Решать уравнение: Уравнения. Онлайн калькулятор с примерами

Mathway | Решение алгебраических задач

New Messages

User is Typing

Для функционирования Mathway необходим javascript и современный браузер.

Этот веб-сайт использует cookie файлы, чтобы сделать использование нашего ресурса максимально удобным для вас.

Убедитесь, что ваш пароль содержит не менее 8 символов и как минимум один из следующих символов:

число
буква
специальный символ: @$#!%*?&

Калькулятор рациональных уравнений

Рациональные уравнения

В рациональных уравнениях обе части уравнения представляют собой рациональные выражения вида: s(x) = 0 или расширено: s(x) = b(x), где s(x), b(x) – рациональные выражения.

Рациональное выражение является алгебраическим выражением, которое состоит из рациональных чисел и переменной величины, соединенных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Таким образом, это целые и дробные выражения без радикалов.

Действия с рациональными числами обладают свойствами действий с целыми числами.

К примеру, при умножении рациональных чисел есть дополнительное свойство – умножение взаимно обратных чисел. Для того чтобы умножить два рациональных числа, необходимо умножить модули этих чисел, а перед ответом поставить «плюс», если у множителей одинаковые знаки и «минус», если знаки разные.

Умножение рационального числа на ноль. Когда в рациональном уравнении хоть один множитель – ноль, то и произведение будет равняться нолю.

Умножение рациональных чисел с разными знаками. При умножении нескольких чисел с разными знаками, необходимо умножить модули каждого из этих чисел. Если количество множителей с отрицательными знаками – четное, то произведение всегда будет со знаком «плюс», если количество множителей с отрицательными знаками – нечетное, то и произведение будет со знаком «минус».

Делить на ноль в рациональных уравнениях, как и в обычных нельзя.

Чтобы решить рациональное уравнение, необходимо определить тип этого уравнения и применить некоторые математические хитрости, созданные для этого типа. Если Вы не помните этих хитростей, то можете воспользоваться калькулятором для решения рациональных уравнений, который быстро подберёт все корни данного уравнений.

Решением рационального уравнения будут являться корень – конкретное число, при постановке которого в уравнение даст верное равенство. Корней рационального уравнения может быть много и важно в решении не упустить ни один корень.

Также читайте нашу статью «Калькулятор иррациональных урвнений онлайн»

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Уравнения онлайн

Математические уравнения онлайн для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн. Сайт www.matcabi.net позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического, тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн. При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн. Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.matcabi.net решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.matcabi.net при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн, тригонометрические уравнения онлайн, трансцендентные уравнения онлайн, а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн. Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.matcabi.net. Любое алгебраическое уравнение, тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений. При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн. Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.matcabi.net, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн, тригонометрических уравнений онлайн, а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.matcabi.net вполне достаточно. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.matcabi.net. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение, после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое, тригонометрическое, трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Решение алгебраических уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Рассмотрим несколько примеров, как решать простые и сложные алгебраические уравнения, и используя калькулятор уравнений онлайн, получить подробное решение.

Простое алгебраическое уравнение

На простом примере

2*(x — 1/2) = 3/8*(1-x/7)

— линейного алгебраического уравнения долго не будем задерживаться — вы сами можете воспользоваться формой ниже и опробовать:

Лучше сразу перейдём к более сложным алгебраическим уравнениям.

Сложное алгебраическое уравнение

Рассмотрим пример уравнения с полиномом 4-ой степени:

(x — 2)^4 + 3*(x — 2)^2 — 10 = 0

Для получения подробного решения вбейте данное уравнение в калькулятор:

И ниже вы увидите подробное решение:

Дано уравнение:


              4             2    
-10 + (-2 + x)  + 3*(-2 + x)  = 0

Сделаем замену

тогда ур-ние будет таким:

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
v1 = ---------
        2*a


            ___
     -b - \/ D 
v2 = ----------
        2*a

где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.

Т.к.

, то


(3)^2 - 4 * (1) * (-10) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Получаем окончательный ответ:

Т.к.

то

тогда:


2 ___                
\/ 2              ___
----- + 2 = 2 + \/ 2 
  1


 2 ___                 
-\/ 2               ___
------- + 2 = 2 - \/ 2 
   1


2 ____                  
\/ -5                ___
------ + 2 = 2 + I*\/ 5 
  1


 2 ____                   
-\/ -5                 ___
-------- + 2 = 2 - I*\/ 5 
   1

Также можно решать уравнения со степенью 6 (шестой степенью) и другими степенями. Калькулятор алгебраических уравнений вам поможет в этом.

x^6 + 9*x^3 + 8 = 0

Дано уравнение:

Сделаем замену

тогда ур-ние будет таким:

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
v1 = ---------
        2*a


            ___
     -b - \/ D 
v2 = ----------
        2*a

где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.

Т.к.

, то


(9)^2 - 4 * (1) * (8) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Получаем окончательный ответ:

Т.к.

то

тогда:


3 ____         
\/ -1    3 ____
------ = \/ -1 
  1


3 ____           
\/ -8      3 ____
------ = 2*\/ -1 
  1

Также можно решить алгебраическое уравнение третьей степени (кубическое):

2*x^3 + 4*x — 8*x = 16

Дано уравнение:


          3      2     
-8*x + 2*x  + 4*x  = 16

преобразуем


   3           2                    
2*x  - 16 + 4*x  - 16 - 8*x + 16 = 0

или


   3      3      2      2               
2*x  - 2*2  + 4*x  - 4*2  - 8*x + 16 = 0


  / 3    3\     / 2    2\                
2*\x  - 2 / + 4*\x  - 2 / - 8*(x - 2) = 0


          / 2          2\                                    
2*(x - 2)*\x  + 2*x + 2 / + 4*(x - 2)*(x + 2) - 8*(x - 2) = 0

Вынесем общий множитель -2 + x за скобки

получим:


        /  / 2          2\                \    
(x - 2)*\2*\x  + 2*x + 2 / + 4*(x + 2) - 8/ = 0

или


         /       2      \    
(-2 + x)*\8 + 2*x  + 8*x/ = 0

тогда:

и также

получаем ур-ние

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
x2 = ---------
        2*a


            ___
     -b - \/ D 
x3 = ----------
        2*a

где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.

Т.к.

, то


(8)^2 - 4 * (2) * (8) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

Получаем окончательный ответ для -8*x + 2*x^3 + 4*x^2 — 16 = 0:

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

2 x − 4 x = 2 − 1

− 2 x = 1

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Ответ: x = − 0,5

x 2 − 1 = 0

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

x ( x + 3 ) − 8 = x − 1

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

Примеры:

2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

0 = 0

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )

2 x − 4 = 2 ( x − 8 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

0 = − 12

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
Если D < 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

− x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 4 x − 4 = 0

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

Ответ: x = 2

2 x 2 − 7 x + 10 = 0

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D < 0 – решений нет.

Ответ: x ∈ ∅

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

− x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

− x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Выписать ОДЗ:

g ( x ) ≠ 0

2 − x ≠ 0

− x ≠ − 2

x ≠ 2

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

ОДЗ: x ≠ 2

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Ответ: x = − 3.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

Метод подстановки.
Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
Решить уравнение с одной неизвестной.
Найти оставшуюся неизвестную.

Пример:

Решить систему уравнений методом подстановки

{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Решение:

Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

{ x = 8 − 2 y 3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

24 − 6 y − y = − 4

− 7 y = − 4 − 24

− 7 y = − 28

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

y = 4

Найти оставшуюся неизвестную.

y = 4

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

x = 0, y = 4
{ x = 0 y = 4
( 0 ; 4 )

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

если

{ a = b c = d

то

( a + c ) = ( b + d )

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Пример:

Решить систему уравнений методом сложения

{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

{ x + 2 y = 8 | ⋅ ( − 3 ) 3 x − y = − 4

{ ( − 3 ) ⋅ ( x + 2 y ) = ( − 3 ) ⋅ 8 3 x − y = − 4

{ − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

{ − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4 ⊕

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

− 7 y = − 28

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

x + 2 y = 8

x + 2 ⋅ 4 = 8

x + 8 = 8

x = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

x = 0, y = 4
{ x = 0 y = 4
( 0 ; 4 )

Скачать домашнее задание к уроку 4.

Решение уравнения с модулем онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Допустим, вам надо решить уравнение, содержащее модуль, а ещё лучше, если вам дано уравнение с 2 модулями.

Для примера, требуется решить


| x + 1| + |x – 5| = 20

Это уравнение мы решим с помощью калькулятора уравнений

Вы вводите уравнение, как указано на изображении ниже (знак модуля отмечается вертикальными линиями «|»)

Нажимаете кнопку «Решить уравнение!» и получаете подробное решение для своего уравнения с модулем:

Подробное решение

Для каждого выражения под модулем в ур-нии

допускаем случаи, когда соотв. выражение «>= 0» или «< 0»,

решаем получившиеся ур-ния.

получаем ур-ние

упрощаем, получаем

решение на этом интервале:

Неравенства не выполняются, пропускаем

получаем ур-ние

решение на этом интервале:

Не найдены корни при этом условии

получаем ур-ние

упрощаем, получаем

решение на этом интервале:

Тогда, окончательный ответ:


x2 = -8

Квадратное уравнение. Онлайн калькулятор с примерами

Решение квадратных уравнений

Как бы кто ни говорил, но тема квадратных уравнений – это база всей школьной программы. Читая дальше, вы поймете почему.

Решая линейные уравнения, требуется лишь навык применения арифметических операций. Даже решать систему линейных уравнений несложно, все сводится к сложению, вычитанию или раскрытию скобок, когда подставляем одно уравнение в другое. И так далее.

Иное дело, когда возрастает старшая степень неизвестной переменной, и первый вид таких уравнений как раз называется квадратным уравнением, когда неизвестная переменная представлена во второй степени.

Есть прямая связь квадратных уравнений с тем, что мы можем наблюдать вокруг нас. Тема квадратных уравнений легкая, но очень важная и требует полного изучения, однако, этим пренебрегают ученики, да и учителя тоже.

Например, полет снаряда, выпущенного из орудия, летит по траектории, описываемой квадратным уравнением, и называется параболой. Парабола имеет вершину и две ветви, расположенные зеркально, что напоминает подкову.

Где встречаются квадратные уравнения

На практике квадратные уравнения встречаются практически во всех сферах жизненной деятельности человека, от науки до искусства. В школьной программе обязательно в алгебре, геометрии со стереометрией, тригонометрии, при упрощении выражений и так далее. Разумеется, не только в математике. В химии, физике, экономике, биологии и других науках без квадратных уравнений никак не обойтись.

Более того, в некоторых задачах необходимо оперировать со значениями, являющимися корнями квадратного уравнения, и опять-таки требуется находить корни. Если нахождение корней квадратного уравнения является промежуточным действием, например, необходимо использовать только сумму корней или их произведение, то глядя на уравнение, это сразу видно. Но опять же это нужно знать!

График квадратного уравнения

Как вы уже знаете графиком квадратного уравнения является парабола. По виду уравнения можно легко определить расположение ее вершины и направление ветвей относительно системы координат.

Парабола может либо пересекать ось абсцисс (в одной или двух точках), либо не пересекать ее. Во втором случае говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных решений (корней). Если же график параболы пересекает ось абсцисс, то корней два или один как минимум.

Запомните! У квадратного уравнения всегда имеются либо два разных, либо один кратности два корень, потому что уравнение второй степени. В том случае, когда корни не принадлежат полю действительных чисел, они находятся в поле комплексных чисел. Если вы еще не слышали про комплексные числа, просто примите это к сведению.

Что такое дискриминант

Общий вид квадратного уравнения следующий:

a*x² + b*x + c = 0

Умножим обе части уравнения на 4*a, прибавим b² к обеим частям и применим формулу сокращенного умножения «квадрат суммы». Перенесем 4*a*c в правую часть уравнения. В результате получим:

(2*a*x + b)² = b² – 4*a*c

Отсюда очевидно, что при b² – 4*a*c действительных корней нет, потому что нет такого числа, которое в квадрате давало бы отрицательное.

При b² – 4*a*c = 0 только один кратный корень.

И третий случай, при b² – 4*a*c > 0 уравнение имеет два разных корня.

Рассмотрим последний случай, когда уравнение имеет два разных корня x₁ и x₂. Соответственно график параболы пересекает ось X в двух разных точках.

Координата вершины параболы определяется значением x = –b/2a.

Так как график параболы симметричен, то оба корня равноудалены от линии, проходящей через ее вершину.

Отсюда очевидно, что чем больше значение дискриминанта, тем дальше друг от друга располагаются корни уравнения. В этом заключается геометрический смысл дискриминанта.

Другими словами, значение дискриминанта напрямую указывает на удаленность корней уравнения друг от друга на числовой оси.

Так вот, удаленность корней друг от друга и называются дискриминантом, а формула, которую дают в школе под соусом «дискриминант», всего лишь выражает этот факт.

Как найти корни квадратного уравнения

Самое интересное это поиск корней уравнения. Есть несколько методов их нахождения, перечислим более известные.

1. Первый из них, самый известный всем школьникам, описанный выше, – это поиск по формуле квадратного уравнения, используя значение дискриминанта.

2. Принято отдельно считать метод выделения полного квадрата. Но как мы видели из поиска дискриминанта, это вытекает из первого способа.

3. Другой популярный способ – это разложение уравнения на множители, когда его приводят к виду (x+A)*(x+B)=0. Частный случай такого уравнения x*(x+A)=0 с нулевым корнем.

4. Еще один не менее важный способ – графический. В этом методе исследуют график параболы и находят ее пересечение с осями координат.

5. Очень удобный способ определения корней квадратного уравнения и часто применяемый в практических задачах – применение теоремы Виета.

Рассмотрим пример определения корней по теореме Виета

Пусть дано уравнение x² — 5 x + 6 = 0

Согласно этой теореме, сумма корней есть коэффициент перед x, но с противоположным знаком, а произведение корней – это значение свободного члена квадратного уравнения.

Очевидно, что x₁=2, а x₂=3, так как x₁+x₂=2+3=5, а x₁*x₂=2*3=6

Калькулятор решения квадратных уравнений

С нашим калькуляторе вы без проблем решите любое квадратное уравнение онлайн. Он полезен как для самопроверки, таки и для изучения этой темы, поскольку пошагово покажет весь ход решения до определения корней.

В калькуляторе предусмотрены различные варианты решения квадратного уравнения. Это по формуле через дискриминант, с помощью выделения полного квадрата и методом разложения на множители.

Каждый способ решения хорош по-своему, а главное помогает школьникам лучше усвоить столь важную тему как решение квадратных уравнений.

Желаем успехов!

Решения Уравнений

Что такое уравнение?

Уравнение говорит, что две вещи равны. Он будет иметь знак равенства «=», например:

Это уравнение говорит: то, что слева (x — 2) равно тому, что справа (4)

Итак, уравнение похоже на утверждение «, это равно , что »

Что такое решение?

Решение — это значение, которое мы можем поместить вместо переменной (например, x ), которая делает уравнение истинным .

Пример: х — 2 = 4

Когда мы ставим 6 вместо x, мы получаем:

6 — 2 = 4

, что правда

Таким образом, х = 6 является решением.

Как насчет других значений для х?

Для x = 5 мы получаем «5-2 = 4», что составляет , а не , поэтому x = 5 не является решением .
Для x = 9 мы получаем «9-2 = 4», что составляет , а не , поэтому x = 9 не является решением .
и т. Д.

В этом случае х = 6 является единственным решением.

Вы можете попрактиковаться в решении некоторых анимированных уравнений.

Больше, чем одно решение

Может быть больше, чем одно решение .

Пример: (х-3) (х-2) = 0

Когда х равен 3, мы получаем:

(3–3) (3–2) = 0 × 1 = 0

, что является истинным

И когда х равен 2, мы получаем:

(2-3) (2-2) = (-1) × 0 = 0

, что также правда

Итак, решения:

x = 3 или x = 2

Когда мы собираем все решения вместе, это называется Solution Set

Вышеуказанный набор решений: {2, 3}

решения везде!

Некоторые уравнения верны для всех допустимых значений и затем называются . Тождества

Пример: sin (−θ) = −sin (θ) является одним из тригонометрических тождеств

Давайте попробуем θ = 30 °:

sin (−30 °) = −0.5 и

−sin (30 °) = −0,5

Так что это истинно для θ = 30 °

Давайте попробуем θ = 90 °:

sin (−90 °) = -1 и

−sin (90 °) = −1

Так что это также истинно для θ = 90 °

Верно ли для все значения ? Попробуйте некоторые значения для себя!

Как решить уравнение

Не существует «одного идеального способа» решения всех уравнений.

Полезная цель

Но мы часто добиваемся успеха, когда наша цель —

Другими словами, мы хотим переместить все, кроме «x» (или любого другого имени переменной) в правую часть.

Пример: Решить 3x − 6 = 9

Начать с: 3x − 6 = 9

Добавьте 6 к обеим сторонам: 3x = 9 + 6

Разделите на 3: x = (9 + 6) / 3

Теперь у нас есть x = что-то ,

и короткий расчет показывает, что х = 5

как пазл

На самом деле, решение уравнения — это как решение головоломки.И как головоломки, есть вещи, которые мы можем (и не можем) делать.

Вот некоторые вещи, которые мы можем сделать:

Пример: Solve √ (x / 2) = 3

Начните с: √ (x / 2) = 3

Квадрат с обеих сторон: х / 2 = 3 ²

Рассчитать 3 ² = 9: х / 2 = 9

Умножим обе стороны на 2: x = 18

И чем больше уловок и техник вы изучите, тем лучше вы получите.

Специальные уравнения

Существуют специальные способы решения некоторых типов уравнений.Узнайте, как …

Проверьте свои решения

Вы должны всегда проверять, действительно ли ваше «решение» является решением .

Как проверить

Возьмите решения и поместите их в исходное уравнение , чтобы увидеть, действительно ли они работают.

Пример: решите для х:

2x x — 3 + 3 = 6 x — 3 (x ≠ 3)

Мы сказали, что x ≠ 3, чтобы избежать деления на ноль.

Давайте умножим на (х — 3):

2x + 3 (x − 3) = 6

Принесите 6 слева:

2x + 3 (x − 3) — 6 = 0

Развернуть и решить:

2x + 3x — 9 — 6 = 0

5x — 15 = 0

5 (х — 3) = 0

x — 3 = 0

Это можно решить, имея х = 3

Давайте проверим:

2 × 3 3 — 3 + 3 = 6 3 — 3

Держись!
Это означает деление на ноль!

И в любом случае, мы сказали наверху, что x ≠ 3, так что…

x = 3 на самом деле не работает, и так:

Существует Нет Решение!

Это было интересно … мы думали, что мы нашли решение, но когда мы оглянулись на вопрос, мы обнаружили, что это не разрешено!

Это дает нам моральный урок:

«Решение» только дает нам возможные решения, их нужно проверять!

Советы

Запишите, где выражение не определено (из-за деления на ноль, квадратного корня из отрицательного числа или по какой-либо другой причине)
Покажите все шаги , чтобы его можно было проверить позже (вами или кем-то еще)

,
Решить линейное уравнение с участием одного неизвестного
Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике … Исчисление, производные Исчисление, интеграция Исчисление, частное правило Монеты, считая Комбинации, Нахождение всех Комплексные числа, добавление Комплексные числа, вычисление с Комплексные числа, умножение Комплексные числа, полномочия Комплексные числа, вычитая Конверсия, Площадь Конверсия, Длина Конверсия, Масса Конверсия, Мощность Конверсия, Скорость Конверсия, Температура Конверсия, Объем Анализ данных, нахождение среднего Анализ данных, нахождение стандартного отклонения Анализ данных, гистограммы Десятичные дроби, конвертировать в дроби Электричество, Стоимость Факторинг, Целые числа Факторы, наибольшие общие Факторы, наименьшие общие Фракции, Добавление Фракции, сравнение Фракции, конвертирование Дроби, Преобразовать в десятичную Фракции, Деление Дроби, умножение Фракции, Сокращение Фракции, вычитая Фракции, что они Геометрия, Ящики Геометрия, Круги Геометрия, цилиндры Геометрия, прямоугольники Геометрия, прямоугольные треугольники Геометрия, сферы Геометрия, квадраты Графика, Линии Графика, любая функция Графики, круги Графика, Эллипсы Графика, Гиперболы Графика, неравенства Графика, полярный участок График, (х, у) точка Неравенства, графики Неравенство, решение Интерес, Соединение Интерес, Простой Линии, Уравнение от точки и наклона Линии, Уравнение от уклона и Y-Int Линии, Уравнение из двух точек Кредит, График платежей Лотерея, нахождение шансов Математика, практикующие полиномы Математика, Практика Основ Метрическая система, Конвертация Числа, Добавление Числа, рассчитываемые с Числа, Расчет с переменными Числа, Разделив Числа, Умножение Числа, Сравнение числовых линий Числа, Числовая линия Числа, стоимость места Числа, произношения Числа, округление Числа, вычитающие Параболы, Графика Полиномы, сложение / вычитание Полиномы, завершающие квадрат Полиномы, деление Полиномы, разность квадратов факторинга Полиномы, факторинг Полиномы, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение Многочлены, возводящие в степень Практика, математические задачи Пропорции, что они Квадратичные уравнения, квадратичная формула Квадратичные уравнения, решить с помощью факторинга Радикалы, другие корни Радикалы, квадратные корни Соотношения, что они Выход на пенсию, Сбережения для Цена продажи, Расчет Научная нотация, конвертация Научная нотация, разделение Научная нотация, умножение Формы, прямоугольники Упрощая что угодно Упрощение, Экспоненты Упрощение, как условия Упрощение, Продукты Время, думая о Совет, выяснение Тригонометрия, выражения Тригонометрия, прямоугольные треугольники Windchill, Фигурка
,
Решить одновременный набор из двух линейных уравнений
Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике … Исчисление, производные Исчисление, интеграция Исчисление, частное правило Монеты, считая Комбинации, Нахождение всех Комплексные числа, добавление Комплексные числа, вычисление с Комплексные числа, умножение Комплексные числа, полномочия Комплексные числа, вычитая Конверсия, Площадь Конверсия, Длина Конверсия, Масса Конверсия, Мощность Конверсия, Скорость Конверсия, Температура Конверсия, Объем Анализ данных, нахождение среднего Анализ данных, нахождение стандартного отклонения Анализ данных, гистограммы Десятичные дроби, конвертировать в дроби Электричество, Стоимость Факторинг, Целые числа Факторы, наибольшие общие Факторы, наименьшие общие Фракции, Добавление Фракции, сравнение Фракции, конвертирование Дроби, Преобразовать в десятичную Фракции, Деление Дроби, умножение Фракции, Сокращение Фракции, вычитая Фракции, что они Геометрия, Ящики Геометрия, Круги Геометрия, цилиндры Геометрия, прямоугольники Геометрия, прямоугольные треугольники Геометрия, сферы Геометрия, квадраты Графика, Линии Графика, любая функция Графики, круги Графика, Эллипсы Графика, Гиперболы Графика, неравенства Графика, полярный участок График, (х, у) точка Неравенства, графики Неравенство, решение Интерес, Соединение Интерес, Простой Линии, Уравнение от точки и наклона Линии, Уравнение от уклона и Y-Int Линии, Уравнение из двух точек Кредит, График платежей Лотерея, нахождение шансов Математика, практикующие полиномы Математика, Практика Основ Метрическая система, Конвертация Числа, Добавление Числа, рассчитываемые с Числа, Расчет с переменными Числа, Разделив Числа, Умножение Числа, Сравнение числовых линий Числа, Числовая линия Числа, стоимость места Числа, произношения Числа, округление Числа, вычитающие Параболы, Графика Полиномы, сложение / вычитание Полиномы, завершающие квадрат Полиномы, деление Полиномы, разность квадратов факторинга Полиномы, факторинг Полиномы, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение Многочлены, возводящие в степень Практика, математические задачи Пропорции, что они Квадратичные уравнения, квадратичная формула Квадратичные уравнения, решить с помощью факторинга Радикалы, другие корни Радикалы, квадратные корни Соотношения, что они Выход на пенсию, Сбережения для Цена продажи, Расчет Научная нотация, конвертация Научная нотация, разделение Научная нотация, умножение Формы, прямоугольники Упрощая что угодно Упрощение, Экспоненты Упрощение, как условия Упрощение, Продукты Время, думая о Совет, выяснение Тригонометрия, выражения Тригонометрия, прямоугольные треугольники Windchill, Фигурка
,
Share This Story, Choose Your Platform!
Facebook Twitter LinkedIn Reddit Whatsapp Google+Tumblr Pinterest Vk Email
Related Posts
Насморк при прорезывании зубов у детей: причины, симптомы и лечение
Насморк при прорезывании зубов у детей: причины, симптомы и лечение

Как развивать ребенка в 10 месяцев: игры и занятия для малыша
Как развивать ребенка в 10 месяцев: игры и занятия для малыша

Во сколько месяцев можно ставить мальчиков в ходунки: оптимальный возраст и безопасность использования
Во сколько месяцев можно ставить мальчиков в ходунки: оптимальный возраст и безопасность использования

УЗИ брюшной полости у детей: подготовка, проведение и расшифровка результатов
УЗИ брюшной полости у детей: подготовка, проведение и расшифровка результатов

Когда и как вводить прикорм грудному ребенку: рекомендации педиатров
Когда и как вводить прикорм грудному ребенку: рекомендации педиатров

Leave A Comment Отменить ответ
Comment

Save my name, email, and website in this browser for the next time I comment.