Логарифмы задачи: Задачи с логарифмическими выражениями — задачи с решениями

Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2^x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2^x = 7.

По графику функции y = 2^x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.

Ясно, что этот корень — не целое число (так как 2²

Этот корень обозначается log₂7 (читается: «логарифм семи по основанию два»). Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log₂7 = 2,807354922057604107. ..

Итак, наше число log₂7 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Иными словами,

Например:

  так как  ;

, так как  ;

  так как  ;

, так как  .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.

Основные формулы

По определению, log_ab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:

log_aa^x=x.

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

Логарифм частного — это разность логарифмов:

.

(3)

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

Формулы (4) и (5) вместе дают:

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

В частности, если c = b, то log_bb = 1, и тогда:

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1)).

3. (применили формулу (4)).

4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. (применили формулу (3) разности логарифмов).

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Логарифмы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Алгебра — Логарифмические функции (практические задачи)

Онлайн-заметки Пола
Главная / Алгебра / Экспоненциальные и логарифмические функции / Логарифмические функции

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 6.2: Логарифмические функции 9{- 2}} = 9\) Решение

Для задач 4 – 6 запишите выражение в экспоненциальной форме.

1. \({\log _2}\,32 = 5\) Решение
2. \({\log _{\frac{1}{5}}}\,\displaystyle \frac{1}{{625}} = 4\) Решение
3. \({\log _9}\,\displaystyle \frac{1}{{81}} = — 2\) Решение

Для задач 7 — 12 определите точное значение каждого из следующих без использования калькулятора.

1. \({\log _3}81\) Решение 92}\,\sqrt[5]{z}}}} \right)\) Решение

Для задач 16 – 18 объедините каждое из следующих чисел в один логарифм с коэффициентом, равным единице.

1. \(2{\log _4}x + 5{\log _4}y — \frac{1}{2}{\log _4}z\) Решение
2. \(3\ln \left( {t + 5} \right) — 4\ln t — 2\ln \left( {s — 1} \right)\) Решение
3. \(\displaystyle \frac{1}{3}\log a — 6\log b + 2\) Решение

Для задач 19 и 20 используйте формулу замены основания и калькулятор, чтобы найти значение каждого из следующих.

1. \({\log _{12}}35\) Решение
2. \({\log _{\frac{2}{3}}}53\) Решение

Для задач 21 – 23 зарисуйте каждую из заданных функций.

1. \(g\left( x \right) = — \ln \left( x \right)\) Решение
2. \(g\left( x \right) = \ln \left( {x + 5} \right)\) Решение
3. \(g\left( x \right) = \ln \left( x \right) — 4\) Решение

Натуральные логарифмы

НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ Обзор устройства В этом модуле вы будете оценивать натуральные экспоненциальные и натуральные логарифмические функции и моделировать экспоненциальные процессы роста и затухания. Вы также будете решать логарифмические и показательные уравнения, используя алгебру и графики. Реальные задачи, связанные с экспоненциальными и логарифмическими отношениями, будут решены в конце модуля. Натуральная экспонента и натуральная логарифмическая функция s Число e является важным иррациональным числом. Он примерно равен 2,71828. Как и pi , значение является постоянным. Показательная функция с основанием e называется показательной функцией с естественным основанием. Эти функции полезны при описании непрерывного роста или распада. Например, число e используется для решения проблем, связанных с непрерывным сложным процентом и непрерывным радиоактивным распадом. Экспоненциальные функции с основанием и обладают теми же свойствами, что и другие экспоненциальные функции. Натуральная логарифмическая функция y = log e x сокращенно y = ln x и является обратной натуральной показательной функцией y 9001 1 = е х . Пример №1 : Если e 5 = 148,413, чему равно x в выражении ln x 90 011 = 5? е 5 = 148,413   ln(148,413) = 5 Запишите экспоненту в виде обратного логарифма (ln). ∴ х = 148,413   *Примечание. Три треугольные точки — это сокращение от слова «поэтому». Пример № 2 : Если ln 54,598 = 4, чему равно x в выражении e x = 54,598? 54,598 = 4   е 4 = 54,598 Запишите экспоненту в виде обратного логарифма (ln). ∴ х = 4   Давайте потренируемся заменять экспоненциальные выражения e натуральными логарифмами (ln) и наоборот. (Не пользуйтесь калькулятором, в этом нет необходимости. Просто следуйте определению натурального логарифма и тому, как он соотносится с e .) Если e 3 = 20,086, чему равно x в выражении ln x = 3? х = 20,086 «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. Если e −2 = 0,0135, чему равно x в выражении ln 0,0135 = x ? х = −2 «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. Если ln 7,389 = 2, чему равно x в выражении e 2 = x ? х = 7,389 «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. Если ln 1 = 0, чему равно x в выражении e 0 = x ? х = 1 «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. Если e = x , каково значение x ? х = 1 «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. Калькулятор и натуральный логарифм (LN ) Клавиша, обозначенная на калькуляторе как LN , является клавишей натурального логарифма. Пример №1 : вычислите выражения с помощью калькулятора. Свойства десятичных логарифмов (log) применимы и к натуральным логарифмам (ln).   Правила для логарифмов Пример № 2 : Выразите 3 в 5 как одинарный натуральный логарифм. 3 пер. 5 = пер. 5 3 -Степенное свойство логарифмов           = пер. 125 — Упростить Пример №3 : Выразите число 35 – число 5 в виде единичного натурального логарифма. пер. 35 – пер. 5 = пер. — Частное свойство логарифмов                    = пер. 7 — Упростить Пример №4 : Выразите 2 ln x + 3 ln y + ln 8 в виде единичного натурального логарифма. 2 ряда x + 3 ряда г + пер. 8 =   ln x 2 + ln y 3 + ln 8 = -Степенное свойство логарифмов ln 8 x 2 y 3 — Свойство произведения логарифмов Стоп!   Перейдите к вопросам 1–8 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу. Решение уравнений с натуральными логарифмами Теперь давайте рассмотрим использование натурального логарифма для решения уравнения. Пример №1 : Решите 6,5 x x = 44 для x . пер. 6,5 x = пер. 44 -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. x длина 6,5 = длина 44 -Применить свойство Power. х = — Разделите обе стороны на ln 6,5. х ≈ 2,02 — Округлите ответ до сотых.               Чтобы проверить вышеприведенную задачу, замените 2,02 дюйма на x в исходном уравнении. 6,5 х = 44   6,5 2,02 ≈ 43,86 -Используйте калькулятор для оценки. *Примечание : Эту задачу также можно решить, взяв десятичный логарифм (логарифм) обеих частей уравнения. Натуральные логарифмы (ln) должны использоваться для решения задач, содержащих число e. Пример #2 : Решите e x = 40 для x .     e x = 40   пер. и x = пер. 40 -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. х = пер. 40 -Помните, что ln e х = х . х ≈ 3,69 -Используйте калькулятор. Пример №3 : Решите + 4 = 22 для x . + 4 = 22   = 18 -Вычесть 4 с обеих сторон. пер = пер 18 -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. = пер. 18 — Помните, что ln e x = x , ∴ln = . х = 3 (18) -Умножить обе части на 3. х ≈ 8,67 -Используйте калькулятор. Пример 4 х . 8 e 2 x− 5 = 56   и 2 х- 5 = 7 — Разделите обе стороны на 8. пер. e 2 x− 5 = пер. 7 -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. 2 x − 5 = пер. 7 -Помните ln e x = x , ∴ln e 2 x− 5 = 2 х — 5, 2 х = пер. 7 + 5 -Добавить 5 с обеих сторон. х = — Разделить на 2. х ≈ 3,47 -Используйте калькулятор. Пример № 5 : Решите 500 = 100 e 0,75 т для т .  500 = 100 e 0,75 т   5 = е 0,75 т — Разделите обе стороны на 100. пер. 5 = пер. е 0,75 т -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. ln 5 = 0,75 т -Помните ln e x = x , ∴ln e 0,75 t = 0,75 t 9001 1 . = т — Разделите обе части на 0,75. т ≈ 2,1459 -Используйте калькулятор.   Натуральные логарифмы Пример № 7 Пример #6 : Решите ln (10  x ) = ln(3  x + 14) для x . ln (10 x ) = ln (3 x + 14)   10 х = 3 х + 14 — Применить свойство «Один к одному». 7 х = 14 -Вычтите 3 x с обеих сторон. х = 2 — Разделите обе части на 2.  ln x + ln ( x — 3) = ln 10    ln [ x ( x − 3)] = ln 10 — Применить свойство продукта. х ( х — 3) = 10 — Применить свойство «Один к одному». х 2 − 3 х = 10 -Распространить х 2 − 3 х − 10 = 0 -Вычтите 10 из обеих сторон, затем примените свойство нулевого произведения для решения.  ( x – 5)( x + 2) = 0 -Коэффициент х – 5 = 0 или х + 2 = 0 — Установить оба коэффициента равными нулю. х = 5 или х = -2 -Решить Проверьте оба этих ответа в исходной задаче. Если какое-либо решение дает отрицательный логарифм, это решение должно быть отклонено. Чек : на 5 для –2   ln x + ln ( x — 3) = ln 10 ln x + ln ( x — 3) = ln 10   пер 5 + пер (5 — 3) = пер 10 пер (–2) + пер (–2 − 3) = пер 10   пер. 5 + пер. 2 = пер. 10     пер (–2) + пер (–5) = пер 10     2,30 = 2,30     *Это уравнение дает два положительных логарифма, поэтому 5 является решением. *Это уравнение дает два отрицательных логарифма, поэтому –2 не может быть решением, поскольку существует нет отрицательных логарифмов.

Формула с использованием натуральных логарифмов представляет собой формулу непрерывного сложного процента , где A — окончательная сумма, P — сумма инвестиций, r — процентная ставка, т это время.

Пример № 1 : Найдите стоимость 500 долларов США через 4 года инвестирования по годовой ставке 9% с постоянным начислением сложных процентов. A = неизвестно              P = 500 долларов США r = 9% = 0,09              t = 4 года А = Пе рт   А = 500 e (0,09)(4) — Заменяет P , r и t . А ≈ 716,66 долл. США -Вычислить и округлить до ближайшего цента. *В калькуляторе есть функция ввода е х . Эту функцию можно найти, нажав 2-ю LN. Обратите внимание, что над кнопкой LN есть e x . Нажмите 500, затем 2-ю ЛН, затем (0,09 × 4). Нажмите Enter, и появится ответ!

Пример № 2 : Сколько времени потребуется, чтобы удвоить ваши деньги, если вы вносите 500 долларов США по годовой ставке 7,2% с постоянным начислением сложных процентов? Предположим, , что вложенные деньги составляют 500 долларов США, первоначальная сумма. Эта удвоенная сумма составляет 1000 долларов США, и это будет окончательная сумма для определения ( A ). Пусть t = количество времени, необходимое для удвоения денег. А = Пе рт   1000 = 500 е (0,072) т — Заменить A = 1000, P = 500, r = 0,072 2 = е (0,072) т — Разделите обе стороны на 500. Share This Story, Choose Your Platform! FacebookTwitterLinkedInRedditWhatsappGoogle+TumblrPinterestVkEmail Related Posts Насморк при прорезывании зубов у детей: причины, симптомы и лечение Насморк при прорезывании зубов у детей: причины, симптомы и лечение Как развивать ребенка в 10 месяцев: игры и занятия для малыша Как развивать ребенка в 10 месяцев: игры и занятия для малыша Во сколько месяцев можно ставить мальчиков в ходунки: оптимальный возраст и безопасность использования Во сколько месяцев можно ставить мальчиков в ходунки: оптимальный возраст и безопасность использования УЗИ брюшной полости у детей: подготовка, проведение и расшифровка результатов УЗИ брюшной полости у детей: подготовка, проведение и расшифровка результатов Когда и как вводить прикорм грудному ребенку: рекомендации педиатров Когда и как вводить прикорм грудному ребенку: рекомендации педиатров Leave A Comment Отменить ответ Comment Save my name, email, and website in this browser for the next time I comment.