На сторонах ав и ад параллелограмма авсд отмечены точки м и н: 4.Выразите вектора CM,CN,MN через векторы х=CB,y=CD....

Упражнение №41.

Пусть в треугольнике АВС точка О – центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности, J — центр вневписанной окружности. Опустим из I и J перпендикуляры IF и JH на прямую АВ и проведём через О диаметр DE. Пусть R – радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности, d – расстояние между их центрами. Докажите, что

D – центр описанной окружности треугольника IBJ;
Степень I относительно окружности О равна d²-R², откуда AIID=R²-d²;
Из AIFBDF имеем AIBD=EDIF;
Выведите тождество Эйлера d²=R(R-2r).

Между прочим, непосредственным следствием из тождества Эйлера вытекает неравенство R>2r, доказанное нами ранее.

На предыдущем чертеже, обозначив растояние IJ через d₁, а радиус окружности J как r₁, рассмотрите степень J относительно окружности О и треугольники AHJ и BED.

Получите тождества:

Упражнение №42.

Следующее утверждение не является новым, оно уже встречалось и доказывалось нами ранее, но времени с тех пор прошло достаточно, чтобы успеть его забыть и, помня, что повторение – мать учения, передокажем его снова, тем более, что оно и важно и полезно.

Упражнение №43. (Прямая Симсона)

Если из какой-либо точки окружности, описанной около треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны, то основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой;

Если основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки на стороны треугольника лежат на одной прямой, то эта точка лежит на окружности, описанной около треугольника.

Р ассмотрим на плоскости конфигурацию из четырёх прямых, находящихся «в общем положении». Это значит, что никакая пара из них не параллельна и никакая тройка из них не инцидентна одной точке.

Такая конфигурация называется полным четырехсторонником.

В этой конфигурации присутствует один четырехугольник и четыре треугольника. Например, на рисунке это будут треугольники ABE, ACD, FBC и FED.

Упражнение №44.

Докажите, что все четыре окружности, описанные около этих треугольников пересекаются в одной точке.

Сейчас займёмся процедурой, которая приведёт нас к важному выводу из предыдущего упражнения, хотя носить она будет пока что неформальный характер. Формализовать её и превратить в строгое математическое рассуждение позволит топология, которую мы будем проходить в курсе алгебры (хотя она и относится в высшей математике к области геометрии). Начнём двигать прямую а (например) в сторону прямой d, не трогая остальные три прямых, так, что точка В приближается к точке С, а точка Е к точке D. Подумав, что при этом будет происходить с окружностями, и что должно получиться «в пределе», когда точки-таки сольются, получите следующий результат:

Упражнение №45.

Если две окружности, касающиеся разных сторон угла, пересекаются на окружности, проходящей через вершину угла и обе точки касания, то они пересекаются вторично на прямой, проходящей через точки касания;
Если две окружности, касающиеся разных сторон угла, пересекаются на прямой, проходящей через точки касания, то они пересекаются вторично на окружности, проходящей через вершину угла и обе точки касания.

Упражнение №46.

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота BD. Известно, что CD<AD. Точка МCD такова, что из отрезков AD, AM и BM можно составить прямоугольный треугольник. В каком отношении точка М делит отрезок CD?

Следующие 11 задач нам предстоит решать вместе, так как я не имел времени, чтобы над ними подумать. А, может быть, и все равно не решил бы, даже если бы и имел. Если они окажутся нам не под силу, мы их пропустим.

Упражнение №47.

Прямая, соединяющая основания высот, опущенных из двух вершин треугольника, перпендикулярна к радиусу описанного круга, проведённого к третьей вершине.

Упражнение №48.

Ортоцентр треугольника служит центром подобия его описанной окружности и окружности девяти точек.

Упражнение №49.

Если из какой-либо точки окружности построить три хорды и на них, как на диаметрах, построить три окружности, то вторые точки пересечения этих окружностей расположены на одной прямой. (Автор рекомендует опираться на прямую Симсона).

Упражнение №50. (Теорема Микеля)

На окружности отметили четыре точки, А, В, С и D. Через точки А и В, В и С, С и D, D и A провели четыре окружности. Вторые точки пересечения этих окружностей также лежат на одной окружности.

Упражнение №51.

Окружность, построенная на отрезке, соединяющим центры двух непересекающихся окружностей, как на диаметре, проходит через четыре точки пересечения внешних общих касательных к этим окружностям с их общими внутренними касательными.

Упражнение №52.

Докажите, что четырехугольники не определяются однозначно серединами их сторон, но все четырехугольники с данными серединами сторон равновелики.

Упражнение №53.

Докажите, что пятиугольник серединами его сторон определяется однозначно и укажите способ его построения.

Упражнение №54.

Построить точку, касательные из которой к двум заданным окружностям равны и составляют заданный угол.

(Автор рекомендует определить сначала на радикальной оси точку, которая вместе с исходной точкой и центрами окружностей образует вписанный четырехугольник).

Упражнение №55.

Построить окружность, диаметральную к заданной и проходящую через две заданные точки.

Упражнение №56.

Построить окружность так, чтобы касательные к нему из трёх заданных точек были бы конгруэнтны трём заданным отрезкам.

Упражнение №57.

Построить окружность так, чтобы она, пересекаясь с заданной окружностью, определила бы общую хорду, конгруэнтную заданному отрезку.

Упражнение №58 (C4)

На стороне ВА угла АВС, равного 30 градусам, взята точка D такая, что AD=2, BD=1. Найдите радиус окружности, касающейся прямой ВС и проходящей через точки А и D.

(Answer: 1 and 7).

Упражнение №59.

П олуокружность радиуса r разделена точками на 3 равные части и точки деления соединены хордами с одним и тем же концом диаметра, стягивающего эту полуокружность. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя хордами и заключённой между ними дугой.

Упражнение №60.

На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты соответственно точки E и F так, что EF||BD. Докажите, что треугольники BCE и CDF равновелики.

Упражнение №61.

Н а лучах АВ и AD, на продолжениях сторон АВ и AD параллелограмма ABCD, взяты произвольно точки E и F. Прямые BF и ED пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольники CEOF и OBAD равновелики.

Упражнение №62.

На стороне AD параллелограмма ABCD взята произвольно точка N и проведены прямые NK||AC и NM||BD до пересечения со сторонами параллелограммав точках К и М. Докажите, что треугольники NMB и NKC равновелики.

Упражнение №63.

Выведите формулу, выражающую площадь произвольного четырехугольника (в том числе и невыпуклого), через его диагонали и синус угла между ними,

Упражнение №64.

Площадь четырехугольника ABCD равна S. E=ABCD. AM:AC=BN:BD=k. Найдите площадь треугольника ЕМN. (Hint: Find XBC| BX:BC=k and draw XM||AB and XN||CD. Show then, that S(EMN)=S(BCNM) and exploit the formula, found in the previous exercise). Answer: k(1-k)S.

Упражнение №65.

Через вершину выпуклого четырехугольника проведите прямую, которая делит его на две равновеликие части. (Start from broken line AOC which does the job)

Упражнение №66.

Н а стороне треугольника, как на диаметре, внешним образом построен полукруг. Проведите прямую, которая делит полученную фигуру на две равновеликие части.

Упражнение №

На сторонах AD и ВС параллелограмма ABCD взяты произвольно точки К и М. Найдите ГМТ L таких, что ломаная KLM делит параллелограмм на две равновеликие части.

Упражнение № 67*.

В ерх и боковые стороны прямоугольного торта 3045 покрыты глазурью. Разделите торт на три куска равного объёма так, чтобы горизонтальное сечение каждого куска представляло собой четырехугольник, и количество глазури на каждом куске было одинаковым.

Упражнение №68.

Н а сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КВ=1:4, ВМ:МВ=4:5. На отрезке КМ выбрана точка О так, что КО:ОМ=3:1. Расстояние от точки О до стороны АС равно d, а длина стороны АС равна а. Найдите площадь треугольника KMN, где N=ACBO.

Упражнение №69.

Через произвольную точку на стороне треугольника проведите прямую, которая делит его на две равновеликие части.

Упражнение №70.

Постройте треугольник, равновеликий данному многоугольнику.

Упражнение №71.

В трапеции ABCD с меньшим основанием ВС через точку В проведена прямая, параллельная CD и пересекающая диагональ АС в точке Е. Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника СЕD.

Упражнение №72.

BD – высота в остроугольном треугольнике АВС, МАС, GAB, AM=MC и MGAC. Найдите площадь четырехугольника BGDC если площадь треугольника АВС равна 10.

Упражнение №73.

Четырехугольник ABCD – выпуклый, GBD, BG=GD, GH||AC, HCD, S(ADH)=8. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Упражнение №74.

Сторона ВС остроугольного треугольника АВС разбита точками H, G и E на четыре равные части: BE=EG=GH=HC. Из этих точек проведены прямые HF, GK и EL, параллельные высоте AD, причём F и KAC, а LAB. Докажите, что прямые DF, DK и DL разбивают треугольник АВС на четыре равновеликие фигуры.

Упражнение №75.

На диагонали АС параллелограмма ABCD отмечена произвольная точка N и через вершину С проведена прямая параллельно BN до пересечения с продолжением стороны AD в точке Е. Докажите, что треугольники ANE и CDE равновелики.

Упражнение № 76**. (финал VI Олимпиады им. И.Ф. Шарыгина)

В равные углы Х₁ОУ и УОХ₂ вписаны окружности ₁ и ₂, касающиеся сторон ОХ₁ и ОХ₂ в точках А₁ и А₂ соответственно, а стороны ОУ – в точках В₁ и В₂. Прямая А₁В₂ пересекает второй раз окружность ₁в точке С₁, а прямая А₂В₁ пересекает второй раз окружность ₂в точке С₂. Докажите, что С₁С₂ – общая касательная к окружностям.

(Hint: first, prove that angular measure of A₂B₂ is equal to the angular measure of B₁A₁. Then find congruent triangles and prove, that A₁B₂=A₂B₁. Turn now to the properties of a secant and a tangent and come to B₂C₁=B₁C₂. Find out, that A₂C₂B₂+A₁C₁B₁= and conclude, that B₁C₁B₂C₂ is inscribed isosceles trapezoid. Finally, remember about an angle between a chord and a tangent and the converse theorem)

Упражнение № 77**. (из вступительных экзаменов на мехмат МГУ)

В треугольнике АВС сторона АВ=38, а медиана СМ=19 и наклонена к АВ под углом 40. В этот треугольник вписали окружность. Найдите периметр треугольника, вписанного в эту окружность и подобного треугольнику АВС.

(It is beautiful problem and solves easily once you find a key idea. Remember, that in right triangle r=a+b-c and ab=hc, where h is the height, drawn from the vertex of the right anle. The answer is 38sin40)

Упражнение №78.

Внутри угла АОВ дана точка М. Проведите через точку М прямую ХУ, пересекающую

стороны угла в точках Х и У так, чтобы точка М была серединой отрезка ХУ. ( Consider the set of points Y | XM=MY when X runs along OA)

У пражнение №79.

Через общую точку двух окружностей проведите прямую так, чтобы окружности высекали на ней равные, не совпадающие хорды. (Let point X run round circumference)

Упражнение №80.

Д ана прямая и две окружности по разные стороны от неё. Постройте квадрат, две противоположные вершины которого лежали бы на этих окружностях, а две другие – на этой прямой.

Упражнение №81.

Д аны три параллельные прямые. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы на каждой из этих прямых лежала одна его вершина.

Упражнение №82.

Постройте треугольник по трём его медианам, конгруэнтным заданным отрезкам.

1 По одноименному учебнику Н.А.Извольского, Учпедгиз, 1941.

2 Этот термин в дальнейшем получит своё точное математическое содержание

Площадь параллелограмма по двум высотам и углу. Как найти площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма

Теорема 1

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

где $a$ сторона параллелограмма, $h$ — высота, проведенная к этой стороне. 0-\angle A=\angle BAE\]

Следовательно, так как $CD=AB,\ DF=AE=h$, по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тогда

Значит по теореме о площади прямоугольника :

Теорема доказана.

Теорема 2

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.

Математически это можно записать следующим образом

где $a,\ b$ стороны параллелограмма, $\alpha $ — угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Проведем высоту $DF=h$ (рис. 2).

Рисунок 2.

По определению синуса, получим

Следовательно

Значит, по теореме $1$:

Теорема доказана.

Площадь треугольника

Теорема 3

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

Математически это можно записать следующим образом

где $a$ сторона треугольника, $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Рисунок 3.

Значит по теореме $1$:

Теорема доказана.

Теорема 4

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.

Математически это можно записать следующим образом

где $a,\ b$ стороны треугольника, $\alpha $ — угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, у которого $AB=a$. Проведем высоту $CH=h$. Достроим его до параллелограмма $ABCD$ (рис. 3).

Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогда

Значит по теореме $1$:

Теорема доказана.

Площадь трапеции

Теорема 5

Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCK$, где $AK=a,\ BC=b$. Проведем в ней высоты $BM=h$ и $KP=h$, а также диагональ $BK$ (рис. 2\sqrt{3}}{4}$.

Заметим, что результат этой задачи можно применять при нахождении площади любого равностороннего треугольника с данной стороной.

Формула для площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

Доказательство

Если параллелограмм — прямоугольник, то равенство выполнено по теореме о площади прямоугольника. Далее считаем, что углы параллелограмма не прямые.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ угол $\angle BAD$ острый и $AD > AB$. Иначе переименуем вершины. Тогда высота $BH$ из вершины $B$ на прямую $AD$ падает на сторону $AD$, так как катет $AH$ короче гипотенузы $AB$, а $AB противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Сравним площадь параллелограмма $ABCD$ и площадь прямоугольника $HBCK$. Площадь параллелограмма больше на площадь $\triangle ABH$, но меньше на на площадь $\triangle DCK$. Так как эти треугольники равны, то и их площади равны. \circ — \angle AOD$. Значит, синусы углов при пересечении диагоналей равны $\sin \alpha$.

$S_{ABCD}=S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

по аксиоме измерения площади. Применяем формулу площади треугольника $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ для этих треугольников и углов при пересечении диагоналей. Стороны каждого равны половинам диагоналей, синусы также равны. Следовательно, площади всех четырёх треугольников равны $S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{AC}{2} \cdot \dfrac{BD}{2} \cdot \sin \alpha = \dfrac{AC \cdot BD}{8} \sin \alpha$. Суммируя всё вышесказанное, получаем

$S_{ABCD} = 4S = 4 \cdot \dfrac{AC \cdot BD}{8} \sin \alpha = \dfrac{AC \cdot BD \cdot \sin \alpha}{2}$

При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:

Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними

Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.

Задача 1.

Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.

Решение.

1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.

2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.

3. АD = АМ + МD = 7 см.

4. Периметр АВСD = 20 см.

Ответ. 20 см.

Задача 2.

В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.

Решение.

1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.

2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)

3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.

4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)

5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.

Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.

Задача 3.

На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О;

Решение.

1. В треугольнике DОМ

2. В прямоугольном треугольнике DНС
(

Тогда (Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).

Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1.

Ответ: АВ: НD = 2: 1,

Задача 4.

Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.

Решение.

1. АО = 2√6.

2. К треугольнику АОD применим теорему синусов.

АО/sin D = OD/sin А.

2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Ответ: 12.

Задача 5.

У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.

Решение.

Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф.

1. Посчитаем двумя разными
способами его площадь.

S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф,

S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф.

Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство

(АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 .

((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Составим систему:

{d 1 2 + d 2 2 = 296,
{d 1 + d 2 = 140.

Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым.

Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24.

Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24.

Ответ: 24.

Задача 6.

Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями.

АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD.

Учтем, что

Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имеем систему
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.

Примечание: В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей.

Ответ: 10.

Задача 7.

Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.

Решение.

1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу.

Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 .

2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 .

По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5.

3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145.

Ответ: 145.

Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Что такое параллелограмм? Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

1. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

\[ \LARGE S = a \cdot h_{a}\]

где:
a – сторона параллелограмма,
h a – высота, проведенная к этой стороне. {2} \)

В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: $\angle K B H =\angle A $ .

Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны.

Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник будет параллелограммом, если:

$AB = CD $ и $AB || CD $

$AB = CD $ и $BC = AD $

$AO = OC $ и $BO = OD $

$\angle A = \angle C $ и $\angle B = \angle D $

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Прежде чем узнать, как найти площадь параллелограмма, нам необходимо вспомнить, что такое параллелограмм и что называется его высотой. Параллелограмм – четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (лежат на параллельных прямых). Перпендикуляр, проведенный из произвольной точки противоположной стороны к прямой, содержащей эту сторону называется высотой параллелограмма.

Квадрат, прямоугольник и ромб – это частные случаи параллелограмма.

Площадь параллелограмма обозначается как (S).

Формулы нахождения площади параллелограмма

S=a*h , где а – это основание, h – это высота, которая проведена к основанию.

S=a*b*sinα , где a и b – это основания, а α — угол между основаниями а и b.

S =p*r , где р – это полупериметр, r – это радиус окружности, которая вписана в параллелограмм.

Площадь параллелограмма, который образован векторами a и b равна модулю произведения заданных векторов, а именно:

Рассмотрим пример №1: Дан параллелограмм, сторона которого равна 7 см, а высота 3 см. Как найти площадь параллелограмма, формула для решения нам необходима.

Таким образом, S= 7×3. S=21. Ответ: 21 см 2 .

Рассмотрим пример №2: Даны основания 6 и 7 см, а также дан угол между основаниями 60 градусов. Как найти площадь параллелограмма? Формула, используемая для решения:

Таким образом, сначала найдем синус угла. Синус 60 = 0,5, соответственно S = 6*7*0,5=21 Ответ: 21 см 2 .

Надеюсь, что эти примеры Вам помогут при решении задач. И помните, главное – это знание формул и внимательность

Определить величину равнодействующей силы в точке А 0003

Определить величину равнодействующей силы — YouTube

www.youtube.com › смотреть

09.10.2016 · Определить величину равнодействующей силы и ее направление, измеренное против часовой стрелки…
Dauer: 4:58
Прислан: 09.10.2016

Определить величину равнодействующей и указать место

www.youtube.com › смотреть

21.11.2016 · Если FA = 40 кН и FB = 35 кН, определить модуль равнодействующей силы и указать …
Dauer: 3:59
Прислан: 21.11.2016

Определить величину и направление равнодействующей силы.

www.youtube.com › смотреть

09.10.2016 · Определить величину и направление результирующей силы. Получить книгу: http://amzn. to …
Dauer: 5:09
Прислан: 09.10.2016

Что такое равнодействующая сила и как ее найти (с примерами)

(также известная как результирующая сила) составляет и как ее найти… 215 Н. Определить величину и направление равнодействующей силы.

Ähnliche Fragen

Как найти величину равнодействующей силы?

Какова формула для величины вектора равнодействующей силы?

Какова величина равнодействующей силы?

Bilder

Alle anzeigen

По какой формуле определяется величина равнодействующей …

www.quora.com › What-is-the-formula-used-to- определить-величину-…

Результирующая сила будет равна a²*cos(θ), где θ — угол между ними. Теперь у нас есть величина результирующей силы. Однако важно и направление. Здесь в …

Вычисления с участием сил — Сила и законы Ньютона — CCEA — BBC

www.bbc.co.uk › укус › справочники › zhfvjhv › редакция

Чтобы найти результирующую силу, вычтите величину меньшей силы из величины большая сила.

Упражнение №41.