Задание № 13. Укажите номера верных утверждений

1. Задание № 13

Укажите номера
верных утверждений.

2. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
1)
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
2)
В любом параллелограмме диагонали точкой
пересечения делятся пополам.
• 3)
• Точка, лежащая на серединном
перпендикуляре к отрезку, равноудалена от
концов этого отрезка.

3. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Вокруг любого треугольника можно описать
окружность.
• 2)
• Если в параллелограмме диагонали равны и
перпендикулярны, то этот параллелограмм —
квадрат.
• 3)
• Площадь трапеции равна произведению средней
линии на высоту.

4. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если при пересечении двух прямых третьей
прямой накрест лежащие углы равны, то
прямые параллельны.
• 2)
• Диагональ трапеции делит её на два равных
треугольника.
• 3)
• Квадрат диагонали прямоугольника равен
сумме квадратов двух его смежных сторон.

5. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Каждая из биссектрис равнобедренного
треугольника является его медианой.
• 2)
• Диагонали прямоугольника равны.
• 3)
• У любой трапеции боковые стороны равны.

6. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Существует квадрат, который не является
прямоугольником.
• 2)
• Если два угла треугольника равны, то равны и
противолежащие им стороны.
• 3)
• Внутренние накрест лежащие углы,
образованные двумя параллельными
прямыми и секущей, равны.

7. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Центры вписанной и описанной окружностей
равнобедренного треугольника совпадают.
• 2)
• Существует параллелограмм, который не
является прямоугольником.
• 3)
• Сумма углов тупоугольного треугольника
равна 180°.

8. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если три стороны одного треугольника
пропорциональны трём сторонам другого
треугольника, то треугольники подобны.
• 2)
• Сумма смежных углов равна 180°.
• 3)
• Любая высота равнобедренного треугольника
является его биссектрисой.

9. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Каждая из биссектрис равнобедренного
треугольника является его высотой.
• 2)
• Диагонали прямоугольника равны.
• 3)
• У любой трапеции основания параллельны.

10. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Две окружности пересекаются, если радиус одной
окружности больше радиуса другой окружности.
• 2)
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой
внутренние накрест лежащие углы равны, то эти
прямые параллельны.
• 3)
• У равнобедренного треугольника есть центр
симметрии.

11. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Через точку, не лежащую на данной прямой,
можно провести прямую, перпендикулярную
этой прямой .
• 2)
• Треугольник со сторонами 1, 2, 4 не
существует.
• 3)
• Сумма квадратов диагоналей прямоугольника
равна сумме квадратов всех его сторон.

12. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если при пересечении двух прямых третьей
прямой накрест лежащие углы равны, то
прямые параллельны.
• 2)
• Диагональ трапеции делит её на два равных
треугольника.
• 3)
• Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой
ромб — квадрат.

13. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Вокруг любого треугольника можно описать
окружность.
• 2)
• Если при пересечении двух прямых третьей
прямой сумма внутренних односторонних
углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
• 3)
• Площадь треугольника не превышает
произведения двух его сторон.

14. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Против большей стороны треугольника лежит
меньший угол.
• 2)
• Любой квадрат можно вписать в окружность.
• 3)
• Площадь трапеции равна произведению
средней линии на высоту.

15. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Через точку, не лежащую на данной прямой,
можно провести прямую, параллельную этой
прямой.
• 2)
• Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
• 3)
• Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой
ромб — квадрат.

16. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• У равнобедренного треугольника есть ось
симметрии.
• 2)
• Если в параллелограмме диагонали равны и
перпендикулярны, то этот параллелограмм —
квадрат.
• 3)
• Две окружности пересекаются, если радиус одной
окружности больше радиуса другой окружности.

17. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Против большей стороны треугольника лежит
больший угол.
• 2)
• Любой прямоугольник можно вписать в
окружность.
• 3)
• Площадь треугольника меньше произведения
двух его сторон.

18. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если три угла одного треугольника
соответственно равны трём углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
• 2)
• В любом прямоугольнике диагонали взаимно
перпендикулярны.
• 3)
• У равностороннего треугольника есть центр
симметрии.

19. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Через две различные точки на плоскости проходит
единственная прямая.
• 2)
• Центром вписанной в треугольник окружности
является точка пересечения его биссектрис.
• 3)
• Если гипотенуза и острый угол одного
прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и углу другого прямоугольного
треугольника, то такие треугольники равны.

20. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• На плоскости существует единственная точка,
равноудалённая от концов отрезка.
• 2)
• В любой треугольник можно вписать
окружность.
• 3)
• Если в параллелограмме две смежные
стороны равны, то такой параллелограмм
является ромбом.

21. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если две стороны одного треугольника
соответственно равны двум сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
• 2)
• Если в четырёхугольнике диагонали
перпендикулярны, то этот четырёхугольник —
ромб.
• 3)
• Площадь круга меньше квадрата длины его
диаметра.

22. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• На плоскости существует единственная точка,
равноудалённая от концов отрезка.
• 2)
• Центром вписанной в треугольник окружности
является точка пересечения его биссектрис.
• 3)
• Если гипотенуза и острый угол одного
прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и углу другого прямоугольного
треугольника, то такие треугольники равны.

23. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если две стороны одного треугольника
соответственно равны двум сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
• 2)
• Площадь круга меньше квадрата длины его
диаметра.
• 3)
• Если в четырёхугольнике диагонали
перпендикулярны, то этот четырёхугольник —
ромб.

24. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если три угла одного треугольника соответственно
равны трём углам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
• 2)
• В любой четырёхугольник можно вписать
окружность.
• 3)
• Центром описанной окружности треугольника
является точка пересечения серединных
перпендикуляров к его сторонам.

25. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Площадь квадрата равна произведению его
диагоналей.
• 2)
• Если две различные прямые на плоскости
перпендикулярны третьей прямой, то эти две
прямые параллельны.
• 3)
• Вокруг любого параллелограмма можно
описать окружность.

26. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой
внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти
две прямые параллельны.
• 2)
• В любой треугольник можно вписать окружность.
• 3)
• Если в параллелограмме две смежные стороны
равны, то такой параллелограмм является ромбом.

27. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Через две различные точки на плоскости
проходит единственная прямая.
• 2)
• В любом прямоугольнике диагонали взаимно
перпендикулярны.
• 3)
• У равностороннего треугольника три оси
симметрии.

28. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой
внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти
две прямые параллельны.
• 2)
• В любой четырёхугольник можно вписать
окружность.
• 3)
• Центром окружности, описанной около
треугольника, является точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника.

29. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Любой параллелограмм можно вписать в
окружность.
• 2)
• Если две различные прямые на плоскости
перпендикулярны третьей прямой, то эти две
прямые параллельны.
• 3)
• Точка пересечения двух окружностей
равноудалена от центров этих окружностей.

30. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы, образованные этими
сторонами, равны, то треугольники подобны.
• 2)
• Смежные углы равны.
• 3)
• Медиана равнобедренного треугольника,
проведённая к его основанию, является его
высотой.

31. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Биссектриса равнобедренного треугольника,
проведённая из вершины, противолежащей
основанию, делит основание на две равные части.
• 2)
• В любом прямоугольнике диагонали взаимно
перпендикулярны.
• 3)
• Для точки, лежащей на окружности, расстояние до
центра окружности равно радиусу.

32. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Биссектриса равнобедренного треугольника,
проведённая из вершины, противолежащей
основанию, перпендикулярна основанию.
• 2)
• Диагонали ромба точкой пересечения делятся
пополам.
• 3)
• Из двух хорд окружности больше та, середина
которой находится дальше от центра окружности.

33. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Медиана равнобедренного треугольника,
проведённая из вершины, противолежащей
основанию, перпендикулярна основанию.
• 2)
• Диагонали любого прямоугольника делят его
на 4 равных треугольника.
• 3)
• Для точки, лежащей внутри круга, расстояние
до центра круга меньше его радиуса.

34. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Центр описанной окружности
равнобедренного треугольника лежит на
высоте, проведённой к основанию
треугольника.
• 2)
• Квадрат является прямоугольником.
• 3)
• Сумма углов любого треугольника равна 180°.

35. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если угол острый, то смежный с ним угол
также является острым.
• 2)
• Диагонали квадрата взаимно
перпендикулярны.
• 3)
• В плоскости все точки, равноудалённые от
заданной точки, лежат на одной окружности.

36. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Медиана равнобедренного треугольника,
проведённая из вершины угла, противолежащего
основанию, делит этот угол пополам.
• 2)
• Не существует прямоугольника, диагонали которого
взаимно перпендикулярны.
• 3)
• В плоскости для точки, лежащей вне круга,
расстояние до центра круга больше его радиуса.

37. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если три угла одного треугольника равны трем
углам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
• 2)
• Сумма смежных углов равна 180°.
• 3)
• Любая медиана равнобедренного
треугольника является его биссектрисой.

38. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
1)
Любой квадрат является ромбом.
2)
Против равных сторон треугольника лежат
равные углы.
• 3)
• Через любую точку, лежащую вне окружности,
можно провести две касательные к этой
окружности.

39. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Существует прямоугольник, который не
является параллелограммом.
• 2)
• Треугольник с углами 40°,70°,70° —
равнобедренный.
• 3)
• Если из точки M проведены две касательные к
окружности и А и В — точки касания, то
отрезки MA и MB равны.

40. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если два угла одного треугольника равны двум
углам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
• 2)
• Вертикальные углы равны.
• 3)
• Любая биссектриса равнобедренного
треугольника является его медианой.

41. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Центр вписанной окружности
равнобедренного треугольника лежит на
высоте, проведённой к основанию
треугольника.
• 2)
• Ромб не является параллелограммом.
• 3)
• Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°.

42. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Центры вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника совпадают.
• 2)
• Существует квадрат, который не является
ромбом.
• 3)
• Сумма углов остроугольного треугольника
равна 180°.

43. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Существует ромб, который не является
квадратом.
• 2)
• Если две стороны треугольника равны, то
равны и противолежащие им углы.
• 3)
• Касательная к окружности параллельна
радиусу, проведённому в точку касания.

44. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.
• 1)
• Если один из углов треугольника прямой, то
треугольник прямоугольный.
• 2)
• Диагонали квадрата точкой пересечения
делятся пополам.
• 3)
• Точка, равноудалённая от концов отрезка,
лежит на серединном перпендикуляре к этому
отрезку.

45. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.

46. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.

47. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.

48. Укажите номера верных утверждений.

Укажите номера
верных утверждений.

Прототипы 20-ого задания из основного государственного экзамена (ОГЭ) по математике с комментариями. Выберите верные утверждения.

1. Укажите номера верных утверждений.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части. (Биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой)

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. (Только в квадрате)

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу. (Радиус — это отрезок от центра до любой точки, лежащей на окружности)

Ответ: 13

2. Укажите номера верных утверждений.

1) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают. (Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров, а центром вписанной окружности — точка пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры и биссектрисы совпадают, поэтому совпадают и центры вписанной и описанной окружностей)

2) Существует квадрат, который не является ромбом. (Естественно!)

3) Сумма углов любого треугольника равна 180°. (Одна из первых теорем, которую мы изучаем)

Ответ: 13

3. Какие из следующих утверждений верны?

1) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. (Радиус — это отрезок от центра до любой точки, лежащей на окружности)

2) Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту. (Нет, площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту)

3) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. (Используем неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем: 1+2<4…сразу видим, что длина одной стороны больше суммы двух других, продолжать проверять смысла нет. Неверно.)

Ответ: 13

4. Какие из следующих утверждений верны?

1. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Нет такого признака равенства треугольников)

2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. (почему бы и нет, попробуй)

3. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. (Радиус — это отрезок от центра до любой точки, лежащей на окружности)

Ответ: 23

5. Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. (Нет, сумма смежных углов равна 180, поэтому если один из них острый, то другой — тупой)

2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. (Одно из свойств квадрата. Забыл? Сделай рисунок)

3) В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности. (Это сильно похоже на определение окружности, так что верно)

Ответ: 23

6. Укажите номера верных утверждений.

1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны. (Один из признаков подобия)

2) Сумма смежных углов равна 180°. (Одна из первых теорем, которые мы учим по учебнику Атанасяна)

3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой. (Нет, только та, которая проведена из вершины)

Ответ: 12

7. Укажите номера верных утверждений.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. (Да, можно)

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. (Используем неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем: 1+2<4…сразу видим, что длина одной стороны больше суммы двух других, продолжать проверять смысла нет. Неверно.)

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат. (Да, т.к. противоположные углы в ромбе равны, то в этом случае никаких других углов не получится)

4) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. (Не обязательно)

Ответ: 13

8.Укажите номера верных утверждений.

1) Существует квадрат, который не является прямоугольником. (Нет; квадрат — частный случай прямоугольника)

2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны. (Это верно, для примера можно нарисовать равнобедренный треугольник, ведь у него есть два равных угла)

3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны. (Теорема о накрест лежащих углах)

Ответ: 23

9. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны. (Такое может быть, если оба угла равны 45, но число 90 можно получить разными способами, поэтому неверно)

2) Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°. (да, т.к. сумма смежных углов равна 180)

3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны. (Верно, т.к. сумма односторонних должна равняться 180 при параллельных прямых)

4) Через любые три точки проходит не более одной прямой. (Если три точки не лежат на одной прямой, то никакую прямую нельзя провести; если три точки лежат на одной прямой, то можно провести одну прямую; получается, что верно)

Ответ: 234

10. Какие из следующих утверждений верны?

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны. (Теорема о вписанных углах)

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек. (Рисунок определенно тебе поможет в этом, а так — определенно неверно)

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются. (Да, тоже можно это понять с помощью рисунка)

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. (Да, т.к. вписанный угол в 2 раза меньше дуги, на которую он опирается)

Ответ: 34

11. Какие из следующих утверждений верны?

1) Через любые три точки проходит не более одной окружности. (Через три точки можно нарисовать либо одну окружность, либо ни одной. Верно.)

2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек. (Верно, рисунок в помощь)

3) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности не пересекаются. (Рисунок в помощь, неверно, окружности пересекутся)

4) Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°. (Да, т.к. вписанный угол в 2 раза меньше дуги, на которую он опирается)

Ответ: 124

12. Какие из следующих утверждений верны?

1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. (Вообще-то 360)

2) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°. (Нет, противоположные углы у параллелограмма равны)

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам. (Ага)

4) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. (Не факт, это может быть и трапеция, к примеру)

Ответ: 3

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. (Прямоугольник — частный случай параллелограмма, и у него диагонали равны, поэтому верно)

2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб. (Ромб тоже частный случай параллелограмма и его диагонали делят углы пополам. Верно)

3) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°. (Нет, такие углы являются односторонними при параллельных сторонах параллелограмма, а их сумма равна 180)

4) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°. (Да, т.к. сумма всех углов четырехугольника равна 360)

Ответ: 124

14. Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности. (Вершины треугольника лежат на окружности и соответственно несколько таких окружностей провести не получится)

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности. (Дурацкий вопрос…одну точно можно вписать, поэтому как бы верно)

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис. (Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности вообще-то)

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. (Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности)

Ответ: 12

15. Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности. (Одну точно можно, поэтому верно)

2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника. (Треугольник с такими сторонами является прямоугольным, тогда центр описанной окружности будет лежат в середине гипотенузы. Верно.)

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей. (Точно)

4) Около любого ромба можно описать окружность. (Ромб — четырехугольник. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов в этом четырехугольнике будет равна 180. Поэтому вокруг ромба можно описать окружность, если этот ромб — квадрат. Значит, неверно)

Ответ: 123

16. Какие из следующих утверждений верны?

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии. (Центр окружности является центром симметрии и он единственный)

2) Прямая не имеет осей симметрии. (Прямая имеет бесконечное множество осей симметрии, т. к. осью симметрии является перпендикуляр, проведенный через середину прямой, а т.к. прямая бесконечна, то и таких перпендикуляров можно прочертить бесконечно много)

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии. (Верно, даже рисунок прикреплю)

4) Квадрат не имеет центра симметрии. (Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей)

Ответ: 3

17. Какие из следующих утверждений верны?

1) Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии. (Верно, три оси проходят через противоположные вершины, и еще три оси проходят через середины противоположных сторон)

2) Прямая не имеет осей симметрии. (Прямая имеет бесконечное множество осей симметрии, т.к. осью симметрии является перпендикуляр, проведенный через середину прямой, а т.к. прямая бесконечна, то и таких перпендикуляров можно прочертить бесконечно много)

3) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей. (Ога)

4) Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии. (Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии и ей является прямая, содержащая его высоту, проведенную к основанию)

Ответ: 13

18. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. (Проверяем по теореме Пифагора верность равенства: 102 — 62 = 82. Верно.)

2) Любые два равнобедренных треугольника подобны. (Не)

3) Любые два прямоугольных треугольника подобны. (Тоже не, не хватает еще парочки равных углов)

4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным. (Судя по сторонам, то этот треугольник прямоугольный. А про определение вида треугольника можно почитать здесь)

Ответ: 1

19. Какие из следующих утверждений верны?

1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. (Там должен быть косинус; неверно)

2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13. (Используя теорему Пифагора проверяем равенство 52 + 122 = 132. Все верно, значит так оно и есть)

3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным. (Остроугольным треугольник будет тогда, когда квадрат его большей стороны будет меньше суммы квадратов двух других сторон. Проверяем. 72 < 52 + 62, неравенство верное, значит треугольник действительно остроугольный)

4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета. (Да, теорема Пифагора)

Ответ: 234

20. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. (Не обязательно)

2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. (Еще на 2 надо разделить)

3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10. (По формуле надо половину произведения сторон умножить на синус угла в 30 градусов. При подсчете ответ 10 там никак не получается)

4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10. (По формуле площади параллелограмма надо произведение его смежных сторон умножить на синус угла между ними. Вот тут 10 получается. Верно)

Ответ: 4

21. Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности. (Должно быть половина произведения периметра на радиус описанной окружности)

2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6. (Площадь ромба находится через половину произведения его диагоналей: (3 · 4) : 2) — 6. Верно.)

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту. (Да, причем в 2 раза)

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов. (Да, тоже в 2 раза)

Ответ: 234

22. Укажите номера верных утверждений.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. (Верно)

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. (Используем неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем: 1+2<4…сразу видим, что длина одной стороны больше суммы двух других, продолжать проверять смысла нет. Неверно.)

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат. (В точку)

4) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. (Не факт)

Ответ: 13

23. Укажите номера верных утверждений.

1) Через любую точку проходит не менее одной прямой. (И одна, и две, и три, и т.д.)

2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны. (Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны)

3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны. (Сумму, равную 90, можно получить разными способами, а при параллельных прямых накрест лежащие углы должны быть равны)

Ответ: 12

24. Укажите номера верных утверждений.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны. (Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны)

2) Через любые три точки проходит не более одной прямой. (Если точки не лежат на одной прямой, то через них проходят 0 прямых; если точки лежат на одной прямой, то через них проходит 1 прямая. Всё верно.)

3) Сумма вертикальных углов равна 180°. (Нет, вертикальные углы всего лишь равны)

Ответ: 12

25. Укажите номера верных утверждений.

1) Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований. (На сумму)

2) Через любые две точки можно провести прямую. (Можно)

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой. (Верно)

Ответ: 23

26. Укажите номера верных утверждений.

1) В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность. (В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если ее боковые стороны равны полусумме оснований, т.е. не в любую)

2) Диагональ параллелограмма делит его углы пополам. (Нее, только если этот параллелограмм квадрат, прямоугольник или ромб)

3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. (Так точно!)

Ответ: 3

27. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность. (Ну да)

2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат. (Да, квадрат — частный случай параллелограмма и у него диагонали равны и перпендикулярны)

3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. (Так и есть)

Ответ: 123

28. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. (Только та, которая проведена из вершины к основанию)

2) Диагонали прямоугольника равны. (Да)

3) У любой трапеции боковые стороны равны. (Только у равнобедренной)

Ответ: 2

29. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. (Это теорема, между прочим)

2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. (На грани фантастики)

3) Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат. (Где-то это уже было… Верно!)

Ответ: 13

30. Укажите номера верных утверждений.

1) Смежные углы равны. (Это вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180)

2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. (Параллельные не имеют)

3) Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°. (Да)

Ответ: 3

31. Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°. (Сумма смежных углов равна 180, а в этом случае получается 200)

2) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. (Да, это формулировка теоремы)

3) Через любую точку проходит ровно одна прямая. (Через любую точку можно провести бесконечно много прямых)

Ответ: 2

32. Укажите номера верных утверждений.

1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки. (Три прямые либо не имеют общей точки, либо имеют, но только одну. Верно.)

2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°. (Сумма смежных углов равна 180. Тут так не получается)

3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3. (Ага, нарисуй рисунок и убедись)

Ответ: 13

33. Укажите номера неверных утверждений.

1) При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°. (Накрест лежащие углы равны и их сумма не всегда равна 180)

2) Диагонали ромба перпендикулярны. (Да)

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис. (Это для вписанной окружности так, а не для описанной)

Ответ: 13

34. Какое из следующих утверждений верно?

1) Диагонали параллелограмма равны. (Не всегда)

2) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. (Т.к. ромб — это частный случай параллелограмма, то такая формула ему тоже подходит)

3) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. («Угол между ними» вообще-то)

Ответ: 2

35. Какие из следующих утверждений верны?

1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. (Неравенство треугольника: длина стороны должна быть меньше суммы двух других сторон)

2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые. (Только один)

3) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. (Так и есть)

Ответ: 13

36. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Нет такого признака)

2) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. (Да)

3) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. (Неравенство треугольника: длина стороны должна быть меньше суммы двух других сторон)

Ответ: 23

37. Какое из следующих утверждений верно?

1) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей. (Не)

2) В параллелограмме есть два равных угла. (Есть)

3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов. (Забыли пополам разделить)

Ответ: 2

38. Какие из следующих утверждений верны?

1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. (Да, 60 градусов — это максимальный предел для одного из углов)

2) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. (Нет)

3) Все диаметры окружности равны между собой. (Факт)

Ответ: 13

39. Какие из следующих утверждений верны?

1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. (Неоднократно было это уже. Используй неравенство треугольников)

2) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам. (180)

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности. (Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной вокруг треугольника окружности)

Ответ: 13

40. Какое из следующих утверждений верно?

1. Все углы ромба равны. (Если ромб — квадрат, то да, а так — нет)

2. Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны. (Углы-то могут быть различны. Нет)

3. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности. (Можно)

Ответ: 3

 

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

теорем о сходстве треугольников | SAS, ASA & SSS постулаты

Написано

Malcolm McKinsey

Проверили по фактам

Paul Mazzola

Triangle Mebruems (SSS, SAS, & ASA Postuldate). быть похожими или конгруэнтными. У подобных треугольников углы равны, но стороны разной длины. Конгруэнтные треугольники будут иметь полностью совпадающие углы и стороны. Их внутренние углы и стороны будут равны. Проверка конгруэнтности треугольников включает три постулата, сокращенно 9.0017 SAS

, ASA и SSS .

Определение конгруэнтности

Два треугольника  конгруэнтны  , если их соответствующие стороны равны по длине и их соответствующие внутренние углы равны по размеру.

Мы используем символ ≅ для обозначения соответствия.

Соответствие сторон и углов означает, что сторона одного треугольника и сторона другого треугольника в одном и том же положении совпадают. Возможно, вам придется повернуть один треугольник, чтобы провести тщательное сравнение и найти соответствующие части.

Определения конгруэнтности треугольников — подобные и конгруэнтные

Как узнать, конгруэнтны ли треугольники?

Вы можете разрезать свой учебник ножницами, чтобы проверить два треугольника. Это не очень полезно и портит ваш учебник. Если вы работаете с онлайн-учебником, вы не сможете сделать даже , что .

Геометры предпочитают более изящные способы доказательства конгруэнтности. Сравнивая один треугольник с другим на соответствие, они используют три постулата.

Определение постулата

Постулат  – это математически представленное утверждение, которое считается истинным. Все три утверждения о сходстве треугольников обычно рассматриваются в мире математики как постулаты, но некоторые авторитеты определяют их как теорем (которые можно доказать).

Не волнуйтесь, если некоторые тексты называют их постулатами, а некоторые математики называют их теоремами. Более важными, чем эти два слова, являются концепций  конгруэнтности.

Теоремы сравнения треугольников

Проверка конгруэнтности треугольников включает в себя три постулата. Давайте рассмотрим три постулата, сокращенно обозначаемые ASA , SAS и SSS.

  1. Угол угол угловой угол (ASA)

  2. Сторона боковой стороны (SAS)

  3. Сторонная сторона (SSS)

    4. 9008 Сторона. -боковой угол)

    Постулат угла стороны и угла (ASA) гласит, что треугольники конгруэнтны, если в треугольниках равны любые два угла и сторона, прилежащая к ним. Прилежащая сторона — это сторона между двумя углами.

    В приведенном ниже скетче у нас есть △CAT и △BUG . Обратите внимание, что ♂ на △ Cat согласуется с ♂ на △ Bug , а ↑ на △ Cat — это конгресс с ϩ на △ BUCK .

    Теорема ASA — Конгруэнтность треугольника

    См. прилагаемую сторону между ∠C и ∠A на △CAT ? Его длина равна стороне между ∠B и ∠U на △BUG .

    У двух треугольников два угла конгруэнтны (равны), а сторона, заключенная между этими углами, конгруэнтна. Это заставляет оставшийся угол на нашем △CAT быть:

    Это потому, что внутренние углы треугольников добавляют к 180° . Вы можете построить только один треугольник (или его отражение) с заданными сторонами и углами.

    Вы можете подумать, что мы подстроили это, потому что заставили вас смотреть под определенным углом. Постулат гласит, что вы можете выбрать любых двух углов и их включенных сторон. Так что вперед; посмотрите на ∠C и ∠T или ∠A и ∠T на △CAT .

    Сравните их с соответствующими углами на △BUG . Вы увидите, что все углы и все стороны равны в двух треугольниках, независимо от того, какие из них вы выберете для сравнения.

    Теорема SAS (Сторона-Угол-Сторона)

    Применяя постулат Сторона Угол Сторона (SAS) , вы также можете быть уверены, что ваши два треугольника конгруэнтны. Здесь вместо выбора двух углов мы выбираем сторону и соответствующую ей сторону двух треугольников.

    Постулат SAS  говорит, что треугольники конгруэнтны, если любая пара соответствующих сторон и их угол конгруэнтны.

    Выберите любую сторону △JOB  ниже. Обратите внимание, что мы не заставляем вас выбирать определенную сторону, потому что мы знаем, что это работает независимо от того, с чего вы начинаете. Перейдите к следующей стороне (в любом направлении, в котором вы хотите двигаться), которая охватит прилежащий угол.

    Теорема SAS — Конгруэнтность треугольника

    или два треугольника, чтобы быть конгруэнтными, эти три части — сторона, прилежащий угол и смежная сторона — должны быть конгруэнтны тем же трем частям — соответствующей стороне, углу и стороне — на другом треугольнике ,  △ЯК .

    Теорема SSS (Сторона-Сторона-Сторона)

    Возможно, самый простой из трех постулатов,  Сторона Сторона Сторона Постулат (SSS)  утверждает, что треугольники конгруэнтны, если три стороны одного треугольника конгруэнтны соответствующим сторонам другого треугольника. .

    Это единственный постулат, который не имеет отношения к углам. Вы можете воспроизвести постулат SSS , используя два прямых объекта — сырые спагетти или пластиковые мешалки отлично подойдут.

    Немного отрежьте один кусочек, чтобы он был не таким длинным, каким был изначально. Разрежьте другую длину на две отчетливо неравные части. Теперь у вас есть три стороны треугольника. Сложите их вместе. У вас есть один треугольник. Теперь перетасуйте стороны и попробуйте соединить их другим способом, чтобы получился другой треугольник.

    Угадай что? Вы не можете этого сделать. Вы можете собрать свой треугольник только одним способом, независимо от того, что вы делаете. Вы можете думать, что вы умны и переключаете две стороны, но тогда все, что у вас есть, — это отражение (зеркальное отражение) оригинала.

    Теорема SSS — Конгруэнтность треугольников

    Итак, как только вы поймете, что три длины могут составить только один треугольник, вы увидите, что два треугольника, три стороны которых соответствуют друг другу, идентичны или конгруэнтны.

    Проверка совпадения полигонов

    Вы можете проверять многоугольники, такие как параллелограммы, квадраты и прямоугольники, используя эти постулаты.

    Введение диагонали в любую из этих фигур дает два треугольника. Используя любой постулат, вы обнаружите, что два созданных треугольника всегда конгруэнтны.

    Предположим, у вас есть параллелограмм SWAN и добавление диагонали SA . Теперь у вас есть два треугольника: △SAN и △SWA . Они конгруэнтны?

    Проверка совпадения многоугольников — пример формы

    Вы уже знаете, что линия SA , используемая в обоих треугольниках, конгруэнтна сама себе. Как насчет ∠SAN ? Это соответствует ∠WSA , потому что они являются альтернативными внутренними углами параллельных отрезков SW и NA (из-за теоремы о альтернативных внутренних углах).

    Вы также знаете, что отрезки SW и NA конгруэнтны, потому что они были частью параллелограмма (противоположные стороны параллельны и конгруэнтны).

    Теперь у вас есть сторона SA , прилежащий угол ∠WSA и сторона SW △SWA . Вы можете сравнить эти три части треугольника с соответствующими частями △SAN:

    Резюме урока

    Проработав этот урок и немного подумав над ним, вы теперь можете вспомнить и применить три постулата конгруэнтности треугольников: Постулат боковой конгруэнтности угла, постулат конгруэнтности бокового угла и постулат конгруэнтности боковой стороны. Теперь вы можете определить, равны ли любые два треугольника!

    Обратное, Обратное, Противоположное

    Учитывая оператор если-то «если , затем ,» мы можем создать три связанных оператора:

    Условное утверждение состоит из двух частей: гипотезы в предложении «если» и заключения в предложении «тогда». Например: «Если идет дождь, то они отменяют школу».
    «Идет дождь» является гипотезой.
    «Они отменяют школу» это вывод.

    Чтобы сформировать обратное условному утверждению, поменяйте местами гипотезу и заключение.
          Обратное «Если идет дождь, то школу отменяют» является «Если они отменят школу, тогда пойдет дождь».

    Чтобы сформировать обратное условному утверждению, возьмите отрицание как гипотезы, так и вывода.
          Инверсия «Если идет дождь, то школу отменяют»

    является «Если не идет дождь, то школу не отменяют».

    Чтобы сформировать противопоставление условного утверждения, поменяйте местами гипотезу и заключение обратного утверждения.
          Противоположность «Если идет дождь, то школу отменяют» является «Если школу не отменят, то дождя не будет».

    Заявление Если , затем .
    Конверс Если , затем .
    Обратный Если не , то не .
    Противоположный Если не , то не .

    Если утверждение истинно, то контрапозитив также логически верен. Если верно обратное, то и обратное также логически верно.

    Пример 1:

    Заявление Если два угла равны, то они имеют одинаковую меру.
    Конверс Если два угла имеют одинаковую меру, то они равны.
    Обратный Если два угла не равны, то они не имеют одинаковой меры.
    Противоположный Если два угла не имеют одинаковой меры, то они не равны.

    В приведенном выше примере, поскольку гипотеза и вывод эквивалентны, все четыре утверждения верны.