Дано abcd параллелограмм an биссектриса угла bad: General Data Protection Regulation(GDPR) Guidelines BYJU’S

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Доказательств свойства воздушного змея

Содержание: Три доказательства | Комментарии: Другой случай | Возможные ошибки | Использовать для подтверждения SSS

Для воздушного змея ABCD, где AB = AD и CB = CD, верно следующее.

• Диагональная прямая AC является серединным перпендикуляром к BD.
• Пересечение E линии AC и линии BD является серединой BD.
• Углы AED, DEC, CED, BEA прямые.
• Треугольник ABC равен треугольнику ADC.
• Следовательно, угол ABC = угол ADC.
• Прямая AC делит пополам углы BAD и BCD.

Два утверждения выделены жирным шрифтом, потому что эти утверждения включают в себя другие, из определений или серединного перпендикуляра и конгруэнтности треугольников. (Конечно, чтобы доказать смелые утверждения, возможно, придется доказать некоторые другие первый.

На уроке ученикам было предложено доказать это:

Дан воздушный змей ABCD с AB = AD и CB = CD, тогда треугольника ABC конгруэнтны в треугольник ADC.

Вот два доказательства, которые были найдены в классе (моя формулировка). (Примечание: это пример, который показывает, что существует не обязательно только одно хорошее доказательство геометрическая теорема.

Доказательство 1: (основная идея: показать угол BAC = угол DAC)

• Пусть M — середина BD. Поскольку треугольник ABD равнобедренный, луч AM делится пополам. угол BAD, поэтому угол BAM = угол DAM.
• Также, поскольку треугольник ABD равнобедренный, прямая AM перпендикулярна BD.
• Так как треугольник CDB также равнобедренный, то прямая CM перпендикулярна BD для та же причина. Так как через М проходит только одна прямая, перпендикулярная к BD (аксиома транспортира), тогда линия AM = линия CM, поэтому A, M, C коллинеарны и эта линия является линией AC.
• Угол BAM = угол BAC и угол DAM = угол DAC (одинаковые лучи).
• Таким образом, треугольник ABC равен треугольнику ADC по SAS, так как два угла BAC и DAC, указанные выше, конгруэнтны, а также AB = AD (по гипотезе) и AC = переменного тока.

QED (почти см. комментарии ниже о другом случае).

Доказательство 2: (ключевая идея: показать угол BAC = угол DAC)

• Пусть m — серединный перпендикуляр к BD. По определению перпендикуляра биссектриса m пересекает BD в точке M, середине BD.
• Треугольник ABD равнобедренный. По свойствам симметрии равнобедренного треугольника прямая AM является серединным перпендикуляром к BD = m. Таким образом, А есть на м.
• Кроме того, поскольку треугольник ABD равнобедренный, луч AM делит угол BAD пополам, поэтому угол BAM = угол DAM.
• Угол BAM = угол BAC и угол DAM = угол DAC (одинаковые лучи)
• Таким образом, треугольник ABC равен треугольнику ADC по SAS, так как два угла BAC и DAC, указанные выше, конгруэнтны, а также AB = AD (по гипотезе) и AC = переменного тока.

QED (почти см. комментарии ниже о другом случае).

Доказательство 3: (ключевая идея: показать угол ABC = угол ADC)

• Треугольник ABD равнобедренный, поэтому угол ABD = углу ADB.
• Треугольник CBD равнобедренный, поэтому угол CBD = угол CDB.
• Угол ABC = угол ABD + угол DBC
• Угол ADC = угол ADB + угол BDC
• Поскольку суммы справа равны из-за конгруэнтности углов, тогда угол ABC = угол ADC.
• Таким образом, треугольник ABC равен треугольнику ADC по SAS, так как два угла ABC = ADC конгруэнтны, а также AB = AD и CB = CD (по условию).

QED (почти см. комментарии ниже о другом случае).

Комментарии: Хорошие доказательства, но есть еще одно (невыпуклое) дело

Все доказательства хороши и действительны для фигуры, показанной в верхней части страница. Однако есть еще один рисунок, показывающий другой случай воздушного змея. доказательства которых почти верны, но нуждаются в некоторых дополнительных комментариях. Этот это тот случай, когда A и C находятся на одной стороне линии BD, как на этом рисунке.

Так что не так с пруфами?

В Доказательство 1 и Доказательство 2 , важный шаг был

• Угол BAM = угол BAC и угол DAM = угол DAC (одинаковые лучи).

Но на этом рисунке это не так. Но еще не все потеряно. Мы просто должны обоснуйте угол BAC = угол DAC и в этом случае. Тогда доказательства верны для остальных шагов. Мы действительно можем установить и установить равенство пары способов.

• По-прежнему верно, что луч CM = луч CA, поэтому мы можем поменять роли A и C и работаем с делением пополам угла C вместо угла A. Мы не приходится заново писать все доказательство; мы можем просто переобозначить ABCD так, чтобы A было вершина, наиболее удаленная от М.
• Второй подход состоит в том, чтобы работать с фигурой так, как она помечена, но утверждать, что Два угла равны, если они смежны с равными углами. В этом случае, угол BAC и угол BAM являются дополнительными, а также угол DAC является дополнительным к углу DAM, который равен углу BAM. Таким образом, угол BAC = угол DAC.

В Proof 3 шаг которые не соответствуют действительности в этом уходе

• Угол ABC = угол ABD + угол DBC
• Угол ADC = угол ADB + угол BDC

Но что, если мы вычтем вместо сложения, тогда мы все равно получим правильные утверждения который можно использовать в остальной части доказательства.

• Угол ABC = угол DBC — угол ABD
• Угол ADC = угол BDC — угол ADB

Возможные ошибки в доказательствах

Несмотря на то, что существует несколько правильных способов доказать приведенную выше теорему, также ряд ошибочных подходов. Как правило, к ним относятся замаскированные способ сделать вывод. Вот несколько примеров начала таких доказательства того, что треугольник ABC равен треугольнику ADC