Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность, то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).


\((\)\(\frac{π}{2}\)\(;π)\)- вторая четверть

\((0;\)\(\frac{π}{2}\)\()\) — первая четверть

 

 

\((π;\)\(\frac{3π}{2}\)\()\) — третья четверть

\((\)\(\frac{3π}{2}\)\(;2π)\) — четвертая четверть

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций.

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Пример (ЕГЭ):

Найдите \(\sin⁡a\), если \(\cos⁡a=-0,6\) и \(π<a<\)\(\frac{3π}{2}\)

                              

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла? 
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

\(\sin^2⁡a+\cos^2⁡a=1\)

 

Подставим известное, и проведем вычисления. 2⁡a=0,64\)

 

\(\sin⁡a=0,8\)   или   \(\sin⁡a=-0,8\)

 

У нас два ответа, и оба нам подходят. Но у угла не может быть два синуса! Один лишний! А какой?
Вот тут нам и поможет знание о четвертях: обратите внимание, что у нас в условии есть двойное неравенство  \(π<a<\) \(\frac{3π}{2}\), то есть угол \(a\) такой, что больше \(π\), но меньше \(\frac{3π}{2}\).
Значит он лежит в третьей четверти. А в третьей четверти синус отрицателен. Поэтому верный ответ: \(-0,8\).

Ответ: \(\sin⁡a=-0,8\).

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от \(0\) до \(\frac{π}{2}\), но и углы от \(2π\) до \(\frac{5π}{2}\), и от \(4π\) до \(\frac{9π}{2}\), и от \(6π\) до \(\frac{13π}{2}\) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

\((-π;-\)\(\frac{3π}{2}\)\()\)- вторая четверть

         

\((-\)\(\frac{3π}{2}\)\(;-2π)\) — первая четверть

 

 

\((-\)\(\frac{π}{2}\)\(;-π)\) — третья четверть

\((0;-\)\(\frac{π}{2}\)\()\) — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Смотрите также:
Числовая окружность (шпаргалка)
Тригонометрическая таблица с кругом
Как обозначать точки на числовой окружности


Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6		Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8Найти точное значениеcos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

Мэтуэй | Популярные задачи

92
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5
Найти точное значение		 загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктан(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение тан(пи/2)
45 Найти точное значение грех(300)
46 Найти точное значение соз(30)
47 Найти точное значение соз(60)
48 Найти точное значение соз(0)
49 Найти точное значение соз(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение сек(60 градусов)
53 Найти точное значение грех(300 градусов)
54 Преобразование градусов в радианы 135
55 Преобразование градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3
58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов
59 Преобразование градусов в радианы 60
60 Найти точное значение грех(135 градусов)
61 Найти точное значение грех(150)
62 Найти точное значение грех(240 градусов)
63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов)
64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4
65 Найти точное значение грех(225)
66 Найти точное значение грех(240)
67 Найти точное значение cos(150 градусов)
68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45)
69 Оценить грех(30 градусов)
70 Найти точное значение сек(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение КСК(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение загар((5pi)/3)
75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0)
76 Оценить грех(60 градусов)
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4 
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение угловой синус(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение КСК(45)
83 Упростить арктан(квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение грех(135)
85 Найти точное значение грех(105)
86 Найти точное значение грех(150 градусов)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение загар((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4
90 Найти точное значение грех(пи/2)
91 Найти точное значение сек(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение угловой синус(0)
95 Найти точное значение грех(120 градусов)
96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97 Найти точное значение соз(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов

Какой угол (в радианах) соответствует 2/3 окружности?

Правильные ответы:

(1) (Вариант B) -1299

(2) (Вариант A) -2

(3) (Вариант A) b

(4) (Вариант D) m = 5

(5) (вариант D) 6

(6) (вариант B) 2

(7) (вариант A) p > 11

(8) (вариант B) x = 6

(9) (Вариант A) h

(10) (Вариант B) C = D ÷ AB

(11) (Вариант B) y = –45

(12) (Вариант A) y = 11

(13) ( Вариант D) q = 13

(14) (Вариант A) M = K/LN

(15) (Вариант C) h = 63

(16) (Вариант C) –3p + 11

(17) (Вариант C)

(18) (Вариант D) y = 31

(19 ) (Вариант D) R = E ÷ I

(20) (Вариант B) y = 4

Пояснения:

(1) Данное выражение:

-282 — (+1017)

= -282 — 1017

= -1299 (Вариант B)

(2) Общий остаток = 35 долларов

Один чек = 10 долларов

Три чека = 3 * 9 долларов = 27 долларов 35$ — 10$ — 27$ = -2 (Вариант А)

(3) Заданное выражение:

3b – 7

Прибавьте 7 с обеих сторон:

3b -7 + 7

3b

Разделите на 3 с обеих сторон:

909 06 б

(4) данное выражение:

4m + 9 + 5m – 12 = 42

9m = 42 + 12 — 9

9m = 45

Разделите обе части на 9:

Правильный ответ: m=5 (Вариант D)

(5) Данное выражение:

13 + (–12) – (–5)

= 13 — 12 + 5

= 6 (Вариант D)

(6) Математически мы можем записать «Четыре раза больше числа плюс 3 равно 11» как:

4x + 3 = 11

Где,

x = число, которое нам нужно

4x = 11 — 3

4x = 8

x = 2 (Вариант B)

(7) Полученное выражение:

12p + 7 > 139

Вычесть 7 с обеих сторон: 9090 7

12п+7- 7 > 139 -7

12p > 132

Разделим 12 на обе стороны:

\frac{132}{12} » alt=» \frac{12p}{12} >\frac{132}{12} » выровнять = «абсмидл»>

p > 11 (Вариант А)

(8) Данное уравнение:

7x = 42

Разделите уравнение на 7 с обеих сторон:

x = 6 (Вариант B)

(9) Данное уравнение выражение:

9h + 2

Вычесть 2 с обеих сторон:

9h + 2 — 2

9h

h

(10) Данное уравнение:

D = ABC

Теперь разделите обе стороны на AB с обеих сторон:

Отсюда C = D ÷ AB (Вариант B)

(11) Данное уравнение:

Вычесть 5 с обеих сторон:

y = -5*9 = -45

y = -45 (Вариант B)

(12) Данное уравнение:

12y = 132

Разделите обе части на 12:

y = 11 (Вариант А)

(13) Данное уравнение:

3q + 5 + 2q – 5 = 65

5q = 65

Разделите оба стороны с 5 и упростить :

q = 13 (Вариант D)

(14) Данная формула:

K = LMN

Чтобы найти M, разделите обе части на LN:

Следовательно, правильный ответ (Вариант A)

(15) Данная формула:

h/9 = 7

Умножьте обе части на 9:

h = 7 * 9

h = 63 (Вариант C)

(16) Дано выражение:

4п + 9 + (-7п) + 2

4п + 9 -7п +2

-3п + 11 (Вариант В)

(17) Дана формула:

909 06 16y = 164

Разделите обе части на 16:

Отсюда правильный ответ (Вариант C)

(18) Данное уравнение:

4y + 228 = 352

Вычесть обе части с 228:

4y + 228 — 228 = 352 — 228

4y = 124

Разделить обе части на 4 и упростить:

y = 31 (Вариант D)

(19) Данная формула:

E = IR

Чтобы найти R, разделите обе части на I:

R = E ÷ I (Вариант D)

(20) Полученное уравнение:

6y — 20 = 2y — 4

=> 6y — 2y = -4 + 20

=> 4y = 16

Разделите обе части на 4 и упростите:

у = 4 (вариант Б)

1.