Производная от х корня из х: Производная корня из х, sqrt(x)'

чему равна, формула, примеры решения задач

Понятие производной, чему равна Х* корня из Х

Определение

Производной функции \(y=f(x)\) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Говоря проще, производная есть скорость изменения функции в конкретной точке. Скорость оценивается с помощью вычисления отношения изменения функции \(\triangle y\) к изменению аргумента \(\triangle x\). Данное отношение рассматривается в пределе, где \(\triangle x\rightarrow0.\)

Обычно производную обозначают как f'(x).

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Перед тем, как приступать к изучению частного случая производной x\times\sqrt x, рассмотрим, чему равна производная из \(\sqrt x\). {-\frac12}=\frac1{2\sqrt g}\)

\(g'(x)=3\)

Комбинируем найденные произведения по правилу дифференцирования сложных функций.

Таким образом:

\(y’=\frac1{2\times\sqrt g}\times3=\frac1{2\sqrt{(3x+2)}}\times3=\frac3{2\times\sqrt{(3x+2)}}\)

Ответ: \(y’=\frac3{2\times\sqrt{(3x+2)}}.\)

С помощью упрощенного правила дифференцирования корня

Определение

Производная квадратного корня, под которым стоит переменная или фукнция, будет равна производной подкоренного выражения, поделенной на удвоенный первоначальный квадратный корень

или

\(f'(x)=\frac{u’}{2\times\sqrt u},\) если \(f(x)=\sqrt u\).

Рассмотрим на примере производной функции \(\sqrt{5x+2}.\)

В ней подкоренным выражением будет \((5x+2)\), а его производной — \(5\).

Вспомним определение производной корня. Получим:

\(f(x)=\sqrt{5x+2}\)

\(f'(x)=\frac5{2\times\sqrt{5x+2}}\)

По правилу дифференцирования квадратных корней нужно было делить числитель на удвоенное произведение первоначального корня, что мы и сделали для получения ответа.

Примеры решения задач по теме «Производная корня»

Задача 1

Найти производную функции \(y(x)=2\sqrt x.\)

Решение

\(y'(x)=(2\sqrt{x)}’\)

Применим уже изученные правила. Получим:

\(y'(x)=2\times(\sqrt{x)’}=2\times\frac1{2\times\sqrt x}=\frac1{\sqrt x}\)

Ответ: \(y'(x)=\frac1{\sqrt x}.\)

Задача 2

Найти производную функции \(y(x)=\sqrt{2x}.\)

Решение

\(y'(x)=(\sqrt{2x})’\)

Применим уже изученные правила. Получим:

\(y'(x)=(\sqrt{2x})’=\frac1{2\times\sqrt{2\times x}}\times(2x)’\)

\(y'(x)=\frac1{2\times\sqrt{2\times x}}\times2\times\;(x)’=\frac1{\sqrt{2x}}\times1=\frac1{\sqrt{2x}}\)

Ответ: \(y'(x)=\frac1{\sqrt{2x}}.\)

Задача 3

Попробуем решить производную частного случая \(x\times\sqrt x\).

Найти производную от \(x\times\sqrt x.\)

Решение

Применим уже изученные правила и получим:

Производная корня (√x)’ · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Для нахождения производных от сложный функций, содержащих корень, используйте калькулятор производных на этом сайте (тем более он даёт ещё ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ). Этот калькулятор находится по ссылке:

https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/

Например, если надо найти производную от корня из x, умноженного на e в степени x.

Вводим в форму эту функцию sqrt(x)*exp(x) как изображено на рисунке выше.

Получим результат, когда нажмём на кнопку «

Найти производную«.

Результат вычисления производной от функции f(x) = sqrt(x)*exp(x):


                 x  
    ___  x      ℯ   
╲╱ x ⋅ℯ  + ───────
                 ___
            2⋅╲╱ x


sqrt(x)*exp(x) + exp(x)/(2*sqrt(x))

Общее правило

Производную от корня очень просто посчитать.

Квадратный корень

Производная от квадратного корня из переменной x равна единицы, делённой на квадратный корень из x и делённому на два. 2-1)/(1-sqrt(x))

Применим правило производной частного:

и .

Чтобы найти :
1. Заменим .
2. В силу правила, применим: получим
Затем примените цепочку правил. Умножим на :
1. дифференцируем почленно:
  1. Производная постоянной равна нулю.
  2. В силу правила, применим: получим
  В результате:
В результате последовательности правил:

Чтобы найти :

дифференцируем почленно:

Производная постоянной равна нулю.
Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции. 2-1)/x
1. Применим правило производной частного:
  
  и .
  
  Чтобы найти :
  1. Заменим .
  2. В силу правила, применим: получим
2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :
  1. дифференцируем почленно:
    1. Производная постоянной равна нулю.
    2. В силу правила, применим: получим
    В результате:
  В результате последовательности правил:
Чтобы найти :
1. В силу правила, применим: получим
Теперь применим правило производной деления:
Теперь упростим:

Ответ:

Мэтуэй | Популярные задачи

1	Найти производную — d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найти производную — d/dx
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную — d/dx	грех(2x)
23	Найти производную — d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную — d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную — d/dx	х/2
46	Найти производную — d/dx	-cos(x)
47	Найти производную — d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную — d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную — d/dx	лог х
86	Найти производную — d/dx	арктан(х)
87	Найти производную — d/dx	бревно натуральное 5х92

Производная корня x – формула, доказательство, примеры

Производная корня x равна (1/2) x ^-1/2 . Мы можем вычислить эту производную, используя различные методы дифференцирования, такие как первый принцип производных, степенное правило дифференцирования и метод цепного правила. Математически мы можем записать формулу для производной корня x как d(√x)/dx = (1/2) x ^-1/2 или 1(/2√x). Формула степенного правила производных: d(x ⁿ )/dx = n x ^n-1 , где n ≠ -1. Используя эту формулу и подставив n = 1/2, мы можем получить производную от корня x.

Далее в этой статье мы исследуем производную от корня x и ее формулу, используя разные методы вычисления производных. Мы также решим различные примеры, связанные с производной корня x и другими комбинациями функций с корнем x для лучшего понимания концепции.

1.	Что такое производная от корня x?
2.	Производное корня x Формула
3.	Производная корня x с использованием первого принципа
4.	Производная корня x с использованием степенного правила
5.	Применение производной корня x
6.	Часто задаваемые вопросы о производной корня x

Что такое производная от корня x?

Производная корня x определяется как d(√x)/dx = (1/2) x ^-1/2 или 1/(2√x). Как известно, производная функции в математике — это процесс нахождения скорости изменения функции по отношению к переменной. Производную корня x можно определить с помощью степенного правила дифференцирования и первого принципа производных. Мы также можем использовать производную корня x вместе с методом цепного правила для оценки производных функций квадратного корня. В следующем разделе давайте разберемся с формулой для этой производной.

Производное корня x Формула

Формула для производной корня x определяется как d(√x)/dx (OR) (√x)’ = (1/2) x ^-1/2 (OR) 1/(2√x ), то есть

. Мы можем вычислить приведенную выше формулу для производной корня x, используя следующие методы:

Первый принцип производных
Степенное правило дифференцирования

Производная корня x с использованием первого принципа

Теперь, когда мы знаем, что производная корня x равна (1/2) x ^-1/2 , мы докажем это, используя первый принцип дифференцирования. Для функции f(x) ее производная по определению пределов, то есть по первому принципу производных, дается формулой f'(x) = lim _h→0 [f(x + h) — f(x)] / ч. Мы также будем рационализировать метод, чтобы упростить выражение. Следовательно, мы имеем

d(√x)/dx = lim _h→0 [√(x + h) — √x] / h

Чтобы упростить выражение, умножьте числитель и знаменатель приведенного выше выражения на √(x + h) + √x.

lim _h→0 [√(x + h) — √x] / h = lim _h→0 { [√(x + h) — √x] × [√(x + h) + √ x ] } / {h × [√(x + h) + √x ] }

= lim _h→0 [(x + h) — x] / {h × [√(x + h) + √ x ] } — (Используя формулу (a+b) (a-b) = a ² — b ²)

= lim _h→0 [x + h — x] / { h × [√ (x + h) + √x ] }

= lim _{ч → 0} ч / { ч × [√(x + h) + √x ] }

= lim _{ч → 0} 1 / [√(x + h) + √x ]

= 1/( √x + √x)

= 1/(2√x)

Таким образом, мы доказали формулу производной корня x.

Производная корня x с использованием степенного правила

Теперь формула для правила степени производных определяется как d(x ⁿ )/dx = nx ^n-1 , где n ≠ -1. Корень x — экспоненциальная функция, где x — основание, а 1/2 — степень. Теперь, если мы подставим n = 1/2 в формулу d(x ⁿ )/dx = nx ^n-1 , где n ≠ -1, тогда имеем

d(x ^1/2 )/dx = (1/2) x ^{(1/2) — 1}

= (1/2) x ^-1/2

= 1/(2√x)

Таким образом, мы доказали, что производная корня x равна 1/(2√x) .

Применение производной корня x

Одним из важных применений производной корня x является нахождение производной функции квадратного корня. Мы можем применить метод дифференцирования по цепному правилу, чтобы найти производные функции квадратного корня вместе с использованием производной корня x. Давайте решим пример, чтобы понять его применение.

Пример: Найдите производную от √(2x + 5).

Решение: Чтобы найти производную от √(2x + 5), воспользуемся методом цепного правила и воспользуемся формулой производной от корня x.

d(√(2x + 5))/dx = d(√(2x + 5))/d(2x + 5) × d(2x + 5)/dx

= 1/(2√(2x + 5)) × 2

= 2/(2√(2x + 5))

= 1/√(2x + 5)

Важные замечания о производной корня x

Производная корня x равна определяется выражением d(√x)/dx = (1/2) x ^-1/2 или 1/(2√x).
Корень x, заданный как √x, представляет собой экспоненциальную функцию с x в качестве переменной и основанием в виде 1/2.
Мы можем вычислить производную корня x, используя правило степени и первый принцип производных.

☛ Похожие темы:

Интеграция Root x
Производное от xsinx
Производная от Sin3x

Часто задаваемые вопросы о производной корня x

Что такое производная от корня x в исчислении?

Производная корня x равна (1/2) x ^-1/2 .

чему равна, формула, примеры решения задач

Понятие производной, чему равна Х* корня из Х

С помощью упрощенного правила дифференцирования корня

Примеры решения задач по теме «Производная корня»