Сколько существует натуральных чисел меньших 2019 квадрат которых делится на 14: Натуральные числа: определение, примеры, свойства

Простая физика — EASY-PHYSIC

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Статья содержит несложные подготовительные задачи.

Задача 1.

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Определим произведение данных чисел: 990. Если умножить это число еще раз на 11 – получим пятизначное число, а если на 9 – 8910. Это число четырехзначное, цифры его различны. Большее подобрать не удастся.

Ответ: 8910.

Задача 2.

  Натуральные числа , таковы, что . Найти наибольшее значение НОД всех этих чисел.

Так как у чисел есть общий делитель, то

То есть — делитель числа 540.

Если даже все наши натуральные числа равны 1, то их сумма не меньше 49. Тогда

Ближайший делитель числа 540, меньший 11 – это 10.

Ответ: 10.

Задача 3.

Найдите все пары шестизначных чисел, которые при записи друг за другом образуют двенадцатизначное число, которое делится на произведение двух исходных чисел.

А это означает, что . Причем, так как числа оба шестизначные, результатом деления будет число от 1 до 9. Делителями 1000000 в этих пределах будут являться 1, 2, 4, 5 и 8.

То есть .

Если , 1000001 – не делится ни на какие числа .

Если , – делится на шестизначное число,  .

Если , – если одно из чисел 250001, то оно не делится на шестизначное.

Если , – если одно из чисел 333335, то оно не делится на шестизначное.

Если , – делится на 250002 и 125001.

Ответ: и .

Задача 4.

Школьник должен был умножить однозначное число  на трехзначное, а потом разделить результат на трехзначное (при этом результат получался натуральным числом). Однако он не заметил знак умножения и принял пару однозначное и трехзначное число за четырехзначное. Поэтому результат деления оказался в пять раз больше истинного.  Найдите все три исходные числа.

Школьник работал с числом — если первое , а второе — . Если третье число — , то

Тогда

Делителями числа 200 являются 1, 2, 4, 8. Если , то . Следовательно, . Тогда или .

Ответ: 1, 250, 250, или 1, 250, 125.

Задача 5.

На листке бумаги написан набор натуральных чисел. Все числа различные, и каждое из них не превосходит 2018. Известно, что никакое из написанных  чисел и никакая сумма нескольких из них не делится на 13. Какое наибольшее количество чисел может быть в наборе?

Наименьший остаток при делении на 13 — 1. Поэтому в наборе не может быть более 12 чисел – ведь сумма остатков тоже не должна делиться на 13.

Ответ: 12.

Задача 6.

Решите в натуральных числах уравнение:

В ответ записать максимальное .

Приводим к общему знаменателю:

Наибольшее .

Ответ: 650.

Задача 7.

Сколько существует различных семизначных чисел, кратных 11, десятичная запись которых содержит цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, причем все цифры в десятичной записи различны.

Согласно признаку делимости на 11, разность сумм цифр, стоящих на нечетных местах, и на четных, должна быть равна 0 или кратна 11.

Сумма .

Пусть сумма цифр на нечетных местах , а сумма цифр на четных — . Поэтому или . Решаем систему

Либо

Не может так получиться, что сумма трех цифр равна 3. Поэтому .

На нечетных местах 4 цифры, а на четных – 3. Если одна из этих трех – 7, то на других четных могут стоять 2 и 5, 1 и 6, 3 и 4. Если 7 на нечетном месте, то 6 уже не может стоять на нечетном месте. Если 6 на четном месте, то с ней на других четных местах могут стоять 5 и 3 (и только). Расставить отобранные числа на четных местах можно способами, на нечетных — способами – для каждого набора подобранных цифр. А наборов – 4: , , , . Поэтому всего таких семизначных чисел .

Ответ: 576.

Задача 8.

Найдите количество таких пар натуральных чисел и , что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и на 34.

Запишем условие задачи:

Последнее возможно лишь при .

Если , то .

Если , то — подходит.

Если , то .

Если , то — подходит.

Если , то — подходит.

Если , то — подходит.

Если , то — подходит.

Если , то — подходит.

Количество решений – 6.

Rs Aggarwal 2019 для класса 8 Math Chapter 3

Rs Aggarwal 2019 Решения для класса 8 Math Chapter 3 Squares And Square Roots представлены здесь с простыми пошаговыми объяснениями. Эти решения для квадратов и квадратных корней чрезвычайно популярны среди учащихся 8 класса по математике. Решения для квадратов и квадратных корней пригодятся для быстрого выполнения домашних заданий и подготовки к экзаменам. Все вопросы и ответы из книги Rs Aggarwal 2019 по математике для 8-го класса, глава 3, предоставляются здесь для вас бесплатно. Вам также понравится отсутствие рекламы на Rs Aggarwal 2019 от Meritnation.Решения. Все решения Rs Aggarwal 2019 для класса 8 по математике подготовлены экспертами и на 100% точны.

Страница № 42:

Ответ:

Полный квадрат всегда можно представить как произведение равных множителей.

(i)
Разложение на простые множители:
 441=49×9=7×7×3×3=7×3×7×3=21×21=(21)2

Таким образом, 441 является совершенным квадрат.

(ii)
Разложение на простые множители:
 576=64×9=8×8×3×3=2×2×2×2×2×2×3×3=24×24=(24)2

Таким образом, 576 — полный квадрат.

(iii)
Разложение на простые множители: 
11025=441×25=49×9×5×5=7×7×3×3×5×5=7×5×3×7×5×3= 105×105=(105)2

Таким образом, 11025 — полный квадрат.

(iv)
Разложение на простые множители:
1176=7×168=7×21×8=7×7×3×2×2×2

1176 нельзя представить в виде произведения двух равных чисел. Таким образом, 1176 не является идеальным квадратом.

(v)
Разложение на простые множители:
 5625=225×25=9×25×25=3×3×5×5×5×5=3×5×5×3×5×5=75× 75=(75)2

Таким образом, 5625 — полный квадрат.

(vi)
Разложение на простые множители:
 9075=25×363=5×5×3×11×11=55×55×3

9075 не является произведением двух равных чисел. Таким образом, 9075 не является идеальным квадратом.

(vii)
Разложение на простые множители:
 4225=25×169=5×5×13×13=5×13×5×13=65×65=(65)2 

Таким образом, 4225 является совершенным квадрат.

(viii)
Разложение на простые множители: 
1089=9×121=3×3×11×11=3×11×3×11=33×33=(33)2 

Таким образом, 1089 является совершенным квадрат.

Страница № 42:

Ответ:

Полный квадрат — это произведение двух совершенно равных чисел.

(i)
Разложение на простые множители:

1225=25×49=5×5×7×7=5×7×5×7=35×35=(35)2

Таким образом, 1225 полный квадрат числа 35.

(ii)
Разложение на простые множители:
 2601=9×289=3×3×17×17=3×17×3×17=51×51=(51)2

Таким образом , 2601 — полный квадрат числа 51.

(iii)
Разложение на простые множители: 

5929=11×539=11×7×77=11×7×11×7=77×77=(77)2

Таким образом, 5929 является полным квадратом числа 77.

(iv)
Разложение на простые множители:
7056=12×588=12×7×84=12×7×12×7=(12×7)2 =(84)2

Таким образом, 7056 является полным квадратом числа 84.

(v)
Разложение на простые множители:

 8281=49×169=7×7×13×13=7×13×7× 13=(7×13)2=(91)2

Таким образом, 8281 является полным квадратом числа 91.

Страница № 42:

Ответ:

1. Разложение числа 3675 на простые множители:
 3675=3× 5×5×7×7

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, данное число нужно умножить на 3.

Новое число= (32×52×72)=(3×5×7)2=(105)2

Следовательно, новое число число равно квадрату числа 105.

2. Разложим 2156 на простые множители:
2156=2×2×7×7×11=(22×72×11)

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, данное число должно умножить на 11.

Новое число =(22×72×112)=(2×7×11)2=(154)2

Следовательно, новое число равно квадрату числа 154.

3. Решение 3332 на простые множители:
​3332=2×2×7×7×17=22×72×17

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, данное число нужно умножить на 17.

Новое число =(22×72×172) =(2×7×17)2=(238)2

Следовательно, новое число равно квадрату числа 238.

4. Разложение 2925 на простые множители:
​2925=3×3×5×5×13 =32×52×13

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, данное число нужно умножить на 13.

Новое число =(32×52×132)=(3×5×13)2=(195) 2

Следовательно, число, квадрат которого является новым числом, равно 19.5.

5. Разложение числа 9075 на простые множители:

 ​9075=3×5×5×11×11=3×52×112

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, нужно данное число умножить на 3.

Новое число =(32×52×112)=(3×5×11)2=(165)2

Следовательно, новое число представляет собой квадрат 165.

6. Разложение 7623 на простые множители:
 7623=3×3×7×11×11=32×7×112

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, данное число нужно умножить на 7.

Новое число =(32×72×112) =(3×7×11)2=(231)2

Следовательно, число, квадрат которого является новым числом, равно 231.

7. Разложение 3380 на простые множители:
 3380=2×2×5×13×13=22×5×132

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, данное число следует умножить на 5.

Новое число =(22×52×132)=(2×5×13)2=(130)2

Следовательно, новое число представляет собой квадрат 130.

8. Разложение числа 2475 на простые множители:
2475=3×3×5×5×11=32×52×11

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, данное число нужно умножить на 11.

Новое число =(32×52×112)=(3×5×11)2=(165)2

Следовательно, новое число равно квадрату числа 165.

Страница № 42:

Ответ:

(i) Разложение 1575 на простые множители:
 1575=3×3×5×5×7=32×52×7

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, данное число нужно разделить на 7

Новое число получено=(32×52)=(3×5)2=(15)2

Следовательно, новое число представляет собой квадрат 15

(ii) Разложение 9075 на простые множители:

9075=3×5× 5×11×11=3×52×112

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, нужно данное число разделить на 3

Получено новое число=(52×112)=(5×11)2=(55)2

Следовательно, новое число равно квадрат 55

(iii) Разложение 4851 на простые множители:

 4851=3×3×7×7×11=32×72×11

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, данное число нужно разделить на 11

Получено новое число=(32×72)=(3×7)2=(21)2

Следовательно, новое число представляет собой квадрат 21

(iv) Разложение 3380 на простые множители: 

3380=2×2×5×13×13=22×5×132

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, нужно данное число разделить на 5

Получено новое число=(22×132)=( 2×13)2=(26)2

Следовательно, новое число есть квадрат 26

(v) Разложение 4500 на простые множители:

4500=2×2×3×3×5×5×5 =22×32×52×5

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, нужно данное число разделить на 5

Получено новое число=(22×32×52)=(2×3×5)2=( 30)2

Следовательно, новое число есть квадрат 30

(vi) Разложение числа 7776 на простые множители:

 7776=2×2×2×2×2×3×3×3×3×3=22×22×2×32×32×3

Таким образом, чтобы получить идеальный квадрат, данное число нужно разделить на 6, которое является произведением 2 и 3

Получено новое число=(22×22×32×32)=(2×2×3×3)2=( 36)2

Следовательно, новое число является квадратом 36

(vii) Разложение 8820 на простые множители:

 8820=2×2×3×3×5×7×7=22×32×5× 72

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, нужно данное число разделить на 5

Получено новое число=(22×32×72)=(2×3×7)2=(42)2

Следовательно, новое число есть квадрат 42

(viii) Разложение 4056 на простые множители:

4056=2×2×2×3×13×13=22×2×3×132

Таким образом, чтобы получить полный квадрат, данное число нужно разделить на 6, которое является произведением 2 и 3

Получено новое число=(22×132)=(2×13)2=(26)2

Следовательно, новое число есть квадрат числа 26

Страница № 42:

Ответ:

Первые три цифровое число (100) является полным квадратом. Его квадратный корень равен 10,9.0011 Число до 10 равно 9.
Квадрат 9 = (9)2=81
Таким образом, наибольшее двузначное число, являющееся полным квадратом, равно 81.

Страница № 42:

Ответ:

Самая большая 3 числовое число равно 999.

Число, квадрат которого равен 999, равно 31,61.

Таким образом, квадрат любого числа больше 31,61 будет четырехзначным числом.
Таким образом, квадрат числа 31 будет наибольшим совершенным квадратом из трех цифр.

312=31×31=961

Страница № 45:

Ответ:

Наблюдая за свойствами квадратных чисел, мы можем определить, является ли данное число квадратом или нет.

(i) 5372
Число, оканчивающееся на 2, не является полным квадратом.
Таким образом, данное число не является полным квадратом.

(ii) 5963
Число, оканчивающееся на 3, не является полным квадратом.
Таким образом, данное число не является полным квадратом.

(iii) 8457
Число, оканчивающееся на 7, не является полным квадратом.
Таким образом, данное число не является полным квадратом.

(iv) 9468
Число, оканчивающееся на 8, не является полным квадратом.
Таким образом, данное число не является полным квадратом.

(v) 360
Любое число, заканчивающееся нечетным числом нулей, не является полным квадратом.
Следовательно, данное число не является полным квадратом.

(vi) 64000
Любое число, заканчивающееся нечетным числом нулей, не является полным квадратом.
Следовательно, данное число не является полным квадратом.

(vii) 2500000
Любое число, заканчивающееся нечетным числом нулей, не является полным квадратом.
Следовательно, данное число не является полным квадратом.

Страница № 45:

Ответ:

Квадрат четного числа всегда четен.
Таким образом, четные числа в данном списке квадратов будут квадратами четных чисел.

(i) 196
Это четное число. Таким образом, это должен быть квадрат четного числа.

(ii) 441
Это нечетное число. Таким образом, это не квадрат четного числа.

(iii) 900
Это четное число. Таким образом, это должен быть квадрат четного числа.

(iv) 625
Это нечетное число. Таким образом, это не квадрат четного числа.

(v) 324
Это четное число. Таким образом, это квадрат четного числа.

Страница № 46:

Ответ:

Согласно свойству квадратов, квадрат нечетного числа также является нечетным числом.
Используя это свойство, мы определим, какое из чисел в данном списке квадратов является квадратом нечетного числа.

(i) 484.
Это четное число. Таким образом, это не квадрат нечетного числа.

(ii) 961
Это нечетное число. Таким образом, это квадрат нечетного числа.

(iii) 7396
Это четное число. Таким образом, это не квадрат нечетного числа.

(iv) 8649
Это нечетное число. Таким образом, это квадрат нечетного числа.

(v) 4225
Это нечетное число. Таким образом, это квадрат нечетного числа.

Страница № 46:

Ответ:

Сумма первых n нечетных чисел = n2

(i) (1+3+5+7+9+11+13) = 72=49

(ii) (1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=102=100

(iii) (1+3+5+7+9+11+13+ 15+17+19+21+23) = 122 = 144

Страница № 46:

Ответ:

Сумма первых n нечетных натуральных чисел = n2

(i) Представление 81 в виде суммы 9 нечетных чисел:
81=92n=981=1+3+5+7+9+11+13+15+17

(ii) Выражение 100 в виде суммы 10 нечетных чисел:
100=102n=10100=1+3+ 5+7+9+11+13+15+17+19

Страница № 46:

Ответ:

Для каждого числа m > 1 пифагорейская тройка равна 2m, m2-1, m2+1.

Используя приведенный выше результат:

(i)
 2m=6m=3, m2=9m2-1=9-1=8m2+1=9+1=10

Таким образом, пифагорейская тройка равна 6,8, 10.

(ii)
2m=14m=7, m2=49m2-1=49-1=48m2+1=49+1=50

Таким образом, пифагорейская тройка равна 14,48,50.

(iii)
2m=16m=8, m2=64m2-1=64-1=63m2+1=64+1=65

Таким образом, пифагорейская тройка: 16,63,65

(iv)
2м=20м=10, м2=100м2-1=100-1=99м2+1=100+1=101

Таким образом, пифагорейская тройка равна 20,99 101.

Страница № 46:

Ответ:

Дано: n+12-n2 = n+1+n

(i) 382-372=38+37=75

(ii) 752-742=75+ 74=149

(iii) 922-912=92+91=183

(iv) 1052-1042=105+104=209

(v) 1412-1402=141+140=281

Страница № 46:

Ответ:

(i) 3102=300+102=3002+2300×10+102=

+6000+100=96100 9 0003

(ii) 5082=500+82=5002+2500×8+82=250000+8000+64=258064

(iii) 6302=600+302=6002+2600×30+302=360000+36000+900=396900

Номер страницы 46:

Ответ:

(i) 1962=200-42= 2002-2200× 4+42=40000-1600+16=38416

(ii) 6892=700-112=7002-2700×11+112=4

-15400+121=474721

(iii) 8912=900-92= 9002- 2900×9+92=810000-16200+81=793881

Номер страницы 46:

Ответ:

(i) 69×71=70-1×70+1=702-12=4900-1=4899

(ii) 94×106=100-6×100+6=1002-62=10000-36=9964

Страница № 46:

Ответ:

(i) ​88×92=90-2×90+2=902-22=8100-4=8096

(ii) 78×82=80-2×80+2=802-22 =6400-4=6396

Страница № 46:

Ответ:

(i) Квадрат четного числа равен четному .

(ii) Квадрат нечетного числа равен нечетному .

(iii) Квадрат правильной дроби на меньше, чем данная дробь на .

(iv) n2=сумма первых n нечетных натуральных чисел.

Страница № 46:

Ответ:

(i) F
     Количество цифр в квадрате также может быть нечетным. Например: 121

(ii) F
     Простым числом является число, которое не делится ни на какое другое число, кроме как на себя и на 1. Таким образом, квадрат любого числа не может быть простым числом.

(iii) F
      Пример: 4+9=13
4 и 9 — квадраты чисел 2 и 3 соответственно. Их сумма (13) не является полным квадратом.

(iv) F
       Пример: 36-25=11
36 и 25 — правильные квадраты. Их разница равна 11, что не является полным квадратом.

(v) T

Страница № 48:

Ответ:

Метод столбца:
∴  a = 2
     b = 3

∴ 232=529

Страница № 48:

Ответ:

Используя метод столбцов:
Здесь a = 3 и b = 5

∴ 352 = 1225

Страница № 48:

Ответ:

Используя метод столбца:

Здесь a = 5
        b = 2

∴ 522=2704

Страница № 48:

Ответ:

Использование метода столбцов:

Здесь a =9b = 6

∴ 962=9216

Страница № 49:

Ответ:

672=4489

Страница № 49:

Ответ:

862=7396

Номер страницы 49:

Ответ:

1372=18769

Страница № 49:

Ответ:

2562=65536

Страница № 50:

Ответ:

По методу простой факторизации:

225=3×3×5×5225=3×5=15

Номер страницы 50:

Ответ:

По простой факторизации:

      441=3×3×7×7 ∴ 441=3×7= 21

Страница № 50:

Ответ:

Разложение на простые множители:

729=3×3×3×3×3×3

∴ 729=3×3×3=27

Ответ:

Разложим на простые множители:

1296=2×2×2×2×3×3×3×3

∴1296=2×2×3×3=36

Страница № 50 :

Ответ:

Разложим на простые множители:

2025=3×3×3×3×5×5

∴2025=3×3×5=45

Номер страницы 50:

Ответ:

Разложим на простые множители:
4096=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2

∴ 4096=2×2×2×2×2×2=64

Страница № 50:

Ответ:

Разложение на простые множители:

7056=2×2×2×2×3×3×7×7

∴7056=2×2×3×7=84

Страница № 50:

Ответ:

Разложение на простые множители:

8100=2×2×3×3×3×3×5×5

∴8100=2×3×3×5=90

Номер страницы 50:

Ответ:

Разложение на простые множители:

9216=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×3×3

∴ 9216=2×2×2×2×2×3=96

Страница № 50:

Ответ:

Разложение на простые множители:

11025=3×3×5×5×7×7

∴11025=3×5×7=105

Номер страницы 50:

Разложим на простые множители:

15876=2×2×3×3×3×3×7×7

∴15876=2×3×3×7=126

Номер страницы 50:

Ответ:

Разложение на простые множители:

17424=2×2×2×2×3×3×11×11

∴ 17424=2×2×3×11=132

Номер страницы 50:

Ответ:

число нужно умножить на 7, чтобы получить правильный квадрат.

Новый номер = 252×7=1764

∴1764=2×3×7=42

Номер страницы 50:

Ответ:

Разложим на простые множители:

2925=3×3×5×5×13

13 — наименьшее число, на которое нужно разделить данное число, чтобы оно стало полным квадратом.

Новый номер = 2925÷13=225

225=3×5=15

Номер страницы 50:

Ответ:

Пусть количество строк будет x .
Следовательно, количество растений в каждом ряду также равно x.
Общее количество растений =x × x=x2=1225
x2=1225=5×5×7×7x=1225=5×7=35

Таким образом, количество рядов равно 35, а количество растений в в каждом ряду 35,

Страница № 50:

Ответ:

Пусть количество учеников равно x.
Следовательно, сумма, внесенная каждым студентом, равна x рупий.

Общая сумма вклада =x×x=x2=1156

1156=2×2×17×17x=1156=2×17=34

Таким образом, сила класса равна 34.

Страница № 50:

Ответ:

Наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел, является их НОК.
Л.К.М. из 6, 9, 15, 20 = 180

Разложение на простые множители: 
180=2×2×3×3×5
Чтобы получить правильный квадрат, умножим его на 5.

Необходимое число = 180×5=900

Страница № 51:

Ответ:

Наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел, является их Н.К.М.
Л.К.М. из 8, 12, 15, 20 = 120

Разложение на простые множители:
120=2×2×2×3×5

Чтобы превратить это в идеальный квадрат, нам нужно умножить число на 2×3× 5=30.

Необходимое количество = 120×30=3600

Страница № 54:

Ответ:

Метод деления в большую сторону:

∴ 576 = 24

Номер страницы 54:

Ответ:

Метод деления в большую сторону:

∴ 1444 = 38

Страница № 54 :

Ответ:

При использовании метода деления в длинную сторону:

∴ 4489 = 67

Страница № 54:

Ответ:

При использовании метода деления в длинную сторону:

∴ 6241 = 79

Страница № 54 :

Ответ:

При использовании метода деления в большую сторону:

∴ 7056 = 84

Номер страницы 54:

Ответ:

При использовании метода деления в длинную сторону:

∴ 9025 = 95

Страница № 54 :

Ответ:

Используя метод деления в длинное число:

∴ 11449=107

Страница № 54:

Ответ:

Метод деления в длинное число:

 
∴ 14161=119

Номер страницы 54:

Ответ:

Метод деления в длинное число:

∴ 10404=102

Номер страницы 54:

Ответ:

Метод деления в длинное число: 90 011

∴ 17956 = 134

Страница № 54 :

Ответ:

Используя метод деления в длинное число:

∴ 19600=140

Страница № 54:

Ответ:

Используя метод деления в длинное число:

∴ =304

Страница № 54:

Ответ:

Используя метод деления в большую сторону:

Следовательно, число, которое нужно вычесть из заданного числа, чтобы получить полный квадрат, равно 9.

Страница № 54:

Ответ:

метод длинного деления:

Следовательно, число, которое нужно вычесть из заданного числа, чтобы сделать его полным квадратом, равно 12.
Полный квадрат = 7581-12
                      = 7569

Его квадратный корень равен 87.

Страница № 54:

Ответ:

Используя метод деления в длину:

Таким образом, чтобы получить полный квадрат больше заданного числа, мы возьмем квадрат следующего натурального числа частного, то есть 78.
792=6241
Число, которое нужно прибавить к данному числу, чтобы получить полный квадрат =6241-6203=38

Полученный таким образом полный квадрат равен 6241, а его квадратный корень равен 79.

Страница № 54:

Ответ:

Используя метод деления в большую сторону:

Следующее натуральное число, являющееся полным квадратом, можно получить, возведя в квадрат следующее натуральное число полученного частного, то есть 91.
Следовательно, квадрат (91+1) = 922=8464
Число, которое следует добавить к

Страница № 54:

Ответ:

Наименьшее четырехзначное число = 1000

Используя метод длинного деления:

1000 не является идеальным квадратом.
Методом длинного деления полученный квадратный корень находится между 31 и 32.
Возведение в квадрат следующего целого числа (32) даст нам следующий полный квадрат.

322=1024

Таким образом, 1024 — это наименьший четырехзначный совершенный квадрат.

Кроме того, 1024=32

Страница № 54:

Ответ:

Наибольшее число из пяти цифр = 99999

При использовании метода деления в большую сторону:

3162=99856

99856 требуемый номер.
его квадратный корень составляет 316.

Стр. № 54:

Ответ:

Площадь квадратного поля = 60025 M2
Длина каждой стороны квадратного поля = 60025 = 245 м
Периметр поля = 4 × 245 = = 60025 = 245 м
Периметр поля = 4 × 245 = 60025 = 245 м
поля = 4 × 245 = 60025 = 245 м
. 980 м

                                  = 9801000 км
Человек едет на велосипеде со скоростью 18 км/ч.

                         Время = Пройденное расстояние Скорость          = 980100018           = 9801000 × 18 ч                     = 98 0 × 60 × 6018000 с                   =98 × 2 с          = 196 с           = 3 мин 16 с

Страница № 56:

Ответ:

Использование метода деления в длину :

∴ 1,69=1,3

Номер страницы 56:

Ответ:

Номер страницы 56:

Ответ:

Используя метод деления в длинную сторону:

∴ 75,69=8,7

Номер страницы 56:

Ответ:

Метод деления в длинную сторону:

​∴ 9,8596 =3. 14

Страница № 56:

Ответ:

Используя метод длинного деления:

∴  10,0489=3,17

Номер страницы 56:

Ответ:

Используя метод деления в длинную сторону:

∴ 1,0816=1,04 900 03

Страница № 56:

Ответ:

Используя метод деления в большую сторону:

∴ 0,2916=0,54

Страница № 56:

Ответ:

Используя метод деления в большую сторону:

     3=1,732 ⇒3 = 1,73        (исправить до двухзначных знаков) 
                          

Страница № 56:

Ответ:

Используя метод деления в большую сторону:

 ∴    2,8=1,673 ⇒2,8 = 1,67    (исправить до двух знаков после запятой) 
                              

Страница № 56:

Ответ:

Использование метода длинного деления:

 ∴   0,9=0,948 ⇒0,9 =0,95    ( с точностью до двух знаков после запятой) 
                                           

Страница № 56: 900 05

Ответ:

Площадь прямоугольника =(13,6 × 3,4) =46,24 кв. м
Таким образом, площадь квадрата 46,24 кв.м.

Длина каждой стороны квадрата = 46,24 м

Используя метод деления в длинную сторону:

46,24=6,8
 
Таким образом, длина стороны квадрата равна 6,8 метра.

Страница № 58:

Ответ:

1681=1681

16 = 4 и 81 = 9

∴  1681=1681=49

Ответ:

64225=64225

Использование метод длинного деления:
64=8

225=15

 

∴ 64225=64225=815

Страница № 58:

Ответ:

121256= 121256

Используя метод деления:

121=11

∴121256= 121256=1116

Страница № 58:

Ответ:

625729=625729

Используя метод деления в длину:

625=25

∴625729=625729=2527

Страница № 58 :

Ответ:

  31336=12136=12136=11×116×6=116=1511

Номер страницы 58: ​​

Ответ:

473324=1369324=1369324

Используя метод деления в большую сторону:
1369=37

324 = 2×2×9×9 = 2×9 = 18

∴473324=3718=2118

Номер страницы 58: ​​

Ответ:

333289=

9=

9

Используя метод длинного деления:

289= 17

И

900 = 2×2×5×5×3×3 = 2×5×3 = 30

∴ 333289=3017=11317

Страница № 58:

Ответ:

У нас есть:

80405=80405=1681=1681=49

Страница № 58:

Ответ:

Имеем:

11832023=11832023= 169289=169289 =13×1317×17=1317

Номер страницы 58: ​​

Ответ:

Имеем:

   98×162=98×162=2×7×7×2×9×9=2×7×9 =126

Страница № 58:

Ответ:

(c) 5478

Согласно свойствам квадратов, число, оканчивающееся на 2, 3, 7 или 8, не является полным квадратом.

Стр. № 58:

Ответ:

(d) 2222

Согласно свойству квадратов число, оканчивающееся на 2, 3, 7 или 8, не является полным квадратом.

Страница № 58:

Ответ:

(a) 1843
Согласно свойству квадратов число, оканчивающееся на 2, 3, 7 и 8, не является полным квадратом.

Страница № 58:

Ответ:

(b) 4787

По свойству квадратов число, оканчивающееся на 2, 3, 7 или 8, не является полным квадратом.

Страница № 58:

Ответ:

(c) 81000

Согласно свойству квадратов, число, оканчивающееся на нечетное количество нулей, не является полным квадратом.

Стр. № 58:

Ответ:

(d) 8

В соответствии со свойством квадратов, совершенный квадрат не может иметь 2, 3, 7 или 8 в качестве единицы измерения.

Страница № 58:

Ответ:

(b) меньше дроби

Страница № 58:

Ответ:

(c) n2

Страница № 58:

Ответ:

(d) (8,15,17)

Это можно понять из свойства пифагорейских троек. Согласно этому свойству, для натурального числа m (2m, m2-1, m2+1) является пифагорейской тройкой.
Здесь,  m = 4
          2m = 8
          m ² — 1=15
и    m ² + 1 = 17

Страница № 58:

Ответ:

(с) 7

(176- 7)=169169=13

Страница № 58:

Ответ:

(a) 3

526+3=529529=232

Номер страницы 59:

Ответ:

(b) 6

1 5370+6=1537615376=124

Страница № 59:

Ответ:

(г) 0,94

0,9=0,94

Страница № 59:

Ответ:

(в) 0,316 9 0003

Используя метод деления в большую сторону:

∴ 0,1= 0,316

Страница № 59:

Ответ:

(б) 1,2

 0,9×1.6=1.44=1.2

Страница № 59:

Ответ:

(c) 32

 288128=288128=2×2×2×2×2×3×32×2×2×2×2× 2×2=3×32×2=3×32×2=32

Страница № 59:

Ответ:

(b) 112

 214=94=94=32=112

Страница № 59:

Ответ:

(a) 196

Квадрат четного числа всегда является четным числом.

Страница № 59:

Ответ:

(c) 1369

Квадрат нечетного числа всегда является нечетным числом.

Страница № 62:

Ответ:

Метод деления в большую сторону:

∴  11236=106

Страница № 62:

Ответ: 90 005

Наибольшее пятизначное число — 99999.

316 < 99999 < 317

3162=99856 
Таким образом, это наибольшее пятизначное число.

99856=316

Номер страницы 62:

Ответ:

Наименьшее число из 4 цифр равно 1000.

31< 100< 32322= 1024

1024 — наименьшая четырехзначная цифра в совершенном квадрате, корень квадратный из которой равен 32. 5

Ответ:

3=1,732 Таким образом, значение 3 с точностью до двух знаков после запятой равно 1,73.

Страница № 62:

Ответ:

    48243=48243=2×2×2×2×33×3×3×3×3=2×2×2×23×3×3×3=2× 23×3=49

Страница № 62:

Ответ:

(d) 1222

Число, оканчивающееся на 2, 3, 7 или 8, не является полным квадратом.

Страница № 62:

Ответ:

(c) 112

214=94=94=3×32×2=32=112

Страница № 62:

Ответ: 900 05

(с) 1764

Квадрат четного числа всегда четен.

Страница № 62:

Ответ:

(d) 8

521+8=529529=23  

Страница № 62:

Ответ:

178-9=169169=13

Страница № 62:

Ответ:

(b) 84

72×98=2×2×2×3×3×2×7×7=2×2×2×3×3×2×7×7=2×2×3×7=84

Страница № 62:

Ответ:

(i) 1+3+5+7+9+11+13=(7)2 

(ii)

 1681=41

(iii) Наименьшее квадратное число, которое точно делится на 2, 4 и 6 равно 36.

НОК 2, 4 и 6 равно 12. Простая факторизация 12 = 2 × 2 × 3 Чтобы сделать его идеальным квадратом, нам нужно умножить его на 3,∴ 12 × 3 = 36

( iv) Данное число представляет собой совершенный квадрат, состоящий из n цифр, где n нечетно. тогда его квадратный корень будет состоять из n+12 цифр.

Программа на Python для вычисления суммы квадратов первых n натуральных чисел

Дано положительное целое число N . Задача состоит в том, чтобы найти 1 ² + 2 ² + 3 ² + ….. + N ² .

Примеры:

  Ввод:  N = 4
  Выход:  30
1  2  + 2  2  + 3  2  + 4   2 
= 1 + 4 + 9 + 16
= 30
  Ввод:  N = 5
  Вывод:  55 

Метод 1: O(N) Идея состоит в том, чтобы запустить цикл от 1 до n и для каждого i, 1 <= i <= n, найти i ² для суммирования.

python3

Вывод

 30 

Метод 2: O(1)  

Доказательство:

 Мы знаем,
(k + 1)  3  = k  3  + 3 * k  2  + 3 * k + 1
Мы можем записать приведенное выше тождество для k от 1 до n:
2  3  = 1  3  + 3 * 1  2  + 3 * 1 + 1 . ....... (1)
3  3  = 2  3   + 3 * 2  2 +3*2+1.........(2)
4  3  = 3  3  + 3 * 3  2  + 3 * 3 + 1 ........ (3)
5  3  = 4  3  + 3 * 4  2  + 3 * 4 + 1 ........ (4)
...
n  3  = (n - 1)  3  + 3 * (n - 1)  2  + 3 * (n - 1) + 1 ......... (n - 1)
(n + 1)  3  = n  3  + 3 * n  2  + 3 * n + 1......... (n)
Помещая уравнение (n - 1) в уравнение n,
(n + 1)  3  = (n - 1)  3  + 3 * (n - 1)  2  + 3 * (п - 1) + 1 + 3 * п  2  + 3 * п + 1
         = (n - 1)  3  + 3 * (n  2  + (n - 1)  2 ) + 3 * (n + (n - 1)) + 1 + 1
Составляя все уравнения, получаем
(n + 1)  3  = 1  3  + 3 * Σ k  2  + 3 * Σ k + Σ 1
n  3  + 3 * n  2  + 3 * n + 1 = 1 + 3 * Σ k  2  + 3 * (n * (n + 1))/2 + n
n  3  + 3 * n  2  + 3 * n = 3 * Σ k  2  + 3 * (n * (n + 1))/2 + n
п  3  + 3 * n  2  + 2 * n - 3 * (n * (n + 1))/2 = 3 * Σ k  2 
n * (n  2  + 3 * n + 2) - 3 * (n * (n + 1))/2 = 3 * Σ k  2 
n * (n + 1) * (n + 2) - 3 * (n * (n + 1))/2 = 3 * Σ k  2 
n * (n + 1) * (n + 2 - 3/2) = 3 * Σ k  2 
n * (n + 1) * (2 * n + 1)/2 = 3 * Σ k  2 
n * (n + 1) * (2 * n + 1)/6 = Σ k  2  

python3

Выход

 30 

Временная сложность: O(1)
9 1631 Вспомогательное пространство: O(1)

Предотвращение раннего переполнения: Для больших n значение из (n * (n + 1) * (2 * n + 1)) переполнится. Мы можем до некоторой степени избежать переполнения, используя тот факт, что n*(n+1) должно делиться на 2.1684 сумма квадратов(n):

     возврат (n * (n + 916) 83 1 ) / 2 ) * ( 2 * n + 1 ) / 3

n = 4

печать (squaresum(n))

Выход

 30,0 

Временная сложность 91 632 : O(1), так как выполняются постоянные операции
Вспомогательный пробел : O(1)

Подход: понимание списка

1. Принимать ввод от пользователя в виде положительного целого числа N с помощью функции input().
2. Преобразование входной строки в целое число с помощью функции int() и сохранение ее в переменной N.
3. Используйте генератор списка для создания списка квадратов чисел от 1 до N. Генератор списка должен выглядеть следующим образом: [i*i for i в диапазоне (1, N+1)]. Это создает список квадратов чисел от 1 до N.
4. Используйте функцию sum(), чтобы найти сумму всех элементов в списке. Сохраните результат в переменной sum_of_squares.
5. Распечатайте результат с помощью функции print().

Python3

Выход

 S сумма квадратов первых 5 натуральных чисел равна 55 

Временная сложность с использованием понимания списка составляет O(n)

Вспомогательное пространство или сложность пространства также O(n)

 Сумма квадратов первых 4 натуральных чисел равна 30