Найдите площадь ромба если его высота равна 3: Найдите площадь ромба если его высота равна 3 а один из углов равен 30

Другой пример: сторона s равна 15 футов , а высота 11 футов . Площадь этого ромба равна:

Формула с использованием стороны и угла

Второй способ найти площадь ромба — это знать длину стороны s и величину одного угла ( ∠A или ∠B ). Здесь нужно найти синус угла, но формула по-прежнему проста:

Вы можете видеть, что эти две формулы дают один и тот же результат, поэтому это означает:

Пример:

В ромбе с сторонами по 10 ярдов и внутренними смежными углами  60 °  и  120°  тогда, чтобы найти площадь этого ромба, мы подставим это в нашу формулу площади, используя сторону и угол.

Что также равно:

Затем мы умножаем эти два числа вместе:

Тогда мы получаем ответ:

Помните, что для этого метода не имеет значения выбранный вами угол. Формула одинакова для обоих углов; вам просто нужно выбрать один.

Синус 60° и 120° один и тот же, 0,866

Формула с использованием диагоналей

Помните, что диагонали ромба всегда пересекаются пополам под прямым углом и друг друга. Это означает, что две диагонали образуют две стороны квадрата, который в два раза больше ромба.

Вы можете найти площадь ромба в квадратных единицах, умножив длины двух диагоналей (d1{d}_{1}d1​ и d2{d}_{2}d2​) и разделив на два.

Если бы у нашего ромба были размеры только диагоналей, мы бы использовали эту формулу.

Пример:

Если бы диагонали нашего ромба были равны 24 и 18 метров в длину, то чтобы найти площадь этого ромба, мы подставили бы числа в нашу формулу.

Перемножаем две диагонали:

Тогда получаем ответ:

Итог урока

Вы рассмотрели, что такое ромб, как он вписывается в семейство четырехугольников, каковы его различные части и как найти его площадь .

Объяснение урока: Площадь ромба

В этом объяснителе мы научимся находить площадь ромба с помощью длины его диагоналей.

Напомним, что ромбом называется любой четырехугольник, у которого все четыре стороны равны длина. Поскольку ромб также является параллелограммом, его площадь можно вычислить из длину его основания и высоту перпендикуляра по формуле площадь=𝑏ℎ.

Альтернативная формула площади ромба, которую мы здесь выводим, вместо этого использует длины его диагоналей. Диагонали любого параллелограмма делят единицу пополам. другое, но дополнительное свойство диагоналей ромба состоит в том, что они перпендикулярны, как показано на рисунке ниже.

Рассмотрим диагональ 𝐵𝐷, которая делит ромб на конгруэнтные треугольники 𝐴𝐵𝐷 ​​и 𝐶𝐵𝐷. Поскольку треугольники равны, каждая их площадь равна половина площади ромба. Эквивалентно, мы можем утверждать, что площадь ромбаплощадьтреугольника𝐴𝐵𝐶𝐷=2×𝐴𝐵𝐷.

Предположим также, что длины диагоналей равны 𝑑 и 𝑑 единиц, как показано на рисунке ниже.

Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐷 можно рассчитать по формуле площадьтреугольника=12𝑏ℎ, где 𝑏 представляет основание треугольника и ℎ представляет перпендикулярную высоту. Из рисунка мы определить, что основание этого треугольника равно 𝐵𝐷, длина которого 𝑑 единицы измерения. Перпендикулярная высота этого треугольника равна 𝐴𝐸. Вспоминая еще раз, что диагонали ромб делит друг друга пополам, мы известно, что 𝐴𝐸 составляет половину длины диагональ 𝐴𝐶 и поэтому имеет длину 𝑑2 ед. Следовательно, площадь треугольниковквадрата единиц𝐴𝐵𝐷=12×𝑑×𝑑2=𝑑𝑑4.

Следовательно, площадь ромба равна площадь ромбаквадрата единиц𝐴𝐵𝐶𝐷=2×𝑑𝑑4=𝑑𝑑2.

Формула: Площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагонали. Для ромба с диагоналями длины 𝑑 и 𝑑 единиц, площадь ромбаквадрата единиц = 𝑑𝑑2. 

В нашем первом примере мы применим эту формулу для вычисления площади ромб, нарисованный внутри прямоугольника.

Пример 1. Нахождение площади ромба внутри прямоугольника

На рисунке изображен ромб внутри прямоугольника. Найдите площадь ромба на два десятичных знака.

Ответ

При рассмотрении диаграммы мы видим, что каждая вершина ромба 𝑋𝑇𝑍𝑌 находится в середине одной из сторон прямоугольника. Например, вершина 𝑋 находится на середине стороны 𝐴𝐷. Мы знаем это, потому что 𝐴𝑋 и 𝑋𝐷 есть равной длины. Отсюда можно сделать вывод, что диагональ ромба 𝑋𝑍 параллелен 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶, а диагональ 𝑌𝑇 параллелен 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶.

Из этого также следует, что 𝑋𝑍=𝐴𝐵=𝐷𝐶 и 𝑌𝑇=𝐴𝐷=𝐵𝐶.

Размеры прямоугольника указаны в вопросе и, следовательно, 𝑋𝑍=15,8см и 𝑌𝑇=30,3см.

Теперь вспомним, что площадь ромба равна половине произведения длины его диагоналей: площадь ромба=𝑑𝑑2, где 𝑑 и 𝑑 — длины диагонали. В этой задаче длины диагоналей равны 30,3 см и 15,8 см, так что у нас есть площадьсм𝑋𝑇𝑍𝑌=30,3×15,82=478,742=239.37.

Кратко отметим связь между ромбом 𝑋𝑇𝑍𝑌 и прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 в предыдущем примере. Площадь любого прямоугольника равна произведению его длины на ширину, или, другими словами, произведение его размеров. В этой задаче длины диагоналей ромба равны размерам прямоугольник, а так как площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, это эквивалентно половине произведения размеры прямоугольника. Это свидетельствует о том, что площадь ромб, нарисованный внутри прямоугольника так, что каждая вершина ромба находится в середине одной из сторон прямоугольника, составляет половину площади окружающего его прямоугольника.

Теперь мы рассмотрели один пример того, как вычислить площадь заданного ромба. длины двух его диагоналей. Так же возможна работа в др. направление: если нам дана площадь ромба и длина одного из его диагоналей, мы можем вычислить длину другой диагонали, составив и решение уравнения. Зная площадь ромба, мы также можем вычислить длину одной или обеих диагоналей, если мы явно не знаем длина любого из них, но мы знаем соотношение между их длинами, как мы увидим в нашем следующем примере.

Пример 2. Расчет длины диагонали ромба по его площади

Одна диагональ ромба в два раза длиннее другой диагонали. Если площадь ромба 81 квадратный миллиметр, какова длина диагоналей?

Ответ

Напомним, что площадь ромба равна половине произведения длин его его диагонали 𝑑 и 𝑑: area=𝑑𝑑2.

Пусть длина меньшей диагонали равна 𝑑. Так как другая диагональ в два раза больше первой, имеем 𝑑=2𝑑. Таким образом, мы можем сформировать уравнение, подставив 𝑑=2𝑑 в приведенную выше формулу и установив это выражение, равное известной площади: 𝑑×(2𝑑)2=81. 

Упрощение выражения в левой части за счет сокращения коэффициента 2 дает 𝑑=81.

Мы находим 𝑑 путем извлечения квадратного корня из каждой части уравнения, принимая только положительное значение, поскольку 𝑑 представляет длину: 𝑑=√81=9.мм

Мы нашли длину меньшей диагонали 𝑑 быть 9 мм. Вторая диагональ в два раза длиннее, поэтому имеем 𝑑=2𝑑=2×9=18.мм

Длины диагоналей данного ромба равны 9мм и 18 мм.

В нашем следующем примере мы решим задачу с ромбом и квадратом которые имеют одинаковую площадь. Зная периметр квадрата и длину одной диагонали ромба вычислим длину другая диагональ ромба.

Пример 3. Нахождение длины диагонали ромба по длине другой диагонали и фигуре с одинаковой площадью

Ромб и квадрат имеют одинаковую площадь. Если периметр квадрата 44 и одна из диагоналей ромба равна 10, какой длины другая диагональ, до двух знаков после запятой?

Ответ

Чтобы связать две фигуры, нам нужно найти значение или выражение для каждой из их областей, которые, как нам говорят, равны. Позволять Начнем с рассмотрения квадрата.

Нам дано, что периметр квадрата равен 44 единицам. Мы помним, что периметр фигуры — это расстояние вокруг ее края. В случае квадрат, у которого четыре равные стороны по 𝑠 единиц длины, периметр равен равно 4𝑠. Установка этого выражения равным 44 дает уравнение, которое можно решить, чтобы определить длину стороны квадрата: 4𝑠=44𝑠=11.единиц

Площадь квадрата можно рассчитать по длине его стороны с помощью формула площадь квадрата=𝑠. Замена 𝑠=11 дает площадь квадратовквадратных единиц = 11 = 121.

Теперь мы знаем, что площадь ромба также равна 121 кв. Напомним, что площадь одного ромб равен половине произведения длин его диагоналей 𝑑 и 𝑑: площадь ромба=𝑑𝑑2.

Нам дано, что одна диагональ имеет длину 10 единиц, поэтому мы можем составить уравнение: 10×𝑑2=121.

Чтобы решить это уравнение для 𝑑, мы сначала упростим в левой части, уменьшив коэффициент 2: 5𝑑=121. 

Затем мы делим каждую часть уравнения на 5, чтобы получить 𝑑=1215=24,2.

С точностью до двух знаков после запятой длина другой диагонали ромба равна 24,20 ед.

В предыдущем примере мы использовали наши знания о том, как вычислить площадь квадрат по длине его стороны. Однако квадрат на самом деле является особым типом ромба, у которого две диагонали имеют одинаковую длину. Предположим, что каждая диагональ квадрата имеет длину 𝑑 единиц. Используя формулу площади ромба, площадь квадрата равна половине произведения длин его диагонали, ведущие к площадь квадрата=𝑑×𝑑2=𝑑2.

Формула: площадь квадрата

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали. Для квадрата с диагональю длины 𝑑 единиц, areaofsquasquareunits=𝑑2.

В нашем следующем примере мы рассмотрим, как найти длину диагонали шахматной доске, сначала рассмотрев взаимосвязь между площадью и диагонали меньших квадратов, из которых состоит шахматная доска.

Пример 4. Нахождение длины диагонали квадрата по его площади

Учитывая, что площадь каждой клетки на шахматной доске равна 81 см ² , найдите длину диагонали шахматной доски.

Ответ

Шахматная доска состоит из 64 равных квадратов, расположенных в 8 рядов. из 8. Заметим, что длина диагонали шахматной доски, которую мы будет обозначать 𝐷, равно 8-кратной длине диагонали каждого отдельного квадрата, который мы будем обозначать через 𝑑: 𝐷=8𝑑.

Нам известно, что площадь каждой клетки на шахматной доске равна 81 см ² . Мы вспоминаем и что площадь квадрата можно вычислить по длине его диагональ 𝑑 по формуле areaofsquare=𝑑2.

Следовательно, мы имеем 𝑑2=81.

Чтобы найти 𝑑, мы начнем с умножения каждой стороны этого уравнение на 2, что приводит к 𝑑=162.

Затем извлекаем квадратный корень и упрощаем радикал, что дает 𝑑=√162=√81×2=√81×√2=9√2. cm

Наконец, мы можем вычислить длину диагонали шахматную доску (𝐷), вспомнив, что 𝐷=8𝑑. Следовательно, 𝐷=8×9√2=72√2.cm

В предыдущем примере альтернативный подход состоял бы в том, чтобы

• вычислить длину стороны каждого из меньших квадратов, вспомнив, что areaofsquare=𝑠,
• вычислить длину диагонали каждой из меньших квадратов по теореме Пифагора,
• умножьте это на 8, чтобы получить длину диагонали шахматная доска.

Несмотря на то, что это совершенно правильный метод, он включает такое же количество шагов к методу, который мы представили, поэтому он не более или менее эффективен.

В нашем последнем примере мы найдем разницу между площадями квадрат и ромб, каждый из которых рассчитывается с использованием длин их диагоналей.

Пример 5. Нахождение площадей квадрата и ромба по диагоналям

Определить разность площадей квадрата с диагональю 10 см и ромб с диагоналями 2см и 12 см.