В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла: В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла; отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан,...

Свойства биссектрисы угла прямоугольного треугольника: прямого, острого

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Геометрия Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы прямоугольного треугольника, проведенной из прямого и острого углов, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: напомним, что прямоугольным называется треугольник, в котором один из углов прямой (т.е. равен 90°), а два остальных – острые (<90°).

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
Примеры задач

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Если в прямоугольном треугольнике известны катеты, то длину биссектрисы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, можно вычислить по формуле:

a и b – катеты;
c – гипотенуза;
l_c – биссектриса к гипотенузе.

Свойство 2

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике, проведенную из острого угла к противолежащему катету, можно вычислить по формуле:

l_a – биссектриса к катету;
α – острый угол, из которого проведена биссектриса.

Также можно использовать другую формулу, если известны все три стороны треугольника:

Примечания:

Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным, и в этом случае к нему, в т.ч., применимы свойства биссектрисы равнобедренного треугольника.

Общие свойства биссектрисы в любом треугольнике представлены в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Примеры задач

Задача 1
Найдите длину биссектрисы, которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 21 и 28 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 1, подставив в нее известные значения:

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см.

Вычислите длину биссектрисы, проведенной к катету с наименьшей длиной.

Решение
Пример катеты за “a” (9 см) и “b” (12 см).

Для начала найдем гипотенузу треугольника (c), воспользовавшись теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов:
c² = a² + b² = 9² + 12² = 225.
Следовательно, c = 15 см.

Теперь мы можем применить формулу, рассмотренную в Свойстве 2 для нахождения длины биссектрисы:

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины острого угла А проведена биссектриса АК а из вершинв острого угла В-медиана ВD.

Бисектриса и медиана пересекаются в точке О. Найти расстояние из точки О до — вопрос №2533804






Лучший ответ по мнению автора

24.

07.17

Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров

Читать ответы

Андрей Андреевич

Читать ответы

Eleonora Gabrielyan

Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

Упростить выражение cos 3a/cosa-sin3a/sina

Здравствуйте, у меня такой вопрос: можно ли второй раз поступить на бюджет по квоте? Дело в том, что я училась на 2 курсе на очной форме , на бюджете , благодаря квоте ( дети — сироты , оставшиеся

600 p

Как пишется правильно «для начало тебя» или же «для начала тебя»? Пожалуйста подскажите

Помогите написать мини сочинение на тему:» Я и мой мир»

. За 10 дней необходимо засеять 19 260 га. Для этой работы в колхозе было выделено 8 тракторов производительностью 4 га в час и 25 тракторов производительностью 3 га в час. Сколько часов должны

Пользуйтесь нашим приложением

тригонометрия — Биссектриса угла в прямоугольном треугольнике

спросил 5 лет, 10 месяцев назад

Изменено 3 года, 2 месяца назад

Просмотрено 24к раз

$\begingroup$

В прямоугольном треугольнике катеты, примыкающие к прямому углу, равны $a$ и $b$. Докажите, что длина биссектрисы (прямого угла) равна $$\frac{a\cdot b\cdot \sqrt{2}}{a+b}.$$

Подходя к этому вопросу, я был очень озадачен тем, как я получу это выражение.

Кроме того, я не мог понять, откуда берется $\sqrt{2}$, кроме как от синуса или косинуса $45$ градусов (от биссектрисы).

тригонометрия
треугольники

$\endgroup$

$\begingroup$

Элементарное решение: На следующем рисунке $|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c$ и $[CD]$ биссектриса угла. Нарисуем квадрат $CEDF$ и $|CE|=x$. Итак, $|BE|=a-x$ и $|CD|=x\sqrt2$. Теперь $\triangle ABC \sim \triangle DBE$ и $$\dfrac{b}{a}=\dfrac{x}{a-x} $$ 9\circ})}=\frac{ab}{c(\frac{a}{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{b}{c}\cdot\frac{ 1}{\sqrt{2}})}=\frac{\sqrt{2}ab}{a+b}.$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Просто используйте тот факт, что площадь треугольника PQR равна PQsinx, где x — угол между P и Q. И здесь сумма площадей двух треугольников (образованных биссектрисой угла) равна 1/2*AB*BC (т. е. площадь ABC). sin45 даст 1/root2

$\endgroup$

Построение биссектрисы угла — Построение с помощью циркуля, доказательство биссектрисы угла, примеры.

LearnPracticeDownload

Построение биссектрисы угла делит заданный угол ровно на две половины. Термин «биссекта» относится к делению на две равные части. Построение биссектрисы угла создает линию, которая дает два равных угла для данного угла. Например, когда биссектриса строится для угла 70°, она делит угол на два равных угла по 35° каждый. Биссектрисы угла можно построить для острого угла, тупого угла или прямого угла.

1.	Построение биссектрисы угла с помощью компаса
2.	Как найти биссектрису угла?
3.	Решенные примеры
4.	Практические вопросы
5.	Часто задаваемые вопросы о построении биссектрисы угла

Построение биссектрисы угла с помощью циркуля

Биссектриса угла — это линия, которая делит угол пополам или делит его на две равные половины. Чтобы геометрически построить биссектрису угла, нам понадобится линейка, карандаш, циркуль и транспортир, если дана мера угла. Любой угол можно разделить пополам с помощью биссектрисы угла. Рассмотрим угол AOB, показанный ниже.

Обратите внимание, что мера угла здесь не упоминается. Итак, нам не нужен транспортир для построения биссектрисы угла. Этот момент важно понять. Когда измерения углов не запрашиваются, мы должны избегать использования транспортира и использовать только линейку и циркуль. Эта задача является фундаментальной идеей геометрических построений.

Выполните последовательность шагов, указанных ниже, чтобы построить биссектрису угла.

Шаг 1. Начертите радиус любой ширины по компасу и с центром O нарисуйте две дуги так, чтобы они пересекали лучи OA и OB в точках C и D соответственно.

Обратите внимание, что OC = OD, поскольку это радиусы одной и той же окружности .

Шаг 2: Не изменяя расстояния между сторонами компаса, нарисуйте две дуги с центрами C и D так, чтобы эти две дуги пересекались в точке с именем E (на изображении).

Обратите внимание, что CE = DE, так как две дуги, нарисованные на этом шаге, имели одинаковый радиус.

Шаг 3: Присоединитесь к лучу OE. Это искомая биссектриса угла AOB.

Ниже приведено доказательство построения биссектрисы угла.

Как найти биссектрису угла?

Из приведенного выше рисунка видно, что биссектриса угла построена для ∠AOB. Биссектриса построенного угла создала два подобных треугольника. Давайте посмотрим, как получаются равные углы, используя биссектрису угла с доказательством.

Сравните ΔOCE и ΔODE:

1. OC = OD (радиусы одной и той же дуги окружности)

2. CE = DE (дуги одинакового радиуса)

3. OE = OE (общий)

По критерию SSS два треугольника конгруэнтны, что означает, что ∠COE = ∠DOE. Таким образом, луч OE является биссектрисой угла ∠COD или ∠AOB. Следует отметить, что для этой конструкции не требовалось никаких угловых измерений. Если в других случаях мы знаем измерение угла, на котором должна быть построена биссектриса угла, то мы можем просто использовать транспортир для построения угла с половиной измерения данного угла.

Темы, относящиеся к построению биссектрис угла

Ознакомьтесь с некоторыми интересными темами, связанными с построением биссектрисы угла.

Биссектриса угла
Теорема о биссектрисе угла
Теорема о биссектрисе перпендикуляра
Уголки
Острый угол
Тупой угол

Пример 1: Построив биссектрису каждого из следующих углов, найдите углы, которые будут образованы после построения.
а) 50 ° b) 74 ° c) 105 °
Решение:
Если биссектриса угла построена для угла, измеренного, скажем, ∠X, то он делится на две равные половины, а значит, два формируются углы измерения ∠X/2.
а) Пусть ∠X = 50°. Биссектриса угла образует два угла измерения ∠X/2, каждый из которых равен 25 °.
б) Пусть ∠X = 74°. Биссектриса угла образует два угла измерения ∠X/2, каждый из которых равен 37 °.
в) Пусть ∠X = 105°. Биссектриса угла образует два угла измерения ∠X/2, каждый из которых равен 52,5 °.
Пример 2: Постройте биссектрису угла для ∠ AOB = 60°.
Решение:
Чтобы построить биссектрису угла, выполните шаги, показанные ниже.
Шаг 1: Нарисуйте линию AB любой длины. С «А» в качестве центра и поместив центр транспортира на А, отметьте 60 ° и обозначьте точку как «С». Обратите внимание, что этот шаг можно выполнить и с помощью компаса. Нажмите здесь, чтобы узнать больше.
Шаг 2. С помощью циркуля с любой шириной в качестве радиуса нарисуйте дугу так, чтобы она пересекалась в двух точках на линиях AC и AB , и обозначьте их буквами «D» и «E» соответственно.
Шаг 3. Теперь с центрами D и E и без изменения радиуса нарисуйте две дуги так, чтобы они пересекались в точке F.
Шаг 4. Теперь соедините точки A и F. Луч AF — биссектриса угла, где ∠DAF и ∠FAE — по 30°
Построение биссектрисы угла показано на рисунке ниже

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о построении биссектрисы угла

Как построить биссектрису угла?

Биссектриса делит угол на два равных угла. Чтобы построить биссектрису угла, выполните следующие действия.

Шаг 1: Нарисуйте угол любой величины. Здесь мы можем заметить, что один луч горизонтален, просто чтобы облегчить наши построения.
Шаг 2: С одним концом горизонтального луча, образующего угол в качестве центра, и измеряя любую ширину (меньше длины нарисованного луча) в компасе, нарисуйте дугу, которая пересекает два луча угла в любых двух точках. точки.
Шаг 3. С точками пересечения в качестве центра, указанными в шаге 2, и без изменения радиуса нарисуйте две дуги так, чтобы они пересекались друг с другом и лежали между точками пересечения на катетах угла.
Шаг 4: Соедините точку пересечения с вершиной угла. Получим биссектрису искомого угла.

Можно ли построить биссектрисы углов любой меры?

Да, биссектриса угла может быть построена для углов любой меры. Будь то острый, тупой или прямой угол, биссектриса угла точно делит угол на две равные половины.

Когда биссектриса прямого угла построена, какова мера двух образовавшихся углов?

Биссектриса угла делит или образует два равных угла для любого заданного угла. Та же концепция применима и к прямому углу. Прямой угол равен 90°. Построив биссектрису угла, мы получим два равных угла, каждый из которых равен 45°.

Как построить биссектрису угла с помощью транспортира и циркуля?

Транспортир не всегда нужен для построения биссектрисы угла. Когда возникает необходимость разделить пополам угол, для которого дана мера, то мы делаем угол с заданными мерками и с помощью циркуля строим биссектрису угла. Шаги следующие.

Шаг 1: Начертите угол заданной меры с помощью транспортира и обозначьте точку.

Свойства биссектрисы угла прямоугольного треугольника: прямого, острого