Производная синус квадрат х квадрат: Найти производную y’ = f'(x) = sin(2*x/x^2) (синус от (2 умножить на х делить на х в квадрате))

2

Формулы для первой производной функции

y есть функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y’) постоянной есть 0

y = C => y’ = 0

пример: y = 5, y’ = 0

Если y есть функцией типа y = xⁿ, формула для производной есть:

y = xⁿ => y’ = nx^n-1

пример: y = x³ y’ = 3x^3-1 = 3x²
y = x^-3 y’ = -3x^-4

Из вышеприведенной формулы мы можем сказать, что для производной y’ функции y = x = x¹ that:

если y = x тогда y’=1

y = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) …=>
y’ = f’₁(x) + f’₂(x) + f’₃(x) …

Эта формула представляет производную функции, являющейся суммой функций.
Пример: Если мы имеем две функции f(x) = x² + x + 1 и g(x) = x⁵ + 7 и y = f(x) + g(x) тогда y’ = f'(x) + g'(x) => y’ = (x² + x + 1)’ + (x

5 + 7)’ = 2x¹ + 1 + 0 + 5x⁴ + 0 = 5x⁴ + 2x + 1

Если функция есть произведением двух функций, формула производной выглядит так:

y = f(x). g(x) => y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Если f(x) = C(C есть постоянной) и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)

y = Cf(x) => y’ = C.f'(x)

Формулы вычисления производной

y =

f(x) g(x)

y’ =

f'(x)g(x) — f(x)g'(x) g2(x)

y = ln x => y’ =

1/_x

y = e^x => y’ = e^x

y = sin x => y’ = cos x

y = cos x => y’ = -sin x

y = tg x => y’ = ¹/_cos²x

y = ctg x => y’ = —¹/_sin²x

y = arcsin x

=>

y’ =

1 √1 — x.x

y = arccos x

=>

y’ =

-1 √1 — x. x

y = arctg x

=>

y’ =

1 1 + x2

y = arcctg x

=>

y’ =

-1 1 + x2

если функция есть функцией функции: u = u(x)

y = f(u) => y’ = f'(u).u’

Пример. Пусть у нас есть функция y = sin(x²)
в этом случае u = x², f(u) = sin(u), производные есть f'(u) = cos(u), u’ = 2x
y’ = (sin(u))’.u’ = cos(x²).2x = 2.x.cos(x²)

Задачи с производными

1) f(x) = 10x + 4y. Найдите первую производную f'(x)

ОТВЕТ: Мы можем использовать формулу нахождения производной для суммы функций f(x) = f₁(x) + f₂(x), f₁(x) = 10x, f₂(x) = 4y для функции f₂(x) = 4y, y есть постоянной, потому что аргумент f₂(x) есть x. Поэтому f’₂(x) = (4y)’ = 0. Отсюда производная функции f(x) есть: f'(x) = 10 + 0 = 10.

---

2) Вычислите производную f(x) =

x10 4.15 + cosx

ОТВЕТ:

у нас есть две функции h(x) = x¹⁰ и g(x) = 4.15 + cos x
функция f(x) есть h(x), разделенная на g(x). h'(x) = 10x⁹ g'(x) = 0 — sin x = -sin x

f'(x) =

h'(x).g(x) — h(x).g'(x) (g(x))2

f'(x) =

10x9(4.15 + cos x) — x10(-sin x) (4.15 + cosx)2

=

x10sin x + 10(60 + cos x)x9 (60 + cosx)2

---

3) f(x) = ln(sinx). Какая производная функции f(x)?
ОТВЕТ:

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать последнюю формулу.