Банк ЕГЭ | Открытый банк заданий
Банк ЕГЭ Банк решенных | ЕГЭ по математике В1 ● В2 ● В3 ● В4 ● В5 ● В6 ● В7 |
Полезные советы | Лента задачек | |
| С4Дан параллелограмм $ABCD$, сторона которого $AB=13$. Из углов $А$ и $В$ проведены биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$. Расстояние от точки $O$ до отрезка АВ равно $\frac{60}{13}$. В7Найдите, если $\operatorname{tg}\alpha=-4$ [посмотреть решение] |
wolframalpha.com/. На этом сайте вы можете: решать не слишком сложные уравнения и системы уравнений (неравенств), брать производные от функций, стоить графики этих функций и так далее. Во время подготовки к ЕГЭ, этот сайт можно использовать для: проверки отсутствия арифметических ошибок, вычисления громоздких выражений, решения промежуточных систем уравнений, и еще для огромного количества других полезных вещей. Более подробную информацию о том, как пользоваться сайтом wolframalpha.com, можно получить в соответствующей статье.
Мы рекомендуем просматривать этот форум именно через браузер Firefox, потому что отображение в нем MathML-формул самое лучшее.
Все темы ЕГЭ. Производная и первообразная. Физический смысл производной и
Геометрический смысл производной 2
На рисунке изображен график производной функции \(y=f(x)\), определенной на интервале (-8;3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(f(x)\) параллельна прямой \(y=-20\) или совпадает с ней.
Подпишись на ютуб канал
Подписаться
На рисунке изображен график производной функции \(y=f(x) \), определенной на интервале \((-9;4)\).
Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(f(x)\) параллельна прямой \(y=2x-17\) или совпадает с ней.
Подпишись на ютуб канал
Подписаться
На рисунке изображён график \(y=f'(x) \) — производной функции \(f(x)\). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику \(y=f(x)\) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Подпишись на ютуб канал
Подписаться
На рисунке изображён график функции \(y=f'(x) \), определенной на интервале \((-8;4)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(f(x) \) параллельна прямой \(y=5-x\) или совпадает с ней.
Подпишись на ютуб канал
Подписаться
На рисунке изображён график \(y=f'(x)\) — производной функции \(f(x) \).
2-5t+3 \), где \(x\) — расстояние от точки отсчёта в метрах, \(t\) — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 2 м/с?
Подпишись на ютуб канал
Подписаться
На рисунке изображён график функции \(y=F(x)\) — одной из первообразных функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-3;5)\). Найдите количество решений уравнения \(f(x)=0\) на отрезке \([-2;4]\).
Подпишись на ютуб канал
Подписаться
На рисунке изображён график функции \(y=f(x)\) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите \(F(8)-F(2)\), где \(F(x)\) — одна из первообразных функции \(f(x)\).
Подпишись на ютуб канал
Подписаться
На рисунке изображён график некоторой функции \(y=f(x)\).
2-240x-8\) — одна из первообразных функции \(f(x)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Подпишись на ютуб канал
Подписаться
реальный анализ. Существует ли функция, график которой пересекает каждую касательную ровно в 2 точках?
Пока я работал над задачей (а это была довольно интересная задача), появился полный ответ, но я думаю, что я все же выложу все результаты, которые я получил до сих пор. Не все они необходимы для окончательного решения, но тем не менее интересны.
Предположим, что существует описанная дифференцируемая функция $f$. Пусть $g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ — описанная функция без фиксированной точки, которая присваивает значение $x\in\mathbb{R}$ абсциссе уникальной другой точки, где касательная к $f$ в точке $(x,f(x))$ пересекает график $f$. Поэтому $g(x)$ является уникальным значением, так что:
\begin{уравнение}
f(x)+f'(x)(g(x)-x)=f(g(x))
\влево
f'(x)=\frac{f(g(x))-f(x)}{g(x)-x}.
Заключение : Если $g$ непрерывна в $x$, то $f’$ непрерывна в $x$.
Предложение : Замена $f(x)$ на $f(x)+\lambda x+\mu$ (с тем же искомым свойством) не меняет $g(x)$.
Следствие : Условия $g(g(x))=x$ и $f'(g(x))=f'(x)$ эквивалентны.
Доказательство : $\Rightarrow$: Возьмите верхнее уравнение для $x$ и $g(x)$, объедините их через $f(g(x))$ и используйте, что $g$ не имеет фиксированная точка для сокращения $g(x)-x$. $\Leftarrow$: напрямую используйте верхнее уравнение и увеличьте дробь на $-1$. $\квадрат$
Лемма : Если $g$ не непрерывно в $x$, то либо выполняются эквивалентные условия верхнего следствия, либо $f’$ не непрерывно в $x$.
Обратите внимание, что когда $f$ непрерывно дифференцируема, всегда должен выполняться первый случай и что обратное направление от второго случая является противоположностью верхнего вывода.
Доказательство : Докажем противопоставление.
Предположим, что $f'(g(x))\neq f'(x)$ и $f’$ непрерывна в $x$. Определите $\widetilde{f}(y):=f(y)-f'(x)(y-x)-f(x)$ с $\widetilde{f}(x)=0$ и $\widetilde{f }'(x)=0$, а также $\widetilde{f}(g(x))=0$, используя верхнее уравнение и предложение. (В частности, $\widetilde{f}$ не имеет других корней, кроме $x$ и $g(x)$.) $\widetilde{f}’$ непрерывна в $x$, и предположение переводится как $\ widetilde{f}'(g(x))\neq 0$, поэтому для любой окрестности $U$ $g(x)$ $\widetilde{f}(U)$ является окрестностью $\widetilde{f }(г(х))$. Возьмем последовательность $x_n\xrightarrow{n\rightarrow\infty}x$, затем $\widetilde{f}(x_n)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}\widetilde{f}(x)=0$ и $\ широкая тильда {f}'(x_n)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}\widetilde{f}'(x)=0$. Касательные от $t_n(y)$ до $(x_n,\widetilde{f}(x_n))$ задаются как $t_n(y)=\widetilde{f}(x_n)+\widetilde{f}'(x_n) (у-х_п)$. У нас есть $t_n(g(x))\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0$, поэтому для всех $n$ выше достаточно высокой границы $t_n(g(x))\in\widetilde{f}( U)$ и, следовательно, $g(x_n)\in U$ (обратите внимание, что может потребоваться более высокая граница), что подразумевает $g(x_n)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}g(x)$.
Если $g$ не является непрерывным в $x$ и выполняется первый случай этой леммы, то $g(x)-x$ меняет знак между $x$ и $g(x)$, поэтому должно быть другая точка, где $g$ не является непрерывным между ними, иначе $\widetilde{g}$ имел бы корень или, что то же самое, $g$ неподвижную точку из-за теоремы о промежуточном значении.
Предположим, что $x
Отсюда также следует $g(\xi)\notin[x,g(x)]$. Остаются два случая, для которых нужно вывести противоречие:
Случай 1 : Предположим, что $g(\xi)\in(-\infty,x)$, тогда $f>0$ в $(-\infty,0)$ и $f Случай 2 : Предположим, что $g(\xi)\in(g(x),\infty)$, тогда $f>0$ в $(g(x),\infty)$ и $f Аргументация для обоих случаев аналогична и сделана в другом ответе. спросил Изменено
2 года, 8 месяцев назад Просмотрено
173 раза $\begingroup$ как найти уравнение функции $f$, которая имеет конкретную касательную к графику этой функции, например: уравнение касательной к функции $f$ может быть $y=\frac{1}{2}−\ дробь{3x}{2}$; и есть точка, которая лежит и на графике $f$, и на графике этой касательной, т. Другой пример может выглядеть так:
пример
Мы ищем уравнение пурпурной функции; красная линия — это касательная функция фиолетового цвета, а точка, в которой они встречаются, — это конкретная точка. $\endgroup$ 2 $\begingroup$
92 г(х)
$$
для некоторой функции $g(x)$. Обратите внимание, что $g(x)$ может быть любой функцией, которая не разрушается при $x = h$. Могут быть и другие ограничения, но это технические детали, в которые, вероятно, не стоит вдаваться. $\endgroup$ 3 $\begingroup$ Касательная — это прямая, имеющая степень 1. интегрирование — Как найти уравнение функции $f$, имеющее конкретную касательную к графику этой функции в определенной точке?
е.:
$\exists (1,−1) \in y \wedge \exists (1, -1) \in f$ | $y$ является касательной к нелинейной $f$ в точке $(1, -1)$, где $y=\frac{1}{2}−\frac{3x}{2}$. Как найти уравнение $f$?
Leave A Comment