Биссектрисы углов A и B при боковой

Задача

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найти AB, если AF=24, BF=10.

Решение основано на свойстве биссектрис при боковой стороне  трапеции, которое в ходе решения задачи надо доказать.

Дано:ABCD — трапеция, AD∥BC, AF — биссектриса ∠BAD, BF- биссектриса ∠ABC, AF∩BF=F, AF=24, BF=10

Найти: AB

Решение:

   

(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB).

Так как AF — биссектриса ∠BAD, BF- биссектриса ∠ABC, то

   

Значит,

   

   

Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABF

   

   

По теореме Пифагора

   

   

   

Ответ: 26.

Трапеция

www.treugolniki.ru

Биссектрисы углов A и D трапеции

Задача

Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Таким образом, чтобы доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD , требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD.

Дано: ABCD — трапеция, AD∥BC, AM — биссектриса ∠BAD, DM — биссектриса ∠DAB, AM∩DM=M, M∈BC,

   

Доказать:MF=MK=ME

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники AMK и AMF. ∠AKM=90º, ∠AFM=90º (по условию).

∠MAK=∠MAF (так как AM — биссектриса ∠BAD по условию).

Гипотенуза AM — общая.

Следовательно, ∆AMK=∆AMF (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MK=MF.

2) Аналогично, из равенства треугольников DMK и DME следует MK=ME.

3) Значит, MF=MK=ME.

Что и требовалось доказать.

Вывод:

Если точка пересечения биссектрис углов при основании трапеции принадлежит другому основанию, то эта точка равноудалена от трёх сторон трапеции.

Замечание.

Для доказательства можно непосредственно воспользоваться свойством биссектрисы угла.

Так как любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то для угла BAD MF=MK, для угла ADC MK=ME, откуда следует, что все три отрезка равны: MF=MK=ME.

www.treugolniki.ru

Биссектрисы углов а и б параллелограмма авсд пересекаются в точке к вс 19

Пусть a,b — катеты, c — гипотенуза. А = 24, С = 51. Находим второй катет: b = V(С в квадрате — А в квадрате ) = V(51^2- 24^2) = V(2601 — 576) = V(2025) = 45 (V — корень квадратный). Пусть h — высота, проведенная к гипотенузе. Площадь треугольника: S = (1/2)*a*b = (1/2)*c*h, отсюда a*b = c*h h = a*b/c.

Биссектрисы углов а и д параллелограмма авсд пересекаются в точке к. Найдите площадь параллелограмма если вс=2 а расстояние от точки к до стороны ав =1

Ответы и объяснения

Поскольку AN — биссектриса угла В, то ∠BAK=∠ KAN.

∠BNK=∠KAN как накрест лежащие ⇒ ∠BAK=∠BNK.

А значит мы получим, что треугольник ABN равнобедренный.

Треугольник ΔABK=ΔBKN (по двум углам и стороне между ними: BN=AB, ∠BNK=∠BNK, ∠ABK=∠NBK поскольку BK биссектриса).

Поскольку ΔABK=ΔBKN, то и высоты равны KH=KH₁=1.

Если опустить высоту из точки К до стороны AD, то получим высоту KH₂.

ΔKBN=ΔAKM (по стороне и двум прилежащим к ним углам: AK=KN, ∠KAM=∠BNK, ∠AKM=∠BKN — вертикальные).

Биссектрисы углов а и б параллелограмма авсд пересекаются в точке к вс 19

Биссектрисы углов а и д параллелограмма авсд пересекаются в точке к. Найдите площадь параллелограмма если вс=2 а расстояние от точки к до стороны ав =1

Ответы и объяснения

Поскольку AN — биссектриса угла В, то ∠BAK=∠ KAN.

∠BNK=∠KAN как накрест лежащие ⇒ ∠BAK=∠BNK.

А значит мы получим, что треугольник ABN равнобедренный.

Треугольник ΔABK=ΔBKN (по двум углам и стороне между ними: BN=AB, ∠BNK=∠BNK, ∠ABK=∠NBK поскольку BK биссектриса).

Поскольку ΔABK=ΔBKN, то и высоты равны KH=KH₁=1.

Если опустить высоту из точки К до стороны AD, то получим высоту KH₂.

ΔKBN=ΔAKM (по стороне и двум прилежащим к ним углам: AK=KN, ∠KAM=∠BNK, ∠AKM=∠BKN — вертикальные).

Биссектрисы углов а и б параллелограмма авсд пересекаются в точке к вс 19

Подготовка к ОГЭ (ГИА)

Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F – середина CD.

Доказательство строим на факте, что биссектриса AF делит угол BAD на два равных угла:

По правилу накрест лежащих углов при параллельных прямых AB и CD:

Тогда углы FAD и DFA тоже равны, так как BAF = FAD. Значит, треугольник AFD – равнобедренный с основанием AF. Следовательно, AD = DF. По тем же причинам в треугольнике BCF BC = CF. В параллелограмме противоположные стороны равны – значит, BC = AD. Но тогда CF тоже равен AD, а значит, равен также FD. Если CF = FD, то F – середина CD.

poiskvstavropole.ru