Задача 16 — разбор задания ЕГЭ по предмету Информатика
Решение №1
В задаче имеется «топорное решение» — посчитать напрямую. Получившееся число будет восьмизначным, что не так уж и страшно, если в голову не приходят другие решения.
Рассмотрим, однако, решение, которое позволит делать подобные задачи без прямого подсчёта. Для этого, прежде всего, переведём всё в степени тройки:
\(\begin{eqnarray} 9^8&+3^5&-9 &= \\ 3^{2^8}&+3^5&-3^2 &= \\ 3^{16}&+3^5&-3^2 \end{eqnarray}\)
Как представляется число 3n в троичной системе счисления? Давайте подумаем, как мы переводим из десятичной системы в троичную? Сначала делим на 3, затем частное делим на 3, затем новое частное на 3 и т.п. Что получится в случае деления 3n на 3? Очевидно, что 3n-1. А если его поделить дальше на 3, то получится 3n-2. Если так сделать n раз, то в конце останется 30, то есть. Таким образом, это будет число 100..00, где количество нулей равно n.
То есть, например, 8-ая степени тройки в троичной системе представима в виде 1000000003. А 35 — это 1000003.
Вернёмся теперь к нашей сумме. Давайте сначала в столбик сложим 316 и 35 в троичной системе счисления.
\(\begin{eqnarray} 1\overbrace{00\dots 0000000}^{16}\\ 100000 \\ \hline 1\underbrace{00\dots 0}_{10}100000 \end{eqnarray}\)
Теперь остаётся из этого вычесть 32. Для этого придётся «занять» разряд. Но принцип тут такой же, как и в обычной, десятичной системе счисления, только 0 будут превращаться не в 9, а в 2 (самую большую цифру в троичной системе счисления:
\(\begin{eqnarray} 1\overbrace{00\dots 0}^{10}100000\\ -100 \\ \hline 1\underbrace{00\dots 0}_{10}022200\\ \end{eqnarray}\)
Таким образом, количество двоек в указанной сумме получилось равным 3.
Ответ: 3 двойки в троичной записи.
Евгений Смирнов
Эксперт в IT, учитель информатики
newtonew.com
1) Значение арифметического выражения: 27^4 – 9^5 + 3^8 –…
1) 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 (см. рис)
Приведём все числа к степеням тройки, учитывая, что
25 = 27-2 = 3^3-2∙3^0
27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 = (3^3)^4 — (3^2)^5 + 3^8 — 3^3 + 2∙3^0 =
(3^12 — 3^10) + (3^8 — 3^3) + 2∙3^0
Найдем значение разности в первой скобке, учитывая что 12-ая степени тройки в троичной системе это 1000000000000(3), а 10-ая степень — это 10000000000(3)
1000000000000(3)
—
10000000000(3)
——————
220000000000(3)
Т.е. в троичной записи 12–10 = 2 «двойки» и 10 «нулей».
Вычислим аналогично вторую скобку:
100000000(3)
—
1000(3)
——————
22222000(3)
Т.е. в троичной записи 8–3 = 5 «двоек» и 3 «нуля».
Таким образом, общее количество двоек = 2+5+1 = 8
2) 3∙16^8 – 4^5 + 3 (см. рис)
Приведём все числа к степеням четверки:
3∙16^8 – 4^5 + 3 = 3∙(4^2)^8 – 4^5 + 3∙4^0 = 3∙4^16 – 4^5 + 3∙4^0
Найдем значение разности, учитывая что 3∙4^16 в системе счисления с основанием 4 это одна «тройка» и 16 «нулей», а 4^5 — это одна «единица» и 5 «нулей»:
30000000000000000(4)
—
100000(4)
———————
23333333333300000(4) (одна «двойка», 11 «троек» и 5 «нулей»)
Таким образом, общее количество троек = 11+1 = 12
3) 4^1024 + 8^1025 – 2^1026 – 140
Количество значащих нулей равно количеству всех знаков в двоичной записи числа минус количество единиц.
Приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 140 = 128 + 8 + 4
4^1024 + 8^1025 – 2^1026 – 140 =
(2^2)^1024 + (2^3)^1025 – 2^1026 – (2^7+2^3+2^2) =
2^3075 + 2^2048 – 2^1026 – 2^7 — 2^3 — 2^2
Старшая степень двойки – 3075, двоичная запись этого числа представляет собой единицу и 3075 нулей, то есть, состоит из 3076 знаков; таким образом, остаётся найти количество единиц.
Представим далее -2^1026 = -2^1027 + 2^1026, получим:
2^3075 + 2^2048 — 2^1027 + 2^1026 – 2^7 — 2^3 — 2^2
Аналогично – 2^7 = — 2^8 + 2^7, получим:
2^3075 + 2^2048 — 2^1027 + 2^1026 — 2^8 + 2^7 — 2^3 — 2^2
И, наконец, — 2^3 = — 2^4 + 2^3
2^3075 + (2^2048 — 2^1027) + (2^1026 — 2^8) + (2^7 — 2^4) + (2^3 — 2^2)
Вспомним свойство: число 2^N–2^K при K Общее число единиц = 1+(2048-1027)+(1026-8)+(7-4)+(3-2) = 2044
Таким образом, количество значащих нулей равно 3076-2044 = 1032
tvoiznaniya.com
27^4 – 9^5 + 3^8 –…
1) 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 (см. рис)
Приведём все числа к степеням тройки, учитывая, что
25 = 27-2 = 3^3-2∙3^0
27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 = (3^3)^4 — (3^2)^5 + 3^8 — 3^3 + 2∙3^0 =
(3^12 — 3^10) + (3^8 — 3^3) + 2∙3^0
Найдем значение разности в первой скобке, учитывая что 12-ая степени тройки в троичной системе это 1000000000000(3), а 10-ая степень — это 10000000000(3)
1000000000000(3)
—
10000000000(3)
——————
220000000000(3)
Т.е. в троичной записи 12–10 = 2 «двойки» и 10 «нулей».
Вычислим аналогично вторую скобку:
100000000(3)
—
1000(3)
——————
22222000(3)
Т.е. в троичной записи 8–3 = 5 «двоек» и 3 «нуля».
Таким образом, общее количество двоек = 2+5+1 = 8
2) 3∙16^8 – 4^5 + 3 (см. рис)
Приведём все числа к степеням четверки:
3∙16^8 – 4^5 + 3 = 3∙(4^2)^8 – 4^5 + 3∙4^0 = 3∙4^16 – 4^5 + 3∙4^0
Найдем значение разности, учитывая что 3∙4^16 в системе счисления с основанием 4 это одна «тройка» и 16 «нулей», а 4^5 — это одна «единица» и 5 «нулей»:
30000000000000000(4)
—
100000(4)
———————
23333333333300000(4) (одна «двойка», 11 «троек» и 5 «нулей»)
Таким образом, общее количество троек = 11+1 = 12
3) 4^1024 + 8^1025 – 2^1026 – 140
Количество значащих нулей равно количеству всех знаков в двоичной записи числа минус количество единиц.
Приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 140 = 128 + 8 + 4
4^1024 + 8^1025 – 2^1026 – 140 =
(2^2)^1024 + (2^3)^1025 – 2^1026 – (2^7+2^3+2^2) =
2^3075 + 2^2048 – 2^1026 – 2^7 — 2^3 — 2^2
Старшая степень двойки – 3075, двоичная запись этого числа представляет собой единицу и 3075 нулей, то есть, состоит из 3076 знаков; таким образом, остаётся найти количество единиц.
Представим далее -2^1026 = -2^1027 + 2^1026, получим:
2^3075 + 2^2048 — 2^1027 + 2^1026 – 2^7 — 2^3 — 2^2
Аналогично – 2^7 = — 2^8 + 2^7, получим:
2^3075 + 2^2048 — 2^1027 + 2^1026 — 2^8 + 2^7 — 2^3 — 2^2
И, наконец, — 2^3 = — 2^4 + 2^3
2^3075 + (2^2048 — 2^1027) + (2^1026 — 2^8) + (2^7 — 2^4) + (2^3 — 2^2)
Вспомним свойство: число 2^N–2^K при K Общее число единиц = 1+(2048-1027)+(1026-8)+(7-4)+(3-2) = 2044
Таким образом, количество значащих нулей равно 3076-2044 = 1032
Оцени ответ
napyaterku.com
Leave A Comment