Середины сторон ромба | Треугольники
Задача.
Доказать, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Дано: ABCD — ромб,
M, N, K, F — середины его сторон
Доказать: MNKF — прямоугольник.
Доказательство:
1) По теореме Вариньона, MNKF- ромб.
2) Проведём диагонали AC и BD.
3) Рассмотрим треугольник ABC.
По условию, M и N — середины сторон AB и BC.
Значит, MN — средняя линия треугольника ABC (по определению).
По свойству средней линии треугольника,
4) Аналогично, в треугольнике BCD
5) По свойству ромба,
Две прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, также перпендикулярны:
6) Имеем: в параллелограмме MNKF ∠MNK=90º.
Значит, MNKF- прямоугольник (по признаку).
Что и требовалось доказать.
Периметр прямоугольника MNKP равен сумме диагоналей ромба ABCD
Площадь прямоугольника MNKP равна половине площади ромба ABCD
www.treugolniki.ru
Середины сторон прямоугольника | Треугольники
Задача.
Доказать, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
Дано: ABCD — прямоугольник,
M, N, K, F — середины его сторон.
Доказать: MKNF — ромб.
Доказательство:
1) Проведём диагонали AC и BD.
2) Рассмотрим треугольник ABC.
Так как F и M — середины AB и BC, FM- средняя линия треугольника ABC.
По свойству средней линии треугольника,
3) Аналогично, в треугольнике ADC
в треугольнике ABD
в треугольнике BCD
4) По свойству прямоугольника, AC=BD.
Значит, FM=MN=KN=FK. Следовательно, MNKF — ромб (по признаку).
Что и требовалось доказать.
По доказанному, сторона ромба равна половине диагонали прямоугольника. Следовательно, периметр ромба равен удвоенной длине диагоналям прямоугольника:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
Диагонали ромба MNKF равны сторонам прямоугольника ABCD, следовательно, площадь ромба равна половине произведения сторон прямоугольника:
и половине площади прямоугольника:
www.treugolniki.ru
Докажите что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника
№ 58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Из «Домашняя работа по геометрии за 8 класс к учебнику «Геометрия». 7 — 11 класс» А. В. Погорелов за 2001 год Здесь смотрите решение: <a rel=»nofollow» href=»http://5terka.com/node/2292″ target=»_blank»>http://5terka.com/node/2292</a>
В прямоугольнике все углы прямые, противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть данный прямоугольник АВСD, точки К, М, Н, Т — соответственно середины АВ, ВС, СD, DА. Соединим последовательно точки К, М, Н и Т Треугольники КАТ, КВМ, МСН и НDТ прямоугольные, в каждом один катет равен половине меньшей стороны, другой — половине большей стороны. Следовательно, эти треугольники равны, отсюда равны их гипотенузы: КМ=МН=НТ=ТК. КМНТ — четырехугольник, все стороны которого равны (признак ромба). Кроме того: диагонали КН║ВС и МТ║АВ. В прямоугольнике стороны пересекаются под прямым углом, ⇒ параллельные им диагонали ромба КН и МТ тоже пересекаются под прямым углом — признак ромба. Четырехугольник КМНТ — ромб, и его вершинами являются середины сторон прямоугольника.
Leave A Comment