ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 7

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 7.

 

Вспомним ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{S}}/{Delta{t}}}

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· этого опрСдСлСния, рассмотрим, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π’Π˜Π”Π•ΠžΠ£Π ΠžΠš, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ я ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ объясняю, Π² Ρ‡Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ выводится ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. А Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ рассмотрим Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈΠ· ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π°Π½ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

 

 

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ.

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ВангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ), ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x)  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  x_0  Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x)

Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅:

k={tg}alpha={f}prime{(x_0)}

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» alpha β€” это ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямой ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси ОΠ₯:

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x)  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  x_0ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

y= f(x_0)+{f}prime{(x_0)}(x-x_0)

Π’ этом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ:

x_0 β€” абсцисса Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания,

f(x_0) β€” Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания,

{f}prime{(x_0)}

β€” Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈΠ· ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π°Π½ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ гСомСтричСского смысла ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π’8 (β„– 27504) На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x)

 ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с Π°Π±cцисcΠΎΠΉ x_0 . НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ f(x_0) .

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x_0 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси ОΠ₯. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π° ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ осям ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ  Π ΠΈ Π’ β€” эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ:

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ОΠ₯, Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π’ β€” ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси OY. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC:

12

Π£Π³ΠΎΠ» А  Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°  ΠΠ’Π‘ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси ОΠ₯.

ВангСнс острого ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ.

tg{alpha}={BC}/{AC}=2/8=0,25

Π”Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² считаСм ΠΏΠΎ количСству ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 0,25

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π’8 (β„– 27506) На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x)  ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абцисоой f(x_0)

. НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ f(x_0).

12

Π­Ρ‚Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΡƒΡŽ, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ  Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Π° Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» alpha

ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси ОΠ₯ располоТСн Ρ‚Π°ΠΊ:

12

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ:

12

Π£Π³ΠΎΠ» А Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» alpha β€” смСТныС, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… сумма Ρ€Π°Π²Π½Π° 180 градусов. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚,

tg{alpha}=-tgA=-{BC}/{AC}=-2/8=-0,25

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ссли прямая Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Π° Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, Ρ‚ΠΎ коэффициСнт Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -0,25

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π’8 (β„– 40129)  ΠΠ° рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x). ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, касаСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсцссой 8. НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x_0=8

.x_0=8

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ  ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ касания:

12

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π°  ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси ОΠ₯:

12

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ тангСнс alpha, рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΠžΠ’:

12

 

tg{alpha}=tgAOB={AB}/{OB}={10}/8=1,25

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1,25

И.Π’. ЀСльдман, Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

x_0=8

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΌ Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅. НС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ выпускник ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная.

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ просто ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚Π½ΠΎ рассказано ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная ΠΈ Π΄Π»Ρ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π½ΡƒΠΆΠ½Π°. ΠœΡ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ сСйчас ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚СматичСской строгости излоТСния. Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ β€” ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ смысл.

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ β€” это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

На Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ β€” Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Как Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, какая ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… быстрСС растСт?

Slider

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½ β€” Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡ. Π£ Π½Π΅Π΅ самая большая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ самая большая производная.

Π’ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

ΠšΠΎΡΡ‚Ρ, Π“Ρ€ΠΈΡˆΠ° ΠΈ ΠœΠ°Ρ‚Π²Π΅ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ мСнялся ΠΈΡ… Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΎΠ΄Π°:

производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ сразу всС Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π° Π»ΠΈ? Π”ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ ΠšΠΎΡΡ‚ΠΈ Π·Π° ΠΏΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΄Π° вырос большС Ρ‡Π΅ΠΌ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°. И Ρƒ Π“Ρ€ΠΈΡˆΠΈ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ вырос, Π½ΠΎ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ-Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ. А Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ ΠœΠ°Ρ‚Π²Π΅Ρ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΠ»ΡΡ Π΄ΠΎ Π½ΡƒΠ»Ρ. Π‘Ρ‚Π°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ условия ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅, Π° ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ производная, β€” разная. Π§Ρ‚ΠΎ касаСтся ΠœΠ°Ρ‚Π²Π΅Ρ β€” Ρƒ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄Π° производная Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Π˜Π½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ Π±Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Но ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ это Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ?

На ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ, насколько ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… (ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами β€” насколько быстро мСняСтся Ρƒ Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ…. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ функция Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ β€” Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ быстрСС ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ обозначаСтся .

ПокаТСм, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

Нарисован Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π½Π° Π½Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ  с Π°Π±ΡΡ†ΠΈΡΡΠΎΠΉ . ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠœΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ, насколько ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Удобная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° для этого β€” тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ β€” Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси .

Иногда учащиСся ΡΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ прямая, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ участкС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° нашСм рисункС. ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊ окруТности.

НайдСм . ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тангСнс острого ΡƒΠ³Π»Π° Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ. Из Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° :

ΠœΡ‹ Π½Π°ΡˆΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ .

Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая задаСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

.

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°  Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ называСтся ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом прямой. Она Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой ΠΊ ΠΎΡΠΈ .

.

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. Она Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  Ρ€Π°Π²Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, производная Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ разная производная. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ связана производная с ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

НарисуСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… участках эта функция возрастаСт, Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… β€” ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ с Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. И ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  функция возрастаСт. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ, провСдСнная Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ»  Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси . Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  наша функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ»  Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ тангСнс Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Π’ΠΎΡ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ получаСтся:

Если функция возрастаСт, Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Если ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

А Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°? ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…  (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума) ΠΈ  (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°) ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΡ‚ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°  β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ возрастаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ смСняСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  с Β«ΠΏΠ»ΡŽΡΠ°Β» Π½Π° Β«ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡΒ».

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° β€” производная Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½ΠΎ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ мСняСтся с Β«ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡΠ°Β» Π½Π° Β«ΠΏΠ»ΡŽΡΒ».

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄: с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ всё, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нас интСрСсуСт.

Если производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚ΠΎ Ρ„ункция возрастаСт.

Если производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, Ρ‚ΠΎ Ρ„ункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°ΠΊ с Β«ΠΏΠ»ΡŽΡΠ°Β» Π½Π° Β«ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡΒ».

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° производная Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°ΠΊ с Β«ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡΠ°Β» Π½Π° Β«ΠΏΠ»ΡŽΡΒ».

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ эти Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹:

возрастаСтточка максимумаубываСтточка минимумавозрастаСт
+0β€”0+

Π’Ρ‹ нашСл Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ искал? ПодСлись с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ!

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… уточнСния. Одно ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… понадобится Π²Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π•Π“Π­. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ β€” Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ курсС, ΠΏΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅Ρ€ΡŒΠ΅Π·Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½ΠΎ Π½ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Π½ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ называСмая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°:

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Однако Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ  функция возрастала β€” ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ  ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ. Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ‚ся β€” ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π»Π°ΡΡŒ.

Π‘Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° производная Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ это соотвСтствуСт Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ провСсти Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

2.

А ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Ссли функция Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π½Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ, Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ? Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС примСняСтся Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 7 β€” гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Π’ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ B9 даСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ трСбуСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½:

  1. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0,
  2. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума),
  3. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ монотонности).

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, прСдставлСнныС Π² этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, всСгда Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. НС смотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° относится ΠΊ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρƒ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΠΎΠ½Π° Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΏΠΎ силам Π΄Π°ΠΆΠ΅ самым слабым ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΈΡ… тСорСтичСских ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ здСсь Π½Π΅ трСбуСтся.

Для нахоТдСния значСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² монотонности ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ простыС ΠΈ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ β€” всС ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ рассмотрСны Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ условиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ B9, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π³Π»ΡƒΠΏΡ‹Ρ… ошибок: ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ довольно ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ тСксты, Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… условий, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° Ρ…ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ‚Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.

ВычислСниС значСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ

Если Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ Π΄Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ этому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0, ΠΈ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, примСняСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ:

  1. Найти Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π²Π΅ Β«Π°Π΄Π΅ΠΊΠ²Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅Β» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ цСлочислСнными. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A (x1; y1) ΠΈ B (x2; y2). ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ выписывайтС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ β€” это ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΈ любая ошибка здСсь ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρƒ.
  2. Зная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ξ”x = x2 βˆ’ x1 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ξ”y = y2 βˆ’ y1.
  3. НаконСц, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ D = Ξ”y/Ξ”x. Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, Π½Π°Π΄ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° β€” ΠΈ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΈ B Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π° Π½Π΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΊΠ°ΠΊ это часто случаСтся. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ Π΄Π²Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ β€” ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° составлСна Π½Π΅ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой x0. НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0.

НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ - функция возрастаСт

Рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A (βˆ’3; 2) ΠΈ B (βˆ’1; 6) ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ приращСния:
Ξ”x = x2 βˆ’ x1 = βˆ’1 βˆ’ (βˆ’3) = 2; Ξ”y = y2 βˆ’ y1 = 6 βˆ’ 2 = 4.

НайдСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: D = Ξ”y/Ξ”x = 4/2 = 2.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой x0. НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0.

НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ - функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚

Рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A (0; 3) ΠΈ B (3; 0), Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ приращСния:
Ξ”x = x2 βˆ’ x1 = 3 βˆ’ 0 = 3; Ξ”y = y2 βˆ’ y1 = 0 βˆ’ 3 = βˆ’3.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: D = Ξ”y/Ξ”x = βˆ’3/3 = βˆ’1.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой x0. НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0.

НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… экстрСмума

Рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A (0; 2) ΠΈ B (5; 2) ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ приращСния:
Ξ”x = x2 βˆ’ x1 = 5 βˆ’ 0 = 5; Ξ”y = y2 βˆ’ y1 = 2 βˆ’ 2 = 0.

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: D = Ξ”y/Ξ”x = 0/5 = 0.

Из послСднСго ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: Ссли ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси OX, производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π’ этом случаС Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ β€” достаточно Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ВычислСниС Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°

Иногда вмСсто Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ B9 даСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ раскладС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ бСсполСзСн, Π½ΠΎ сущСствуСт Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Π΅Ρ‰Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простой Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ. Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° опрСдСлимся с Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ:

  1. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x0 называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), Ссли Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ выполняСтся нСравСнство: f(x0) β‰₯ f(x).
  2. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x0 называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), Ссли Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ выполняСтся нСравСнство: f(x0) ≀ f(x).

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, достаточно Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги:

  1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΡƒΠ±Ρ€Π°Π² всю лишнюю ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. Как ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ°, лишниС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ оси Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ β€” ΠΈ всС.
  2. Π’Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ нулями. Если для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x0 извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f’(x0) β‰  0, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ лишь Π΄Π²Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°: f’(x0) β‰₯ 0 ΠΈΠ»ΠΈ f’(x0) ≀ 0. Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ исходному Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΡƒ: Ссли Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ оси OX, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ f’(x) β‰₯ 0. И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ссли Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄ осью OX, Ρ‚ΠΎ f’(x) ≀ 0.
  3. Π‘Π½ΠΎΠ²Π° провСряСм Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ мСняСтся с минуса Π½Π° плюс, находится Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ссли Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся с плюса Π½Π° минус, это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума. ΠžΡ‚ΡΡ‡Π΅Ρ‚ всСгда вСдСтся слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.

Π­Ρ‚Π° схСма Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ β€” Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ B9 Π½Π΅ встрСчаСтся.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’5; 5]. НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

НахоТдСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Избавимся ΠΎΡ‚ лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ β€” оставим Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [βˆ’5; 5] ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ x = βˆ’3 ΠΈ x = 2,5. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ:

НахоТдСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = βˆ’3 Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся с минуса Π½Π° плюс. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’3; 7]. НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

НахоТдСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, оставив Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ оси Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [βˆ’3; 7] ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ x = βˆ’1,7 ΠΈ x = 5. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ИмССм:

НахоТдСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = 5 Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся с плюса Π½Π° минус β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’6; 4]. НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ [βˆ’4; 3].

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‡Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Из условия Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ достаточно Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ [βˆ’4; 3]. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ строим Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [βˆ’4; 3] ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π½Π΅Π³ΠΎ. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x = βˆ’3,5 ΠΈ x = 2. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‡Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

На этом Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ лишь ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума x = 2. ИмСнно Π² Π½Π΅ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся с плюса Π½Π° минус.

НСбольшоС Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ с нСцСлочислСнными ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ. НапримСр, Π² послСднСй Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ Π±Ρ‹Π»Π° рассмотрСна Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x = βˆ’3,5, Π½ΠΎ с Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ успСхом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ x = βˆ’3,4. Если Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° составлСна ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ измСнСния Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Π»ΠΈΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β«Π±Π΅Π· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мСста ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°Β» Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ нСпосрСдствСнного участия Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. РазумССтся, с цСлочислСнными Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ фокус Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚.

НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, прСдлагаСтся ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ области, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… сама функция возрастаСт ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ возрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅:

  1. Ѐункция f(x) называСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [a; b] Ссли для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ x1 ΠΈ x2 ΠΈΠ· этого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: x1 ≀ x2 β‡’ f(x1) ≀ f(x2). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ρ‡Π΅ΠΌ большС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Ρ‚Π΅ΠΌ большС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  2. Ѐункция f(x) называСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [a; b] Ссли для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ x1 ΠΈ x2 ΠΈΠ· этого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: x1 ≀ x2 β‡’ f(x1) β‰₯ f(x2). Π’.Π΅. Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° соотвСтствуСт мСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ достаточныС условия возрастания ΠΈ убывания:

  1. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ нСпрСрывная функция f(x) возрастала Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [a; b], достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π΅ производная Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚.Π΅. f’(x) β‰₯ 0.
  2. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ нСпрСрывная функция f(x) ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π»Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [a; b], достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π΅ производная Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π±Ρ‹Π»Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚.Π΅. f’(x) ≀ 0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ эти утвСрТдСния Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π². Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ схСму для нахоТдСния ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания ΠΈ убывания, которая Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ вычислСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума:

  1. Π£Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ всю лишнюю ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. На исходном Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ нас ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ Π½ΡƒΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, поэтому оставим Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΡ….
  2. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ нулями. Π’Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ f’(x) β‰₯ 0, функция возрастаСт, Π° Π³Π΄Π΅ f’(x) ≀ 0 β€” ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Если Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ установлСны ограничСния Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ x, Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.
  3. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ извСстно ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ограничСния, остаСтся Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’3; 7,5]. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x). Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ сумму Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл, входящих Π² эти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ.

НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Как ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [βˆ’3; 7,5], Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ x = βˆ’1,5 ΠΈ x = 5,3. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ИмССм:

НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (βˆ’ 1,5) производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ этого ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°:
βˆ’1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’10; 4]. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x). Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ наибольшСго ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Избавимся ΠΎΡ‚ лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ. ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [βˆ’10; 4] ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π² этот Ρ€Π°Π· оказалось Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅: x = βˆ’8, x = βˆ’6, x = βˆ’3 ΠΈ x = 2. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ:

НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

Нас ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚.Π΅. Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Π³Π΄Π΅ f’(x) β‰₯ 0. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ² Π΄Π²Π°: (βˆ’8; βˆ’6) ΠΈ (βˆ’3; 2). Вычислим ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹:
l1 = βˆ’ 6 βˆ’ (βˆ’8) = 2;
l2 = 2 βˆ’ (βˆ’3) = 5.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ наибольшСго ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ², Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ записываСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ l2 = 5.

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅:

  1. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 7: ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ
  2. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 7: ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” 2 НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ
  3. ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ Π•Π“Π­-2011 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ β„–4 НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ
  4. ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ Π•Π“Π­ 2012. Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 1 (Π±Π΅Π· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²) НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ
  5. Π’Π°ΠΊ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ нСльзя! НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ
  6. БыстроС Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π±Π΅Π· ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ - Π±Π΅Π· лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π’9. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ исслСдованию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Unknown

Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 3.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ смотритС части 1, 2, 4

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π±ΠΎΡ€  Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ β„–8 Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

БСгодня Π½Π°ΠΌ понадобится ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ связь Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ с Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΎΠΌ монотонности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠŸΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉΡΡ‚Π°, Π±ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π§Π•Π“Πž Π²Π°ΠΌ Π΄Π°Π½! Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ f

Если Π΄Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ нас Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ. НикакиС Β«Ρ…ΠΎΠ»ΠΌΠΈΠΊΠΈΒ» ΠΈ Β«Π²ΠΏΠ°Π΄ΠΈΠ½Ρ‹Β» Π½Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ нас Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅!

 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-4;10). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ количСство Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)  ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

76Ρ‚

РСшСниС: + ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-5;5). НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой y=6 ΠΈΠ»ΠΈ совпадаСт с Π½Π΅ΠΉ.

pic

РСшСниС:+ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-6;6). НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)  ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой y=-3x-11  ΠΈΠ»ΠΈ совпадаСт с Π½Π΅ΠΉ.

pic-1

РСшСниС: + ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ  y=f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-1;10). ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)  Ρ€Π°Π²Π½Π° 0.

ΡƒΠ²

РСшСниС: + ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… экстрСмума. Π£ нас ΠΈΡ… 4:

Ρ†Ρ‹Ρ€

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 4. 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 5.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)  ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° оси абсцисс:x_1,\;x_2,\;x_3,\;...x_{11}. Π’ ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΈΠ· этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°?

76Π΅

РСшСниС: + ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

На ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… убывания  Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)  Π΅Ρ‘ производная ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния. А ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚  Ρ„ункция Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…x_1,\;x_2,\;x_4,\;x_{10}. Π’Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ 4.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 4. 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 6.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-6;5). НайдитС сумму Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x).

Ρ‹

РСшСниС: + ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума – это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума (-3, -1, 1) ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° (-2, 0, 3).

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума: -3-1+1-2+0+3=-2.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -2. 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 7.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-6;6). НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x). Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ сумму Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, входящих Π² эти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ.

pic-1

РСшСниС: + ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 8.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-11; 3). НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x). Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ наибольшСго ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

Π½Π΅ΠΏ

РСшСниС: + ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

На рисункС Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ всС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚  ΡΠ°ΠΌΠ° функция возрастаСт Π½Π° этих ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ….

7t

 

Π”Π»ΠΈΠ½Π° наибольшСго ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… – 6.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 6. 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 9.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-6;6). Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° [-5;-1]  f(x) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

pic

РСшСниС: + ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 10.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=f  β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-10;14). НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ [-8;13].

6

 Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: + ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ нас Π½Π° этом рисункС Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.ΡƒΠ²

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° рисункС Π½Π° ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅  ([-8;13]) Ρ‚Ρ€ΠΈ нуля Ρƒ f. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ, производная мняСт Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½ΠΈΡ…. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ  ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°).

ΠŸΡ€ΠΈ этом производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с Β«+Β» Π½Π° Β«-Β» Π²  Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 8, ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ красным Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΈ с Β«-Β» Π½Π° Β«+Β» Π² Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… (3 ΠΈ 12), ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… синим Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ.

Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума  Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ мСняСт   возрастаниС Π½Π°  ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с  Β«+Β» Π½Π° Β«-Β».

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума ΠΎΠ΄Π½Π° (ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π° красным Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ).

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1. 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x)  ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ -3, 1, 6, 8. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ наимСньшСС? Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

e3w

РСшСниС: + ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Π’ свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ,  ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ  Ρ€Π°Π²Π΅Π½ тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ оси (ox).

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ -3 (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 6 производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

А Π²ΠΎΡ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… 1 ΠΈ 8 производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

ΠŸΡ€ΠΈ этом Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 8 ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ явно мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 1.

ΠΊ

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 8 тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наимСньшим, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наимСньшСС.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 8. 

πŸ™‚ Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ врСмя Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π΄ΠΎΡ…Π½ΡƒΡ‚ΡŒ. НСправда Π»ΠΈ? –>+ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

Π’Π°ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½Π΅Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ?.. 
Π­Ρ‚ΠΈΠΌ рСбятам, Π½Π°Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π΅ сладко… НС ΡΠ΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ!

Π°

 

тСст

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ тСст Β«ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ исслСдованию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ»

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„–7. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ. ПовСдСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ

НСобходимая тСория:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 7 ΠŸΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” это Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° гСомСтричСский ΠΈ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ производная связана с ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. И Π΅Ρ‰Π΅ (ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ) Π² этих Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ вопросы ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ.

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ 

Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная β€” это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

1. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

x_0 .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

Достроив Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

f

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 0,25.

2. ΠΠ° рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой
НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

Начнём с опрСдСлСния Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅Ρ‘ производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° , смСТного с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ .

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ: ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ , ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: βˆ’0, 25.

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

3. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ являСтся ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

НайдитС абсциссу Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ условиС касания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ прямой Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈ значСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈ этом производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ .

Из Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ удовлСтворяСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ .

ЀизичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная β€” это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

МгновСнная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” это производная ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Но это Π½Π΅ СдинствСнноС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅. НапримСр, cΠΈΠ»Π° Ρ‚ΠΎΠΊΠ° β€” это производная заряда ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния заряда. Угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” производная ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ процСссов Π² ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅, экономикС ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅ описываСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями β€” Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ уравнСниями, содСрТащими Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ сами Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅.

4. ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° двиТСтся прямолинСйно ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ , Π³Π΄Π΅ β€” расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ отсчСта Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ…, β€” врСмя Π² сСкундах, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° двиТСния. НайдитС Π΅Π΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Π² ΠΌ/с) Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ с.

МгновСнная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ двиТущСгося Ρ‚Π΅Π»Π° являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π’ условии Π΄Π°Π½ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ измСнСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ расстояния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ отсчСта:

НайдСм ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ:

Π’ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ исслСдованию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π³ΠΎΠ΄ Π² Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°Ρ… Π•Π“Π­ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ ошибки.

НапримСр, Π½Π° рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” Π° ΡΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠšΡ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΡƒΡ‚Π°Π», Ρ‚ΠΎΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ».

Или Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. Нарисован Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ β€” Π° ΡΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

И Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½Π°Π΄ΠΎ просто Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ условиС. И Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ связана производная с ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Если , Ρ‚ΠΎ функция возрастаСт.

Если , Ρ‚ΠΎ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с «плюса» Π½Π° «минус».

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° производная Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с «минуса» Π½Π° «плюс».

 

5. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0.

f(x)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π’Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ 5.

f(x).

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 5.

6. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅?

f(x)

НС спСшим. Π—Π°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ сСбС Π΄Π²Π° вопроса: Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° рисункС ΠΈ ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅?

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° ΡΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ нарисован. Но ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ производная связана с ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

На ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

f(x)

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, функция возрастаСт Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠΌ значСниям Ρ… соотвСтствуСт большСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ НаибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ достигаСтся Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 3.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3.

7. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой

y = 1.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси абсцисс. НайдСм Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси абсцисс, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°. Π’Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ 7. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

y = f(x)

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 7.

8. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

[-6; 9].

ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ условиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° ΡΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с «плюса» Π½Π° «минус». На ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ такая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° всСго ΠΎΠ΄Π½Π°! Π­Ρ‚ΠΎ

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1.

9. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

[-5; 4].

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ экстрСмума Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Если производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° экстрСмума. На ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π½Π° рисункС) пСрСсСкаСт ось абсцисс Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π’ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с минуса Π½Π° плюс.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°-Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π°

Ѐункция , для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, называСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ мноТСство ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

10. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ β€” ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ рисунком, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ количСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

[-4; 4] .

Ѐункция для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, называСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ На ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ 4.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 4.

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ Β«ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ» β€” Π² этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°-Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π°.

 

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π˜Π½Ρ„ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊ β€Ί ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° β€ΊΠŸΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈβ€ΊΠ“Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ	. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½ΠΎΠΉ ΠΊ...

ОписаниС ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ слайдам:

1 слайд ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ	. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ОписаниС слайда:

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ . ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ис­слС­до­ва­нию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠœΠ‘ΠžΠ£ БОШ β„–12 ΠŸΠΎΠ³ΠΎΡ€Π΅Π»Π°Ρ Π‘.Н. ст. Павловской ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΠ΄Π°Ρ€ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ края

2 слайд Помни, Ρ‡Ρ‚ΠΎ: ΠŸΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΒ­Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Π° Π½Π° Ρ‚Π΅Ρ… ΠΈΠ½Β­Ρ‚Π΅Ρ€Β­Π²Π°Β­Π»Π°Ρ…, Π½ ОписаниС слайда:

Помни, Ρ‡Ρ‚ΠΎ: ΠŸΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΒ­Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Π° Π½Π° Ρ‚Π΅Ρ… ΠΈΠ½Β­Ρ‚Π΅Ρ€Β­Π²Π°Β­Π»Π°Ρ…, Π½Π° ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€Ρ‹Ρ… функ­ция воз­рас­та­Ст; ΠŸΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΒ­Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Β­Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Π° Π½Π° Ρ‚Π΅Ρ… ΠΈΠ½Β­Ρ‚Π΅Ρ€Β­Π²Π°Β­Π»Π°Ρ…, Π½Π° ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€Ρ‹Ρ… функ­ция ΡƒΠ±Ρ‹Β­Π²Π°Β­Π΅Ρ‚; Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ мак­си­му­ма ΡΠΎΒ­ΠΎΡ‚Β­Π²Π΅Ρ‚Β­ΡΡ‚Π²ΡƒΒ­ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Β­ΠΊΠ°ΠΌ смСны Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½ΠΎΠΉ с ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΒ­Π³ΠΎ Π½Π° ΠΎΡ‚Β­Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹ΠΉ, Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° – с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ; Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экс­трС­му­ма ΡΠΎΒ­ΠΎΡ‚Β­Π²Π΅Ρ‚Β­ΡΡ‚Π²ΡƒΒ­ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Β­ΠΊΠ°ΠΌ смСны Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½ΠΎΠΉ;

3 слайд Π—Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ка­са­ния Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΡƒΠ³Β­Π»ΠΎΒ­Π²ΠΎΒ­ΠΌΡƒ ко­эф­фи­ци­Сн­ ОписаниС слайда:

Π—Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ка­са­ния Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΡƒΠ³Β­Π»ΠΎΒ­Π²ΠΎΒ­ΠΌΡƒ ко­эф­фи­ци­Сн­ту ΠΊΠ°Β­ΡΠ°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€Ρ‹ΠΉ Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Β­Ρ€Π΅Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ тан­гСн­су ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°Β­ΠΊΠ»ΠΎΒ­Π½Π° Π΄Π°Π½Β­Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Β­ΡΠ°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠΉ ΠΊ оси абс­цисс. Если функ­ция Π½Π΅Β­ΠΏΡ€Π΅Β­Ρ€Ρ‹Π²Β­Π½Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Β­Ρ€Π΅Π·Β­ΠΊΠ΅ [a; b], Π° Π΅Ρ‘ про­из­вод­ная ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Π° (ΠΎΡ‚Β­Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Π°) Π½Π° ΠΈΠ½Β­Ρ‚Π΅Ρ€Β­Π²Π°Β­Π»Π΅ (a; b), Ρ‚ΠΎ функ­ция воз­рас­та­Ст (ΡƒΠ±Ρ‹Β­Π²Π°Β­Π΅Ρ‚) Π½Π° ΠΎΡ‚Β­Ρ€Π΅Π·Β­ΠΊΠ΅ [a; b]. Π—Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ΄Β­Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ка­са­ния Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΡƒΠ³Β­Π»ΠΎΒ­Π²ΠΎΒ­ΠΌΡƒ ко­эф­фи­ци­Сн­ту ΠΊΠ°Β­ΡΠ°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠΉ.

4 слайд ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . НайдитС абсциссу Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠ° ОписаниС слайда:

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . НайдитС абсциссу Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 0,5 ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ являСтся ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . НайдитС абсциссу Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -1

5 слайд На ри­сун­кС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Β­Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΒ­Ρ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Π½Β­Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Β­Ρ‚Π΅Ρ€Β­Π²Π°Β­Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На ри­сун­кС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Β­Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΒ­Ρ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Π½Β­Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Β­Ρ‚Π΅Ρ€Β­Π²Π°Β­Π»Π΅ (βˆ’6; 8). ΠžΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»ΠΈΒ­Ρ‚Π΅ ко­ли­чС­ство Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€Ρ‹Ρ… про­из­вод­ная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΒ­Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Π°. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 4.

6 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС ΠΊΠΎ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой ΠΈΠ»ΠΈ совпадаСт с Π½Π΅ΠΉ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 4

7 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС су ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС сумму Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 44

8 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -3

9 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -7

10 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -1

11 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ . ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1

12 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ . ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1

13 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ . ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 5

14 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ сумму Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, входящих Π² эти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -3

15 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ сумму Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, входящих Π² эти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:-7

16 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ сумму Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, входящих Π² эти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -15

17 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ сумму Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, входящих Π² эти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 6

18 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой ΠΈΠ»ΠΈ совпадаСт с Π½Π΅ΠΉ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 5

19 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ . НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ . ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 4

20 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой . НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2

21 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой . НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 0.25

22 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой . НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -2

23 слайд На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой ОписаниС слайда:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой . НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -0,25

24 слайд На ри­сун­кС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Β­Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΒ­Ρ†ΠΈΠΈ y=f(x). ΠŸΡ€ΡΒ­ΠΌΠ°Ρ, про­хо­дя­щая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅ ОписаниС слайда:

На ри­сун­кС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Β­Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΒ­Ρ†ΠΈΠΈ y=f(x). ΠŸΡ€ΡΒ­ΠΌΠ°Ρ, про­хо­дя­щая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Β­Ρ‡Π°Β­Π»ΠΎ ΠΊΠΎΒ­ΠΎΡ€Β­Π΄ΠΈΒ­Π½Π°Ρ‚, ка­са­Ст­ся Π³Ρ€Π°Β­Ρ„ΠΈΒ­ΠΊΠ° этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΒ­Ρ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абс­цис­сой 8. Най­ди­тС f'(8). ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1,25.

25 слайд Бпасибо за вниманиС ОписаниС слайда:

Бпасибо за вниманиС

Бпасибо за вниманиС

ΠšΡƒΡ€Ρ ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π»ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

Бпасибо за вниманиС

ΠšΡƒΡ€Ρ ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π»ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

Бпасибо за вниманиС

ΠšΡƒΡ€Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ

Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ

НайдитС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΡƒ,
ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π² свой ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ (ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡŽ), класс, ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ:

Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡŽ: ВсС катСгорииАлгСбраАнглийский языкАстрономияБиологияВнСурочная Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΠ’ΡΠ΅ΠΎΠ±Ρ‰Π°Ρ историяГСографияГСомСтрияДирСктору, Π·Π°Π²ΡƒΡ‡ΡƒΠ”ΠΎΠΏ. ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅Π”ΠΎΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅Π•ΡΡ‚Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅Π˜Π—Πž, МΠ₯ΠšΠ˜Π½ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΠ·Ρ‹ΠΊΠΈΠ˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ Π ΠΎΡΡΠΈΠΈΠšΠ»Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽΠšΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π½ΠΎΠ΅ чтСниСЛогопСдия, Π”Π΅Ρ„Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠœΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°ΠΠ°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ классыНСмСцкий ΡΠ·Ρ‹ΠΊΠžΠ‘Π–ΠžΠ±Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΡ€ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Π Π΅Π»ΠΈΠ³ΠΈΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Π ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ языкРусский ΡΠ·Ρ‹ΠΊΠ‘ΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ пСдагогуВСхнологияУкраинский языкЀизикаЀизичСская ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Π°Π€ΠΈΠ»ΠΎΡΠΎΡ„ΠΈΡΠ€Ρ€Π°Π½Ρ†ΡƒΠ·ΡΠΊΠΈΠΉ языкΠ₯ΠΈΠΌΠΈΡΠ§Π΅Ρ€Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅Π¨ΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ психологуЭкологияДругоС

Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ класс: ВсС ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ‹Π”ΠΎΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ: ВсС ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ

Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ: ВсС Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹

Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°:

loading

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ информация

НомСр ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°: 286628

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ свой ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° школьников ΠΊ Π•Π“Π­ (Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°

сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

БСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      Рассмотрим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x),   Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ   A= (x0;  f (x0))   ΠΈ   B = (x1;  f (x1))   Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ   A   ΠΈ   B,   ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ   C = (x; y)   Π½Π° этой прямой (рис. 1).

сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСйсСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСйсСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй

Рис.1

      ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1. ΠŸΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ сСкущСй Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

      Π’ соотвСтствии с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 1 прямая, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ   A   ΠΈ   B   Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x),   являСтся сСкущСй этого Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

      Π’Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

      Для этого рассмотрим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй ΠΈ сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄:

сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй

      ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй ΠΈ сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой, Ρ‚ΠΎ справСдливо равСнство

сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй(1)

Π³Π΄Π΅   k   – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ число.

      ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ равСнство (1) Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ систСму (2):

сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСйсСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй(2)

      Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΈΠ· систСмы (2) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ   k ,  ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ систСму (3):

сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСйсСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй(3)

Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅

сСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСйсСкущая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй(4)

      Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4) ΠΈ являСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ сСкущСй Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x),   проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ   A = (x0;  (x0))   ΠΈ   B = (x1;  f (x1))   этого Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΊΡƒΡ‰ΡƒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x),   ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ   A   ΠΈ   B   этого Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΈ рассмотрим случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°   A   Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Π°, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°   B   Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ приблиТаСтся ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   A   ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x)   (рис. 2).

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Рис.2

      НСограничСнноС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ   B   ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   A   принято ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ

B β†’ A

ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ   Β«B   стрСмится ΠΊ   AΒ».

      Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли   B β†’ A   для Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ   A = (x0;  f (x0))   ΠΈ   B = (x1;  f (x1))  Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ  y = f (x),   Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ   x1 β†’ x0 .

      ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2. Если ΠΏΡ€ΠΈ   x1 β†’ x0   сущСствуСт ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠΊΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x),   Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x)   Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   A = (x0;  f (x0))  (рис. 3) .

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Рис.3

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3. Если ΠΏΡ€ΠΈ   x1 β†’ x0   ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ(5)

входящСС Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (4), стрСмится ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ числу, Ρ‚ΠΎ это число Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   x0 ,   ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚   f β€²(x0)   ΠΈΠ»ΠΈ ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ(6)

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» (4) ΠΈ (6) Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅

      Π£Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Если Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x)   сущСствуСт производная Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   x0 ,   Ρ‚ΠΎ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x)   Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ  (x0;  f (x0))   ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

y = fβ€²(x0) (x – x0) + f (x0)(7)

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

      Рассмотрим сначала Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ   y = f (x)   ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΊΡƒΡ‰ΡƒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ   A = (x0;  f (x0))   ΠΈ   B = (x1;  f (x1)) (рис. 4).

ГСомСтричСский смысл производнойГСомСтричСский смысл производнойГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Рис.4

      ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ   Ο†   ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ сСкущСй ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси   Ox,   отсчитываСмый ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ»   BAD   Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅   ABD   Π½Π° рисункС 4 Ρ€Π°Π²Π΅Π½   Ο† ,   ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ тангСнса ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ равСнство

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ(8)

ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта прямой   tg Ο†   являСтся ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом сСкущСй Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x),   проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ   A = (x0;  f (x0))   ΠΈ   B = (x1;  f (x1))   этого Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

      Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция   y = f (x)   ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π½Π° рисункС 5

ГСомСтричСский смысл производнойГСомСтричСский смысл производнойГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Рис.5

      Π’ этом случаС ΡƒΠ³ΠΎΠ»   Ο†  ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Ρ‚ΡƒΠΏΡ‹ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ

ГСомСтричСский смысл производнойГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (8) справСдлива ΠΈ для случая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция   y = f (x)   ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

      ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π² соотвСтствии с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

ГСомСтричСский смысл производнойГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Π³Π΄Π΅ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ   Ξ±   ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x)   Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   A = (x0;  f (x0))   с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси   Ox   (рис. 6).

ГСомСтричСский смысл производнойГСомСтричСский смысл производнойГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Рис.6

      Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x)   Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   x0   сущСствуСт производная, Ρ‚ΠΎ эта производная Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ   y = f (x)   Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅   (x0;  f (x0)) :

fβ€²(x0) = tg Ξ± ,

Π³Π΄Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°   Ξ±   ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси   Ox   ΠΈ отсчитываСтся Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки).

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΈ ΠžΠ“Π­ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°

      На нашСм сайтС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ нашими ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

ЯвляСтся Π»ΠΈ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ? β€” Π‘Π»ΠΎΠ³ Magoosh

Π’ исчислСнии ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, вычислив ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, сущСствуСт тСсная связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ линиями. Однако это Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅. НачнСм с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная f β€˜( x ) β€” это функция, Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ β€” это прямая.

ВмСсто этого ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π΅Π΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ измСряСт Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ.”

ΠŸΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ± этом: часы β€” это Π½Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ врСмя . Но Ссли Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ врСмя дня, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° часы. Часы ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ врСмя Π² любой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ дня .

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅ познакомимся с ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ?

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ( x ) Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = a β€” это линия (линСйная функция), которая соотвСтствуСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x = a ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ кривая Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Иногда ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия Β« Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ касаСтся Β» ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ Β« пСрСсСкаСт ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π· Β», f Π½ΠΎ эти ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠ±ΠΈΡ‚ΡŒ нас с ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ.

На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ (красным, ΠΏΡƒΡ€ΠΏΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ ΠΏΡƒΡ€ΠΏΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΌ) Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = f ( x ) (Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ) .

Наклон ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ? Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… , Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ

.

ΠΌ = f β€˜( a ).

Π’ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π΄Π°Π½Ρ‹ функция f ΠΈ x -Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ a . Π’Π°ΡˆΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β€” Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ прСдставляСт собой Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Если Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½, Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ довольно просто.

НахоТдСниС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, вас попросили Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ( x ) Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = a . Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄:

  1. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, f β€˜( x ).
  2. ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ x = a , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, вычислим ΠΌ = f β€˜( a ).
  3. Если это Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Как всСгда, Π²Ρ‹ вставляСтС Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y . ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ b = f ( a ).
  4. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ свои значСния ΠΌ , a ΠΈ b Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅,

    y = ΠΌ ( x β€” a ) + b .

Наклон ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· посмотрим Π½Π° этот ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ шаг: Β« НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Β». ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная β€” это функция (Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x ). ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ значСния, x = a , Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ значСния f β€˜( x ) Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΌ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = a .

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ «производная измСряСт Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉΒ».

Если я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ f ΠΏΡ€ΠΈ x = 1, я Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽ f β€˜(1). И Ссли я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΈ x = -352/13, я Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽ f β€˜(-352/13). ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‚!

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 1.ΠœΡ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ: f β€˜( x ) = 3 x 2 + 6 x . (Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² поискС Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ², ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ Magoosh ΠΎ Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π°Ρ…).

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅:

x -3-2-1 0 1
f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 1 1 5 3 1 5
f β€˜( x ) = 3 x 2 + 6 x 9 0-3 0 9

Для пСрСчислСнных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° экзамСнС AP Calculus ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ с нСсколькими Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Ρ‹. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, я ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Π²Π°ΠΌ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ-ΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°, ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½-пСрСсСчСниС , Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

x ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°-Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая, упрощСнная
-3 y = 9 ( x + 3) + 1 y = 9 x + 28
-2 y = 0 ( x + 2) + 5 y = 5
-1 y = -3 ( x + 1) + 3 y = -3 x
0 y = 0 ( x -0) + 1 y = 1
1 y = 9 ( x β€” 1) + 5 y = 9 x β€” 4

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = f ( x ) вмСстС с ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ нашли.

Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ°

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ β€” это Π½Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ. ВмСсто этого производная β€” это инструмСнт для измСрСния Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² любой ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ часы ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ врСмя Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ дня. Помня ΠΎΠ± этом, Ρƒ вас Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π° экзамСнС AP Calculus!

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡŒΡ‚Π΅ΡΡŒ с ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΠΌΠΈ Magoosh: ЯвляСтся Π»ΠΈ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ? ΠΈ Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

О Π¨ΠΎΠ½Π΅ ΠžΠ»Ρ‚Π΅

Π¨ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» Π΄ΠΎΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² УнивСрситСтС ΡˆΡ‚Π°Ρ‚Π° Огайо Π² 2008 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ (Go Bucks !!). Π’ 2002 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π±Π°ΠΊΠ°Π»Π°Π²Ρ€Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Π² ΠžΠ±Π΅Ρ€Π»ΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆΠ΅. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π¨ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π±Π°ΠΊΠ°Π»Π°Π²Ρ€Π° искусств. ΠΈΠ· ΠšΠΎΠ½ΡΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠžΠ±Π΅Ρ€Π»ΠΈΠ½Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Β«ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ композиция». Π¨ΠΎΠ½ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Π»ΡŽΠ±ΠΈΡ‚ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΡƒ β€” ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ! β€” ΠΈ ΠΎΠ½ (Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠΈΠ°Π½ΠΈΠ½ΠΎ, Π³ΠΈΡ‚Π°Ρ€Π΅ ΠΈ басу.Π¨ΠΎΠ½ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π» ΠΈ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°Π» студСнтов ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ дСсяти Π»Π΅Ρ‚ ΠΈ надССтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ успСха!

ΠŸΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠ° Magoosh Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠ΅Π² Π² Π±Π»ΠΎΠ³Π΅: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ максимальноС удобство для Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ, относящиСся ΠΊ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅, достаточно ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… студСнтов, ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ написанныС! πŸ™‚ Если ваш ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π» ΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π½, вСроятно, ΠΎΠ½ Π½Π΅ соотвСтствовал этим ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ. Если Π²Ρ‹ студСнт Premium Magoosh ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ пСрсонализированноС обслуТиваниС, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΡƒ Β«Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ°Β» Π½Π° ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ управлСния Magoosh.Бпасибо!

,

Как ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ β€” Magoosh Blog

Π§Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° β€” ваТная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ AP Calculus. Π’ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ исчислСния Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ поиск ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅, вогнутости ΠΈΠ»ΠΈ сущСствовании ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

БущСствуСт Π»ΠΈ производная?

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, глядя Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, сущСствуСт Π»ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π±Π»ΠΎΠ³Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ большС ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ± этом.

Π’Ρ€ΠΈ ситуации, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΠΈΠ² Π½Π΅ сущСствуСт

НСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ссли Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π².

Π­Ρ‚ΠΎ любой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π²Π΅ части ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ.

Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ Π½Π΅ΡΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ:

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ устранимый Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π². ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ сСбС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ​​как y = x + 3. Если Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ x Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ x = 0, Ρƒ нас Π±Ρ‹Π» Π±Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π².

Π•ΡΡ‚ΡŒ бСсконСчный Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π². Π­Ρ‚ΠΎ происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ сущСствуСт Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ участками ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΈΠ·-Π·Π° Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ асимптоты Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ бСсконСчности. НапримСр, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ y = 3 / (x-2). ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ.

И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² скачка. Π­Ρ‚ΠΎ происходит с кусочными функциями, Π³Π΄Π΅ Π΄Π²Π΅ сСкции просто Π½Π΅ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅ сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Π­Ρ‚ΠΎ часто происходит с ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = √x 2

ΠŸΡ€ΠΈ x = 0 ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ кривая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈΠΉ ΠΈΠ·Π³ΠΈΠ±.

НаконСц, Π½Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π·Π΄Π΅, Π³Π΄Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

Если Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ участок Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½; ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ сущСствуСт.

Π§Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Глядя Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ быстро ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ любого участка ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½.Π­Ρ‚ΠΎ позволяСт Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Глядя Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² являСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ?

Ρ„ β€˜(x):

Π°

Π±

с

НСсколько ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅ΠΉ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρƒ. Π‘Ρ€Π°Π·Ρƒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это нСкая тригономСтричСская функция. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0 Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…; поэтому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ось абсцисс.Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, глядя Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это происходит Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ -2,5 ΠΈ 0, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0 ΠΈ 2,5. Одного этого достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ послСдний Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ β€” ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° основС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈ двойная производная говорят Π½Π°ΠΌ нСсколько ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅:

(Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ°Ρ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° AP: ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, минимальноС ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ максимальноС?)

НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x).

Π’ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. МоТСм Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ соотносятся?

Π£ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ общая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, являСтся Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ AP Calculus. Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ максимумы, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мСста увСличСния ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

О Π—Π°Ρ…Π°Ρ€ΠΈ

Π—Π°Ρ…Π°Ρ€ΠΈ β€” Π±Ρ‹Π²ΡˆΠΈΠΉ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€-ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊ, ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² срСднСй школС.Он ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ» УнивСрситСт Макгилла Π² 2011 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» Π² Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π² Π”Π΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ. Он ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ занимаСтся рСпСтиторством Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ послСдних пяти Π»Π΅Ρ‚, Π½ΠΎ Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π·Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, скалолазаниСм ΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡΠΌΠΈ всякий Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° появляСтся Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠŸΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠ΅Π² Π² Π±Π»ΠΎΠ³Π΅ Magoosh: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ максимальноС удобство для Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ, относящиСся ΠΊ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅, достаточно ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… студСнтов, ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ написанныС! πŸ™‚ Если ваш ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π» ΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π½, вСроятно, ΠΎΠ½ Π½Π΅ соотвСтствовал этим ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ.Если Π²Ρ‹ студСнт Premium Magoosh ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ пСрсонализированноС обслуТиваниС, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΡƒ Β«Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ°Β» Π½Π° ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ управлСния Magoosh. Бпасибо!

,

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° | ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ исчислСниС

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ разности Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x + Ξ”x ΠΈ x с Ξ”x, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ξ”x бСсконСчно малСнький. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ β€” это Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x.

Вторая производная

Вторая производная даСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Или просто Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

N-я производная

n -я производная вычисляСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ вычислСния f (x) n Ρ€Π°Π·.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ n Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ (n-1) производная:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] β€˜

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

НайдитС Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚

.

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] Β» β€˜ = [10 x 4 ] Β» β€˜= [40 x 3 ]’ β€˜= [120 x 2 ]’ = 240 x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Когда a ΠΈ b ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ константами.

( a f ( x ) + bg ( x ) ) β€˜= a f’ ( x ) + bg β€˜ ( x )

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚:

3 x 2 + 4 x.

Богласно ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ сумм:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , Π³ ( x ) = x

f β€˜ ( x ) = 2 x , Π³ β€˜ ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) β€˜= 3β‹…2 x + 4β‹…1 = 6 x + 4

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°

( f ( x ) βˆ™ Π³ ( x ) ) β€˜= f’ ( x ) Π³ ( x ) + f ( x ) Π³ β€˜ ( x )

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

f ( g ( x )) β€˜= f’ ( Π³ ( x )) βˆ™ Π³ β€˜ ( x )

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ обозначСния Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°:

Ѐункция Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ приблиТСния

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Ξ”x ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ f (x 0 + Ξ”x), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ f (x 0 ) ΠΈ f β€˜(x 0 ):

f ( x 0 + Ξ” x ) β‰ˆ f ( x 0 ) + f β€˜( x 0 ) β‹…Ξ” x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹

Имя Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ѐункция ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ

f ( x )

f β€˜( x )
ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Π°Π½Ρ‚Π°

конст.

0

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ

x

1

ΠœΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

x Π°

a x a- 1

Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

e x

e x

Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

a x

a x ln a

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Π»ΠΈΠ½ ( x )

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Π±Ρ€Π΅Π²Π½ΠΎ b ( x )

Бинус

Π³Ρ€Π΅Ρ… x

cos x

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ

cos x

-sin x

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ x

Арксинус

арксин x

Арккосин

arccos x

АрктангСнс

Π°Ρ€ΠΊΡ‚Π°Π½ x

ГипСрболичСский синус

sinh x

Ρ†Π²Π΅Ρ‚ x

ГипСрболичСский косинус

Ρ†Π²Π΅Ρ‚ x

sinh x

ГипСрболичСский тангСнс

Ρ‚Π°Π½Ρ… x

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ гипСрболичСский синус

sinh -1 x

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ гипСрболичСский косинус

cosh -1 x

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ гипСрболичСский тангСнс

tanh -1 x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

, ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ # 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f β€˜ ( x ) = 3 x 2 + 2β‹…5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ # 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

f β€˜ ( x ) = cos (3 x 2 ) β‹… [3 x 2 ] β€˜= cos (3 x 2 ) β‹… 6 x

ВСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Когда пСрвая производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x 0 .

f β€˜( x 0 ) = 0

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° вторая производная Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x 0 , f Β» (x 0 ), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°:

f Β» ( x 0 )> 0

мСстный ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ

f Β» ( x 0 ) <0

мСстный максимум

f Β» ( x 0 ) = 0

Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ


Π‘ΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅

,

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? | by Chi-Feng Wang

Для простых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ f (x, y) = 3xΒ²y , это всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ. Однако, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, с Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ выраТСниями Ρ‚ΠΈΠΏΠ° max (0, w βˆ™ X + b) β€” Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, извСстноС ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ .

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сначала рассмотрим ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ y = f (g (x)) = sin (xΒ²). Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этого выраТСния, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ внСшнСго выраТСния Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ выраТСния ΠΈΠ»ΠΈ «соСдиняСм части вмСстС». Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами:

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 6: ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π³Π΄Π΅ u β€” промСТуточная пСрСмСнная для Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ΄Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ u = xΒ² ΠΈ y = sin (u) .Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ:

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 7: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ // Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠΈ

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 8: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ всСго выраТСния // Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚Π½ΠΎ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π΅ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ проходят x , Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ :

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 9: Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ для y = sin (x Β²)

Π­Ρ‚Π° концСпция Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ окаТСтся Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ многопарамСтричСской Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ссли Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ Tensorflow (ΠΈΠ»ΠΈ Keras) ΠΈ TensorBoard, ΠΏΡ€ΠΈ построСнии ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈ написании ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ΄Π° Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ схСму ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ этой.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстноС ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΎ называСтся Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅, являСтся Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° скалярной Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊ выраТСниям Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Однако Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нСсколько ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = f (x) = x + xΒ² . Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скалярной ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 10: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ x + x Β²

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°.Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° вводятся ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅: u₁ (x) = xΒ² ΠΈ uβ‚‚ (x, u₁) = x + u₁. Если ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 11: ИспользованиС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, 2x β‰  1 + 2x, поэтому здСсь Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ нарисуСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ нашСго уравнСния:

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 12: Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ для y = x + x Β² // // Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π½Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ 12 большС Π½Π΅ являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ, поэтому ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всСх ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΉ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅, Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΠΊ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ uβ‚‚ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°, Π² ΠΈΠ³Ρ€Ρƒ Π²ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‚ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ x ΠΎΡ‚ uβ‚‚ (x, u₁). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x отраТаСтся Π² uβ‚‚ двумя способами: ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄ слоТСния ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°. Π’ символах Ε· = (x + Ξ”x) + (x + Ξ”x) Β² ΠΈ Ξ”y = Ε·-y , ΠΈ Π³Π΄Π΅ Ε· β€” это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ x.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ частичноС uβ‚‚ (x, u₁) , Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹ ΠΎΡ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ x Π² ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y . Полная производная ΠΎΡ‚ uβ‚‚ (x, u₁) опрСдСляСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 13: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ y = x + x Β² // Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠŸΡ€ΠΎΡ‰Π΅ говоря, складываСтся ΠΈΠ· эффСкта измСнСния x нСпосрСдствСнно Π½Π° uβ‚‚ ΠΈ эффСкт измСнСния x Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· u₁ Π½Π° uβ‚‚. МнС Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°:

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 14: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = x + x Β² с Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ частичными числами

И всС! ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1 + 2x.Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот процСсс Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π΅, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π΅ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π΅ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ):

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 15: ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… // Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Если ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ псСвдоним для x ΠΊΠ°ΠΊ x = u (n + 1), Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π² Π΅Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½Π΅Π΅:

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 16: ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ многопарамСтричСской Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ // Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ всС! Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° рассмотрим Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: f (x) = sin (x + xΒ²) . Наши 3 ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅: u₁ (x) = xΒ², uβ‚‚ (x, u₁) = x + u₁, ΠΈ u₃ (uβ‚‚) = sin (uβ‚‚) .Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ наш Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ:

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 17: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin (x + x Β²) с Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ частичными числами

ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ наши частичныС:

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 18: ЧастичныС для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = sin (x + x Β²)

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, производная f (x) = sin (x + xΒ²) Ρ€Π°Π²Π½Π° cos (x + xΒ²) (1 + 2x) .

.