Тестирование онлайн
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.
Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности.
Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Разница векторов есть . Так как , получим
В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.
Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.
Мгновенная скорость определяется по формуле
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ: движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, центростремительное ускорение.
Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.
Пусть точка вращается по окружности радиуса . Скорость точки постоянна по модулю и равна . Скорость называется линейной скоростью точки.
Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода имеем очевидную формулу:
. (1)
Частота обращения — это величина, обратная периоду:
.
Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).
Пусть, например, . Это означает, что за время точка совершает один полный
оборот. Частота при этом получается равна: об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.
Угловая скорость.
Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1).
 |
| Рис. 1. Равномерное движение по окружности |
Пусть — начальное положение точки; иными словами, при точка имела координаты . Пусть за время точка повернулась на угол и заняла положение .
Отношение угла поворота ко времени называется
. (2)
Угол , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол . Поэтому
. (3)
Сопоставляя формулы (1) и (3), получаем связь линейной и угловой скоростей:
. (4)
Закон движения.
Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1, что
.
Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,
. (5)
Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.
Центростремительное ускорение.
Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5):
С учётом формул (5) имеем:
(6)
Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:
(7)
где — радиус-вектор вращающейся точки.
Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.
Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:
(8)
Выразим угловую скорость из (4)
и подставим в (8). Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:
.
Движение по окружности. |
|
|
Положение точки А, движущейся по окружности с постоянной по модулю скоростью v в любой момент времени t определяется углом φ между осью OX |
|
Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости: |
|
|
Угловая скорость [ω] = 1 рад/с = 1 с-1 это: Отношение углового перемещения Δφ за промежуток времени Δt к этому промежутку: |
|
|
Кинематическое уравнение движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью :
|
|
|
Нормальное (центростремительное) ускорение: |
|
|
Период обращения (вращения) [Т] = 1 с это: Время одного оборота. Если точка совершает N обращений за время t, то: | |
Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:
Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) φ,
скорость u — угловая скорость ω,
ускорение a — угловое ускорение α
Вращательное движение, характеристики
| Вращательное движение | Угловая скорость | Угловое ускорение |
|---|---|---|
| Равномерное | Постоянная | Равно нулю |
| Равномерно ускоренное | Изменяется равномерно | Постоянно |
| Неравномерно ускоренное | Изменяется неравномерно | Переменное |
Угол поворота
Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).
Если
φ — угловое перемещение в радианах,
s — длина дуги, заключенной
между сторонами угла поворота,
r — радиус,
то по определению радиана
\[ φ = \frac{s}{r} \]
Соотношение между единицами угла
\[ \frac[-1.35]{φ_{рад}}{φ_{°}} = \frac[-1.2]{π}{180°} \]
$ 1 рад = 57.3° $ | $ 1° = 17.45 мрад $ | $ 1´ = 291 мкрад $ |
Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков
(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.
Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ω от t). 
Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).
Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость φ от t) и график углового ускорения (зависимость α от t).
Число оборотов
Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.
Единица СИ частоты (или числа оборотов)
\[ [n] = [f] = \frac{Обороты}{Секунда} = \frac{(об)}{с} = \frac{1}{c} = Герц \]
В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.
Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.
Если
n — число оборотов,
f — частота,
T — продолжительность одного оборота, период,
φ — угловое перемещение,
N — полное число оборотов,
t — время, продолжительность вращения,
ω — угловая частота,
то
Период
\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{n} \]
Угловое перемещение
Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2π:
\[ φ = 2 π N \]
Угловая скорость
Из формулы для одного оборота следует:
\[ ω = 2 π f = \frac{2π}{T} \]
Обратите внимание:
• формулы (1)—(6) справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.
• вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.
• следует различать число оборотов n и полное число оборотов N.
В помощь студенту
Вращательное движение (движение тела по окружности) |
стр. 421 |
|---|
Движение по окружности | LAMPA
Найдем угловую скорость. Известно, что ω=φt\omega=\frac{\varphi}{t}ω=tφ. В качестве угла φ\varphiφ можно взять полный оборот, то есть угол 2π2\pi2π радиан, а в качестве времени — время одного полного оборота, то есть период TTT. Поэтому
ω=2πT,\omega=\frac{2\pi}{T}{,}ω=T2π,ω=2πT=2π⋅1T=2πν.\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\cdot\frac{1}{T}=2\pi\nu{.}ω=T2π=2π⋅T1=2πν.
Эти формулы мы тоже рекомендуем запомнить. Это будет полезно.
Единица измерения угловой скорости [ω]=радс[\omega]=\frac{\text{рад}}{\text{с}}[ω]=срад.
Оказывается, что линейная скорость VVV и угловая скорость ω\omegaω связаны друг с другом. Рассмотрим пример из жизни. На детских площадках наверняка все видели карусель. Представьте, что карусель вращается. Вы сами сидите на сиденьи этой карусели, а ваш друг не стал сидеть на сиденьи, а «пролез» поближе к центру карусели.
Поскольку каждый из вас поворачивается вокруг карусели на один и тот же угол за то же время, то угловые скорости у вас равны: ωвы=ωдруг\omega_{вы}=\omega_{друг}ωвы=ωдруг. Но вот линейные скорости у вас не равны: Vвы≠VдругV_{вы}\neq V_{друг}Vвы≠Vдруг. Это нам подсказывает наш жизненный опыт. Тот, кто сидит поближе, двигается медленнее.
Чем ближе к центру находится тело — тем меньше его линейная скорость VVV. И наоборот: чем дальше от центра (чем больше расстояние от центра), тем больше скорость VVV.
Линейная скорость VVV также будет больше и в том случае, если будет больше быстрота поворота вокруг оси, то есть угловая скорость ω\omegaω.
По-простому: чем дальше сидишь от оси (чем больше RRR) и чем быстрее вращается тело (чем больше ω\omegaω), тем больше линейная скорость VVV.
Линейную скорость VVV можно пойти по формуле:
V=ω⋅R.V=\omega\cdot R{.}V=ω⋅R.
Эту формулу можно вывести строго. Возьмем уже известные нам формулы:
V=2πR⋅νV=2\pi R\cdot \nuV=2πR⋅ν и ω=2π⋅ν\omega=2\pi\cdot \nuω=2π⋅ν.
Из них видно, что в первой формуле вместо 2πν2\pi\nu2πν можно подставить ω\omegaω:
V=2πR⋅ν=2πνR=(2πν)⋅R=ω⋅RV=2\pi R\cdot \nu=2\pi\nu R=(2\pi\nu)\cdot R=\omega\cdot RV=2πR⋅ν=2πνR=(2πν)⋅R=ω⋅R.
Мы получили формулу V=ω⋅RV=\omega\cdot RV=ω⋅R.
Движение по окружности
Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения 
удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением
При малых углах поворота Δl ≈ Δs.
|
Рисунок 1.6.1. Линейное |
Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt→0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt:
Угловая скорость измеряется в рад/с.
Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:
При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора 
Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение
направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:
Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости 
за малый промежуток времени Δt. По определению ускорения
| |
Рисунок 1.6.2. Центростремительное ускорение тела |
при равномерном движении по окружностиВекторы скоростей 
и 
в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υA =υB = υ.
Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:
При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB| =Δs ≈ υΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:
При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt→0, получаем:
При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.
В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде
где 
– радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.
Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения (см 1.1):
В этой формуле Δυτ = υ2 – υ1 – изменение модуля скорости за промежуток времени Δt.
Направление вектора полного ускорения 
определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).
|
Рисунок 1.6.3. Составляющие ускорения |
при неравномерном движении тела по окружностиДвижение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υx и υy (рис. 1.6.4).
При равномерном вращении тела величины x, y, υx, υy будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом
|
Рисунок 1.6.4. Разложение вектора скорости |
Видеоурок: Движение по окружности
Лекция: Движение тела по окружности. Угловая и линейная скорости точки. Центростремительное ускорение точки
Движение по окружности
Траектория движения — окружность.
Так как скорость — векторная величина, то она зависит не только от модуля значения, но и от направления. Поэтому движение тела по окружности можно назвать равноускоренным. Даже если тело будет двигаться с постоянной по величине скоростью, её направление будет постоянно изменяться.
Любое криволинейное движение можно свести к нескольким движениям по окружности. Примером данного движения является бег по стадиону, ход стрелки часов, прогулка на корде лошади и другое.
Основные характеристики движения1. Линейная скорость
Мгновенная скорость (линейная) — на протяжении всего движения меняет свое направление вдоль касательной к траектории.Так как траектория движения точки — окружность, то в качестве пути в числителе находится формула длины перемещения.
Поэтому формула мгновенной скорости приобретает следующий вид, где Т — период:
2. Центростремительное ускорение
Направлено перпендикулярно к линейной скорости на протяжении всего движения.Центростремительное ускорение определяется по формуле:
3. Период вращения
Период вращения — это величина, определяющая время, за которое тело делает одно полное вращение.
Период — это скалярная величина. Основной единицей периода является [Т]=1с.
Период определяется по формуле:
где N — количество оборотов, t — время, за которое они были совершены.
4. Частота вращения
Определяет, насколько часто совершаются обороты в единицу времени.
Частота — скалярная величина. Измеряется в [n] = 1с-1.
Частота определяется по формуле:
5. Угловое перемещение
Угловое перемещение — величина, которая определяется углом поворота радиуса, соединяющего центр описываемой окружности, с точкой, где находится тело, относительно начального его положения.
Данная величина может измеряться в градусной или радианной мере углов.
6. Угловая скорость
Это значение, которое определяет, насколько изменяется угловое перемещение со временем.
Измеряется в 1 рад/с.Определяется по формуле:
где
— угловая скорость материальной точки, 1/с
— угол поворота радиус — вектора, рад
— промежуток времени, сУгловое перемещение связано с линейной скоростью и центростремительным ускорением следующей формулой:
Формулы движения — линейные и круговые
Формулы линейного движения
Средняя скорость / скорость движущегося объекта может быть рассчитана как
v = s / t (1a)
где
v = скорость или скорость (м / с, фут / с)
s = линейное пройденное расстояние (м, футы)
t = время (с)
- расстояние — это длина путь, по которому следует тело при перемещении из одной точки в другую — смещение — это расстояние по прямой линии между начальным и конечным положениями тела
- , мы используем скорость и взаимозаменяемость скорости — но помните, что скорость — это мера того, насколько быстро или медленно пройденное расстояние, скорость, с которой пройдено расстояние — скорость — это вектор, определяющий, как быстро или медленно покрывается расстояние, и направление
Если ускорение постоянное, то v скорость может быть выражена как:
v = v 0 + a т (1b)
, где
v 0 = начальная линейная скорость (м / с, фут / с)
a = ускорение (м / с 2 , фут / с 2 )
Линейное расстояние можно выразить как (если ускорение постоянное):
с = v 0 т + 1/2 a t 2 (1c)
Объединение 1b и 1c для выражения конечной скорости
v = (v 0 2 + 2 as) 1/2 (1d)
Скорость может быть выражена как (скорость является переменной)
v = ds / dt (1f)
, где
ds = ch изменение расстояния (м, футы)
dt = изменение времени (с)
Ускорение может быть выражено как
a = dv / dt (1g)
где
dv = изменение скорости (м / с, фут / с)
Пример — марафонский забег
Если марафон — 42195 м — проходит потрясающе 2:03:23 (7403 секунды) ( Уилсон Кипсанг, Кения — 29 сентября 2013 г. Берлинский марафон) — можно рассчитать среднюю скорость
v = (42195 м) / (7403 с)
= 5.7 м / с
= 20,5 км / ч
Пример — разгон автомобиля
Автомобиль разгоняется с 0 км / ч до 100 км / ч за 10 секунд . Ускорение можно рассчитать путем преобразования (1b) в
a = (v — v 0 ) / т
= ((100 км / ч) (1000 м / км) / (3600 с / ч) — (0 км / ч) ( 1000 м / км) / (3600 с / ч)) / (10 с)
= 2.78 (м / с 2 )
Калькуляторы линейного движения
Средняя скорость
с — расстояние (м, км, футы, мили)
т — использованное время (с, ч)
Расстояние
v 0 — начальная скорость (м / с, фут / с)
a — ускорение (м / с 2 , фут / с 2 )
т — использованное время (s, h)
Конечная скорость
v 0 — начальная скорость (м / с, фут / с)
a — ускорение (м / с 2 , фут / с 2 )
с — расстояние (м, футы)
Ускорение
v — конечная скорость (м / с, фут / с)
v 0 — начальная скорость (м / с, футы / с)
т — использованное время (с)
Круговое движение — вращение
Angular Velo город
Угловая скорость может быть выражена как (угловая скорость = постоянная):
ω = θ / t (2)
где
ω = угловая скорость (рад / с)
θ = угловое расстояние (рад)
t = время (с)
Угловая скорость и об / мин:
ω = 2 π н / 60 (2a)
где
n = число оборотов в минуту (об / мин)
π = 3.14 …
Тангенциальная скорость точки в угловой скорости — в метрических или имперских единицах, таких как м / с или фут / с — может быть рассчитана как
v = ω r (2b )
, где
v = тангенциальная скорость (м / с, фут / с, дюйм / с)
r = расстояние от центра до точки (м, фут, дюйм)
Пример — Тангенциальная скорость велосипедной шины
26-дюймовое велосипедное колесо вращается с угловой скоростью π радиан / с (0.5 оборотов в секунду) . Тангенциальная скорость шины может быть рассчитана как
v = ( π радиан / с ) ((26 дюймов) / 2)
= 40,8 дюйма / с
Угловая скорость и ускорение
Угловая скорость также может быть выражена как (угловое ускорение = постоянная):
ω = ω o + α т (2с)
, где
ω o = угловая скорость в момент времени ноль (рад / с)
α = угловое ускорение или замедление (рад / с 2 )
Угловое смещение
Угловое расстояние можно выразить как (угловое ускорение постоянное):
θ = ω o т + 1/2 α т 2 (2d)
Объединение 2a и 2c:
ω = (ω 90 042 o 2 + 2 α θ) 1/2
Угловое ускорение
Угловое ускорение может быть выражено как:
α = dω / dt = d 2 θ / dt 2 (2e)
где
dθ = изменение углового расстояния (рад)
dt = изменение времени (с)
Пример — замедление маховика
By Geni (Фото пользователем: geni) [GFDL или CC-BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0], через Wikimedia Commons
Маховик замедлен с 2000 об / мин ( оборотов / мин) с до 1800 об / мин за 10 с . Замедление маховика можно рассчитать как
α = ((2000 об / мин ) — (1800 об / мин )) (0,01667 мин / с) (2 π рад / об ) / (10 с)
= 2,1 рад / с 2
= (2.1 рад / с 2 ) (360 / (2 π) градусов / рад)
= 120 градусов / с 2
Угловой момент — или крутящий момент
Угловой момент или момент можно выразить как:
,T = α I (2f)
, где
T = угловой момент или крутящий момент (Н м)
I = момент инерции (фунт м фут 2 , кг м 2 )
Уравнения неравномерного кругового движения
Тело имеет неравномерное круговое движение, когда его траектория является окружностью, а его угловое ускорение является постоянным. В этом разделе мы собираемся изучить:
Неравномерное уравнение кругового движения
Уравнения для неравномерного кругового движения , также известного как равномерно ускоренного кругового движения , являются следующими:
Где:
- φ, φ0: Угловое положение тела в исследуемый момент и в начальный момент соответственно его единицы в Международной системе (S.I.) — радиан (рад)
- ω, ω0: Угловая скорость тела в рассматриваемый момент и в начальный момент соответственно. Единица измерения в Международной системе (S.I.) — радиан в секунду (рад / с)
- α: Угловое ускорение . Единица измерения в Международной системе (S.I.) — радиан в секунду в квадрате (рад / с 2 )
- т: Рассматриваемый момент времени. Единица в Международной системе (S.I.) является вторым (и)
Хотя первые являются основными уравнениями неравномерного кругового движения и единственными, необходимыми для решения упражнений, иногда полезно знать следующее выражение:
ω2 = ω02 + 2 · α · ∆φ
Предыдущая формула позволяет соотнести скорость и пройденное угловое расстояние, если ускорение известно, и может быть выведено из предыдущих, как вы можете видеть далее.
ω = ω0 + α · tφ = φ0 + ω0 · t + 12 · α · t2⇒t = ω-ω0α∆φ = ω0 · t + 12 · α · t2⇒∆φ = ω0ω-ω0α + 12 · α · ω-ω0α2;
2 · α · ∆φ = ω2-ω02
Вы можете легко запомнить уравнения для неравномерного кругового движения, поскольку они аналогичны уравнениям для США, но с учетом угловых величин, а не линейных.
Соотношение между угловыми и линейными величинами
Non-u.c.m. является круговым движением, и как таковые, угловые и линейные величины связаны через радио R .
Из предыдущей таблицы легко вывести следующие линейные величины:
с
.
Leave A Comment