Построить график функции y x 6: График y = f(x) = x/6 (х делить на 6) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ответ!]

Алгебра. Учебник для 6-8 классов

Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. 11-е изд., стер. — М.: Просвещение, 1966. — 296 с.

Учебник для средних общеобразовательных школ СССР в 50-60-е годы.

Шестое издание „Алгебры» А.Н. Барсукова переработано и приведено в соответствие с новой программой. Переработка учебника и изложение вопросов, вновь включенных в программу восьмилетней школы, выполнены С.И. Новоселовым.

Главу „Счётная (логарифмическая) линейка* и о возвышении в квадрат и куб, извлечении квадратного и кубического корней при помощи счётной линейки написал учитель математики школы № 315 Москвы И. Б. Вейцман. Одиннадцатое издание печатается с десятого без изменений.

§ 2. Алгебраические выражения.
§ 3. Допустимые значения букв.
§ 4. Порядок действий.
§ 5. Основные законы сложения и умножения.
§ 6. Краткие исторические сведения.
ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
§ 7. Положительные и отрицательные числа.
§ 8. Числовая ось.
§ 9. Противоположные числа.
§ 10. Абсолютная величина числа.
§ 11. Сравнение рациональных чисел.
§ 12. Сложение рациональных чисел.
§ 13. Сложение нескольких чисел.
§ 14. Законы сложения.
§ 15. Вычитание рациональных чисел.
§ 16. Алгебраическая сумма.
§ 17. Умножение.
§ 18. Умножение нескольких чисел.
§ 19. Законы умножения.

§ 20. Деление.
§ 21. Свойства деления.
§ 22. Возведение в степень.
§ 23. Порядок выполнения действий.
§ 24. Уравнения.
§ 25. Решение задач с помощью уравнений.
§ 26. Графики.
§ 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.)
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.

§ 28. Одночлен и многочлен.
§ 29. Тождества и тождественные преобразования.
§ 30. Коэффициент.
§ 31. Расположенные многочлены.
§ 32. Приведение подобных членов.
§ 33. Сложение одночленов и многочленов.
§ 34. Противоположные многочлены.
§ 35. Вычитание одночленов и многочленов
§ 36. Умножение одночленов.
§ 37. Умножение многочлена на одночлен.
§ 38. Умножение многочленов.
§ 39. Умножение расположенных многочленов.
§ 40. Возведение одночленов в степень.
§ 41. Формулы сокращённого умножения.
§ 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений.
§ 43. Деление одночленов.
§ 44. Деление многочлена на одночлен
§ 45. Примеры решения уравнений.
ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.
§ 47. Равносильные уравнения.
§ 48. Два основных свойства уравнений.
§ 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях.
§ 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным.
§ 51. Общие указания к решению уравнений.

§ 52. Решение задач с помощью уравнений.
§ 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.)
ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ.
§ 54. Понятие о разложении на множители.
§ 55. Вынесение за скобки общего множителя.
§ 56. Способ группировки.
§ 57. Применение формул сокращённого умножения.
§ 58. Применение нескольких способов.
§ 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители.
ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ.
§ 60. Понятие об алгебраической дроби.
§ 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей.
§ 62. Перемена знака у членов дроби.
§ 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа.
§ 64. Приведение дробей к общему знаменателю.
§ 65. Сложение дробей.
§ 66. Вычитание дробей.
§ 67. Умножение дробей.
§ 68. Деление дробей.
§ 69. Возведение дроби в натуральную степень.
§ 70. Дробные уравнения.
§ 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.

КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.
§ 72. Координаты точки на плоскости.
§ 73. Прямо пропорциональная зависимость.
§ 74. График прямо пропорциональной зависимости.
§ 75. Линейная зависимость.
§ 76. Обратно пропорциональная зависимость.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.
§ 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными.
§ 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
§ 79. Равносильные системы.
§ 80. Решение систем уравнений.
§ 81. Графическое решение системы двух уравнений.
§ 82. Решение задач.
§ 83. Уравнение с тремя неизвестными.
§ 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА.
§ 85. Равномерные и неравномерные шкалы.
§ 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки.
§ 87. Основная шкала.
§ 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ.
§ 89. Построение графика зависимости y = x^2
§ 90.

(1/3)
§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений.

свойства функции ограниченная неограниченная монотонная возрастающая убывающая четная нечетная периодическая непериодическая график гиперболические функции

Справочник по математике

Элементы математического анализа

Функции

Содержание

Ограниченные и неограниченные функции

Монотонные и строго монотонные функции

Четные и нечетные функции

Периодические и непериодические функции. Период функции

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

Ограниченные и неограниченные функции

Обозначим буквой X некоторое множество чисел, входящих в область определения D ( f ) функции y = f (x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функцию y = f (x) называют ограниченной сверху на множестве X , если существует такое число a , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцию y = f (x) называют ограниченной снизу на множестве X , если существует такое число b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функцию y = f (x) называют ограниченной на множестве X , если существуют такие числа a и b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функцию y = f (x) называют неограниченной сверху на множестве X , если для любого числа a существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функцию y = f (x) называют неограниченной снизу на множестве X , если для любого числа b существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Функцию y = f (x) называют неограниченной на множестве X , если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.

Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.

ПРИМЕР 1. Функция y = x² (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве

Рис.1

ПРИМЕР 2. Функция y = – x² (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве

Рис. 2

ПРИМЕР 3. Функция y = x (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве

Рис.3

ПРИМЕР 4. Функция y = arctg x (рис. 4) ограничена на множестве

Рис.4

Монотонные и строго монотонные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Функцию y = f (x) называют возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Функцию y = f (x) называют убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Функцию y = f (x) называют строго возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

f (x₁) < f (x₂)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функцию y = f (x) называют строго убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

f (x₁) > f (x₂)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными, строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

ПРИМЕР 5. Функция y = x² (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве

ПРИМЕР 6. Функция y = – x² (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве

ПРИМЕР 7. Функция y = x (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве

ПРИМЕР 8. Функция y = arctg x (рис. 4) является строго возрастающей на множестве

Четные и нечетные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют четной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

f (– x) = f (x)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют нечетной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

f (– x) = – f (x)

ПРИМЕР 9. Функции y = x² и y = – x² являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции y = x и y = arctg x являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).

ПРИМЕР 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Любую функцию y = f (x) , определенную на симметричном относительно точки x = 0 множестве X , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим две функции:

сумма которых равна f (x) , и заметим, что функция g₁ (x) является четной функцией, а функция g₂ (x) является нечетной функцией. Действительно,

что и завершает доказательство утверждения.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Раскладывая функцию y = e^x в сумму четной и нечетной функций, получаем:

Функцию g₁ (x) называют гиперболическим косинусом и обозначают ch x :

Функцию g₂ (x) называют гиперболическим синусом и обозначают sh x :

Таким образом, справедливо равенство

e^x= sh x + ch x

Периодические и непериодические функции.

Период функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Число называют периодом функции y = f (x) , если для любого числа числа x + T и x – T также принадлежат области определения D ( f ) и справедливы равенства

f ( x + T ) = f (x) ,
f ( x – T ) = f (x)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если число T является периодом некоторой функции, то и число kT , где k – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.

ПРИМЕР 11. Функции y = sin x и y = cos x являются периодическими функциями с периодом 2π , функции y = tg x и y = ctg x являются периодическими функциями с периодом π .

Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Свойства тригонометрических функций» → «Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса» нашего справочника.

ПРИМЕР 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат Oxy .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Графиком функции y = f (x) называют множество всех точек, координаты которых имеют вид (x; f (x)) , где .

ЗАМЕЧАНИЕ 5. График четной функции симметричен относительно оси ординат Oy (см., например, рис. 1 и рис. 2), график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, рис. 3 и рис. 4).

ЗАМЕЧАНИЕ 6. График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом T, достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс Ox длины T, а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния nT , где n – любое натуральное число.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Графики линейных функций | Колледж Алгебра

Результаты обучения

График линейной функции по точкам
График линейной функции с использованием наклона и точки пересечения с координатой Y
График линейной функции с использованием преобразований

Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.

Существует три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в построении точек, а затем проведении линии через точки. Во-вторых, с использованием точки пересечения и наклона y-. Третий — применение преобразований к функции тождества [latex]f\left(x\right)=x[/latex].

График функции путем построения точек

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию при этих входных значениях и вычислить выходные значения. Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем случае мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [латекс]f\left(x\right)=2x[/latex], мы могли бы использовать входные значения 1 и 2. Вычисление функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое изображается точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4). Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не лежат на одной линии, мы знаем, что допустили ошибку.

Как: Для линейной функции построить график по точкам.

Выберите не менее двух входных значений.
Оценить функцию для каждого входного значения.
Используйте полученные выходные значения для идентификации пар координат.
Нанесите пары координат на сетку.
Проведите линию через точки.

Пример: построение графика по точкам

График [латекс]f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+5[/латекс] по точкам.

Показать решение

Попробуйте

График [латекс]f\left(x\right)=-\frac{3}{4}x+6[/latex] по точкам.

Показать раствор

Построение графика линейной функции с использованием точки пересечения по оси Y и наклона

Другой способ построения графика линейной функции заключается в использовании конкретных характеристик функции, а не точек на графике. Первой характеристикой является точка пересечения y-, которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти у- перехват , мы можем установить [latex]x=0[/latex] в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов. Другой способ представить наклон — это разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или пробег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы столкнулись как с y- точка пересечения и наклон в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс]f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1[/latex]

Наклон равен [latex]\frac{1}{2}[/latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклонен вверх слева направо. Точка пересечения y- — это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точках (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения и . Мы можем начать построение графика, нанеся точку (0, 1). Мы знаем, что наклон увеличивается по сравнению с пробегом, [латекс] м = \ гидроразрыва {\ текст {подъем}} {\ текст {прогон}} [/латекс]. В нашем примере у нас есть [latex]m=\frac{1}{2}[/latex], что означает, что подъем равен 1, а пробег равен 2. Начиная с нашего y -intercept (0, 1), мы можем подняться на 1, а затем подняться на 2 или подняться на 2, а затем подняться на 1. Мы повторяем, пока у нас не будет несколько точек, а затем мы проводим линию через точки, как показано ниже.

Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции график и указывает точку (0,

b ), в которой график пересекает ось y .

м является наклоном линии и указывает вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек.

Напомним формулу наклона:

[латекс] м = \ frac {\ text {изменение на выходе (рост)}} {\ text {изменение на входе (прогон)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}[/latex]

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют и -перехваты?

Да. Все линейные функции пересекают ось y и, следовательно, имеют точки пересечения с осью y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения с осью y. Имейте в виду, что вертикальная линия — это единственная линия, которая не является функцией.)

Как сделать: Учитывая уравнение для линейная функция, постройте график функции, используя точку пересечения

и и наклон.

Оцените функцию при входном значении, равном нулю, чтобы найти точку пересечения y-.
Определите уклон.
Нанесите точку пересечения y-.
Используйте [latex]\frac{\text{rise}}{\text{run}}[/latex], чтобы определить как минимум еще две точки на линии.
Нарисуйте линию, проходящую через точки.

Пример: построение графика с использованием точки пересечения

y- и наклона

График [латекс]f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+5[/latex] с использованием — точка пересечения и наклон.

Показать раствор

Попробуйте

Найдите точку на графике, который мы нарисовали в Примере: построение графика с использованием точки пересечения y и наклона, которая имеет отрицательное значение x .

Показать раствор

Построение графика линейной функции с использованием преобразований

Другим вариантом построения графика является использование преобразований для функции тождества [латекс]f\left(x\right)=x[/latex]. Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функцию также можно преобразовать с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении [латекс]f\влево(х\вправо)=mx[/латекс] м действует как вертикальное растяжение или сжатие функции тождества. Когда м отрицательно, также имеет место вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс]f\left(x\right)=x[/latex] на м растягивает график f в м единиц, если м > 1, и сжимает график f на коэффициент м единиц, если 0 < м < 1. Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче наклон.

Вертикальные растяжения и сжатия и отражения от функции [латекс]f\left(x\right)=x[/latex].

Вертикальный сдвиг

В [latex]f\left(x\right)=mx+b[/latex] b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линия. Обратите внимание, что добавление значения b к уравнению [латекс]f\left(x\right)=x[/latex] сдвигает график f всего на b единиц вверх, если b положительно и | б | единицы вниз, если b отрицательное значение.

На этом графике показаны вертикальные сдвиги функции [латекс]f\влево(х\вправо)=х[/латекс].

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ взглянуть на определение различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построения графика функции такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Как сделать: Имея уравнение линейной функции, используйте преобразования для построения графика линейной функции в виде [латекс]f\влево(х\вправо)=mx+b[/латекс].

График [латекс]f\влево(х\вправо)=х[/латекс].
Растянуть или сжать график по вертикали с коэффициентом m .
Сдвиг графика вверх или вниз b ед.

Пример: построение графика с использованием преобразований

Построение графика [латекс]f\left(x\right)=\frac{1}{2}x — 3[/latex] с использованием преобразований.

Показать решение

Попробуйте

График [латекс]f\влево(х\вправо)=4+2x[/латекс], используя преобразования.

Алгебра. Учебник для 6-8 классов

Оглавление