Приведите пример трехзначного натурального числа большего 500 на 8 и 5: Приведите пример трехзначного натурального числа, большего 500, которое при делении на 8 и на 5...

Приведите пример трёхзначного числа, которое при делении дает равные остатки – как решать

Формулировка задачи: Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на M и на N даёт равные ненулевые остатки и первая справа (первая слева, средняя) цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abc, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – сотни, b – десятки и c – единицы. По условию задачи

c = (a + b) / 2

Кроме этого число abc при делении на 4 и 15 дает равные ненулевые остатки. Это значит, что остаток находится в диапазоне от 1 до 3 (так как наименьший делитель равен 4 и остаток не равен 0). Поскольку при делении на 4 и 15 остатки одинаковы, значит при делении числа abc на произведение чисел

4 ⋅ 15 = 60

остаток получится такой же: 1, 2 или 3.

Попробуем подобрать трехзначные натуральные числа, которые будут соответствовать этому условию. Для этого будем умножать 60 на 1, 2, 3 и т.д. и прибавлять к этим числам возможные остатки. А после этого проверять, является ли крайняя правая цифра средним арифметическим двух остальных.

Умножаем 60 на 1:

60 ⋅ 1 = 60 – двухзначное число, не подойдет

Умножаем 60 на 2:

60 ⋅ 2 = 120

121: (1 + 2) / 2 ≠ 1

122: (1 + 2) / 2 ≠ 2

123: (1 + 2) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 3:

60 ⋅ 3 = 180

181: (1 + 8) / 2 ≠ 1

182: (1 + 8) / 2 ≠ 2

183: (1 + 8) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 4:

60 ⋅ 4 = 240

241: (2 + 4) / 2 ≠ 1

242: (2 + 4) / 2 ≠ 2

243: (2 + 4) / 2 = 3

Одно число подобрали: оно равно 243. На этом шаге можно было закончить решение, однако мы проверим какие еще числа подойдут в качестве ответа.

Умножаем 60 на 5:

60 ⋅ 5 = 300

301: (3 + 0) / 2 ≠ 1

302: (3 + 0) / 2 ≠ 2

303: (3 + 0) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 6:

60 ⋅ 6 = 360

361: (3 + 6) / 2 ≠ 1

362: (3 + 6) / 2 ≠ 2

363: (3 + 6) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 7:

60 ⋅ 7 = 420

421: (4 + 2) / 2 ≠ 1

422: (4 + 2) / 2 ≠ 2

423: (4 + 2) / 2 = 3

Еще одно число, подходящее по условию задачи: 423.

Умножаем 60 на 8:

60 ⋅ 8 = 480

481: (4 + 8) / 2 ≠ 1

482: (4 + 8) / 2 ≠ 2

483: (4 + 8) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 9:

60 ⋅ 9 = 540

541: (5 + 4) / 2 ≠ 1

542: (5 + 4) / 2 ≠ 2

543: (5 + 4) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 10:

60 ⋅ 10 = 600

601: (6 + 0) / 2 ≠ 1

602: (6 + 0) / 2 ≠ 2

603: (6 + 0) / 2 = 3

Число 603 также подойдет в качестве ответа.

Умножаем 60 на 11:

60 ⋅ 11 = 660

661: (6 + 6) / 2 ≠ 1

662: (6 + 6) / 2 ≠ 2

663: (6 + 6) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 12:

60 ⋅ 12 = 720

721: (7 + 2) / 2 ≠ 1

722: (7 + 2) / 2 ≠ 2

723: (7 + 2) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 13:

60 ⋅ 13 = 780

781: (7 + 8) / 2 ≠ 1

782: (7 + 8) / 2 ≠ 2

783: (7 + 8) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 14:

60 ⋅ 14 = 840

841: (8 + 4) / 2 ≠ 1

842: (8 + 4) / 2 ≠ 2

843: (8 + 4) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 15:

60 ⋅ 15 = 900

901: (9 + 0) / 2 ≠ 1

902: (9 + 0) / 2 ≠ 2

903: (9 + 0) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 16:

60 ⋅ 16 = 960

961: (9 + 6) / 2 ≠ 1

962: (9 + 6) / 2 ≠ 2

963: (9 + 6) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 17:

60 ⋅ 17 = 1020 – четырехзначное число, не подойдет.

Таким образом, перебрав все возможные варианты, мы получили 3 числа: 243, 423 и 603.

Ответ: 243 или 423 или 603

Разложение чисел на простые множители: способы и примеры

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Некоторые задания в математике кажутся очень легкими, как дважды два или пятью пять. Другие же можно сравнить с ужасным драконом, которого не сможет победить даже самый отважный и сильный рыцарь. 🐉 Давайте сегодня поближе познакомимся с темой «Разложение числа на простые множители» и проверим, на что она похожа: на дракона или же на героя, который поможет нам и защитит от беды.

Зачем раскладывать число на простые множители

А ведь и правда интересно, стоит ли вообще изучать эту тему или в жизни она не пригодится? Насколько полезен навык разложения числа на множители?

Вопрос очень хороший! Математические задачки прекрасно развивают логику и умение мыслить нестандартно, что пригодится в любой профессии.

К тому же в математике многие темы словно ступеньки, ведущие к более объемным и сложным. Вот и предмет нашего обсуждения не исключение.

Когда вы научитесь раскладывать число на простые множители, то:

заодно повторите понятие «простые множители»;
вспомните тему «Признаки делимости»;
сможете находить наименьшее общее кратное;
поймете, как можно сокращать дроби и находить общий множитель.

И это только разделы, с которыми вы познакомитесь в 6-м классе. Представляете, сколько еще ждет впереди! Как видно, плюсов от изучения темы достаточно много, — давайте же начнем.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Вспоминаем, что такое простые множители

Первое, с чем стоит разобраться, — это само понятие «простой множитель».

Помните, что это такое?

Множитель — это число, которое показывает, сколько раз нужно повторить слагаемым какое-нибудь другое число (множимое), чтобы получить произведение.

Так, в примере 2 × 7 = 14 число 2 называют первым множителем, число 7 — вторым множителем, а 14 — произведением, или значением произведения.

В уравнении 5х = 20 число 5 можно назвать известным множителем, х — неизвестным множителем, 20 — значением произведения.

Простое число — это число, которое делится только на само себя и единицу.

Попробуем перечислить все простые числа от 1 до 10: 1, 3, 5, 7.

А число 9 простое? Нет, так как, помимо 1 и 9, число делится на 3.

А число 8? Нет, так как восьмерка делится на 1, 8, 2 и 4.

Как вы думаете, сколько простых чисел существует?

Правильно, бесконечное множество! Разумеется, весь этот числовой ряд выучить не получится. Но есть две хорошие новости: во-первых, нам и не нужно знать все это множество, математики давно составили таблицы простых чисел (от 1 до 100, от 1 до 1 000), которыми мы можем воспользоваться в любой момент. А самое главное, зная алгоритм проверки числа, мы можем самостоятельно установить, является ли оно простым.

Один из способов проверки — метод перебора делителей. Для этого нам необходимо проверить делимость числа на разные другие числа. Если подобрать дополнительные делители для числа получится — оно составное, а если среди его делителей будет только единица и оно само — то простое.

Понятие разложения на простые множители

Итак, с основными понятиями мы разобрались. Что же тогда означает «разложить число на простые множители»?

Разложить на простые множители — значит представить число в виде произведения простых множителей (чисел).

Например:

20 = 2 × 2 × 5;

99 = 11 × 3 × 3;

126 = 2 × 2 × 31;

1 084 = 2 × 2 × 271.

Разложение на простые множители можно сравнить с разменом купюры. Представьте, что вам захотелось купить газировку из автомата, а он принимает только монеты. Вы идете в магазин и просите разменять купюру, продавец выдает вам целую стопку монет разного номинала. Среди всего количества будут повторы: несколько рублевых, парочка пятирублевых, горсть десяток. Теперь можно бежать к автомату: какой напиток возьмем, вишневый или грушевый?

Возможно, кто-то сейчас начал волноваться и переживать, что ошибется при выполнении разложения. Спешим успокоить!

В арифметике есть теорема: любое натуральное число n, большее единицы, можно разложить на произведение простых чисел, причем это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

А значит, каким бы способом разложения вы ни воспользовались, все равно придете к верному ответу — при условии, что все множители в произведении будут простыми.

Практика

Теперь про способы разложения. В школе на уроках математики часто пользуются методом, который заключается в записывании множителей столбиком, этаком последовательном делении. Мы перебираем простые множители по порядку, начиная с числа 2, и делим на них число до тех пор, пока от него не остается единичка.

Задачка 1

Разложим число 52 на простые множители:

Начинаем перебор простых множителей. 52 точно делится на 2, так как является четным: 52 : 2 = 26.
Получившийся ответ 26 также делится на 2: 26 : 2 = 13.
Число 13 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Перебирая ряд простых чисел, мы сможем разделить 13 только на само себя, а значит, это число — простое.

Наглядно это записывается таким образом:

Разложение прошло успешно!

52 = 2 × 2 × 13.

«Practice makes perfect», — говорят в Англии, что означает «Практика приводит к совершенству». Давайте продолжим решать задачи и подытожим разбор метода алгоритмом, которым вы сможете воспользоваться на уроках математики.

Задачка 2

Разложим число 63 на простые множители:

Начинаем перебор простых множителей. 63 не делится на 2, а вот на 3 — прекрасно! 63 : 3 = 21.
Число 21 вновь не делится на 2, так как является нечетным. Следующий простой множитель — это 3, проверяем делимость на него: 21 : 3 = 7.
Перебираем ряд простых чисел и делим на них число 7. Без остатка 7 делится только на само себя: 7 : 7 = 1.

63 = 3 × 3 × 7.

Задачка 3

Разложим число 128 на простые множители:

128 точно делится на 2: 128 : 2 = 64.
Число 64 тоже является четным, а значит, 64 : 2 = 32.
Продолжаем делить на два: 32 : 2 = 16.
Еще немножко: 16 : 2 = 8.
8 : 2 = 4.
4 : 2 = 2.
2 : 2 = 1.

128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, или же 128 = 2⁷. О втором виде записи поговорим чуть ниже.

Задачка 4

Разложим число 37 на простые множители.

Перебирая простые множители от 1 до 37, мы не найдем ни одного числа, кроме самого 37, которое бы делилось на него без остатка. Значит, число 37 простое и разложение провести невозможно.

37 = 37.

Алгоритм разложения числа на множители

Время подвести промежуточный итог и составить алгоритм разложения числа на множители:

В первый столбик записываем исходное число.
Во второй столбик, напротив первого числа, записываем наименьший простой множитель, на который исходное число делится без остатка (идем по порядку ряда простых чисел: 2, 3, 5, 7 и т. д.).
В первый столбик записываем результат деления и вновь ищем наименьший простой множитель, на который это число делится без остатка.
Проводим разложение до тех пор, пока в левом столбике не запишем число 1.

Каноническая запись

В теме «Разложение на простые множители» встречается понятие «канонический вид» или «каноническая запись». Что означают эти страшные слова?

Канонический вид — это такой тип записи, который иначе можно назвать стандартным, общепринятым. То есть такой, что где бы вы ни показали записанное, вас обязательно поймут — и в Индии, и в Китае, и даже в Арктике (при условии, что вы показываете записи математикам, конечно).

Это как показать любому ученому химическую формулу Н₂О: это каноническая, общепринятая запись для обозначения молекулы воды.

Но вернемся к простым множителям. Думаем, вы уже заметили, что при разложении могут повторяться одни и те же числа. Так, при разложении числа 128 мы получили аж семь двоек! Для упрощения записи произведение одинаковых множителей записывают с помощью степени.

Степень — это число, которое показывает, сколько раз множитель был умножен сам на себя.

5² = 5 × 5.

7³ = 7 × 7 × 7.

10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10.

Таким образом, запись разложения на простые множители будет выглядеть так:

63 = 3² × 7;

52 = 2² × 13;

32 = 2⁵.

Применение признаков делимости при разложении на простые множители

Последний нюанс, который нам нужно обсудить, — это применение признаков делимости при разложении на простые множители. Иными словами, как определить, что число делится на 3, или на 7, или на другие числа, не прибегая непосредственно к делению?

Почему это важно? Порой при поиске простых делителей нам приходится перебирать число за числом, что достаточно долго и энергозатратно. Математики (и программисты тоже) всегда стремятся упростить задачу, найти более легкое решение. А зная свойства делимости, как раз можно ускорить процесс разложения.

Для начала давайте вспомним: как определить, на что делится число? Приведем некоторые примеры.

Признак делимости на…	Правило	Примеры
2	Число четное, оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8	10, 24, 12 658: 10 : 2 = 5; 24 : 2 = 12; 12 658 : 2 = 6 329
3	Сумма цифр делится на 3	24, 63, 102: 24 : 2 + 4 = 6, а 6 делится на 3, значит, 24 делится на 3; 63 : 6 + 3 = 9, а 9 делится на 3, значит, и 63 делится на 3; 102 : 1 + 0 + 2 = 3, а 3 делится на 3, значит, и 102 делится на 3
4	Последние две цифры — нули или образуют число, которое делится на 4	100, 1 024: 100 : 4 = 25; 1 024 : 24 делится на 4, значит, и 1024 : 4 = 256
5	Оканчивается на 0 или 5	15, 105, 1 200: 15 : 5 = 3; 105 : 5 = 21; 1 200 : 5 = 240
6	Делится на 2 и на 3	36: делится на 2, так как является четным; делится на 3, так как сумма цифр 3 + 6 = 9 делится на 3 72: делится на 2, так как является четным; делится на 3, так как сумма цифр 3 + 6 = 9 делится на 3
7	Разность числа без последней цифры и удвоенной последней цифры делится на 7	343: 34 − 3 × 2 = 34 − 6 = 28; 28 делится на 7, значит, и 343 : 7 = 49
8	Последние три цифры — нули или образуют число, которое делится на 8
9	Сумма цифр делится на 9	252 делится на 9, так как 2 + 5 + 2 = 9; 9 900 делится на 9, так как 9 + 9 + 0 + 0 = 18
10	Оканчивается на 0	50 : 10 = 5; 600 : 10 = 60; 75 460 : 10 = 7 546

Кстати, чтобы определить, делится ли число на составной множитель, нужно проверить, делится ли оно на простые множители, входящие в его состав.

Например, чтобы проверить, делится ли число на 14, нужно определить, можно ли его разделить на 2 и на 7. А число, делящееся на 27, будет делиться одновременно и на 3, и на 9.

Попробуем применить знание о делимости к разложению на множители.

Задачка 5

Разложим на множители число 5 600:

Так как число оканчивается на два нуля, оно точно делится на 100. 100 = 25 × 4 = 5 × 5 × 2 × 2.
Число 56 не делится на 3 (т. к. 5 + 6 = 11), 4, 5, 6, зато делится на 7. 56 = 7 × 8 = 7 × 2 × 2 × 2.
Значит, 5 600 = 56 × 100 = 7 × 8 × 25 × 4 = 7 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 2 × 2. В каноническом виде 5 600 = 2⁵ × 5² × 7.

Задачка 6

Разложим на множители число 364:

Оно оканчивается на число 64, которое, в свою очередь, делится на 4. Значит, и само число делится: 364 : 4 = 91.
Число 91 не делится на 2, 3, 4, 5, 6, но делится на 7: 91 : 7 = 13.
364 = 4 × 7 × 13 = 2² × 7 × 13.

Задачка 7

Разложим на множители число 750:

Число оканчивается на 0, а значит, делится на 10. 10 = 2 × 5.
75 делится на 3 (7 + 5 = 12): 75 : 3 = 25.
750 = 75 × 10 = 25 × 3 × 2 × 5 = 5 × 5 × 3 × 2 × 5 = 5³ × 2 × 3.

Арифметика как наука завораживает своей простотой и изящностью. Из десяти цифр складывается бесконечное множество чисел, которые взаимодействуют друг с другом, рождая закономерности и правила. Больше о царице наук вы сможете узнать на курсах профильной математики в онлайн-школе Skysmart. На уроках вы получите ответы на вопросы: «Откуда взялось число пи?», «Как получить бесконечную десятичную дробь?», «Что значит округлить по избытку?» и многие другие. Интересно? Тогда с нетерпением ждем вас!

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Дарья Вишнякова

К предыдущей статье

Перпендикулярные прямые

К следующей статье

Возрастание и убывание функции

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс

Задача по математике: Цифры — вопрос № 4974, комбинаторика, варианты

Сколько натуральных чисел больше 4000 образовано из чисел 0,1,3,7,9 с неповторяющимися цифрами,

Б) Сколько получится количество натуральных чисел меньше 4000, и могут ли числа повторяться?

Правильный ответ:

a = 144
b = 375

04 b=5+4⋅ 5+4⋅ 5⋅ 5+2⋅ 5⋅ 5⋅ 5=375

Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

пишите нам

. Спасибо!

Советы по использованию связанных онлайн-калькуляторов

См. также наш калькулятор перестановок.
Смотрите также наш калькулятор вариаций.
Хотите подсчитать количество комбинаций?

Для решения этой математической задачи вам необходимо знать следующие знания:

комбинаторика
вариации
перестановки 9Основные функции
средняя школа

Повторная 79734
Сколько чисел а) меньше 500, б) больше 500 можно составить из цифры 0,1,5,8,9 так, чтобы ни одна цифра не повторялась?
Двузначное число 33471
Сколько двузначных чисел больше 60 можно составить из цифр 0,5,6,7,8,9? Цифры не должны повторяться.
Делимые 6615
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифры 1,3,5,7,9, если цифры не могут повторяться в записи чисел? Сколько из них делится на пять?
Цифры
Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр: 0, 3, 5, 6 и 7? (a) цифры могут повторяться (b) цифры не могут повторяться
Трехзначные числа
Сколько всего трехзначных чисел, состоящих из цифр 0, 2, 5, 7 и делящихся на девять, если цифры могут повторяться?
Повторяется 38103
Сколько пятизначных чисел можно составить из числа 2,3,4,5,6,7,8,9, если цифра в каждом числе может повторяться только один раз?
Цифры
Сколько пятизначных чисел можно составить из чисел 0,3,4, 5 и 7, разделенных на 10, причем цифры повторяются?
Трехзначное число
Сколько трехзначных натуральных чисел можно составить из цифр 0, 1 и 2, если числительные в этих числах повторяются?
Сколько 2
Сколько трехбуквенных слов можно составить из букв A B C D E G H, если повторы: а) не допускаются б) допускаются?
Трехзначное число
Сколько трехзначных натуральных чисел больше 321, если ни одна цифра в этом числе не повторяется?
Натуральные числа
Сколько натуральных чисел меньше 301 можно составить из числа 0,1,2,3,6,7?
Треугольник из палочек
У валуна Боба много палочек длин 3,5 и 7. Он хочет составить треугольники, каждое ребро которых состоит ровно из одной палочки. Сколько неравных треугольников можно составить из палочек?
5 цифр
У вас есть следующие цифры: 9, 8, 0, 1, 5. Запишите наименьшее, даже пятизначное число, если одна цифра повторяется три раза, а остальные цифры не повторяются. Сумма цифр числа: а) 9 б) 6 в) 8 г) 23
Перестановки
Сколько четырехзначных чисел можно составить из чисел 1,2,3,4,5,6,7, если: а цифры в числе b не должны повторяться, число должно делиться на пять, а числа не должны повторяться c, цифры могут повторяться
Пятизначное
Найдите все пятизначные числа, которые можно составить из числа 12345 так, чтобы числа не повторялись, а затем числа с повторяющимися цифрами. Дайте расчет.
Двузначное число 17443
Сколько всего четных двузначных чисел, которые Мы можем составить из цифр 2, 4 и 7? Цифры могут повторяться в созданном номере.
Четырёхзначный 73114
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 6, 3, 5, 1 и 9, если цифры в числе не повторяются?

Приведите пример трёхзначного числа, которое при делении дает равные остатки – как решать

Разложение чисел на простые множители: способы и примеры