятся на такое же положительное число.

    Пример 7

    Используя неравенство:

    `8 <15`

    Умножение обеих сторон на `2` дает

    `8 × 2 <15 × 2`

    то есть `16 <30`, что все еще верно

    Если разделить обе стороны оригинала на `2`, получится

    `8/2 <15/2`

    то есть «4 <7,5», что все еще верно

    Свойство 3 — Умножение на отрицательное число

    Смысл неравенства обратный , если оба стороны умножаются или делятся на один и тот же минус номер.

    Пример 8

    Начнем с неравенства `4> −2`.

    Умножение обеих сторон на `-3` дает

    `4 × −3> -2 × −3`

    `-12> 6`, что не соответствует действительности

    Следовательно, правильным решением должно быть

    `4> −2`

    `4 × −3 <−2 × −3`

    `−12 <6` (обратите внимание на изменение знака)

    Аналогичным образом разделив обе части исходного неравенства на `−2`, получим

    `4> −2`

    `4 ÷ −2 <−2 ÷ −2`

    `-2 <1` (Обратите внимание на изменение используемого знака)

    Свойство 4 —

    n -я степень

    Если обе части неравенства положительны и n является положительным целым числом, то неравенство образованный корнем n -й степени или n -й корень обеих сторон имеет тот же смысл , что и данное неравенство. 2`

    то есть `81> 36`, что все еще верно

    Извлечение квадратного корня из каждой стороны дает

    `sqrt (9)> sqrt (6)`

    то есть `3> 2,45`, что все еще верно

    [ Примечание: `sqrt (9)` не равно `± 3`. По соглашению мы берем только положительный квадратный корень. См. Обсуждение на √16 — сколько ответов?]

    Упражнение

    Изобразите данное неравенство на номер строки:

    `1

    Ответ

    Нам нужно иметь открытых кругов для «1», поскольку он не включен, но закрытых кругов для «4», поскольку он включен.

    Решите квадратичные неравенства · Промежуточная алгебра

    Решить квадратичные неравенства · Промежуточная алгебра

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Решите квадратичные неравенства графически
    • Решить квадратные неравенства алгебраически

    Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность. **

    1. Решить: 2х − 3 = 0.

      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка].

    2. Решить: 2y2 + y = 15

      .

      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка].

    3. Решить 1×2 + 2x − 8> 0

      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка].

    Мы уже научились решать линейные неравенства и рациональные неравенства ранее. Некоторые методы, которые мы использовали для их решения, были одинаковыми, а некоторые — другими.

    Теперь мы научимся решать неравенства, которые имеют квадратичное выражение.Мы будем использовать некоторые приемы решения линейных и рациональных неравенств, а также квадратных уравнений.

    Мы будем решать квадратные неравенства двумя способами — графически и алгебраически.

    Решите квадратичные неравенства графически

    Квадратичное уравнение в стандартной форме записывается как ax 2 + bx + c = 0. Если мы заменим знак равенства на знак неравенства, мы получим квадратное неравенство в стандартном форма.

    Квадратичное неравенство

    Квадратичное неравенство — это неравенство, которое содержит квадратичное выражение.

    Стандартная форма квадратичного неравенства записывается:

    ax2 + bx + c <0ax2 + bx + c≤0ax2 + bx + c> 0ax2 + bx + c≥0

    График квадратичной функции f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0 является параболой. Когда мы спрашиваем, когда ax 2 + bx + c <0, мы спрашиваем, когда f ( x ) <0.Мы хотим знать, когда парабола находится ниже оси x .

    Когда мы спрашиваем, когда ax 2 + bx + c > 0, мы спрашиваем, когда f ( x )> 0. Мы хотим знать, когда парабола находится выше y — ось.

    Как решить квадратичное неравенство графически

    Решить x2−6x + 8 <0

    графически. Запишите решение в интервальной записи.

    ! [Рисунок представляет собой таблицу с 3 столбцами. Первый столбец — это Шаг 1. Запишите квадратное неравенство в стандартной форме. Во втором столбце указано, что неравенство имеет стандартную форму. В третьем столбце указано x в квадрате минус 6 умножить на x плюс 8 меньше 0.] (/ Algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_002a_img.jpg)! [Рисунок представляет собой таблицу с 3 столбцами. В первом столбце написано: «Шаг 2 — Постройте график, как функция f от x равна умножению на x в квадрате плюс b, умноженному на x, плюс c, используя свойства или преобразования».Во втором столбце приведены инструкции, а в третьем столбце показаны работы для шага 3 следующим образом. Мы построим график, используя свойства. Функция f от x равна x в квадрате минус 6 умножить на x плюс 8, где a равно 1, b равно отрицательному 6, а c равно 8. Посмотрите на функцию f от x, равную x в квадрате минус 6 умножить на x плюс 8. Поскольку а положительно, парабола открывается вверх. Уравнение оси симметрии: прямая x равна отрицательному b, деленному на 2, умноженному на a, поэтому x равен отрицательному отрицательному 6, деленному на 2 умножить на 1.X равно 3. Ось симметрии — прямая x равна 3. Вершина находится на оси симметрии. Подставим x равно 3 в функцию, так что f из 3 равно 3 в квадрате минус 6 умножить на 3 плюс 8. F из 3 равно отрицательному 1, поэтому вершина равна (3, отрицательное 1). Мы находим f равным 0, чтобы найти точку пересечения по оси y, так что f 0 равно 0 в квадрате минус 6 умножить на 0 плюс 8. F 0 равно 8, поэтому точка пересечения по оси y равна (0, 8). Мы используем ось симметрии, чтобы найти точку, симметричную пересечению с y. Y-точка пересечения находится на 3 единицы слева от оси симметрии, x равно 3.Точка, расположенная на 3 единицы правее оси симметрии, имеет x, равный 6. Точка, симметричная точке пересечения с y, равна (6, 8). Решаем, что f x равно 0, чтобы найти точки пересечения с x. Мы можем решить это квадратное уравнение факторизацией. 0 равно x в квадрате минус 6 умножить на x плюс 8, 0 равно количеству x минус 2, умноженному на количество x минус 4, x равно 2 или x равно 4. Пересечения с x равны (2, 0) и (4, 0). Нарисуем вершину, точки пересечения и точку, симметричную точке пересечения оси y. Мы соединяем эти 5 точек, чтобы набросать показанную параболу, обращенную вверх, с точками, найденными в ходе этого процесса.] (/ algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_002b_img.jpg)! [Рисунок представляет собой таблицу с 3 столбцами. В первом столбце указано «Шаг 3. Определите решение по графику». Во втором столбце приведены инструкции. X в квадрате минус 6 x плюс 8 меньше 0. Неравенство требует значений x, которые делают функцию меньше 0. Какие значения x образуют параболу ниже оси x. Мы не включаем значения 2, 4, так как неравенство строго меньше. В третьем столбце указано, что решение в интервальной записи — (2, 4).] (/ algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_002c_img.jpg)

    ⓐ Решить x2 + 2x − 8 <0

    графически и ⓑ запишите решение в интервальной записи.

    ⓐ * * *

    ⓑ (−4, −2)

    ⓐ Решить x2−8x + 12≥0

    графически и ⓑ запишите решение в интервальной записи.

    ⓐ * * *

    ⓑ (−∞, 2] ∪ [6, ∞)

    Мы перечисляем шаги, которые необходимо предпринять для решения квадратного неравенства графически.

    Решите квадратное неравенство графически.

    1. Запишите квадратное неравенство в стандартной форме.
    2. Постройте график функции f (x) = ax2 + bx + c.
    3. Найдите решение по графику.

    В последнем примере парабола открывается вверх, а в следующем примере — вниз. В обоих случаях мы ищем часть параболы, которая находится ниже оси x , но обратите внимание, как положение параболы влияет на решение.

    Решить −x2−8x − 12≤0

    графически. Запишите решение в интервальной записи.

    Квадратичное неравенство в стандартной форме. −x2−8x − 12≤0
    Постройте график функции f (x) = — x2−8x − 12. Парабола открывается вниз.
    Найдите линию симметрии. x = −b2a
    x = −− 82 (−1)
    x = −4
    Найдите вершину. f (x) = — x2−8x − 12
    f (−4) = — (- 4) 2−8 (−4) −12
    f (−4) = — 16 + 32−12
    f (- 4) = 4
    Вершина (−4,4)
    Найдите перехватчики x . Пусть f (x) = 0. f (x) = — x2−8x − 12
    0 = −x2−8x − 12
    Фактор.
    Используйте свойство нулевого продукта.    		 0 = −1 (x + 6) (x + 2)
    x = −6x = −2
    Постройте параболу. x -перехват (−6,0), (- 2,0)
    Найдите решение по графику.
    Мы включаем интервалы x , поскольку неравенство
    «меньше или равно».    		 (−∞, −6] ∪ [−2, ∞)

    ⓐ Решить −x2−6x − 5> 0

    графически и ⓑ запишите решение в интервальной записи.

    ⓐ * * *

    ⓑ (−1,5)

    ⓐ Решить −x2 + 10x − 16≤0

    графически и ⓑ запишите решение в интервальной записи.

    ⓐ * * *

    ⓑ (−∞, 2] ∪ [8, ∞)

    Решите квадратные неравенства алгебраически

    Алгебраический метод, который мы будем использовать, очень похож на метод, который мы использовали для решения рациональных неравенств. Мы найдем критические точки неравенства, которые будут решениями соответствующего квадратного уравнения. Помните, что полиномиальное выражение может менять знаки только в том случае, если выражение равно нулю.

    Мы будем использовать критических точек , чтобы разделить числовую прямую на интервалы, а затем определить, будет ли квадратичное выражение положительным или отрицательным в интервале.Затем мы определяем решение неравенства.

    Как решить квадратичные неравенства алгебраически

    Решить x2 − x − 12≥0

    алгебраически. Запишите решение в интервальной записи.

    ! [Этот рисунок представляет собой таблицу с инструкциями по решению x в квадрате минус x минус 12 алгебраически больше или равных 0. Он состоит из 3 столбцов, где в первом столбце даны инструкции, во втором — пояснения, а в третьем — работа.Шаг 1 — записать квадратное неравенство в стандартной форме. Квадратичное неравенство уже в стандартной форме, поэтому x в квадрате минус x минус 12 больше или равно 0.] (/ Algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_004a_img.jpg)! [Шаг 2 — определить критические точки — решения соответствующего квадратного уравнения. Для этого измените знак неравенства на знак равенства и затем решите уравнение. x в квадрате минус x минус 12 равняется 0 множителей на количество x плюс 3 умноженное на количество x минус 4 равно 0.Тогда x плюс 3 равняется 0, а x минус 4 равняется 0, что дает x равно отрицательному 3, а x равно 4.] (/ Algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_004b_img.jpg)! [Шаг 3 — использовать критические точки разделить числовую строку на интервалы. Используйте отрицательные 3 и 4, чтобы разделить числовую строку на интервалы. Показана числовая линия, которая включает слева направо отрицательные значения 3, 0 и 4, а пунктирные линии — отрицательные 3 и 4.] (/ algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_004c_img.jpg)! [Шаг 4 говорит, что над числовой линией показан знак каждого квадратичного выражения с использованием контрольных точек из каждого интервала, подставленного в исходное неравенство. X равно отрицательному 5, x равно 0 и x равно 5 выбираются для проверки. Выражение отрицательный x в квадрате минус x минус 12 дано с отрицательными 5 в квадрате минус отрицательные 5 минус 12 внизу, что дает 18. Выражение отрицательный x в квадрате минус x минус 12 дано с 0 в квадрате минус 0 минус 12 внизу, что дает 12. Выражение отрицательный x в квадрате минус x минус 12 дано с 5 в квадрате минус 5 минус 12 под ним, что дает 8.] (/ algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_004d_img.jpg)! [Для шага 5 определите интервалы, в которых неравенство является правильным. Запишите решение в интервальной записи. x в квадрате минус x минус 12 больше или равно 0. Неравенство положительно в первом и последнем интервалах и равно 0 в отрицательных точках 4, 3. Решение в обозначении интервала (отрицательная бесконечность, отрицательное 3 \] в объединении с \ [4, бесконечность).] (/ Algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_004e_img.jpg)

    Решить x2 + 2x − 8≥0

    алгебраически. Запишите решение в интервальной записи.

    (−∞, −4] ∪ [2, ∞)

    Решить x2−2x − 15≤0

    алгебраически. Запишите решение в интервальной записи.

    [−3,5]

    В этом примере, поскольку выражение x2 − x − 12

    факторов, мы также можем найти знак в каждом интервале так же, как мы это делали, когда решали рациональные неравенства.Находим знак каждого из факторов, а затем знак продукта. Наша числовая строка должна быть такой:

    Результат такой же, как и при использовании другого метода.

    Мы резюмируем шаги здесь.

    Решите квадратное неравенство алгебраически.

    1. Запишите квадратное неравенство в стандартной форме.
    2. Определите критические точки — решения соответствующего квадратного уравнения.
    3. Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.
    4. Над числовой линией показан знак каждого квадратичного выражения с использованием контрольных точек из каждого интервала, подставленного в исходное неравенство.
    5. Определите интервалы, в которых неравенство верно. Запишите решение в интервальной записи.

    Решить x2 + 6x − 7≥0

    алгебраически. Запишите решение в интервальной записи.

    Запишите квадратичное неравенство в стандартной форме. −x2 + 6x − 7≥0
    Умножим обе части неравенства на −1.
    Не забудьте обратить знак неравенства.    		 х2−6х + 7≤0
    Определите критические точки, решив
    соответствующее квадратное уравнение.    		 x2−6x + 7 = 0
    Напишите квадратную формулу. х = −b ± b2−4ac2a
    Затем подставьте значения a, b, c. х = — (- 6) ± (−6) 2−4⋅1⋅ (7) 2⋅1
    Упростить. х = 6 ± 82
    Упростим радикал. х = 6 ± 222
    Удалите общий множитель, 2. x = 2 (3 ± 2) 2
    x = 3 ± 2
    x = 3 + 2x = 3−2
    x≈1,6x≈4,4
    Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую
    на интервалы.
    Номера тестов из каждого интервала
    в исходном неравенстве.
    Определите интервалы, в которых справедливо неравенство
    . Запишите решение
    в интервальной записи.    		 −x2 + 6x − 7≥0 в среднем интервале
    [3−2,3 + 2]

    Решить −x2 + 2x + 1≥0

    алгебраически.Запишите решение в интервальной записи.

    [−1−2, −1 + 2]

    Решить −x2 + 8x − 14 <0

    алгебраически. Запишите решение в интервальной записи.

    (−∞, 4−2) ∪ (4 + 2, ∞)

    Решения квадратных неравенств в каждом из предыдущих примеров были либо интервалом, либо объединением двух интервалов. Это произошло из-за того, что в каждом случае мы нашли два решения соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.Затем эти два решения дали нам либо две точки пересечения x- для графика, либо две критические точки для разделения числовой прямой на интервалы.

    Это соответствует нашему предыдущему обсуждению количества и типа решений квадратного уравнения с использованием дискриминанта.

    Для квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

    Последняя строка таблицы показывает нам, когда параболы никогда не пересекают ось x .Используя квадратную формулу для решения квадратного уравнения, подкоренное выражение является отрицательным. Получаем два сложных решения.

    В следующем примере решения квадратного неравенства будут результатом того, что решение квадратного уравнения является комплексным.

    Решить, записав любое решение в интервальной записи:

    ⓐ x2−3x + 4> 0

    ⓑ x2−3x + 4≤0

    ⓐ * * *

    Запишите квадратное неравенство в стандартной форме. −x2−3x + 4> 0
    Определите критические точки, решив
    соответствующее квадратное уравнение.    		 x2−3x + 4 = 0
    Напишите квадратную формулу. х = −b ± b2−4ac2a
    Затем подставьте значения a, b, c. х = — (- 3) ± (−3) 2−4⋅1⋅ (4) 2⋅1
    Упростить. х = 3 ± -72
    Упростите подкоренное выражение. х = 3 ± 7и2
    Сложные решения говорят нам, что парабола
    не пересекает ось x .
    Также парабола открывается вверх. Этот
    говорит нам, что парабола полностью выше оси x .    		 Комплексные решения

    Мы должны найти решение x2−3x + 4> 0.

    Т.к. для всех значений х

    график находится над осью x , все значения x делают неравенство истинным. В обозначениях интервалов пишем (−∞, ∞).

    ⓑ * * *

    Запишите квадратное неравенство в стандартной форме.x2−3x + 4≤0 Определите критические точки, решив соответствующее квадратное уравнение x2−3x + 4 = 0

    Поскольку соответствующее квадратное уравнение такое же, как в части (a), парабола будет такой же. Парабола открывается вверх и полностью находится выше оси x — ни одна ее часть не находится ниже оси x .

    Мы должны найти решение x2−3x + 4≤0.

    Поскольку для всех значений x график никогда не находится ниже оси x , никакие значения x не делают неравенство истинным.У неравенства нет решения.

    Решите и запишите любое решение в интервальной записи: * * *

    ⓐ −x2 + 2x − 4≤0

    ⓑ −x2 + 2x − 4≥0

    ⓐ (-∞, ∞)

    ⓑ нет решения

    Решите и запишите любое решение в интервальной записи: * * *

    ⓐ x2 + 3x + 3 <0

    ⓑ x2 + 3x + 3> 0

    ⓐ решения нет * * *

    ⓑ (-∞, ∞)

    Ключевые понятия

    • Решите квадратичное неравенство графическим способом
      1. Запишите квадратное неравенство в стандартной форме.
      2. Постройте график функции f (x) = ax2 + bx + c

        с использованием свойств или преобразований.

      3. Найдите решение по графику.
    • Как решить квадратное неравенство алгебраически
      1. Запишите квадратное неравенство в стандартной форме.
      2. Определите критические точки — решения соответствующего квадратного уравнения.
      3. Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.
      4. Над числовой линией показан знак каждого квадратичного выражения с использованием контрольных точек из каждого интервала, подставленного в исходное неравенство.
      5. Определите интервалы, в которых неравенство верно. Запишите решение в интервальной записи.

    Раздел упражнений

    Практика ведет к совершенству

    Решите квадратичные неравенства графически

    В следующих упражнениях ⓐ решите графически и ⓑ запишите решение в интервальной записи.

    х2 + 6х + 5> 0

    ⓐ * * *

    ⓑ (−∞, −5) ∪ (−1, ∞)

    х2 + 4х + 3≤0

    ⓐ * * *

    ⓑ [−3, −1]

    −x2−3x + 18≤0

    ⓐ * * *

    ⓑ (−∞, −6] ∪ [3, ∞)

    −x2 + x + 12≥0

    ⓐ * * *

    ⓑ [−3,4]

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство алгебраически и запишите любое решение в интервальной записи.

    х2 + 3х − 4≥0

    (−∞, −4] ∪ [1, ∞)

    х2 + 8х> −15

    (−∞, −5) ∪ (−3, ∞)

    х2−4х + 2≤0

    [2−2,2 + 2]

    x2−10x> −19

    (−∞, 5−6) ∪ (5 + 6, ∞)

    −6×2 + 19x − 10≥0

    (−∞, −52] ∪ [−23, ∞)

    −2×2 + 7x + 4≥0

    (−∞, −12] ∪ [4, ∞)

    −2×2 + 8x − 10 <0

    (−∞, ∞).

    Письменные упражнения

    Объясните критические точки и то, как они используются для алгебраического решения квадратных неравенств.

    Решить x2 + 2x≥8

    графически и алгебраически. Какой метод вы предпочитаете и почему?

    Опишите шаги, необходимые для решения квадратного неравенства графически.

    Опишите шаги, необходимые для решения квадратного неравенства алгебраически.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ Как бы вы оценили свое владение этим разделом по шкале от 1 до 10 с учетом ваших ответов в контрольном списке? Как это можно улучшить?

    Упражнения для повторения главы

    Решите квадратные уравнения, используя свойство квадратного корня

    Решите квадратные уравнения вида ax 2 = k Используя свойство квадратного корня

    В следующих упражнениях решите, используя свойство квадратного корня.

    ** Решите квадратные уравнения вида a (x − h) 2 = k

    Использование свойства квадратного корня **

    В следующих упражнениях решите, используя свойство квадратного корня.

    (п — 4) 2-50 = 150

    п = 4 ± 102

    Решите квадратные уравнения, заполнив квадрат

    Решите квадратные уравнения с завершением квадрата

    В следующих упражнениях завершите квадрат, чтобы получился полный квадрат трехчлена.Затем запишите результат в виде бинома в квадрате.

    В следующих упражнениях решите, заполнив квадрат.

    d2 + 14d = −13

    d = −13, −1

    м2 + 10м − 4 = −13

    м = −9, −1

    Решите квадратные уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, заполнив квадрат

    В следующих упражнениях решите, заполнив квадрат.

    Решите квадратные уравнения, используя квадратичную формулу

    В следующих упражнениях решите, используя квадратичную формулу.

    6a2−5a + 2 = 0

    а = 512 ± 2312 и

    18p2−15p = −120

    р = 4 ± 55

    Использование дискриминанта для прогнозирования числа решений квадратного уравнения

    В следующих упражнениях определите количество решений для каждого квадратного уравнения.

    ⓐ 9×2−6x + 1 = 0

    ⓑ 3y2−8y + 1 = 0

    ⓒ 7м2 + 12м + 4 = 0

    ⓓ 5n2 − n + 1 = 0

    ⓐ 5×2−7x − 8 = 0

    ⓑ 7×2−10x + 5 = 0

    ⓒ 25×2−90x + 81 = 0

    ⓓ 15×2−8x + 4 = 0

    Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

    В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (разложение на множители, квадратный корень или квадратная формула) для решения каждого квадратного уравнения.Не решайте.

    ⓐ 16r2−8r + 1 = 0

    ⓑ 5t2−8t + 3 = 9

    ⓒ 3 (c + 2) 2 = 15

    коэффициент ⓑ квадратная формула ⓒ квадратный корень

    ⓐ 4d2 + 10d − 5 = 21

    ⓑ 25×2−60x + 36 = 0

    ⓒ 6 (5v − 7) 2 = 150

    Решите уравнения в квадратичной форме

    Решить уравнения в квадратичной форме

    В следующих упражнениях решите.

    x4−14×2 + 24 = 0

    х = ± 2, х = ± 23

    4×4−5×2 + 1 = 0

    х = ± 1, х = ± 12

    x23−10×13 + 24 = 0

    х = 64, х = 216

    8x − 2−2x − 1−3 = 0

    х = -2, х = 43

    Решение приложений квадратных уравнений

    Решение приложений, моделируемых квадратными уравнениями

    В следующих упражнениях решите, используя метод факторизации, принцип квадратного корня или квадратную формулу.При необходимости округлите ответы до ближайшей десятой.

    Найдите два последовательных нечетных числа, произведение которых равно 323.

    Найдите два последовательных четных числа, произведение которых равно 624.

    Два последовательных четных числа, произведение которых равно 624, равны 24 и 26, а также −24 и −26.

    Треугольный баннер имеет площадь 351 квадратный сантиметр. Длина основания на два сантиметра больше, чем в четыре раза больше высоты. Найдите высоту и длину основания.

    Юлий построил треугольную витрину для своей коллекции монет. Высота витрины на шесть дюймов меньше двойной ширины основания. Площадь задней части корпуса составляет 70 квадратных дюймов. Найдите высоту и ширину корпуса.

    Высота 14 дюймов, ширина 10 дюймов.

    Плитка мозаика в форме прямоугольного треугольника используется как угол прямоугольной дорожки. Гипотенуза мозаики составляет 5 футов.Одна сторона мозаики вдвое длиннее другой. Какая длина сторон? Округлите до ближайшей десятой.

    Прямоугольный кусок фанеры имеет диагональ, которая на два фута больше ширины. Длина фанеры в два раза больше ширины. Какова длина диагонали фанеры? Округлите до ближайшей десятой.

    Длина диагонали 3,6 фута.

    Парадный переход от улицы к дому Пэм имеет площадь 250 квадратных футов.Его длина в два раза меньше ширины в четыре раза. Найдите длину и ширину тротуара. Округлите до ближайшей десятой.

    Для выпускного вечера Софии несколько столов одинаковой ширины будут установлены встык, чтобы получить сервировочный стол общей площадью 75 квадратных футов. Общая длина столов будет в два раза больше, чем в три раза больше ширины. Найдите длину и ширину сервировочного столика, чтобы София могла купить скатерть нужного размера. Круглый ответ до десятых.

    Ширина сервировочного стола составляет 4,7 фута, а длина — 16,1 фута. * * *

    Мяч бросается в воздух вертикально со скоростью 160 фут / сек. Используйте формулу h = −16 t 2 + v 0 t , чтобы определить, когда мяч будет на высоте 384 фута от земли. Округлите до ближайшей десятой.

    Пара села на небольшой самолет, чтобы быстро полететь в винную страну на романтический ужин, а затем вернулась домой.Самолет налетал в общей сложности 5 часов, а расстояние в каждую сторону составляло 360 миль. Если самолет летел со скоростью 150 миль в час, какая скорость ветра влияла на самолет?

    Скорость ветра была 30 миль в час.

    Эзра плыл на байдарке по реке, а затем вернулся в общей сложности за 6 часов. Поездка составляла 4 мили в каждую сторону, и течение было трудным. Если Рой каяки со скоростью 5 миль в час, какова скорость течения?

    Два мастера могут сделать ремонт дома за 2 часа, если будут работать вместе.Один из мужчин тратит на 3 часа больше, чем другой, чтобы закончить работу в одиночку. Сколько времени нужно каждому мастеру на ремонт дома в индивидуальном порядке?

    Одному человеку требуется 3 часа, а другому 6 часов, чтобы закончить ремонт в одиночку.

    Графические квадратичные функции с использованием свойств

    Распознать график квадратичной функции

    В следующих упражнениях построите график по точкам.

    В следующих упражнениях определите, открываются ли следующие параболы вверх или вниз.

    ⓐ у = −3×2 + 3x − 1

    ⓑ y = 5×2 + 6x + 3

    ⓐ y = x2 + 8x − 1

    ⓑ y = −4×2−7x + 1

    Найти ось симметрии и вершину параболы

    В следующих упражнениях найдите ⓐ уравнение оси симметрии и ⓑ вершину.

    у = 2×2−8x + 1

    х = 2; (2, −7)

    Найдите точки пересечения параболы

    В следующих упражнениях найдите точки пересечения x и y .

    у = x2−8x + 15

    у: (0,15) х: (3,0), (5,0)

    у = −5×2−30x − 46

    y: (0, -46) x: нет

    у = х2 + 16х + 64

    у: (0, -64) х: (- 8,0)

    Графические квадратичные функции с использованием свойств

    В следующих упражнениях создайте график, используя его свойства.

    у = x2−2x − 3

    у = 4×2−4x + 1

    у = −2×2−8x − 12

    Решение максимальных и минимальных приложений

    В следующих упражнениях найдите минимальное или максимальное значение.

    у = −3×2 + 12x − 10

    Максимальное значение равно 2, когда x = 2.

    В следующих упражнениях решите. Округление ответов до десятых.

    Мяч подбрасывается вверх от земли с начальной скоростью 112 фут / сек. Воспользуйтесь квадратным уравнением h = −16 t 2 + 112 t , чтобы найти, сколько времени понадобится мячу, чтобы достичь максимальной высоты, а затем найдите максимальную высоту.

    Детский сад окружает прямоугольную площадку вдоль стены здания, где дети могут играть на открытом воздухе.Им необходимо максимально увеличить площадь, используя 180 футов ограждения с трех сторон двора. Квадратное уравнение A = −2 x 2 + 180 x дает площадь A двора для длины x здания, граничащего с двором. Найдите длину здания, которое должно граничить со двором, чтобы увеличить площадь, а затем найдите максимальную площадь.

    Длина, прилегающая к зданию, составляет 90 футов, максимальная площадь — 4 050 квадратных футов.

    Графические квадратичные функции с использованием преобразований

    ** Граф квадратичных функций вида f (x) = x2 + k

    **

    В следующих упражнениях постройте график каждой функции, используя вертикальный сдвиг.

    h (x) = x2−3

    В следующих упражнениях постройте график каждой функции, используя горизонтальный сдвиг.

    г (х) = (х − 3) 2

    В следующих упражнениях постройте график каждой функции с помощью преобразований.

    f (x) = (x + 3) 2−2

    f (x) = (x − 4) 2−3

    ** Граф квадратичных функций вида f (x) = ax2

    **

    В следующих упражнениях нарисуйте каждую функцию в виде графика.

    f (х) = — х2

    Графические квадратичные функции с использованием преобразований

    В следующих упражнениях перепишите каждую функцию в виде f (x) = a (x − h) 2 + k

    , заполнив квадратик.

    f (x) = 2×2−4x − 4

    f (x) = 2 (x − 1) 2−6

    В следующих упражнениях ⓐ перепишем каждую функцию в виде f (x) = a (x − h) 2 + k

    формируют и строят график с помощью преобразований.

    f (x) = 3×2−6x − 1

    ⓐ f (x) = 3 (x − 1) 2−4

    ⓑ * * *

    f (x) = 2×2 + 4x + 6

    ⓐ е (х) = 2 (х + 1) 2 + 4

    ⓑ * * *

    В следующих упражнениях ⓐ перепишем каждую функцию в виде f (x) = a (x − h) 2 + k

    и построите график с помощью свойств.

    f (x) = — 3×2−12x − 5

    ⓐ f (x) = — 3 (x + 2) 2 + 7

    ⓑ * * *

    Найдите квадратичную функцию по ее графику

    В следующих упражнениях запишите квадратичную функцию в виде f (x) = a (x − h) 2 + k

    форма.

    ! [На этом рисунке показана открывающаяся вверх парабола на плоскости координат x y. Он имеет вершину (отрицательный 1, отрицательный 1) и другие точки (отрицательный 2, отрицательный 4) и (0, отрицательный 4).] (/ algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_205_img.jpg)

    f (x) = (x + 1) 2−5

    ! [На этом рисунке показана открывающаяся вверх парабола на плоскости координат x y. Он имеет вершину (2, 4) и другие точки (0, 8) и (4, 8).] (/ Algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_206_img.jpg)

    Решите квадратичные неравенства

    Решите квадратичные неравенства графически

    В следующих упражнениях решите графически и запишите решение в интервальной записи.

    х2 − х − 6> 0

    ⓐ * * *

    ⓑ (−∞, −2) ∪ (3, ∞)

    −x2 − x + 2≥0

    ⓐ * * *

    [−2,1]

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство алгебраически и запишите любое решение в интервальной записи.

    х2−6х + 4≤0

    [3−5,3 + 5]

    Практический тест

    Используйте свойство квадратного корня, чтобы решить квадратное уравнение 3 (w + 5) 2 = 27.

    ш = -2, ш = -8

    Воспользуйтесь функцией Completing the Square, чтобы решить квадратное уравнение a2−8a + 7 = 23.

    Используйте дискриминант, чтобы решить квадратное уравнение 2m2−5m + 3 = 0.

    м = 1, м = 32

    Решите следующие квадратные уравнения. Используйте любой метод.

    Используйте дискриминант, чтобы определить количество и тип решений каждого квадратного уравнения.

    Решите каждое уравнение.

    y23 + 2y13−3 = 0

    у = 1, у = −27

    Для каждой параболы найдите, ⓐ в каком направлении она открывается, ⓑ уравнение оси симметрии, ⓒ вершину, ⓓ точки пересечения x- и y и e) максимальное или минимальное значение.

    у = −x2−8x + 16

    ⓐ вниз ⓑ x = −4

    ⓒ (−4,0)

    ⓓ у: (0,16); х: (- 4,0)

    ⓔ минимальное значение −4

    при x = 0

    Постройте график каждой квадратичной функции, используя точки пересечения, вершину и уравнение оси симметрии.

    f (x) = — 2×2 + 8x + 4

    ! [На этом рисунке показана открывающаяся вниз парабола на плоскости координат x y. Он имеет вершину (2, 12) и другие точки (0, 4) и (4, 4).] (/ algebra-intermediate-book / resources / CNX_IntAlg_Figure_09_08_343_img.jpg)

    В следующих упражнениях постройте график каждой функции с помощью преобразований.

    f (x) = x2−4x − 1

    f (x) = 2 (x − 1) 2−6

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство алгебраически и запишите любое решение в интервальной записи.

    2×2 + x − 10> 0

    (−∞, −52) ∪ (2, ∞)

    Смоделируйте ситуацию квадратным уравнением и решите любым методом.

    Найдите два последовательных четных числа, произведение которых равно 360.

    Длина диагонали прямоугольника на три больше ширины. Длина прямоугольника в три раза больше ширины. Найдите длину диагонали. (Округлите до десятых.)

    Длина диагонали составляет 3,8 единицы.

    Водяной шар запускается вверх со скоростью 86 футов / сек. Используя формулу h = −16 t 2 + 86 t найдите, сколько времени потребуется воздушному шару, чтобы достичь максимальной высоты, а затем найдите максимальную высоту.Округлите до ближайшей десятой.

    Глоссарий

    квадратное неравенство
    Квадратичное неравенство — это неравенство, содержащее квадратичное выражение.

    Эта работа находится под международной лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

    Вы также можете бесплатно скачать по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]

    Атрибуция:

    Абсолютное значение — Свойства и примеры

    Что такое абсолютное значение?

    Абсолютное значение относится к расстоянию от точки до нуля или начала координат на числовой прямой, независимо от направления.Абсолютное значение числа всегда положительно.

    Абсолютное значение числа обозначается двумя вертикальными линиями, охватывающими число или выражение. Например, абсолютное значение числа 5 записывается как | 5 | = 5. Это означает, что расстояние от 0 составляет 5 единиц:

    Аналогично, абсолютное значение отрицательной 5 обозначается как | -5 | = 5. Это означает, что расстояние от 0 составляет 5 единиц:

    Число не только показывает расстояние от начала координат, но также важно для построения графика абсолютного значения.

    Рассмотрим выражение | x | > 5. Чтобы представить это в числовой строке, вам нужны все числа, абсолютное значение которых больше 5. Это делается графически, помещая открытую точку на числовой строке.

    Рассмотрим другой случай, когда | x | = 5. Сюда входят все абсолютные значения, которые меньше или равны 5. Это выражение отображается путем помещения закрытой точки на числовой строке. Знак равенства указывает, что все сравниваемые значения включены в график.

    Самый простой способ представить выражения с неравенствами — это следовать следующим правилам.

    • Для | x | <5, -5 < x <5
    • Для | x | = 5, -5 = x = 5
    • Для | x + 6 | <5, -5 < x + 6 <5

    Свойства абсолютного значения

    Абсолютное значение имеет следующие основные свойства:

    1. Неотрицательность | a | ≥ 0
    2. Положительная определенность | a | = 0a = 0
    3. Мультипликативность | ab | = | а | | б |
    4. Субаддитивность | a + b | ≤ | а | + | b |
    5. Идемпотентность || a || = | а |
    6. Симметрия | −a | = | а |
    7. Личность неразличима | a — b | = 0 ⇔ a = b
    8. Неравенство треугольника | a — b | ≤ | a — c | + | c — b |
    9. Сохранение деления | a / b | = | a | / | b | if b ≠ 0

    Пример 1

    Упростить — | -6 |

    Решение

    • Преобразуйте символы абсолютного значения в круглые скобки

    — | –6 | = — (6)

    • Теперь я могу взять отрицательное значение в круглых скобках:

    — (6) = — 6

    Пример 2

    Найдите возможные значения x.

    | 4x | = 16

    Решение

    В этом уравнении 4x может быть положительным или отрицательным. Итак, мы можем записать это как:

    4x = 16 или -4x = 16

    Разделите обе стороны на 4.

    x = 4 или x = -4

    Следовательно, два возможных значения x равны -4 и 4.

    Пример 3

    Решите следующие задачи:

    a) Решите | –9 |

    Ответ

    | –9 | = 9

    б) Упростить | 0 — 8 |,

    Ответ

    | 0 — 8 | = | –8 | = 8

    c) Решить | 9 — 3 |,

    Ответ

    | 9 — 3 | = | 6 | = 6

    d) Упростить | 3 — 7 |,

    Ответ

    | 3 — 7 | = | –4 | = 4

    д) Тренировка | 0 (–12) |,

    Ответ

    | 0 (–12) | = | 0 | = 0

    е) Упростить | 6 + 2 (–2) |,

    Ответ

    | 6 + 2 (–2) | = | 6 — 4 | = | 2 | = 2

    г) Решить — | –6 |,

    Ответ

    — | –6 | = — (6) = –6

    h) Упростить — | (–7) 2 |.

    Ответ

    — | (–7) 2 | = — | 49 | = –49

    i) Рассчитать — | –9 | 2

    Ответ

    — | –9 | 2 = — (9) 2 = — (4) = –81

    j) Упростить (- | –3 |) 2 .

    Ответ

    (- | –3 |) 2 = (- (3)) 2 = (–3) 2 = 9

    Пример 4

    Оценить: — | -7 + 4 |

    Решение

    • Прежде всего, начните с разработки выражений внутри символов абсолютных значений:
      — | -7 + 4 | = — | -3 |
    • Ввести круглые скобки
      — | -3 | = — (3) = -3
    • Итак, ответ -3.

    Пример 5

    Морской дайвер находится на -20 футов ниже поверхности воды.Как далеко ему нужно проплыть, чтобы выбраться на поверхность?

    Раствор

    Ему нужно плавать | -20 | = 20 футов.

    Пример 6

    Вычислить абсолютное значение 19 — 36 (3) + 2 (4 — 87)?

    Решение

    19-36 (3) + 2 (4-87)

    = 19-108 + 2 (-83)

    = 19-108-166

    = -255

    Пример 7

    Решите уравнение, определив абсолютные значения,

    2 | -2 × — 2 | — 3 = 13

    Решение

    Перепишите выражение со знаком абсолютного значения на одной стороне.

    • Добавьте 3 к обеим сторонам выражения

    2 | — 2 × — 2 | — 3 + 3 = 13 + 3

    2 | — 2 × — 2 | = 16

    | — 2 × — 2 | = 8

    • Оставшееся уравнение аналогично записи выражения:

    — 2 × — 2 = 8 или — 8

    1. a) -2 x — 2 = 8

    Теперь решите относительно x
    x = — 5

    1. b) — 2 x — 2 = — 8

    x = 3

    • Правильный ответ (-5, 3).

    Пример 8

    Вычислить действительные значения для выражения с абсолютным значением.

    | x — 1 | = 2x + 1

    Решение

    Один из способов решения этого уравнения — рассмотреть два случая:
    a) Предположим, что x — 1 ≥ 0, и перепишем выражение как:

    x — 1 = 2x + 1

    Вычислить значение x
    x = -2
    б) Предположим, что x — 1 ≤ 0, и перепишем это выражение как
    — (x — 1) = 2x + 1
    — x + 1 = 2x + 1
    найдите x как
    x = 0

    Важно проверить правильность решений для уравнения, потому что все значения x были приняты.