Вписанная в ромб окружность | Треугольники

Какими свойствами обладает вписанная в ромб окружность? Как найти её радиус?

Центр вписанной в ромб окружности — точка пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по общей формуле

   

где S — площадь ромба, p — его полупериметр.

Так как полупериметр ромба равен p=2a, где a — сторона ромба, эту формулу можно записать как

   

С учётом формул для нахождения площади ромба:

   

где α — угол ромба (причем α может быть как острым, так и тупым).

   

где d1и d2 — диагонали ромба.

Таким образом, еще две формулы радиуса вписанной в ромб окружности:

   

   

Так как диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, радиус равен половине высоты ромба:

   

Если известно, что точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, то радиус можно выразить через длины этих отрезков.

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне, то по свойству высоты прямоугольного треугольника из треугольника AOD имеем

   

Следовательно, радиус вписанной в ромб окружности есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делит сторону точка касания:

   

Радиус вписанной окружности в ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:


Ромб с вписанной окружностью

  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.

Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба.
Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами

1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту

Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.

Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:

r=h/2

2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали

Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
S={1/2}*P*r, где Р– периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P=4×а. Тогда S=2*a*r
Но площадь ромба  также равна половине произведения его диагоналей S={1/2}*{d_1}*{d_2}


Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство 2*a*r = {1/2}*{d_1}*{d_2}
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали

r={ {{d_1}*{d_2} } / {4 * a} }
Иконка карандаша 24x24Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали
Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см
Пусть ABCD-ромб, тогда AC и BD его диагонали. AC=30 см, BD=40 см
Пусть точка О – это центр вписанной в ромб ABCD окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам.
AO={1/2}AC=15

BO={1/2}BD=20
т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
{AB}^2={AO}^2+{BO}^2, подставляем в формулу ранее полученные значения
{AB}^2={15^2+20^2}=625
AB = 25 см
Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем
r={ {30*40} / {4*25} = 12}

3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n

Ромб с вписанной окружностью

Точка F – точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF и BF. Пусть AF=m, BF=n.
Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.
Треугольник AOB – прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
OF ortho AB, т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности . Следовательно OF – высота треугольника AOB к гипотенузе. Тогда AF и BF – проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
OF=sqrt{AF+BF}
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности

r=sqrt{n*m} Иконка карандаша 24x24Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны отрезки m и n
Найдите радиус описанной окружности в ромб, если точка касания делит сторону ромба на 9 и 4
Пусть ABCD-ромб, тогда AC и BD его диагонали.
Пусть точка O – это центр вписанной в ромб ABCD окружности.
Пусть точка F – точка касания окружности со стороной ромбаAB. Тогда. AF=9, BF=4
Применив ранее полученную формулу, получаем
r=sqrt{9*4}=sqrt{36}=6

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

Радиус вписанной окружности в ромб

 

a — сторона ромба

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Формула 1 радиуса вписанной окружности в ромб

 

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Формула 2 радиуса вписанной окружности в ромб

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Формула 3 радиуса вписанной окружности в ромб

Формула 4 радиуса вписанной окружности в ромб

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

Формула 5 радиуса вписанной окружности в ромб

Формула 6 радиуса вписанной окружности в ромб

 

 

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

Радиус вписанной окружности в ромб

 

a — сторона ромба

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Формула 7 радиуса вписанной окружности в ромб

Подробности
Автор: Administrator logo

В ромб вписана окружность

Когда в условии задачи сказано, что в ромб вписана окружность, в ходе ее решения может быть использовано одно из следующих рассуждений.

Точка касания вписанной в ромб окружности делит его сторону на отрезки

В этом случае радиус ромба и его диагонали можно найти, используя соотношения в прямоугольном треугольнике.

Например, F — точка касания вписанной в ромб окружности — делит сторону AB на отрезки AF=m, FB=n. О — центр вписанной в ромб окружности — является точкой пересечения его диагоналей. Треугольник AOB — прямоугольный (так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны).

   

   

— как радиус, проведенный в точку касания. Значит, OF — высота, проведенная к гипотенузе. Отсюда

   

   

   

Высота ромба через радиус вписанной окружности

   

Радиус вписанной в ромб окружности

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле

   

S — площадь ромба, p — его полупериметр (p=2a, где a — сторона ромба).

Соответственно, площадь ромба через радиус вписанной в него окружности

   

Поскольку площадь ромба также равна

   

   

   

Площадь ромба через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания вписанной в него окружности, может быть найдена как

   

 

 

Ромб — Формулы | Свойства

Для расчёта всех основных параметров ромба воспользуйтесь калькулятором.

Свойства ромба
  1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны.
  2. Диагонали ромба перпендикулярны.
  3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
  5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.
  6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.
  7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре
Признаки ромба
  1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.
  2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то эта фигурой будет ромб.
    Примечание: Не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом, так как прежде всего ромб это частный случай параллелограмма, а следовательно должен иметь все его признаки
  3. Если в параллелограмм можно вписать круг, то он является ромбом
Формулы стороны ромба

Длина стороны ромба через площадь (S) и высоту (AE)

$$ AB = {S \over AE} $$

Длина стороны ромба через площадь (S) и синус угла

$$ AB = {\sqrt{S} \over \sqrt{sin(∠CDA)}} = {\sqrt{S} \over \sqrt{sin(∠DAB)}} $$

Длина стороны ромба через диагонали

$$ AB = {\sqrt{AC^2 + DB^2} \over 2} $$

Длина стороны ромба через диагональ и угол

$$ AB = {BD \over 2 * cos(∠CDA)} = {AC \over 2 * cos(∠DAB)} $$

Длина стороны ромба через периметр

$$ AB = {P \over 4} $$
Формулы диагоналей ромба

Длина большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла(∠CDA) или косинус тупого угла(∠DAB)

$$ BD = AB * \sqrt{2 + 2 * cos(∠CDA)} $$ $$ BD = AB * \sqrt{2 — 2 * cos(∠DAB)} $$

Длина малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла(∠CDA) или косинус тупого угла(∠DAB)

$$ AC = AB * \sqrt{2 — 2 * cos(∠CDA)} $$ $$ AC = AB * \sqrt{2 + 2 * cos(∠DAB)} $$

Длина диагонали ромба через сторону и другую диагональ

$$ BD = \sqrt{4 * AB^2 + AC^2} $$ $$ AC = \sqrt{4 * AB^2 + BD^2} $$

Длина диагонали ромба через площадь и другую диагональ

$$ BD = {2 * S \over AC} $$ $$ AC = {2 * S \over BD} $$

Длина диагонали ромба через тангенс острого tg(∠CDA) или тупого tg(∠DAB) угла и другую диагональ

$$ BD = AC * tg({∠DAB \over 2 }) $$ $$ AC = BD * tg({∠CDA \over 2 }) $$
Формулы площади ромба

Площадь ромба через высоту (AE) и сторону

$$ S = AB * AE $$

Площадь ромба через сторону и синус любого угла

$$ S = AB^2 * sin(∠CDA) = AB^2 * sin(∠DAB) $$

Площадь ромба через две диагонали

$$ S = {1 \over 2} * AC * BD $$

Площадь ромба через большую диагональ и тангенс острого угла(∠CDA) или малую диагональ и тангенс тупого угла(∠DAB)

$$ S = {1 \over 2} * BD^2 * tg({∠CDA \over 2}) $$ $$ S = {1 \over 2} * AC^2 * tg({∠DAB \over 2}) $$
Формулы радиуса круга вписанного в ромб

Радиус вписанного круга в ромб через высоту ромба (AE)

$$ R = {AE \over 2} $$

Радиус вписанного круга в ромб через площадь и сторону ромба

$$ R = {S \over 2 * AB} $$

Радиус вписанного круга в ромб через сторону и синус любого угла

$$ R = {AB * sin(∠CDA) \over 2} = {AB * sin(∠DAB) \over 2} $$

Радиус вписанного круга в ромб через диагональ и синус угла

$$ R = {BD * sin(∠CDA / 2) \over 2} $$ $$ R = {AC * sin(∠DAB / 2) \over 2} $$

Радиус вписанного круга в ромб через две диагонали

$$ R = {BD * AC \over 2 * \sqrt{BD^2 + AC^2}} $$
Формулы высоты ромба

Высота ромба через сторону и угол

$$ AE = AB * sin(∠CDA) = AB * sin(∠DAB) $$

Высота ромба через диагональ и угол

$$ AE = BD * sin({∠CDA \over 2}) $$ $$ AE = AC * sin({∠DAB \over 2}) $$

Высота ромба через диагонали

$$ AE = {BD * AC \over \sqrt{BD^2 + AC^2}} $$

Высота ромба через диагонали и сторону

$$ AE = {BD * AC \over 2 * AB} $$
Формулы углов ромба

Косинус углов через диагональ и сторону

$$ cos(∠CDA) = {BD \over 2 * AB^2} — 1 = 1 — {AC \over 2 * AB^2} $$ $$ cos(∠DAB) = {AC \over 2 * AB^2} — 1 = 1 — {BD \over 2 * AB^2} $$

Синусы углов через диагонали

$$ sin(∠CDA) = sin(∠DAB) = {2 * BD * AC \over BD^2 + AC^2} $$

Синусы углов через площадь и сторону

$$ sin(∠CDA) = sin(∠DAB) = {S \over AB^2} $$

Тангенс половинных углов через диагонали

$$ tg(∠CDA) = {AC \over BD} $$ $$ tg(∠DAB) = {BD \over AC} $$

Радиус вписанной окружности в ромб

Радиус вписанной окружности в ромб

Существует свойство окружности, которую можно вписать в четырехугольник. Для этого должно выполняться всего одно условие: сумма одной пары противоположных сторон должна быть равна сумме другой пары противоположных сторон.
Поскольку для ромба это условие выполняется, то окружность можно вписать в любой ромб. Центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей ромба совпадают.
Рассмотрим несколько способов вычисления радиуса вписанной в ромб окружности
 
1 вариант. Вычислить радиус вписанной окружности через высоту.
Поскольку высота ромба и диаметр вписанной окружности равны, что следует из свойств прямоугольника, образованного диаметром вписанной окружности и высотой ромба.
Запишем формулу радиуса вписанной окружности:

   

 
2 вариант. Вычислить радиус вписанной окружности через диагонали.
Рассмотрим формулу площади ромба через радиус вписанной окружности:

   

   

   

С другой стороны площадь ромба можно найти через диагонали:

   

Приравняем правые части записанных формул площадей и получим:

   

Из этого равенства выразим радиус:

   

 

Вписанная окружность | Треугольники

Что такое вписанная окружность?Какими свойствами она обладает?

 Определение.

Вписанная в выпуклый многоугольник окружность — это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружности касательной).

Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности (По свойству касательной, сторона описанного многоугольника перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).

По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

Пример.

Окружность с центром в точке O и радиусом r вписана в пятиугольник ABCDE.

ABCDE — описанный пятиугольник.

O — точка пересечения биссектрис ABCD, то есть ∠EAO=∠BAO, ∠ABO=∠CBO, ∠BCO=∠DCO, ∠CDO=∠EDO, ∠AEO=∠DEO.

Точка O равноудалена от точек касания. Расстояние от точки O до любой из сторон равно радиусу: OK=OL=ON=OM=OP=r.

Вершины ABCDE равноудалены от соответствующих точек касания:

AM=AN, BN=BL, CL=CK, DK=DP, EP=EM.

 

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

   

где S — площадь многоугольника, p — его полупериметр.

Кроме основной, существуют формулы для нахождения радиуса вписанной окружности в частных случаях (для правильных многоугольников, отдельных видов треугольников, трапеции, ромба и т.д.).

Урок Круг, вписанный в ромб

Круг, вписанный в ромб


Этот урок посвящен одной проблеме.

Задача

Для данного ромба постройте окружность, вписанную в ромб .

Чтобы решить эту проблему, мы подразделяем ее на более мелкие подзадачи.

Проблема 1
Где находится центр круга, вписанного в ромб?


Решение
— Мммм… Он расположен в центре ромба.

— ОК. Тогда где же находится центр ромба?

— Мммм … На пересечении его диагоналей.

— ОК. Это верно. Теперь ответьте на вопрос: почему центр вписанной окружности
находится на пересечении диагоналей ромба?

— Мммм …
Оооо !!! У меня есть идея!



Рисунок 1 .К проблеме 1

Если круг вписан в ромб, он вписан в каждый из четырех внутренних углов ромба.
Следовательно, центр вписанной окружности расположен на биссектрисах внутренних углов ромба. Но биссектриса ромба — это его диагональ.
Следовательно, центр вписанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба.

— Очень хорошо. Вам пришла основная идея решить эту строительную задачу.

Чтобы завершить эту часть урока, я хотел бы дать ссылки на уроки, где были доказаны соответствующие геометрические факты.

То, что центр вписанной в угол окружности находится под биссектрисой угла, был доказан на уроке Свойства биссектрисы угла в теме
Треугольники раздела Геометрия на этом сайте.
То, что диагонали ромба являются биссектрисами, было доказано на уроке «Диагонали ромба, делят пополам его углы» в теме Параллелограммы
раздела Геометрия на этом сайте.

Задача 2
Постройте радиус круга, вписанного в данный ромб.


Решение
Если окружность вписана в ромб, то сторона ромба
касательная к окружности. Это визуально видно из Рисунок 2 .
Примем его сейчас без формальных доказательств.
(Это будет доказано позже в одном из следующих уроков).

Следовательно, чтобы построить радиус вписанной окружности
, мы должны построить перпендикуляр от центра окружности
к стороне ромба. Неважно, до какой из четырех сторон
ромба. Любому.



Рисунок 2 . К проблеме 2

Другими словами, мы должны построить перпендикуляр от центра ромба, который является точкой диагонального пересечения, до стороны ромба.

Алгоритм построения перпендикуляра от точки вне прямой к прямой с помощью линейки и циркуля был описан в уроке
Как разделить отрезок пополам с помощью циркуля и линейки. Этот урок находится в теме Треугольники раздела Геометрия на этом сайте.

Итак, у вас есть алгоритм для построения радиуса вписанной окружности в ромб.
Конструкция Задача 2 решена.

В качестве последнего шага этого урока я бы хотел, чтобы вы решили следующие

Задача 3
Вычислить радиус окружности, вписанной в данный ромб.
Ромб имеет размер стороны, размер диагонали и.


Решение
Как мы договорились выше при решении Задачи 2 , радиус
окружности, вписанной в данный ромб, — это перпендикуляр
, проведенный от центра окружности (который является точкой пересечения диагоналей)
в сторону от ромб в точке касания.

Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам.
Это было доказано на уроках Диагонали ромба перпендикулярны
и Свойства диагоналей параллелограммов в теме
Параллелограммы раздела Геометрия на этом сайте.
Следовательно, диагонали ромба делят его на четыре равных



Рисунок 3 . К проблеме 3
прямоугольных треугольников, и нам нужно найти длину высоты любого из четырех прямоугольных треугольников, проведенных из прямой угловой вершины в гипотенузу.

Итак, наша исходная задача сводится к следующей:

найти высоту прямоугольного треугольника, проведенного из прямой угловой вершины к гипотенузе .

Параметры этого прямоугольного треугольника: размеры его катетов a и b и мера гипотенузы c (, рис. 4 ), связанные с параметрами исходного ромба равенствами


,,.

Пусть x и y — это размеры отрезков, на которых высота отсекает
гипотенузу. Пусть z будет длиной высоты, проведенной к гипотенузе
(, рис. 4, ).

Мы хотим вывести формулу, выражающую z через a , b и c .

Существует несколько способов вывести такую ​​формулу.



Рисунок 4 .Высота прямоугольного треугольника
Например, можно записать равенство для площади треугольника как

и получить из него, что

.

Но я не думаю, что в этом уроке вы знакомы с понятием площади треугольников.

Поступая иначе, можно заметить, что треугольник ACD подобен треугольнику ABC ( Рисунок 4 ), чтобы получить пропорцию из этого факта

и, наконец, получить ту же формулу из пропорции

.

Но я не думаю, что в этом уроке вы знакомы с понятием подобия треугольников.

На этом уроке я действительно хочу получить формулу для z из «первых принципов».


Добавим уравнения (1) и (2) (обе части). Мы получили
, г.
или
(5),

потому что

по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC .

Сравнивая уравнения (4) и (5), получаем
.(6)

Возвести в квадрат обе части уравнения (6). Ты получаешь
. (7)

Подставить выражения
и

в уравнение (7). (Обратите внимание, что эти выражения представляют собой переписанные уравнения (1) и (2)). Ты получаешь
.

Раскройте квадратные скобки и отмените подобные условия. Ты получаешь
, г.

или
.

Теперь извлеките квадратный корень из обеих частей. Ты получаешь
, г.

, что является нашей целью.

Теперь, возвращаясь к нашему первоначальному ромбу, формула для радиуса вписанной окружности имеет вид

.

Сводка
Из этого урока вы узнали, что центр круга, вписанного в ромб, находится на пересечении его диагоналей.
Вы узнали, как построить радиус вписанного круга, используя линейку и циркуль.
Вы научились рассчитывать радиус круга, вписанного в ромб.
Вы узнали, что есть разные способы получить целевую формулу, и узнали, как получить эту формулу, исходя из «первых принципов».

По пути вы узнали, как вычислить высоту прямоугольного треугольника, проведенного к гипотенузе, с помощью его катетов и мер гипотенузы.

Ниже приведены несколько примеров, показывающих, как работает формула.

Пример 1
Ромб имеет размеры диагонали 40 см и 30 см.
Найдите радиус круга, вписанного в ромб.

Решение
Давайте сначала найдем длину стороны ромба.

Обратите внимание, что диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Итак, диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника
с размерами ног и, где и — размеры диагоналей ромба.

Найдите размер стороны ромба как длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 40/2 = 20 см и 30/2 = 15 см:
.

Получается длина стороны 25 см.

Или вы можете напрямую применить формулу из урока Длина диагоналей ромба, который находится в текущей теме Геометрия раздела Задачи Word

на этом сайте:
, г.

где и — размеры диагоналей ромба, а — длина его стороны.

Подставьте диагонали ромба в эту формулу.
, г.

и вы получите те же 25 см для длины стороны ромба.

Итак, теперь вы знаете, что размеры диагонали ромба составляют 40 см и 30 см, а длина стороны — 25 см.

Хорошо, очень хорошо.
Теперь используйте формулу теоремы из этого урока, чтобы вычислить радиус окружности, вписанной в ромб:
.

Получаем 12 см для радиуса круга, вписанного в ромб.

Ответ . Радиус круга, вписанного в ромб, составляет 12 см.

Пример 2
Ромб имеет одну диагональ длиной 18 см и периметр 60 см.

Найдите радиус круга, вписанного в ромб.

Решение
Давайте сначала найдем длину стороны ромба.
Равен одной четвертой периметра, то есть 60/4 = 15 см.

Обратите внимание, что диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам.Итак, диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Для этих треугольников вам известна длина гипотенузы, которая равна длине стороны ромба, равной 15 см, и длина одной ноги, которая составляет половину известной длины диагонали 18/2 = 9 см.

Найдите неизвестную длину катета одного из этих прямоугольных треугольников, применив формулу Пифагора к треугольнику с гипотенузой 15 см и длиной катета 9 см:
.

Получаем длину второй ножки прямоугольного треугольника 12 см.
Так как это половина размера диагонали ромба, весь размер диагонали равен 2 * 12 см = 24 см.

Или вы можете применить формулу, полученную в уроке Длина диагоналей ромба, которая находится в текущей теме Геометрия раздела Задачи Word на этом сайте:
, г.

где — заданная, а — неизвестная величина диагоналей ромба, а — длина его стороны.

Подставьте данные для ромба в эту формулу
, г.

, и вы получите те же 24 см для длины второй диагонали ромба.

Итак, теперь вы знаете, что размеры диагонали ромба составляют 18 см и 24 см, а длина стороны — 15 см.

Хорошо, очень хорошо.
Теперь используйте формулу теоремы из этого урока, чтобы вычислить радиус окружности, вписанной в ромб:
.

Вы получите радиус круга, вписанного в ромб, в 7,2 см.

Ответ . Радиус круга, вписанного в ромб, равен 7,2 см.

Мои другие уроки ромбов на этом сайте
— Диагонали ромба перпендикулярны
— Диагонали ромба делят его углы пополам
— Длина диагоналей ромба
— КАК решать задачи по сторонам ромба и размерам диагоналей — Примеры,
— Длина диагоналей ромба
— СВОЙСТВА РОМБИСА

Для навигации по всем темам / урокам Онлайн-учебника по геометрии используйте этот файл / ссылку ГЕОМЕТРИЯ — ВАШ ОНЛАЙН-УЧЕБНИК.

.

вписанных и описанных окружностей и многоугольников в GMAT

вписанных и описанных

Еще один сложный тип геометрической диаграммы включает многоугольники «внутри» окружностей или окружности «внутри» многоугольников. Когда многоугольник находится «внутри» круга, каждая вершина должна лежать на окружности:

На этой диаграмме неправильный пятиугольник ABCDE равен , вписанному в круг , а круг — , описанному вокруг пятиугольника, .Мы также можем сказать: круг ограничивает пятиугольник. Слово «вписанный» описывает внутреннюю форму, а слово «ограниченный» описывает внешнюю форму. Вот еще одна диаграмма с многоугольником снаружи.

Обратите внимание, что каждая сторона этого неправильного пятиугольника составляет касательной к окружности. Теперь пятиугольник — это , описанный по окружности, а круг — это , вписанный в в пятиугольник .В обоих случаях внешняя форма описывается, а внутренняя форма вписывается.

Треугольники

Как это часто бывает при обсуждении многоугольников, треугольники являются особым случаем при обсуждении вписанного и описанного. Каждый возможный треугольник может быть вписан в один круг и описывать другой круг . Это «универсальное двойное членство» верно ни для каких других многоугольников более высокого порядка — оно верно только для треугольников. Вот небольшая галерея треугольников, каждый из которых вписан в один круг и описывает другой.

Обратите внимание, что, когда один угол особенно тупой, близкий к 180 °, разница в размерах между описанной окружностью и вписанной окружностью становится довольно большой. Также обратите внимание: в случае прямоугольного треугольника, второго изображения, гипотенуза треугольника — это диаметр описанной окружности. Мы вернемся к этому моменту.

Четырехугольники

Многие четырехугольники нельзя ни вписать в круг, ни описать кругом: то есть невозможно построить круг, проходящий через все четыре вершины, а также невозможно построить круг, к которому все четыре стороны касаются друг друга.

Некоторые четырехугольники, например продолговатый прямоугольник, можно вписать в круг, но нельзя описать круг. Другие четырехугольники, такие как наклонный ромб, описывают круг, но не могут быть вписаны в него.

Несколько элитных четырехугольников могут описывать один круг и вписываться в другой круг. Конечно, квадрат (внизу слева), самый элитный из четырехугольников, обладает этим свойством. Другой пример — «правый воздушный змей» (внизу справа), воздушный змей с парой противоположных прямых углов:

Хотя это «двойное членство» верно для всех треугольников, оно ограничено некоторыми особыми случаями с четырехугольниками.

Высшие многоугольники

То, что было верно для четырехугольников, верно и для всех высших многоугольников.

а. Большинство, подавляющее большинство, не могут ни описать круг, ни вписать круг.

г. Некоторые можно вписать в круг, но нельзя описать круг.

г. Некоторые могут описать круг, но не могут быть вписаны в круг.

г. Некоторые избранные могут как описать круг, так и быть вписанными в него.

Последняя категория, элитные члены, всегда включает правильный многоугольник.Подобно тому, как все треугольники имеют это «двойное членство», так и все правильные многоугольники. Вот галерея правильных многоугольников, как с вписанной, так и с описанной окружностью.

Очевидно, что с увеличением количества сторон размеры двух окружностей становятся все ближе и ближе.

Вопросы GMAT о вписанных и описанных многоугольниках встречаются редко и могут проверить как ваше понимание терминологии, так и ваши навыки визуализации, описывая геометрическую ситуацию (например,грамм. «Прямоугольник JKLM вписан в круг») и , а не , что дает вам диаграмму.

Особый случай: треугольник, вписанный в полукруг.

Это особый случай, который нравится GMAT. Он появляется в OG13 (DS # 118) и может легко появиться где-нибудь в разделе Quant вашего настоящего GMAT.

Если все, что вы знаете, это то, что KL — это диаметр окружности, этого достаточно, чтобы установить, что ∠J = 90 ° и что треугольник JKL является прямоугольным треугольником с KL в качестве гипотенузы.С другой стороны, если все, что вам известно, это то, что треугольник JKL является прямоугольным с KL в качестве гипотенузы, этого достаточно, чтобы установить, что дуга KJL является полукругом, а KL — диаметром. Это мощный набор идей, потому что выводы работают в обоих направлениях и потому, что он неразрывно связывает две, казалось бы, несопоставимые идеи.

Кстати, этот пост — четвертый в серии из пяти статей. Вот вся серия.

1) Введение в окружности в GMAT

2) Геометрия GMAT: круги и углы

3) Круговые и линейные диаграммы в GMAT

4) Вписанные и замкнутые круги и многоугольники в GMAT

5) Разбиение на части Круги GMAT: длина дуги, секторы и число Пи

Практический вопрос

1) На диаграмме выше буква S — центр круга.Если QS = 5 и QR = 6, что такое PQ?

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

E. 11

Практическое объяснение вопроса

1) Прежде всего, QS — это радиус, поэтому если QS = 5 , это означает, что PS = SR = 5 и диаметр PR = 10. Кроме того, поскольку PR — это диаметр, это означает, что треугольник PQR является прямоугольным треугольником с QPQR = 90 °. Нам известны две стороны этого прямоугольного треугольника: QR = 6 и PR = 10, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону.2 = 100 — 36 = 64

PQ = sqrt {64} = 8

Ответ = B

Самые популярные ресурсы

О Майке Мэгэрри
Майк создает уроки экспертов и практические вопросы для руководства GMAT студенты к успеху. У него есть степень бакалавра физики и магистра религии в Гарварде, а также более 20 лет опыта преподавания в области математики, естественных наук и стандартизированных экзаменов. Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидных черепных дефектов, он настаивает на том, чтобы болеть за Нью-Йорк Метс.

.

подписанных и подписанных кругов

В этом уроке мы покажем, какие вписанные и описанные круги используют треугольник и квадрат. Круги можно размещать внутри многоугольника или вне многоугольника.

Вписанные круги

Когда круг помещается внутри многоугольника, мы говорим, что круг вписан в многоугольник. Ниже показаны два примера окружностей, вписанных в треугольник и квадрат.

Inscribed circles

Обратите внимание, как каждая сторона треугольника касается окружности ровно в одной точке.Точно так же каждая сторона квадрата касается круга ровно в одной точке.

Также обратите внимание, что у треугольника есть 3 точки касания, так как у квадрата 3 стороны и 4 точки касания, так как у него 4 стороны.

Вообще говоря, когда окружность вписана в многоугольник с n сторонами, будет n точек касания.

Описанные окружности

Когда окружность помещается вне многоугольника и каждая вершина многоугольника лежит на окружности, мы говорим, что круг описан вокруг многоугольника.Ниже показаны два примера окружностей, описанных вокруг треугольника и квадрата.

Circumscribed circles

Обратите внимание, как каждая вершина треугольника или круга лежит на окружности. Также обратите внимание, что на окружности треугольника лежат 3 точки, поскольку у треугольника 3 вершины.

Новые уроки математики

Ваша электронная почта в безопасности. Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.

,

Радиус круга, вписанного в ромб

Детали
Написал Администратор logo
  1.  Радиус круга, вписанного в ромб, если вы знаете диагональ, сторону и угол.

radius circle inscribed rhombus d

DD blue, d blue — диагонали ромба

a black — сторона

angle alpha — острый угол ромба

O black — центр окружности

Вычислите радиус вписанной окружности ромба, если заданы диагонали ( r ):

radius circle inscribed rhombus d F

заданная сторона и угол ( r ):

radius circle inscribed rhombus Formula

с учетом диагонали и угла ( r ):

radius circle inscribed rhombus Formula3

radius circle inscribed rhombus Formula4

с учетом диагонали и стороны ( r ):

radius circle inscribed rhombus Formula1

radius circle inscribed rhombus Formula2

  2.  Радиус круга, вписанного в ромб, если известна высота

radius circle inscribed rhombus h

h — высота ромба

a black — сторона ромба

O black — центр окружности

Формула для расчета радиуса вписанной окружности ромба при заданной высоте ( r ):

radius circle inscribed rhombus h F

,