Координата y материальной точки изменяется с течением времени: Координата материальной точки изменяется с течением времени согласно уравнению x(t) = 10

O При движении материальной точки М ее координаты X, Y, Z и радиус

OПоэтому для задания закона движения м.т. необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех трех ее координат от времени:

(1)

либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки

(2)

Три скалярных уравнения (1) или эквивалентное им одно векторное уравнение (2) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

OТраекторией материальной точки называется линия, описываемая в пространстве этой точкой при ее движении. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения точки.

OДлина пути (∆s) . Длиной пути материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.

O Вектор перемещения мат.

точки за время от до

OПри прямолинейном движении вектор

перемещения совпадает с

соответствующим участком траектории.

OДля характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую величину — скорость, определяющую как быстроту движения, так и направление движения в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по
O криволинейной
траектории МN так, что в момент времени t она
находится в точке М, а в момент времени
в т. N. Радиус-векторы точек М и N соответственно
равны
и , а длина дуги МN равна	(рис.1.3).

O Вектором средней скорости точки в интервале времени от t до t+Δt называют отношение приращения радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его величине t :

OВектор средней скорости направлен также, как вектор перемещения , т.е. вдоль хорды МN.

OВ случае прямолинейного движения с

неизменной по направлению скоростью

OМгновенная скорость или скорость в данный момент

времени.

O В процессе уменьшения величины точка N приближается к точке М, и хорда МN, поворачиваясь вокруг точки М, в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор и скорость v движущейся точки направлены по касательной траектории в сторону движения.

OЗакон сложения скоростей.

OЕсли материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то

результирующее перемещения в соответствии с законом независимости движения, равно векторной (геометрической) сумме элементарных перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности:

Таким образом, скорость результирующего движения равна геометрической сумме скоростей

всех движений, в которых участвует материальная точка, (это положение носит название закона сложения скоростей).

OУскорение характеризует быстроту изменения

скорости, т.е. изменение величины скорости за единицу времени.

OВектор среднего ускорения. Отношение


приращения скорости		к промежутку
времени	в течение которого

произошло это приращение, выражает

среднее ускорение:

Вектор, среднего ускорения совпадает по направлению с вектором .

§2.5 Векторные характеристики движения материальной точки

Положение точки в пространстве можно задать с помощью вектора, соединяющего начало координат с данной точкой — такой вектор называется

радиус-вектором точки, мы будем обозначать его символом r>. Очевидно, что координаты этого вектора, совпадают с координатами точки (x,y,z) , поэтому мы оставим эти обозначения и для координат радиус-вектора.

Если тело изменяет свое положение в пространстве, то его радиус-вектор будет изменяться с течением времени, то есть станет функцией времени. Зависимость радиус-вектора от времени r(t) r>(t) будет являться законом движения.

Изменение положения в векторной форме удобно описывать с помощью вектора перемещения S> — вектора, соединяющего начальное r>0 и конечное положение r>1 движущейся точки.

Вектор перемещения равен разности радиус-векторов конечного и начального положения (см. рис.10)

Отношение изменения радиус-вектора к промежутку времени, за который это изменение произошло, называется средним вектором скорости (или просто средней скоростью)

Если промежуток времени, за который измеряется изменения радиус-вектора, сделать очень малым (предельно малым), то вектор средней скорости перейдет вектор мгновенной скорости.

Это определение является наиболее общим определением скорости. Заметим, что при постоянном векторе скорости тела его траекторией обязательно является прямая линия.

Выясним, как направлен вектор мгновенной скорости по отношению к произвольной траектории движения материальной точки. Пусть тело (которое мы считаем материальной точкой) переместилось за промежуток времени t по некоторой траектории из точки A0 в точку A1 (см. рис.11). Вектор средней скорости совпадает по направлению с вектором перемещения S1 > S2 . При уменьшении рассматриваемого промежутка времени t точка A1 будет находиться все ближе к точке A0, соответственно, будет изменяться и вектор перемещения, при t > 0 вектор перемещения будет стремиться к касательной к траектории, поэтому вектор мгновенной скорости направлен вдоль касательной к траектории.

Вектором ускорения a> называется отношение изменения вектора скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, при стремлении этого промежутка к нулю.

Подчеркнем, что в данном определении ускорения фигурирует изменение вектора скорости — а вектор может изменяться как по величине, так и по направлению. Следовательно, непрямолинейное (криволинейное) движение тела обязательно является движением с ускорением (так как изменяется направление вектора скорости).

Коротко о главном:

Если тело изменяет свое положение в пространстве, то его радиус-вектор будет изменяться с течением времени, то есть станет функцией времени. Зависимость радиус-вектора от времени r(t) r>(t) будет являться законом движения. Изменение положения в векторной форме удобно описывать с помощью вектора перемещения S> — вектора, соединяющего начальное r>0 и конечное положение r>1 движущейся точки. Вектор перемещения равен разности радиус-векторов конечного и начального положения

Контрольные вопросы:

1.Что такое радиус-вектор точки?

2.Что такое средний вектор скорости?

3.В чем заключается сущность закона движения для радиус-вектора?

Карта механики — кинематика частиц в двухмерных прямоугольных координатах

Двумерное движение (также называемое плоскостным движением) — это любое движение, при котором анализируемые объекты остаются в одной плоскости. При анализе такого движения мы должны сначала решить, какую систему координат мы хотим использовать. Наиболее распространенными вариантами в инженерии являются прямоугольные системы координат, нормально-тангенциальные системы координат и полярные системы координат. Любое плоское движение потенциально может быть описано с помощью любой из трех систем, хотя у каждого выбора есть потенциальные преимущества и недостатки.

Прямоугольная система координат (также иногда называемая декартовой системой координат) является наиболее интуитивно понятным подходом к описанию движения. В прямоугольных системах координат у нас есть оси x и y. Эти оси остаются привязанными к некоторой исходной точке в окружающей среде и не меняются со временем. Вместо этого тела, которые мы анализируем, обычно движутся относительно этих фиксированных осей. Пример тела с прямоугольной системой координат показан на рисунке ниже.

В прямоугольной системе координат у нас есть фиксированная исходная точка o, частица в точке p и направления x и y, которые должны быть перпендикулярны друг другу.

Вектор r — это вектор, идущий от o к p. Компонент этого вектора в направлении x равен x, а компонент этого вектора в направлении y равен y. Обычно мы описываем положение с точки зрения x и y в любой данный момент времени. Векторы i и j представляют собой единичные векторы (векторы с длиной, равной единице) в направлениях x и y соответственно.

Прямоугольные координаты лучше всего подходят для систем, где все силы сохраняют постоянное направление . Наиболее распространенным примером этого является движение снаряда, когда гравитация (единственная сила в этих системах) поддерживает постоянное направление вниз. Примером системы, в которой силы меняют направление с течением времени, может быть что-то вроде автомобиля, движущегося по повороту дороги. В этом случае сила трения на шинах будет вращаться вместе с автомобилем. Таким образом, задача об автомобиле лучше подходит для использования нормально-тангенциальной или полярной системы координат.

При описании положения точки в прямоугольной системе координат мы начнем с описания координат x и y в векторной форме.

Для этого значения x и y представляют расстояния, а единичные векторы i и j используются для указания того, какое расстояние соответствует какому направлению. Это может показаться излишним, но помните, что при решении реальных задач x и y будут просто числами.

Должность:	\[r_{p/o}(t)=x(t)\шляпа{i}+y(t)\шляпа{j}\]

Как и в случае с одномерными задачами, если мы возьмем производную уравнения положения, мы найдем уравнение скорости. Если мы возьмем производную уравнения скорости, мы получим уравнение ускорения. Также, как и в одномерных задачах, мы можем использовать интегрирование для движения в другом направлении, переходя от уравнений ускорения к уравнению скорости и к уравнению положения.

Единичные векторы добавляют новый элемент в двух измерениях, но поскольку орты не меняются со временем (т. е. константы), мы обращаемся с ними так же, как с любой другой константой для производных и интегралов. Полученные уравнения скорости и ускорения выглядят следующим образом.

Скорость:	\[v(t)=\dot{x}(t)\hat{i}+\dot{y}(t)\hat{j}\]
Ускорение:	\[a(t)=\ddot{x}(t)\hat{i}+\ddot{y}(t)\hat{j}\]

Вышеупомянутые уравнения являются векторными уравнениями со скоростями и ускорениями, разбитыми на компоненты x и y. Поскольку направления x и y перпендикулярны, они также независимы (движение в направлении x не влияет на движение в направлении y и наоборот). По сути, это означает, что мы можем разделить наше векторное уравнение на набор двух скалярных уравнений. Для этого мы просто помещаем все перед единичными векторами i в уравнениях x и все перед единичными векторами j в уравнениях y.

Должность:	\[х(т)=…\]	\[у(т)=…\]
Скорость:	\[\точка{х}(т)=. ..\]	\[\точка{у}(т)=…\]
Ускорение:	\[\ddot{x}(t)=…\]	\[\ddot{y}(t)=…\]

Как только мы разделим все на направления x и y, мы можем просто использовать те же процессы, которые мы использовали для одномерного движения, чтобы двигаться от x к точке x, к двойной точке x и от y к точке y, к у двойная точка. Переменная, связывающая два уравнения, — это время t или время в обоих уравнениях x и y.

2.3 Графики положения и времени

Цели обученияПостроение графика зависимости положения от времениУчебные задачиПроверьте свое понимание

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

Объяснять значение наклона на графиках зависимости положения от времени
Решение задач с использованием графиков положения и времени

«>

Ключевые термины раздела
зависимая переменная	независимая переменная	тангенс

Положение на графике как функция времени

График, как и картинка, стоит тысячи слов. Графики не только содержат числовую информацию, они также показывают отношения между физическими величинами. В этом разделе мы исследуем кинематику, анализируя графики положения во времени.

Графики в этом тексте имеют перпендикулярные оси, одна горизонтальная, а другая вертикальная. Когда две физические величины нанесены друг против друга, горизонтальная ось обычно считается независимой переменной, а вертикальная ось — зависимой переменной. В алгебре вы бы назвали горизонтальную ось цифрой 9.0107 x -ось и вертикальная ось как y -ось. Как и на рис. 2.11, линейный график имеет общий вид y=mx+by=mx+b.

Здесь м – уклон, определяемый как подъем, деленный на длину (как видно на рисунке) прямой. Буква b — это точка пересечения y , точка пересечения прямой с вертикальной осью y . С точки зрения физической ситуации в реальном мире эти величины приобретут особое значение, как мы увидим ниже. (Рисунок 2.11.)

Рисунок 2.11 На диаграмме показан линейный график. Уравнение прямой линии y равно m x + b .

В физике время обычно является независимой переменной. Говорят, что другие величины, такие как смещение, зависят от него. Таким образом, график зависимости положения от времени будет иметь положение на вертикальной оси (зависимая переменная) и время на горизонтальной оси (независимая переменная). В этом случае к какому бы наклону и y -ссылка на перехват? Давайте вернемся к нашему исходному примеру при изучении расстояния и смещения.

Дорога в школу находилась в 5 км от дома. Предположим, что поездка заняла 10 минут, и ваш родитель все это время ехал с постоянной скоростью. График зависимости положения от времени для этого участка пути будет выглядеть так, как показано на рисунке 2.12.

Рис. 2.12 Показан график зависимости местоположения от времени для поездки в школу. Как бы выглядел график, если бы мы добавили обратный путь?

Как мы уже говорили, d ₀ = 0, потому что мы называем домом наше O и начинаем вычисления оттуда. На рис. 2.12 линия также начинается с d = 0. Это b в нашем уравнении для прямой линии. Нашей начальной позицией на графике зависимости положения от времени всегда является место, где график пересекает ось x в точке t = 0. Каков наклон? Подъем — это изменение положения (т. е. смещение) и прогон это изменение времени. Это отношение также можно записать

2.4ΔdΔt.ΔdΔt.

Это соотношение было тем, как мы определили среднюю скорость. Следовательно, наклон графика d по сравнению с t представляет собой среднюю скорость.

Советы по достижению успеха

Иногда, как в случае, когда мы наносим на график и поездку в школу, и обратную дорогу, поведение графика выглядит по-разному в разные промежутки времени. Если график выглядит как серия прямых линий, то вы можете рассчитать среднюю скорость для каждого временного интервала, глядя на наклон. Если затем вы хотите рассчитать среднюю скорость за всю поездку, вы можете сделать средневзвешенное значение.

Давайте посмотрим на другой пример. На рис. 2.13 показан график зависимости положения автомобиля с реактивным двигателем от времени на очень плоском высохшем дне озера в Неваде.

Рисунок 2.13 На диаграмме показан график зависимости положения автомобиля с реактивным двигателем от времени на соляных равнинах Бонневилля.

Используя взаимосвязь между зависимыми и независимыми переменными, мы видим, что наклон на графике на рис. 2.13 представляет собой среднюю скорость, v _avg, а точка пересечения представляет собой перемещение в нулевое время, то есть д ₀ . Подстановка этих символов в y = m x + b дает

2.5d=vt+d0d=vt+d0

или

2.6d=d0+vt.d=d0+vt.

Таким образом, график зависимости положения от времени дает общую взаимосвязь между перемещением, скоростью и временем, а также предоставляет подробную числовую информацию о конкретной ситуации. Из рисунка видно, что автомобиль занимает позицию 400 м при т = 0 с, 650 м при t = 1,0 с и так далее. И мы также можем узнать о скорости объекта.

Snap Lab

График движения

В этом упражнении вы отпустите мяч вниз по пандусу и построите график смещения мяча в зависимости от времени.

Меры предосторожности

Выберите открытое место с большим пространством для раскладывания, чтобы было меньше шансов споткнуться или упасть из-за катящихся шаров.

Материалы

1 шарик
1 доска
2 или 3 книги
1 секундомер
1 рулетка
6 шт. малярной ленты
1 лист миллиметровой бумаги
1 карандаш

Процедура

Постройте пандус, поместив один конец доски поверх стопки книг. При необходимости отрегулируйте местоположение до тех пор, пока на пути прямой линии от нижней части пандуса до следующих 3 м не будет препятствий.
Отметьте расстояния 0,5 м, 1,0 м, 1,5 м, 2,0 м, 2,5 м и 3,0 м от нижней части пандуса. Запишите расстояния на ленте.
Пусть один человек возьмет на себя роль экспериментатора. Этот человек выпустит мяч с вершины рампы. Если мяч не достигает отметки 3,0 м, увеличьте наклон пандуса, добавив еще одну книгу. Повторяйте этот шаг по мере необходимости.
Попросите экспериментатора отпустить мяч. Попросите второго человека, таймера, начать отсчет времени, как только мяч достигнет нижней части пандуса, и остановить отсчет времени, когда мяч достигнет 0,5 м. Попросите третьего человека, регистратора, записать время в таблицу данных.
Повторите шаг 4, остановив время на расстоянии 1,0 м, 1,5 м, 2,0 м, 2,5 м и 3,0 м от нижней части пандуса.
Используйте свои измерения времени и смещения, чтобы построить график зависимости положения от времени движения мяча.
Повторите шаги с 4 по 6, при этом разные люди берут на себя роли экспериментатора, таймера и записывающего устройства. Получаете ли вы одинаковые значения измерений независимо от того, кто выпускает мяч, измеряет время или записывает результат? Обсудите возможные причины расхождений, если таковые имеются.

Проверка захвата

Верно или неверно: средняя скорость мяча будет меньше средней скорости мяча.

Правда
Ложь

Решение проблем с использованием графиков зависимости положения от времени

Итак, как мы можем использовать графики для решения вещей, которые мы хотим знать, таких как скорость?

Рабочий пример

Использование графика положение-время для расчета средней скорости: реактивный автомобиль

Найдите среднюю скорость автомобиля, положение которого показано на рис. 1.13.

Стратегия

Наклон графика d по сравнению с t представляет собой среднюю скорость, поскольку наклон равен превышению над пробегом.

2.7slope =ΔdΔt=vslope =ΔdΔt=v

Поскольку здесь наклон является постоянным, для его определения можно использовать любые две точки на графике.

Решение

Выберите две точки на прямой. В этом случае выбираем точки, отмеченные на графике: (6,4 с, 2000 м) и (0,50 с, 525 м). (Обратите внимание, однако, что вы можете выбрать любые две точки.)
Подставьте значения d и t выбранных точек в уравнение. Помните, что при расчете изменения (Δ) мы всегда используем конечное значение минус начальное значение.
2,8v=ΔdΔt=2000 м-525 м6,4 с-0,50 с=250 м/с, v=ΔdΔt=2000 м-525 м6,4 с-0,50 с=250 м/с,

Обсуждение

Это впечатляюще высокая скорость на суше (900 км/ч, или около 560 миль/ч): намного больше, чем типичный предел скорости на шоссе в 27 м/с или 96 км/ч, но значительно меньше рекорд 343 м/с или 1234 км/ч, установленный в 1997.

А что, если график позиции сложнее прямой линии? Что, если объект ускорится или развернется и пойдет назад? Можем ли мы узнать что-нибудь о его скорости из графика такого движения? Давайте еще раз посмотрим на автомобиль с реактивным двигателем. График на рис. 2.14 показывает его движение по мере того, как он набирает скорость после старта из состояния покоя. Время для этого движения начинается с нуля (как если бы его измеряли секундомером), а перемещение и скорость изначально равны 200 м и 15 м/с соответственно.

Рис. 2.14 На диаграмме представлен график положения автомобиля с реактивным двигателем в течение промежутка времени, когда он разгоняется. Наклон графика зависимости расстояния от времени — это скорость. Это показано в двух точках. Мгновенная скорость в любой точке равна наклону касательной в этой точке.

Рис. 2.15 Реактивный автомобиль ВВС США мчится по рельсам. (Мэтт Тростл, Flickr)

График зависимости положения от времени на рис. 2.14 представляет собой кривую, а не прямую линию. Наклон кривой становится круче с течением времени, показывая, что скорость увеличивается с течением времени. Наклон в любой точке графика зависимости положения от времени представляет собой мгновенную скорость в этой точке. Его находят, проводя прямую линию, касающуюся кривой в интересующей точке, и измеряя наклон этой прямой. Касательные линии показаны для двух точек на рисунке 2.14. Средняя скорость равна чистому перемещению, деленному на пройденное время.

Рабочий пример

Использование графика положение-время для расчета средней скорости: реактивный автомобиль, дубль два

Рассчитайте мгновенную скорость реактивного автомобиля за 25 с, найдя наклон касательной в точке Q на этом рисунке. .

Стратегия

Наклон кривой в точке равен наклону прямой, касательной к кривой в этой точке.

Решение

Найдите касательную к кривой в момент времени t=25 st=25 с.
Определите конечные точки касательной. Они соответствуют положению на 1300 м в момент времени 19 с и положению на 3120 м в момент времени 32 с.
Подставьте эти конечные точки в уравнение для определения наклона v .
2,9уклон=vQ=ΔdQΔtQ=(3120−1300) м(32−19) с=1820 м13 с=140 м/суклон=vQ=ΔdQΔtQ=(3120−1300) м(32−19) с=1820 м13 с =140 м/с

Обсуждение

Полный график v против t может быть получен таким образом.

Практические задачи

Рисунок 2.16

Рассчитайте среднюю скорость объекта, показанного на графике ниже, за весь интервал времени.

0,25 м/с
0,31 м/с
3,2 м/с
4,00 м/с

Верно или неверно: взяв наклон кривой на графике, вы можете убедиться, что скорость реактивного автомобиля составляет 115 м/с при t = 20 с.

Правда
Ложь

Проверьте свое понимание

Упражнение 9

Какую из следующих сведений о движении можно определить, глядя на график зависимости положения от времени, который представляет собой прямую линию?

система отсчета
среднее ускорение
скорость
направление приложенной силы

Упражнение 10

Верно или неверно: график зависимости положения от времени ускоряющегося объекта представляет собой прямую линию.