2

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8Найти точное значениеcos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град.
)
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26
Найти точное значение		csc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значение
tan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.
3 6 Решить для ? cos(x)=1/2 7 Найти x sin(x)=-1/2 8 Преобразование градусов в радианы 225 9 Решить для ?
cos(x)=(квадратный корень из 2)/2 10 Найти x cos(x)=(квадратный корень из 3)/2 11 Найти x sin(x)=(квадратный корень из 3)/2 92=9 14 Преобразование градусов в радианы 120 градусов 15 Преобразование градусов в радианы
180 16 Найти точное значение желтовато-коричневый(195) 92-4 38 Найти точное значение грех(255) 39 Оценить лог база 27 из 36 40 Преобразовать из радианов в градусы 2 шт. 92-3sin(x)+1=0 43 Найти x tan(x)+ квадратный корень из 3=0 44 Найти x sin(2x)+cos(x)=0 45 Упростить (1-cos(x))(1+cos(x)) 92=25 59 График f(x)=- натуральный логарифм x-1+3 60 Найдите значение с помощью единичного круга угловой синус(-1/2) 61 Найти домен квадратный корень из 36-4x^2 92=0 66 Найти x cos(2x)=(квадратный корень из 2)/2 67 График у=3 68 График f(x)=- логарифмическая база 3 x-1+3 92 71 Найти x квадратный корень из x+4+ квадратный корень из x-1=5 72 Решить для ? cos(2x)=-1/2 73 Найти x логарифмическая база x из 16=4 9х 75 Упростить (cos(x))/(1-sin(x))+(1-sin(x))/(cos(x)) 76 Упростить сек(х)sin(х) 77 Упростить кубический корень из 24 кубический корень из 18 92=0 96 Найти x 3x+2=(5x-11)/(8г) 97 Решить для ? sin(2x)=-1/2 98 Найти x (2x-1)/(x+2)=4/5 92+n-72)=1/(n+9)

Производная от log x — Формула, доказательство

Прежде чем искать производную от log x, вспомним, что такое «log». «log» — десятичный логарифм. т. е. это логарифм с основанием 10. Если для «журнала» не указано основание, по умолчанию используется основание 10. т. е. log = log₁₀. Мы можем найти производную log x по x следующими методами.

  • Использование первого принципа
  • Использование неявного дифференцирования
  • Используя производную от ln x

Здесь мы не только найдем производную log x (с основанием 10), но также найдем производную log x с любым основанием.

1. Что такое производная log x?
2. Производные бревна
3. Производная log x Доказательство по первому принципу
4. Производная log x Доказательство неявным дифференцированием
5. Производная log x Доказательство с использованием производной ln x
6. Часто задаваемые вопросы о производной log x

Что такое производная log x?

Производная от logₐ x (log x с основанием a) равна 1/(x ln a). Здесь интересно то, что у нас есть «ln» в производной от «log x». Обратите внимание, что «ln» называется натуральным логарифмом (или) это логарифм с основанием «e». т. е. ln = logₑ. Кроме того, производная от log x равна 1/(x ln 10), потому что база log по умолчанию равна 10, если база не записана.

Производная log x (основание 10) по x обозначается как d/dx (log x) или (log x)’. Таким образом,

  • d/dx(logₐx) (или) (logₐx)’ = 1/(x ln a)
  • d/dx(log x) (или) (log x)’ = 1/(x ln 10)

Поскольку производная от log x непосредственно следует из производной от logₐ x, достаточно доказать последнее. Давайте докажем эту формулу, используя различные методы в следующих разделах.

Производные бревна

Мы собираемся обсудить производные журналов. т. е. производные как десятичных, так и натуральных логарифмов. Мы уже видели, что производная от logₐx равна 1/(x ln a). Здесь logₐ x называется десятичным логарифмом. Но у нас есть другой тип логарифма, называемый натуральным логарифмом. Он представлен как ln x. Это логарифм с основанием «e», поэтому его можно записать как ln x = log e x. Теперь у нас есть

d/dx (logₐ x) = 1 / (x ln a)

Подставьте a = e с обеих сторон. Тогда получаем:

d/dx (log e x) = 1 / (x ln e)

По свойствам натуральных логарифмов ln e = 1. Таким образом,

d/dx (log e x ) = 1 / (x · 1)

Таким образом, d/dx (log e x) = 1.

Заменив log e x на ln x назад, мы получим d/dx (ln x) = 1. /Икс.

Следовательно, производных от log равны:

  • d/dx (logₐ x) = 1 / (x ln a) (это производная десятичного логарифма)
  • d/dx (ln x) = 1/x (это производная натурального логарифма)

Производная log x Доказательство по первому принципу

Докажем, что d/dx(logₐ x) = 1/(x ln a), используя первый принцип (определение производной).

Доказательство:

Предположим, что f(x) = logₐx.

По первому принципу производная функции f(x) (обозначаемой через f'(x)) определяется пределом,

f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) — f(x)] / h

Так как f(x) = logₐ x, то f(x + h) = logₐ (x + час).

Подставив эти значения в уравнение первого принципа,

f'(x) = limₕ→₀ [logₐ (x + h) — logₐ x] / h logₐ (м/н). Применяя это,

f'(x) = limₕ→₀ [logₐ [(x + h) / x]] / h

= lim ₕ→₀ [logₐ (1 + (h/x))] / h

Предположим, что h/x = t. Отсюда h = xt.

Когда h→0, h/x→0 ⇒ t→0.

Тогда приведенный выше предел становится следующим: используя свойство логарифма, m logₐ a = logₐ a m . Применив это,

F ‘(x) = Limₜ → ₀ logₐ (1 + t) 1/(XT)

с использованием свойства экспонентов, MN = (A M ) N = (A M ) N = (A M ) N = (A M ) . Применяя это,

f'(x) = limₜ→₀ logₐ [(1 + t) 1/t ] 1/x

Применяя свойство logₐ a m = m logₐ a,

f'(x) = limₜ→₀ (1/x) logₐ [(1 + t) 1/t ]

Здесь переменной предела является ‘t’. Таким образом, мы можем написать (1/x) вне предела.

f'(x) = (1/x) limₜ→₀ logₐ [(1 + t) 1/t ] = (1/x) logₐ limₜ→₀ [(1 + t) 1/t ]

Используя одну из формул пределов, limₜ→₀ [(1 + t) 1/t ] = e. Следовательно,

f'(x) = (1/x) logₐ e

= (1/x) (1/logₑ a) (поскольку «a» и «e» меняются местами)

= (1/x) (1/ ln a) (поскольку logₑ = ln)

= 1 / (x ln a)

Таким образом, мы доказали, что производная от logₐ x равна 1 / (x ln a) по первому принципу.

Производная log x Доказательство неявным дифференцированием

Мы докажем, что d/dx(logₐx) = 1/(x ln a), используя неявное дифференцирование.

Доказательство:

Предположим, что y = logₐ x. Преобразование этого в экспоненциальную форму даст г = х. Взяв производную с обеих сторон по x, мы получим

d/dx (a y ) = d/dx (x)

. Используя цепное правило,

(a y ln a) dy/dx = 1

dy/dx = 1/(a y ln a)

Но у нас есть y = x. Следовательно,

dy/dx = 1 / (x ln a)

Следовательно, мы доказали, что производная logₐ x равна 1 / (x ln a), используя неявное дифференцирование.

Производная от log x Доказательство с использованием производной от ln x

Обратите внимание, что производная от ln x равна 1/x. Мы можем преобразовать журнал в ln, используя изменение базового правила. Давайте посмотрим, как.

Доказательство:

Предположим, что f(x) = logₐx.

Изменив базовое правило, мы можем записать это как

f(x) = (logₑ x) / (logₑ a)

Мы знаем, что logₑ = ln. Таким образом,

f(x) = (ln x) / (ln a)

Теперь найдем его производную.

f'(x) = d/dx [(ln x) / (ln a)]

= 1/ (ln a) d/dx (ln x)

= 1 / (ln a) · (1/x)

= 1 / (x ln a)

Таким образом, мы доказали, что производная logₐ x по x равна 1/(x ln a) .

Важные примечания относительно производной log x:

Вот несколько важных замечаний относительно производной log x.

  • Производная от logₐ x равна 1/(x ln a).
  • Производная log x равна 1/(x ln 10).
  • Производные от ln x и log x НЕ совпадают.
    d/dx(ln x) = 1/x, тогда как d/dx (log x) = 1/(x ln 10).
  • Поскольку область определения logₐ x равна x > 0, d/dx (logₐ |x|) = 1/(x ln a).
    Кроме того, d/dx(log |x|) = 1/(x ln 10).

☛ Связанные темы:

Вот некоторые темы, связанные с производной от logₐ x.

  • Формулы журнала
  • Производные формулы
  • Предельные формулы
  • Расчетный калькулятор

Часто задаваемые вопросы о производной log x

Какова производная log x по основанию 10 по отношению к x?

Производная от log x (основание 10) равна 1/(x ln 10). Если бревно имеет основание «а», то его производная равна 1/(x ln a). т. е. d/dx(logₐx) = 1/(x ln a).

Является ли производная log x равной 1/x?

Нет, производная log x НЕ равна 1/x. На самом деле производная от ln x равна 1/x. Но производная log x равна 1/(x ln 10).

Что такое n

th Производная от log x?

Первая производная log x равна 1/(x ln 10). Вторая производная равна -1/(x 2 ln 10). Его третья производная равна 2/(x 3 ln 10). Если мы продолжим этот процесс, n th производная от log x равна [(-1) n-1 (n-1)!]/(x n ln 10).

Что такое производная log x по основанию a?

Производная log x по основанию a равна 1/(x ln a). Доказать это можно несколькими способами. Для получения дополнительной информации нажмите на следующее:

  • Производная log x по первому принципу
  • Производная log x с помощью неявного дифференцирования
  • Производная от log x Использование производной от ln x

Что такое вторая производная log x?

Первая производная log x равна 1/(x ln 10).