12. Уравнения, содержащие модуль. Рациональные уравнения
12. Уравнения, содержащие модуль. Рациональные уравнения
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Уравнения, содержащие модуль
Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неизвестное, стоят по знаком модуля, то решение исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежутков знакопостоянства этих выражений.
Пример 1
Решить уравнение |3x-6|=x+2.
Решение:
Рассмотрим первый случай: 3х-6≥0, тогда 3х-6=х+2, 2х=8, х=4.
Рассмотрим второй случай: 3х-6<0, тогда 3х-6=-(х+2), 4х=4, х=1.
Ответ: 1; 4.
Пример 2
Решить уравнение |x-2| — 3|x-1| + 4|x-3| = 5.
Отметим на координатной прямой точки:х-2=0 х-1=0 х-3=0
х=2 х=1 х=3
Рассмотрим решения уравнения на промежутках (-∞; 1]; (1; 2]; (2; 3] и (3; +∞).
При х≤1: -(х-2) + 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2+3х-3-4х+12=5, -2х=-6, х=3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При 1<х≤2: -(х-2) — 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2-3х+3-4х+12=5, -8х=-12, х=1,5. Ответ принадлежит промежутку.
При 2<х≤3: х-2 — 3(х-1) -4(х-3)=5, х-2-3х+3-4х+12=5, -6х=-8, х=4/3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При х>3: х-2 — 3(х-1) +4(х-3)=5, х-2-3х+3+4х-12=5, 2х=16, х=8. Ответ принадлежит промежутку.
Ответ: 1,5; 8.
Рациональные уравнения
Рациональным уравнением называется уравнение вида
где P(x), Q(x) — многочлены.
Решение уравнения сводится к решению системы:
Пример
Решить уравнение
Решение:
x2-4=0, х-2≠0,
x2=4, х≠ 2.
х=-2 или х=2.
Число 2 не может быть корнем.
Ответ: -2.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:
а) |x|+4=1; |x-5|=2; |x+3|=-6. б) |1+x|=3; |1-x|=-4; 8+|x|=2.
Решение:
а) |x|+4=1 не имеет корней, т.к. |x|=-3 и модуль не может быть отрицательным числом; |x-5|=2 имеет корни; |x+3|=-6 не имеет корней, т.к. модуль не может быть отрицательным числом.
Ответ: |x|+4=1; |x+3|=-6.
2. Решите уравнение:
а) |5x|=15; б) |2x|=16.
Решение:
а) |5x|=15;
|5||x|=15;
5|x|=15;
|x|=3;
x=3 или x=-3.
а) |5x+1|=5; б) |2x-1|=10.
Решение:
а) |5x+1|=5;
Ответ: -1,2; 0,8.
4. Решите уравнение:
а) |5x2+3x-1|=-x2-36; б) |3x2-5x-4|=-4x2-23.
Решение:
а) |5x2+3x-1|=-x2-36. Рассмотрим выражение -x2-36, оно принимает отрицательные значения при любых значениях х, следовательно уравнение |5x
Ответ: нет корней
5. Решите уравнение:
Решение:
Ответ: -1/3.
6. Решите уравнение:
Решение:
14х2-5x-1=0,
D=25+56=81,
x1=9/14; x2=-1/7.
x≠2.
Ответ: -1/7; 9/14.
7. Решите уравнение:
Решение:
8. Решите уравнение:
Решение:
x2+3x-4=0,
D=9+16=25,
x1=1, x2=-4.
х ≠3.
Ответ: -4; 1.
9. Найдите, при каком значении переменной значение выражения
равно: а) -6; б) 6.
Решение:
х2+7x+10=0,
D=49-40=9,
x1=-2; x2=-5.
x≠-2.
Ответ: -5.
Решение:
а) Разложим знаменатели на множители:
х2-36=(x-6)(x+6).
108-24x+х2=(x-6)(x-18).
2x-36=2(x-18).
11. Решите уравнение:
а) х2-6|x|=0; б) х2+4|x|=0.
Решение:
а) х2-6|x|=0;
х≥0: х2-6x=0; х(х-6)=0, x1=0, x2=6.
x<0: х2+6x=0; х(х+6)=0, x1=0, x2=-6.
Ответ: -6; 0; 6.
12.
Решите уравнение:
а) х2-3|x|+2=0; б) х2-2|x|+1=0.
Решение:
а) х2-3|x|+2=0.
х≥0: х2-3x+2=0; D=9-8=1, x1=2, x2=1.
x<0: х2+3x+2=0; D=9-8=1, x1=-2, x2=-1.
Ответ: -2; -1; 1; 2.
а) |x-2|+|x-4|=5; б) |x-1|-|x-4|=6.
Решение:
а) |x-2|+|x-4|=5.
x≤2: -(x-2)-(x-4)=5, -x+2-x+4=5, x=0,5.
2<x≤4: x+2-(x-4)=5, x-2-x+4=5, 2=5 — нет решений.
x>4: x-2+x-4=5, 2x=11, x=5,5.
Ответ: 0,5; 5,5.
14.Решите уравнение:
а) |3- |4- |x|||=5; б) 8-|2 -|x|||=3.
Решение:
а) |3- |4- |x|||=5;
3- |4- |x||=5 или 3- |4- |x||=-5;
|4-|x||=-2 — нет решений |4-|x||=8
4-|x|=8 или 4-|x|=-8
|x|=-4 — нет решений |x|=12
х=12 или х=-12.
Ответ: -12; 12.
15. Решите уравнение:
Решение:
а)
3x-7≥0: х2-3x+10=0; D=9-40=-31<0 — нет корней.
3x-7<0: х2-3x-10=0; D=9+40=49, x1=5, x2=-2.
3x-7≠0, x≠7/3.
Ответ: -2; 5.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Какие из чисел -4; -1; 2; 1,5; 2,5 являются корнями уравнения:
а) |3x-1|=5; б) |4-2x|=1?
2. Решите уравнение:
а) |3x|=21; б) |2x|=-12.
3. Решите уравнение:
а) |2x-5|=1; б) |3x+6|=18.
4. Решите уравнение:
5. Решите уравнение:
6. Решите уравнение:
7. Решите уравнение:
8. Решите уравнение:
9. Решите уравнение:
а) 3(x-1) = |2x-1|; б) |5-2x|=|x+4|.
Leave A Comment