Как решать уравнения log: Логарифмические уравнения и неравенства — Умскул Учебник

Логарифмические уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

.

При этом .

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

.

Основное логарифмическое тождество:

,

.

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

.

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает.

И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение:

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем:

Решая логарифмические уравнения, не забываем про

область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при .

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

;

;

;

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом .

.

Ответ: 21.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: .

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие .

Ответ:

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения:

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

9.Решите уравнение:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

«Отбрасываем» логарифмы.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: .

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Логарифмические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Логарифмические уравнения

Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2013-01-23

   Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях «Тригонометрические уравнения», «Решение рациональных уравнений». В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение  в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение: 

Логарифмом числа a  по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

Например:

 log₃9 = 2, так как  3² = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.

Найдите корень уравнения:  log₃(4–x) = 4

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как  log_ba = x   b^x = a,  то

3⁴ = 4 – x

x = 4 – 81

x =  – 77

Проверка:

log₃(4–(–77)) = 4

log₃81 = 4

3⁴ = 81  Верно.

Ответ: – 77

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения:  log₂ (4 – x) = 7

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения log₅ (4 + x) = 2

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как   log_ab = x       b^x = a,   то

5² = 4 + x

x =5² – 4

x = 21

Проверка:

log₅(4 + 21) = 2

log₅25 = 2

5² = 25 Верно.

Ответ: 21

Найдите корень уравнения  log₃(14 – x) = log₃5.

Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.

 Если    log_ca = log_cb,   то  a = b

14 – x = 5

x = 9

Сделайте проверку.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения  log₅(5 – x) = log₅3.

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения: log₄(x + 3) = log₄(4x – 15).

Если   log_ca = log_cb,   то  a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Сделайте проверку.

Ответ: 6

Найдите корень уравнения   log_1/8(13 – x) = – 2.

(1/8)^–2 = 13 – x

8² = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Сделайте проверку.

Небольшое дополнение – здесь используется свойство

степени (отрицательная степень дроби).

Ответ: – 51

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения:  log_1/7(7 – x) = – 2

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения  log₂ (4 – x) = 2 log₂ 5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

log_ab^m = m∙log_ab

log₂(4 – x) = log₂5²

Если    log_ca = log_cb,   то  a = b

4 – x = 5²

4 – x = 25

x = – 21

Сделайте проверку.

Ответ: – 21

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения:  log₅(5 – x) = 2 log₅ 3

Посмотреть решение 

Решите уравнение   log₅(x² + 4x) = log₅(x² + 11)

Если    log_ca = log_cb,   то  a = b

x² + 4x = x² + 11

4x = 11

x = 2,75

Сделайте проверку.

Ответ: 2,75

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения  log₅(x² + x) = log₅(x² + 10).

Посмотреть решение 

Решите уравнение   log₂(2 – x) = log₂(2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log₂ (……)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log₂ 2

Далее применяем свойство:

log_с(ab) = log_сa + log_сb

log₂(2 – x) = log₂(2 – 3x) + log₂2

Получаем:

log₂(2 – x) = log₂ 2 (2 – 3x)

Если    log_ca = log_cb,   то  a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Сделайте проверку.

Ответ: 0,4

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения  log₅(7 – x) = log₅(3 – x) +1

Посмотреть решение 

Решите уравнение log_х–125 = 2.  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

(x – 1)²= 25

Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати, квадратное уравнение, как вы поняли, это очень важная «буковка» в математической азбуке. К нему сводятся очень многие решения совершенно различных задач. Помнить формулы дискриминанта и корней нужно обязательно, и уметь решать такое уравнение вы должны очень быстро, периодически практикуйтесь.

Конечно же, опытный глаз сразу увидит, что в нашем примере выражение, стоящее под знаком квадрата равно 5 или – 5, так как только эти два числа  при возведении в квадрат дают 25, устно можно посчитать:

корни равны 6  и  – 4.

Корень  «–4» не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при  «– 4» оно равно «–5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.

Ответ: 6.

Решите самостоятельно: 

Решите уравнение log_x–5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Посмотреть решение

 

Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать  свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Простые уравнения | ЕГЭ-№5Логарифмы

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Решение логарифмических уравнений — ChiliMath

Обычно существует два типа логарифмических уравнений. Внимательно изучите каждый случай, прежде чем приступить к просмотру приведенных ниже рабочих примеров.

• Первый тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм с каждой стороны уравнения с одинаковым основанием, вы можете установить аргументы равными друг другу, а затем решить. Аргументами здесь являются алгебраические выражения, представленные \color{blue}M и \color{red}N.

• Второй тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм на одной стороне уравнения, вы можете выразить его как показательное уравнение и решить его.

Давайте научимся решать логарифмические уравнения, рассмотрев несколько примеров.

---

Примеры решения логарифмических уравнений

Пример 1: Решите логарифмическое уравнение.

Поскольку мы хотим преобразовать левую часть в одно логарифмическое уравнение, мы должны использовать правило произведения в обратном порядке, чтобы сжать его. Вот правило, если вы забыли.

• Дано

• Применить правило продукта из правил журнала.

• Распределить: \left( {x + 2} \right)\left( 3 \right) = 3x + 6

• Отбросьте логи, установите аргументы (в скобках) равными друг другу.

• Затем решите линейное уравнение. Я знаю, что ты справился с этой частью!

Просто большое предостережение. ВСЕГДА сверяйте полученные значения с исходным логарифмическим уравнением.

Помните:

• Это ОКЕЙ для x, чтобы быть 0 или отрицательным.
• Однако НЕ ДОПУСКАЕТСЯ иметь логарифм отрицательного числа или логарифм нуля, 0, при подстановке или вычислении в исходное логарифмическое уравнение.

ВНИМАНИЕ: Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля оба не определены .

{\log _b}\left({{\rm{отрицательное\,\,число}}} \right) = {\rm{undefined}}

{\log _b}\left( 0 \right) = {\rm{undefined}}

Давайте проверим наш ответ, чтобы убедиться, что x=7 является допустимым решением. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, дает ли оно верное утверждение.

Да! Поскольку x = 7 проверок, у нас есть решение при \color{blue}x = 7.

---

  Пример 2: Решите логарифмическое уравнение.

Начните с объединения выражений журнала слева в единый логарифм, используя правило произведения. Мы хотим иметь одно логарифмическое выражение на каждой стороне уравнения. Будьте готовы решить квадратное уравнение, так как x будет иметь степень 2. 92} — 2x

• Отбросьте логи, установите аргументы (в скобках) равными друг другу

• Решите квадратное уравнение, используя метод факторинга. Но вам нужно переместить все на одну сторону, заставив противоположную сторону равной 0.

• Установите каждый коэффициент равным нулю, затем найдите x.

x — 5 = 0 означает, что x = 5

x + 2 = 0 означает, что x = — 2

Таким образом, возможные решения: x = 5 и x = — 2. Не забывайте всегда подставлять возможные решения обратно к исходному логарифмическому уравнению.

Давайте проверим наши возможные ответы x = 5 и x = — 2, если они будут правильными решениями.

После проверки наших значений x мы обнаружили, что x = 5 определенно является решением. Однако x =-2 генерирует отрицательные числа внутри круглых скобок (логарифм нуля и отрицательных чисел не определен), что заставляет нас исключить x =-2 как часть нашего решения.

Таким образом, окончательное решение равно \color{blue}x=5. Мы пренебрегаем x=-2, потому что это лишнее решение.

---

Пример 3: Решите логарифмическое уравнение.

Это интересная проблема. Здесь мы имеем разность логарифмических выражений в обеих частях уравнения. Упростите или сократите журналы с обеих сторон, используя правило частного.

• Дано

• Разница в журналах говорит нам использовать правило частного. Преобразуйте операцию вычитания снаружи в операцию деления внутри круглых скобок. Проделайте это с обеими частями уравнений.

• Я думаю, что мы готовы установить каждый аргумент равным друг другу, так как мы можем уменьшить проблему, чтобы иметь одно логарифмическое выражение на каждой стороне уравнения.

• Отбросьте журналы и установите аргументы (в скобках) равными друг другу. Обратите внимание, что это рациональное уравнение. Один из способов решить эту проблему — получить перекрестный продукт .

• Это выглядит так после получения перекрестного произведения.

• Упростить обе стороны с помощью Распределительного свойства. В этот момент мы понимаем, что это просто квадратное уравнение. Тогда ничего страшного. Переместите все в одну сторону, что заставит одну часть уравнения быть равной нулю.

• Это легко вычислить. Теперь установите каждый фактор равным нулю и найдите x.

• Итак, это наши возможные ответы.

Я оставлю это вам, чтобы сверить наши потенциальные ответы с исходным логарифмическим уравнением. Вы должны убедиться, что \color{blue}x=8 — единственное решение, а x =-3 — нет, так как это создает сценарий, в котором мы пытаемся получить логарифм отрицательного числа. Не хорошо!

---

Пример 4: Решите логарифмическое уравнение.

Если вы видите «журнал» без явного или письменного основания, предполагается, что оно имеет основание 10. Фактически, логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм .

Нам нужно сжать обе части уравнения в одно логарифмическое выражение. С левой стороны мы видим разницу в журналах, что означает, что мы применяем правило отношения, в то время как справа требуется правило продукта, потому что они представляют собой сумму журналов.

Есть только одна вещь, на которую вы должны обратить внимание с левой стороны. Вы видите этот коэффициент \Large{1 \over 2}\,?

Что ж, мы должны привести его в порядок, используя правило степени в обратном порядке.

• Дано

• Поднимите этот коэффициент \large{1 \over 2} как показатель степени (обратитесь к крайнему левому члену)

• Упростите показатель степени (по-прежнему ссылаясь на крайний левый член)

4 Тогда , уплотните журналы по обе стороны уравнения.

Используйте Частное правило слева и Правило продукта справа.

• Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, что, поскольку у нас одна и та же база (если это не указано явно, предполагается, что она равна 10), можно установить их равными друг другу.

• Отбрасывание логов и просто приравнивание аргументов внутри скобок.

• На этом этапе вы можете решить рациональное уравнение, выполнив перекрестное произведение. Переместите все члены в одну часть уравнения, а затем вынесите их за скобки.

• Приравняйте каждый множитель к нулю и найдите x.

Пришло время проверить ваши возможные ответы. Когда вы снова проверите x=0 в исходном логарифмическом уравнении, вы получите выражение, которое включает в себя получение логарифма нуля, который не определен, а это означает – нехорошо! Итак, мы должны проигнорировать или отбросить \color{red}x=0 в качестве решения.

Проверка \Large{x = {3 \over 4}} подтверждает, что \Large{\color{blue}{x = {3 \over 4}}} является единственным решением

.

---

Пример 5: Решите логарифмическое уравнение.

Эта проблема связана с использованием символа \ln вместо \log для обозначения логарифма.

Думайте о \ln как о особом виде логарифма, использующего основание e, где e \ приблизительно 2,71828.

• Дано

• Использовать правило произведения справа

• Сначала запишите переменную, а затем константу, чтобы подготовить метод FOIL.

• Упростите два бинома, перемножив их вместе.

• В этот момент я просто закодировал выражение в скобках цветом, чтобы показать, что мы готовы установить их равными друг другу.

• Ага! Здесь мы говорим, что содержимое левой скобки равно содержанию правой скобки.

• Решите квадратное уравнение, используя метод квадратного корня. Вы делаете это, изолируя переменную в квадрате с одной стороны и константу с другой. Затем мы применяем квадратный корень с обеих сторон.

Не забудьте символ \pm .

• Упрощая далее, мы должны получить эти возможные ответы.

Проверьте, являются ли потенциальные ответы, найденные выше, возможными ответами, подставив их обратно в исходные логарифмические уравнения.

Вы должны быть уверены, что ЕДИНСТВЕННОЕ правильное решение — это \large{\color{blue}x = {1 \over 2}}, что делает \large{\color{red}x = -{1 \over 2}} посторонний ответ.

---

Пример 6: Решите логарифмическое уравнение.

В этом уравнении есть только одно логарифмическое выражение. Мы рассматриваем это как второй случай, когда у нас есть

. Мы преобразуем уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную, а затем решим его.

• Дано

• Я выделил цветом части логарифмического уравнения, чтобы показать, куда они идут при преобразовании в экспоненциальную форму.

• Синее выражение остается на своем текущем месте, но красное число становится показателем степени основания логарифма, равного 3. 94} = 81.

• В завершение решим возникающее линейное уравнение, состоящее из двух шагов.

Вы должны убедиться, что значение \color{blue}x=12 действительно является решением логарифмического уравнения.

---

Пример 7: Решите логарифмическое уравнение.

Соберите все логарифмические выражения в одной части уравнения (оставьте ее слева) и переместите константу в правую часть. Используйте правило отношения, чтобы выразить разницу журналов в виде дробей в круглых скобках логарифма.

• Дано

• Переместите все логарифмические выражения влево от уравнения, а константу вправо.

• Используйте правило отношения, чтобы сжать выражения журнала в левой части.

• Приготовьтесь записать логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму.

• Синее выражение остается на своем текущем месте, но красная константа оказывается показателем степени основания журнала.
9{\цвет{красный}1}=5.

• Это рациональное уравнение из-за присутствия переменных в числителе и знаменателе.

Я бы решил это уравнение, используя правило перекрестного произведения. Но я должен сначала выразить правую часть уравнения с явным знаменателем 1. То есть 5 = ​​{\large{{5 \over 1}}}

• Выполнить перекрестное умножение, а затем решить полученное линейное уравнение.

Когда вы сверяете x=1 с исходным уравнением, вы должны согласиться с тем, что \large{\color{blue}x=1} является решением логарифмического уравнения.

---

Пример 8: Решите логарифмическое уравнение.

Эта задача очень похожа на №7. Соберем все логарифмические выражения слева, сохранив константу справа. Поскольку у нас есть разница в журналах, мы будем использовать правило частного.

• Дано

• Переместите выражения журнала влево, а константу оставьте вправо.

• Примените правило частного, так как они являются разницей журналов.

• Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, куда они идут после перезаписи в экспоненциальной форме.

• Обратите внимание, что выражение внутри круглых скобок остается на своем текущем местоположении, а \color{red}5 становится показателем степени основания.

• Чтобы решить это рациональное уравнение, примените правило перекрестного произведения.

• Упростим правую часть по распределительному свойству. Похоже, мы имеем дело с квадратным уравнением.

• Переместите все в левую сторону и сделайте правую сторону просто нулевой.

Вынесите трехчлен на множители. Установите каждый фактор равным нулю, затем найдите x.

• Когда вы решаете для x, вы должны получить эти значения x как возможные решения.

Убедитесь, что вы проверили возможные ответы из исходного логарифмического уравнения.

Согласитесь, \color{blue}x=-32 — единственное решение. Это делает \color{red}x=4 посторонним решением, так что не обращайте на него внимания.

---

Пример 9: Решите логарифмическое уравнение

Надеюсь, теперь вы уловили основное представление о том, как решать задачи такого типа. Здесь мы видим три логарифмических выражения и константу. Давайте разделим логарифмические выражения и константу на противоположных сторонах уравнения.

• Давайте сохраним выражения журнала слева, а константу справа.

• Начните с сокращения выражений журнала с помощью правила продукта для обработки суммы журналов.

• Затем еще больше уплотните выражения журнала, используя правило отношения, чтобы справиться с разницей журналов.

• На этом этапе я использовал разные цвета, чтобы показать, что я готов выразить логарифмическое уравнение в его экспоненциальной форме.

• Сохраните выражение внутри символа группировки ( синий ) в том же месте, сделав константу \color{red}1 справа в качестве показателя степени основания 7.

• Решите это рациональное уравнение, используя векторное произведение. Выразите 7 как \large{7 \over 1}.

• Крест умножить.

• Переместите все члены в левую часть уравнения. Вынеси трехчлен. Затем установите каждый фактор равным нулю и найдите x.

• Это ваши возможные ответы. Всегда проверяйте свои значения.

Очевидно, что если снова подставить x=-8 в исходное уравнение, получится логарифм с отрицательным числом. Поэтому вы исключаете \color{red}x=-8 как часть своего решения.

Таким образом, единственным решением является \color{blue}x=11.

---

Пример 10: Решите логарифмическое уравнение.

• Оставьте выражение журнала слева, а все константы переместите справа.

• Упрощение.

• Думаю, мы готовы преобразовать это логарифмическое уравнение в показательное уравнение.

• Выражение в круглых скобках остается на своем текущем местоположении, а константа 3 становится показателем степени логарифмической базы 3. 93}=27. Здесь мы имеем простое радикальное уравнение.

Просмотрите этот отдельный урок, если вам нужно освежить знания о том, как решать различные типы радикальных уравнений.

• Чтобы избавиться от радикала в левой части, возведите в квадрат обе части уравнения.

• После возведения обеих сторон в квадрат получается линейное уравнение. Просто решите это как обычно.

Верните свой потенциальный ответ в исходное уравнение.

Сделав это, вы должны убедиться, что \color{blue}x=-104 действительно верное решение.

---

Вас также могут заинтересовать:

Сжатые логарифмы

Раскрывающиеся логарифмы

Объяснение логарифмов

Правила логарифмирования

90 Логарифмирование 90 Решения — Алгебра Онлайн-заметки Пола
Главная / Алгебра / Экспоненциальные и логарифмические функции / Решение логарифмических уравнений

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 6.4: Решение логарифмических уравнений

В этом разделе мы рассмотрим решение логарифмических уравнений или уравнений с логарифмами в них. Здесь мы рассмотрим два конкретных типа уравнений. В частности, мы рассмотрим уравнения, в которых каждый член является логарифмом, а также мы рассмотрим уравнения, в которых все члены уравнения, кроме одного, являются логарифмами, а член без логарифма будет константой. Кроме того, мы будем предполагать, что логарифмы в каждом уравнении будут иметь одно и то же основание. Если в логарифмах уравнения более одного основания, процесс решения становится намного сложнее.

Прежде чем мы приступим к решению, нам нужно помнить, что мы можем подставлять только положительные числа в логарифм. Это будет важно в будущем, поэтому мы не можем об этом забывать.

Теперь давайте начнем с уравнений, в которых каждый член является логарифмом, а все основания логарифмов одинаковы. В этом случае мы будем использовать тот факт, что

\[{\mbox{Если}}{\log _b}x = {\log _b}y{\mbox{тогда}}x = y\]

Другими словами, если у нас в задаче два логарифма, по одному по обе стороны от знака равенства и оба с коэффициентом, равным единице, то мы можем просто отбросить логарифмы.

Давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 1. Решите каждое из следующих уравнений.

1. \(2{\log _9}\left({\sqrt x} \right) — {\log _9}\left({6x — 1} \right) = 0\)
2. \(\log x + \log \left( {x — 1} \right) = \log \left( {3x + 12} \right)\)
3. \(\ln 10 — \ln \left( {7 — x} \right) = \ln x\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \(2{\log _9}\left({\sqrt x } \right) — {\log _9}\left({6x — 1} \right) = 0\) Показать решение

В этом уравнении есть только два логарифма, поэтому легко получить по обе стороны от знака равенства. Нам также нужно будет разобраться с коэффициентом перед первым членом. 92} & = {\log _9}\left({6x — 1} \right)\\ {\log _9}x & = {\log _9}\left({6x — 1} \right)\end{align *}\]

Теперь, когда у нас есть два логарифма с одинаковым основанием и коэффициентами 1 по обе стороны от знака равенства, мы можем отбросить бревна и решить.

\[\begin{align*}x & = 6x — 1\\ 1 & = 5x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \frac{1}{5}\end{align*} \]

Теперь нам нужно побеспокоиться о том, будут ли это решение производить какие-либо отрицательные числа или нули в логарифмах, поэтому следующим шагом будет вставить это в исходное уравнение и посмотреть, получится ли.

\[2{\log _9}\left({\sqrt {\frac{1}{5}}} \right) — {\log _9}\left({6\left({\frac{1}{5} }} \right) — 1} \right) = 2{\log _9}\left( {\sqrt {\frac{1}{5}} } \right) — {\log _9}\left({\frac {1}{5}} \справа) = 0\]

Обратите внимание, что нам не нужно делать здесь чек до конца. Нам просто нужно убедиться, что после подстановки \(x\) у нас не будет отрицательных чисел или нулей в логарифмах. Поскольку в данном случае у нас нет решения, это \(x = \frac{1}{5}\).

b \(\log x + \log \left( {x — 1} \right) = \log \left( {3x + 12} \right)\) Показать решение

Итак, в этом уравнении три логарифма, а может быть только два. Итак, мы видели, как выполнять такую ​​работу, в наборе примеров в предыдущем разделе, поэтому нам просто нужно сделать то же самое здесь. На самом деле не имеет значения, как мы это делаем, но поскольку на одной стороне уже есть один логарифм, мы могли бы также объединить журналы на другой стороне. 92} — 4x — 12 & = 0\\ \left( {x — 6} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} х = — 2,\,\,х = 6\конец{выравнивание*}\]

Теперь, прежде чем мы объявим их решениями, мы ДОЛЖНЫ проверить их в исходном уравнении.

\(х = 6\, :\)

\[\begin{align*}\log 6 + \log \left( {6 — 1} \right) & = \log \left( {3\left( 6 \right) + 12} \right)\\ \ журнал 6 + \ журнал 5 & = \ журнал 30 \ конец {выравнивание *} \]

Нет логарифмов отрицательных чисел и нет логарифмов нуля, так что это решение.

\(х = — 2\, :\)

\[\log \left( { — 2} \right) + \log \left( { — 2 — 1} \right) = \log \left( {3\left( { — 2} \right) + 12} \верно)\]

Дальше идти не надо, в первом члене стоит логарифм отрицательного числа (остальные тоже отрицательные) и это все, что нам нужно, чтобы исключить это как решение.

Будьте осторожны. Мы не исключаем \(x = — 2\), потому что оно отрицательное, проблема не в этом. Мы исключаем его, потому что, как только мы подставим его в исходное уравнение, мы получим логарифмы отрицательных чисел. Возможны отрицательные значения \(x\) для решения этих проблем, так что не перепутайте причину исключения этого значения.

Кроме того, в том же духе мы взяли \(x = 6\) в качестве решения не потому, что оно было положительным, а потому, что оно не давало никаких отрицательных чисел или нулей в логарифмах при подстановке. Положительные числа могут не быть решениями. 2} — 7x + 10 & = 0\ \ \left( {x — 5} \right)\left( {x — 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 2,\,\,x = 5\конец{выравнивание*}\]

У нас есть два возможных решения для проверки.

\(х = 2 :\)

\[\begin{align*}\ln 10 — \ln \left( {7 — 2} \right) & = \ln 2\\ \ln 10 — \ln 5 & = \ln 2\end{align*} \]

С этим все в порядке.

\(х = 5 :\)

\[\begin{align*}\ln 10 — \ln \left( {7 — 5} \right) & = \ln 5\\ \ln 10 — \ln 2 & = \ln 5\end{align*} \]

Этот тоже подойдет.

В этом случае оба возможных решения, \(x = 2\) и \(x = 5\), на самом деле являются решениями. Нет причин ожидать, что всегда придется выбрасывать одно из двух в качестве решения.

Теперь нам нужно взглянуть на второй вид логарифмического уравнения, которое мы будем решать. В этом уравнении будут все члены, но один будет логарифмическим, а один член, не имеющий логарифма, будет константой. 2} — 6x} \right) = 3 + {\log _2}\left({1 — x} \right)\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \({\log _5}\left({2x + 4} \right) = 2\) Показать решение

Чтобы решить их, нам нужно привести уравнение к тому виду, в котором оно находится. Нам нужен один логарифм в уравнении с коэффициентом, равным единице, и константой по другую сторону от знака равенства. Как только мы получим уравнение в этой форме, мы просто преобразуем его в экспоненциальную форму.

Итак, давайте сделаем это с этим уравнением. Экспоненциальная форма этого уравнения: 92} = 25\]

Обратите внимание, что это уравнение мы можем легко решить.

\[2x = 21\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25in}x = \frac{{21}}{2}\]

Теперь, как и в первом наборе примеров, нам нужно снова подключить это к исходному уравнению и посмотреть, будет ли оно давать отрицательные числа или нули в логарифмах. Если да, то это не может быть решением, а если нет, то это решение.

\[\ begin{align*}{\log _5}\left( {2\left( {\ frac {{21}}{2}} \right) + 4} \right) & = 2\\ {\log _5}\left( {25} \right) & = 2\end{align*}\]

Только положительные числа в логарифме, поэтому \(x = \frac{{21}}{2}\) на самом деле является решением.

b \(\log x = 1 — \log \left( {x — 3} \right)\) Показать решение

В этом случае у нас есть два логарифма в задаче, поэтому нам нужно объединить их в один логарифм, как мы сделали в первом наборе примеров. Выполнение этого для этого уравнения дает

\[\begin{align*}\log x + \log \left( {x — 3} \right) & = 1\\ \log \left( {x\left( {x — 3} \right)} \ справа) & = 1\end{align*}\]

Теперь, когда уравнение приведено в правильную форму, мы преобразуем его в экспоненциальную форму. 2} — 3x — 10 & = 0\\ \left( {x — 5 } \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = — 2,\,\,x = 5\end{align*} \]

Итак, у нас есть два возможных решения. Давайте проверим их обоих.

\(*х = — 2:\)

\[\log \left( { — 2} \right) = 1 — \log \left( { — 2 — 3} \right)\]

У нас есть отрицательные числа в логарифмах, поэтому это не может быть решением.

\(х = 5:\)

\[\begin{align*}\log 5 & = 1 — \log \left( {5 — 3} \right)\\ \log 5 & = 1 — \log 2\end{align*}\]

Нет отрицательных чисел или нулей в логарифмах, так что это решение.

Следовательно, у нас есть единственное решение этого уравнения, \(x = 5\).

Опять же, помните, что мы не исключаем потенциальное решение, потому что оно отрицательное, и не включаем потенциальное решение, потому что оно положительное.