2

Таблица производных простых функций

  • Описание курса

  • Элементарная математика

    • Умножение и его свойства. Множення та його властивості

    • Деление и его свойства. Ділення і його властивості

    • Умножение и деление в столбик

    • Дроби, задачи на нахождение частей от целого

      • Найти наименьшее общее кратное (НОК)

      • Привести дробь к наименьшему общему знаменателю

      • Нахождение целого по его части

      • Скорость поедания яблока

      • Сложение и вычитание простых дробей

      • Сложение и вычитание дробей.

        Додавання і віднімання дробів

      • Вычислить выражение с простыми и десятичными дробями

    • Проценты

      • Нахождение процентов от суммы

      • Задачи на нахождение процентов

    • Задачи про втекающую в бассейн воду

    • Задачи на тему «Найти число», «Найти два числа»

      • Задачи на нахождение двух чисел

      • Задачи на нахождение двух чисел (часть 2)

      • Найти трехзначное число

    • Задачи о прохождении пути

      • Задача про велосипедистов

      • Задача про туриста

      • Нахождение общей величины пройденного пути

      • Задачи про лодку и течение реки

    • Задачи с решением элементарных уравнений

      • Задача про бросание гранаты

  • Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня

    • Дробь в степени числа.

      Нахождение дробной степени числа

    • Операции с корнями на основе ствойств степени

    • Квадратный корень. Квадратний корінь

    • Свойства квадратного корня. Властивості квадратного кореня

    • Таблица степеней натуральных чисел

    • Показательная функция. Показова функція

  • Функции

    • Область определения функции

    • Эллипс

    • Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций

  • Уравнения

    • Простейшие уравнения

    • Квадратные уравнения

  • Неравенства (Нерівності)

    • Решаем неравенства

  • Векторы

    • Трехмерное пространство

    • Равенство векторов. Рiвнiсть векторiв

  • Логарифм

  • Дифференциальное исчисление

    • Что такое производная. Практический смысл производной

    • Правила дифференцирования

    • Таблица производных простых функций

    • Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций

    • Таблица производных тригонометрических функций

    • Производная числа

    • Производная дроби

    • Производная корня

    • Нахождение экстремума функции

  • Комбинаторика

    • Найти количество возможных комбинаций

  • Теория вероятности

    • Вероятность появления карт

    • Вероятность наступления события

    • Вероятность одновременного прихода пароходов

  • Тесты (1)

 Вычисление производной — одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:
  •  Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций
  •  Таблица производных тригонометрических функций.
Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач.  На картинке, в таблице производных простых функций, приведена «шпаргалка» основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.
1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:
5´ = 0 

Пояснение:
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.  

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1 

Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

Откуда следует, что
(cx + b)’ = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю

равна частному этой переменной к ее модулю
|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает  выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( xc )’= cxc-1, при условии, что xc и сxc-1,определены а с ≠ 0
Пример:
(x2 )’ = 2x
(x3)’  = 3x2
Для запоминания формулы:
Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x2  — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x

3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)’ = — 1 / x2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)’ = (x-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x-1 )’ = -1x-2 = — 1 / х2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени

в знаменателе
( 1 / xc )’ = — c / xc+1
Пример:
( 1 / x2 )’ = — 2 / x3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)  
( √x )’ = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х-1/2
Пример:
( √x )’ = ( х1/2 )’   значит можно применить формулу из правила 5
( х1/2 )’ = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
( n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 )
.

Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:

  •  Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций 
  •  Таблица производных тригонометрических функций.

2080.1947  

 Правила дифференцирования | Описание курса | Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций 

   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!


Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найти производную — d/dx
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92

Калькулятор производных • С шагами!

Поддержка

Пожертвование

Этот калькулятор оказался полезным для вас? Тогда я был бы очень признателен за вашу поддержку. Вы можете сделать пожертвование через PayPal.

Выше введите функцию для получения. Переменная дифференциации и более может быть изменена в » Опции «. Щелкните « Go! «, чтобы начать вычисление производной. Результат будет показан далее.

Как работает калькулятор производных

Для тех, кто имеет техническое образование, в следующем разделе объясняется, как работает калькулятор производных.

Сначала синтаксический анализатор анализирует математическую функцию. Он преобразует его в форму, более понятную компьютеру, а именно в дерево (см. рисунок ниже). При этом производный калькулятор должен соблюдать порядок операций. Особенностью математических выражений является то, что знак умножения иногда можно опустить, например, мы пишем «5x» вместо «5*x». Калькулятор производных должен обнаруживать эти случаи и вставлять знак умножения.

Парсер реализован на JavaScript, основан на алгоритме Shunting-yard и может работать прямо в браузере. Это позволяет быстро получать обратную связь при наборе текста путем преобразования дерева в код LaTeX. MathJax позаботится об отображении его в браузере.

Когда «Вперед!» После нажатия кнопки Калькулятор производных отправляет математическую функцию и настройки (дифференцирующую переменную и порядок) на сервер, где они снова анализируются. На этот раз функция преобразуется в форму, понятную системе компьютерной алгебры Maxima.

Maxima заботится о фактическом вычислении производной математической функции. Как и любая система компьютерной алгебры, она применяет ряд правил для упрощения функции и вычисления производных в соответствии с общеизвестными правилами дифференцирования. Вывод Maxima снова преобразуется в LaTeX и затем предоставляется пользователю.

Отображение шагов вычисления немного сложнее, потому что Калькулятор производных не может полностью зависеть от Maxima для этой задачи. Вместо этого производные должны рассчитываться вручную шаг за шагом. Правила дифференциации (правило произведения, частное правило, цепное правило и т. д.) были реализованы в коде JavaScript. Существует также таблица производных функций для тригонометрических функций и квадратного корня, логарифма и экспоненциальной функции. На каждом шаге расчета выполняется или переписывается одна операция дифференцирования. Например, из операций дифференцирования вытягиваются постоянные множители, а суммы дробятся (правило сумм). Это, а также общие упрощения, делает Maxima. Для каждой рассчитанной производной LaTeX-представления результирующих математических выражений помечаются тегами в HTML-коде, чтобы можно было выделить их.

Функция «Проверить ответ» должна решить сложную задачу определения эквивалентности двух математических выражений. Их разница рассчитывается и максимально упрощается с помощью Maxima. Например, это включает в себя запись тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальной форме. Если можно показать, что разность упрощается до нуля, то задача решена.